旋度 任何与γ1同伦的曲线相互同伦，这是一种传递性，就像热平衡能够传递一样——与一物等温的两个物体彼此等温; 首先考虑二维平面：想象一下平面向量场中水平（x轴）和竖直（y轴）分量分别是P（x，y）和Q（x，y）。即A＝P＊i＋Q＊j（i，j分别是水平和竖直方向地单位向量）。那么水平方向上地微增量dX会引起向量场A在竖直方向上地分量Q（x，y）地微增量dQ。这一变化会导致位于点（x，y）处的向量出现由x轴向y轴旋转地趋势，用右手定则判定，会出现一个垂直指向XOY平面外的向量。这个向量就是造成点（x，y）出现顺时针旋转地“漩涡源”（画一下图，可以很明显地看出来。）。同样地，dY会引起dP，但是依照右手定则方向与前者正好相反。那么点（x，y）在这两个“漩涡源”的作用下将如何“旋转”抑或是不旋转呢？很简单，将上述两个旋转向量相加即可。由于选用右手系，所以旋转向量为（（dQ／dX）－（dP／dY））＊k

任何与γ₁同伦的曲线相互同伦，这是一种传递性，就像热平衡能够传递一样——与一物等温的两个物体彼此等温

点线面与空洞，与拓扑学(1)

(2008-11-01 20:12:48)

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标签： 数学 代数拓扑学 科普

分类： 原创

点线面与空洞，与拓扑学(1)

一

　　莫比乌斯带(Mobius)与圆柱面，球面与平面，克莱恩(Klein)瓶，n维欧几里德空间，闵可夫斯基空间，弯曲空间，七桥问题，四色问题，庞加莱（Poincare）猜想，想必大家都相当熟悉这些名词，尤其是Poincare猜想，还是由我们学校的朱熹平老师作最后的完善工作的。

体态婀娜的Klein瓶

Mobius带，中国动画电影魔比斯环的原概念拉。那部电影很多场景都借鉴《指环王》和《魔兽争霸３》的CG……-____-

一个圆柱面

　　上面这些事物，都与拓扑学有说不清的牵扯；世界上到处都有着拓扑学的印痕。拓扑学是干什么的？拓扑学就是来分辨两个几何形体是否有本质上的差异，有什么样的本质上的差异。研究拓扑学，会发现如果两个东西没有本质上的差异，那么他们身上的一些量应当是相等的——这些是拓扑量。拓扑学就研究这些量的行为。比如高中熟知的V-E+F，对所有的正多面体表面都是２，但若这立体挖个洞，则此数必变。

　　还有一些看起来不跟拓扑有任何关系的事物，比如大一下学期的多重积分、线积分之类的物体，会碰到一些原点没定义（无穷大）的积分函数——这时就会算出积分有两种结果，取决于积分曲线或曲面是否包围原点；又如复变函数里头的1/(z-a)的环路积分，一样的情形。最后老师会讲到什么样的矢量场是一个函数的梯度——这时我们会碰到第一个拓扑词“单连通”。可以看到，高等数学憋了好久，慢慢吐出一个隐秘的事实——这些积分跟拓扑是有关系的。

　　积分是搭通分析学和拓扑学的桥梁。拓扑是数学和物理学学习中不可避免的阴影，即使你只一心一意求积分。

　　下面我们来看一些好玩的事情，当然是跟拓扑学有关的。

 

 

二

　　为什么球面和平面是不同的呢？第一个直观地印象就是球面是“闭合”的，平面不是；第二个印象是球面是有限的，而平面不是。
　　那么球面和环面呢？

　　球面是闭合的，环面是吗？是的。球面是有限的，环面是吗？很不幸也是的。那难道球面和环面是一样的？

　　那显然不可能。但不一样在哪里却并非显然地说出。科普遍地的今天，同学们当然知道差异在哪里——球面上的任何一条闭合曲线能够收缩起来成1点，但环面不能。如上图三条红线中，右侧的不规则闭合曲线可以收缩成一点，而另外两条则不能。这就指证了，球面和环面是不同的。

