关于一维势阱波函数推导的疑惑
作者: 枫寒 发布: 2014-05-05
对于无限势阱：为什么在取边界条件时要求波函数在边界处连续呢？是什么原因造成波函数必须连续了？
薛定谔方程是波函数的二阶导，不连续就不可导，否则不满足薛定谔方程。
二阶微分方程边界条件的要求
波函数的连续性，本身应是一种物理要求，不能只从数学上说。因为连续不一定可导，一阶导存在也不一定二阶导就存在。
Originally posted by viobug at 2014-05-05 19:53:31
波函数的连续性，本身应是一种物理要求，不能只从数学上说。因为连续不一定可导，一阶导存在也不一定二阶导就存在。
无限势阱外和势阱内相比，单个粒子只允许出现在势阱内，而势阱外没有可能，这不就意味着在边界处可以出现左右极限不相等么。那不也就可以说函数不需要在边界处保持连续么。波函数的连续性，本身应是一种物理要求，不能只从数学上说。因为连续不一定可导，一阶导存在也不一定二阶导就存在。
Originally posted by 枫寒 at 2014-05-06 11:13:17
无限势阱外和势阱内相比，单个粒子只允许出现在势阱内，而势阱外没有可能，这不就意味着在边界处可以出现左右极限不相等么。那不也就可以说函数不需要在边界处保持连续么。...
左右极限不都等于0么？无限势阱外和势阱内相比，单个粒子只允许出现在势阱内，而势阱外没有可能，这不就意味着在边界处可以出现左右极限不相等么。那不也就可以说函数不需要在边界处保持连续么。...
Originally posted by ptf6 at 2014-05-06 11:20:47
左右极限不都等于0么？...
那能不能解释一下为什么一维势阱的能量是量子化的？我能这样理解吗：在求解一维势阱时，假定了V（势能）=0，得到的能量E（n）=T（动能）=(n^2h^2)/(8ml^2)，即动能是量子化的。现有一能量E1<E‘<E2,E'=T+V，T=E1，即E'=E1+V，V是连续的，而动能是量子化的。也就是说能量的量子化体现在动能的量子化上。可否这样理解？左右极限不都等于0么？...
Originally posted by 枫寒 at 2014-05-06 11:13:17
无限势阱外和势阱内相比，单个粒子只允许出现在势阱内，而势阱外没有可能，这不就意味着在边界处可以出现左右极限不相等么。那不也就可以说函数不需要在边界处保持连续么。...
正因为粒子不许出现在阱外，波函数又必须连续，所以才要求边界处波函数为0。又因为边界处振幅为0，所以满足条件的波函数必然是驻波的形式，所以也就出现了量子化。无限势阱外和势阱内相比，单个粒子只允许出现在势阱内，而势阱外没有可能，这不就意味着在边界处可以出现左右极限不相等么。那不也就可以说函数不需要在边界处保持连续么。...
Originally posted by 枫寒 at 2014-05-07 19:34:03
那能不能解释一下为什么一维势阱的能量是量子化的？我能这样理解吗：在求解一维势阱时，假定了V（势能）=0，得到的能量E（n）=T（动能）=(n^2h^2)/(8ml^2)，即动能是量子化的。现有一能量E1<E‘<E2,E'=T+V， ...
算符假设及薛定谔方程成立，导致波函数的一阶、二阶导数均存在，故而导致波函数连续，是这样的因果。那能不能解释一下为什么一维势阱的能量是量子化的？我能这样理解吗：在求解一维势阱时，假定了V（势能）=0，得到的能量E（n）=T（动能）=(n^2h^2)/(8ml^2)，即动能是量子化的。现有一能量E1<E‘<E2,E'=T+V， ...
不是说假定了势能为0，势能是个分段函数，而势阱中的部分势能就是0，两边的势垒是势能无穷大，总能负无穷大，（可以解方程得到）波函数为0，由于波函数的连续性，所以边界值就是0。量子化条件就是根据这个边界值限制推导出来的，这也是量子力学与旧量子论的区别。所以有些物理条件是推导出来的，并非作为假设。
后面的这样理解，势能的量子化不属于量子力学的范畴，其实举个很简单的例子就能明白，引力场的量子化就是量子引力理论。
Originally posted by 卡开发发 at 2014-05-07 23:51:18
算符假设及薛定谔方程成立，导致波函数的一阶、二阶导数均存在，故而导致波函数连续，是这样的因果。
不是说假定了势能为0，势能是个分段函数，而势阱中的部分势能就是0，两边的势垒是势能无穷大，总能负无穷大 ...
