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　「研究成果報導」　99

民國 89 年 8 月

自然科學簡訊第十二卷第三期

拉格拉奇極小子流形與相關問題

台灣大學數學系 李瑩英

尋找自然的規律，並瞭解在眾多可能中，

何者才是自然世界會選擇的形式，一直是推動

自然科學研究的主要動機之一。這些問題，有

的在適當的模型下，能轉化成純粹的數學問

題，並且得到充分的解答及預測。數學中的變

分學，便是其中一項很重要的研究工具。然而

即使抽離于自然現象之外，在數學的各項結構

中，尋找其中最自然的代表元素，本身即是數

學世界中，非常重要的問題之一。

我的研究主要都是圍繞在這個精神之下。

它們包括三類不同，但又息息相關的主題。第

一項是調和映射，第二是極小子流形，第三則

是拉格拉奇(Lagrangian)極小子流形。對於兩黎

曼流形間的映射，我們可以很自然地賦予它一

個能量，當這個能量取得極小值，或是能量函

數的臨界點時，該映射則稱為這兩個黎曼流形

間的調和映射。而極小子流形指的是在黎曼流

形的子流形中（且滿足某些限制條件），面積

最小者。正確來說，我們只需要要求是面積函

數的臨界點，但產生最小值的情況，當然是我

們最感興趣的。拉格拉奇極小子流形，則是同

時考慮黎曼結構與辛結構的產物。在探討物體

運動的力學中，我們通常會在同時包括位置與

動量兩種座標的相(phase)空間中，解其運動方

程式。像這種座標會成對（位置與動量）出現

的流形，就稱為具有辛結構。物體的運動軌跡，

一定會落在一個維度是全空間維度的一半，而

且具特殊性質的子流形－拉格拉奇子流形。拉

格拉奇子流形是辛流形中，非常重要而且自然

的子流形。刻勒流形，同時具有黎曼結構（即

有一個黎曼距離）與辛結構，因此我們研究既

是拉格拉奇子流形，又是極小子流形的東西，

稱為拉格拉奇極小子流形。

當我們在心目中，定位出所謂自然的課題

之後，接下來就必須有方法能找到這些標的，

並且說明它們具有怎樣的好性質，以驗證或襯

托出為何選擇它們為"自然的代表元"。在調和

映射和極小子流形這兩個領域中，對這些問題

已有許多的研究，並且得到相當完整的結果，

同時在很多實際的問題及現象有所應用及印

證。我這方面的工作，主要是在此基礎上，對

其一些性質，做進一步的探索[2,3,5,6,7,8,9]。

拉格拉奇極小子流形則尚是一塊處女地，還有

許多問題尚待解決，也因此我在這方面著力較

多。我們一開始研究這個領域的動機，完全是

來自於數學本身。因為當餘維較大時，極小子

流形的各項性質並不是很令人滿意，我們希望

多了拉格拉奇條件後，在一半維度的子流形能

得到較好的結果。而之後，大家才知道在彈性

力學的模型以及在超弦(super string)理論中，拉

格拉奇極小子流形都是自然產生，而且是非常

重要的主題。特別在超弦理論中，Strominger,

Yau 及 Zaslow[11]提出用拉格拉奇極小子流形

(特殊拉格拉奇流形)的模空間，來構造鏡流形，

因此對拉格拉奇極小子流形(特殊拉格拉奇流形)

