如果电场沿任意闭合路径的环流量都等于零, 则意味着电场力是一个
保守力, 可以用一个势能函数来描写电场. 但我们马上会知道, 不是所有电场的环流量都等
于零的. 原因是带电粒子受到电场作用而运动时, 它同时会改变电磁场. 这种反作用使得电
场对带电粒子的作用力不再是保守力
第三篇 电磁相互作用
138
第三篇 电磁相互作用
对电和磁的兴趣由来已久. 正式发表的关于电的第一条定量定律是库仑(Coulomb, 1785)
定律. 1820 年奥斯特 (Oersted) 发现通电导线对磁针有作用力. 毕奥-萨伐尔 (Biot-Savart)
确定了这个力正比于电流强度, 反比于导线与磁极的距离. 与此同时安培 (Amperè) 把磁性
归结为电流和电流的相互作用, 提出安培定律. 但安培被自己提出的分子电流假说所迷惑,
没能够发现电磁感应现象. 这个对形成电磁场概念至关重要的现象在 1831 年被法拉第
(Fraraday) 发现. 法拉引入的力线和场的概念意味深长. 他正确地指出电磁相互作用是通过
电磁场进行的. 麦克斯威 (Maxwell, 1865) 在此基础上建立了电磁场的完整理论——麦克斯
威方程, 并从理论上预言了电磁波（光）的存在. 这组优美的微分方程被认为是物理学和数
学完美结合的典范. 电磁相互作用是目前研究得最为透彻的基本相互作用. 这一学科的研究
成果是现代科技文明的基石之一. 电磁现象的应用奇迹般地改变了我们的生活, 并继续给我
们带来新的惊喜.
在麦克斯韦方程中包含着深刻的对称性. 其洛伦兹对称性孕育了爱因斯坦的狭义相对
论, 从而改变了人们对时空的理解. 电磁场与狭义相对论的这种特殊联系源于电磁场的零质
量特性. 我们将讲述电磁场在洛伦兹变换下的性质. 规范对称性1是通过四维电磁矢量的规
范变换反映出来的, 所以电磁矢量更深刻地描写了电磁场. 已经知道, 有些电磁现象不能用
电场强度和磁感应强度描写, 而需要用电磁矢量来描写.
本篇介绍电磁场的基本性质, 电磁场变化和传播的规律以及它和带电物质之间的相互
作用. 物质的电荷反映物质感受电磁作用的能力, 同时是电场的源. 除了带电荷的物质之外,
变化的电磁场本身也是电磁场的一种源. 目前还知道电子、质子和中子等粒子带有磁矩, 能
够产生磁场. 而电场和磁场是一个统一体——电磁场的两个侧面. 我们将在讲述中强调电磁
矢量和电磁场理论的对称性.
第七章 电荷与电磁场
我们以静止电荷相互作用力的实验事实为基础引入电场, 把电荷与电场的关系归结为
高斯定律. 通过讨论运动电荷之间的作用力进一步引进磁场, 并给出计算稳恒电流所激发的
磁场的公式. 电场和磁场都不是洛伦兹矢量. 在惯性系变换下, 他们没有简单的变换关系.
我们将引入矢势以描写磁场. 矢势为磁场的计算带来很大的方便, 而且由它引出的四维电磁
矢量是第十一章建立协变电磁理论的基本概念.
7.1 电荷的基本属性
关于电荷, 我们熟知以下基本实验事实.
（1）存在正、负电荷, 同性相斥, 异性相吸
其原因是基本粒子物理学企图弄清楚的基本问题之一.
1电磁相互作用的规范对称性被杨振宁和米尔斯 (Mills) 推广为建立强相互作用理论的基本原理. 沿着杨振
宁的思路, 温伯格 (Weinberg) 、萨拉姆 (Salam) 和格拉萧 (Glashow) 统一了电磁理论和弱相互作用理论.
按现代的观点, 电磁相互作用和统治原子核弱衰变的弱相互作用是一种称为电-弱相互作用的不同侧面. 把
139
（2）电荷不变性：一个系统的总电量不因系统内带电体的运动而改变
这个基本事实具有极高的准确性. 宏观物体中有无数带电粒子快速运动着, 但从来没
有观测到这种运动引起的电荷量的变化.
（3）电荷守恒：一个孤立系统的总电荷数目不变
无论系统内部发生什么变化, 其总电荷量的增（减）总是等于进入（离开）系统的电
荷数量；一个孤立系统的总电荷数不变.
（4）电荷量子化
与电和磁的对称性（对偶对称性）、磁单极有关？现在还不清楚. 电子电荷为 e；测量
任何系统得到的电荷都是 e 的正负整数倍；有间接实验证据表明, 夸克2电荷量可为正负
e/3 和 2e/3.
（5）静电荷之间的作用力和电荷间的距离平方成反比.
这是库仑从实验总结出来的第一条静电学的定量规律.
7.2 库仑定律和高斯定律
库仑定律（平方反比律）：若两点电荷 Q 和 q 静止, 则 Q 受到来自 q 的电力为
Q
3
0
4
r
qQ r
f
πε
=
（7.1）
它是一个反平方的中心力. 其中
0
ε 称为真空介电常数3.
q
库仑定律的内容还包括：两电荷之间的相互作用力不因其它电荷的存在而改变——迭
加原理.
库仑定律只适用于静止的电荷, 显然不是满足相对论协变性的普遍规律. 另外, 它所描
述的点电荷原则上是宏观意义下集中在很小范围的带电体的理想模型. 在微观层次, 确实存
在一些至今还不知道其半径的基本粒子（如电子）, 但严格意义的点粒子有严重的概念上的
困难. 虽然有这些疑问, 库仑定律直至原子核层次（
15
10
−
米）仍然适用.
为避免“超距”相互作用, 需要引入电场作为电相互作用的中介. 电场强度 )(x
E
给出
静止在 x 点的电荷 Q 所受的电力,
)(
)(
xE
xf
Q
=
（7.2）
其中 E 代表的电场不包括 Q 自己产生的电场. 通过上式测量电场强度时必须假定 Q（称为
试验电荷）对电场的影响可以忽略, 否则电荷受到的电力不象（7.2）式那样简单. 如果产生
电场的源是固定的, 那么无论试验电荷有多大, 它对电场都没有影响. 但如果产生电场的源
是分布在导体表面上的电荷, 电场就会受到试验电荷的干扰. 这时只当 Q很小时才能近似地
强、弱、电磁和引力四大相互作用统一起来的努力仍在进行中.
