众所周知,椭圆是一条封闭的曲线,而双曲线与抛物线都是有口的曲线,并且双曲线有两个分支,这点是阿波罗尼奥斯首先发现的,其他的很多的数学大家,例如阿基米德都认为双曲线只有一支.对于这个问题其实很简单,唯一值得注意的是当我们谈论这个问题是在射影空间或射影平面上讨论的.在欧式空间或欧氏平面添加了无穷远元素(无穷远点,无穷远直线,无穷远平面),对这些无穷远元素不加区分,等同看待时的空间或平面就是射影空间或射影平面.这样,双曲线的两个渐近线上的无穷远点是不同的无穷远点,当双曲线无限延伸时,该双曲线与两条渐近线愈来愈近,这两条渐近线经过无穷远点,这样双曲线就由于它的两个分支相交于无穷远点从而就成了封闭的曲线.在上文开普勒认为直线的两端相交于无穷远点.同样,当抛物线的两端无限延伸时,其斜度越来越接近的对称轴的斜度,可以近似的看作与对称轴是平行的,这样他们都交于同一个无穷远点,因此抛物线也是封闭的曲线.
杂谈射影几何
一切几何学都是射影几何.
——19世界英国数学家凯莱
第一节，什么是几何学?
这个问题很重要,无论是作为一名数学教育工作者还是作为数学专业毕业的学生来说.因为你的专业是数学,几何是数学很重要的一大分支.当别人问你什么是几何学时,如果你回答的很让外行人很不满意,这实在说不过去.
当然对于这个问题你也可以迂回的回答,与他们娓娓道来的说起几何学的历史.给他们说几何学最初是丈量土地的学问。埃及作为几何学的故乡最初就是丈量尼罗河泛滥后的土地多少而随之产生。然后说阿波罗尼奥斯是在射影几何的先驱,在高中课本的三种圆锥曲线最早就是他首先提出的.然后再说说毕达哥拉斯学派及欧几里德对几何学的贡献。你还可以讲到17世纪的笛卡尔与费尔马发现了解析几何，自此以后就可以用坐标的方法解决几何问题.向他们风趣的介绍笛卡尔虽然在数学上留下的定理很少，但他的解析的方法可以证明无数的定理，从中我们可以看到方法的重要性。你可以话锋一转，说就在与此同时射影几何也开始沿着古希腊阿波罗尼奥斯开辟的道路继续前行。给他们讲讲帕斯卡迪萨格在射影几何学上的所做的杰出贡献及到18世纪的庞赛列在监狱里开创几何学新天地的故事。19世纪克莱因用群的的观点来定义几何学。以及非欧几何学的产生等等。同时你还要介绍在我国最早是徐光启与伟列亚力翻译的《几何原本》。把射影几何学引进中国的是姜立夫先生。我国著名数学家苏步青先生对中国几何学的做出了巨大贡献。最后还要讲讲当代最伟大的数学家之一，大范围微分几何的奠基人陈省身先生对中国的乃至整个世界数学发展的影响。
当然现代意义上的几何学已经不再是中学课本里所说的研究空间物体的形状,位置,大小的学科能够概括的.几何学的很多分支已经失去了它最初的研究对象与范围.几何学的内容与其他的数学分支紧密联系融合在一起形成相互渗透的几何分支.例如代数几何学、代数拓扑学、微分拓扑学等等.中学课本对几何学的定义是有局限性的.那里所说的的几何学是静止的,一成不变的.几乎没有变换的思想.要知道我们现实生活的很多物体在不同的条件下都是由于变化的,运动的因而是不同.例如早上的太阳光下的物体的影子要比中午时的影子高.正方形的物体在光线的照射下会变成平行四边形甚至四边形.而中学的数学里的变换仅仅是平移、旋转、镜面反射等等.而没有说道仿射变换,射影变换等等.几何学的经典定义是1827年有德国数学家年龄只有23岁的克莱因在一个名字叫”爱尔兰根”的小城发表讲演时给出的.这篇演说被后人称为“爱尔兰根纲要”.该纲要对几何学的定义是:几何学是研究空间曲线在变换群下不变形质的一门学科.这里的空间是很一般的概念,可以认为是任何事物的集合.具体来说几何学所要研究的问题是两个:一个是研究几何对象对于变换群的等价分类:另一个是研究几何对象对于变换群的不变形质与不变量.这两个基本问题是密切相关的.举例来说:设p是具有某一性质的几何中的不变性质与不变量.如果两个几何对象中有一个具有这种性质,那么另一不具有这种性质的p,则这两种几何学对象显然在这种几何中必然是不等价的.
