Tuesday, February 24, 2015

通过太阳附近的无线电信号往返时间增长。诱导度规是轨迹的函数, 非线性? 对轨迹有没有动力学反馈?

关于超音速与超光速的探索,我们的热核能引爆加速也好,粒子加速器加速也好,各种推力加速装置也好,相对于高压气罐来,其效应都不过相当于产生了气源压力,或者在流动过程中外力通过桨扇等机械办法进一步增加气流粒子的动能,然而气流加速的同时,它的密度也会提高,同时当地音速也会提高,这样总能量就消耗在密度的增加和光速本身的增加上了,越加大气源总压,越加大压缩机或者桨扇的做功能力,密度和音速就越高,可以达到音速,

刚性参考系与转盘几何*
高思杰梁灿彬
(北京师范大学物理学系, 1αff!5, 北京;第一作者25 岁.男,硕士生)
摘要给出了刚性参考系及其空间几何的定义并推出了转盘观者的空间几何.讨论了刚性参考系
与稳态参考系的联系与区别.
关键词刚性参考系;转盘参考系;稳态参考系;空间几何
分类号0412.1
在相对论中,观者是一条以固有时为参数的类时曲线,参考系必是一个类时线汇,其中每
一类时线代表一个观者[1] 若级为超曲面正交线汇,则每一正交超曲面(同时面)在物理上就代
表该系在某一时刻的空间.时空度规gab 在Z 上的诱导度规hab 就描述该三维空间的几何.然
而,对非超曲面正交参考系,上述"空间几何"没有定义.一个常见例子是闵氏时空中的转盘参考
系,即由无数随盘转动的观者组成的参考系,设za 是观者的四速, ða 是与闵氏度规ηd 适配的导
数算符(l!P ð aη bc=O) , 则易证Z[aðbZc] 笋0,可见线汇非超曲面正交.然而许多文献都谈及转盘系的
空间几何,甚至给出定量表达式[2] 但对"空间几何"缺乏清晰明确的定义.本文先对刚性参考系
及其空间几何下定义,再将此定义用于转盘参考系,并得出与文献[2] 相同的表达式(但概念清
晰得多) ,最后讨论刚性参考系与稳态参考系的联系和区别




恩对第三段的解释补充一句:换句话说,如果你跟你的朋友坐在两个不同的点上,那么在运动过程中你们发觉彼此的距离一直不变。
2012-8-26 23:51回复
  • 坂上中微子: 我现在应该可以确定,我和波恩的想法是完全一致的(至少从你所叙述出来的那些看来,还有没有其他的我就不清楚了)
    2012-8-27 19:08回复
  • 坂上中微子: 与轨迹切向正交的子空间上的诱导度规,对固有时的导数为零——这与我说的“经过同样长的固有时,四维间隔保持一定”是等价的说法。
    2012-8-27 19:11回复
  • fishwoodok: 回复 坂上中微子 :“考虑动体上的每一点的运动轨迹,”---这不是你说的“时空结构”~~~目前我看还是有差异的。
    2012-8-27 19:20回复
  • 坂上中微子: 回复 fishwoodok :当然不是……我前面就说,我那个想法实际上偏题了。
    2012-8-27 19:21回复
  • fishwoodok: 回复 坂上中微子 :最起码是good idea,该表扬的~~
    2012-8-27 19:29回复
  • 坂上中微子: 回复 fishwoodok :
    2012-8-27 19:33回复
  • wolfking97: 回复 坂上中微子 :恩我不确定的,就是你是否只考虑正交子空间上的度量还是整个的。前者对应的是Killing运动,后者才是波恩的刚性运动。前面那个微分方程是线性的,因为求导对象就是闵氏度量,后面那个是非线性的,因为诱导度量本身又是动体轨迹的函数。
    2012-8-27 21:27回复
  • wolfking97: 回复 wolfking97 :前面的“前者”跟“后者”搞反了!对整个度规求导是Killing motion。我感觉你已经认识到两者区别了,只是没有在前面明确表述。
    2012-8-27 21:30回复

  • 坂上中微子: 回复 wolfking97 :诱导度规是轨迹的函数——这是显然的,但不意味着有非线性的问题,因为它对轨迹没有动力学反馈。(不过我怎么忽然感觉我可能对诱导度规这个东西可能理解得不对呢= =)
     
     

    (继续相对论中的刚性)

    此时大家都意识到问题的关键是对做加速运动的物体如何定义刚性。就是说与其说在定义刚体,不如说是在定义刚性运动。最先做出尝试的是爱因斯坦本人,但他只考虑了非常特殊的情况,并且没有完全解决问题。1909年波恩首先给出了被大家普遍接受的刚性概念。

    (下面的定义相对抽象,大家包涵点,这样的地方不会很多)波恩的做法是,考虑动体上的每一点的运动轨迹,用固有时(proper time,这个词是从@坂上中微子 那里刚学的)把轨迹曲线参量化,这些参量化后的运动轨迹就构成了4维时空中的一个流(current),或者用我们熟悉的说法就是所有轨迹上每点的切矢量构成了一个矢量场。对一条轨迹上的每个点,他再考虑跟切向正交的子空间,然后考虑闵氏度规在子空间上诱导的度规(induced metric)。波恩的刚性要求就是,这个诱导度规关于固有时这个参量的导数处处为零。

    好了说了一大堆,大家恐怕已经不耐烦了。我们赶紧回头看看波恩到底想说什么。不严谨但直观的说法就是,一个运动物体要满足波恩刚性,那么对物体上每一个点每一个瞬间,从它的随动参照系看这个点到其它点的距离一直保持不变。

    这听起来似乎是个很自然的定义。但是后来人们发现它对物体的运动是有很强的限制的。我们今天先看一个简单的例子,以后再来介绍一些相对复杂些的情况(比如埃伦费斯特(Paul Ehrenfest)佯谬)。最后如果大家有兴趣我们会介绍一个刻画波恩刚性的赫格洛茨-诺特定理(Herglotz-Noether theorem)。


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    • 34楼
    • 2012-08-26 23:41
      • wolfking97: 恩对第三段的解释补充一句:换句话说,如果你跟你的朋友坐在两个不同的点上,那么在运动过程中你们发觉彼此的距离一直不变。
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      • 坂上中微子: 我现在应该可以确定,我和波恩的想法是完全一致的(至少从你所叙述出来的那些看来,还有没有其他的我就不清楚了)
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      • 坂上中微子: 与轨迹切向正交的子空间上的诱导度规,对固有时的导数为零——这与我说的“经过同样长的固有时,四维间隔保持一定”是等价的说法。
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      • fishwoodok: 回复 坂上中微子 :“考虑动体上的每一点的运动轨迹,”---这不是你说的“时空结构”~~~目前我看还是有差异的。
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      • 坂上中微子: 回复 fishwoodok :当然不是……我前面就说,我那个想法实际上偏题了。
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      • 坂上中微子: 回复 wolfking97 :诱导度规是轨迹的函数——这是显然的,但不意味着有非线性的问题,因为它对轨迹没有动力学反馈。(不过我怎么忽然感觉我可能对诱导度规这个东西可能理解得不对呢= =) 
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      • (继续相对论中的刚性)

        此时大家都意识到问题的关键是对做加速运动的物体如何定义刚性。就是说与其说在定义刚体,不如说是在定义刚性运动。最先做出尝试的是爱因斯坦本人,但他只考虑了非常特殊的情况,并且没有完全解决问题。1909年波恩首先给出了被大家普遍接受的刚性概念。

        (下面的定义相对抽象,大家包涵点,这样的地方不会很多)波恩的做法是,考虑动体上的每一点的运动轨迹,用固有时(proper time,这个词是从@坂上中微子 那里刚学的)把轨迹曲线参量化,这些参量化后的运动轨迹就构成了4维时空中的一个流(current),或者用我们熟悉的说法就是所有轨迹上每点的切矢量构成了一个矢量场。对一条轨迹上的每个点,他再考虑跟切向正交的子空间,然后考虑闵氏度规在子空间上诱导的度规(induced metric)。波恩的刚性要求就是,这个诱导度规关于固有时这个参量的导数处处为零。

        好了说了一大堆,大家恐怕已经不耐烦了。我们赶紧回头看看波恩到底想说什么。不严谨但直观的说法就是,一个运动物体要满足波恩刚性,那么对物体上每一个点每一个瞬间,从它的随动参照系看这个点到其它点的距离一直保持不变。

        这听起来似乎是个很自然的定义。但是后来人们发现它对物体的运动是有很强的限制的。我们今天先看一个简单的例子,以后再来介绍一些相对复杂些的情况(比如埃伦费斯特(Paul Ehrenfest)佯谬)。最后如果大家有兴趣我们会介绍一个刻画波恩刚性的赫格洛茨-诺特定理(Herglotz-Noether theorem)。


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        • 2012-08-26 23:41
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            2012-8-26 23:51回复
          • 坂上中微子: 我现在应该可以确定,我和波恩的想法是完全一致的(至少从你所叙述出来的那些看来,还有没有其他的我就不清楚了)
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          • 坂上中微子: 与轨迹切向正交的子空间上的诱导度规,对固有时的导数为零——这与我说的“经过同样长的固有时,四维间隔保持一定”是等价的说法。
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          • 坂上中微子: 回复 fishwoodok :
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            2012-8-27 21:30回复
          • 坂上中微子: 回复 wolfking97 :诱导度规是轨迹的函数——这是显然的,但不意味着有非线性的问题,因为它对轨迹没有动力学反馈。(不过我怎么忽然感觉我可能对诱导度规这个东西可能理解得不对呢= =)
            2012-8-27 21:33回复