　　庞加莱猜想是很NB的猜想。说的是３维的、单连通的、闭合的空间，必为３维球面。前面３条红线的光辉事迹说的就是单连通性——球面是单连通的而环面不是。

　　这种“可收缩性”在拓扑学中应用巨大、前程似锦，看看搞庞加莱猜想的数学家们。下面我们谈论一下庞加莱猜想中提到的“单连通性”的代数拓扑层面的概念。

 

三

 

 

点线面与空洞，拓扑学的奇趣(加3P版)

 

    意识

　　前文再续书接上一回。

　　上回讲到了有一个洞的平面的闭合曲线同伦分类，发现有一个洞的平面同伦类结构恰似整数加法群那样，按绕圈正负向和圈数，从负无穷一直蔓延至正无穷。还发现了环上的闭合曲线分三大类，一大类平凡两大类不平凡，不平凡两大类内部细分成与带一洞平面一样的闭合曲线同伦类。

　　这里，我们将让同伦类之间发生关系，即建立类间运算，从而建立一个群结构。

　　从绕圈中可以想象，倘若我正向绕m圈，然后反向绕n圈，就相当于正向绕m-n圈。这是非常正常平凡的想法。这平凡的想法直接引导出类间运算。抽象出来，就是绕闭合圈的先继问题。

　　我们称呼闭合曲线为闭圈以简洁。把闭圈看成一个映射γ是自然的：即把闭圈参数化，以t为参数，γ：[0,1]→γ([0,1])，其中特别的是闭合性，γ(0)=γ(1)=x₀，让它首尾接起来。

 

　　假设γ(t)是绕一奇点m圈的闭圈，那么自然γ(-t)是绕奇点-m圈（即反向m圈）的闭圈，因为参数增加方向反向了。

　　假若γ₁和γ₂是两条起点终点相同为x₀的闭路，那么先走γ₁再走γ₂也是一条起点终点在x₀的闭路。标记这条合成闭圈为γ₁.γ₂。如图：

　　上图较胖的闭圈是γ₁，较瘦的是γ₂。于是γ₁.γ₂就是先走γ₁再走γ₂，从x₀出发，依次途经a、b，回到x₀，再至c、d，最后回到x₀，完成一个闭合路径。
　　闭圈γ₁和γ₂是用映射表示的，因此可以通过修改定义域来实现γ₁.γ₂的映射表示。事实上，映射γ₁（看成映射而不是看成映射后的闭合几何曲线）把[0,1]映射到单独一条闭圈γ₁（[0,1]）上，那么不妨让它的辖区（定义域）压缩到[0,0.5]，让γ₁把0.5映射为x，即参数t从0到0.5，γ₁就完成了一个完整的闭圈，再把剩余的[0.5,1]交给γ₂去映射，于是就实现了先走γ₁再走γ₂的旅程。
　　如上所述，合成闭圈γ₁.γ₂可以写成如下映射(分段函数)：
 

　　很明显地看到，上述定义的闭圈的合成结果还是一条闭圈。
　　正是这个特性，启发了我们继续把闭圈合成代数化。闭圈的合成，以后称为闭圈间的乘法，用符号*表示：γ=γ₂*γ₁，表示先走γ₁，然后走γ₂。乘法满足以下的优异特性：
　　１、闭圈乘以闭圈还是一条闭圈（不管怎么先后绕圈，也还是在绕圈）。
　　２、存在一条特殊闭圈，记作e，它是独点闭圈e(t)=x₀，它表示不绕圈。它的特性是与任何其他闭圈相乘都等于那条路径，即：先走γ(t)再走e，或者先走e(t)再走γ(t)，都相当于只走了γ(t)，因为e表示不绕圈。
　　３、任何一条闭圈γ，都有一条相反（逆）的闭圈γ^-1，满足γ*γ^-1=γ^-1*γ=e，e表示没有进行移动（先走一条闭圈，然后原路返回，就相当于没有走过），即独点闭圈。
　　４、乘法满足结合律：γ₃*(γ₂*γ₁)=(γ₃*γ₂)*γ₁
　　这种乘法（称为群运算）使得全体闭圈构成的集合成为一个群。
　　“群”是一个数学概念，向量空间（矢量加法作为群运算）是一个群，{-1,1}（实数乘法作为群运算）是一个群。准确的群的定义是：
***************************************************************************
　　群是一个集合G，加上在一起的运算 "."，它组合任何两个元素a 和 b 来形成指示为 a.b 的另一个元素。符号 "." 是给具体给出的运算比如上面的加法的占位符。要具备成为群的资格，这个集合和运算 (G, .) 必须满足叫做群公理的四个要求

