曲线的曲率与挠率完全决定了曲线的形状。曲率为0时是直线，挠率为0是平面曲线
往里进的运动是离开密切平面的运动，这个离开密切平面的运动的快慢就可以用用挠率衡量，越快挠率越大。我们知道螺丝钉分右旋与左旋，而挠率也是有方向的，与主法向量一致是正向，反之是负向。总之挠率是刻画曲线的扭转程度。
微分几何之曲线论
微分几何是数学的一个重要的分支，在物理学，天文学等很多领域具有广泛的应用。微分几何的主要内容是三维空间的曲线论与曲面论。欧拉可以说是微分几何的重要奠基人，他早在1736年就引进了平面曲线的内蕴坐标概念，即以曲线弧长作为曲线上点的坐标，从而开创了曲线的内蕴几何的研究；曲面论的奠基人是19世纪的高斯，随后他的弟子黎曼开创了黎曼几何学。
例如爱因斯坦的广义相对论就是建立在黎曼几何的基础上的。没有黎曼几何提供的几何空间，就没有爱因斯坦的广义相对论。微分几何虽然是随着微积分的诞生而诞生的，但具有开创意义的贡献是欧拉作出的，这位老先生用截线法研究解析几何，更重要的是他也用这种方法来研究微分几何。具体来说一个复杂的几何图形，我们不知道它的内部结构，但是我们可以用刀切开他，这个刀是运动，这个刀切到物体的不同部位，得到的结果是不同的，有这些不同的结果我们就可以了解整个物体的大致结构。
我们生活在一个曲线的世界里，我们常说地平线，优美的曲线，水平线，一个绳子，一个皮带，一个椭圆等等吧，对了，我们的头发也是曲线，飞流直下三千尺的瀑布的每一个流速也是一个曲线。对还有我们铁路的铁轨在拐弯时的样子也是一个曲线。那么我要问你，刻画一条空间曲线需要几个概念就可以把曲线在一点处的形状描述出来？就是说把我们生活在三维空间地球上所有的曲线在一点的几何性质用几个概念就可以完全刻画出来？
其实于对这么纷繁复杂的世界的许许多多的曲线，我们只需要用两个概念就可以完全的描述出曲线在一点处的几何性质。
第一个概念就是曲率。曲率这个概念很简单，通俗的说就是曲线的弯曲程度。那么我问您直线的曲率是多少？直线有没有弯曲呢？显然是没有的。自然直线的曲率就是零。直线是曲线的特例。一个大圆与小圆的弯曲程度相比显然是小圆更湾些。我们想想什么是直线？如果一个圆的半径充分大是不是可以把圆看作一个直线，这是很显然的。也就是说直线是半径无穷大的圆。圆也可以说成是曲率为零的曲线。这就是在数学家具有哲学家的眼光，用辩证的观点看待问题。
曲率这个概念也来源我们现实生活。在生活中我们都有一下几种意识：
一，由于直线是毫无弯曲的曲线，它的曲率处处应该等于零。
二，圆是一条均匀的曲线，他的曲率应该处处相同；
三，在一条曲线上，弯曲厉害的地方，那里的曲率应该很大。
四，，对于一条平面曲线，还要考虑朝哪一边弯曲的问题。
基于以上四点，数学家们给曲率下了定义。这就是说数学家给出一个概念都不是凭空捏造的，是有生活背影的，而且还在满足或符合人们在此生活背影下的认识。
为了讲的更清楚，我们需要引进一个概念就是切向量，如果大家不好理解，就理解为垂直于圆半径的向量。空间曲线在一点处的切向量对于弧长的旋转速度来定义曲线在一点的曲率。易见，旋转速度越快，这点的曲率的弯曲程度越大。曲率的几何意义就是曲线的切向量对于弧长的旋转速度，当曲线在一点的弯曲程度越大，切向量对于弧长的旋转速度越大。
曲率还有自己的力学意义：一般我们是以弧长为自变量而以曲率为函数的即：k＝k（s）。大家知道速度是位移的一阶导数，加速度是是位移的二阶导数。在牛顿第二定律中，质点所受的力为F=mv2 k(s)N（s）.（这里的k（s）就是曲率。）其方向相合于N（s）主法向量（也就是指向圆心垂直于切点的单位向量，单位向量就是长度为1的有方向的线段）。我们从公式中可以看到：曲率越大，质点所受的力越大。这点我们是很有体会的，车在拐弯的时候，弯的愈很离心力越大。所拐的弯度越小，所受力越小。显然弯到一定程度就变成直线，由于直线的曲率是零，所以我们座在不拐弯的车上所受的离心力为零。
我们坐在车上，当汽车向左拐弯时，我们的身子是向右倾的，靠着车厢壁作用于人体的侧向推力才得以保持平衡，如果不计座垫的摸查力，这个推力就是mv2 k(s)，这是什么概念？这就是说我们虽然坐在车上，我们闭眼不看，我们也能根据这个推力的大小来估计公路各处的曲率大小。这就很伟大。坐在车上能知道路的弯曲程度，这是多么美妙的一件事。
在工程设计中曲率也是经常用到。例如：曲率可以用于铁路的轨道的铺设。在铁路的转弯处，如何把两条直的钢轨光滑的连接起啦？为什么要光滑连接呢？因为只有光滑连接才能使火车在转轨时所受阻力最小，才能使火车更加平稳运行。这点只要做过火车的朋友应该有体会。做一个半径为R的公切圆弧来连接两个直的铁轨。这方法是最简单的，自然简单的结果就是精度不高，其结果是切线连续，但曲率不在连续。在结合点处，直线的曲率为零，圆的曲率为R的倒数。当火车通过该点时，火车作用在铁轨上的离心力一下子从零跳到mv2/R.这种经常性的冲击力会对路基造成损害，自然对于坐在火车上的你一定有微微的振动——也可能你没有在意。但设计师们总是选用一段带有两个拐点的变化的曲率的曲线连接两直的铁轨，并让这两个拐点恰好作为结合点。用三次参数曲线可以解决这个问题。其实在造船业与汽车制造业中这种圆滑过度的曲线的应用是很多的（在工业中的弯头也是圆滑过度，其原因就是应力小），这也涉及到一门新的几何学分支——计算几何学。计算几何学在这方面中国的先驱是苏步青先生。这里不免多说几句：文革期间，大学教授兼中科院院士的大数学家的苏步青被下放到一个造船厂，苏先生在这里还是大有可为的——搞样板插值，边实践边研究。这有啥用？船的形状与阻力有关，圆滑光滑的形状阻力小，在水中节省能源或跑的快。想了解这个领域方面的朋友请参考：苏步青，刘鼎元著《计算几何》（上海科学技术出版社，1981年）