          好贴不能不顶

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          • 35楼
          • 2012-08-27 19:05

            前来顶贴

            回复
            • 36楼
            • 2012-08-27 19:38

              但是后来人们发现它对物体的运动是有很强的限制的
              -------------------------------------------------------
              静待下文。因为我还没想象出一个好的场景来验证,年纪不饶人啊~~~

              收起回复
              • 37楼
              • 2012-08-27 19:46
                • wolfking97哈哈看来是一转一个主意的人。我的第一个例子就是一根棍子沿长度方向做匀加速直线运动,但这个匀加速只是每点自己是“匀”的,不同点加速度必须不同才能保持刚性,并且是领先部分加速度小,落后部分加速度大。我猜到这里你能想到问题所在。
                  2012-8-27 06:35回复
                • wolfking97回复 wolfking97 :要上班去了。下午回来争取写出来。主要是讲法要通俗易懂,不想太多计算,所以反复斟酌。也许应该把薇娘那篇讲同步加速的抄过来:)
                  2012-8-27 06:38回复
                • fishwoodok看到42楼你的新帖了,O(∩_∩)O谢谢
                  2012-8-28 03:03回复
                •  


                学习了

                回复
                • 38楼
                • 2012-08-27 20:26

                  刚体这玩意要是真正存在………………假设有一个一光年长的棍子,这个棍子是刚体。如果你拿着棍子的一边。另一个人站在棍子的另一边,当你有足够大的力时,将棍子向另一边挪动一点距离,一光年长的另一边会顷刻感受到你在戳他。因为棍子是刚体嘛。但是,他感受到的是你从一光年外给棍子的能量,而能量在一瞬间就传到了一光年外,明显做了超光速运动。这不符合相对论的基本思想。这是个悖论题,所以刚体是悖论。

                  收起回复
                  • 39楼
                  • 2012-08-28 07:12
                    • wolfking97这个帖子就是你的问题的讨论中派生出来的。建议从头读一下,如何认为有问题可以向我提出来,我会考虑的。
                      2012-8-27 18:14回复
                    • 00老芋头00回复 wolfking97 :啊……不好意思……木有看前面的……
                      2012-8-27 18:16回复
                    •  


                    我想起了开车等绿灯通行的时候,红灯一灭,最前面的车起步要时间.它后面的车看到前面的车起步了,它才能起步走.这样又有一个反应时间.一直下去....可以看到红绿灯前面车流的速度是很慢的.比车速度要慢多了.

                    回复
                    • 41楼
                    • 2012-08-28 09:20

                      (继续相对论中的刚性)

                      例子一:匀加速直线运动下的波恩刚性。

                      考虑一根与x轴平行摆放的细杆(我们不妨认为它就跟x轴的某一段重合,或者说就是x轴的一段)。我们希望让这个杆子沿x轴从静止开始向右(x轴的正向)做加速运动,并且同时保持波恩刚性。通过前面的讨论我们已经知道如果只是在右端拉或是左端推都会让杆子发生形变,并且这个形变会以音速传递到另一端,而在形变传到之前另一端还是静止的。所以这个过程不可能让杆子具有波恩刚性(因为有一端仍然适用静止参照系的度规,而形变的杆子在静止系中的长度显然已经改变)。

                      利用同样的推理过程,我们可以看出唯一可能让杆子在运动中具有波恩刚性的办法,是对杆子上每一个点同时加速!波恩选了个最简单的做法,就是让每点做匀加速运动(准确地说,是具有恒定“固有加速度”(proper acceleration)的运动,所谓固有加速度是随动系中测得的加速度。以下的匀加速都是指固有加速度不变,但这个细节对大家理解问题没有影响)。

                      波恩从最简单的情形出发,首先考虑x轴上单个质点向右作匀加速运动的世界线。他发现跟牛顿力学中类似,这条世界线也是一条圆锥曲线,但牛顿力学中得到的是一条抛物线,而在闵氏时空中得到的是一条双曲线。于是波恩就把这样的匀加速运动取名为“双曲运动”(hyperbolic motion)。波恩还发现,假设加速度为a,当他把坐标原点取在质点左边(1/a)个单位的位置上时,这个方程有很简单的表达式(以下我们都调整单位使得光速c = 1),就是 x^2 – t^2 = 1/a^2 (这里 x^2 表示x平方)。这是个以1/a为半长轴,以光锥 t = x
                      为渐近线的双曲线。如果对杆子上每点我们都用该点到原点距离的倒数作为加速度,那么我们会得到如下图所示的曲线族(看到这个曲线族熟悉的人估计马上想到Rindler坐标):


                      (图的来源是http://mathpages.com/home/kmath422/kmath422.htm

                      巧妙的是,任取一条双曲线,并且在这双曲线上任取一点,代表该点的随动坐标系的直线正好经过原点(图中的直线族)!而前面的双曲线方程左边正好成了随动系中该点到原点的长度的平方,所以每个质点在运动过程中到原点的距离在各自的随动系中没有变,都是加速度的倒数1/a!这说明从任何一个质点的随动系看,杆子的长度都没有变过,所以这符合波恩刚性的要求!上面图中的红色部分就是杆子的世界线在加速中的不同位置。

                      好了,用口语代替数学公式的活儿干完了。如果你已经完全迷糊的话,下面是总结:如果把一根细杆放在原点右方的x轴上,然后让每点以x坐标的倒数为加速度做匀加速运动,我们就会得到一个波恩刚性运动。它的特点是,越靠近杆子右端,加速度越小;越靠近左端,加速度越大。就是说,左边必须用更大的加速度追赶右边才能保持距离不变。并且杆子左端趋向于原点时,需要的加速度会趋于无穷大!

                      所以一旦杆子右端的加速度确定,原点的位置就确定了(往左移1/a,这也说明坐标系的选取没有特殊性,只是简化计算而已),而这也给杆子长度加了限制,因为左端不可能到达原点。所以棍子长度不能超过右端加速度的倒数。这是波恩刚性给匀加速运动的细杆所加的限制。

                      收起回复
                      • 42楼
                      • 2012-08-28 17:52
                        • fishwoodok借助数学工具,作出如此奇妙的构思,太有才了!
                          2012-8-28 03:02回复
                        • fishwoodok回复 fishwoodok :这会儿我想起了“规划”二字,事实上做规划是一件很难的事情。波恩的规划做得太妙了。
                          2012-8-28 03:05回复
                        • 坂上中微子顶,顺便贴出我以前那篇讨论这个问题的贴: http://tieba.baidu.com/p/1754051279
                          2012-8-28 03:11回复
                        • wolfking97回复 坂上中微子 :那个帖子讲得挺好的。跟这里描述的其实都是波恩刚性,只不过没用具体公式,可能对初学者反而容易理解。那里唯一模糊一点的是先提到了“让棍子的各个部分同步感受到一股相同的加速度”,下面又说后端要有更大的加速追赶前端,可能有个别细心的会觉得困惑。我是看到后面就忘了前面。
                          2012-8-28 09:54回复
                        • 坂上中微子回复 wolfking97 :所以我特意指明了“感受到一股相同的加速度”的确切含义,如果细心,在看完后面的论述也就明白了。
                          2012-8-28 21:33回复
                          • 坂上中微子本来我这个思路也只不过是简单的把三维中的刚体“两点距离不变”这一定义中的三维概念代之以四维,唯一有那么点技术含量的只是找了固有时这一四维标量作为参量,没想到误打误撞和波恩不谋而合
                            2012-8-28 21:36回复
                          • 坂上中微子所以我很想知道的是波恩刚性在这个定义之上,究竟还有什么实际意义啊数学性质啊什么的,这个我思考起来有点力不从心。
                            2012-8-28 21:37回复
                          • wolfking97回复 坂上中微子 :这个还真不知道。
                            2012-8-29 01:11回复
                          • uukoo原来最早研究这种加速的是波恩,科普了
                            2012-8-29 18:09回复
                        •  



                        对上面例子的几点补充:

                        1.上面叙述的过程被我戏剧化了一点:)波恩在他1909年的文章里是先用一个参数方程给出了上面的匀加速运动轨迹,然后平淡地说了句“让我们消去参数p”就给出了上面的双曲线方程。

                        2.原点的选取是个很自然的过程,因为它是双曲线的两条渐近线的交点。

                        3.如果有个观者A坐在例子中匀加速的杆子上,另有个观者B则静止在原点,那么从A看B会出现一个奇怪的景象:尽管在拼命加速离开原点,但在A看来他/她跟B之间的距离却是恒定的!也就是说,A所选取的加速度的大小要正好把自己加速到一个合适的速度,使得自己跟B的距离(话说这个也依赖于加速度的选取!)由于尺缩效应而始终不变!从这里我们也可以体会到为什么这个波恩刚性是个看来自然,却限制很大的条件。

                        4.另外从这里我们可以窥见一点刚性条件为什么是个非线性微分方程的原因:在这里方程简单地表现为A到B(原点)的距离为常数(对固有时求导当然就为零)。但这个距离不是闵空间本身的度规(那样的话就直接是x坐标了!),而是闵空间的度规在随动系上的诱导度规(就是固有长度),这个诱导度规非线性地依赖于质点的速度(要乘上洛仑兹因子,所以会出现导数的平方项)!

