Lorentz force acting on a moving charged particle, positive feedback , 等离子体中，如忽略带电粒子间的相互作用，只需考察其中单个带电粒子在电磁场中的运动，这就是单粒子运动模型

[PPT]第三章

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电场E引起的漂移与粒子质量、电荷都无关。结果使等离子体中所有带电粒子的回旋中心都以同一速度垂直于磁场方向运动。 电场漂移是破坏等离子体磁约束的一种 ...

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Mother Nature's Two Laws: Ringmasters for Circus Earth : ...

https://books.google.com/books?isbn=9812384863

A. D. Kirwan - 2000 - ‎Science

The example of the Lorentz force acting on a moving charged particle suggests there may ... This would be an example of a positive feedback in which the effect ...

垂直磁场方向作均速率圆周运动,称回旋运动，曲率中心称回旋中心 (位置固定)

平行磁场方向是做均速直线运动

 

第3章  单粒子轨道理论  

• 在等离子体中，如忽略带电粒子间的相互作用，只需考察其中单个带电粒子在电磁场中的运动，这就是单粒子运动模型
• 模型虽然粗糙，但简单直观，所得结果仍可说明受控核聚变中粒子约束问题
• 一般地，粒子运动速度

 

    因此可以用非相对论性的经典力学方经来研究单粒子运动。

 

3.1 带电粒子在均匀恒定磁场中运动

• 质量为m电荷为q的粒子，磁场中运动方程

• 一般情况            , 是非线性方程，它的解析解是不可能得到
   
• 现在对均匀恒定磁场情况求解

     取直角坐标：B沿 z 轴  

 

方程与方程的的解

 

粒子运动轨迹

• 垂直磁场方向作均速率圆周运动,称回旋运动，曲率中心称回旋中心 (位置固定)
• 平行磁场方向是做均速直线运动。
• 粒子运动轨迹:

   绕固定一根磁力线作等螺距螺旋线运动

• 磁场对等离子体横向约束的依据

 

两重要特征参量

• 回旋频率

    

• 回旋半径

•       与电荷q符号有关 
• 回旋方向→逆磁性 

 磁约束等离子体重要特性

 

• 电子与离子的回旋频率、回旋半径之比

  T =10keV,   B =1T

• 离子回旋频率比较低，属低频，电子回旋频率很高，属微波段。离子的回旋半径不大，电子的则很小，
• 强磁场能约束高温等离子体!

 

运动守恒量

• 磁场的洛仑兹力对粒子不做功, 所以粒子动能W是守恒量，这一结果对非均匀磁场也是适用。
• 粒子平行磁场方向运动的动能W_∥、垂直方向动能W_⊥、带电粒子总动能W都是守恒量
• W 、 W_∥ 、 W_⊥都是守恒量

 

磁矩守恒量

• 磁矩定义 

• μ与B是反平行的，而且与粒子的电荷无关，表明等离子体是抗磁性，等离子体的基本特性。 W_⊥是守恒量，μ也是守恒量
   
• 通过回旋轨道所围面积的磁通量也是守恒量

 

3.2 电场及其它外力引起的漂移

• 磁场不均匀恒定，但随时间空间变化很缓慢:时间在一个回旋周期内，空间在一个回旋半径范围，磁场的变化都很小。
• 存在小的横向电场（在均匀恒定磁场中）
• 磁场的变化很小或电场强度很弱，粒子运动轨道与螺旋形运动轨道偏离不大，这样可以把粒子的运动近似地看成：粒子回旋中心运动和绕回旋中心的回旋运动——这种近似处理方法称漂移近似。

 

电场引起的漂移

• 在均匀恒定的磁场外，有小横向电场E存在
• 设E⊥B，只要研究粒子的横向运动，方程为

• 横向运动分解为：
   

           
               绕回旋中心的运动
               回旋中心横向运动 （恒定）                 

 

• 代入方程得

• 如满足条件:
   