2 夸克(quark)模型是 M. Gell-Mann 提出的一种基本粒子模型（Phys. Lett. 8 (1964)214）. 按此模型, 所有参
加强相互作用的粒子都由三个基本粒子——夸克组成.
3 采用国际单位,
9
27
0
109
10
4/1
⋅
=
= − c
πε
（牛顿 米 2 /库仑 2, 或者 伏 米/库仑）. 其中 c 要看作等
于
8
103
×
的纯数.
r
140
用（7.2）式确定电场. 对宏观电场来说, 总可以找到足够小的电荷作为试验电荷, 因此电荷
对电场的干扰不构成大的困难. 但在原子尺度, 原则上不能固定任何粒子, 而且电荷是量子
化的, 试验电荷对电场的反作用变得非常突出. 这是电场概念的一个深刻困难.
根据（7.1）式, x′ 处点电荷 q 在 x 产生的电场为
3
0
4
)(
r
q r
xE
πε
=
(7.3)
其中 xxr′
−
=
. 对静止的连续电荷分布引入电荷密度 )(x′
ρ
, 在体积微元 xd′3
中的电荷量
为
xd′
′ 3
)(x
ρ
. 根据静电力的叠加原理, 电场也有叠加性. 静止电荷分布 )(x′
ρ
在 x
v 处产生
的电场为
xd
r
′
′
=
∫
3
3
0
)(
4
1
)(
r
x
xE
ρ
πε
(7.4)
记无穷小曲面为 sd , 称为面元4. 通过 sd 的电通量定义为
sxEd
d
⋅
=
Φ
)(
. 它反映电
场在面元方向的强度. 法拉第想出描写电场的一个形象方法——电力线. 这是一族带有方向
的曲线, 曲线每一点的切线方向和电场方向相同, 而曲线族的密集程度（准确地说是单位横
截面积的电力线数目）正比于电场的大小. 可以认为每条电力线带有相同的电通量, 而 n 条
电力线的电通量就是一条电力线的电通量的 n 倍.
r
S
Ω
q
考虑空间一任意区域 ∆, 为简单起见设它的边界曲面（记为 ∆
∂ ）是突的. 边界曲面的
一部分（S）对点电荷 q 所在位置张开的立体角如图 7-1. 区域外一个静止点电荷 q 在立体角
Ω
d 的电场有两次通过边界曲面 ∆
∂ , 一次通过面元 1
sd 进入区域 ∆, 另一次通过面元 2
sd 离
开区域 ∆. 利用几何关系
3
r
d
d
sr
⋅
=
Ω
可以求得通过两个面元的电通量分别为
4面积微元（简称面元） sd 的大小等于其面积, 方向为其法向. 面元是一个赝矢量, 因为它在空间转动中象
矢量一样转动, 但在空间反演时却保持不变, 而不象矢量那样反号.
图 7-1. 曲面 S 对电荷张
开的立体角Ω .
141
Ω
−
=
⋅
=
Φ
d
q
r
d
q
0
3
1
1
1
0
1
4
4
πε
πε
δ
sr
Ω
=
⋅
=
Φ
d
q
r
d
q
0
3
2
2
2
0
2
4
4
πε
πε
δ
sr
两者相加为零, 即区域外的单个电荷产生的电场通过区域表面的电通量为零. 由于电场的迭
加性, 区域外任意电荷分布产生的电场通过区域表面的总电通量等于零.
因此, 通过区域边界的电通量都是从区域内部的电荷发出的电场产生的. 考虑一个小的
体积微元 ∆内发出的通量
∆
=
Ω
∆
=
⋅
−
−
∆
=
⋅
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
′
−
′
−
′
′
=
⋅
=
Φ
∫∫
∫∫
∫∫ ∫
∫∫
∆
∂
∆
∂
∆
∂
∆
∆
∂
0
0
0
0
0
3
0
0
0
3
0
3
)(
4
)(
)
(
|
|
4
)(
|
|
4
)
)((
ε
ρ
πε
ρ
πε
ρ
πε
ρ
δ
x
x
s
xx
xx
x
s
xx
xxx
x
sE
d
d
d
d
d
（7.5）
第二行用了积分的中值定理, 0
x 为 ∆中某一点；第三行中的
3
0
0
|
|
)
(
xx
s
xx
−
⋅
−
=
Ω
d
d
是面元 sd
对
0
x 张开的立体角. 封闭面 ∆
∂ 对其中一点
0
x 张开的总立体角为 π4 .
数学上, 矢量场 E 的散度定义为
∫∫
∆
∂
→
∆
⋅
∆
=
⋅
∇
sE
E
d
1
lim
0
（7.6）
由(7.5)式知, 电场的散度正比于电荷密度,
)(
1
)(
0
x
xE
ρ
ε
=
⋅
∇
（7.7）
此为高斯定律. 在笛卡儿坐标中可以证明,
z
E
y
E
x
E
z
y
x
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
⋅
∇ E
（7.8）
可以把∇ 看作一个三维矢量（三维协变矢量）算符,
(
)z
y
x
zyx
∂
∂
∂
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
∇
,,
,,
（7.9）
后一式子是简化记号. 把（7.8）式当成是∇ 与 E 的点乘, 由此可以方便地计算电场的散度.
考虑任意一空间区域 V. 把 V 分成很多体积微元 xd3
, 每个体积微元向外发出的电场通
量由（7.5）式给出. 易见, 通过两个相连体积微元公共面的通量互相抵消, 故把所有体积微
元的通量加起来后, 只剩下通过整个区域边界曲面的通量
142
∫∫∫
∫∫∫
∫∫
=
Φ
=
⋅
∂
V
V
V
xd
d
d
3
0
ε
ρ
sE
其中 V
∂ 表示 V 的边界, 是一闭合的曲面, 通常称作高斯面. 设 V 内的总电荷量为 Q, 则由
上式得到高斯定律的积分形式,
0
ε
Q
d
V
=
⋅
∫∫
∂
sE
（7.10）
它是库仑定律的中心反平方力和叠加原理的后果（因此, 万有引力也有类似的高斯定律）. 数
学中有普遍的高斯公式,
∫∫
∫∫∫
∂
⋅
∇
=
⋅
V
V
xd
d
3
E
sE
（7.11）
它保证了（7.7）和(7.10)式的一致性. 把（7.11）代入（7.10）式, 考虑到 V 的任意性, 体积
分中的被积函数需要相等, 便得到高斯定律的微分形式(7.7)式.