1.	闭合。	对于所有 G 中 a, b，运算 a .b 的结果也在 G 中。b[?]
2.	结合律。	对于所有 G 中的 a, b 和 c，等式 (a . b) . c = a . (b . c) 成立。
3.	单位元。	存在 G 中的一个元素 e，使得对于所有 G 中的元素 a，等式 e . a = a . e = a 成立。
4.	逆元。	对于每个 G 中的 a，存在 G 中的一个元素 b 使得 a . b = b . a = e，这里的 e 是单位元。

*************************************************************************
 
　　上文讲了那么多很数学抽象的东西，一个主要目的是为了说明一个闭合圈乘法“不可交换特性”，这个不可交换性，等会画成pictures以后是非常容易理解的。
　　另外一个目的是为了引出一个观念：一个空间的拓扑结构，可以用前面引出的的同伦群（或者说，是全体闭合圈间的乘法结果）来刻画，庞加莱定理，就是这样的一个尝试，用n维球面的同伦群来完整刻画n维球面的拓扑。
 
　　首先是可收缩闭圈图；独点圈就是不绕圈，原地踏步。
　　注：下面的所有闭合圈的都必须从红点来，到红点去，闭圈不能整个脱离红点x0；若干子圈合成大圈时，则要保持结果合成圈的头尾都在红点上，而中间子闭圈则不要求头尾都连着红点x0。

 
　　然后是闭圈的合成（乘法），大体上有两种情况：一种是特殊情况，乘法顺序不紧要的（类似实数乘法a×b=b×a），一种是乘法顺序不可颠倒的（类似n×n矩阵乘法不可以颠倒，AB不等于BA）。后者是普遍情况，称为“同伦群乘法不可交换性”。
　　下面是两个简单例子，分别展示闭圈合成（乘法）特殊的可交换性，和普遍的不可交换性。（注：下面的闭圈都绕奇点转了，因此都不可以收缩起来）

　　（补充说明，合成过程中，先走的子圈的尾部和后走的子圈头部是在x0处相连的，但此连接点位于结果合成圈的中部，因此可以脱离红点x0）。
　　平面奇点、空洞的数量（即平面的拓扑）直接影响了乘法是否可以交换顺序，因此可以认为“平面的拓扑结构决定了闭圈乘法特性，闭圈的乘法特性（如是否可以交换）切实反映了平面的拓扑结构”


电磁场与电磁波第5讲旋度和旋度定理零恒等式亥姆霍兹定理-y

www.docin.com/p-734619567.html

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2013年12月3日 - ... 注意：在每一点P处都有无穷多的方向旋度d s ˆ s a d l P 回路（回路的绕行方向）与回路包围面（面法线方向）这两个方向之间的关系：右手规则8 J (1) ...

电磁场与电磁波第5讲旋度和旋度定理零恒等式亥姆霍兹定理-y

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2013年12月3日 - 若环量不等于零，说明闭合曲线内存在有旋源，这样的场称为旋涡场或有旋 ... 绕不同方向的方向旋度不相同， (2)有这样一个特殊方向，该方向的方向

 

运筹学解题指导 - 第 80 頁 - Google 圖書結果

https://books.google.com.hk/books?isbn=7302122806 - 轉為繁體網頁

2006

求空格检验数的方法有以下两种: U 闭回路法闭回路是指除起点和终点是同一空格以外, ... 有无穷多最优解,以该空格作闭回路,经闭回路法进行调整可得到另一最优解。

隨機網路:理論與案例研究: - 第 165 頁 - Google 圖書結果

https://books.google.com.hk/books?isbn=9571149683 - 轉為繁體網頁

薄喬萍 - 2007

冷丫五、界定網路迴路之處理方法隨機工作網路中經常有迴路工作發生,以下將討論 ... 之間題中,傳統的 GE 盯對於迴路工作,可允許其迴 路無窮多次計算,但在實際工作.