几何学是研究物体在某种变换群下的不变的性质.例如:我们在初中刚学习几何时要证明一些线段,角的是否相等,尤其是证明三角形在什么情况下全等,其实两个三角形全等就是这两个三角形在合同意义下至多相差一个刚体运动.也就是说两个全等的三角形,其中一个可以通过运动(平移、旋转或镜面反射等)来实现与另一三角形重合.
其基本不变性就是合同,基本不变量就是距离.而在仿射几何中基本不变性质是结合性平行性,基本不变量是单比.而在射影几何里基本不变性是结合性,基本不变量交比.
第二章，为什么要引进仿射等价类的概念?
数学中的很多概念都不是一个数学家可以完成的,而是几百年,甚至上千年的经过很多的数学家的一点一滴的努力,最终才算基本上完成的.数学上的很多的概念都是千锤百炼出来的,象函数的概念,经历了500年左右被很多的大数学家所定义.几何学家引进仿射等价类也并非是凭空捏造的,而是有她的实践与理论基础的.引进仿射等价类可以对几何图形根据其仿射性质进行很好的分类,以便更好的研究或解决我们生活中的实际问题.在欧氏几何中我们知道三角形按角的大小分类为:直角三角形,钝角三角形,锐角三角形.按边的大小可以分为等边三角形,直角三角形,等腰三角形及不等腰三角形等.这种分类的好处让我们知道了凡是等边三角形其三边都相等,三边都相等是所有的等边三角形的性质.这样我们就把所有的等边三角形的性质抽象出来了.当我门研究一个等边三角形的性质的时候其实就是研究了很多可以说是无穷多个等边三角形的性质,而不是一个一个的研究等边三角形的性质,如果那样的话我们子子孙孙虽无穷聩,但仍然研究不完.这就是在几何学中分类的好处.以上所说的是欧氏几何.其实仿射几何也是如此.仿射几何更为广泛与抽象.它把所有的三角形都归为同一个等价类.直角三角形与等边三角形等等所有的三角形统统是一类.有的朋友不免会说,为什么把所有的三角形统统化为同一个仿射等价类呢?是这样的,在仿射变换下所有的三角形的像都为三角形.这就告诉我们三角形的仿射等价类只能是三角形,而不会是平行四边形或其他几何图形.我们研究三角形的仿射性质时为了方便,就可以根据实际情况来拿不同的三角形来研究.那样的三角形研究起啦方便就用那样的三角形.例如我们证明三角形的三个高交于一点,这一仿射几何(因为该命题只与点线的结合性相关)命题时,我们不妨设是直角三角形.显然直角三角形的至少有两个高交于一点.我我们只需证第三条边上的高经过该点即可.这样我们就大大的简化了问题复杂性,从而使问题变得更容易解决.再例如所有的椭圆与圆都是一个仿射等价类.我们可以利用仿射等价类具有相同的仿射性质来进一步简化解题过程.例如求椭圆的面积公式就是利用仿射变换的性质,利用椭圆的仿射等价类圆来解决椭圆一些较为复杂的仿射性质.由于对于圆的一些性质的处理要优越于椭圆,因为它比椭圆简单,所以当我们遇见关于椭圆的有关性质的问题,常常转化为圆来解决是很方便的.从用仿射性质来推导出椭圆的面积公式的过程中我们可以看出比高中用解析的方法更简洁易懂,避免了繁杂的运算.比其用微积分的求解过程更直观通俗.