高斯定律反映了电场和电场的源——电荷的关系. （7.10）式给出测量电荷的一种方法.
在空间范围 V 内的电荷量为
∫∫
∂
⋅
=
V
d
Q
sE
0
ε
（7.12）
1） E 是定域量, 可以在空间一点附近测量（而库仑定律中的 r 是非定域量）；
2） Q 与 V 内的电荷的运动状态无关（得到实验强有力的支持）.
高斯定律对运动的电荷仍然成立, 因此比库仑定律更普遍. 电荷量与电荷的运动无关
（电荷不变性）是一个非常深刻的观测事实, 它暗示电荷是标量. 这个事实完全决定了运动
电荷产生的电场的行为, 使高斯定律在任何惯性系成立, 并且对变化的电场也成立.
◆ 例 7-1. 设无穷大平面上均匀分布着电荷, 电荷面密度为σ . 求电场.
【解】系统的对称性使我们相信：电场垂直电荷平板；电场在平板两侧相同距离处有相同的
绝对值, 而方向相反. 作垂直平面的柱形高斯面如图 7-2.
根据高斯定律（7.10）式,
0
ε
σS
d =
⋅
∫∫sE
其中 S 为柱形高斯面的横截面面积. 只有上下底面电通量不为零, 每一底面的电通量等于
SE, 故
5 使用高斯定律确定电荷量的方法会遇到（7.2）式下面提到的困难.
143
0
2
ε
σS
SE =
, 即
0
2ε
σ
=
E
（例 7.1）
注意, 电场的大小和相距平板的距离无关.
■
◆ 例 7-2. 两片均匀分布着电荷的无穷大平面, 上下两片的电荷面密度分别为σ 和 σ
− . 求
电场.
【解】根据电场的叠加性,从上例易得本题结果. 上下面电荷产生的电场分别记为
+
E 和
−
E ,
它们在不同区域的方向如图 7-2. 由例 7-1 知
+
E
−
E
σ
+
E
−
E
σ
−
+
E
−
E
图 7-3. 两片平行带电板.
■
下面建立点电荷的数学模型. 设点电荷 q 处于 0
x . 在原点以外
0
xx
≠ , 有
0)(
=
x
ρ
（7.13）
在任意包含
0
x 的区域 V 对 )(x
ρ
积分
qxd
V
=
∫∫∫
3
)(x
ρ
（7.14）
为了描写点电荷的电荷密度分布, 引入称为δ 函数的广义函数 )(z
δ
.
δ 函数的定义：如果分布 )(
zg 对任意连续函数 )(
zf 使得下式成立,
)0(
)()(
fdzzgzf
∫
+∞
∞
−
=
（7.15）
则称 )(
zg 为δ 函数, 记为 )()(z
zg δ
=
.
满足定义（7.15）式的分布 )(
zg 不唯一. 由（7.15）式可以推导处δ 函数的以下性质：
0
2
||
||
ε
σ
=
±
E
总电场是两片电荷产生的电场之和. 所以, 在两
片平行板外侧电场等于零, 在平行板中间电场等
于
0
||||
ε
σ
=
+
=
−
+
E
E
E
（例 7.2）
144
1）若 L 为不包含
0
z 的任意区域, )(
zf 为任意连续函数, 则
0
)
()(
0
=
−
∫
L
dzzzzf
δ
（7.16）
2）若 L 为包含
0
z 的任意区域, )(
zf 为任意连续函数, 则
)(
)
()(
0
0
zf
dzzzzf
L
=
−
∫ δ
（7.17）
3）
)(
)(
z
z
−
= δ
δ
（7.18）
4）
)(
1
)(
z
a
az
δ
δ
=
（7.19）
其中 3）和 4）可以从性质 1）和 2）推导出来.
在三维空间, 常用三维δ 函数记号
)()()()(
zyx
δ
δ
δ
δ
=
x
（7.20）
若 V 为包含 0
x 的任意空间区域, 则
)(
)
()(
0
3
0
x
xxx fxd
f
V
=
−
∫∫∫ δ
（7.21）
否则上式等于零.
从（7.13）和（7.14）式可见, 处于原点的点电荷 q 的电荷密度可以用δ 函数表示为
)(
)(
x
x
δ
ρ
q
=
（7.22）
可以验证点电荷的电场（7.3）式满足高斯公式（7.7）式. 如果
0
≠
r
, 对（7.3）式求散
度,
0
4
4
3
3
3
0
3
0
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⋅
∇
=
⋅
∇
r
z
z
r
y
y
r
x
x
q
r
q
πε
πε
r
E
（7.23）
在包含原点的空间区域 ∆对电场的散度积分, 利用高斯公式得
∫∫
∫∫∫
∆
∂
∆
⋅
=
⋅
∇
sE
E
d
rd3
（7.24）
其中 ∆
∂ 是区域 ∆的边界曲面. 把点电荷产生的电场（7.3）式代入,
0
0
3
0
4
4
ε
πε
πε
q
d
q
r
d
q
d
=
Ω
=
⋅
=
⋅
∫∫
∫∫
∫∫
∆
∂
∆
∂
∆
∂
sr
sE
（7.25）
其中利用了面元 sd 对原点所张的立体角微元
3
r
d
d
sr
⋅
=
Ω
（7.26）
从（7.23）、（7.24）和（7.25）式可以看出,
)(
4
0
3
0
x
r
E
δ
ε
πε
q
r
q
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⋅
∇
=
⋅
∇
（7.27）
145
因此, 把点电荷的电荷密度取作（7.22）式和高斯定律(7.7)式一致.
物理上, 如果所关心的物理现象只与一小区域的总电荷有关, 而与电荷在这个区域的分
布细节无关, 就可以把小区域的电荷看作点电荷.
7.3 电流密度
设电荷的平均速度为υ , 则 dt 内穿过面元 sd 的电荷量：
dtd
dn
s
υ⋅
= ρ
ρ 为电荷密度. 定义电流密度
υ
j ρ
=
（7.28）
它在任意方向的投影等于单位时间通过该方向单位横截面积的电荷量.
若有多种电荷（带电粒子）, 则
∑
=
i
ii
υ
j
ρ
（7.29）
其中
i
ρ , i
υ 分别为第i 种粒子的电荷密度和平均速度.