      即取

• 则方程简化为

• 新的方程与均匀恒定磁场形式是完全相同。 

             电场 引起的漂移速度

• 粒子运动这种描写（漂移近似）是有条件的：

   均匀恒定磁场作用是主要的，外加电场是微扰。

 

电场漂移的物理图象

• 电场E引起的漂移与粒子质量、电荷都无关。结果使等离子体中所有带电粒子的回旋中心都以同一速度垂直于磁场方向运动。
• 电场漂移是破坏等离子体磁约束的一种重要机制。

 

垂直磁场方向的其它外力微扰

• 设其他外力F ，漂移速度公式中qE 用F代替：

• 重力F = mg,引起的漂移
   

• 重力引起的漂移与粒子的质量、电荷大小及符号都有关，地球上重力很小，重力漂移不必考虑
   

 

3.3 带电粒子在不均匀磁场中漂移

• 不均匀磁场，运动方程是非线性的，难于求得它的精确解。
• 如果磁场的不均匀性很小，在回旋半径范围内磁场B的变化满足缓慢变化条件

• 讨论两种简单情况：磁场梯度和磁力线弯曲引起的漂移。  

 

1. 梯度漂移

• 设磁场B沿z轴，在y轴方向有梯度

• 运动方程
   

• 方程是非线性的，难于求得它的精确解
  
   

 

• 由B满足缓慢变化条件，可在回旋中心处作展开，只保留一级小量项

 

  B₀ 是回旋中心处的磁场

• 漂移近似

    是回旋运动，   是漂移（常矢量），方程为

• 下面是代表均匀恒定磁场中的回旋运动

 

• 在一个回旋周期上求时间平均，得 

• 上式，得  

 

 

• 梯度漂移与粒子的电荷及符号有关，因此正负粒子的漂移方向相反。 
• 漂移速度改写：

• 梯度漂移是由等效力F 所引起的。
  
  
   

  F 为磁矩在不均匀磁场中受的排斥力，方向是从强磁场推向弱磁场区域—— 反磁性！

 

2. 曲率漂移

• 如果磁力线有轻微的弯曲(R＞＞r_c)，而且满足磁场变化缓慢条件           可以用漂移近似，引导中心沿力线运动，同时粒子绕弯曲的磁力线作回旋运动。但在以曲率中心为原点的坐标系中，带电粒子将感受到一个惯性离心力。这个力会引起漂移

 

• 惯性离心力引起的漂移速度

 

• 曲率半径R定义

• 用磁场表示：
  
  
  
   

 

• 一定条件下：

• 漂移速度可简化为（用磁场梯度表示） 

• 一般地，磁力线弯曲时必定存在磁场梯度，因此粒子的总漂移应该是梯度漂移与曲率漂移的叠加。
   
• 总漂移速度(在环形装置中有重要应用)

 

*证明：

• 设磁力线为平面曲线，取柱坐标，如图：

• 观察点无电流， 

 

3.4 浸渐不变量及其应用

• 在经典力学中，为了求粒子的运动轨道，必须求解微分方程。但如果能找到某类运动积分（运动常量），则求解就容易多了
• 在研究带电粒子在电磁场中运动时，可以证明，当某些参量变化足够缓慢时，有些物理量是近似的运动常量（守恒量），则称这些物理量为浸（jin）渐不变量。

 

1. 磁矩不变性

• 在磁场中粒子回旋运动的磁矩

• 可以证明，当磁场随空间、时间缓慢变化时，磁矩是浸渐不变量。 
• 下面分别对随空间、随时间缓慢变化进行证明，其条件：

 

（1）B(r)随空间缓慢变化

• 设磁场是轴对称的，沿z轴方向缓慢增大（会聚)
• 取柱坐标系:

• 纵向运动方程 

• 为求B_r ：  
   

 

• 利用缓慢变化条件，在回旋半径范围内

• 积分得
  
  
   

• 正电荷时                负电荷时   

 

• 结果:带电粒子在恒定纵向不均匀磁场中运动时，将受到从强磁场区域指向弱磁场区域的作用力(反磁性!)。
• 纵向动能变化率

 

  式中      是由于粒子运动引起的变化

• 横向动能变化率

• 总动能变化率 

• 磁矩是近似守恒量（浸渐不变量 ）  
   

 

（2）B(t)随时间缓慢变化

• 因为磁场随时间变化产生感应电场

• 粒子在回旋轨道上，一个周期内增加的横向动能
   

 

  注意正电荷时B与n反方向,负电荷时B与n同方向!