总之，引进仿射等价类可以更好的把复杂难处理的几何图形转化为它的较为简单的我们又很熟悉的仿射等级类来处理,这样可以大大的减化我们的解题过程.当然这里解决的只能是有关图形的仿射性质的,而不能是图形的度量性质.同理在射影几何中也存在着射影等价类.其作用与仿射等价类是一样的,在此不再多说.最后一点需要说明的是当我们在实际的教学实践中或数学研究中为了解决一个问题的需要也可以引进一些概念,数学不仅是客观世界的反映,同时它也是
第三节，为什么要引进中心投影？
在射影几何中,中心投影很重要,而作为平行投影仅仅是投影中心在无穷远点投影的一个特例.我们知道早在2000多年前阿波罗尼奥斯就把锥顶看作透视中心锥面母线看作投影线.但射影几何的创始人庞色列所要建立的是更为一般意义性的中心投影中心投影就是一个魔术师或照妖镜.它可以把两条相交于影销线上一点的两条相交直线投影为像平面为无穷远点的两条平行直线.作为圆锥曲线的像也是圆锥曲线,但需要主意的是作为三种典型的圆锥曲线之一的椭圆在中心投影之下的像可能抛物线,双曲线或椭圆,同样双曲线在中心投影之下也可以是这三种圆锥曲线之一.抛物线也是如此.这就是说这三种圆锥曲线在中心投影之下都是同一个射影等价类..我们划分射影等价类的依据也是以中心投影为工具或舞台,一个几何图像在该舞台上能变成什么样的图形,什么样的图形就是该图形的射影等价类.从这点我们可以看出射影等价类的重要性.如果没有中心投影我们的射影几何就无法建立.
第四节，为什么要引进无穷远元素?
这个问题是很重要的,在高等代数与抽象代数里,我们学过变换的概念.变换是一一对应的.而我们的射影几何是需要建立几何图形的像与原像之间的一一对应的.可是当我们建立中心射影时却发现影销点或影销线上无对应图像,或者说这些点或直线无像点或像直线.怎么办呢?方法至少有两种,其一就是在两个平面中去掉不同的直线,但问题是当我们要建立平面到平面间的许多个中心投影时,会把这两个平面搞的七零八落,很有损数学的美感,这实在是一种大煞风景令人很不愉快的事情.其实迪萨格就有这样的的想法,就是挖去原像平面上没有像点的直线.后来德国伟大的天文学家开普勒意识到既然可以在原像平面上挖去一条直线,为什么不可以在像平面上添加一条直线呢?于是我们第二种方法就是添加无穷远元素来建立几何图形之间的一一对应关系.后来的很多实践也证明了添加无穷远元素并非空穴来风,而是很有必要，也是很合理的.由于我们有了无穷远元素,我们研究问题更加方便.不仅如此在我们日常生活中也有引进无穷远元素的必要.当我们远离平行的铁轨时,会发现随着我们与铁轨距离的越来越远,远逝的平行的铁轨似乎在我们视线下变的越来越靠的很近,最后以至于两个平行的铁轨相交于一点,之后就消失在我们的视线之外.我们试想一下:当越来越远的两条平行的铁轨相交后消失之时,实际上可以认为那是在我们的视野之外的地方,自然可以认为是无穷远所在的地方.这个例子说明了数学是来源于现实生活的,是现实生活中很多现象的本质化,普遍化,抽象化.生活中不缺少数学真理,对于我们的眼睛来说关键在于发现.无穷远元素的引进在绘画方面还有重要的应用.当一位画家在画遥远的天际时,一般都用一条直线替代,这就是无穷远直线.在你的视野之内的所有的平行线在都相交于那条无穷远直线.这个例子同样说明无穷远元素的引入是扎根于我们现实生活,而不是画蛇添足.
总之,有了无穷远元素,在中心投影之下影销线上的点就可以找到像点与之一一对应,很多的几何问题可以在此基础上得到很好的解决.
第五节，双曲线与抛物线为什么是条封闭的曲线?
该问题很重要,尤其是当学到射影几何的后半部分,对自学者来说是相当困难的.因为那时三条圆锥曲线统一成封闭的椭圆,特别是一些简洁的教材更让初学者望而止步.