顺便说一下圆的曲率就是他半径的倒数。
曲率的计算问题。对于这个问题至少有两种方法。要根据实际情况。当给出的方程是非自然参数方程时（也就是说给出的参数方程不是以弧长为自变量的方程）这时可以用k＝弧长的一阶导数叉乘弧长的二阶导数的绝对值除于弧长一阶导数的绝对值的立方。以自然参数的曲线方程计算弧长时，直接就是弧长的二阶导数为曲率值或切向量的一阶导数为其曲率值。显然以弧长为自变量的曲率计算比较简单。
另一个就是挠率这个概念。决定曲线在一点处形状的或着说结构的另一个变量就是——挠率——专业术语是——副法线或密切平面离开弧长的旋转速度。它是反应曲线的扭曲程度的几何量。
在一个平面上的曲线只有曲率没有挠率，因为他没有离开它所在的密切平面。如果是空间曲线就不一样了。例如弹簧，在压得很紧的时候，它的每一圈都近似于平面曲线；放开之后，便同平面曲线的偏离变大了。为了描述这种偏离，我们将用到密切平面的变化率，也就是利用密切平面的副法向量的变化率来描述。
挠率的几何意义就是曲线在一点处偏离相应的密切平面的程度。我们都见过螺丝钉与弹簧，其实在学理上这两个都成为圆柱螺线。圆柱螺线就是空间曲线。我们常说丝扣其实就是一圈一圈的上升的圆柱螺线。我们在拧螺柱的时候可以感受一方面是旋转，另一个方面是往里进。如果那位在工厂里做工的朋友应该知道钻床，钻头一般在砂轮机上磨成108度的大麻花钻，然后在钻床上钻孔，我们更能体会到这两种运动。在这两种运动中旋转运动是在同一个平面的运动，而往里进的运动是离开密切平面的运动，这个离开密切平面的运动的快慢就可以用用挠率衡量，越快挠率越大。我们知道螺丝钉分右旋与左旋，而挠率也是有方向的，与主法向量一致是正向，反之是负向。总之挠率是刻画曲线的扭转程度。
在一些大楼的楼梯是螺旋上升的形状。在公园里有一种螺旋滑梯供小孩玩的。圆柱螺线在大自然也是比比皆是的。例如葡萄藤是右旋的，啤酒花是左旋的。我们的DNA是右旋双螺旋结构，当然也有左旋的，但不太多。
挠率的定义是：曲线在一点的挠率为τ（s）＝γ的导数的绝对值，如果γ的导数与β符号一致，反之就是γ的导数的绝对值的相反数。挠率的绝对值是曲线的副法向量（或密切平面）对于弧长的旋转速度。这样我们就把曲率与挠率介绍完了。挠率曲线r＝r（s）关于其弧长的一阶导函数是单位切向量，但二阶导向量未必是单位向量函数，因为它的长度即曲线在一点处的曲率一般不等于1.然而它是垂直于单位切向量的。当曲率不等于0时，我们可以把弧长的二阶导函数规范为单位向量。这个规范后的单位向量就是主法向量N，切向量T与主法向量N的叉乘就是从法向量B。T.B,N是三个两两正交（垂直的）单位向量。这样就形成了一个单位正交标架。
下面介绍佛雷内公式：
dr/ds=
dα/ds=φ(s)β
dβ/ds=-φ(s)α +ψ(s)γ
dγ/ds=-ψ(s) β
这个公式是曲线论解题的一把钥匙。这些在做题中就可以体会到它的用处。这个公式是研究曲线几何性质的最重要的工具。
下面我们来利用特雷公式来研究空间曲线在一点临近的结构，这里空间曲线是任意的光滑空间曲线，只要是光滑曲线都可以，这就很伟大了。因为这样做就可以把很多很多的光滑曲线都抽象化之后，我们只需要研究一条曲线就可以了，就等于研究了所有的曲线。在这里由于种种原因我只能用文字叙述一下任意光滑曲线在一点的临近结构：
一，曲线穿过密切平面与法平面，但不穿过从切平面。
二，主法线总是指向曲线凹入的地方。这个大家应该很好理解，就是一个圆上一点指向圆心这就是主法线的方向。
三，挠率的符号对双曲线影响就是左旋或右旋。
四，曲线在密切平面是抛物线。
五，曲线在法平面是半立方抛物线
六，曲线在从切平面是立方抛物体。
以上是任何光滑曲线在一点处空间投影到三个平面上的形状，具有普遍性。这就很好，就有普遍性就是放之四海而皆准。
随后很重要的一个问题是空间曲线论的基本定理。这个定理是很重要的。这个定理简单的一句话说就是：如果两条（任意多条也是一样）曲线在一点处的曲率与挠率相同，那么它在该点的结构或形状也是相同的，最多只相差一个位移而已。这就很神妙了，月球上的一根线与地球上的你的皮带只要处处的曲率与挠率相同，那么他们的形状就完全一样。
用比较正规的语言叙述就是：给定闭区间上的两个连续函数除了空间的位置差别外，唯一的存在一条空间曲线，使得参数s是曲线的自然参数，并且这两个函数分别是曲线的曲率函数与挠率函数。什么意思？两个以s弧长为参数的函数可以唯一的确定一条空间曲线（除了位置不同），这两个函数一定是一个是曲率函数，另一个是挠率函数。也可以这样说任何一条空间曲线是有曲率与挠率这两个几何量唯一决定的。只要给出曲线每点的曲率与挠率，我们就可以画出曲线的形状或计算出来。这样我们就建立了宇宙中所有曲线的数学模型——只需要两个概念就能完成的刻画一条曲线的几何性质，主要是形状，这很神奇。这就是数学的魅力所在。在罗嗦一句：曲线的曲率与挠率完全决定了曲线的形状。曲率为0时是直线，挠率为0是平面曲线。一张纸我们在上面画一条斜的直线，然后把这张矩形的纸卷成一个圆柱螺线。弹簧与螺丝钉就是圆柱螺线的典型代表。其实他们俩是一样的。