相關性質的瞭解及研究，就變得特別重要和迫

切。很不幸地，即使對最重要的存在性，我們

所知都十分有限。對於這方面，我有兩個工作。

其中一篇說明在某些情況下的極小子曲面，就

一定會是拉格拉奇極小子曲面，而且是浸入

（immersion）的[1]。由於我們知道極小子曲

面的存在性，因此這個結果就幫我們找到一些

拉格拉奇極小子曲面，而知道這個結果，反過

來又能幫助我們證得在該同調類中，極小子曲

面的唯一性。一般而言，要證明極小子曲面的

唯一性，是相當困難的問題。我們的結果顯示

引進辛結構及研究拉格拉奇極小子流形，能幫

助我們瞭解一般的極小子流形，這或許是研究

這類問題新的有力工具。

對於一般的刻勒—愛因斯坦複曲面（註

一），我們則是透過距離的改變，來研究其存

在性。結果可敘述如下[4]：假設對一個負曲率

的刻勒—愛因斯坦距離，我們已知存在一個拉

格拉奇極小子曲面。則對任何可由此距離連續

變化得來的其他刻勒—愛因斯坦距離，我們也

都可以找到一個相應的拉格拉奇極小子曲面

（且與原曲面在同一同倫類中）。注意此時大

空間的複結構也是可以改變的。這個問題的主

要困難在於當新距離離開原距離很遠時，其相

應的拉格拉奇極小子曲面可能會產生歧異點，

而如何對有歧異點的拉格拉奇極小子曲面作形

變（deformation），則是十分不清楚的。我的

方法是從映射的觀點出發，利用在我們情況中

的拉格拉奇極小子曲面是穩定的，先找出一個

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100　「研究成果報導」

民國 89 年 8 月

自然科學簡訊第十二卷第三期

相應的穩定極小子曲面。而後透過研究廣義附

屬數（adjunction number）的變化，證明這些

極小子曲面會滿足拉格拉奇條件。因此無論在

何種情況下，我們總是有局部的形變。我們又

能證得此任一序列的面積一定會有界，從而證

明有一子序列會收斂到拉格拉奇極小子曲面。

由連通性，我們可知凡是可連續變化得的刻

勒—愛因斯坦距離，都有一相應的拉格拉奇極

小子曲面。

知名數學家 R. Schoen 和 J. Wolfson[10]利

用一個完全不同的方式來尋找拉格拉奇極小子

流形。他們是在拉格拉奇子流形中（且落于同

一同倫類），尋找面積最小者。由幾何測度的

理論，我們知道可以找到一個面積最小的。此

最小者，可以證明是拉格拉奇子流形，然而一

般而言，不一定是極小子流形。另外光滑性是

一個很大的困難。在刻勒—愛因斯坦複曲面

中，Schoen 和 Wolfson 宣稱他們可以解決這個

困難。這是個很重要的結果，但其中用到相當

困難而且複雜的分析技巧，大家都在期盼正式

文章的出爐。我們前面提到克服了有歧異點的

拉格拉奇極小子曲面的形變，這在高維情況

下，依然沒有解決的眉目，這個問題是在找鏡

流形中很重要的關鍵步驟。對於拉格拉奇極小

子流形，還有許多問題尚待解決，雖然這幾年

來，有越來越多的數學家，投入其中的研究，

但一切可以說才剛起步而已。

註一：在刻勒流形中，存在一些障礙，使我們

無法預期可以找到拉格拉奇極小子流

形。但如果限制在刻勒—愛因斯坦流

形，則此障礙將消失。

參考文獻

[1] Y. I. Lee, Communications in Analysis and

Geometry, 2, 579 (1994).

[2] Y. I. Lee and D. C. Wu, Annals of Global

Analysis and Geometry, 13, 231 (1995).

[3] Y. I. Lee, A. N. Wang and D. C. Wu, Bulletin

of the London Mathematical Society, 28, 398

(1996).

[4] Y. I. Lee, Journal of Diff Geometry, 50, 299

(1998).

[5] Y. I. Lee, A. N. Wang and D. C. Wu, Annals

of Global Analysis and Geometry, 17, 1

(1999).

[6] Y. I. Lee, The Deformation of Branched

Minimal Surfaces, preprint.

[7] Y. I. Lee, A. N. Wang and D. C. Wu,

Harmonic Maps on Tori, preprint.

[8] Y. I. Lee, A. N. Wang and D. C. Wu, A

Bridge Principle for Harmonic Diffeomor-

phism, preprint.

[9] Y. I. Lee, Manifolds with Nonnegative Scalar

Curvature, preprint.

[10] R. Schoen & J.G. Wolfson, Minimizing

volume among Lagrangian sub-manifolds,

preprint.

[11] A. Strominger, S.T. Yau and E. Zaslow,

Nuclear Phys., B 479 243 (1996).