原谅我的脑回路吧........ - 百度贴吧

tieba.baidu.com/p/3589957107

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2015年2月16日 - 十四维空间理论证明尝试:首先，我们知道，十维空间是将无穷多种可能性叠加后，分化它们为独立个体继而整合而成的，那么，十一维空间将会是把十 ...

全电流定律_百度百科

baike.baidu.com/view/2569977.htm

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但是，以闭合回路为边界的曲面不是唯一的，原则上有无穷多个。也就是说，在稳恒电流情况下，对于以闭合回路为边界的所有曲面而言，安培环路定理总是成立的。

高电压试验技术 - 第 118 頁 - Google 圖書結果

https://books.google.com.hk/books?isbn=7302060339 - 轉為繁體網頁

张仁豫 - 2003

上边一排对地杂散电容,在充电结柬时电位都为 U 。但在回路放电时,每个对地的杂散电容都将充上新的电荷。 ... 它假定冲击电压发生器由无穷多个" T "型环节组成。

运筹学 - 第 88 頁 - Google 圖書結果

https://books.google.com.hk/books?isbn=7302004900 - 轉為繁體網頁

“运筹学”教材编写组 - 1990 - ‎Operations research

... 地产地销廿( 24 )格的请人量 6 是选择闭回路上具有(一 1 )的数字枯中的最小者·即 6 ... 表明例 1 有无穷多最仇解·可在表 3 七 0 中以( · 1 , 1 )为调人格,作闭回路( 1 , 1 ) ...

弹性理论基础(第2版)上册: - 第 57 頁 - Google 圖書結果

https://books.google.com.hk/books?isbn=7302045550 - 轉為繁體網頁

2001

并将曲线积分改为闭合的回路积分,就得到 A 点处用应变分量表示的三个( i 吕 l 3 )位移单值条件[e,,十Or,M)-x,) X (e。., -e,,., )]dx, = 0 (3.61)切口上有无穷多个质点,因而 ...

[DOC]N01

www.iaa.ncku.edu.tw/~jthchan/數據化控制/Note01.doc

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原本的運動方程式，，代表一個開迴路系統，這個系統的兩個極點，，其阻尼比大約只有，因此的震盪 .... 而要對連續(因此為無窮多)的數據進行運算，更是非常麻煩

高中生没专业学过，出错不负责]
wiki:（我只能看懂这些）
在三维直角坐标系Oxyz中，设向量场为[2]:8：

，

其中的分别是x轴、y轴、z轴方向上的单位向量，场的分量P、Q、R具有一阶连续偏导数， 那么在各个坐标上的投影分别为：

的向量叫做向量场A的旋度，也就是[1]:14：

旋度的表达式可以用也行列式记号形式表示[2]:4-5：

需要注意的是这里的行列式记号只有形式上的意义，因为真正的行列式中的系数应该是数而不是这样的向量。这种表示方法只是便于记忆旋度在直角坐标系中的表达式[3]。
感觉已经讲得很清楚了
物理意义：
（斯托克斯定理）当一个向量场的旋度是零时场为保守场，即闭合曲线上F点乘dl积分为零。物理上就是带着物体走一圈场做功为零，如重力场，电场（无磁通量变化）
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2楼