以上内容就是古典微分几何的曲线论部分大意。
微分几何之曲线论
微分几何是数学的一个重要的分支，在物理学，天文学等很多领域具有广泛的应用。微分几何的主要内容是三维空间的曲线论与曲面论。欧拉可以说是微分几何的重要奠基人，他早在1736年就引进了平面曲线的内蕴坐标概念，即以曲线弧长作为曲线上点的坐标，从而开创了曲线的内蕴几何的研究；曲面论的奠基人是19世纪的高斯，随后他的弟子黎曼开创了黎曼几何学。
例如爱因斯坦的广义相对论就是建立在黎曼几何的基础上的。没有黎曼几何提供的几何空间，就没有爱因斯坦的广义相对论。微分几何虽然是随着微积分的诞生而诞生的，但具有开创意义的贡献是欧拉作出的，这位老先生用截线法研究解析几何，更重要的是他也用这种方法来研究微分几何。具体来说一个复杂的几何图形，我们不知道它的内部结构，但是我们可以用刀切开他，这个刀是运动，这个刀切到物体的不同部位，得到的结果是不同的，有这些不同的结果我们就可以了解整个物体的大致结构。
我们生活在一个曲线的世界里，我们常说地平线，优美的曲线，水平线，一个绳子，一个皮带，一个椭圆等等吧，对了，我们的头发也是曲线，飞流直下三千尺的瀑布的每一个流速也是一个曲线。对还有我们铁路的铁轨在拐弯时的样子也是一个曲线。那么我要问你，刻画一条空间曲线需要几个概念就可以把曲线在一点处的形状描述出来？就是说把我们生活在三维空间地球上所有的曲线在一点的几何性质用几个概念就可以完全刻画出来？
其实于对这么纷繁复杂的世界的许许多多的曲线，我们只需要用两个概念就可以完全的描述出曲线在一点处的几何性质。
第一个概念就是曲率。曲率这个概念很简单，通俗的说就是曲线的弯曲程度。那么我问您直线的曲率是多少？直线有没有弯曲呢？显然是没有的。自然直线的曲率就是零。直线是曲线的特例。一个大圆与小圆的弯曲程度相比显然是小圆更湾些。我们想想什么是直线？如果一个圆的半径充分大是不是可以把圆看作一个直线，这是很显然的。也就是说直线是半径无穷大的圆。圆也可以说成是曲率为零的曲线。这就是在数学家具有哲学家的眼光，用辩证的观点看待问题。
曲率这个概念也来源我们现实生活。在生活中我们都有一下几种意识：
一，由于直线是毫无弯曲的曲线，它的曲率处处应该等于零。
二，圆是一条均匀的曲线，他的曲率应该处处相同；
三，在一条曲线上，弯曲厉害的地方，那里的曲率应该很大。
四，，对于一条平面曲线，还要考虑朝哪一边弯曲的问题。
基于以上四点，数学家们给曲率下了定义。这就是说数学家给出一个概念都不是凭空捏造的，是有生活背影的，而且还在满足或符合人们在此生活背影下的认识。
为了讲的更清楚，我们需要引进一个概念就是切向量，如果大家不好理解，就理解为垂直于圆半径的向量。空间曲线在一点处的切向量对于弧长的旋转速度来定义曲线在一点的曲率。易见，旋转速度越快，这点的曲率的弯曲程度越大。曲率的几何意义就是曲线的切向量对于弧长的旋转速度，当曲线在一点的弯曲程度越大，切向量对于弧长的旋转速度越大。
曲率还有自己的力学意义：一般我们是以弧长为自变量而以曲率为函数的即：k＝k（s）。大家知道速度是位移的一阶导数，加速度是是位移的二阶导数。在牛顿第二定律中，质点所受的力为F=mv2 k(s)N（s）.（这里的k（s）就是曲率。）其方向相合于N（s）主法向量（也就是指向圆心垂直于切点的单位向量，单位向量就是长度为1的有方向的线段）。我们从公式中可以看到：曲率越大，质点所受的力越大。这点我们是很有体会的，车在拐弯的时候，弯的愈很离心力越大。所拐的弯度越小，所受力越小。显然弯到一定程度就变成直线，由于直线的曲率是零，所以我们座在不拐弯的车上所受的离心力为零。
我们坐在车上，当汽车向左拐弯时，我们的身子是向右倾的，靠着车厢壁作用于人体的侧向推力才得以保持平衡，如果不计座垫的摸查力，这个推力就是mv2 k(s)，这是什么概念？这就是说我们虽然坐在车上，我们闭眼不看，我们也能根据这个推力的大小来估计公路各处的曲率大小。这就很伟大。坐在车上能知道路的弯曲程度，这是多么美妙的一件事。
在工程设计中曲率也是经常用到。例如：曲率可以用于铁路的轨道的铺设。在铁路的转弯处，如何把两条直的钢轨光滑的连接起啦？为什么要光滑连接呢？因为只有光滑连接才能使火车在转轨时所受阻力最小，才能使火车更加平稳运行。这点只要做过火车的朋友应该有体会。做一个半径为R的公切圆弧来连接两个直的铁轨。这方法是最简单的，自然简单的结果就是精度不高，其结果是切线连续，但曲率不在连续。在结合点处，直线的曲率为零，圆的曲率为R的倒数。当火车通过该点时，火车作用在铁轨上的离心力一下子从零跳到mv2/R.这种经常性的冲击力会对路基造成损害，自然对于坐在火车上的你一定有微微的振动——也可能你没有在意。但设计师们总是选用一段带有两个拐点的变化的曲率的曲线连接两直的铁轨，并让这两个拐点恰好作为结合点。用三次参数曲线可以解决这个问题。其实在造船业与汽车制造业中这种圆滑过度的曲线的应用是很多的（在工业中的弯头也是圆滑过度，其原因就是应力小），这也涉及到一门新的几何学分支——计算几何学。计算几何学在这方面中国的先驱是苏步青先生。这里不免多说几句：文革期间，大学教授兼中科院院士的大数学家的苏步青被下放到一个造船厂，苏先生在这里还是大有可为的——搞样板插值，边实践边研究。这有啥用？船的形状与阻力有关，圆滑光滑的形状阻力小，在水中节省能源或跑的快。想了解这个领域方面的朋友请参考：苏步青，刘鼎元著《计算几何》（上海科学技术出版社，1981年）
