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第 38 卷第 2 期
Vol.38 NO.2
河北工业大学学报
JOURNAL OF HEBEI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY
2009 年 4 月
April2009
文章编号: 1007-2373 (2009) 02-0051-05
基于空间坐标的知识辐射场理论研究
王艳廷，高素英，金浩，郭军刚
(河北工业大学管理学院，天津 300130 )
摘要 在空间坐标系下，提出应用场的理论研究知识现象，界定了知识源、知识汇、散度、旋度等基本概念及知
识场的数学描述，建立了空间坐标下知识辐射场的数学模型，并以 Dirichelt 边界条件为例求解了知识的辐射过程.
关键词知识扩散场;知识源;知识汇;数学模型
中图分类号 F062.4
文献标识码 A
Study on the Knowledge Radiation Field in the Space Dimension
WANG Yan-ting, GAO Su-ying, J卧~ Hao, GUO Jun-gang
(SchoolofManagement, Hebei University ofTechnology, Tianjin 300130, China)
Abstract We advanced studying the knowledge with the field theory in space coordinate. We also defined the concepts
ofknowledge source, knowledge hole, divergence and curl ofknowledge field and gave their mathematical expressions
The mathematical model of knowledge radiation field inside the space dimension was built up. We took the Dirichlet
boundary conditions as a example to solve the procedure ofknowledge radiation.
Key words knowledge radiation field; knowledge source; knowledge hole; mathematical model
。 场的概念
在统一的物质世界中包含着无限多样的物质形态，场是其中的一种物质形态，它与物质的另一种形
态一-实物同时存在、密切相关.场与实物都具有一定的质量、能量和动量，其形式、结构、属性是多
种多样的.场也有许多种类型，物理场有电场、磁场、引力场等，社会场有文化场、经济场、知识场和
心理场等，它们之间相互联系着，又相互区别着 I14].
从数学的角度来定义场就是:具有空间函数关系的物理量就构成了该物理量的场.而所谓知识辐射
场，就是知识的辐射交换过程，是一系列表达知识特性的函数关系的集合 [5].
1 知识辐射场数学基本范畴
1.1 知识源与知识汇
知识源或称知识核，是知识辐射的发出者.知识源可以是某个个体 m， 也可以是某个 L.mi集体，也
可以是以一定密度 ρ 分布的形式.
知识汇，知识辐射的接受者.
知识源是产生知识场的激励，称为源量，而知识位等则是与其相对应的响应，称为场量.为了区分
源量与场量，采用加撇的符号表示源量，不力日撇的符号表示场量.在直角坐标系下源域坐标用加撇的符
号(x'， y', z') 表示，相应的点称为源点，用f 表示从坐标原点到源点的距离矢量，简称为源点矢量， e 为
空间坐标下的单位矢量.场域坐标用不加撇的符号 (x， y, z) 表示，相应的点称为场点，用 r 表示从坐
标原点到场点的距离矢量，简称为场点矢量.在此坐标系下源点矢量与场点矢量分别为
rJ=x'er+y'ey+z ez
、‘，/
-A
J''、
收稿日期 : 2009-03-03
基金项目:河北省教育厅人文社科项目 (2008235)
作者简介 z 王艳廷 0960-) ，男(满族) ，副教授.
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r = x ex + y ey + z ez
(2)
源点到场点的距离矢量用R表示，为
R = r- r'=(x-x')ex+(y-y' )ey+(z-z')ez=ReR
(3)
在其它坐标系下也可用类似的方法表示.显然，源点到场点的距离矢量R 既是场点矢量 r 的函数，
也是源点矢量r 的函数.
1.2 知识势
空间某一点知识辐射趋势的大小，用ψ来表示，它是一个标量.
