bcs 具体的材料需要对其中电声子相互作用做具体的计算, 没办法求解4条腿（4个产生湮灭算符）的多体问题呢, 普通晶体的基态总是先填充下能带，形成价带。价带不满，就导电；价带满了就绝缘。而BCS基态的这两个准粒子能带都是空的，既没有准电子，也没有准空穴。加上足够的电压，就可以产生准电子和准空穴。

普通晶体的基态总是先填充下能带，形成价带。价带不满，就导电；价带满了就绝缘。而BCS基态的这两个准粒子能带都是空的，既没有准电子，也没有准空穴。加上足够的电压，就可以产生准电子和准空穴。

解决多体问题的二次量子化方法（专注费米子)

02 Dec 2014

好不容易理解了什么是二次量子化，在此记录。理解本文的基础：
- 普通量子力学
- slater行列式构造多费米子波函数空间

What and Why

• What is second quantization
  二次量子化是一种数学技巧。建立在量子力学基本原理之上。
• Why second quantize
  使用未二次量子化的波函数和哈密顿量处理有相互作用的多体问题十分麻烦。所以想出了一种方法方便处理。

必要的定义以及多体系统态空间的建立

天下没有免费的午餐，为了要使用二次量子化工具，必须要先定义一些量。这些定义的目的是建立另一种形式的多体波函数以及哈密顿量。要始终记住的是：二次量子化的态和力学量算符与一次量子化的态和算符是等价的。

一：定义真空态

|0>  真空态满足：

<0|0>=1 

二：以某力学量为参考，定义产生，湮灭算符

c + i ,c i   用来产生湮灭粒子。
比如：选取动量算符为参考，那么，产生算符作用到真空态上（c + i |0>  ）产生一个处于动量算符第i个本征态上的粒子。
性质：

c + i |0>=|0...1...0>(例如：代表动量第i个本征态上占据一个电子) 

c + i |0...1...0>=0 

c i |0...1...0>=|0> 

c i |0>=0 

三：定义产生湮灭算符的反对易关系：

{c i ,c j }=0foranyi,j 

{c + i ,c + j }=0foranyi,j 

{c + i ,c j }=δ i,j  

四：定义n粒子系统的基矢。

例如，在动量表象中：
n粒子基态为：c + 1 c + 2 ...c + n |0⟩  。代表有n个粒子分别处于动量算符的第n, n-1, …, 1个本征态。

能量比基态稍高的态：$$ c_1^+ c_2^+ … c^+{n-1} c^+{n+1} \left

0\right\rangle $$。原本处于第n态的粒子激发到n+1态上了。

通过以上的定义，我们得到了系统的态空间（稍后你会发现，这与slater行列式等价）。

二次量子化形式的哈密顿量

原先的哈密顿量（带相互作用）

H=∑ i H 1 (x i )+12 ∑ i≠j V 2 (x i −x j ) 
其中H 1   代表第i个单粒子能量，V 2 (x i −x j )  代表第i个粒子与第j个粒子之间的相互作用势能。

二次量子化形式的哈密顿量

H=∑ i ϵ i c + i c i +∑ ijkl V ij:lk c + i c + j c k c l  
where

ϵ i =∫dxu ∗ i (x)H 1 (x)u i (x) 

and

V ij:lk =∫dx∫dx ′ u ∗ i (x)u ∗ j (x ′ )V 2 (x−x ′ )u k (x ′ )u l (x) 

u i (x)  代表某力学量算符（例如动量）的第i个本征函数。
可以发现该哈密顿量由三种东西构成：一次量子化形式的算符，算符的本征态以及产生湮灭算符。可以证明这个哈密顿量与原先的哈密顿量是等价的。
要证明二者等价，只需证明两个哈密顿量在各自态空间中矩阵元一致。
下面验证两种形式哈密顿量的对角元是一致的。