根据电荷守恒定律, 在单位时间内流出一个区域表面的电荷量等于该区域总电荷量的
减少
∫∫∫
∫∫
∂
∂
−
=
⋅
∂
V
V
xd
t
d
3
ρ
sj
（7.30）
应用高斯公式, 可把左边写成
∫∫∫
∫∫
⋅
∇
=
⋅
∂
V
V
xd
d
3
j
sj
（7.31）
因为 V 是任意的, 所以有
0
=
∂
∂
+
⋅
∇
t
ρ
j
（7.32）
这是反映电荷守恒定律的连续性方程.
利用四维时空位置矢量
),,,(),,,(
4
3
2
1
ictzyx
xxxxx =
=
, 引入四维梯度算符,
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
∂
4
3
2
1
,
,
,
x
x
x
x
（7.33）
在坐标变换
x
x
′
→ 下
ν
µ
ν
µ
x
x
x
x
∂
∂
′
∂
∂
=
′
∂
∂
（7.34）
所以∂ 是一个四维协变矢量. 记
146
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
ρ
ic
j
j
j
j
3
2
1
（7.35）
连续性方程可写成
0
=
∂ µ
µ j
（7.36）
根据相对性原理, 代表电荷守恒的上式必须是协变的, 故 j 必须是四维矢量, 称为四维
电流密度矢量6. 在惯性系变换下, 它和时空位矢 x 一样变换, 因此三维电流密度和电荷密度
会发生混合.
7.4 静止电荷产生的电场
考虑二片无穷大平板（如图 7-4）, 电荷在∑参考系静止, 两板的电荷面密度为 σ
± . 利
用高斯定律可证, 在两平行平板间的电场为
0
/ε
σ
=
x
E
, 而在板外电场为零（例 7-2）.
X
Σ
- - - - - - - -
—
+ + + + + + + +
Z
Σ
Y
（a）
（b）
X′
----------------------
Σ′
+++++++++++++
υ
Σ′
Z′
（a）
（b）
6 设无穷小体积微元
x3
d 内的电荷为 dq , 则
i
i
i
dxdt
ddq
dt
dx
j
)
/(
/
3 x
=
= ρ
. 因为在惯性系变换中
dt
icd x3
变换的雅可比是等于 1 的洛伦兹变换矩阵的行列式, 所以
dt
icd x3
不变量. 又因为电荷 dq 不变,
所以
ij 和
i
dx 一样变换, 是一个四维矢量的前三个分量. 类似可知
4
4 ~ dx
j
是该四维矢量的第四个分量.
图 7-4. （a）两片无穷大平板；（b）平板上均匀分布着电荷, 电场垂直平板.
图 7-5. （a）在运动惯性系中观察平行平板；（b）运动惯性系中的电荷和电场分布.
+
147
在相对Σ 沿负 Z 轴方向以匀速υ 运动的惯性系Σ′中观测上述平行平板系统（图 7-5）. 因
为平行板是无穷大的, 每块板产生的电场在板的上方和下方分别是均匀的, 所以在 Σ′中两
板之间的电场仍垂直于平板, 电场大小仍正比于电荷面密度, 而两板之外电场为零.
根据相对论的洛伦兹变换公式, 沿运动方向的长度缩短一个因子
2
)/(1
/1
c
υ
γ
−
=
.
由于这个尺缩效应, 电极板的面积缩小一个γ 因子. 而电荷量与运动无关, 故电荷密度放大
为
γσ
σ =′
, 相应有 X 方向的电场
x
x
E
E
γ
ε
γσ
ε
σ
=
=
′
=
′
0
0
（7.37）
为了分析平行运动方向的电场的变换方式, 让我们考虑垂直于 Z 轴的一对无穷大平行平
板, 他们静止在惯性系Σ 中, 如图 7-6 所示.
在运动惯性系Σ′中只有沿 Z 轴方向的尺度收缩, 对电荷密度并无影响, 故沿运动方向
的电场不变
z
z
E
E =
′
（7.38）
X
X′
+ -
Z
Z′
Σ
Σ′
（a）
（b）
我们认为空间某处的电场是一种实在的客体, 与它的产生方式无关, 不依赖于电荷的分
布. 因此通过上述特例（平板电容器）得到的式子（7.37）和（7.38）式具有普遍意义. 惯性
系Σ 中的电场 )(
rE 在另一惯性系Σ′中显示出的电场可以写成
)(
)(
//
//
rE
rE =
′
,
)(
)(
rE
rE
⊥
⊥
=
′
′
γ
（7.39）
其中
//
E （
//
E′ ）是沿两惯性系相对运动方向的电场,
⊥
E （
⊥′E ）表示垂直两惯性系相对运
动方向的电场.
如果在惯性系 Σ 中同时有静电场
1
E 和
2
E , 总静电场为
2
1
E
EE +
=
, 则在惯性系 Σ′
中分别对应有电场
1
E′和
2
E′, 与 E 对应的电场为
2
1
E
E
E
′
+′
=′
.
图 7-6. （a）垂直 Z 轴的带电平行平板；（b）在沿 Z 轴方向运动的惯性系中.
148
需要特别强调的是, 即使 E 是惯性系 Σ 中总电场, E′ 也有可能只是惯性系 Σ′ 中电场
的一部分, 而不一定是惯性系Σ′中的总电场. 我们在 7.10 将看到, 除了惯性系Σ 中的电场
E 可以在惯性系Σ′中显示出（7.39）式给出的电场外, 惯性系Σ 中磁场 B 也会在Σ′中显示
出另一个电场, Σ′中的总电场是这两个电场之和. 只有当惯性系Σ 中的磁场等于零（其中所
有电荷都处于静止状态）时, （7.39）式给出的 E′才是Σ′中的总电场.
7.5 匀速直线运动电荷产生的电场
设电荷 q 静止于惯性系Σ 原点, 它在 r 产生的电场由库仑定律给出,
3
0
4
)(
r
q
πε
r
rE =
（7.40）
Z
z
z
eˆ
ϕ
eˆ
r
ρ
eˆ
Y
ϕ
ρ
X
后面的讨论用柱坐标方便一点. 在柱坐标中, 位置矢量
),,(z
ϕ
ρ
=
r
, 三个坐标的意义见图
7-7. 图中 ρ
eˆ 、
ϕ
eˆ 和
z
eˆ 是三个互相正交的单位方向矢量, 分别称为极径方向、极角方向、和
Z 轴方向.
静止电荷产生径向电场. 所以 q 产生的电场只有 ρ
eˆ 和
z
eˆ 方向的分量, 如图 7-8（a）.
