梯度就是在告訴你,往上走這條路會最累;或是滾下去最快可以到地面的方向XD : 然而毫無疑問的 這兩個方向都跟等高線垂直,recall你剛剛的等高線, : 別忘了他是一個個圓圈,是算得出旋度的,每一點的旋度向量剛好就是這 : 每一點的切線方向,那這樣梯度跟旋度方向垂直, 旋度時，通常是在三度空間下討論 此時，純量場所形成的，則為等位 "面"，而非等位線

作者mgtsai ()

看板Physics

標題Re: [請益] 散度跟旋度

時間Sun Feb 22 01:54:53 2009

※ 引述《kamikaze0415 (will work for food)》之銘言： : ※ 引述《salvationist ( salvationist)》之銘言： : : 何以梯度場不具旋轉性 : 梯度就是在告訴你,往上走這條路會最累;或是滾下去最快可以到地面的方向XD : 然而毫無疑問的 這兩個方向都跟等高線垂直,recall你剛剛的等高線, : 別忘了他是一個個圓圈,是算得出旋度的,每一點的旋度向量剛好就是這 : 每一點的切線方向,那這樣梯度跟旋度方向垂直的特性就再明顯不過了... : then,你當然可以推廣到任意形狀的等高線,上面每點的切線仍然跟該點的旋度方向相同 : 而與梯度方向向量垂直,這就說明了scalar field的梯度為何不旋轉了... : 因為這每一個點上的梯度方向向量就很自然的跟切線方向垂直,所以當然是不旋轉的! 我想，這部分的推演有點問題 原po的問題是在問，為何純量場取梯度後的向量場，再取其旋度場，其值為零 以數學表達之，即 ▽x(▽Ｖ) = 0 可以仔細推敲一下旋度的定義，及其內含的物理意涵 旋度並不是用和等線平行這樣的概念去理解的 仁兄的解釋，是在二維空間上討論 這時，二維空間的向量場取旋度運算，其結果為純量場 在三維空間的向量場取旋度，其結果才是向量場 (嚴格來說，不是純粹的向量場，在物理上則是稱為 pseudo vector field) 在四維以上空間的向量場取旋度，其結果為二階外張量場 (以粗淺的圖象理解， 二維空間的旋轉，只有順時針/逆時針方向，所以只需一個數值來表達其旋轉程度； 而三維空間的旋轉，因為其轉軸為三度空間的某方向，故以向量表達三維空間旋轉； 而四維空間的旋轉，其旋轉軸則有六個分量，五維空間旋轉之旋轉軸有十個分量....) (總括而言，向量場取旋度，其值為二階外張量場，只不過 二維空間的二階外張量空間與純量空間同構，在二維空間向量場取旋度，視同為純量場 三維空間的二階外張量空間與向量空間同構，在三維空間向量場取旋度，視同為向量場) 我們一般在討論旋度時，通常是在三度空間下討論 此時，純量場所形成的，則為等位 "面"，而非等位線 這時，整個物理圖象，與仁兄所討論的內容，則完全不同 ---------- 還有，▽x(▽Ｖ) = 0 等式，不單單只在三維空間成立 在任何維度 (二維，四維，五維.....)，上述等式亦成立 這條公式是非常強的定理 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 116.59.6.163 ※ 編輯: mgtsai 來自: 116.59.6.163 (02/22 05:12)

推 microball:推 不過對原PO可能太難XD 02/22 10:54

推 kamikaze0415:人家要的是"從數學或幾何角度看問題" XD 02/22 14:12

→ kamikaze0415:說錯了 是物理或幾何

 

 

 

我想，這部分的推演有點問題 原po的問題是在問，為何純量場取梯度後的向量場，再取其旋度場，其值為零 以數學表達之，即 ▽x(▽Ｖ) = 0 可以仔細推敲一下旋度的定義，及其內含的物理意涵 旋度並不是用和等線平行這樣的概念去理解的 仁兄的解釋，是在二維空間上討論 這時，二維空間的向量場取旋度運算，其結果為純量場 在三維空間的向量場取旋度，其結果才是向量場 (嚴格來說，不是純粹的向量場，在物理上則是稱為 pseudo vector field) 在四維以上空間的向量場取旋度，其結果為二階外張量場 (以粗淺的圖象理解， 二維空間的旋轉，只有順時針/逆時針方向，所以只需一個數值來表達其旋轉程度； 而三維空間的旋轉，因為其轉軸為三度空間的某方向，故以向量表達三維空間旋轉； 而四維空間的旋轉，其旋轉軸則有六個分量，五維空間旋轉之旋轉軸有十個分量....) (總括而言，向量場取旋度，其值為二階外張量場，只不過 二維空間的二階外張量空間與純量空間同構，在二維空間向量場取旋度，視同為純量場 三維空間的二階外張量空間與向量空間同構，在三維空間向量場取旋度，視同為向量場) 我們一般在討論旋度時，通常是在三度空間下討論 此時，純量場所形成的，則為等位 "面"，而非等位線 這時，整個物理圖象，與仁兄所討論的內容，則完全不同 ---------- 還有，▽x(▽Ｖ) = 0 等式，不單單只在三維空間成立 在任何維度 (二維，四維，五維.....)，上述等式亦成立 這條公式是非常強的定理 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 116.59.6.163 ※ 編輯: mgtsai 來自: 116.59.6.163 (02/22 05:12)

推 microball:推 不過對原PO可能太難XD 02/22 10:54

推 kamikaze0415:人家要的是"從數學或幾何角度看問題" XD 02/22 14:12

→ kamikaze0415:說錯了 是物理或幾何