                        5.(这个有趣的想法来自上面引用的那个世界线图片的mathpages网页)上面的例子引发我们思考一个可以称为“深刻”的问题,就是惯性的本源。这个问题恐怕无数物理学家都考虑过,其中牛顿,马赫,爱因斯坦大概是大家最熟悉的。而如果分析上面例子中的加速作用,就会发现尽管杆子的各点之间保持了距离不变,但由于各点加速度不同,在经过同样的固有时间后,各点的速度并不相同,也就是说,在它们的随动系中时间流逝的速度各不相同!这可以理解为物体从闵氏时空继承的几何性质(诱导度规的又一种说法)对加速运动的一种抗拒(或者说惯性!):要么各点之间距离改变,要么各点之间时间不同步,总之无法两全。要想距离不变,时间同步,只有在一个各点引力梯度完全相同的引力场中做自由落体运动。而这时各点固有加速度为零,所以局部地每点都处于惯性运动中。

                        下一个例子打算介绍贝尔飞船佯谬。这是大家熟悉的素材,但我们会从刚性的角度作一点分析。



                      •  



                      • 坂上中微子: 有一点比较疑惑:你第4点里所说的诱导度规,是纯空间部分度规还是四维的度规?
                        举报 | 2012-8-29 16:45回复
                      • fishwoodok: 你的例子让我想起以前拉普拉斯讨论过的“橡皮筋拉伸“问题~~
                        2012-8-29 21:04回复
                      • 卜学乖: 回复 坂上中微子 :他说的是空间度规
                        2012-8-29 21:35回复
                      • wolfking97: 回复 坂上中微子 :恩这是我混淆了概念,我说的是随动系,其实脑子里想的是随动系中经过该点的等时线。诱导度规就是4维度规,但如果你只生活在三维的等时线上,你就会把它当成三维空间的空间度规,这是因为等时线可以看成是跟切向正交的子空间,而世界线的切向是类时的,所以等时线的诱导度规是正定的。
                        2012-8-29 21:41回复
                      • wolfking97: 回复 fishwoodok :拉普拉斯那个橡皮筋是个什么样的故事?
                        2012-8-29 21:42回复
                      • fishwoodok: 回复 wolfking97 :我找找看~~~不知道还在否~~~
                        2012-8-29 21:47回复
                      • fishwoodok: 没找到,很奇怪的,不会被删了吧???
                        2012-8-29 22:08回复
                      • 坂上中微子: 回复 wolfking97 :我越来越发觉我对诱导度规的理解不正确了……
                        2012-8-29 23:29回复
                      • wolfking97: 回复 fishwoodok :看到了一点。他是用橡皮筋比喻非惯性系,用刚体比喻惯性系,跟这里的说法有共通之处。上面例子中的双曲运动通常被说成只有一个“自由度”,因为一旦头上的加速度确定了,整个杆子的运动就确定了


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                        • 43楼
                        • 2012-08-29 15:33
                          • wolfking97: 回复 坂上中微子 :我给你举个例子:比如正常的欧式平面,是个平直的空间。现在我考虑以原点为圆心的单位圆。什么是上面的诱导度规呢?就是普通的弧长。诱导度规是个局部的概念,是局部用切线来逼近子流形上的曲线来定义长度,或者用形象的语言就是局部把曲线拉直了来量长度。
                            2012-8-30 04:16回复
                          • wolfking97: 回复 坂上中微子 :但一般说来子流形上两个点在诱导度规下的距离跟原来流形中的距离不同。要相同只有一种情况,就是子流形是所谓测地子流形,就是诱导度规的测地线就是原来流形的测地线。欧氏空间中的平面,球面上的大圆就是测地子流形。
                            2012-8-30 04:23回复
                          • 坂上中微子: 回复 wolfking97 :嗯……看来我对诱导度规的理解并没有出错,不过这样一来我连我哪里不清楚都不知道了= =
                            2012-8-30 12:27回复
                          • 坂上中微子: 主要是,这种诱导度规其实就是直接指向随动系的,所以我一方面觉得我那个描述和你说的等价,但另一方面我想不明白从哪来的非线性……
                            2012-8-30 12:28回复
                          • wolfking97: 回复 坂上中微子 :你的诱导度规理解应该没问题,是我这里讲得不清楚,而且我没有真把双曲线用固有时参量化后去算等时线上诱导度规的导数,而是希望简单地用随动系下到原点距离不变这个条件来推出双曲线的微分方程。
                            2012-8-30 13:14回复
                          • wolfking97: 回复 wolfking97 :我是以为两种做法本质上是等价的,但这个想法不一定对。等我回头再仔细算一下。      













                        • wolfking97: 恩对第三段的解释补充一句:换句话说,如果你跟你的朋友坐在两个不同的点上,那么在运动过程中你们发觉彼此的距离一直不变。
                          举报 | 2012-8-26 23:51回复
                        • 坂上中微子: 我现在应该可以确定,我和波恩的想法是完全一致的(至少从你所叙述出来的那些看来,还有没有其他的我就不清楚了)
                          2012-8-27 19:08回复
                        • 坂上中微子: 与轨迹切向正交的子空间上的诱导度规,对固有时的导数为零——这与我说的“经过同样长的固有时,四维间隔保持一定”是等价的说法。
                          2012-8-27 19:11回复
                        • fishwoodok: 回复 坂上中微子 :“考虑动体上的每一点的运动轨迹,”---这不是你说的“时空结构”~~~目前我看还是有差异的。
                          2012-8-27 19:20回复
                        • 坂上中微子: 回复 fishwoodok :当然不是……我前面就说,我那个想法实际上偏题了。
                          2012-8-27 19:21回复
                        • fishwoodok: 回复 坂上中微子 :最起码是good idea,该表扬的~~
                          2012-8-27 19:29回复
                        • 坂上中微子: 回复 fishwoodok :
                          2012-8-27 19:33回复
                        • wolfking97: 回复 坂上中微子 :恩我不确定的,就是你是否只考虑正交子空间上的度量还是整个的。前者对应的是Killing运动,后者才是波恩的刚性运动。前面那个微分方程是线性的,因为求导对象就是闵氏度量,后面那个是非线性的,因为诱导度量本身又是动体轨迹的函数。
                          2012-8-27 21:27回复
                        • wolfking97: 回复 wolfking97 :前面的“前者”跟“后者”搞反了!对整个度规求导是Killing motion。我感觉你已经认识到两者区别了,只是没有在前面明确表述。
                          2012-8-27 21:30回复
                        • 坂上中微子: 回复 wolfking97 :诱导度规是轨迹的函数——这是显然的,但不意味着有非线性的问题,因为它对轨迹没有动力学反馈。(不过我怎么忽然感觉我可能对诱导度规这个东西可能理解得不对呢= =)

                          • (继续相对论中的刚性)

                            此时大家都意识到问题的关键是对做加速运动的物体如何定义刚性。就是说与其说在定义刚体,不如说是在定义刚性运动。最先做出尝试的是爱因斯坦本人,但他只考虑了非常特殊的情况,并且没有完全解决问题。1909年波恩首先给出了被大家普遍接受的刚性概念。

                            (下面的定义相对抽象,大家包涵点,这样的地方不会很多)波恩的做法是,考虑动体上的每一点的运动轨迹,用固有时(proper time,这个词是从@坂上中微子 那里刚学的)把轨迹曲线参量化,这些参量化后的运动轨迹就构成了4维时空中的一个流(current),或者用我们熟悉的说法就是所有轨迹上每点的切矢量构成了一个矢量场。对一条轨迹上的每个点,他再考虑跟切向正交的子空间,然后考虑闵氏度规在子空间上诱导的度规(induced metric)。波恩的刚性要求就是,这个诱导度规关于固有时这个参量的导数处处为零。

                            好了说了一大堆,大家恐怕已经不耐烦了。我们赶紧回头看看波恩到底想说什么。不严谨但直观的说法就是,一个运动物体要满足波恩刚性,那么对物体上每一个点每一个瞬间,从它的随动参照系看这个点到其它点的距离一直保持不变。

                            这听起来似乎是个很自然的定义。但是后来人们发现它对物体的运动是有很强的限制的。我们今天先看一个简单的例子,以后再来介绍一些相对复杂些的情况(比如埃伦费斯特(Paul Ehrenfest)佯谬)。最后如果大家有兴趣我们会介绍一个刻画波恩刚性的赫格洛茨-诺特定理(Herglotz-Noether theorem)。


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                            • 34楼
                            • 2012-08-26 23:41


                              好贴不能不顶

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                              • 35楼
                              • 2012-08-27 19:05

                                前来顶贴

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                                • 36楼
                                • 2012-08-27 19:38

                                  但是后来人们发现它对物体的运动是有很强的限制的
                                  -------------------------------------------------------
                                  静待下文。因为我还没想象出一个好的场景来验证,年纪不饶人啊~~~

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                                  • 37楼
                                  • 2012-08-27 19:46
                                    • wolfking97哈哈看来是一转一个主意的人。我的第一个例子就是一根棍子沿长度方向做匀加速直线运动,但这个匀加速只是每点自己是“匀”的,不同点加速度必须不同才能保持刚性,并且是领先部分加速度小,落后部分加速度大。我猜到这里你能想到问题所在。
                                      2012-8-27 06:35回复
                                    • wolfking97回复 wolfking97 :要上班去了。下午回来争取写出来。主要是讲法要通俗易懂,不想太多计算,所以反复斟酌。也许应该把薇娘那篇讲同步加速的抄过来:)
                                      2012-8-27 06:38回复
                                    • fishwoodok看到42楼你的新帖了,O(∩_∩)O谢谢
                                      2012-8-28 03:03回复
                                    •  


                                    学习了

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                                    • 38楼
                                    • 2012-08-27 20:26

                                      刚体这玩意要是真正存在………………假设有一个一光年长的棍子,这个棍子是刚体。如果你拿着棍子的一边。另一个人站在棍子的另一边,当你有足够大的力时,将棍子向另一边挪动一点距离,一光年长的另一边会顷刻感受到你在戳他。因为棍子是刚体嘛。但是,他感受到的是你从一光年外给棍子的能量,而能量在一瞬间就传到了一光年外,明显做了超光速运动。这不符合相对论的基本思想。这是个悖论题,所以刚体是悖论。

                                      收起回复
                                      • 39楼
                                      • 2012-08-28 07:12
                                        • wolfking97这个帖子就是你的问题的讨论中派生出来的。建议从头读一下,如何认为有问题可以向我提出来,我会考虑的。
                                          2012-8-27 18:14回复
                                        • 00老芋头00回复 wolfking97 :啊……不好意思……木有看前面的……
                                          2012-8-27 18:16回复
                                        •  


                                        我想起了开车等绿灯通行的时候,红灯一灭,最前面的车起步要时间.它后面的车看到前面的车起步了,它才能起步走.这样又有一个反应时间.一直下去....可以看到红绿灯前面车流的速度是很慢的.比车速度要慢多了.