ρ
eˆ
ρ
e′ˆ
ρ
E′
E′
ρ
E
E
r
z
E
r′
z
E′
q
z
eˆ
0
z′
z′
z
e′ˆ
（a）
（b）
易得
图 7-7. （a）电荷静止惯性系；（b）电荷沿 Z′轴运动.
图 7-7. 柱坐标.
θ′
ρ′
θ′
149
(
)2/32
2
0
2
0
4
cos
4
z
qz
r
q
Ez
+
=
=
ρ
πε
θ
πε
（7.41）
(
)2/32
2
0
2
0
4
sin
4
z
q
r
q
E
+
=
=
ρ
πε
ρ
θ
πε
ρ
（7.42）
设在Σ′中（图 7-8（b））, q 沿 Z′轴正向以匀速υ 运动（即Σ′坐标架沿 Z 轴负向运动）,
它产生的电场由上节给出
(
)2/32
2
0
4
z
qz
E
E
z
z
+
=
=
′
ρ
πε
（7.43）
(
)2/32
2
0
4
z
q
E
E
+
=
=
′
ρ
πε
ρ
γ
γ ρ
ρ
,
2
)/(1
1
c
υ
γ
−
=
（7.44）
令两坐标系原点重合
0
=′
=
zz
时
0
=′
=
tt
. 由洛伦兹变换得,
)
(
t
z
z
′
−′
=
υ
γ
,
ρ
ρ
′
=
（7.45）
代入前式, 得
(
)2/32
2
2
0
)
(
4
)
(
ρ
υ
γ
πε
υ
γ
′
+
′
−′
′
−′
=
′
t
z
t
zq
Ez
（7.46）
(
)2/32
2
2
0
)
(
4
ρ
υ
γ
πε
ργ
ρ
′
+
′
−′
′
=
′
t
z
q
E
（7.47）
在Σ′中, 电荷在时刻t′运动到
t
z
′
=
′ υ
0
,
0
0 =
′ρ
, 故 r′与 Z′轴的夹角满足
t
z
′
−′
′
=′
υ
ρ
θ
tan
（7.48）
它正好等于
z
EE′
′ /ρ
. 因此匀速运动电荷产生的电场仍然沿径向方向.
把（7.45）式代入（7.48）式得θ′和θ （ r 与 Z 轴的夹角）的关系
θ
γ
γρ
θ
tan
tan
=
=′
z
（7.49）
◆详谬：在两点
1r 和
2
r 同时测量电荷 q 产生的电场方向, 若
2
1
rrr
−
=
已知, 似乎便可在每
一瞬间确定电荷的位置. 参见图 7-9.
但根据相对论, 电荷 q 运动到哪里的信息是不能在瞬间传送到另一有限远的地方的. 问
题出在何处？
事实上, 上述测量并不能确定电荷的位置, 而只是在假设电荷保持匀速运动的前提下推
断出电荷在该瞬间的位置. 在t 时刻
1r 和
2
r 处的电场并非电荷 q 在该时刻产生的电场, 而是
t 以前匀速运动的电荷产生的电场. 所以, 如果电荷突然改变了速度, 与电荷有一定距离的
观测者是没有办法立即知道的.
150
)(1
rE
r
)(2
rE
1r
2
r
q
■
再来看看运动电荷产生的电场的强度,
(
)
3
2
2
2
2
22
2
2
0
22
2
2
2
2
)
(
1
)
()
4(
)
1(
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
′
+
′
−′
′
−
′
+
′
−′
−
=
′
+
′
=
′
ρ
υ
ρ
β
ρ
υ
πε
β
ρ
t
z
t
z
q
E
E
E
z
（7.50）
其中
c
υ
β =
（7.51）
用距离 r′和角度θ′表示, 电场强度为
(
)2/3
2
2
2
2
0
sin
1
1
4
θ
β
β
πε
′
−
−
′
=
′
r
q
E
（7.52）
可见, 角度越接近 90 度, 电场越强.
7.6 电场的旋度
当流体出现旋涡时, 其流线有明显的特征（图 7-10）. 数学上通过环流量来描写矢量场
的这种特征. 沿一条闭合路径的环流量定义为矢量场沿该路径的路径积分
∫ ⋅
=
Θ
l
d
l
lE
][
（7.53）
它与流线（电力线）分布和积分回路有关. 如果流线（电力线）是均匀分布的（图 7-10（a））,
则环流量等于零. 取闭合路径为旋涡的一条闭合流线, 如图 7-10（b）中间两流线圈之一, 则
环流量显然不等于零. 图 7-11 给出更多的例子.
（a）
（b）
从环流量的定义式（7.53）式可见, 环流量乘以试验电荷的电荷量就是电场沿一条闭合路
图 7-10. （a）平稳流；（b）涡旋.
图 7-9. 匀速运动点电荷在两点产
生的电场.
151
径对试验电荷做的功. 如果电场沿任意闭合路径的环流量都等于零, 则意味着电场力是一个
保守力, 可以用一个势能函数来描写电场. 但我们马上会知道, 不是所有电场的环流量都等
于零的. 原因是带电粒子受到电场作用而运动时, 它同时会改变电磁场. 这种反作用使得电
场对带电粒子的作用力不再是保守力.
A B
D E
（a）
（b）
（c）
（d）
为了反映电场在某一点附近的涡旋性, 通过该点取一小面元
ω
nsˆ
=
d
, 其中 nˆ
（ 1ˆˆ
=
⋅nn
）为面元方向单位矢量, ω 为面元的面积. 记面元的边界为 ω∂ . 定义电场
)(
xE 的旋度（记为
E
×
∇
）在 nˆ 方向的投影为
(
)
∫
∂
→
⋅
=
⋅
×
∇
ω
ω
ω
lE
nE
d
1
lim
ˆ
0
（7.54）
可以证明, 在笛卡儿直角坐标中, （7.54）式中的符号∇ 和（7.9）式给出的算符一样. 旋度
E
×
∇
可以看作∇ 和 )(
xE 的叉乘（保持微分算符总在电场的前面）,
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
=
×
∇
x
y
y
x
z
x
x
z
y
z
z
y
E
E
E
E
E
E
E
（7.55）
虽然旋度有大小和方向, 但是它和面积微元一样不是真正的矢量, 而是一种赝矢量（或
称轴矢量）, 它在空间反演下不变号.