顺便说一下圆的曲率就是他半径的倒数。
曲率的计算问题。对于这个问题至少有两种方法。要根据实际情况。当给出的方程是非自然参数方程时（也就是说给出的参数方程不是以弧长为自变量的方程）这时可以用k＝弧长的一阶导数叉乘弧长的二阶导数的绝对值除于弧长一阶导数的绝对值的立方。以自然参数的曲线方程计算弧长时，直接就是弧长的二阶导数为曲率值或切向量的一阶导数为其曲率值。显然以弧长为自变量的曲率计算比较简单。
另一个就是挠率这个概念。决定曲线在一点处形状的或着说结构的另一个变量就是——挠率——专业术语是——副法线或密切平面离开弧长的旋转速度。它是反应曲线的扭曲程度的几何量。
在一个平面上的曲线只有曲率没有挠率，因为他没有离开它所在的密切平面。如果是空间曲线就不一样了。例如弹簧，在压得很紧的时候，它的每一圈都近似于平面曲线；放开之后，便同平面曲线的偏离变大了。为了描述这种偏离，我们将用到密切平面的变化率，也就是利用密切平面的副法向量的变化率来描述。
挠率的几何意义就是曲线在一点处偏离相应的密切平面的程度。我们都见过螺丝钉与弹簧，其实在学理上这两个都成为圆柱螺线。圆柱螺线就是空间曲线。我们常说丝扣其实就是一圈一圈的上升的圆柱螺线。我们在拧螺柱的时候可以感受一方面是旋转，另一个方面是往里进。如果那位在工厂里做工的朋友应该知道钻床，钻头一般在砂轮机上磨成108度的大麻花钻，然后在钻床上钻孔，我们更能体会到这两种运动。在这两种运动中旋转运动是在同一个平面的运动，而往里进的运动是离开密切平面的运动，这个离开密切平面的运动的快慢就可以用用挠率衡量，越快挠率越大。我们知道螺丝钉分右旋与左旋，而挠率也是有方向的，与主法向量一致是正向，反之是负向。总之挠率是刻画曲线的扭转程度。
在一些大楼的楼梯是螺旋上升的形状。在公园里有一种螺旋滑梯供小孩玩的。圆柱螺线在大自然也是比比皆是的。例如葡萄藤是右旋的，啤酒花是左旋的。我们的DNA是右旋双螺旋结构，当然也有左旋的，但不太多。
挠率的定义是：曲线在一点的挠率为τ（s）＝γ的导数的绝对值，如果γ的导数与β符号一致，反之就是γ的导数的绝对值的相反数。挠率的绝对值是曲线的副法向量（或密切平面）对于弧长的旋转速度。这样我们就把曲率与挠率介绍完了。挠率曲线r＝r（s）关于其弧长的一阶导函数是单位切向量，但二阶导向量未必是单位向量函数，因为它的长度即曲线在一点处的曲率一般不等于1.然而它是垂直于单位切向量的。当曲率不等于0时，我们可以把弧长的二阶导函数规范为单位向量。这个规范后的单位向量就是主法向量N，切向量T与主法向量N的叉乘就是从法向量B。T.B,N是三个两两正交（垂直的）单位向量。这样就形成了一个单位正交标架。
下面介绍佛雷内公式：
dr/ds=
dα/ds=φ(s)β
dβ/ds=-φ(s)α +ψ(s)γ
dγ/ds=-ψ(s) β
这个公式是曲线论解题的一把钥匙。这些在做题中就可以体会到它的用处。这个公式是研究曲线几何性质的最重要的工具。
下面我们来利用特雷公式来研究空间曲线在一点临近的结构，这里空间曲线是任意的光滑空间曲线，只要是光滑曲线都可以，这就很伟大了。因为这样做就可以把很多很多的光滑曲线都抽象化之后，我们只需要研究一条曲线就可以了，就等于研究了所有的曲线。在这里由于种种原因我只能用文字叙述一下任意光滑曲线在一点的临近结构：
一，曲线穿过密切平面与法平面，但不穿过从切平面。
二，主法线总是指向曲线凹入的地方。这个大家应该很好理解，就是一个圆上一点指向圆心这就是主法线的方向。
三，挠率的符号对双曲线影响就是左旋或右旋。
四，曲线在密切平面是抛物线。
五，曲线在法平面是半立方抛物线
六，曲线在从切平面是立方抛物体。
以上是任何光滑曲线在一点处空间投影到三个平面上的形状，具有普遍性。这就很好，就有普遍性就是放之四海而皆准。
随后很重要的一个问题是空间曲线论的基本定理。这个定理是很重要的。这个定理简单的一句话说就是：如果两条（任意多条也是一样）曲线在一点处的曲率与挠率相同，那么它在该点的结构或形状也是相同的，最多只相差一个位移而已。这就很神妙了，月球上的一根线与地球上的你的皮带只要处处的曲率与挠率相同，那么他们的形状就完全一样。
用比较正规的语言叙述就是：给定闭区间上的两个连续函数除了空间的位置差别外，唯一的存在一条空间曲线，使得参数s是曲线的自然参数，并且这两个函数分别是曲线的曲率函数与挠率函数。什么意思？两个以s弧长为参数的函数可以唯一的确定一条空间曲线（除了位置不同），这两个函数一定是一个是曲率函数，另一个是挠率函数。也可以这样说任何一条空间曲线是有曲率与挠率这两个几何量唯一决定的。只要给出曲线每点的曲率与挠率，我们就可以画出曲线的形状或计算出来。这样我们就建立了宇宙中所有曲线的数学模型——只需要两个概念就能完成的刻画一条曲线的几何性质，主要是形状，这很神奇。这就是数学的魅力所在。在罗嗦一句：曲线的曲率与挠率完全决定了曲线的形状。曲率为0时是直线，挠率为0是平面曲线。一张纸我们在上面画一条斜的直线，然后把这张矩形的纸卷成一个圆柱螺线。弹簧与螺丝钉就是圆柱螺线的典型代表。其实他们俩是一样的。