                                        回复
                                        • 41楼
                                        • 2012-08-28 09:20

                                          (继续相对论中的刚性)

                                          例子一:匀加速直线运动下的波恩刚性。

                                          考虑一根与x轴平行摆放的细杆(我们不妨认为它就跟x轴的某一段重合,或者说就是x轴的一段)。我们希望让这个杆子沿x轴从静止开始向右(x轴的正向)做加速运动,并且同时保持波恩刚性。通过前面的讨论我们已经知道如果只是在右端拉或是左端推都会让杆子发生形变,并且这个形变会以音速传递到另一端,而在形变传到之前另一端还是静止的。所以这个过程不可能让杆子具有波恩刚性(因为有一端仍然适用静止参照系的度规,而形变的杆子在静止系中的长度显然已经改变)。

                                          利用同样的推理过程,我们可以看出唯一可能让杆子在运动中具有波恩刚性的办法,是对杆子上每一个点同时加速!波恩选了个最简单的做法,就是让每点做匀加速运动(准确地说,是具有恒定“固有加速度”(proper acceleration)的运动,所谓固有加速度是随动系中测得的加速度。以下的匀加速都是指固有加速度不变,但这个细节对大家理解问题没有影响)。

                                          波恩从最简单的情形出发,首先考虑x轴上单个质点向右作匀加速运动的世界线。他发现跟牛顿力学中类似,这条世界线也是一条圆锥曲线,但牛顿力学中得到的是一条抛物线,而在闵氏时空中得到的是一条双曲线。于是波恩就把这样的匀加速运动取名为“双曲运动”(hyperbolic motion)。波恩还发现,假设加速度为a,当他把坐标原点取在质点左边(1/a)个单位的位置上时,这个方程有很简单的表达式(以下我们都调整单位使得光速c = 1),就是 x^2 – t^2 = 1/a^2 (这里 x^2 表示x平方)。这是个以1/a为半长轴,以光锥 t = x
                                          为渐近线的双曲线。如果对杆子上每点我们都用该点到原点距离的倒数作为加速度,那么我们会得到如下图所示的曲线族(看到这个曲线族熟悉的人估计马上想到Rindler坐标):


                                          (图的来源是http://mathpages.com/home/kmath422/kmath422.htm

                                          巧妙的是,任取一条双曲线,并且在这双曲线上任取一点,代表该点的随动坐标系的直线正好经过原点(图中的直线族)!而前面的双曲线方程左边正好成了随动系中该点到原点的长度的平方,所以每个质点在运动过程中到原点的距离在各自的随动系中没有变,都是加速度的倒数1/a!这说明从任何一个质点的随动系看,杆子的长度都没有变过,所以这符合波恩刚性的要求!上面图中的红色部分就是杆子的世界线在加速中的不同位置。

                                          好了,用口语代替数学公式的活儿干完了。如果你已经完全迷糊的话,下面是总结:如果把一根细杆放在原点右方的x轴上,然后让每点以x坐标的倒数为加速度做匀加速运动,我们就会得到一个波恩刚性运动。它的特点是,越靠近杆子右端,加速度越小;越靠近左端,加速度越大。就是说,左边必须用更大的加速度追赶右边才能保持距离不变。并且杆子左端趋向于原点时,需要的加速度会趋于无穷大!

                                          所以一旦杆子右端的加速度确定,原点的位置就确定了(往左移1/a,这也说明坐标系的选取没有特殊性,只是简化计算而已),而这也给杆子长度加了限制,因为左端不可能到达原点。所以棍子长度不能超过右端加速度的倒数。这是波恩刚性给匀加速运动的细杆所加的限制。

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                                          • 42楼
                                          • 2012-08-28 17:52
                                            • fishwoodok借助数学工具,作出如此奇妙的构思,太有才了!
                                              2012-8-28 03:02回复
                                            • fishwoodok回复 fishwoodok :这会儿我想起了“规划”二字,事实上做规划是一件很难的事情。波恩的规划做得太妙了。
                                              2012-8-28 03:05回复
                                            • 坂上中微子顶,顺便贴出我以前那篇讨论这个问题的贴: http://tieba.baidu.com/p/1754051279
                                              2012-8-28 03:11回复
                                            • wolfking97回复 坂上中微子 :那个帖子讲得挺好的。跟这里描述的其实都是波恩刚性,只不过没用具体公式,可能对初学者反而容易理解。那里唯一模糊一点的是先提到了“让棍子的各个部分同步感受到一股相同的加速度”,下面又说后端要有更大的加速追赶前端,可能有个别细心的会觉得困惑。我是看到后面就忘了前面。
                                              2012-8-28 09:54回复
                                            • 坂上中微子回复 wolfking97 :所以我特意指明了“感受到一股相同的加速度”的确切含义,如果细心,在看完后面的论述也就明白了。
                                              2012-8-28 21:33回复
                                              • 坂上中微子本来我这个思路也只不过是简单的把三维中的刚体“两点距离不变”这一定义中的三维概念代之以四维,唯一有那么点技术含量的只是找了固有时这一四维标量作为参量,没想到误打误撞和波恩不谋而合
                                                2012-8-28 21:36回复
                                              • 坂上中微子所以我很想知道的是波恩刚性在这个定义之上,究竟还有什么实际意义啊数学性质啊什么的,这个我思考起来有点力不从心。
                                                2012-8-28 21:37回复
                                              • wolfking97回复 坂上中微子 :这个还真不知道。
                                                2012-8-29 01:11回复
                                              • uukoo原来最早研究这种加速的是波恩,科普了
                                                2012-8-29 18:09回复
                                            •  



                                            对上面例子的几点补充:

                                            1.上面叙述的过程被我戏剧化了一点:)波恩在他1909年的文章里是先用一个参数方程给出了上面的匀加速运动轨迹,然后平淡地说了句“让我们消去参数p”就给出了上面的双曲线方程。

                                            2.原点的选取是个很自然的过程,因为它是双曲线的两条渐近线的交点。

                                            3.如果有个观者A坐在例子中匀加速的杆子上,另有个观者B则静止在原点,那么从A看B会出现一个奇怪的景象:尽管在拼命加速离开原点,但在A看来他/她跟B之间的距离却是恒定的!也就是说,A所选取的加速度的大小要正好把自己加速到一个合适的速度,使得自己跟B的距离(话说这个也依赖于加速度的选取!)由于尺缩效应而始终不变!从这里我们也可以体会到为什么这个波恩刚性是个看来自然,却限制很大的条件。

                                            4.另外从这里我们可以窥见一点刚性条件为什么是个非线性微分方程的原因:在这里方程简单地表现为A到B(原点)的距离为常数(对固有时求导当然就为零)。但这个距离不是闵空间本身的度规(那样的话就直接是x坐标了!),而是闵空间的度规在随动系上的诱导度规(就是固有长度),这个诱导度规非线性地依赖于质点的速度(要乘上洛仑兹因子,所以会出现导数的平方项)!

                                            5.(这个有趣的想法来自上面引用的那个世界线图片的mathpages网页)上面的例子引发我们思考一个可以称为“深刻”的问题,就是惯性的本源。这个问题恐怕无数物理学家都考虑过,其中牛顿,马赫,爱因斯坦大概是大家最熟悉的。而如果分析上面例子中的加速作用,就会发现尽管杆子的各点之间保持了距离不变,但由于各点加速度不同,在经过同样的固有时间后,各点的速度并不相同,也就是说,在它们的随动系中时间流逝的速度各不相同!这可以理解为物体从闵氏时空继承的几何性质(诱导度规的又一种说法)对加速运动的一种抗拒(或者说惯性!):要么各点之间距离改变,要么各点之间时间不同步,总之无法两全。要想距离不变,时间同步,只有在一个各点引力梯度完全相同的引力场中做自由落体运动。而这时各点固有加速度为零,所以局部地每点都处于惯性运动中。

                                            下一个例子打算介绍贝尔飞船佯谬。这是大家熟悉的素材,但我们会从刚性的角度作一点分析。


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                                            • 43楼
                                            • 2012-08-29 15:33


                                              坐等更新

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                                              • 44楼
                                              • 2012-08-30 20:17


                                                继续坐等~~

                                                收起回复
                                                • 46楼
                                                • 2012-08-31 22:25
                                                  • wolfking97还得再等等。今天刚把我可怜的笔记本的无线网修好了,好不容易能连上朋友家的路由器。上回用这个本本还是去年回家时候用过。估计这个周末没啥时间写东西了,就能上来报个到,或者吐吐槽。
                                                    2012-8-31 23:35回复
                                                  •  


                                                  楼主也是中国未来的希望 希望看到这一天

                                                  回复
                                                  • 49楼
                                                  • 2012-11-12 19:29

                                                    刚体依赖于质点间的瞬时同时相互作用,因此如果要考虑相对论,就必须抛弃刚体模型。

                                                  • 那个帖子被删了,其中有不少精彩的回复,事情过去就算了。我还是记得其间几位吧友对这个问题讨论得很热闹。

                                                    重新开始吧。记得昨天的讨论大致涉及下述问题:

                                                    问题1:相对论与刚体有关系吗?假如有,这是一个什么样的刚体?
                                                    问题2:光(电磁波)在刚体中是如何传播的?
                                                    问题3:能量(力)在刚体中是如何传播的?
                                                    问题4:声音在刚体中是如何传播的?
                                                    问题5:长度为1光年的刚体“超光速”问题?
                                                    问题6:......