因为静电力（库仑力）是中心力的叠加（每一个电荷产生的静电力是中心力, 总的静电
力是各个电荷产生的中心力的叠加）, 所以静电力也是保守力（参见第一章（1.28）式和附
录 1-3）. 由此可推知静止电荷产生的电场是一个无旋场, 即旋度等于零（图 7-12（a））,
0
=
×
∇ E
（7.56）
图 7-11. （a）均匀矢量场, 无源无旋；（b）非均匀, 有源无旋；（c）有
旋无源；（d）无源, 绕圆周的环流量不等于零.
152
运动电荷产生的电场却有不等于零的旋度.
Z
Z
（a）
（b）
根据（7.48）式下面的说明, 匀速运动电荷产生的电场仍然沿径向方向, 其强度与角度
有关（见（7.52）式）, 如图 7-12（b）所示. 为了看出运动电荷产生的电场旋度不等于零, 考
虑如图 7-12（b）虚线所示的小回路. 因为上下两弧线与电场正交, 所以沿上下两弧线的线
积分等于零；又因为运动电荷产生的电场与 Z 轴的夹角越小, 该电场越弱, 所以沿两段径向
路径的积分不能互相抵消（对静止电荷产生的电场却可以抵消）, 故沿该小回路的积分不等
于零, 因此电场在该处的旋度沿垂直纸面方向的分量不为零.
结论：运动电荷产生一个旋度不为零的电场.
7.7 电荷突然变速产生的电场
（1）突然加速
设电荷 q 在
0
<
t
的时间中静止在
0
=
z
处；在
0
=
t
的时刻, q 突然沿 Z 轴向右匀速运动.
根据定性分析结果, 电力线的分布如图 7-13 所示. 在画图 7-13 时, 我们遵从以下规则：在半
径
ct
R = 的球面以外, 电场仍为静止在原点的电荷产生的电场；球面内部的电场是匀速运动
电荷产生的电场；球面内每根电力线和球面外的一根电力线连起来, 过渡区是很薄的球壳,
厚度为电场（光）在电荷加速运动的时间内所走过的距离.
0
θ
0
ϕ
0 tzυ
=
ct
Z
电力线之所以连续是由于高斯定律. 可以认为每一条电力线带有一定数量的电通量, 象
一根刚性的杆子. 当电荷静止时, 电力线是均匀地指向各个方向的. 当电荷具有了速度后,
图 7-12. （a）静止电荷产生的电场；（b）运动电荷产生的电场.
图 7-13. 电荷在时刻
0
=
t
突然从静止变成匀速运动, 速度为υ . 实
线为电力线. 电力线绕 Z 轴转动对称.
153
它附近的电力线便向垂直 Z 轴的平面靠拢（仍保持为直线）. 短暂的加速时间形成一个很薄
的球壳状的过渡区, 它以光速向外扩张. 过渡区中有很强的横向电场. 利用高斯定律可以证
明球面内外电力线的角度关系
0
0
tan
tan
ϕ
γ
θ =
（7.57）
其中
0
ϕ 是静止电荷的电力线与 Z 轴的夹角, 0
θ 是运动电荷的电力线与 Z 轴的夹角. 这个关
系式和（7.49）式一致, 与运动刚性杆子的角度变化一样.
（2）电荷猝停
0
ϕ
0
θ
0 tzυ
=
ct
Z
若电荷 q 在
0
<
t
的时间中沿 Z 轴向右匀速运动, 而在
0
>
t
以后的时间里静止在
0
=
z
处.
依照和图 7-13 类似的原则画出这种情况的电力线分布如图 7-14. 静止电荷的电力线和运动
电荷的电力线的角度关系同样由（7.57）式给出. 我们看到, 静止的电荷开始运动后, 远处的
电场并不会马上发生变化. 而当运动的电荷停止之后, 远处的电力线象有自己的生命一样继
续运动. 这个图象使我们更加相信电场是独立于电荷而存在的客体.
7.8 相对论的力
本章余下各节将研究运动电荷受到的电磁力. 让我们先回忆狭义相对论关于力的公式.
在第二章, 我们引进了四维动量 P , 它的分量定义为
τ
µ
µ
d
dx
m
p
0
=
(7.58)
其中
0
m 为质点的静止质量, τ 为固有时. 固有时τ 和测量 P 所在惯性系的时间t有关系式
τ
γ dv
dt
)(
=
（7.59）
质点瞬时速度υ 的函数 )(υ
γ
定义为
( )2
/
1
1
)(
c
υ
υ
γ
−
=
（7.60）
四维力 Κ 的分量定义为
图 7-14. 电荷在时刻
0
=
t
突
然从匀速运动变成静止, 速
度为υ . 实线为电力线. 电
力线绕 Z 轴转动对称.
154
τ
κ
µ
µ
d
dp
=
(7.61)
静止质量
0
m 和固有时τ 都是洛伦兹标量, 在惯性系的洛伦兹变换下不变. 四维动量 P 和四
维力 Κ 都是洛伦兹矢量, 在洛伦兹变换下和四维位移矢量一样变换. 记 Κ 的前三个分量为
τd
dp
κ =
(7.62)
其中
τd
d
m
x
p
0
=
, 为相对论四维动量的前三个分量.
在相对论力学中, 我们仍保留力作为动量变化率的意义, 但动量要理解为相对论四维动
量的前三个分量, 即（三维）力定义为
κ
p
f
)(
1
υ
γ
=
=
dt
d
(7.63)
注意, 它不是四维矢量的前三个分量. 因此它在惯性系变换的方式要通过四维力的变换式和
（7.63）式得到.
四维力矢量是（7.61）式定义的 Κ , 它的第四个分量为
f
υ⋅
=
=
)(
4
υ
γ
τ
κ
c
i
d
dw
c
i
（7.64）
其中 w 为能量.