若知识源是一个个体m， 设该知识源位于空间r处，则按照高斯定理，该知识源在位于空间 r 处的场
点(知识汇)所产生的知识位，一定与二者的距离R=r-r'=ReR 成反比，即
伊(叫=含1寸
(4)
式中系数κ 称为知识的转化率，表征知识中可以有传播可能的知识，是一个取决于知识场的传播介质
(知识的外生变量)即与传播环境相关的变量，当环境确定时，是一个常数.上式表明，在相同外界环
境下，知识源离知识汇越近，其辐射优势就越大.
2 知识辐射场的数学模型
2.1 知识辐射场的梯度特性与知识辐射强度
存在知识势差的地方一定有知识的辐射，用矢量知识辐射强度N(吟加以描述.这种辐射一定从知识
势高的点指向知识势低的点，根据矢量场理论可知知识辐射强度定等于知识位的负梯度[飞即
N(r)=- \l ψ(5)
由公式 (5) 及矢量↑百等式\1 ~-\l土=一上eR可知，对应于某一知识传播者而言，空间任意一点的
= -.,-....-" V R V
R R2
知识辐射强度
N(作忐'ieR可去r'12 eR
(6)
即，辐射强度的大小与距离的平方成反比，矢量的方向由知识源指向知识汇.
由于知识辐射场(以下简称知识场)中各因素的分布不同，并以不同的方式作用于知识场，不同的
区域表现出不同的状态，形成不同的梯度水平.知识辐射一般遵循梯度扩散规律，向梯度最小，辐射力
最大的方向扩散.
如果知识源和知识汇的知识势在一定范围内增大，说明两者知识水平差距增大，知识辐射增强:如
果二者的差距为零，表明知识源与知识汇知识水平相同，无知识辐射:如二者的差距趋于无穷大，即双
方的知识水平相差过大，就某项知识来说，表明知识吸收体无法消化吸收该知识，即所谓"曲高和寡".
对应于n 个知识群体及一定密度分布的知识源，相应的辐射强度为
N(r)= 主」」eκ= 担叫
i= 1 叫 r-r'|22=l ko|r-n
(7)
N(r)=土 fEL孚eRdV=土 f AzleRdV=土 f Pir')(r-r)d V
(8)
K0.bkkoLv|r-j|2KOJy|r-j|3
2.2 知识辐射场的宏观数学描述
对于知识场，可以定义单位体积内的知识强度的通量密度为知识密度矢量，用 T表示.由高斯通量
定理，在空间取一个封闭曲面 S ，穿过该由面的知识强度的通量一定为闭合面内所有知识量的总和，即
LTo dS=L mi
(9)
可见，一个区域，其蕴含的知识量越丰富，其知识密度矢量就越强.
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知识密度矢量 T 与知识辐射强度 N 之间的关系与传播知识的媒体密切相关.对于某个知识群体而
言，仍设其知识转化率为κ ，则有
T=1( N
、.，Y
AU
--i·
飞
显然，同样的知识，对于不同的汇即不同接收群体(如受过高等教育与只有小学教育的人)的理解、
接受能力是不同的，知识汇的个人与群体之间也会存在差异.此外，知识源的能力也会影响知识的传
播.对于不同传播环境知识转化率是不同的，二者的关系可表示为
Tx
1 1 1(11 1(12 1(131
fNx
Ty
1(21 1(22 1(23
Nr
、‘，，，
l '··A
，，.‘、
T, J l 1(3 1 1(32 1(33 J l Æ
由上述分析可见，知识在空间上的辐射，除了按距离的远近向临近区域辐射以外，还与接受知识的
能力或者说知识的辐射环境有关.
如果知识的辐射仅限于某个局部场域内自我辐射，而不与外界交流，仅是"纸上谈兵"，这种知识
是"死"的，静止的，那么知识从某点发出，经过任意一个通路回到该点，不对外辐射，就不会产生任
何经济利益.用数学方程描述该过程，为知识辐射强度N 沿空间任意一个闭合回路l 的线积分恒为零，即
~N.dl=O
(12)
该方程对应的微分形式为
V' xN=O
该方程表明，在一个与外界隔绝的空间内，知识的传播一定是从知识源(即知识的发布者，如学
校、科研院所等)出发，到知识汇(企业、社区等)截止，形成一种有头有尾，不与外界交流的传播模
式，这种知识场是静止的，也就是说，静止的知识场是无旋场.