 

• 一周期内磁场的增量

• 将以上结果代入，则一周期内增加的横向动能
   

• 当磁场随时间缓慢变化时，磁矩也是近似守恒量  
  
  
  
  
   

 

2. 磁镜约束原理

• 轴对称的、两端加强的磁场区域构成一对磁镜
• 设在中心处粒子的速度为    ，速度与轴的夹角为     ，磁场为     ，这时粒子的磁矩：

 

    因为磁矩守恒!

 

磁镜反射条件

• 当粒子向强磁场区域回旋运动时，由于μ不变，B 的增大W_⊥使也随之增大，但粒子总动能是守恒的，所以W_∥要减小。当粒

  子走出磁镜之前：
  受力         作用被“反射”

• 反射的临界条件：磁场为最强时

 

• 临界投射角

• 磁镜比
  
  
   
• 中心处粒子的投射角

            粒子被约束在两磁镜内              
            粒子穿过磁镜逃逸出去（逸出锥） 

 

逃出“逸出锥”粒子的损失率

• 设粒子的速度分布是各向同性的，粒子的损失率

• 假定
  
   

• 由于存在逸出锥，粒子在速度空间的分布是不平衡的，还可以通过粒子间的碰撞，使原是的捕获粒子落到的逸出锥内，继续逃逸出磁镜系统。 
• 在实验室中的离子源系统和宇宙中强磁场的星云之间都存在，它可以捕获带电粒子。 

 

3. 纵向不变量  J 与费米加速

• 当两个磁镜缓慢运动时，如果满足磁场缓慢变化条件

 

τ_b代表粒子在磁镜间来回运动的周期，则可证明，纵向作用积分 

是浸渐不变量。

• 证明如下：

 

• 得

 

代入得

  z₁、z_2：粒子引导中心在两个磁镜反射点处的坐标。

• J 对时间求全微分

• 在一个周期内W 仍近似是常量，但转折点和及被积函数是与时间t 有关的   
   

 

• 求全微分得

• 在转折点处            ，上式右方前两项为零。
  
   
• 第三项中的被积函数，利用        及磁矩不变性

• 最后得
   

• 证明了J是浸渐不变量 。在两磁镜间来回运动周期远大于粒子回旋运动周期，因此J 不变性所要求的条件要比磁矩不变性的条件强得多。     

 

应用  J 的不变性来说明费米加速

• 粒子在运动的磁镜中被反射时会增加能量（加速）
• 当t =0时，磁镜位置在Z₁、Z₂，其距离为L，

  在t =t’时，磁镜位置在Z₁’，Z₂’,其距离为L’,

• 假定在两个转折点之间   和   近似为常量。
• J 不变性意味着粒子在相空间中所围的面积（即图曲线下面积）相等  

 

• 再根据μ的不变性和中间区域 B 不变：

• 结果表明：当磁镜缓慢靠近时，在磁镜中被捕获的粒子的能量会增加。这种能量增加是由粒子与运动磁镜相磁撞而得到的。这种加速机制在1949年由费米（Fermi）提出的，所以称费米加速。
  
  
   
• 根据这个理论，宇宙线中的极高能量的粒子（10⁹GeV）可能就是星际空间具有强磁场的磁云相向运动时，在其间被捕获的带电粒子与磁云多次碰撞获得能量的结果。
• 由于费米加速，    增加，最后使粒子逃逸出去。   