7.9 静止电荷对运动电荷的作用力
设静电场 E 是由一些在惯性系Σ 中静止的电荷
i
q 产生的. 试验电荷 Q 沿 Z 轴以υ 匀速
运动. 按照（7.39）式, 在电荷 Q 静止的惯性系Σ′中, 该电场为
x
x
E
E
)(υ
γ=
′
,
y
y
E
E
)(υ
γ=
′
,
z
z
E
E =
′
（7.65）
按电场的定义, 在Σ′中静止的电荷 Q 受到的作用力为（注意, 电荷在不同惯性系中是一样
的）
E
f
′
=′ Q
（7.66）
利用上一节的知识把这个力变换回到Σ 惯性系. 因为电荷 Q 在Σ′中静止, （7.63）式给
出
κ
f
′
=′ , （7.64）式给出
0
4 =
′κ
. 四维力矢量的变换和位矢一样, 故在惯性系Σ 的四维
力等于
1
1
κ
κ
′
=
,
2
2
κ
κ
′
=
,
3
3
)(κ
υ
γ
κ
′
=
（7.67）
再利用（7.63）式, 得到电荷在Σ 中受到的力
i
i
i
i
f
f
′
=
′
=
=
)(
1
)(
1
)(
1
υ
γ
κ
υ
γ
κ
υ
γ
,
yxi,
=
把（7.66）式代入上式,得
155
i
i
i
i
QE
EQ
EQ
f
=
=′
=
γ
γ
υ
γ
1
)(
1
,
yxi,
=
（7.68）
类似可得,
z
z
z
z
QE
EQf
f
=
′
=′
=
′
=
=
3
3
)(
1
κ
κ
υ
γ
（7.69）
可见, 静止电荷 i
q 对运动电荷 Q 的作用力等于电荷 Q 乘 i
q 产生的电场, 与电荷 Q 的速度无
关,
E
f Q
=
（7.70）
这是静止电荷产生的电场的一个重要特点.
7.10 运动电荷对运动电荷的作用力
考虑两个电荷
1
q 和
2
q , 他们的速度分别为 1
υ 和
2
υ . 不失一般性, 设 1
υ 沿 Z 轴方向（图
7-15（a））. 在两个电荷都运动的惯性系Σ 中我们暂时只知道电荷产生的电场而不知道电荷
所受到的力.
为了求出电荷
2
q 所受的力, 我们变换到 1
q 静止的惯性系 Σ′. 由上一节得知, 2
q 受到静
止电荷
1
q 的作用力与
2
q 的速度无关,
)(
2rE
f
′
′
=′ q
（7.71）
Z
Z’
r
2
υ
r′
2
υ′
1
υ
Y
Y’
X
X’
四维力的各个分量为
)()(
)(
2
2
2
rE
f
κ
′
′
′
=′
′
=′
υ
γ
υ
γ
q
（7.72）
)(
)(
)(
2
2
2
2
2
4
rE
υ
f
υ
′
′
⋅′
′
=′
⋅′
′
=
′
υ
γ
υ
γ
κ
c
iq
c
i
（7.73）
利用洛伦兹变换得到原来惯性系Σ 中电荷
2
q 受到的作用力
图 7-15（a）惯性系Σ 中两个运动的电荷.
图 7-15.（b）惯性系Σ′中电荷
1
q 静止.
156
i
i
i
i
i
E
q
E
q
f
)()(
)(
)(
)(
)(
1
)(
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
υ
γ
υ
γ
υ
γ
υ
γ
υ
γ
κ
υ
γ
κ
υ
γ
′
=′
′
=
′
=
=
,
),
(yxi
=
(7.74)
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
′
⋅′
+′
′
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
′
−
′
=
=
E
c
E
q
c
i
f
z
z
v
2
2
1
2
2
1
2
4
1
3
2
1
3
2
)(
)()(
)(
)(
)(
1
υ
υ
υ
γ
υ
γ
υ
γ
κ
υ
κ
υ
γ
υ
γ
κ
υ
γ
(7.75)
在Σ′中的电场和Σ 中的电场的关系为
z
z
E
E
′
=
,
i
i
E
E
′
= )(1
υ
γ
),
(yxi
=
(7.76)
狭义相对论的速度合成公式给出（7.74）和（7.75）式中的 2
υ′ 和
1
υ 、
2
υ 的关系,
2
2
1
1
2
2
/)
(1
c
z
z
υ
υ ⋅
−
−
=
′
υ
υ
υ
,
2
2
1
2
1
2
2
/)
(1
)/(1
c
c
i
i
υ
υ ⋅
−
−
=
′
υ
υ
υ
（7.77）
把（7.76）和（7.77）式代入（7.74）和（7.75）式, 经过较烦琐的化简, 可以得到
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
×
×
+
=
)
(
1
1
2
2
2
E
υ
υ
E
f
c
q
（7.78）
我们看到一个有趣的现象, 运动电荷 2
q 感受到的力与它的运动速度有关. 与速度有关的力
就是我们熟悉的磁场力, 传播磁力的媒介就是磁场. 至此, 我们通过分析一个特例发现必须
存在磁场. 值得注意的是, 1
q 和
2
q 的磁相互作用力不在同一直线上.
磁场通常通常用磁感应强度 B 来描述, 它通过运动电荷受到的与电荷速度有关的力来
定义,
(
)B
υ
E
f
×
+
= q
（7.79a）
此为电磁力的洛伦兹公式. 其中υ 是电荷 q 的运动速度, f 是电荷 q 受到的电磁力. 电场
强度 E 和磁感应强度 B 分别反映电荷 q 所在位置的电场和磁场. 对连续分布的电荷和电流
密度, 使用单位体积电荷所受到的力更方便, 其计算公式为（
υ
j ρ
=
）
BjE
F
×
+
= ρ
（7.79b）
如电场一样, 磁场应理解为一种实在的客体. 运动电荷定域地和它所在处的磁场相互作
用, 所以磁场力公式（7.79）式不依赖于产生磁场的方式. 产生磁场的方法可能有不同的方
法, 例如除了运动电荷之外, 粒子自旋(一种量子现象)也可以产生磁矩. 如果我们有办法知
道某处的磁场, 通过（7.79）式就可以计算电荷受到的磁力, 而不必烦琐地在惯性系中变来
变去. 当试验电荷运动方向和磁场方向相同时, 叉乘等于零, 电荷不受磁力. 因为力和速度
157
都是三维矢量, 磁场只能是一个三维“轴矢量”——赝矢量.
我们似乎根据库仑定律和狭义相对论推导出了洛伦兹公式, 但这严格地说是不对的. 因
为在我们的分析中至少隐含了一个重要的假定：不同惯性系的电场变换只与电荷的瞬时速度
有关, 而与电荷的加速度无关. 已经知道加速电荷会发射电磁波. 电荷在发射过程中原则上
会受到反冲力, 而这部分的力没有反映在洛伦兹力公式中. 另外, 我们讨论的由电荷运动产
生的磁力是一种具有普遍意义的磁场力的特例, 而公式（7.79）式对普遍的磁场力仍然成立.