知识场的产生受其内生因素和外生因素的影响，事实上，知识每时每刻都与知识的应用紧密相连，
其表现形式就是知识应用水平的提高促进经济的发展，反过来，大量人力、物力的投入也进一步促进、
激励知识的不断创新，这是由无数实践证明了的结论.
从经济的角度研究知识辐射，即由经济因素激发知识场，则设经济的投入量为B， 这是一个矢量，
其大小、方向都会影响经济场的空间分布.如果该矢虽是个常数，表明经济投入属于一次性，那么对知
识场的总体影响就比较小 [4]. 若该矢量是随时间变化的函数，则表明经济的投入是有计划、有规律的，
经济的投入率31势必对知识场产生持续不断的影响，形成知识场新的动力，或称之为附加场源，有
~N 俨(， ~丰 dS
(13)
式中 S 为闭合回路l 所界定的空间曲面.
由上述分析，即可得到描述知识场特性的积分方程组为
￠
|;1?
N . d 1 = I v'" ~ . d S
fsT'dS= :L. m,
(14)
T= 1(N
将高斯散度定理与斯托克斯定律应用于式(14) 可得知识场相应的微分形式方程为
V' xN=告
V' . T=ρ
(15)
T= 1(N
方程(14)、(1 5) 是描述知识场的不同形式的两种数学模式，其中积分方程是从宏观、广义的角度去
描述知识场的规律，而微分形式的方程组则给出了空间每一点的旋度源和散度源与知识场场量之间的对
应关系，即从微观、局部的角度描述了场域内每个点处场的特性.
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上述矢量微分方程是矢量形式的方程，很难求解.为此引入矢量位函数方法，令
B= \7 A
并引入洛伦兹规范\7.A=占1罢，式中系数σ为经济转化率，即与产生知识相关联的经济因素将上
面关系式及知识辐射强度与知识位的负梯度关系式 (5) 代入方程组(15) 可得到描述知识场的位函数达
朗贝尔方程
V21 82ω
ψ 一百五万?=-k
当知识势不随时间变化时，达朗贝尔方程即简化为泊松方程，即
\72ψ=-f
3 知识场的数学模型的求解及分析
(16)
(17)
知识势的达朗贝尔方程及泊松方程是泛定方程.只有给定了相应的定解条件，泛定方程才有惟一确
定的解.通常有 3 种类型的边界条件，对应如下 3 种边值问题[飞1)狄利克雷( Dirichlet )边界条件，
即给定边界 r上的电位值附; 2) 诺伊曼 (Neumann) 边界条件，即给定边界r 上电位函数的法向导函数
值~~ Ir; 3) 柯西 (Ca叫边界条件，即部分边界上给定电位函数值，部分边界给定其法向导数，即前
面两种边界条件的线性组合|叫ω羔v
当给定激励源及其边界条件后，就可通过求解相应的边值问题得到知识场的分布规律.
3.1 知识场边值问题的建立
根据柯布-道恪拉斯 (Cobb-Douglas) 生产函数，有:
m,= (yl-KIY / V -KIY / L1-K1Y) • (K1-KIY / yl-KIY) = (Y/ L )1-KIY • (K / L )1 -KIY
式中:卫为 t 时间知识激发的经济量 ; Y 为总产值 ;K 为固定资产净值 ;L 为人力资本投入 [7].