以上内容就是古典微分几何的曲线论部分大意。
微分几何是数学的一个重要的分支，在物理学，天文学等很多领域具有广泛的应用。微分几何的主要内容是三维空间的曲线论与曲面论。欧拉可以说是微分几何的重要奠基人，他早在1736年就引进了平面曲线的内蕴坐标概念，即以曲线弧长作为曲线上点的坐标，从而开创了曲线的内蕴几何的研究；曲面论的奠基人是19世纪的高斯，随后他的弟子黎曼开创了黎曼几何学。
例如爱因斯坦的广义相对论就是建立在黎曼几何的基础上的。没有黎曼几何提供的几何空间，就没有爱因斯坦的广义相对论。微分几何虽然是随着微积分的诞生而诞生的，但具有开创意义的贡献是欧拉作出的，这位老先生用截线法研究解析几何，更重要的是他也用这种方法来研究微分几何。具体来说一个复杂的几何图形，我们不知道它的内部结构，但是我们可以用刀切开他，这个刀是运动，这个刀切到物体的不同部位，得到的结果是不同的，有这些不同的结果我们就可以了解整个物体的大致结构。
我们生活在一个曲线的世界里，我们常说地平线，优美的曲线，水平线，一个绳子，一个皮带，一个椭圆等等吧，对了，我们的头发也是曲线，飞流直下三千尺的瀑布的每一个流速也是一个曲线。对还有我们铁路的铁轨在拐弯时的样子也是一个曲线。那么我要问你，刻画一条空间曲线需要几个概念就可以把曲线在一点处的形状描述出来？就是说把我们生活在三维空间地球上所有的曲线在一点的几何性质用几个概念就可以完全刻画出来？
其实于对这么纷繁复杂的世界的许许多多的曲线，我们只需要用两个概念就可以完全的描述出曲线在一点处的几何性质。
第一个概念就是曲率。曲率这个概念很简单，通俗的说就是曲线的弯曲程度。那么我问您直线的曲率是多少？直线有没有弯曲呢？显然是没有的。自然直线的曲率就是零。直线是曲线的特例。一个大圆与小圆的弯曲程度相比显然是小圆更湾些。我们想想什么是直线？如果一个圆的半径充分大是不是可以把圆看作一个直线，这是很显然的。也就是说直线是半径无穷大的圆。圆也可以说成是曲率为零的曲线。这就是在数学家具有哲学家的眼光，用辩证的观点看待问题。
曲率这个概念也来源我们现实生活。在生活中我们都有一下几种意识：
一，由于直线是毫无弯曲的曲线，它的曲率处处应该等于零。
二，圆是一条均匀的曲线，他的曲率应该处处相同；
三，在一条曲线上，弯曲厉害的地方，那里的曲率应该很大。
四，，对于一条平面曲线，还要考虑朝哪一边弯曲的问题。
基于以上四点，数学家们给曲率下了定义。这就是说数学家给出一个概念都不是凭空捏造的，是有生活背影的，而且还在满足或符合人们在此生活背影下的认识。
为了讲的更清楚，我们需要引进一个概念就是切向量，如果大家不好理解，就理解为垂直于圆半径的向量。空间曲线在一点处的切向量对于弧长的旋转速度来定义曲线在一点的曲率。易见，旋转速度越快，这点的曲率的弯曲程度越大。曲率的几何意义就是曲线的切向量对于弧长的旋转速度，当曲线在一点的弯曲程度越大，切向量对于弧长的旋转速度越大。
曲率还有自己的力学意义：一般我们是以弧长为自变量而以曲率为函数的即：k＝k（s）。大家知道速度是位移的一阶导数，加速度是是位移的二阶导数。在牛顿第二定律中，质点所受的力为F=mv2 k(s)N（s）.（这里的k（s）就是曲率。）其方向相合于N（s）主法向量（也就是指向圆心垂直于切点的单位向量，单位向量就是长度为1的有方向的线段）。我们从公式中可以看到：曲率越大，质点所受的力越大。这点我们是很有体会的，车在拐弯的时候，弯的愈很离心力越大。所拐的弯度越小，所受力越小。显然弯到一定程度就变成直线，由于直线的曲率是零，所以我们座在不拐弯的车上所受的离心力为零。
我们坐在车上，当汽车向左拐弯时，我们的身子是向右倾的，靠着车厢壁作用于人体的侧向推力才得以保持平衡，如果不计座垫的摸查力，这个推力就是mv2 k(s)，这是什么概念？这就是说我们虽然坐在车上，我们闭眼不看，我们也能根据这个推力的大小来估计公路各处的曲率大小。这就很伟大。坐在车上能知道路的弯曲程度，这是多么美妙的一件事。
在工程设计中曲率也是经常用到。例如：曲率可以用于铁路的轨道的铺设。在铁路的转弯处，如何把两条直的钢轨光滑的连接起啦？为什么要光滑连接呢？因为只有光滑连接才能使火车在转轨时所受阻力最小，才能使火车更加平稳运行。这点只要做过火车的朋友应该有体会。做一个半径为R的公切圆弧来连接两个直的铁轨。这方法是最简单的，自然简单的结果就是精度不高，其结果是切线连续，但曲率不在连续。在结合点处，直线的曲率为零，圆的曲率为R的倒数。当火车通过该点时，火车作用在铁轨上的离心力一下子从零跳到mv2/R.这种经常性的冲击力会对路基造成损害，自然对于坐在火车上的你一定有微微的振动——也可能你没有在意。但设计师们总是选用一段带有两个拐点的变化的曲率的曲线连接两直的铁轨，并让这两个拐点恰好作为结合点。用三次参数曲线可以解决这个问题。其实在造船业与汽车制造业中这种圆滑过度的曲线的应用是很多的（在工业中的弯头也是圆滑过度，其原因就是应力小），这也涉及到一门新的几何学分支——计算几何学。计算几何学在这方面中国的先驱是苏步青先生。这里不免多说几句：文革期间，大学教授兼中科院院士的大数学家的苏步青被下放到一个造船厂，苏先生在这里还是大有可为的——搞样板插值，边实践边研究。这有啥用？船的形状与阻力有关，圆滑光滑的形状阻力小，在水中节省能源或跑的快。想了解这个领域方面的朋友请参考：苏步青，刘鼎元著《计算几何》（上海科学技术出版社，1981年）