您的意思我可否这样理解：因是二阶导数存在，果为波函数连续，进而得到了量子化的能量？算符假设及薛定谔方程成立，导致波函数的一阶、二阶导数均存在，故而导致波函数连续，是这样的因果。
不是说假定了势能为0，势能是个分段函数，而势阱中的部分势能就是0，两边的势垒是势能无穷大，总能负无穷大 ...
那我有另一个问题，如果E1<E‘<E2，那E’代表什么意思，还是E‘就根本不存在？
Originally posted by 枫寒 at 2014-05-08 10:03:11
您的意思我可否这样理解：因是二阶导数存在，果为波函数连续，进而得到了量子化的能量？
那我有另一个问题，如果E1<E‘<E2，那E’代表什么意思，还是E‘就根本不存在？...
可以这么理解，当然量子化条件会随着边界条件变化而变化。您的意思我可否这样理解：因是二阶导数存在，果为波函数连续，进而得到了量子化的能量？
那我有另一个问题，如果E1<E‘<E2，那E’代表什么意思，还是E‘就根本不存在？...
不好意思，第二个问题没看懂，能不能再说的清楚些。
Originally posted by 卡开发发 at 2014-05-08 10:54:54
可以这么理解，当然量子化条件会随着边界条件变化而变化。
不好意思，第二个问题没看懂，能不能再说的清楚些。...
就是怎么理解这个能量量子化？能否用比较好理解的方法表述一下。可以这么理解，当然量子化条件会随着边界条件变化而变化。
不好意思，第二个问题没看懂，能不能再说的清楚些。...
因为我看推导过程是：哈密顿算符*波函数=能量*波函数，哈密顿算符=动能算符+势能算符，势能算符*波函数=势能*波函数
所以得到：动能算符*波函数+势能*波函数=能量*波函数。
假设：势能=0，所以有：动能算符*波函数=能量*波函数，推出能量是量子化的有E1、E2、……。
所以：如果现有一能量E‘，E1<E‘<E2，那这个E’如何理解？还是E'就根本不可能存在？
Originally posted by 枫寒 at 2014-05-08 16:53:26
就是怎么理解这个能量量子化？能否用比较好理解的方法表述一下。
因为我看推导过程是：哈密顿算符*波函数=能量*波函数，哈密顿算符=动能算符+势能算符，势能算符*波函数=势能*波函数
所以得到：动能算符*波函数+ ...
各能级分立，假定某E1能级上有n个粒子及较高的能级E2，当正好提供1份能量为E1-E2只能使得1个E1能级粒子发生跃迁到E2。能量发射或吸收存在最小单位且发射吸收只能是这个最小单位的整数倍。就是怎么理解这个能量量子化？能否用比较好理解的方法表述一下。
因为我看推导过程是：哈密顿算符*波函数=能量*波函数，哈密顿算符=动能算符+势能算符，势能算符*波函数=势能*波函数
所以得到：动能算符*波函数+ ...
E'对应的能量没有是否存在之说，只有是不是某个体系H的本征值之说。如果E'不能满足体系的H|psi>=E|psi>，那么这个能量就不是H的本征值。
Originally posted by 枫寒 at 2014-05-08 16:53:26
就是怎么理解这个能量量子化？能否用比较好理解的方法表述一下。
因为我看推导过程是：哈密顿算符*波函数=能量*波函数，哈密顿算符=动能算符+势能算符，势能算符*波函数=势能*波函数
所以得到：动能算符*波函数+ ...
态叠加原理啊，E’可以是各个本征态的叠加就是怎么理解这个能量量子化？能否用比较好理解的方法表述一下。
因为我看推导过程是：哈密顿算符*波函数=能量*波函数，哈密顿算符=动能算符+势能算符，势能算符*波函数=势能*波函数
所以得到：动能算符*波函数+ ...
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