现以 Dirichlet 边界条件为例建立边值问题如下
\72ψ(rJ)-i 一主旦r， t)=_L
vσ K
3f
k
(18)
其中:ρ=归结
ψIr，叫 =ψm
rεr
3.2 边值问题的求解
先不考虑时间变化对解的影响，应用恪林函数并将ρ=lim些L 代入可以得到泊松方程的特解为
Y
AV-08V
f俨一士j肌I刀丑fJ肌Jv 专←dV=一t讪且ρ3在挣5←αaS寸fff，刀ffv仙V厅沟G句ωρ
(19)
方程的通解可通过相应的拉普拉斯方程得到，在二维情况下，拉普拉斯方程在圆柱坐标系( rc， 的下
的展开式为
7
/
~， 1 0 ( 0 ωì. 1 月2 ({J
\72rp(rc ， θ)τ瓦 l rc a叮叮对=。
利用分量变量法，设 \72rp(r句 θ)=R(rc)θ(θ，) ，展开上式有
该方程的通解为
1 d ( dRì ,
1 d2θA
rcR drc 俨可刁+百画百歹=υ
ψ (rc ， θ)= 三 (An 巧 +Bnr;n)( cn sinnθ+ Dncos n ())
n~l
式中n为自然数.将边界条件件，同叩m 代入上式，得
ψ(rc，θ)=士(ψmsin () + rpm COS的
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对更一般的情况，当激励源位于空间任意位置时，上式中的κ 应写作空间源与场点之间的距离R， 即
ψ(rc， B)寸(机sinB+lPmCOSθ)=J古(IPmsin B叩叫
(20)
利用叠加定理，将式(1 9)、式 (20) 可得泊松方程的解为
伊(rc，B)寸(IPm sinθ+伊mCOs作κ专=J古(IPm sinθ+伊mCOS B + K mt )
(刀)
考虑到时间的变化，令v=J辰，可将齐次达朗贝尔方程写做
,
1 月 2 (f)
\72ψ
v 万;; =0
i亥方程等价于
。2 (r，伊)
1 ð2 (rc ψ)
ð~
v
2
ðf
可见，是关于 (rclP) 的一维波动方程，它的解为
W帆，t)=万 (t一号)+五 (t斗)
上式第 1 项表示从激励源到观察点方向的辐射，第 2 项表示从观察点到激励源方向返回来的辐射.
R
当观察域足够大时，可以不考虑这种返回效应.式中的t7因子表明了场的波动性，函数 f 的形式取
决于激励.
由此，对应于所讨论的边值问题，通解 (21)对应的时域形式的解为
(
Rl
~.
(. Rl.~.
(. R
WcJJ)=E|ψml t一计∞sθ机 I t 一亏卡inB+Kmtl t 亏
J川|伊mft 乓Z二:qcoshm(t一与正4sinB叫t 咛1
结果表明，空间 r 处的知识势与扩散距离成反比，正比于其初始状态及其场源量.而且在 t 时刻的
知识势值，决定于t 旦时刻的场源值，而不是取决于t 时刻的场源值.这说明，知识的辐射是需要时间
V
的，即在时间上要滞后丑，这个滞后的时间取决于速度ν=J辰，通过加大技术的投入mt ， 提高知识转
v
化率为K 和经济转化率σ ，可以缩短滞后时间，提高知识辐射的强度.
4 结论
知识场的数学模型，为决策者从不同的角度提供了研究知识场分布特性的方法，针对其发展趋势的
研究表明，知识量是知识场通量的激励源，提高知识的总量是扩大知识场必不可缺的，因此要想提高企
业、乃至国家的竞争力，必须把知识的生产如教育、科技研发放在第一位，增加经济投入，增强知识源
的辐射强度，促进整个中华民族的文化复兴，真正实施科教兴国的伟大战略.
参考资料:
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[2] 刘希宋，喻登科.知识场与知识型组织的演化[J] 科技进步与对策， 2008 (3): 46-48.
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[6] 谢树艺
矢结分析与场论 [M]. 北京:高等教育出版社. 1985.
[7] 陈国宏，王吓忠.技术创新、技术扩散与技术进步关系新论[J] .科学学研究. 1995 (4): 68-74.
[责任编辑张颖志]
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