顺便说一下圆的曲率就是他半径的倒数。
曲率的计算问题。对于这个问题至少有两种方法。要根据实际情况。当给出的方程是非自然参数方程时（也就是说给出的参数方程不是以弧长为自变量的方程）这时可以用k＝弧长的一阶导数叉乘弧长的二阶导数的绝对值除于弧长一阶导数的绝对值的立方。以自然参数的曲线方程计算弧长时，直接就是弧长的二阶导数为曲率值或切向量的一阶导数为其曲率值。显然以弧长为自变量的曲率计算比较简单。
另一个就是挠率这个概念。决定曲线在一点处形状的或着说结构的另一个变量就是——挠率——专业术语是——副法线或密切平面离开弧长的旋转速度。它是反应曲线的扭曲程度的几何量。
在一个平面上的曲线只有曲率没有挠率，因为他没有离开它所在的密切平面。如果是空间曲线就不一样了。例如弹簧，在压得很紧的时候，它的每一圈都近似于平面曲线；放开之后，便同平面曲线的偏离变大了。为了描述这种偏离，我们将用到密切平面的变化率，也就是利用密切平面的副法向量的变化率来描述。
挠率的几何意义就是曲线在一点处偏离相应的密切平面的程度。我们都见过螺丝钉与弹簧，其实在学理上这两个都成为圆柱螺线。圆柱螺线就是空间曲线。我们常说丝扣其实就是一圈一圈的上升的圆柱螺线。我们在拧螺柱的时候可以感受一方面是旋转，另一个方面是往里进。如果那位在工厂里做工的朋友应该知道钻床，钻头一般在砂轮机上磨成108度的大麻花钻，然后在钻床上钻孔，我们更能体会到这两种运动。在这两种运动中旋转运动是在同一个平面的运动，而往里进的运动是离开密切平面的运动，这个离开密切平面的运动的快慢就可以用用挠率衡量，越快挠率越大。我们知道螺丝钉分右旋与左旋，而挠率也是有方向的，与主法向量一致是正向，反之是负向。总之挠率是刻画曲线的扭转程度。
在一些大楼的楼梯是螺旋上升的形状。在公园里有一种螺旋滑梯供小孩玩的。圆柱螺线在大自然也是比比皆是的。例如葡萄藤是右旋的，啤酒花是左旋的。我们的DNA是右旋双螺旋结构，当然也有左旋的，但不太多。
挠率的定义是：曲线在一点的挠率为τ（s）＝γ的导数的绝对值，如果γ的导数与β符号一致，反之就是γ的导数的绝对值的相反数。挠率的绝对值是曲线的副法向量（或密切平面）对于弧长的旋转速度。这样我们就把曲率与挠率介绍完了。挠率曲线r＝r（s）关于其弧长的一阶导函数是单位切向量，但二阶导向量未必是单位向量函数，因为它的长度即曲线在一点处的曲率一般不等于1.然而它是垂直于单位切向量的。当曲率不等于0时，我们可以把弧长的二阶导函数规范为单位向量。这个规范后的单位向量就是主法向量N，切向量T与主法向量N的叉乘就是从法向量B。T.B,N是三个两两正交（垂直的）单位向量。这样就形成了一个单位正交标架。
下面介绍佛雷内公式：
dr/ds=
dα/ds=φ(s)β
dβ/ds=-φ(s)α +ψ(s)γ
dγ/ds=-ψ(s) β
这个公式是曲线论解题的一把钥匙。这些在做题中就可以体会到它的用处。这个公式是研究曲线几何性质的最重要的工具。
下面我们来利用特雷公式来研究空间曲线在一点临近的结构，这里空间曲线是任意的光滑空间曲线，只要是光滑曲线都可以，这就很伟大了。因为这样做就可以把很多很多的光滑曲线都抽象化之后，我们只需要研究一条曲线就可以了，就等于研究了所有的曲线。在这里由于种种原因我只能用文字叙述一下任意光滑曲线在一点的临近结构：
一，曲线穿过密切平面与法平面，但不穿过从切平面。
二，主法线总是指向曲线凹入的地方。这个大家应该很好理解，就是一个圆上一点指向圆心这就是主法线的方向。
三，挠率的符号对双曲线影响就是左旋或右旋。
四，曲线在密切平面是抛物线。
五，曲线在法平面是半立方抛物线
六，曲线在从切平面是立方抛物体。
以上是任何光滑曲线在一点处空间投影到三个平面上的形状，具有普遍性。这就很好，就有普遍性就是放之四海而皆准。
随后很重要的一个问题是空间曲线论的基本定理。这个定理是很重要的。这个定理简单的一句话说就是：如果两条（任意多条也是一样）曲线在一点处的曲率与挠率相同，那么它在该点的结构或形状也是相同的，最多只相差一个位移而已。这就很神妙了，月球上的一根线与地球上的你的皮带只要处处的曲率与挠率相同，那么他们的形状就完全一样。
用比较正规的语言叙述就是：给定闭区间上的两个连续函数除了空间的位置差别外，唯一的存在一条空间曲线，使得参数s是曲线的自然参数，并且这两个函数分别是曲线的曲率函数与挠率函数。什么意思？两个以s弧长为参数的函数可以唯一的确定一条空间曲线（除了位置不同），这两个函数一定是一个是曲率函数，另一个是挠率函数。也可以这样说任何一条空间曲线是有曲率与挠率这两个几何量唯一决定的。只要给出曲线每点的曲率与挠率，我们就可以画出曲线的形状或计算出来。这样我们就建立了宇宙中所有曲线的数学模型——只需要两个概念就能完成的刻画一条曲线的几何性质，主要是形状，这很神奇。这就是数学的魅力所在。在罗嗦一句：曲线的曲率与挠率完全决定了曲线的形状。曲率为0时是直线，挠率为0是平面曲线。一张纸我们在上面画一条斜的直线，然后把这张矩形的纸卷成一个圆柱螺线。弹簧与螺丝钉就是圆柱螺线的典型代表。其实他们俩是一样的。
以上内容就是古典微分几何的曲线论部分大意。
微分几何之曲线论
