tw01 chchang harvard 在旋轉的變換下，與位置以相同方式變換的稱為向量, 在羅倫茲變換下，與時空以相同方式變換的四量組稱為 4 vector

在旋轉的變換下，與位置以相同方式變換的稱為向量

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Special Relativity as an Example of Symmetry
靜止座標系與等速運動座標系之間的變換
被動變換的觀點，觀察者變換為另一相對運動的觀察者
相對性變換
主動變換的觀點，所有物體的時空運動都作一個一致的變換！
這個變換稱為相對性變換。
觀察者無法藉由力學實驗分辨自己是靜止的，還是在等速移動！
移動中的實驗者，他由實驗結果所歸納出來的物理定律，
與靜止的觀察者所歸納的物理定律一模一樣！
相對性原則
相對性變換下的物理定律形式上是不變的！
牛頓力學中的伽利略變換
絕對時間
相對性變換會直接改變時空座標。（主動）
對同一事件，不同慣性坐標系測量所得時空值之間的關係：（被動）
慣性座標系之間的速度的變換
慣性座標系之間的加速度的變換
伽利略變換
移動中的實驗者，他由實驗結果所歸納出來的物理定律，與靜止的觀察者所歸納的物理定律一模一樣！
牛頓運動定律在伽利略變換下是不變的！
動量守恆定律是否滿足相對性原則？
從 S 看
從 S′ 看
v′_1i
v′_2i
v′_1f
v′_2f
動量守恆定律在S成立，在S′也成立，滿足相對性原則
動量守恆定律在伽利略變換下是不變的！
光速
根據伽利略變換，不同運動狀態的觀察者測到的光速似乎應該不同！
但光改變了一切！
？
火車上的觀察者看到的光速是否與地面看到的不同。
當光源已非常遙遠，沒有電荷沒有電流，何來電場磁場？
如果
電磁場不隨時間而變化，就無法在旁邊感應出電磁場
觀察者以光速移動的，他看到電磁波靜止不動而不傳播
Michelson and Morley (1887)
光速與觀察者無關！
馬克斯威爾方程式滿足相對性原則！
電磁波無介質！
伽利略變換必須修正
無論觀察者及光源的運動狀態，光速恆定！
光速恆定原則
羅倫兹變換 Lorentz Transformation
如果要求光速在時空變換下是恆定的：
這才是正確的慣性座標系之間時空的變換關係！
速度加成
光速恆定
Hermann Minkowski
4-vector
時間與空間不能分開來討論
變換後的時間不只與變換前的時間有關，也跟空間有關
為了討論方便，應該把時空一起記載！
四個分量的物件
羅倫茲變換
使用新的符號，羅倫茲變換可以寫成：
變換後的分量是變換前分量的線性組合，因此可以以矩陣來表示：
這又使我們聯想到旋轉
這個符號可以簡化：只要重複即表示求和
vector
4-vector
旋轉變換
羅倫茲變換
4 Vector 在羅倫茲變換下，分量會轉換為原來分量的線性組合
這與向量在旋轉變換後，分量的變化很像！
分量只是方便的數學工具，隨時可因座標軸選取的改變而改變
羅倫茲變換原來就是一個時空座標軸的更換
旋轉變換
羅倫茲變換
向量長度在旋轉軸旋轉下不變
類似的分量組合在羅倫茲轉換下也是不變的。
這是一個羅倫茲不變量（純量）！
Proper Time  τ
它是一個羅倫茲變換下的不變量
Proper time 的小變化與時間成正比
此不變量可以稱為 4-vector的”長度”
Proper time是隨著粒子移動的時鐘量到的時間
如果此時空是一個粒子的時空位置測量：
For all 4 vectors:
在羅倫茲變換下，與時空以相同方式變換的四量組稱為 4 vector
在旋轉的變換下，與位置以相同方式變換的稱為向量！
由此可以延伸定義此向量空間中兩個4 vector的內積
4 vector長度可以如3 vetcor定義為此4 vector與自己的內積：
在線性代數中，向量內積由一個 Metric 矩陣來定義：
向量內積被寫成兩個向量與 Metric 矩陣的矩陣乘積：
4-向量內積
由此可以進一步定義也是四個分量組成的 Covariant Vector
g 是用來 lower indices
如此 g 就不需要出現了
這樣的寫法會有很多的g出現在式子中：
Einstein Convention
以上的定義可以推廣到所有4 vector
Covariant Vectors can be formed by the lowering matrix g:
Vectors can in reverse be formed from Covariant Vectors by a raising g:
但上足標與下足標對齊求和後，就為一不變量，
足標 contract 殆盡就得到不變量。
只要有足標，在羅倫茲變換下就會跟著變換！
這種消滅足標的行為，稱為 contraction。
注意在以上的不變量中上下足標正好配對並求和！
兩個 4-向量的內積
將一系列的 4 vector 及 covariant vector 乘在一起即是張量 4-Tensor:
張量在羅倫茲變換下的變換，可以很容易由 vector 的變換得出：
此轉換關係適用於其他屬於同類張量的物件，即使不是由向量的乘積得出：
因此只要遵守這個轉換關係就稱為同類的張量。
仿照3D的向量與張量：
當所有的足標完全Contract殆盡，你就得到羅倫茲不變量！
而相對地，Contraction可以減少足標的數量:
對  4 vector 的微分是一個 Covariant Vector
是不變量
對時空的微分，如同一個 Covariant Vector一樣！