2013-11-17 01:57 预流果 | 只看Ta

把场想象成水面，旋度就是水面的一点是不是有漩涡。
如果这个点的小领域是有漩涡的，旋度不为零，漩得越快，旋度越大。

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3楼

2013-11-17 11:37 呜呱星人 | 只看Ta

老美的书里有一些比较直观的解释。可以去看看他们的新生微积分那类书。
大致是什么意思呢，我也就是个初学者水平，话说的也不是特别清楚。不过我还是可以稍微说说。
想像一个游泳池。进水口在此，排水口在彼。
面积分说的是啥呢？面积分说的是绕着这个进水管画一个封闭曲面，楼主就想象成球面最简单。忽略进水口与排水口连接的水管，认为水在进水口凭空产生，在出水口凭空消失。那么从内向外（由外向内则反）流过这个曲面的水量就可以大致理解为面积分的值。
现在我们来看，假设我们这个曲面画的不囊括进出水口，且水不可压缩，那么流进这个曲面的水必须流出去。流进多少就流出多少，流出多少就流进多少。正负相加，这个面积分得零。（质量守恒定律）
以上是宏观解释，我们再来看微观的（此处微观与分子原子无关，我们假设水是连续的）
场与法向量点积的面积分等于散度的三重积分（高斯-奥斯特罗格拉兹基散度公式）。流体力学的连续性方程告诉我们，密度对时间的导数加上流率的散度等于零。现在水不可压缩，密度不变，那么流率的散度也就是零。求三重积分肯定还是零。也即，面积分等于零。
以上是不囊括进出水口的情况，我们再来讨论复杂一点的，曲面内部有且只有一个进水口的情况（出水口一样，就是正的变成负的）。宏观上看，有水从内向外流出这个曲面。（不要忘记我们假设水在进水口处是凭空产生的）也即面积分大于零
微观上看呢，在进水口处流率（这个词是我胡编乱造的，因为我根本没有系统的学过流体力学）的散度大于零，在别处流率的散度等于零。那么三重积分积下来（如果把进水口想象成点的话就要用到dirac的delta函数，比较麻烦。所以在这里我就只说个大概意思）是大于零的，也即流量的面积分大于零。
再想像曲面囊括两个口，一个排水一个进水。好了，宏观上，我们发现假设假设排水口有点堵的话，进水就比排水多，面积分为正，反之亦然。微观上呢，进水口的散度就比排水口的散度绝对值大，一积分一叠加你就发现三重积分是正的，于是乎向外净流量也是正的。
再想像，这回不是两个三个进出水口了，想像他们是连续分布的。道理差不多，这个曲面里的水盛不下了就要往外跑，曲面里的水太少别出的水就要补进来。这就是高斯-奥氏散度定理。

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4楼

2013-11-17 11:50 呜呱星人 | 只看Ta

现在我们再想像，不是一个曲面，而是两个有一部分共用的封闭曲面。（就假设一个椰子被切一刀，切成的两半套上保鲜膜，再和起来。两片保鲜膜重合在一起）我们现在来计算穿过曲面甲，曲面乙以及曲面甲乙的面积分。在“椰子壳”处一切好说，而再保鲜膜处就有意思了：曲面甲在曲面乙的外部，反之亦然。于是乎保鲜膜甲处的外法向和同一点上保鲜膜乙的外法向相反，而流率是一样的，于是乎在保鲜膜上的面积分甲乙互为相反数。（这很正常，流出甲的水流入乙）于是乎在曲面甲乙上的面积分等于椰子壳上的面积分，不论有没有保鲜膜。
这样我们就可以把一个复杂的图形切割开，切割成简单的，无穷小的，然后把它们叠加起来求出整个积分，证明高斯-奥氏散度公式。

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5楼

2013-11-17 12:12 呜呱星人 | 只看Ta

我们再来看stokes公式。思路是差不多的，只不过这里都是伪向量。泡利的讲义有那么一段讲得还可以，就是张量拿过来就用我有点吓一跳。
我们这次来想象一下。。龙卷风。美国人民表示这玩意破坏力还是挺强的。这里的龙卷风呢，可以有各种不同的形状，方圆均可。风的每一点对应着一个力，这个力会对在这一点上运动的物体做功。（至于为什么小物件非要跟着龙卷风的形状走呢。。我不清楚。我们就要求他这样，或者可以给他一个约束力嘛，反正约束力又不做功。而且就算有别的什么力做功也算不到龙卷风头上）
我们还是先从没有龙卷风开始。没有龙卷风不代表没有力，就像没有进水口不代表没有水流一样。就说这个小物块受重力影响吧（牛顿引力场）可能还受电力影响（暂时忽略磁力，磁力比较复杂，但是其实从不做功）可能还受弹簧力影响。
我在重力场中，扔起一块石头，石头落在我手上。重力对石头并没有做功。在电场里仍起一个带电物体，又回来，仍不做功。实际上，这些场的共同点是：在其中运行的物体

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7楼

2013-11-17 12:16 卅貓 建筑学专业，分形艺术小组管理员 | 只看Ta

画图说好不好……

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8楼

2013-11-17 12:44 呜呱星人 | 只看Ta

接上面）这些场的共同特点是：对一个在其中运动轨迹为封闭曲线的物体做得总功为零。这些场叫做保守场。
总功是宏观解释，我们再来看微观解释。stokes公式说的是曲面上场的法向分量面积分（眼熟么？对了和前面那个只差2点，那就是这里的曲面不是闭合的。那里的曲面是个椰子，这里的曲面是张床单。那里是积分场自身，这里是积分他的旋度）等于场在曲面边界上切向分量的线积分。
保守场的旋度为零（关于保守场我们可以说很多，不过都等价）于是乎面积分为零，线积分为零。
我们把龙卷风加回来，绕龙卷风一周，龙卷风做功不为零。微观解释是龙卷风风立场不是保守的，旋度不为零，于是乎积分不为零，总功不为零。
后面的讨论与上面大同小异了，有一点不一样的就是在第二种情况，边界和曲面再给出的时候是没有定向的，而定向的规则是约定俗成而确定的。所以说这一点不用担心床单反过来也能铺的问题。

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9楼

2014-10-23 16:34 阿达X-Ray | 只看Ta

首先建议楼主：要想直观地理解旋度和散度地概念最好不要看国内的书尤其是教材。下面说一下我的理解。不全面，希望能帮到楼主。本人才疏学浅，以下内容尽量不会采用专业术语。
旋度：
首先考虑二维平面：想象一下平面向量场中水平（x轴）和竖直（y轴）分量分别是P（x，y）和Q（x，y）。即A＝P＊i＋Q＊j（i，j分别是水平和竖直方向地单位向量）。那么水平方向上地微增量dX会引起向量场A在竖直方向上地分量Q（x，y）地微增量dQ。这一变化会导致位于点（x，y）处的向量出现由x轴向y轴旋转地趋势，用右手定则判定，会出现一个垂直指向XOY平面外的向量。这个向量就是造成点（x，y）出现顺时针旋转地“漩涡源”（画一下图，可以很明显地看出来。）。同样地，dY会引起dP，但是依照右手定则方向与前者正好相反。那么点（x，y）在这两个“漩涡源”的作用下将如何“旋转”抑或是不旋转呢？很简单，将上述两个旋转向量相加即可。由于选用右手系，所以旋转向量为（（dQ／dX）－（dP／dY））＊k
其中的‘’d“应该是偏导数符号反写的”e“但是我没找到。”k“是z轴方向的单位向量（就是垂直指向纸外的方向）。
下面是3维的情况：向量场此时为A＝P＊i＋Q＊j＋R＊k
如上所述，XOY平面内求得的旋度是一个指向z轴的向量。同理得：指向x轴得旋度向量为（（dR／dY）－（dQ／dz））＊i ；指向y轴得旋度向量为（（dP／dZ）－（dR／dX））＊j 。
所以3为空间中得旋度向量为：（（dR／dY）－（dQ／dz））＊i ＋（（dP／dZ）－（dR／dX））＊j ＋（（dQ／dX）－（dP／dY））＊k 。
哈密顿算子的那个倒三角我敲不出来。
可以用右手形象的体验一下：将手掌伸平，四指指向x轴，y轴垂直与手掌竖直向上（好像手里托着一盘猜一样，OMG，我真佩服自己的想想像力！）设想以下，当dX沿x轴增长时，由于向量A沿y轴方向的增长dQ导致点（x，y）处的向量由x轴向y轴旋转，这时弯曲你的四根手指可以攥成一个拳头，大拇指的指向即旋度向量的方向。
dX同样也会引起水平分量变化dP，dY同样也会引起竖直分量变化dQ。怎么办？这个我就不知道了。不好意思。
散度比较简单，分别对三个变量的方向求偏导数。不说了。