 

4. 地球辐射带与磁通不变量

• 地球磁场就是一个很好的天然磁捕集器。由太阳辐射出来的带电粒子（太阳风）或宇宙线与地球高层大气相互作用形成的带电粒子，可以被地球磁场捕获，沿地磁场磁力线作螺旋形运动，同时辐射电磁波，即形成地球辐射带，也称范艾伦带。
• 这种辐射带最初是1905年斯托来根据极光观测预言的，后来1958-1959年范艾伦等人根据人造地球卫星的观测资料证明了它的存在，因而又称范艾伦带。

 

探索者4号和先锋3号卫星
探测到的地球辐射带  

• 地球辐射带有内辐射带与外辐射带两个区域。
• 内辐射带，高度在1～2个地球半径（R_E），平均几千公里，大部分是质子、电子，也有少量氘和氚，质子能量10～100MeV。
• 外辐射带高度在3～4个地球半径，约20000公里，密度较低，带电粒子能量也比内辐射带低，质子能量在0.1～几个MeV，电子能量一般大于40keV。

 

地球辐射带的形成

• 带电粒子被地磁场捕获，沿地磁场磁力线在两磁极间作螺旋运动，并被两磁极来回反射。
• 磁场梯度和磁力线弯曲引起粒子环向漂移

• 粒子环向漂移速度
   

    正电荷由东向西，

  负电荷由西向东

• 粒子漂移绕地球一周后仍然回到原来的磁力线上。

 

证明：粒子的环向漂移是周期性运动

• 反正法：设粒子环向漂移一周后不回到原来力线上

    开始粒子在L₁力线上（L₁为这根力线上粒子来回反射点间长度），对应的半径r₁，一周后粒子跳到L₂力线上，对应的半径r₂ ，而且 r₂ > r₁ ,  L₂> L₁

•         守恒，因为           则
• 动能W 守恒，                      ，则
• 由此得
• 结果与纵向不变量J 相矛盾：
• 证明了，漂移一周后应回到原来力线上。 

 

旋转曲面包围的磁通量是不变量

• 漂移运动引导中心描绘一个与地磁场相吻合的旋转曲面，曲面内所包围的磁通量是不变量。
• 不变量成立条件

•   为引导中心环绕纵向不变量曲面一周的时间。 

  对于40keV电子，约为1小时。不变量成立条件是相当高！

 

地球辐射带形成的说明

• 太阳辐射的带电粒子被地磁场捕获后沿磁力线做回旋运动，由于磁矩守恒，粒子会沿磁力线在两磁极间来回反射。
• 由于磁力线弯曲和磁场梯度，引导中心有横越磁场的漂移，这样粒子回旋运动所在的磁力线会绕地球磁轴旋转，形成一个闭合的旋转曲面。
• 带电粒子形成的辐射带与地球磁力线形状相吻合

     

 

地球辐射带

 

3.5 带电粒子在环形磁场中的运动

• 简单环形磁场位形不能稳定约束等离子体
• 许多核聚变磁约束实验装置都是环形磁场形态，因此研究带电粒子在环形磁场中的运动是非常必要的。
• 如何解决环形磁场位形装置中的稳定约束问题

 

1. 带电粒子在简单环形磁场中的漂移

• 磁力线弯曲和磁场梯度引起正电荷粒子向上漂移、负电荷粒子向下漂移。这样就形成电荷分离并产生一个向下的电场E，从而又发生了电漂移。

• 最后正负电荷粒子整体沿环的半径向外漂移! 
  