在我们所学的概念：电荷、电场、磁场、电磁力等之间, 其实没有基本概念和从属概念
的区别. 这些概念的意义和必要性最终由实验来确定. 我们企图从比较容易想象和接受的概
念（如库仑力）出发, 通过讨论特例, 引出较抽象的概念（如电场和磁场）, 目的是揭示这
些概念和规律之间的逻辑联系, 说明定义这些概念的合理性和必要性, 从中加深对概念和相
关定律的理解.
以速度
1
υ 运动的点电荷
1
q 产生的磁场由（7.78）式给出
)(
1
)(
12
rE
υ
rB
×
=
c
（7.80）
其中 )(
rE 是运动电荷
1
q 产生的电场. 对于低速运动的电荷, （7.80）式中的电场可以用库仑
电场代入. 当速度为υ 的电荷 q 运动到 x′ 处时, 它在 x 产生的磁场在低速近似下可写成
3
2
0
4
)(
rc
q
r
υ
xB
×
=
πε
（7.81）
其中 xxr′
−
=
.
对(7.80)式求散度, 可证（习题【7.3】）
0
=
⋅
∇ B
（7.82）
在任意空间区域对上式作体积分, 利用高斯公式化磁场沿空间区域边界（封闭曲面 S ）的面
积分, 得到和（7.82）式等价的积分表述
0
=
⋅
∫∫
S
d
sB
（7.83）
这是一个重要的结论, 它说明运动电荷产生的磁场是无源场, 这种磁场通过任何封闭曲面的
通量都等于零. 和电场类似(见 7.2 节), 可以用磁力线表示磁场：每点磁力线方向和 B 一样,
通过与磁力线垂直单位面积的磁力线数目正比磁通量. 或认为每条磁力线带有相同的磁通.
由于磁场是无源场, 每条磁力线都是闭合曲线, 没有断点. 除了运动电荷会产生磁场之外,
现有理论原则上不排除存在磁场的源——磁荷（磁单极）, 但至今没有磁荷存在的实验根据.
如果没有磁荷, 则磁场都是由电荷运动的相对论效应产生的. 因此（7.82）和（7.83）式的成
立是至今没有例外的很好的“工作假定”.
7.11 矢势
磁场散度为零（7.82）式这个特点使我们可以通过下式引进矢势
)(
)(
xA
xB
×
∇
=
（7.84）
数学上有恒等式（旋度的散度等于零）
0)
(
=
×
∇
⋅
∇
A
（7.85）
158
因此用矢势表示磁场时, （7.82）式自动得到满足. 根据斯托克斯公式,
∫
∫∫
∂
⋅
=
⋅
×
∇
S
S
d
d
lA
s
A)
(
其中 S 是任意有向曲面, S∂ 是曲面的边界, 即闭合回路. 磁场通过回路所围曲面的磁通量
∫
∫∫
∫∫
∂
⋅
=
⋅
×
∇
=
⋅
S
S
S
d
d
d
lA
s
A
sB
)
(
（7.86）
可见磁通仅与 A 在曲面边界的值有关. 根据旋度的定义（参看（7.54）式）, 当曲面面积趋
向于零、曲面方向趋于固定方向时, （7.86）式回到（7.84）式.
在
0
=
B
的地方, A 不一定等于零. 例如图 7-16, 设磁力线集中在中间的小螺线管中
（方向垂直纸面）, 即螺线管之外, 包括大圆上, 磁感应强度
0
=
B
. 矢势沿外面大圆的路径
积分等于以大圆为边界的面积的磁通, 是一个不等于零的量, 所以 A 在大圆上不等于零.
从(7.86)式知, 矢势的回路积分等于磁场穿过回路所围曲面的磁通, 这是矢势与物理测
量相联系的已知的唯一途径. 设 )(x
φ
是一可微的任意函数. 因为
0)(
=
∇
×
∇
φ
, 所以
A
A
×
∇
=
∇
+
×
∇
)
(
φ
（7.87）
因此, 矢势增加一个任意标量场的梯度不改变磁感应强度 B . 更重要的是, 矢势的这种变化
也不影响它的回路积分, 因为
0
=
⋅
∇
∫
∂S
dl
φ
（7.88）
变换
)(
)(
)(
x
xA
xA
φ
∇
+
=
′
（7.89）
称为规范变换.
规范对称性：在规范变换下, 所有电磁现象不改变.
这是电磁现象的一种极其重要的对称性（不变性）, 以后我们还会详细讨论它的意义和
后果. 至此关于矢势的讨论是普遍的, 对稳定的磁场和变化的磁场均适用.
图7-16. 中间的黑圈有磁力线通过, 磁通
不等于零. 黑圈外磁感应强度等于零.
但矢势在外面的大圆上不等于零.
159
习题
【7.1】在α 粒子散射实验中, 稳定的氦核（带电荷+2e）流射向金属薄膜, 被金属薄膜散射.
设金属原子的原子序数（质子数）为 Z, 氦核入射动能为 E , 散射角为θ . 求证微分散射截
面的卢瑟福公式,
)2/(sin
1
4
4
2
θ
α
σ
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
Ω
E
d
d
, 其中 Ω
d 为散射方向的立体角,
0
2
2πε
α
Ze
=
.
提示：设金属原子核不动, 带正电 Ze；用非相对论公式.
【7.2】半径为 R 的球体均匀地分布着电荷, 总电荷量为 Q. 用高斯定律求电场.
【7.3】证明运动电荷产生的磁场（参见（7.80）式）满足
0
=
⋅
∇ B
. [如果所有磁场都是由
运动电荷产生的, 此题便证明了磁场散度恒等于零. ]
【7.4】证明磁场对电荷不做功.
【7.5】设有互相正交的均匀电场 E 和磁场 B , 分别沿 Z 和 X 方向. 电子从坐标原点出发, 初
速度为
y
υe
υ
ˆ
=
. 忽略电子辐射电磁波, 求电子的运动轨迹.
【7.6】分别求矢势
)0,2/,2/
(
Bx
By
−
=
A
和
)0,0,
( By
−
=
A
对应的磁感应强度.
保守力, 可以用一个势能函数来描写电场. 但我们马上会知道, 不是所有电场的环流量都等
于零的. 原因是带电粒子受到电场作用而运动时, 它同时会改变电磁场. 这种反作用使得电
场对带电粒子的作用力不再是保守力
保守力, 可以用一个势能函数来描写电场. 但我们马上会知道, 不是所有电场的环流量都等
于零的. 原因是带电粒子受到电场作用而运动时, 它同时会改变电磁场. 这种反作用使得电
场对带电粒子的作用力不再是保守力
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