验证两种量子化方法等价

物理体系：两个相互作用的电子：

一次量子化形式的哈密顿量

易知，一次量子化形式的哈密顿量为：
H=−ℏ 2 2m ∂ 2 ∂x 2 1  −ℏ 2 2m ∂ 2 ∂x 2 1  −e 2 4πϵ 0 |x 1 −x 2 |  
x 1 ,x 2   分别指代粒子1和粒子2。
以动量算符的本征态为素材，利用slater行列式可以建立体系的态空间。这里验证基态下两种量子化方法的哈密顿量期望值相等。这就相当于验证了H  在动量空间中矩阵形式的对角元素。
设两个费米子，分别处于动量算符的两个本征态：ϕ 1 ,ϕ 2   ，可以用slater行列式得到体系的一次量子化形式的态。

一次量子化形式的态矢量

|ψ>=12  √  [ϕ 1 (x 1 )ϕ 2 (x 2 )−ϕ 1 (x 2 )ϕ 2 (x 1 )] 

一次量子化形式的哈密顿量在该态下的期望

<ψ|H|ψ> 

=12 ∫dx 1 dx 2 [ϕ ∗ 1 (x 1 )ϕ ∗ 2 (x 2 )−ϕ ∗ 1 (x 2 )ϕ ∗ 2 (x 1 )]H[ϕ 1 (x 1 )ϕ 2 (x 2 )−ϕ 1 (x 2 )ϕ 2 (x 1 )] 

=12 (<ϕ 1 (x 1 )|P 1 |ϕ 1 (x 1 )>+<ϕ 2 (x 1 )|P 1 |ϕ 2 (x 1 )>+<ϕ 1 (x 2 )|P 2 |ϕ 1 (x 2 )>+<ϕ 2 (x 1 )|P 2 |ϕ 2 (x 2 )>)+∫dx 1 dx 2 [|ϕ 1 (x 1 )| 2 |ϕ 2 (x 2 )| 2 V 2 −ϕ ∗ 1 (x 1 )ϕ 2 (x 1 )ϕ ∗ 2 (x 2 )ϕ 1 (x 2 )V 2 ] 

=<ϕ 1 |P|ϕ 1 >+<ϕ 2 |P|ϕ 2 >+∫dx 1 dx 2 [|ϕ 1 (x 1 )| 2 |ϕ 2 (x 2 )| 2 V 2 −ϕ ∗ 1 (x 1 )ϕ 2 (x 1 )ϕ ∗ 2 (x 2 )ϕ 1 (x 2 )V 2 ] 

二次量子化形式的哈密顿量

由二次量子化哈密顿量的定义得：

H=<ϕ 1 |P|ϕ 1 >c + 1 c 1 +<ϕ 2 |P|ϕ 2 >c + 2 c 2 +V 12:12 c + 1 c + 2 c 2 c 1 +V 12:21 c + 1 c + 2 c 1 c 2  

由于当c + i   与c i   数目不相等时作用到态上结果为0，因此上式有许多项被忽略了。

二次量子化形式的态矢量

|ψ>=c + 1 c + 2 |0> 
and

<ψ|=<0|c 2 c 1  

二次量子化形式的哈密顿量在该态下的期望

<ψ|H|ψ>=... 
可以用产生湮灭算符的对易关系来得到，结果与一次量子化一样。你也试一试把。






BCS之美（二）：B, C, S这伙人的故事

已有 1066 次阅读 2012-6-17 18:26 |个人分类:物理学|系统分类:科普集锦|关键词:BCS 超导

本来不想干这种吃力不讨好的事，看了会仟老师的超导博文，感到意犹未尽，再做点补充。

 