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                                                    • 2楼
                                                    • 2012-08-22 20:39

                                                      回复
                                                      • 3楼
                                                      • 2012-08-22 20:41

                                                        没有加速度,经典力学的刚体模型就不会出问题,
                                                        不过也就没有任何存在的价值了

                                                        回复
                                                        • 4楼
                                                        • 2012-08-22 21:16

                                                          以下来自豆瓣:

                                                          狭义相对论里的刚体

                                                          2009-07-29 21:42:16来自: cmp0xff不小心(添加签名档)

                                                          关于旋转系里面时空结构改变的解释里面,很经典的是一片二维的刚体,绕一根垂直于它表面的定轴旋转。那么以轴和刚体的交点为原点任选一个惯性系S(也就是站在刚体外面观察刚体),刚体径向的长度度量是不变的(径向速度为0),而切向的长度度量发生洛仑兹收缩(切向速度为omega*r),因而在刚体上任意取一个“圆周”,其周长与半径之比小于2*PI。

                                                          因此这个刚体的“形状”发生了改变。那么这个刚体的“刚性”表现在哪里呢?如果真的有这样一个盘子,让它高速旋转起来,盘子的物质结构又会发生什么变化呢? 喜欢

                                                          2009-07-29 22:53:57 捕.风 Sophy (这是病,得治。)

                                                          你看盘子的时候是在两个不同状态下看的吧。
                                                          一个是盘子静止的时候,一个是盘子旋转的时候。在这两个状态切换的时候才有洛伦茨变换。单独考虑它在其中一个状态的时候,它还是刚性的呀。
                                                          下面一个问题让我想到另一个问题,我们讨论物质结构的时候,究竟是应该站在那个参考系来考量呢?如果想对盘子静止的话,它就没有改变了吧。

                                                          呵呵,程度尚浅,不知道对不对,等待牛牛解答。
                                                          2009-07-30 07:20:14 cmp0xff不小心 (添加签名档) @捕风

                                                          如果考虑盘子从静止缓慢加速,那么就有“非刚性”的“形变”了吧。

                                                          呃这里我的结论发生了一些问题,ms不是小于2*PI而是大于2*PI,jiong

                                                          2009-07-30 13:38:24 捕.风 Sophy (这是病,得治。)

                                                          嗯,的确在加速的过程中是“形变”了,不过想问一下刚体的刚性定义是在什么情况下“任意两个点的距离不变”呢?
                                                          ms是指在受力的情况下吧。若是考虑相对论效应的情况下,任何物质都不能保持“形状不变”吧。呵呵,我也不是很清楚。

                                                          2009-07-30 14:01:43 [已注销]

                                                          相对论情况下就不存在刚体这个模型。。。
                                                          想想看如果真的存在刚体的话
                                                          那么你随意找个点a作用下b马上就会有反映了。。。
                                                          超距作用就达成了。。。
                                                          2009-07-30 14:53:36 cmp0xff不小心 (添加签名档) @Γει|ωЭ>
                                                          爱因斯坦爷爷写的《相对论》一书里面提到了我说的(包含“刚体”模型)例子,作为支持“非惯性系中时空结构发生改变”的例证

                                                          @捕风
                                                          不知道啊不知道……
                                                          2009-08-04 11:40:31 VapourNov (君子固穷)

                                                          改变的是“空间”本身,而不是存在于空间中的“体”。
                                                          2010-02-07 20:46:54 cmp0xff不小心 (添加签名档)

                                                          恩这个问题似乎最终解决了。在转动起来之后刚体确实[必须]发生形变,因此刚体模型是不能在相对论情形里面在有加速度的情形中存在的。

                                                          2010-02-08 09:04:48 [已注销] 相对论考虑的就是信息的传播,缸体模型就不是干这个的。更好的提法似乎是,相对论观点中的客体会怎样行为。

                                                          收起回复
                                                          • 5楼
                                                          • 2012-08-22 21:28
                                                            • 幽灵蝶洛仑兹收缩并不是真实的收缩,而是一种参考系效应,对于旋转的刚体转盘,在每一处微元处的随动参考系内,该处只受惯性力和刚体给的反作用力,在任何参考系内都不存在洛仑兹收缩导致的力,所以刚体形变只是假像,把刚体放到不同的弯曲时空会看到不同的形状,
                                                              2012-8-22 14:09回复
                                                            • 幽灵蝶洛仑兹收缩并不是真实的收缩,而是一种参考系效应,对于旋转的刚体转盘,在每一处微元处的随动参考系内,该处只受惯性力和刚体给的反作用力,在任何参考系内都不存在洛仑兹收缩导致的力,所以刚体形变只是假像,把刚体放到不同的弯曲时空会看到不同的形状,
                                                              2012-8-22 14:18回复
                                                            • uukoo回复 幽灵蝶 :会收缩的,理想的盘子会裂开,参考梁灿彬老师的《微...》中册爱因斯坦转盘部分
                                                              2012-8-22 21:05回复
                                                            • guanxinzhu回复 uukoo :如果把一个氢原子看成一个盘子,这个氢原子会裂开(质子与电子分离)吗?
                                                              2012-8-24 01:36回复
                                                            •  


                                                            在物理学里,理想刚体(rigid body)是一种有限尺寸,可以忽略形变的固体。不论是否感受到外力,在刚体内部,质点与质点之间的距离都不会改变。根据相对论,这种物体不可能实际存在,但物体通常可以假定为完美刚体,前提是必须满足运动速度超小于光速的条件。在经典力学里,刚体通常被视为连续质量分布体;在量子力学里,刚体被视为一群粒子的聚集。例如,分子(由假定为质点的电子与核子组成)时常会被视为刚体(请参阅条目分子的分类为刚性转子)。
                                                            以上来自维基

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                                                            • 6楼
                                                            • 2012-08-22 22:22


                                                              初中物理就有这么个问题,什么时候能将物体当成点来处理,什么时候不行?现在想来,其实和理论无关,只是技巧问题,即使在非相对论问题当中,也存在不能有刚体的时候,在相对论中,也有把物体当刚体的时候。

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                                                              • 2012-08-22 22:40

                                                                咋回事啊,咋为抡个棍子的事吵起来了,这和刚不刚体没啥关系,棍子头处接近光速时,该处质量接近无穷,得用无穷大的力气才能抡动。

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                                                                • 2012-08-23 02:21


                                                                  似乎没那么简单,我要好好想想,似乎又可以发一篇主题了,只是最近只能爪机上网,电脑最近只能用很短时间…><

                                                                  收起回复
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                                                                  • 2012-08-23 02:50


                                                                    把三维刚体推广成四维刚体,一切问题就都解决了……


                                                                    收起回复
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                                                                    • 2012-08-23 09:36
                                                                      • _昕0昕_这是来玩数学的么..
                                                                        2012-8-22 20:47回复
                                                                      • uukoo回复 _昕0昕_ :不玩数学,物理就不是物理了
                                                                        2012-8-22 21:06回复
                                                                      • joy12_Good idea
                                                                        2012-8-23 06:42回复
                                                                      • fishwoodok回复 joy12_ :呵呵,有时候数学的东西挺有用,用语言怎么也说不清的的时候,一个简单的数学式子就ok了~~
                                                                        2012-8-23 06:57回复
                                                                      • joy12_回复 fishwoodok :数学真可谓延伸人类思维的神器~
                                                                        2012-8-23 21:50回复
                                                                        • wolfking97怎么定义啊?
                                                                          2012-8-24 05:48回复
                                                                        • ENGINEER波还是不行的,取物体上任两点,在时空中是两条世界线,那间隔该取哪两个时空点算?
                                                                          2012-8-25 05:46回复
                                                                        • 坂上中微子回复 ENGINEER波 :这个可以用固有时当做基准吧……毕竟根据初始条件是可以给出τ=0的事件簇的。
                                                                          2012-8-25 06:21回复
                                                                        • 坂上中微子而且,所谓刚体也无非就是物体内部任意两点之间保持距离不变,而闵氏间隔本身就满足这个条件,并不存在所谓取哪两个点的问题,因为任何两点都是这样。
                                                                          2012-8-25 06:22回复
                                                                        • fishwoodok回复 坂上中微子 :尽管任一两点之间的距离不变,但是你还没有解决刚体中信息传播速度问题?
                                                                          2012-8-25 06:31回复
                                                                      • 还有19条回复,点击查看


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                                                                      • 2012-08-23 10:18

                                                                        问题本身其实大家都明白。鱼姐发这个帖子表现了诚意,顶!
                                                                        只可惜Glowing1196貌似被封,不能参与讨论了。

                                                                        收起回复
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                                                                        • 2012-08-23 11:50
                                                                          • 雷天使_ramiel这个帖子是我置顶的,不知你有何感想
                                                                            2012-8-22 21:23回复
                                                                          • uukoo回复 雷天使_ramiel :我觉得如果矛盾没有激化,这个帖子完全可以解决,但问题是已经激化了,效果就难说了。
                                                                            2012-8-22 23:39回复
                                                                          • fishwoodok无需再说了,大家把码字的精力放到探讨上来吧。雷天使也要注意下说话的语气才是~~
                                                                            2012-8-23 03:11回复
                                                                          •  


                                                                          前面鱼姐已经给出了一个提纲。我就打算按这个来逐条讨论这些问题,不过当中可能改变顺序甚至合并一些问题。另外,我在这里会尽量避免公式,计算之类,而以解释为主,侧重点不在证明的严谨,而在于怎么从物理的观点来理解各种现象。而且这是贴吧不是课堂,所以我有时也许会天马行空一番,歪下楼完全可能,希望大家有耐心(话说我码字速度也巨慢无比)。最后,下面要讲的纯属个人的理解,所以错漏难免,希望大神们能及时指正。

                                                                          前些时候有吧友问了这么一个问题:“假设有甲乙两人相距一光年。甲拿着一根长一光年的棍子伸到乙的面前打出各种信息(比如莫尔斯电码),这样岂不就实现超光速通讯了?”