  
  
   

 

2. 磁场的旋转变换
和Tokamak磁场位形约束原理  

• 托卡马克装置磁场位形的旋转变换：

    由螺旋管线圈电流产生环向磁场，叠加上脉冲放电时等离子体电流产生的角向磁场，形成的总磁场B的磁力线是旋转的螺旋线。

角向磁场 

环形磁场 

产生环形磁场线圈

 

磁场的旋转变换

• 在圆环横截面的极向角方向加一个磁场（称角向磁场），这时环向磁场与角向磁场合成为一个螺旋磁场B，原来环形磁力线发生旋转。因而磁力线不是一个简单的闭合圆环，而是绕环形轴OO’旋转的螺旋线。
• 磁力线绕环一周后

  不闭合，在极向角
  方向旋转一定角度，
  磁力线的这种性质，
  称旋转变换。 

 

• 设螺旋管线圈电流产生环向磁场，再叠加上一个沿圆环截面绕小圆形方向的角向磁场，形成的总磁场B的磁力线是旋转的螺旋线。

• 满足条件
   
• 磁力线是沿大环绕行

  时，同时又绕小圆环
  旋转，形成螺旋线状

• 绕大环一周

φ角变化2π，极向角改变角度ζ
  ζ称为旋转变换角。

 

• 假定沿大环绕m圈，同时在小圆环沿θ角绕n圈后磁力线回到原出发点（即闭合），则旋转变换角：

• 有理磁面：若m、n为正整数（n/m为有理数），表明磁力线绕大环m圈后可以闭合，这样磁力线构成的磁面称有理磁面。 
• 无理磁面：若m/n为无理数，从一点出发的磁力线绕大环旋转任意多圈也不能回到原出发点，即不闭合，也可理解为沿大环绕无限多圈才能逼近原出发点。经无限多圈旋转构成的磁面称无理磁面

 

• 从小圆截面中心O点出发的磁力线，绕大环时不产生旋转，这根线M称为磁轴。与磁轴相距不同半径上的磁力线都构成旋转磁面，因此形成以磁轴为中心，不同半径嵌套的一组磁面（如图）。
• 旋转变换角引入的一个重要参量

 

       称为安全因子

• 设旋转磁力线的螺距d

 

   

 

Tokamak中的回旋中心运动

• 旋转变换角

• R₀为托卡马克大环半径，r是磁力线与轴心O的距离则安全因子 

• 设等离子体半径为 a，
   
• 托卡马克抑制磁流体螺旋不稳定性要求                  ，

    q 称为安全因子。

   只要                   ，条件                     可以满足！

 

通行粒子与捕获粒子

• 在托卡马克中，粒子回旋中心沿一根磁力线运动时，因磁场旋转变换，粒子回旋中心有时在环的外侧（磁场较弱），有时又绕到环的内侧（磁场较强），对于运行的粒子而言，这种磁场强弱变化类似于磁镜场的结构，于是在其中运行的粒子可以分为两类：
• 通行粒子：粒子运动速度与磁场夹角较小，即平行分量   较大，这种粒子在绕磁力线运动时能通过较强磁场区域，这类粒子称通行粒子；
• 捕获粒子：   较小的粒子，绕磁力线运动时，不能通过较强磁场区域，只能在两个相邻的强磁场区域间来回反射，这类粒子称捕获粒子。

 

（1）通行粒子回旋中心运动

• 取大环的一个横截面，中心O，大环的对称轴 z ，大环半径R₀，在截面上建立直角坐标x-y，xy平面跟随着粒子以     绕磁力线一起运动。
• 若无漂移，则回旋中心在以O为心、虚线圆的磁面上；
• 若考虑漂移，回旋中心会离开这个磁面，在漂移面上。

 

• 放电电流产生的角向磁场

• 螺线管电流线圈产生的环向磁场 

• 因为 

• 环向磁场  

• 总的磁场(其磁力线旋转变换)  

 

• 粒子回旋中心运动分解为沿磁力线运动和磁场不均匀引起的漂移

• 因为        ，只考虑    不均匀性引起的漂移 

• 回旋中心沿磁力线 方向运动速度
   

    在xy平面上投影                ，
  

 

• 上面是粒子沿磁力线顺时针旋转，如果是逆时针方向旋转，上面两式都变个符号
• 回旋中心的xy平面上投影的运动方程为

• 第1式乘dy、第2式乘dx，并相减得   
  
  
  
