整体描述或拓补描述是对物理世界的微分描述的必要补充, 哈密顿量与时间无关的量子系统若开始处在一个定态（时间无关的哈密顿量的本征态）上，则在以后的演化中，它会始终处在这个定态上。末态与初态的唯一差别，是末态增加了一个只与能量相关的动力学相因子

绝热近似及Berry相

引  言

Maxwell建立电磁场理论以来，物质的相互作用是接触作用。由场传递的点作用，人们相信这是描述自然现象的唯一作用形式。与点相互作用密切联系的数学形式是微分形式，物质的运动由某一时空点，传递到邻近的时空点，一直到某特定的有限远或无限远处的“边界”。运动的微分方程联系着邻近的点，从可能存在的解，边界条件选出特定的、物理需要的解。这种点接触的作用于和传递通常叫做定域的作用或定域的描述。百余年来，人们对自然现象的了解深深根植于这种观念，甚至以为这是唯一的描述。

1959年理论上预测的Ａ-B效应及1986年令人信服的实验证明，存在一种新的物理描述——整体描述或拓补描述。整体描述是对物理世界的微分描述的必要补充，它们构成了对物理世界更为完美的图景。

1983年，M·Berry发现了绝热过程中量子力学波函数存在有一不可积的相位因子（与路径有关，对历史的记忆），它是几何性的，不同于通常的动力学相位。所谓的几何性是指它依赖系统环境的参数空间的路径，而不依赖环境参数随时间的变化速率和系统的动力学参数。B·Simorc对这一相位做出数学解释——物理系统的参数空间中纤维丛上的异和乐（anholonomy）（不可积性）。因而人们发现原来在十分简单的量子物理系统中，存在着拓补性质。拓补性或整体性是量子力学波函数相位的一项根本性质。Berry几何相因子，在最近十五年里，已成为量子力学发展最重要的方面之一，其基本观念几乎渗透到物理学的各个领域^<1-2>。

 绝热近似及Berry相

引  言

Maxwell建立电磁场理论以来，物质的相互作用是接触作用。由场传递的点作用，人们相信这是描述自然现象的唯一作用形式。与点相互作用密切联系的数学形式是微分形式，物质的运动由某一时空点，传递到邻近的时空点，一直到某特定的有限远或无限远处的“边界”。运动的微分方程联系着邻近的点，从可能存在的解，边界条件选出特定的、物理需要的解。这种点接触的作用于和传递通常叫做定域的作用或定域的描述。百余年来，人们对自然现象的了解深深根植于这种观念，甚至以为这是唯一的描述。

1959年理论上预测的Ａ-B效应及1986年令人信服的实验证明，存在一种新的物理描述——整体描述或拓补描述。整体描述是对物理世界的微分描述的必要补充，它们构成了对物理世界更为完美的图景。

1983年，M·Berry发现了绝热过程中量子力学波函数存在有一不可积的相位因子（与路径有关，对历史的记忆），它是几何性的，不同于通常的动力学相位。所谓的几何性是指它依赖系统环境的参数空间的路径，而不依赖环境参数随时间的变化速率和系统的动力学参数。B·Simorc对这一相位做出数学解释——物理系统的参数空间中纤维丛上的异和乐（anholonomy）（不可积性）。因而人们发现原来在十分简单的量子物理系统中，存在着拓补性质。拓补性或整体性是量子力学波函数相位的一项根本性质。Berry几何相因子，在最近十五年里，已成为量子力学发展最重要的方面之一，其基本观念几乎渗透到物理学的各个领域^<1-2>。

Berry几何相因子的提出与量子绝热过程的研究是密不可分的。大家知道，哈密顿量与时间无关的量子系统若开始处在一个定态（时间无关的哈密顿量的本征态）上，则在以后的演化中，它会始终处在这个定态上。末态与初态的唯一差别，是末态增加了一个只与能量相关的动力学相因子。如果哈密顿量依赖于时间，体系通常不会再保持在初始时刻的本征态上。哈密顿量随时间的改变，会激发不同瞬时能级间的跃迁。然而，与系统内禀演化相比，如果哈密顿量的改变足够缓慢，或称体系是绝热（adiabatic）变化的，类似于定态演化的特征会得以保持，量子绝热定理对此给出了定量的描述：