                                                                          上面问题中其实有个隐含条件,就是这根棍子是我们在经典力学中经常遇到的“理想刚体”。相吧对这类问题中的道具都已经有了“昵称”,把它叫做“神棍”。这根“神棍”的神奇之处就在于它无论在加速过程中还是受力情况下都不会发生形变。换句话说,棍子上各点之间的距离永远不变。

                                                                          利用这样一根刚体长棍,实现超距瞬间通讯的确不难。熟悉狭义相对论的朋友会很快指出,这正说明了经典力学中的刚体概念跟狭相是不相容的。也就是说相对论中没有牛顿力学的理想刚体。

                                                                          但是有很多人也许对这个简单的否定答案不能完全满意。我们当然相信狭义相对论,所以理想刚体显然不存在。但是怎么从物理上来理解这一点呢?假如我真拿根很长的铁棒钢棍之类,靠推拉它来传递信息,会出现什么情况呢?如果不能瞬间完成,那么真正的信息传递速度应该是多少呢?

                                                                          回复
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                                                                          • 2012-08-23 14:18


                                                                            1. 刚体与相对论的不兼容以及力的传播速度

                                                                            首先我们应该看到,理想刚体这个概念本身就蕴含了一个假设,就是信息可以瞬间传递。为什么这么说呢?因为刚体在加速过程中各点之间距离不变,所以如果在一端受力的话,刚体上所有的点必须同时得到一个大小和方向相同的加速度。问题是,刚体远端的点凭什么知道近端受到了压力呢?允许刚体概念的存在就必然要承认“近端受力”这个信息可以按无穷大的速度传遍整个刚体上每一个点,所以它在理念上就跟狭相的“信息传递速度有上限”不相容。而在牛顿力学中就没有这个问题,牛顿力学中至少在理论上是允许有理想刚体的,尽管在现实中物体总会有形变。

                                                                            那么,在物理现实中“一端受力”这个信息究竟是怎么传递的,又是以多快的速度传递的呢?答案其实是大家都熟悉的现象,就是声波!它的传递速度自然就是声速。

                                                                            在固体中,组成它的微粒(分子,原子)是以电磁力结合在一起的。固体跟气体和液体的区别在于每个微粒的位置是相对固定的。作为一个简化的模型,我们可以想象这些粒子就像一些彼此用弹簧连在一起的小球,弹簧的弹力在这里就代表电磁力。当我们移动小球时,小球会在一个方向压缩弹簧,另一个方向拉伸弹簧,从而把能量传递给周围的弹簧;弹簧又推动其它小球,把能量进一步传递出去。另外弹簧被压迫时,所连的小球会互相靠近,拉伸时小球会彼此远离,就会在我们的模型中造成疏密相间的情况。最初的小球因为弹簧的固定作用会很快静止下来,但这些小球的位移造成的疏密相间的密度变化却会一直向前传播,这就是我们熟悉的声波。用手推棍子的一端所造成的密度变化只不过是一种频率特低,振幅很不稳定的声波而已,它的传播速度跟我们能听到的声波遵从同样的规律。

                                                                            以上的朴素模型不仅可以用来解释力的传播机制,并且可以用来理解它的传播速度依赖哪些因素。首先,连接小球的弹簧越硬(不易被拉伸或压缩),旁边的小球就会越快受到影响;其次,小球越重,惯性就越大,就越不容易推动,传播速度就越慢。弹簧的抗拉伸抗压缩能力是固体的组成材料的固有特性,我们有个专门名词来称呼它,叫做“弹性模量”(elastic modulus);而小球在单位体积的质量就是材料的密度。弹性模量越大,密度越小的固体,声波在其中的传播速度就越大。它跟声波本身特性(频率,强度等等)反而没什么关系。

                                                                            那么假如你一门心思地要让力的传播速度超过声速,比如用超过声速的高速来推拉这根棍子,结果会怎么样呢?首先这极难做到(如果在空气中要做到这一点,你就得突破所谓音障。固体的音障会更难突破),如果真做到了,会对棍子造成结构性的破坏(多半远远没到那样的高速时棍子就断了)。

                                                                            最后稍稍歪下楼。前面提到密度越小声速越快时,估计有好多人在心里偷偷怀疑了一下。这是很自然的,因为声速在空气中最慢,液体中其次,固体中最快,所以分明是密度越大速度越快。解释也很容易,这是因为固体的弹性模量大于液体,液体又远大于气体,所以它们的密度差异被弹性模量的大小差异完全掩盖了。

                                                                            今天先到这里,下次讨论相对论中的刚性问题。

                                                                            收起回复
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                                                                            • 2012-08-23 14:21


                                                                              我觉得可以加个杠杆的平衡条件,因为杠杆和刚体有关

                                                                              收起回复
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                                                                              • 2012-08-23 14:41


                                                                                如果使用经典力学的刚体定义,就会出现“杠杆悖论”和“陷阱悖论”,只要按相对论认为最理想的刚体传递应力的最大速度不能超过光速,就可以解决“杠杆悖论”和“陷阱悖论”。

                                                                                收起回复
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                                                                                • 2012-08-23 17:54
                                                                                  • fishwoodok不妨定义下何谓“相对论认为最理想的刚体”?
                                                                                    2012-8-23 03:09回复
                                                                                  • 狐说笆道回复 fishwoodok :具体定义不好说,但特点首先是要能以光速传递应力,然后是不能有质量,肯定还是会有一点点弹性,不可能完全刚性。其它特点大家可谈谈看法。
                                                                                    2012-8-23 03:55回复
                                                                                  • wolfking97回复 狐说笆道 :恩,我有点明白你的意思了。你可以看看当初对以太的要求。那个会很接近你想象的理想刚体,因为那个就是用经典力学模式来传递光速用的。
                                                                                    2012-8-23 06:37回复
                                                                                  • fishwoodok回复 狐说笆道 :再想想吧,挺有意思的。
                                                                                    2012-8-23 06:54回复
                                                                                  •  


                                                                                  16楼隔壁马甲被我封号、删除。

                                                                                  回复
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                                                                                  • 2012-08-23 18:07

                                                                                    哟兮

                                                                                    回复
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                                                                                    • 2012-08-24 07:45

                                                                                      狭义相对论运动学只讨论匀速直线运动,不讨论变速直线运动,运动的刚性量杆变短从物理机制角度很难理解。

                                                                                      回复
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                                                                                      • 2012-08-25 02:43

                                                                                        根据wolfking97及其他吧友的论述,是否可以有下述结论?

                                                                                        1.刚体仅在牛顿体系中成立,其信息(?)传播速度(音速)是无穷大;
                                                                                        2.信息在刚体中的传播速度是无穷大,这与相对论原理相悖;
                                                                                        3.刚体内部是不允许有应变存在的。

                                                                                        楼下继续~~

                                                                                        回复
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                                                                                        • 2012-08-25 21:04

                                                                                          有一点我觉得值得指出,那就是,在牛顿力学框架下,理想刚体内部是不会有“声音”这种东西的。——想想声音是怎么在固体内传播的,就不难理解这种事情。既然牛顿力学中的刚体内部不可能存在声音,自然也不存在所谓的音速,实际上意思是任何形变在一瞬间就传遍了整个刚体,所以过渡到相对论框架下一切作用就必须以光速传递,此时与其说某物质团块是刚体,不如说时空本身是个刚体。