话说老B （就是巴丁，比另两个老了10几20岁），可不是个等闲之辈。

他多次跳槽，40年代末正好是贝尔电话公司的电子器件方面的研究人员，他和同事一起发明了半导体三极管。

他因此和几个人分享了1956年的诺贝尔物理学奖，够牛B了吧。

但是，他还嫌不够。

由于他早年具有固体理论方面的研究基础，他了解了小C(库伯）的配对思想，突然对超导发生了兴趣。

他就召集了当时小有成就的小C 和聪明的小S(西里夫）来研究超导理论。

老B应该只是做点指手画脚的工作，小C和小S 是具体的理论创造者。

上一讲中已经讲到小C提出的电子配对思想，也就是费米面上两个电子由于微弱的吸引力而配成对。

这是个很好的出发点，老B 就死死地盯住这个核心，让小C小S 寻找系统的最小能量解。

小S 鬼使神差地想到，超导基态应该是个电子对形成的相干态。这大概就是灵感。

相干态是个很神奇的量子态，粒子数不定，但具有最小的位相涨落。很多玻色子凝聚相都处于相干态，比如激光。

电子是费米子，想处于相干态就需要做点手脚。

小S 发现，按照小C的主意把电子全都配成对对儿，就可以写出一个相干态来。

大量的非超导电子集体就像一个海洋，时而蹦几个出来成为超导电子或者反回来，形成了粒子数不固定的相干态。

小S以这个相干态为基态，对能量求极小值，就得到了一个漂亮的超导解。

另一条路是对吸引相互作用做平均场近似。这也是不得已的办法，谁叫人类至今也没办法求解4条腿（4个产生湮灭算符）的多体问题呢。

很神奇的是，这样近似之后直接求解，竟然跟小S 的相干态解完全一样。

于是，BCS的超导解就这样定下来了。

 

这个BCS超导解漂亮在哪里？ 首先，刚才讲的相干态解和平均场近似解惊人一致，条条道路通罗马，不能全当是巧合。

第二，这样一个配对机制，有一个最小的激发能。小于这个激发能，不能有激发，电阻也就不能存在。没有哪个其他的模型能如此完美解释超导性。这个解释跟朗道的超流二级相变理论有点相似。

第三，这个BCS模型还同时解释了超导体的完全抗磁性。磁场进不去超导体。

第四，居然有人用BCS模型证明出了超导的金兹堡-朗道二级相变理论的序参量。

第五，杨振宁也来凑了个热闹，发现BCS超导态具有非对角长程序。这个东西当时惊爆了好些人的眼球，讲的是一对电子和很远（无穷远）的一对电子有关联。它后来成了一个超导的判据。

第六，就算BCS模型不适用于高温超导，但BCS的配对思想仍然几乎是所有高温超导模型的出发点。

 

所以，BCS你不服不行。BCS的确有丑的一面，没有丑就没有美。且听下回分解。

BCS之美（三）

BCS之美（二）

BCS之美（一）

本文引用地址：http://blog.sciencenet.cn/blog-222979-583103.html  此文来自科学网李铭博客，转载请注明出处。
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[7]SMMYPOWER  2013-10-28 10:41

从感觉上，BCS模型应适用于高温超导，只需找出BCS的不足的死穴。

[6]王喜军  2012-7-28 06:11

没学过量子场论，不太懂“相干态”，但似乎这个相干态是关键

[5]王喜军  2012-7-5 07:27

“他就召集了当时小有成就的小C 和聪明的小S(西里夫）来研究超导理论。”
启发：这种慧眼识英的领导力也是科学重大创新的推动力。没有B, 就没有BCS.

博主回复(2012-7-6 10:06)：是啊

[4]曹天德  2012-6-18 13:42

更早期的有些道理的解释是，电声作用太弱、加上杂质及晶格无序，使然。还有别的解释。我的解释中（见arXiv上，我不记得是哪篇文章），费米面的结构和电子间的关联，是决定性的因素。就地球上的环境而言，超导只能出现在固体中。

[3]guangke  2012-6-18 13:24

那就是说：Na、K，惰性气体，找不出电声子了？

[2]曹天德  2012-6-18 12:14

回1楼:早期解释见Solid State Communications 147 (2008) 4.

[1]guangke  2012-6-18 11:25

李老师您好：
”碱金属如Na、K，惰性气体尚未观测到超导电性“
BCS理论对以上两类的超导观点是什么呢？

博主回复(2012-6-18 11:50)：一般而言，BCS是对超导现象的普遍描述。具体的材料需要对其中电声子相互作用做具体的计算。