众所周知,椭圆是一条封闭的曲线,而双曲线与抛物线都是有口的曲线,并且双曲线有两个分支,这点是阿波罗尼奥斯首先发现的,其他的很多的数学大家,例如阿基米德都认为双曲线只有一支.对于这个问题其实很简单,唯一值得注意的是当我们谈论这个问题是在射影空间或射影平面上讨论的.在欧式空间或欧氏平面添加了无穷远元素(无穷远点,无穷远直线,无穷远平面),对这些无穷远元素不加区分,等同看待时的空间或平面就是射影空间或射影平面.这样,双曲线的两个渐近线上的无穷远点是不同的无穷远点,当双曲线无限延伸时,该双曲线与两条渐近线愈来愈近,这两条渐近线经过无穷远点,这样双曲线就由于它的两个分支相交于无穷远点从而就成了封闭的曲线.在上文开普勒认为直线的两端相交于无穷远点.同样,当抛物线的两端无限延伸时,其斜度越来越接近的对称轴的斜度,可以近似的看作与对称轴是平行的,这样他们都交于同一个无穷远点,因此抛物线也是封闭的曲线.
从以上我们可以得到:根据与无穷远点的关系把圆锥曲线化为三类:与无穷远点没有交点的或者说只有两个虚交点的是椭圆:与无穷远点有两个交点的是双曲线:与无穷远点有一个交点的是抛物线.这样,我们就把中学所学的三种圆锥曲线就统一在封闭的圆锥曲线这个框架内.这对一些问题的解决带来极大的方便.
由欧氏几何走向仿射几何,垂直这个概念已经没有意义了.一个典型的例子就是正方形在仿射变换下变成了平行四边形.这种垂直性遭到破坏是件好事还是件坏事呢?辩证的看待这个问题是很重要的.但有得必有失.我们得到了什么呢?上文说过可以把较为复杂的几何图像转化为它的较为简单的几何等价类来计算或证明,尤其是证明可以大大的得到简化.一些教科书上对椭圆面积在仿射变换下的求法显示了仿射几何的巨大威力.聪明的读者不免要问既然其垂直性遭到破坏,那么其面积体积等涉及到度量性质的问题是不是也遭到破坏?是这样的.我们可以举一例说明.三角形的面积等于二分之一的两边之积再乘于该两边夹角的正弦.由于在仿射几何学中由于垂直失去了意义,故其面积就无从谈起.
同样由仿射几何走向射影几何其平行性也遭到了破坏.也就是说在射影几何里没有平行直线这个概念,或任何直线都相交.但这并非坏事.我们可以站在一个更高的视野下得到射影等价类.在这种情况下正方形与没有一边是平行的四边形都是同一类.我们研究一般四边形的射影性质可以通过或转化为正方形或平行四边形来研究是很方便的.因为一般四边形千奇百怪,射影性质很难摸索到,但对于正方形或平行四边形来说我们是比较熟悉的,研究起来比较方便.从另一个角度来说我们数学的很多问题都是这样把一个复杂的问题转化为一个较为简单且我们又比较熟悉的问题,这是解决数学问题的一个通常的方法.例如我们研究微分方程组的解法通常把它转化为微分方程来研究.而对于微分方程我们又有一套成熟的解决方法.这样就很方便多了.在射影几何中凡是与椭圆、双曲线、抛物线等二次曲线有关的问题都可以通过转化为我们比较熟悉的圆来简化问题,从而使问题更以简便的方式解决.
总之我们几何学领域的扩大虽然失去了一些东西,但我们必须清楚的看到我们解决问题的方法更多,而且更简洁,思路更清晰.这是由于我们掌握了一个强大而有力的工具与我们拥有先进的数学思想作为指导.