                                                                                          收起回复
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                                                                                          • 2012-08-25 21:48
                                                                                            • fishwoodok所谓声音传播,无非是一个扰动或者形变吧,这并不矛盾。 假如你说时空就是一个刚体,请问一个问题:在你所定义的时空内,放进一个物体后,原先的时空结构或者流形会发生变化吗?
                                                                                              2012-8-25 07:20回复
                                                                                            • wolfking97这只是semantics而已,不必太追究。这里的“音速”可以理解为任何状态变化信息的传播速度。刚体本质上是个有体积的质点,只有外部性质,没有内部结构。
                                                                                              2012-8-25 07:21回复
                                                                                            • 坂上中微子回复 fishwoodok :这里有个问题是,在物理上,某处某时不存在“有某物”和“无某物”都能成立的情况,物体什么时候在哪里,这都是确定好了的,说白了没有所谓的“原先”和“改变之后”,因为这本身就容不得你去改变。
                                                                                              2012-8-25 07:26回复
                                                                                            • 坂上中微子四维时空流形上任何一点除了有确定的空间坐标之外,还具有具体的时刻。既然具体到了时刻,那么该有就是有,该没有就是没有。有的话就不允许你假设“没有会如何”,没有的话同样不允许你假设“有又会如何”,这些都是非物理的假设。
                                                                                              2012-8-25 07:30回复
                                                                                            • 坂上中微子回复 wolfking97 :有体积就必然有结构可言……否则就意味着这块区域不准你微分——这合适吗?
                                                                                              2012-8-25 07:32回复
                                                                                              • fishwoodok回复 坂上中微子 :我们是无法“准确滴”确定“先后”,但是,为逻辑性考虑,有时必须讲出先后。
                                                                                                2012-8-25 07:32回复
                                                                                              • fishwoodok回复 fishwoodok :尽管他们是同时发生的。
                                                                                                2012-8-25 07:33回复
                                                                                              • 坂上中微子回复 fishwoodok :不是能不能确定先后的问题,是本来就没有先后——有就是有,没有就是没有,先有再改成没有,或者先没有再改成有,这些操作是不具有物理意义的。因为流形要求你具体到时刻——而如果仅把三维空间拿出来,你当然可以问,在不同时刻,某点存在哪些东西是不一样的,此时会有什么变化?
                                                                                                2012-8-25 07:35回复
                                                                                              • fishwoodok【有的话就不允许你假设“没有会如何”,没有的话同样不允许你假设“有又会如何”,这些都是非物理的假设。】 回复 坂上中微子 :照你这样说,我们都无法去分析、推断了,尽管我不是物理专业的,但是对科学研究的方法还是知道一些的。
                                                                                                2012-8-25 07:37回复
                                                                                              • 坂上中微子回复 fishwoodok :这里有个问题是,题设可以是虚拟的,你可以假设有,也可以假设没有,只要物理上允许就可以。——但是,这不影响一个原则:同一个问题之内你不能改,你都假设有了,再去问,没有会怎样?这是不可以的,对于同一时刻同一位置,有与没有是矛盾的,你可以分别讨论,但不能“出尔反尔”。
                                                                                                2012-8-25 07:41回复
                                                                                            • 还有16条回复,点击查看


                                                                                            昨天躺床上想了想,23楼昨天最后给出的思路具有以下特点:
                                                                                            1.由于使用固有时作为参量,四维间隔作为考量标准,这两者都是四维标量,所以自然满足洛伦兹协变。
                                                                                            2.它在低速情况下的确可以变成牛顿力学中的刚体,因为此时坐标时与固有时相同,而四维间隔的相等也就意味着三维空间距离的相等。
                                                                                            3.这种刚体在物理上具有的一个明显特性是,在刚体的随动系看来,物体不会发生任何形变。

                                                                                            收起回复
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                                                                                            • 2012-08-26 09:27
                                                                                              • wolfking97我觉得你的想法离波恩的定义不远了。就是不知道你这里会不会条件太强。
                                                                                                2012-8-25 23:53回复
                                                                                              • fishwoodok回复 wolfking97 :他现在的假设是:时空结构是“刚体”。
                                                                                                2012-8-26 00:04回复
                                                                                              • fishwoodok回复 fishwoodok :牛顿力学“刚体”。
                                                                                                2012-8-26 00:05回复
                                                                                              • 坂上中微子回复 fishwoodok :不,这里说的是物质,不是时空。因为有“固有时”作为量度物理进程的参量,这个概念只能针对质点或物质场定义。
                                                                                                2012-8-26 00:32回复
                                                                                              •  


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                                                                                              收起回复
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                                                                                              • 2012-08-26 15:03
                                                                                                • 坂上中微子你这等于是说,把一个刚体换成另一个形状的刚体,就等于刚体不再“刚”了——你这逻辑显然不对。
                                                                                                  2012-8-26 00:34回复
                                                                                                • 坂上中微子黑洞之间的吞噬是一个物理过程,要讨论这个物理过程的话,你的初始条件必须是唯一的。不是说最终结果是另一种情况,而是你在另一种情况下会得出另一种结果。
                                                                                                  2012-8-26 00:46回复
                                                                                                • fishwoodok从昨天到今天,我理解了你的意思,而你却没有理解我的意思,看来我的表达方式有问题。
                                                                                                  2012-8-26 03:52回复
                                                                                                • 坂上中微子回复 fishwoodok :我也很疑惑你为什么今天还问这个……
                                                                                                  2012-8-26 04:09回复
                                                                                                • fishwoodok回复 坂上中微子 :你没有说服俺啊,不可以问吗?
                                                                                                  2012-8-26 04:15回复
                                                                                                •  


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                                                                                                在相同的方程式(组)下,给定定解条件2,定解问题有解2(时空结构2),假如该时空结构也满足“四维刚体”定义,任意两点之间的间隔保持不变,其间隔为A2;

                                                                                                问题:
                                                                                                A1与A2之间是什么关系?
                                                                                                假如A1不等于A2,是否意味着由定解条件1变为定解条件2时,任意两点之间的间隔发生了变化?而这样的变化是否意味着定解条件1所属四维刚体的假设不成立?

                                                                                                你一直在和我绕“初始条件”和“最终结果”之间的关系,妄图混淆俺的视线,呵呵~~~~俺现在讲的是定解条件,全部包含了~~~

                                                                                                我觉得你的思路可以考虑,但是你现在仍然无法自圆其说,加油吧~~~

                                                                                                收起回复
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                                                                                                • 2012-08-26 19:14
                                                                                                  • 坂上中微子既然你后面说的是“条件1所属的”四维刚体的假设,那当你把条件1换成条件2的时候已经破坏了这个前提,所以你这个操作无法对“条件1所属四维刚体的假设”构成任何否定。——这就是逻辑上的错误所在。
                                                                                                    2012-8-26 05:39回复
                                                                                                  •  


                                                                                                  你现在讲的是定解条件,但一个问题里允许两种互不相容的定解条件同时出现吗?
                                                                                                  如果不允许,你就不能把这种变化视作刚性的丧失。你用改变定解条件来否定刚性,等于是你把原来的刚体换成另一块形状不同的刚体,然后说,看,形状变了,所以根本就不是刚体嘛——这种逻辑显然是荒唐的。


                                                                                                  收起回复
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                                                                                                  • 2012-08-26 19:26
                                                                                                    • fishwoodok但一个问题里允许两种互不相容的定解条件同时出现吗? ------------------------------------------------------------------------------ 请你看看我的表述,我说过“同时”吗?为何就不仔细看清楚呢?对一个数理方程组,不可以有N个不同定解条件吗?无非是解不一样而已。
                                                                                                      2012-8-26 04:47回复
                                                                                                    • fishwoodok这在逻辑上有何荒唐之处(学你的口气)?
                                                                                                      2012-8-26 04:47回复
                                                                                                    • fishwoodok我学过数理方程,干活就是玩数理方程,不至于犯如此低下的逻辑错误,(*^__^*) 嘻嘻……
                                                                                                      2012-8-26 04:48回复
                                                                                                    • 坂上中微子那就不说同时,改成“在同一个逻辑环节内”。一个数理方程组当然适用于很多定解条件,但具体的一个问题里只能有一组。
                                                                                                      2012-8-26 04:50回复
                                                                                                    • 坂上中微子至少我在数学物理方法课本上看到的“定解条件”不是你说的那样的,比如t=0的时候x=?,1也行,2也行,3.14159也行,但你要说t=0的时候x既等于1又等于2,甚至说,这个条件是合理的,无非是物体瞬移了!这个我想没人不会认为很荒唐。
                                                                                                      2012-8-26 04:52回复
                                                                                                      • fishwoodok回复 坂上中微子 :你看清楚我的表述没有?真的是无语了。我有那么昏吗?算了吧。到现在为止,我一直很心平气和地和你讨论,没有用什么“荒唐”字样来刺激你。你说话太过了!
                                                                                                        2012-8-26 05:06回复
                                                                                                      • fishwoodok回复 fishwoodok :大概我在你的眼里也是连何谓数理方程也不懂的mk一枚吧?损人也不是这样损的。
                                                                                                        2012-8-26 05:09回复
                                                                                                      • 坂上中微子回复 fishwoodok :我当然不相信你有那么昏,但我不清楚到底哪里没说明白。至于荒唐,我收起这个词就是了,而且我所谓的荒唐逻辑与你的意思应该也本来就不一样吧……
                                                                                                        2012-8-26 05:09回复
                                                                                                      • 坂上中微子我现在只看到你一直坚持认为换一个前提分析问题,就对应了某种实际的物理演化过程,现在通过这么多讨论,我无法不认为你持有这个观点,但这个观点的确有些让人哭笑不得。
                                                                                                        2012-8-26 05:12回复
                                                                                                      • fishwoodok回复 坂上中微子 :你可以辩解,但是你实实在在地伤害了我!
                                                                                                        2012-8-26 05:14回复
                                                                                                    • 还有8条回复,点击查看