微分几何是数学的一个重要的分支，在物理学，天文学等很多领域具有广泛的应用。微分几何的主要内容是三维空间的曲线论与曲面论。欧拉可以说是微分几何的重要奠基人，他早在1736年就引进了平面曲线的内蕴坐标概念，即以曲线弧长作为曲线上点的坐标，从而开创了曲线的内蕴几何的研究；曲面论的奠基人是19世纪的高斯，随后他的弟子黎曼开创了黎曼几何学。
例如爱因斯坦的广义相对论就是建立在黎曼几何的基础上的。没有黎曼几何提供的几何空间，就没有爱因斯坦的广义相对论。微分几何虽然是随着微积分的诞生而诞生的，但具有开创意义的贡献是欧拉作出的，这位老先生用截线法研究解析几何，更重要的是他也用这种方法来研究微分几何。具体来说一个复杂的几何图形，我们不知道它的内部结构，但是我们可以用刀切开他，这个刀是运动，这个刀切到物体的不同部位，得到的结果是不同的，有这些不同的结果我们就可以了解整个物体的大致结构。
我们生活在一个曲线的世界里，我们常说地平线，优美的曲线，水平线，一个绳子，一个皮带，一个椭圆等等吧，对了，我们的头发也是曲线，飞流直下三千尺的瀑布的每一个流速也是一个曲线。对还有我们铁路的铁轨在拐弯时的样子也是一个曲线。那么我要问你，刻画一条空间曲线需要几个概念就可以把曲线在一点处的形状描述出来？就是说把我们生活在三维空间地球上所有的曲线在一点的几何性质用几个概念就可以完全刻画出来？
其实于对这么纷繁复杂的世界的许许多多的曲线，我们只需要用两个概念就可以完全的描述出曲线在一点处的几何性质。
第一个概念就是曲率。曲率这个概念很简单，通俗的说就是曲线的弯曲程度。那么我问您直线的曲率是多少？直线有没有弯曲呢？显然是没有的。自然直线的曲率就是零。直线是曲线的特例。一个大圆与小圆的弯曲程度相比显然是小圆更湾些。我们想想什么是直线？如果一个圆的半径充分大是不是可以把圆看作一个直线，这是很显然的。也就是说直线是半径无穷大的圆。圆也可以说成是曲率为零的曲线。这就是在数学家具有哲学家的眼光，用辩证的观点看待问题。
曲率这个概念也来源我们现实生活。在生活中我们都有一下几种意识：
一，由于直线是毫无弯曲的曲线，它的曲率处处应该等于零。
二，圆是一条均匀的曲线，他的曲率应该处处相同；
三，在一条曲线上，弯曲厉害的地方，那里的曲率应该很大。
四，，对于一条平面曲线，还要考虑朝哪一边弯曲的问题。
基于以上四点，数学家们给曲率下了定义。这就是说数学家给出一个概念都不是凭空捏造的，是有生活背影的，而且还在满足或符合人们在此生活背影下的认识。
为了讲的更清楚，我们需要引进一个概念就是切向量，如果大家不好理解，就理解为垂直于圆半径的向量。空间曲线在一点处的切向量对于弧长的旋转速度来定义曲线在一点的曲率。易见，旋转速度越快，这点的曲率的弯曲程度越大。曲率的几何意义就是曲线的切向量对于弧长的旋转速度，当曲线在一点的弯曲程度越大，切向量对于弧长的旋转速度越大。
曲率还有自己的力学意义：一般我们是以弧长为自变量而以曲率为函数的即：k＝k（s）。大家知道速度是位移的一阶导数，加速度是是位移的二阶导数。在牛顿第二定律中，质点所受的力为F=mv2 k(s)N（s）.（这里的k（s）就是曲率。）其方向相合于N（s）主法向量（也就是指向圆心垂直于切点的单位向量，单位向量就是长度为1的有方向的线段）。我们从公式中可以看到：曲率越大，质点所受的力越大。这点我们是很有体会的，车在拐弯的时候，弯的愈很离心力越大。所拐的弯度越小，所受力越小。显然弯到一定程度就变成直线，由于直线的曲率是零，所以我们座在不拐弯的车上所受的离心力为零。
我们坐在车上，当汽车向左拐弯时，我们的身子是向右倾的，靠着车厢壁作用于人体的侧向推力才得以保持平衡，如果不计座垫的摸查力，这个推力就是mv2 k(s)，这是什么概念？这就是说我们虽然坐在车上，我们闭眼不看，我们也能根据这个推力的大小来估计公路各处的曲率大小。这就很伟大。坐在车上能知道路的弯曲程度，这是多么美妙的一件事。
在工程设计中曲率也是经常用到。例如：曲率可以用于铁路的轨道的铺设。在铁路的转弯处，如何把两条直的钢轨光滑的连接起啦？为什么要光滑连接呢？因为只有光滑连接才能使火车在转轨时所受阻力最小，才能使火车更加平稳运行。这点只要做过火车的朋友应该有体会。做一个半径为R的公切圆弧来连接两个直的铁轨。这方法是最简单的，自然简单的结果就是精度不高，其结果是切线连续，但曲率不在连续。在结合点处，直线的曲率为零，圆的曲率为R的倒数。当火车通过该点时，火车作用在铁轨上的离心力一下子从零跳到mv2/R.这种经常性的冲击力会对路基造成损害，自然对于坐在火车上的你一定有微微的振动——也可能你没有在意。但设计师们总是选用一段带有两个拐点的变化的曲率的曲线连接两直的铁轨，并让这两个拐点恰好作为结合点。用三次参数曲线可以解决这个问题。其实在造船业与汽车制造业中这种圆滑过度的曲线的应用是很多的（在工业中的弯头也是圆滑过度，其原因就是应力小），这也涉及到一门新的几何学分支——计算几何学。计算几何学在这方面中国的先驱是苏步青先生。这里不免多说几句：文革期间，大学教授兼中科院院士的大数学家的苏步青被下放到一个造船厂，苏先生在这里还是大有可为的——搞样板插值，边实践边研究。这有啥用？船的形状与阻力有关，圆滑光滑的形状阻力小，在水中节省能源或跑的快。想了解这个领域方面的朋友请参考：苏步青，刘鼎元著《计算几何》（上海科学技术出版社，1981年）