   

 

• 因为

• 上面方程化为  

• 对通行粒子        ，而且近似为常量
   
• 方程的解为

• 略去高级量 
   

 

• 结果，近似为一个半径为   的圆，只是其中心向右移动了    距离。粒子回旋中心轨道的整个漂移曲面相对于磁面向右移动了距离

         

• 类似地，也可推导粒子逆时针旋转的情况，其结果只是在式中   前面加一负号。这样粒子轨道的整个漂移曲面中心相对于磁面是向左移动了距离
• 漂移曲面的移动：

 

  这说明，对于磁场的旋转变换，通行粒子可被很好地约束!

 

漂移曲面移动距离的估算

• 移动距离

• 安全因子
  
  
  
   
• 漂移曲面中心只向左右移动了 

 

（2）捕获粒子运动

• 如果不考虑漂移，则捕获粒子只是在旋转变换磁场位形中两个局部的磁镜场中来回运动，其回旋中心在xy平面上的投影只是磁面上两个反射点M₁、M₂间的一段圆弧。
• 考虑了漂移之后，回旋中心的运动轨道投影要发生变化。

 

• 回旋中心运动在xy平面投影方程

• “+”号对应于顺时针旋转，“－”号对应于逆时针旋转。但            ，不是常量。
   
• 因为捕获粒子的   比通行粒子的小很多,是随x变化的，即       ,而且在两个反射点M₁、M₂处
• 为解方程需求   

  由磁矩不变量
 

 

• 磁场B随x变化
• 应用条件：

• 方程：
  
   

• 近似条件： 

• 方程对 x 积分： 
   

 

• 改写：

• 取平面极坐标： 

 

  因为

• 结果：

 

表示粒子漂移曲面与磁面的偏离。
当θ=0时（x轴上），偏离最大  

 

• 当粒子回旋中心沿磁力线顺时针旋转时，

      r>r₀ ，漂移曲面向外偏离；

• 当粒子回旋中心沿磁力线逆时针旋转时，

      r<r₀ ，漂移曲面向内偏离。

• 原来是顺时针旋转的，到达反射点经过反射后，顺时针旋转就变成逆时针旋转，反之亦然，因而漂移曲面形成一个闭合曲面，它在xy平面上的投影就如图所示的“香蕉形”闭合曲线。因此捕获粒子也称为“香蕉”粒子。
• 上式          就是香蕉半宽度。

 

“香蕉形”半宽度的估算

• 利用

• 香蕉半宽度
  
   

• 
   

 

结论

• 粒子漂移偏离磁面的最大距离，大约为十几个回旋半径。只要

 

 
   a为等离子体小半径，就可以认为捕获粒子的环形漂移被抑制了。

 

托卡马克装置中
捕获粒子的运动轨道

 

第3章思考题与习题
1、单粒子运动模型
2、带电粒子在均匀恒定磁场中的运动特点、回旋频率  、回旋半径 、有那些守恒量并说明其依据。
3、求带电粒子在均匀恒定磁场中的运动方程的解。（习题）
4、什么是漂移近似？漂移速度定义，电场、磁力线弯曲、磁场梯度引起的漂移。说明原因及特点。
5、带电粒子回旋运动时的磁矩，它是近似守恒量的条件（研究生要求会证明） 
6、说明磁镜约束原理和逸出锥  

 

7、求实现磁镜反射的临界投射角 （习题）
8、什么是纵向不变量 ，其适用条件。
9、用单粒子运动及相应浸渐不变量说明地球辐射带形成原因。
10、分析简单环形磁约束装置中粒子的漂移。
11、磁场的旋转变换及其对克服环形磁场中粒子漂移的作用。
12、Tokamak装置如何实现磁场的旋转变换？

13、Tokamak装置中的通行粒子和捕获粒子，旋转变换磁场对这两类粒子的约束原理。（研究生要求会推导）