其中曲线上的线元 ,方向是曲线的切线方向,其正方向规定为使得闭合曲线所包围的面积在它的左侧。举例来说,假如在河岸边看到河中有逆时针旋转的漩涡,那么在漩涡范围内,水流围绕涡心旋转,所以水流速度沿着逆时针围绕漩涡的闭合曲线积分一定大于零,即是说环量大于零。这说明漩涡中的水流流速场在漩涡范围内是转圈旋转的。
环量和通量一样,是描述向量场的重要参数。某个区域中的环量不等于零,说明这个区域中的向量场表现出环绕某一点或某一区域旋转的特性。旋度则是局部地描述这一特性的方法。为了描述一个向量场在一点附近的环量,将闭合曲线收小,使它包围的面元 的面积趋于零。向量场沿着 的环量和面元的比值在趋于零时候的极限值:
( 为 所在平面的法向量。)
如果用Nabla算子表示的话,向量场的旋度记作: 。
从定义中可以看出,旋度是向量场的一种强度性质,就如同密度、浓度、温度一样,它对应的广延性质是向量场沿一个闭合曲线的环量。如果一个向量场中处处的旋度都是零,则称这个场为无旋场。
坐标系中表示
在不同的坐标系下,向量场的旋度有不同的表达方式。直角坐标系
在三维直角坐标系 中,设向量场为:圆柱坐标系
圆柱坐标系中,假设物体位置的矢径为 ,定义其径向单位矢量 、横向单位矢量 和纵向单位矢量 ,那么向量场可以表示成:球坐标系
球坐标系中,假设物体的位置用球坐标表示为 ,定义它的基矢: ,则向量场 可以表示成:例子
下面是两个简单的例子,用以说明旋度的直观意义。第一个例子是向量场 (如图1):直观上,可以看出向量场是表示一个向顺时针方向旋转的趋势。
假如在图中放一个点,它会被向量场“推动”,沿顺时针方向绕圈运动。根据右手定则,旋度的方向应该是朝向页面内。按照右手系坐标的方向,旋度的方向是 轴的负方向。
经过计算可以得出,向量场的旋度为
和直观的推断相符合。
以上的计算表明,对于该矢量场,旋度是一个恒定的量,也就是说,每一点上旋转的程度都是一样的。
旋度图象为图2:
第二个例子是向量场 (如右图3):
向量场的作用是向下,越是靠近两侧,向下的趋势越显著。假想这个向量场是一个力场,一块薄板水平放在图的右边,那么由于更靠右的地方受到向下的力更大,薄板会顺时针转动。类似地,如果将薄板水平放在图的左边,则会逆时针转动。所以的旋转作用是右侧顺时针、左侧逆时针,而且越偏离中心,作用越大。按照右手定则,旋度应该是右侧朝 轴负方向(指向页面内),左侧朝 轴正方向(指向页面外)。实际的计算可以得到:
所以 时是朝 轴负方向, 时是朝 轴正方向,和直观推断相符合。
性质
场量乘积的旋度
以下的性质都可以从常见的求导法则推出。最重要的是,旋度是一个线性算子,也就是说:设 是标量函数, 是向量场,则它们的乘积的旋度为:
设有两个向量场 和 ,则它们的向量积的旋度为:
一个标量场 的梯度场是无旋场,也就是说它的旋度处处为零:
一个向量场 的旋度场是无源场,也就是说它的散度处处为零:
的旋度场的旋度场则是:
斯托克斯(Stokes)公式
三维空间 中,设 为分段光滑的空间有向闭曲线, 是以 为边界的分片光滑的有向曲面, 的正向与 的侧符合右手规则,函数 在曲面 (连同边界 )上具有一阶连续偏导数,则有历史
作为向量分析的基础概念,旋度同样源自对四元数上的微积分研究。哈密尔顿在介绍四元数的运算时,将一个四元数旋度的物理意义
设想将闭合曲线缩小到其内某一点附近,那么以闭合曲线L为界的面积也将逐渐减小.一般说来,这两者的比值有一极限值,记作即单位面积平均环流的极限。它与闭合曲线的形状无关,但显然依赖于以闭合曲线为界的面积法线方向且通常L的正方向与规定要构成右手螺旋法则。旋度的重要性在于,可用通过研究表征矢量在某点附近各方向上环流强弱的程度,进而得到其单位面积平均环流的极限的大小程度。磁场是有旋场,静电场是无旋场。自然之数 - 朱清生的博客 - 博客网
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期“锁”在一起的周期性运动的天体之间的关系,它们
以规则的时间间隔保持相同的相对位置。这种共同的循环时间叫做系统的周
期。每个天体各有不同的但相关的周期。我们可以弄清楚这种关系是什么。
在发生共振时,所有相关的天体必须在整数周期——但这个数可以因天体而
异——之后回归到一个标准参照位置。所以,对整个系统来说,存在某个公
倍周期。于是每个天体都有一个是该公倍周期某整数约数的周期。
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