顺便说一下圆的曲率就是他半径的倒数。
曲率的计算问题。对于这个问题至少有两种方法。要根据实际情况。当给出的方程是非自然参数方程时（也就是说给出的参数方程不是以弧长为自变量的方程）这时可以用k＝弧长的一阶导数叉乘弧长的二阶导数的绝对值除于弧长一阶导数的绝对值的立方。以自然参数的曲线方程计算弧长时，直接就是弧长的二阶导数为曲率值或切向量的一阶导数为其曲率值。显然以弧长为自变量的曲率计算比较简单。
另一个就是挠率这个概念。决定曲线在一点处形状的或着说结构的另一个变量就是——挠率——专业术语是——副法线或密切平面离开弧长的旋转速度。它是反应曲线的扭曲程度的几何量。
在一个平面上的曲线只有曲率没有挠率，因为他没有离开它所在的密切平面。如果是空间曲线就不一样了。例如弹簧，在压得很紧的时候，它的每一圈都近似于平面曲线；放开之后，便同平面曲线的偏离变大了。为了描述这种偏离，我们将用到密切平面的变化率，也就是利用密切平面的副法向量的变化率来描述。
挠率的几何意义就是曲线在一点处偏离相应的密切平面的程度。我们都见过螺丝钉与弹簧，其实在学理上这两个都成为圆柱螺线。圆柱螺线就是空间曲线。我们常说丝扣其实就是一圈一圈的上升的圆柱螺线。我们在拧螺柱的时候可以感受一方面是旋转，另一个方面是往里进。如果那位在工厂里做工的朋友应该知道钻床，钻头一般在砂轮机上磨成108度的大麻花钻，然后在钻床上钻孔，我们更能体会到这两种运动。在这两种运动中旋转运动是在同一个平面的运动，而往里进的运动是离开密切平面的运动，这个离开密切平面的运动的快慢就可以用用挠率衡量，越快挠率越大。我们知道螺丝钉分右旋与左旋，而挠率也是有方向的，与主法向量一致是正向，反之是负向。总之挠率是刻画曲线的扭转程度。
在一些大楼的楼梯是螺旋上升的形状。在公园里有一种螺旋滑梯供小孩玩的。圆柱螺线在大自然也是比比皆是的。例如葡萄藤是右旋的，啤酒花是左旋的。我们的DNA是右旋双螺旋结构，当然也有左旋的，但不太多。
挠率的定义是：曲线在一点的挠率为τ（s）＝γ的导数的绝对值，如果γ的导数与β符号一致，反之就是γ的导数的绝对值的相反数。挠率的绝对值是曲线的副法向量（或密切平面）对于弧长的旋转速度。这样我们就把曲率与挠率介绍完了。挠率曲线r＝r（s）关于其弧长的一阶导函数是单位切向量，但二阶导向量未必是单位向量函数，因为它的长度即曲线在一点处的曲率一般不等于1.然而它是垂直于单位切向量的。当曲率不等于0时，我们可以把弧长的二阶导函数规范为单位向量。这个规范后的单位向量就是主法向量N，切向量T与主法向量N的叉乘就是从法向量B。T.B,N是三个两两正交（垂直的）单位向量。这样就形成了一个单位正交标架。
下面介绍佛雷内公式：
dr/ds=
dα/ds=φ(s)β
dβ/ds=-φ(s)α +ψ(s)γ
dγ/ds=-ψ(s) β
这个公式是曲线论解题的一把钥匙。这些在做题中就可以体会到它的用处。这个公式是研究曲线几何性质的最重要的工具。
下面我们来利用特雷公式来研究空间曲线在一点临近的结构，这里空间曲线是任意的光滑空间曲线，只要是光滑曲线都可以，这就很伟大了。因为这样做就可以把很多很多的光滑曲线都抽象化之后，我们只需要研究一条曲线就可以了，就等于研究了所有的曲线。在这里由于种种原因我只能用文字叙述一下任意光滑曲线在一点的临近结构：
一，曲线穿过密切平面与法平面，但不穿过从切平面。
二，主法线总是指向曲线凹入的地方。这个大家应该很好理解，就是一个圆上一点指向圆心这就是主法线的方向。
三，挠率的符号对双曲线影响就是左旋或右旋。
四，曲线在密切平面是抛物线。
五，曲线在法平面是半立方抛物线
六，曲线在从切平面是立方抛物体。
以上是任何光滑曲线在一点处空间投影到三个平面上的形状，具有普遍性。这就很好，就有普遍性就是放之四海而皆准。
随后很重要的一个问题是空间曲线论的基本定理。这个定理是很重要的。这个定理简单的一句话说就是：如果两条（任意多条也是一样）曲线在一点处的曲率与挠率相同，那么它在该点的结构或形状也是相同的，最多只相差一个位移而已。这就很神妙了，月球上的一根线与地球上的你的皮带只要处处的曲率与挠率相同，那么他们的形状就完全一样。
用比较正规的语言叙述就是：给定闭区间上的两个连续函数除了空间的位置差别外，唯一的存在一条空间曲线，使得参数s是曲线的自然参数，并且这两个函数分别是曲线的曲率函数与挠率函数。什么意思？两个以s弧长为参数的函数可以唯一的确定一条空间曲线（除了位置不同），这两个函数一定是一个是曲率函数，另一个是挠率函数。也可以这样说任何一条空间曲线是有曲率与挠率这两个几何量唯一决定的。只要给出曲线每点的曲率与挠率，我们就可以画出曲线的形状或计算出来。这样我们就建立了宇宙中所有曲线的数学模型——只需要两个概念就能完成的刻画一条曲线的几何性质，主要是形状，这很神奇。这就是数学的魅力所在。在罗嗦一句：曲线的曲率与挠率完全决定了曲线的形状。曲率为0时是直线，挠率为0是平面曲线。一张纸我们在上面画一条斜的直线，然后把这张矩形的纸卷成一个圆柱螺线。弹簧与螺丝钉就是圆柱螺线的典型代表。其实他们俩是一样的。
以上内容就是古典微分几何的曲线论部分大意。
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