量子力学里相位因子的来源
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接上面的思路，从数学的群，发现一种叫做万有覆盖的东西，进而发现spin，spin的很多特性就可以体现在SO3与Spin3的差别上。
而时空的群就应该不是SO+(1,3)而是Spin+(1,3)=SL(2,C) 再加上平移
但这些都是很数学的东西，物理上的引入又是如何呢？更加曲折，
最早的是薛定谔方程，与之配套的hilbert公理体系，显然是过度解读了薛定谔方程。但这个带来的颠覆却实在不小，描述物体状态的东西，是一个莫名其妙的波函数，是一个复数函数；可观察的量，是一种算符，作用在波函数上，得到相应 观察结果。
两个问题，其实传统教科书是不清晰的，波函数的复数来源，薛定谔方程是否跟spin有关？ 这些到GA才清晰 反正在薛定谔的时候，那种过度解读，似乎把波函数解读成描述一切状态的本质的基础的量薛定谔方程的推广，pauli方程，开始描述spin-1/2 的粒子，是Dirac方程的非相对论极限，开始引入一个叫旋量的东西，就是一列复数，但不是按照向量一样变化。到dirac方程，出现dirac spinor 完整描述了 spin 正反物质，对应四个复数，但其变化不是按照四向量，而是类似一种一半的变换，所以通俗地说，旋转了一圈后，变成了反方向，两圈后，才回到本身。
这一路下来，有一个很有趣的现象，就是状态和可观察量之间的关系， 描述物体状态的，变成了复数，或几个复数，薛定谔的时候，一个复数，对应一个观察结果概率密度，还有一个冗余，就是相位，2=1+1；pauli的时候，两个复数，四个自由度，可观察的东西，变成一个密度，一个spin vector三个维度，这似乎是四个自由度了，但spin vector 的长度和密度有关，去掉了一个自由度，那么也还剩下一个冗余自由度，描述的是相位，4=1+3-1+1，实际上，在GA里头理解很好，用刚体来理解，运动的信息全部包含在刚体旋转的rotor里，rotor就是标准化了的spinor，就是把三个空间矢量，旋转到可观察的量上，首先把z轴旋转到spin vector的方向，这个需要两个量，就是两个旋转角度，还有一个拉伸就是密度，最后剩余一个量可以看做是另外两个轴的旋转，这是一个冗余，这个量不影响spin vector，这就是相位的几何来源，这个太厉害了，4=1+2+1。 到了dirac spinor 就更清晰了，四个复数，八个自由度，首先从可观察量的角度看，一个密度，一个混合角，一个自旋矢量4，一个速度矢量4，貌似共需2+4+4，但有3个冗余，分别是两个矢量的长度，两个矢量正交，于是剩下2+4+4-3=7，刚好最后剩下一个自由度，不影响所有的可观察量，就是一个规范自由度，从旋转的角度看，就是把dirac spinor分解为一个复数尺度因子加上一个rotor 这个rotor对应lorenz旋转共6个自由度，刚刚好 8=2+6,6个旋转里头，其中第一个把唯一的一个时间矢量gamaa0旋转到速度矢量，由于是在四维时空中旋转，需要三个自由度，另外接着旋转一个空间矢量到spin vector方向，需要2个自由度，刚刚好剩下一个自由度，看做是固定了两个方向后剩下两个方向的一个自由旋转角度，不影响所有的可观察量，6=3+2+1就是相位旋转的几何解释。
这一切太perfect，解释了这些东西里头，复数自由度的来源！！！
而时空的群就应该不是SO+(1,3)而是Spin+(1,3)=SL(2,C) 再加上平移
但这些都是很数学的东西，物理上的引入又是如何呢？更加曲折，
最早的是薛定谔方程，与之配套的hilbert公理体系，显然是过度解读了薛定谔方程。但这个带来的颠覆却实在不小，描述物体状态的东西，是一个莫名其妙的波函数，是一个复数函数；可观察的量，是一种算符，作用在波函数上，得到相应 观察结果。
两个问题，其实传统教科书是不清晰的，波函数的复数来源，薛定谔方程是否跟spin有关？ 这些到GA才清晰 反正在薛定谔的时候，那种过度解读，似乎把波函数解读成描述一切状态的本质的基础的量薛定谔方程的推广，pauli方程，开始描述spin-1/2 的粒子，是Dirac方程的非相对论极限，开始引入一个叫旋量的东西，就是一列复数，但不是按照向量一样变化。到dirac方程，出现dirac spinor 完整描述了 spin 正反物质，对应四个复数，但其变化不是按照四向量，而是类似一种一半的变换，所以通俗地说，旋转了一圈后，变成了反方向，两圈后，才回到本身。
这一路下来，有一个很有趣的现象，就是状态和可观察量之间的关系， 描述物体状态的，变成了复数，或几个复数，薛定谔的时候，一个复数，对应一个观察结果概率密度，还有一个冗余，就是相位，2=1+1；pauli的时候，两个复数，四个自由度，可观察的东西，变成一个密度，一个spin vector三个维度，这似乎是四个自由度了，但spin vector 的长度和密度有关，去掉了一个自由度，那么也还剩下一个冗余自由度，描述的是相位，4=1+3-1+1，实际上，在GA里头理解很好，用刚体来理解，运动的信息全部包含在刚体旋转的rotor里，rotor就是标准化了的spinor，就是把三个空间矢量，旋转到可观察的量上，首先把z轴旋转到spin vector的方向，这个需要两个量，就是两个旋转角度，还有一个拉伸就是密度，最后剩余一个量可以看做是另外两个轴的旋转，这是一个冗余，这个量不影响spin vector，这就是相位的几何来源，这个太厉害了，4=1+2+1。 到了dirac spinor 就更清晰了，四个复数，八个自由度，首先从可观察量的角度看，一个密度，一个混合角，一个自旋矢量4，一个速度矢量4，貌似共需2+4+4，但有3个冗余，分别是两个矢量的长度，两个矢量正交，于是剩下2+4+4-3=7，刚好最后剩下一个自由度，不影响所有的可观察量，就是一个规范自由度，从旋转的角度看，就是把dirac spinor分解为一个复数尺度因子加上一个rotor 这个rotor对应lorenz旋转共6个自由度，刚刚好 8=2+6,6个旋转里头，其中第一个把唯一的一个时间矢量gamaa0旋转到速度矢量，由于是在四维时空中旋转，需要三个自由度，另外接着旋转一个空间矢量到spin vector方向，需要2个自由度，刚刚好剩下一个自由度，看做是固定了两个方向后剩下两个方向的一个自由旋转角度，不影响所有的可观察量，6=3+2+1就是相位旋转的几何解释。
这一切太perfect，解释了这些东西里头，复数自由度的来源！！！
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