设H(t)是体系随时间改变的哈密顿量。若t=0时，体系处在H(0)的本征函数｜n(0)>上，当H(t)的变化足够缓慢时，在任一时刻t，体系仍将处在瞬时哈密顿量H(t)的本征态

｜n(t)>上。

量子绝热定理本身并未直接指出在t时刻系统的状态｜(t)>是什么，只是说|(t)>|n(t)>。但是，在证明量子绝热定理过程中，人们只给出了仅仅符合人们直觉的推论^<3-5>：             |(t)>～|n(t)>=|n(t)>                      (1)

其中是H(t)在t 时刻的瞬时本征值。这与时间无关系统的定态演化是一致的；当H(t)不依赖于时间            ｜(t)=exp[-i]n>。

然而在1984年，英国Bristol大学Berry 指出^<6>，方程（1）所表达的物理不尽正确。在很多情况下，方程（1）中除了动力学相因子

D(t)=exp[-i],                          (2)

还应有一个附加的相位     ，                  (3)

这就是Berry几何相位因子。

但也有人认为这只是普通的相位，（3）式并非是1984年Berry的发现。Berry相位是不可积的（non-integrable）相位，这点在Berry原创论文中已经强调过。这种相位是依赖路径的，也就是说不只依赖初态和末态，也依赖于一切中间态。如果路径是在参数空间，就依赖于参数空间参数变化的曲线，对于循环过程这曲线是闭合的路径Ｃ。呈现Berry相位的系统的哈密顿依赖时间的变化是绝热的，又是巡回的（cyclic），即经过一段时间，H(t)从H(0)变到H(T)，而且H(0)=H(T)。Berry相位是对这一环路积分的结果：

 

这才是Berry相。这时    　　      　　　(4)

事实上，早在Berry工作之前，人们已经知道这个相因子的存在，但是人们由于对波函数的单值性尚未有深入的认识而忽略了它的物理效应。一个典型论证可以在席夫的教科书^<3>中找到。他们认为既然本征方程

H(t)|n(t)=E(t)|n(t)>                             (5)

确定的本征函数可以相差一个相位因子，即

                        (6)

仍然是方程（5）的解（这里，形式上是时间的任意函数），那么适当地选取，会使＝，对应的几何相位。从这个表面上的意义讲，几何相因子是由于本征函数相位选择的不确定性造成的，人们完全可以重新选择相位加以消除^<3>。

然而在许多情况下，我们并不能任意选择本征函数的相位。哈密顿量H(t)=H[(t)]通常是通过一组参数依赖于时间的，Ｈ对是单值的。因而，也是参数的单值函数，但是相位重新选择会改变本征函数的单值性，这是量子力学所不允许的。事实上，在张成的参数空间Ｍ中，可重新表达为Ｍ中的路线积分：

，                （7）

其中是Ｍ中的梯度算子，因此，几何相因子不是Ｒ的单函数，而是一个依赖于路径的（不可积）相因子。重新选择相因子，本质上改变了波函数的单值性，这就是Berry几何相因子起源。总之，在参数空间中，几何相位的不可积性——依赖于路径的tR(t)，而不只是路径的末端(t)，是Berry几何相位存在的拓补原因^<7>。

另外，从动力学角度看，没有Berry几何相因子，方程(1)定义的时间演化不能很好地满足薛定谔方程。只有补充了Berry几何相位因子，薛定谔方程才能被很好的满足，这是Berry几何相位因子存在的动力学原因^<8>。仔细考察量子绝热近似成立的条件^<4>：

                      （８）

可以说明，动力学原因是不可缺少的，它与几何拓补起源是相辅相成的，不可相互替代。后者保证了Berry几何相位因子不能通过重新选择本征函数|n(t)>的相位加以消除，而前者是动力学方程所必需的。

但也有人对此持反对意见，认为由“满足Schrodinger方程定出Berry相位表达式”似乎不足以强调“Berry相位的根源来自动力学的要求”。因为，这条理由并不算是新的。在最初Berry自己的文章中，本来Berry就是以“满足Schrodinger方程定出Berry相位表达式”的，可是他仍然强调这个相因子的性质是几何的，并没有强调它“根源于动力学”（更不必说数学家Simon文章对此相因子的分析）。由于没有新的事实或新的分析，似乎还是以尊重原作者的分析和提法为宜。其实Berry相位问题正是说明了：来自Schrodinger方程的东西并不一定就是动力学的，虽然动力学的东西一定来自Schrodinger方程。因此，不宜说是“根源于动力学”或“来自动力学的要求”，说它是几何的或拓补的更合适一些。其实，几何或拓补的提法在Berry相位性质描述上更为准确，也更为深刻和普适。