第七节，高等几何用了哪些研究方法？
翻开任何一本当代高等几何或射影几何的教科书，我们都可看到用了很多的代数或解析几何的方法。例如迪萨格定理或帕斯卡定理证明可以用解析法。当然这里的帕斯卡定理是射影几何的帕斯卡定理，而不是物理上的或概率上的帕斯卡定理。可以说解析的方法是研究高等几何的最重要的方法之一。其实这也很正常。证明欧氏几何定理可以用解析几何的方法，为什么作为更高级的几何学射影几何学不能用解析的方法呢？不然我的高等几何高等到何处？当然射影几何也向欧氏几何一样用综合的方法。这两种方法都是研究射影几何的最有效的方法。在高等几何中，用齐次坐标来研究射影几何方法也是属于解析方法的一种。方法是很重要的。这就要求我们在教学与研究中重视方法的研究。
在高等几何中我们也看到有别于欧氏几何与解析几何的很多新概念，这些概念的引入是必要的对于研究射影几何。例如无穷远元素的引进。这不是那个数学大师头脑一发热就想出来的，而是在处理数学上的问题时一方面是很方便，另一方面是这种引进的概念与我们现实生活是吻合的。当然数学史上很多的数学家引进的概念很多，但大浪淘沙，一些概念没有经得起时间与实践的检验就被淘汰了，留下的当然是很重要的。因此在我们的教学与研究中为了解决数学问题而大胆的引进一些必要的数学概念。
还有仿射坐标的是建立在单比的基础上的，而那个倾斜的坐标系其实与笛卡尔费尔马的坐标系有何区别？显然如果没有坐标的引进，我们的射影的发展也是很缓慢的，从这点来说射影几何的发展来自于解析几何的坐标，其实这也是用解析的方法来研究射影几何。
最后我认为研究高等几何时要采用与解析几何对比的方法。对比是很重要的数学方法之一。在高等几何的二次曲线的射影理论中，很多的高等几何给出的数学概念与解析几何给出的数学概念虽然文字叙述上不一样，但反映的实质是一样的。通过对比可以加深我们对高等几何的认识。
我们还要认识到其它数学分支的重要性。解析几何我们就不用谈了。其实还有一个就是在研究射影几何时用了很多的线性代数中的一些工具，例如矩阵、行列式等。一些不动点与不动线的问题的解决所用的方法是线性代数里求特征值与特征向量的方法。
总之，射影几何告诉我们在实际的教学与研究中，我们要大胆的引进各种各样的方法来解决我们现实的数学问题。
第八节，一点观点
我个人认为:在一些综合院校不开设高等几何似乎是有谅可原的,但如果师范类院校不开设这门课则就是大错特错.高等几何是最美的数学分支,因为她有形体之美,一个圆,一个椭圆,一个阿基米德螺线等等,这不是抽象的,而是很具体的东西,这在我们日常生活中触手可及,举目就可以看到.我们常说某人长得很美,但这里的美应该是具体,可以看到的.我们在中学教学中要向学生宣传数学之美.最好的也是学生很容易接受的就是射影几何.另一方面是她离我们的现实生活是如此接近,这对从培养学生对数学产生兴趣是很有必要的,更重要的这对培养学生的具有较强的几何直观是很益的,并使学生很容易对数学上手.对学生的内心很可能会产生极大的震撼与兴趣.
以上所说是抛开我们的应试教育而谈的.从应试教育的角度来说更为重要.在中学,最主要的数学课程是代数与几何.解析几何仅仅是一种方法而已.而中学的欧氏几何学的爷爷是射影几何学,如何用射影几何学来更好的站在一个更高的观点下来指导我们的孙子辈的欧氏几何学的课堂教学，这是每个数学教师所必须面对的问题.我们常说给学生半桶水,我们要有一桶水.这句话虽然有些过时,但至今也不能说不正确.作为当代新时期的教师所具有的不仅仅是一桶水的问题,更重要的是水的质量也很重要的.这一桶水是污染过的还是深山老林的好水呢这都很重要。最重要的是引导学生发现更多的水源，这就是培养学生的创造力。射影几何不仅是数学教师必须具备的知识,更重要的是射影几何这桶水的质量很高,因为她具有先进的数学思想与方法.如果把欧氏几何比作一个静止的美女图片,那么射影几何则是大街上性感美丽动人回头率达到百分之百的运动的美女.我们不能局限于欧氏几何的框架,有种观点认为作为教师不懂射影几何也可以,只要把欧氏几何学好让学生都考很高的分数不就可以了吗?具有这种思想的人是很危险的.可以说不懂高等几何的人他的欧氏几何是不完善的,水平也高不哪里去.而且更重要的是我们要向学生讲授的不仅是是几何证明的几条辅助线,而是先进的数学思想与方法.甚至我们可以启发诱导学生自己产生这种先进的思想.今天数学工作者达成的一个共识是:数学思想优越于数学技巧。作为为一名数学教师更应该用先进的数学思想来武装自己,
总之,只有理解与掌握了高等几何的这门课，才能更好的对欧氏几何有更深刻的认识与理解,从而才能更好的从事我们的教学与研究工作.真诚的希望在一些师范院校的数学系开设高等几何学,,更好的服务于我们的数学课堂教学.
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