                                                                                                    说得再直白一些,你把一根棍子“换成”一个球,不等于你非要把这条棍子捏巴捏巴变成球。如果是后者,才表明这团物质不具有刚性。


                                                                                                    收起回复
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                                                                                                    • 2012-08-26 19:30
                                                                                                      • fishwoodok我就是纠结在你如何解释“换”字,“不把棍子捏巴捏巴变成球”(假如是的话),前者的时空结构之刚性结论如何得来的?
                                                                                                        2012-8-26 05:00回复
                                                                                                      • 坂上中微子回复 fishwoodok :所谓换字,就是不改变棍子的形状,也不改变球的形状,只是简单的把棍子拿走,再把球拿过来代替。这个过程无需让棍子和球变形,所以允许刚性的存在。
                                                                                                        2012-8-26 05:06回复
                                                                                                      • fishwoodok回复 坂上中微子 :棍子拿走,球拿进来,对原先的时空结构(刚体)没影响?棍子或者球对度规没有贡献?
                                                                                                        2012-8-26 05:16回复
                                                                                                      • 坂上中微子你要把这种不同说成一种影响,也可以,但问题是你这种影响不会否定“刚性”……
                                                                                                        2012-8-26 05:22回复
                                                                                                      • 坂上中微子另外需要说明的是,所谓拿走和拿来,是一种逻辑上的更换,也就是说,我所说的是取消“一开始是棍子”的题设,而改成“一开始就是球”这样另外一种题设,这才是所谓的把棍子拿走然后把球拿来,而不是在时间上先把棍子拿走过一会再把棍子拿来。
                                                                                                        2012-8-26 05:27回复
                                                                                                        • fishwoodok回复 坂上中微子 我还是没明白,难道这个不讲过程,是两个离散、无联系的孤立事件?
                                                                                                          2012-8-26 05:38回复
                                                                                                        • 坂上中微子回复 fishwoodok :正是如此。你可以借助科幻中的“平行宇宙”来理解,两种不同的前提就相当于建立起来了两个不同的宇宙,互不相同,但也互不相干,各自的时空都是刚性的,只是对比起来不一样而已。
                                                                                                          2012-8-26 05:40回复
                                                                                                        • fishwoodok个人以为这样解释无法最终解决你所提的“时空结构就是一个相对论性刚体”的说法,因为它是一个孤立事件。
                                                                                                          2012-8-26 05:43回复
                                                                                                        • 坂上中微子回复 fishwoodok :我不能确定我的说法是否符合“相对论性刚体”,因为什么是相对论性刚体还没弄清。我只能确定,对于一个既定的时空而言,它既然是一个黎曼流形,那么其上任意两点的间隔肯定是固定的,从这种意义上说时空具有“刚性”,但能不能这么定义“刚体”还有待商榷。
                                                                                                          2012-8-26 05:47回复
                                                                                                        • fishwoodok回复 坂上中微子 :上次的波恩假设有一定的道理,等再看看吧,其实你的想法挺好的~~~
                                                                                                          2012-8-26 05:56回复
                                                                                                      • 还有7条回复,点击查看


                                                                                                      另外,我并没有纠结于初始条件和最终结果之间的关系,我一直强调的是初始条件的改变不是物理变化。任何事情都有这个问题,比如说“如果我让某个物体静止,它的能量就是零,但如果我改让它运动起来,那能量就不是零,是零和不是零显然不是相等的,所以能量守恒是错误的”——这段话错在哪里够明显了吧?

                                                                                                      收起回复
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                                                                                                      • 2012-08-26 19:38
                                                                                                        • fishwoodok【初始条件的改变不是物理变化。】何谓物理变化?你能肯定初始条件的改变不会引起物理变化?
                                                                                                          2012-8-26 04:52回复
                                                                                                        •  


                                                                                                        或者,时空的刚性问题与主楼的话题其实没有关系,我们要探讨的是物质而不是时空。
                                                                                                        所以这个问题不必去纠结,我们就先认定时空是平直的,然后去讨论一下物质团块在什么情况下是刚体就行了,时空本身刚不刚其实无所谓。

                                                                                                        收起回复
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                                                                                                        • 2012-08-26 20:02
                                                                                                          • fishwoodok@wolfking97,快来说说波恩的假设吧~~~
                                                                                                            2012-8-26 05:39回复
                                                                                                          • wolfking97回复 fishwoodok :我在组织材料呢。我先贴段上来吧。薇娘的刚性条件我感觉是太强,是所谓Killing Motion。但这个不用数学说不太清。
                                                                                                            2012-8-26 06:25回复
                                                                                                          •  



                                                                                                          2.相对论中的刚性

                                                                                                          1905年9月26日,爱因斯坦发表了他的“奇迹年论文”中的第一篇,《论动体的电动力学》,由此宣告了狭义相对论的诞生。

                                                                                                          我们已经看到牛顿力学的刚体是跟相对论不相容的。在1905年后的若干年中,许多物理学家都试图建立相对论框架下的刚体运动理论,其中包括爱因斯坦本人,还有波恩,劳厄这样的牛人。为什么这些大物理学家都如此注重刚体的概念呢?

                                                                                                          大家想必读过“郑人买履”的故事,这位老兄宁可多跑一趟去拿量好的尺码,也不肯拿脚去试鞋的大小,因为他 “宁信度,无自信”。不管故事原来的moral story是什么,我的想法是,如果把这位古代郑国人换成一个以严谨著称的德国人,他有可能做出同样选择吗?我是觉得不好说。

                                                                                                          在我看来郑人买履的故事揭示了一个人们心中根深蒂固的信念,就是绝对长度的存在。脚的大小也许上午跟下午就有区别,但尺码却不会变,尤其是具体的尺码所代表的抽象的一尺,一米,更不会变。刚体的概念正是和这种信念密不可分的。

                                                                                                          相对论的出现意味着独立于参照系的绝对长度概念的破灭。仅仅因为这个原因,经典的刚体概念也不再成立,因为静止系和随动系不可能对加速运动中的物体的长度达成共识。但是简单地放弃这个传统的概念恐怕不能让人满意。刚体的概念可以简化推理过程,简化定理叙述,也是各种力学和运动理论的试金石。所以不管是为了传统的延续还是讨论的方便,大家都希望找出相对论框架下的替代品。

                                                                                                          另一个历史的原因,是因为当时人们虽然发现了电子的存在,但它的模型却用了力学中的刚体。这个经典刚体模型虽然在低速下取得了一些成绩,但在高速时却让好多人感到头疼,这些处于头疼中的包括索末菲(Sommerfeld),赫兹(Hertz)和史瓦西(Schwarzschild)。所以在相对论下如何处理电子的运动学是个很迫切又重要的课题。波恩(Max Born)甚至认为,能否很好的描述电子的运动将是相对论成功还是失败的标志。

                                                                                                          收起回复
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                                                                                                          • 2012-08-26 21:28
                                                                                                            • 坂上中微子开眼界了,从来没想过刚体居然有这么深远的观念性渊源……
                                                                                                              2012-8-26 06:31回复
                                                                                                            • fishwoodok回复 坂上中微子 :我上次没来得及看,谢谢~~~~~
                                                                                                              2012-8-26 06:33回复
                                                                                                            • fishwoodok回复 fishwoodok :不是谢谢中微子,是谢谢wolfking97 ,都是中微子气的~~~~
                                                                                                              2012-8-26 06:34回复
                                                                                                            • wolfking97回复 fishwoodok :我去读了爱因斯坦,劳厄,波恩的英文版。好多素材来自波恩的文章。比如电子运动学部分。有些是德文的,丢下太久捡不起来了。
                                                                                                              2012-8-26 07:45回复
                                                                                                            • wolfking97回复 坂上中微子 :我也是才读到的,只是把想法组织一下。
                                                                                                              2012-8-26 08:24回复
                                                                                                            • 还有2条回复,点击查看


                                                                                                            wolfking97: 回复 fishwoodok :他的意思是,4维时空就代表了过去现在永远,一切发生过跟尚未发生的事情。所以黑洞的互相吞噬是时空结构的一部分。把Z轴暂时当时间轴的话,z=0时有两个黑洞,z=1时只有一个大黑洞,两个时刻空间结构当然不同,但却是整个一体的“时空”。
                                                                                                            -----------------------------------------------------------------------------------
                                                                                                            我确实理解不了。四维时空是一个“概念”,所有的事件都可以涵盖在这样的一个概念中。根据你的说法,四维时空的组成是:其间各异的时空结构的**?

                                                                                                            收起回复
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                                                                                                            • 2012-08-26 21:32
                                                                                                              • wolfking97你可以认为,其间各异的空间结构通过时间完美融合在一起。当然在这里我们已经是在考虑广相了。从狭相的角度,时空是平直的,物体的“运动史”构成上面的一个流(current)。这两种理论都是决定论的,理论上说,整个世界的历史,从过去到无限的未来,都在上面被决定了,都有自己固定的“流”。
                                                                                                                2012-8-26 08:03回复
                                                                                                              • wolfking97从广相的角度,这整个一切共同决定了时空的几何性质。
                                                                                                                2012-8-26 08:05回复
                                                                                                              • wolfking97所谓的按时间的“演变”,从相对论角度看只是我们硬把时间停住截取的一个个截面。就像你去做MRI,仪器给出的是空间的一个个二维截面,所以你会先看到五根手指骨的五个圆形截面,然后截面渐渐变粗,到上面融合成掌骨,最后到手腕,手臂。但其实整个人的解剖结构才是全部的几何。
                                                                                                                2012-8-26 08:14回复
                                                                                                              • wolfking97决定论的物理学,就是指通过前面指骨的截面,可以推出以后到掌骨的融合等等。前面的物质分布也决定了后面的分布。跟熟悉人体解剖学的医师从指掌部分多少可以推测手臂部分不无相似之处。
                                                                                                                2012-8-26 08:21回复
                                                                                                              • wolfking97回复 wolfking97 :相对论的最大贡献,在于指出了时空是密不可分的,以前我们常做的那种MRI,只是因为那台机器有问题,能拍出片子的似乎都是一个角度,于是大家以为MRI只能按一个角度拍。后来又进口了一台,才发觉你完全可以用其它角度取截面。这意味着“现在”这个词不再有明确意义。
                                                                                                                2012-8-26 08:36回复
                                                                                                                • fishwoodok我原先的判断有问题,把四维时空与四维时空结构之间的差异忽略了。
                                                                                                                  2012-8-27 04:33回复
                                                                                                              • 还有1条回复,点击查看


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