Berry几何相位因子是Berry在研究量子混沌时发现的，当时Berry及其合作者正在研究三角形的无穷深势阱中粒子能级交叉点分步问题^<9>，其宏观的类比是三角形台球桌中台球的运动。显然，能级是三角形的两个角的函数，能级简并会随着这两个角度变化而出现。瞬时本征函数沿着两个角度构成的参数空间中一个闭合路径变化，波函数将会伴随着一个附加的几何相位因子——Berry几何相因子^<9>。这时虽然整体的量子态是通常变量（如位置）的单值函数，但在参数空间上不一定是一个单值函数。参数空间的拓补和几何特征，会决定波函数非单值性的基本特征。

Berry几何相因子显然是在研究特殊问题发现的，但后来蜂拥而至的工作表明，它是量子理论中一个普遍存在的重要概念，深刻地反映了量子系统乃至经典动力学过程的整体性质。它的研究已经涉及到原子分子物理，凝聚态理论，核物理和粒子物理，量子场论等物理领域。显然，此前人们对量子过程整体特性已经有所认识（如表征电磁势物理意义的Aharonov-Bohm相位的发现），但Berry几何相因子的普适性是令人惊讶的。本文由于篇幅所限，不能一一介绍它的应用，只对其基本观念和关键的应用进行了比较系统的阐述。

从量子绝热定理的重新证明^<10-13>发现，Berry本人的论述不加重新论述，直接引用了量子绝热定理。但以前证明绝热定理的推论通常是排除Berry几何相位的存在。为此，我们必须改进量子绝热定理的证明，从而要求我们会计算量子绝热定理的高阶的修正。所以，有人提出了高阶量子绝热近似方法。它不仅在零阶近似条件时，自动给出包含Berry相因子的结果^<10-13>，而且在偏离绝热近似条件时会计算高阶小量。后来证明，这种方法实质上是一种“时变表象”中的微扰理论。其核心思想可以用来理解旋转波近似、绝热消除法和二能级等近似方法。这些近似方法在现代物理中有普遍的应用。

结   语

本文力图通过对量子绝热近似的基本观念和思想的发展的阐述、以及讨论由此引发的Berry几何相位因子等量子力学的重要进展，使人们认识到Berry几何相因子是一个普遍存在的重要概念，它的研究已涉及到很多领域。但是人们对于什么是Berry相因子以及它的根源是否来自于动学力的要求还存在分歧。

参 考 文 献

<1> A.Shapere，F.Wilczek(ed) Geometric Phases in Physics，Singapore：World Scientific，1989

<2> 李华钟，简单物理学系统的整体性，上海科学技术出版社，上海，1998

<3> 席夫，量子力学（李淑娴，方励之译），人民教育出版社，北京，1982

<4> D·波姆，量子理论（侯德彭译），PP602-618，商务印书馆，北京，1982

<5> 汤川秀树（主编），量子力学（I），PP66-371，科学出版社，北京，1991

<6> M.V.Berry·Proc，R.Lond，A392，45-57  (1984)

<7> C.N.Yang，in Proc.In.Symp.Found.of Quantum Mechanics，Tokyo，1983，PP5-9

<8> J.Y.Zheng，Y.A.Lei，Phys.Rev.A51，4415  (1995)

<9> M.V.Berry，M.Wilkinson，Proc.R.Lond A392，15-43  (1984)

<10> C.P.Sun，J.Phys.A.Math.Gen21，1595  (1988)

<11> 孙昌璞，高能物理与核物理  12卷，351  (1988)

<12> C.P.Sun，Phys.Rev.D41，1349  (1990)

<13> C.P.Sun，Physica.Scripta，48，393  (1993)

Adiabatic approximate and Berry looks

Abstract: This article introduces the improvement of the basic idea and theory of the approximation of quantum thermo-insulation, and discusses the important development of quantum mechanics such as Berry geometric phase factor caused from this. The discovery of Berry geometric phase factor is a classical model that makes the evolution of quantum dynamics combine with the whole process of topology characteristic.

Key words: Berry geometric phase factor, the theorem of quantum thermo-insulation single valued function