對時空的微分是一個 Covariant Vector ：
時空對時空的微分，並Contract後是一個不變量
下足標的符號表達了此事！
相對性原則 The Principle of Relativity
移動中的實驗者，他由實驗結果所歸納出來的所有物理定律，與靜止的實驗者所歸納的物理定律一模一樣！
相對性原則成為物理定律是否正確的一個新的檢驗標準！
所有還沒檢驗過的都要拿來確認一下！
檢驗的標準為何？
馬克斯威爾方程式在羅倫茲變換下不變
兩個座標系的關係由羅倫茲變換給定：
物理定律必須在羅倫茲轉換下不變！
動量與能量守恆定律在羅倫茲變換下會不會變？
動量與能量守恆定律滿不滿足相對性原則？
u
u
u
u’
O
O’
v=u
牛頓版動量守恆
完全非彈性碰撞
牛頓版的動量守恆遵守伽利略變換下的相對性原則
u
u
u
u’   ？
O
O’
v=u
但？如果考慮相對性效應…..
動量守恆定律在羅倫茲轉換後就不像動量守恆了！
動量守恆定律在左方是正確，但在右方就不正確，反之亦然
牛頓的動量守恆定律滿不滿足相對性原則！
牛頓的動量守恆定律必須修正！
如何修正？
既然羅倫茲變換很像旋轉，我們以旋轉為例來看看有沒有一個可以保證物理定律對稱不變的原則！
F
F’
a’
旋轉變換後，物理定律必須不變
要求物理定律等式兩邊都是向量（或純量，或張量），就保證公式在旋轉變換下不變
要求動量新定義必須：
動量是一個 4-vector 的一部分
所有遵守羅倫茲轉換不變性，等式兩邊必須同時是 4-Vector ，或同時是純量
新動量在速度遠小於光速時，必須趨近於舊動量。
牛頓定義的動量顯然不是 4-Vector 。
牛頓力學中所有的物理定律，等式兩邊必須同時是向量，或同時是純量。
它是 4-Vector 第二分量除以第一分量
變換公式非常複雜（非線性組合）
新的定義
動量是 4-vector 動量 P 的空間分量！
這有前例可循：因為位置是向量，時間是純量，故兩者的商，速度是向量。
這暗示我們將整個時空 4-vector 除以Δτ，就得到一個新的 4-vector 的動量。
時間在分母是問題，時間是3D的純量，但並非4D的不變量。
以不變量 τ 取代時間 t ，
速度小時：
新動量在速度遠小於光速時，趨近於舊動量。
一個粒子運動時的 Proper Time 滿足
新定義滿足我的兩項要求
動量 P 是4-vector，它在羅倫茲變換前後的關係，與時空是一樣的
如果變換前 p¹ 及p⁰ 都守恆，變換後 p′¹自然保證守恆
變換後的動量，是變換前動量分量的線性組合
在粒子碰撞實驗中，變換前後的粒子動量滿足：
u
u
u
u’  
O
O’
v=u
新定義使動量守恆定律遵守相對性原則
新定義與舊定義的關係
接近牛頓的定義
因此，新的守恒律其實是能量守恆定律
p⁰是什麼？由速度小的情況去找牛頓力學中的對應。
守恆律多了一個：
p⁰ 守恆定律
動能
靜止能量
For v = c, the energy is infinite. Hence you are never able to push an object faster than the speed of light! 
Even at rest, an object still contain an energy due to its mass:
It opens up the possibility to convert mass into energy or vice versa.
動量守恆與能量守恆便整合成一個定律：4 momentum conservation。
動量與能量的分別只是表面的
動量與能量的羅倫茲變換就如時空一樣！
基本粒子的速度：
4 momenta 是在實驗中對基本粒子的標準測量！
4 momentum 的長度 p² 是甚麼呢？
質量是一個粒子四維動量的長度，是一個羅倫茲不變量。
因此質量是粒子的最重要的特徵！
每一個基本粒子的 4 momentum都必須滿足以下的 on-shell條件
能量與3維動量大小並非獨立的變數。
動量越大，能量就越大。
為方便起見，在計算過程中，取一個單位系統使
如此能量、動量、質量就有一樣的單位，取為能量單位 eV。
但光是以光速 c 前進：
除非
事實上曾馬克斯威爾方程式推得電磁波的能量與動量密度成正比：
光子質量為零，Massless
無質量的粒子必定以光速前進。
從光子的波性來看：
Dispersion Relation
從其他有質量的粒子的波性來看：
Dispersion Relation
靜止的物體因為其質量，能量亦不為零
這個公式暗示了能量與質量可以彼此互相轉換。
質量是能量的一種形式，能量守恆蘊含質量可以轉換為其他形式的能量，其他形式的能量亦可轉換為質量，質量不再守恆。
mc²
K
K
mc²
質量的減少可能變為動能的增加！
u
u
質量不守恆，動能轉換成質量。
mc²
K
K
mc²
能量可以轉換為質量，產生新的粒子！
Colliders are New Particle factories.

60

粒子物理的反應必須滿足 4 momentum Conservation
Decay
Production
u
u
衰變產物的總質量必須小於衰變粒子的質量!
產物粒子的能量
產物粒子的動量大小可以算出來！
What is the momentum of the muon?
Speed is usually inconvenient to use.
這些能量都可以用3D動量大小來表示:
And Remember that for any real particles: