Monday, October 5, 2015

实际晶格的原子振动：原子间的相互作用力(恢复力)并非严格地与原子的位移成正比。当考虑到原子的相互作用势能中d的三次项和高次项，晶格的原子振动就不能描述成为一系列严格线性独立的谐振子。声子与声子间将相互交换能量


N种与波矢有关的集体振动→ω(q)






(二)晶格的热膨胀
实际晶格的原子振动：原子间的相互作用力(恢复力)并非严格地与原子的位移成正比。当考虑到原子的相互作用势能中d的三次项和高次项，晶格的原子振动就不能描述成为一系列严格线性独立的谐振子。声子与声子间将相互交换能量
实际晶格的原子振动微扰处理与热平衡：如果原子的位移还相当小，可把这些d高次项看成微扰项。由于微扰项的存在，这些谐振子就不再是相互独立的，而相互间要发生作用，不同频率间声子可转换，各种声子的分布就能达到热平衡


固態物理概論 - 第 451 頁 - Google 圖書結果

https://books.google.com.hk/books?isbn=957114200X - 轉為繁體網頁
閻守勝 - 2006
電子和聲子相互作用,為保持晶體動量和能量的守恆,僅圖中和電子激發譜相重, ... 頻率為^ ^ ^ )聲子模式的軟化程度依賴於溫度(圖 11.26 〕溫度 7 — 7 ^時, 0(2^0 — 0 ,即週期為^ &的晶格振動愈 ... 7 ^ 7 ^時, ^ 2 ^ = 0 ,恢復力為零,晶格結構失穩,發生?

晶格的热膨胀

jpkc.zju.edu.cn/k/174/stu/content/6.1.2.2.htm

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实际晶格的原子振动：原子间的相互作用力(恢复力)并非严格地与原子的位移成正比。 ... 子就不再是相互独立的，而相互间要发生作用，不同频率间声子可转换，各种声 ...


晶格动力学_百度百科

baike.baidu.com/view/1296917.htm

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晶格动力学（lattice dynamics）是研究晶体原子在平衡点附近的振动和这些振动对晶体物理性质的影响的学科。固体物理学的基础内容 ... N=0的情况是谐振子的零点（振动）能量。ћωi为格波的能量量子，称为声子。 ... 晶格振动源于原子间的弹性恢复力。


[PPT]3.8第三章总结

gtwl.zzuli.edu.cn/file/3.8第三章总结.ppt

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三维晶格振动、声子. 一维晶格振动 ... 晶格振动的波矢数目=晶体的原胞数N， ... (1)式代表振动方程，右边第一项 为准弹性恢复力，第二项表示电场 附加了恢复力。


[PDF]上讲回顾：晶格振动的色散关系

gtwlx.jpkc.fudan.edu.cn/lec25.pdf

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1. 上讲回顾：晶格振动的色散关系. • 简谐近似：力与位移成线性关系 ... 晶格振动的量子理论. 2. 本讲目的：引入声子来描写晶格振动 ...... 衡位置的恢复力. • 怎么处理？


[PPT]03_02_一维单原子链

wljx.hdu.edu.cn/eol/common/elares/download.jsp?...

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恢复力常数. 03 晶 ... 格波方程. 相邻原子的相差. 03 晶格振动_XCH. 固体物理_20120214. 波矢的取值和布里渊区 ... 声子—— 晶格振动的能量量子__格波的能量量子.


一维单原子链晶格振动的定量研究_CNKI学问

xuewen.cnki.net/CJFD-BJWX201001016.html

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一维单原子链晶格振动的定量研究-1引言晶格振动是研究固体材料的态密度、晶格摩尔热容、德拜温度以及热膨胀系数等热力学性质的基础,因此对固体声子谱的 ... 邻基质原子之间的恢复力系数,β1'、β2'是间隙原子与其近邻原子之间的恢复力系数[1]。


[PPT]格波

jx.hncu.net:8083/mc/1201020/03_02.ppt

轉為繁體網頁
03_02_一维单原子链—— 晶格振动与晶体的热学性质. 03_02 一维单 ... 恢复力常数. 03_02_一维 .... 声子—— 晶格振动的能量量子；或格波的能量量子. 当这种振动 ...


练习测试

media.openonline.com.cn/media_file/rm/.../lianxi-3.htm

轉為繁體網頁
[ 答案] （ 1 ）原子间弹性恢复力常数为. 一维简单晶格的 ... 简谐近似、声子、 N 过程、 U 过程、格波、格波色散关系、晶格振动谱。 3-2 爱因斯坦模型 ... 时声子数目多？ 3-7 已知一维单原子链的相邻原子间距为a ，力常数为β ，在简谐近似下，求（ 1 ）格波色.


第三章晶格振动Ⅰ—声子_0x94文档库

www.0x94.com/doc/0-vk-Zon7tZo7NCbR.html

轉為繁體網頁
这样处理后，我们就可把晶格振动的总体看成是声子的系综。 ... 当δ 很小，即振动很微弱时，势能展开式中可只保留到δ 2 项，则恢复力为− dU = − d U δ = −βδ ...




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上讲回顾：晶格振动的色散关系
Page 1
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晶格振动的量子理论
1
上讲回顾：晶格振动的色散关系
• 简谐近似：力与位移成线性关系
• 晶体中每个原子振动是仅差相位的
N种与波矢有关的集体振动→ω(q)
* 原子位移以波形式传播→格波
# 3支声学：q→0，ω与q成线性关系
† 振幅方向相同， q=0时代表质
心的振动
# 3s-3支光学：q→0，ω为常数
† 振幅方向相反，q=0时代表质心
不动的相向振动
• 存在频率隙，不允许传播
optical
acoustic
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晶格振动的量子理论
2
本讲目的：引入声子来描写晶格振动
• 简谐振动的特点
* 原子位移u不独立， u之间有且仅有相位差别
* 但，振动ω(q)独立，即ω(q)之间无耦合
→本质上是一种独立振动←简谐振动
→对简谐振动量子化
→简谐振动的能量是分裂的
→简谐振动能量子=声子
目的：与晶格作用←与声子作用
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晶格振动的量子理论
3
第25讲、晶格振动的量子理论
1. 一维单原子链解的讨论
2. 简正坐标：一维情况
3. 简正坐标：三维情况
4. 晶格振动的量子化
→视野拓展→离子晶体的振动
* 离子晶体长光学波的电磁耦合→色散关系的偏离
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晶格振动的量子理论
4
1、一维单原子链解再讨论
• 简谐势
• 运动方程
• 尝试解
• 解，振动模式
• q的取值为
不等价有N
)2
(
1
1
2
2
n
n
n
n
x
x
x
dt
xd
m
-
+
=
-
+
β
2
sin
2)(
qa
m
q
β
ω
=
( )
[
]
tq
qnai
n
Ae
x
ω-
=
取整数
l
aN
l
q
,
2π
=
(
)
∑
+
-
=
n
n
n
xx
V
2
1
2
1
β
简谐
思考：这个解到底表示什么意思？
2
sin
2)(
qa
m
q
β
ω
=
( )
[
]
tq
qnai
n
Ae
x
ω-
=
取整数
l
aN
l
q
,
2π
=
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晶格振动的量子理论
6
讨论：从解的形式看
• 位移不独立，与第n个原胞有关，
* 如果格矢na相差为2π/q的整数倍时，位移完全相等
• 振动频率ω(q)与第几个原胞(原子)完全无关
• 思考：这是什么意思？
* 这表示所有的原子都同时在做频率为ω的振动，只
不过有个相位差！
( )
[
]
tq
qnai
n
Ae
x
ω-
=
2
sin
2)(
qa
m
q
β
ω
=
取整数
l
aN
l
q
,
2π
=
这说明什么？
各个原子的振动不是独立的！
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晶格振动的量子理论
8
讨论：位移与格点？
• 不同格点，n，原子的位移，由Bloch定理决
定，仅仅差一个相因子，这说明，各个原子的
振动并不是独立的
• 思考：什么意思？
* 晶格振动是一种集体的振动！
• 思考：什么意思？
* 对应某个给定频率，需要N个原子互相有关联的位
移来描写具有这个频率的集体振动→振动是互相有
关的；或，提到某个频率的振动，就得与这N个的
位移联系起来
( )
[
]tq
qnai
n
Ae
x
ω
-
=
( )
[
]
个原胞
共有
为整数
N
n
Ae
x
tq
qnai
n
,
,
ω
-
=
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晶格振动的量子理论
9
讨论：再看位移与波矢关系
• 波矢的取值由周期性边界条件决定
* 一个状态q对应s个频率，s即自由度，一维单原子，
s=1；…
* N是振动状态的数目
* 简谐近似下这些不同的振动状态，互相之间是独立
的，没有关系→简谐振动
• 总结一下，晶体原子的振动，简单地说
* 就是关于q独立，关于x不独立！
原胞数
个值
共
N
N
N
l
N
l
Na
q
,
,
2
2
,
2
≤
<
-
=
π
( )
[
]tq
qnai
n
Ae
x
ω
-
=
那么，各个原子到底怎么振动？或，
在任意时刻t，各个原子到底处在什么
位置？
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晶格振动的量子理论
11
讨论：再看解的形式
• 实际上，上面只是一个特解，一般解应是它们
的迭加，即在任意时刻t，n格点的原子处在
• 振幅与q有关，A
q
(t)中含有e-iωt
* 即位移是各种不同波矢、不同频率的格波的迭加
• 用这种方法来确定晶体中各个原子的空间坐标
随时间的变化，使描写晶格振动变得非常复杂
* 因为各个原子相互之间是关联的
[
]t
qnai
n
Ae
x
ω
-
=
( )
∑
=
q
iqna
q
n
etA
x
这个形式？
为什么会这样？
不同原子的振动是互相关联的，虽然振
动状态是独立的，但每个原子位移并不
是独立的
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晶格振动的量子理论
13
那有无更简便的方法来描写这种振动
• 有！
* 如果把所有有关联的原子位移用一个整
体的位移来描写，即把所有原子的位移
以某种形式组合起来，用这种整体位移
来描写这个本质上是独立的振动
• 这可能吗？
* 可能，这就是简正坐标
• 为什么？
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晶格振动的量子理论
14
回忆：我们如何处理一维运动？
• 就象我们不会用三维坐标处理一维运动
* 描写一维运动，如随意放置坐标轴，需要三个
变量x，y，z；当然它们并不独立，会有两个
约束条件。但形式上会有三个变量x，y，z出
现在运动方程中，这样的表示是不方便的
• 不会这样做！并不是不能，而是不为
• 现在的道理是一样的→有可能以与每个原
胞有关的变量为坐标轴的N维坐标系就可
解决这个问题→这即简正坐标。N是原胞
的总数
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晶格振动的量子理论
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2、简正坐标：一维情况
• 一维单原子链解的分析
* 换个角度，如果晶格振动中各个不同的波矢、不同
频率的格波的振幅知道了，振动情况也就完全确定
了——因为格波之间没有相互作用
* 因此，就没有必要去知道每个原子的空间坐标
• 但是原子之间关联怎么办？看如何关联?
• 就是有交叉项！如果能通过变化消除交叉项，
就可以分离变量。为此，需要变换基轴x，本
质上，相当于通过变换使晶格振动的描写简化
(
)
(
)
∑
∑
+
+
+
-
+
=
-
=
n
nn
n
n
n
n
n
xx
xx
xx
V
1
2
1
2
2
1
2
2
1
2
1
β
β
简谐
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晶格振动的量子理论
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一维单原子链解的位移
• 用 x
n
表示格点n处原子位移时，x是坐标轴
* 就象一维运动采用三维坐标一样，既然每个原胞中
等价原子的振动不是独立的，把它们的位移都表示
出来的描写是不方便的
• 我们已经知道，每个振动并不是独立的，因
此，可以适当选择坐标轴，使运动的描写能够
简化
• 现在的任务是如何选择坐标系，也即如何选取
基轴，使势能的表示没有交叉项
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晶格振动的量子理论
17
基轴的选择
• 不能用xyz做基轴，那么用什么做基轴较好？
• 显然，应该是N维的，用eiqna
，
对于不同的q
• 用本征矢eiqna做基轴
• 本征矢eiqna本身满足正交归一性，即按q求和，
• 或按n求和，
* 这个正交归一就是说：按状态求和，只看一个格点
就可以了；而按格点求和，只看一个状态就可以了
( )
∑
=
q
iqna
q
n
etA
x
(
)
',
'
1
nn
q
anniq
e
N
δ=
∑ -
(
)
',
'
1
qq
n
naqqi
e
N
δ=
∑ -
iqna
e
N
1
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晶格振动的量子理论
18
展开
• Q
q
(t)就是简正坐标，该式意义即x
n
在基矢轴
eiqna的分量。利用正交条件可以求它的逆变化
• 现在看动能和势能在这个基矢轴下能不能表示
得简洁些
∑
=
n
n
xm
T
2
2
1
x
(
)
(
)
∑
∑
+
+
+
-
+
=
-
=
n
n
n
n
n
n
n
n
xx
x
x
x
x
V
1
2
2
1
2
1
2
2
2
β
β
( )
( )
∑
=
q
iqna
q
n
etQ
Nm
tx
1
( )
( )
∑
∑
∑
-
-
=
q
n
naiq
iqna
q
n
naiq
n
ee
N
tQ
Nm
etx
N
'
'
1
1
1
( )
( )
( )
tQ
tQ
etx
N
m
q
q
qq
q
n
naiq
n
'
'
'
=
= ∑
∑
-
δ
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19
• 将
代入
[
]
naiqaniq
naiq
iqna
aniq
iqna
aniqaniq
qqn
qq
e
e
ee
ee
e
e
QQ
Nm
V
'
)
(
'
)
('
)
('
)
(
',,
'
1
1
1
1
2
+
+
+
+
-
+
-
=
∑
β
[
]
∑
∑
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
-
-
+
=
+
+
',
)'
(
'
)'
(
'
qq
n
naqqi
aiq
iqa
aqqi
qq
e
e
e
eQQ
Nm
1
2
β
[
]
{
}
∑
-
+
-
-
+
=
',
',
'
)'
(
'
qq
qq
aiq
iqa
aqqi
qq
Ne
e
eQQ
Nm
δ
β
1
2
[
]
{
}
∑
-
-
-
-
=
q
iqa
iqa
q
q
e
e
QQ
m
2
2
β
[
]
{
} ∑
∑
-
-
=
-
=
q
q
qq
q
q
q
QQ
qa
QQ
m
2
2
1
1
ω
β
)
cos(
[
])
cos(qa
m
q
-
=
1
2
2
β
ω
(
)
∑
+
+
-
+
=
n
n
n
n
n
xx
x
x
V
1
2
2
1
2
2
β
( )
( )
∑
=
q
iqna
q
n
etQ
Nm
tx
1
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20
• 同样对动能也可得
∑
∑
∑
∑
∑
-
-
+
+
=
=
=
=
q
q
q
qq
qqqq
qq
n
naqqi
qq
qqn
naqqi
qq
QQ
QQ
e
QQ
N
eQQ
N
T
x
x
x
x
x
x
x
x
2
1
2
1
2
1
2
1
',
','
',
)'
(
'
',,
)'
(
'
δ
• 利用
*
q
q
Q
Q =
-
• 最终可得
∑
│
⎠
⎞
│
⎝
⎛
+
=
q
q
q
q
Q
Q
H
2
2
2
2
1
ω
x
[
])
cos(qa
m
q
-
=
1
2
2
β
ω
• 其中
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21
• 这样过渡到量子力学处理——简谐振子方程
* 可解得能量
• 值得注意：量子化谐振子的频率就是经典简谐
振动的频率
• 可以推广到三维的情况
• 上面所说的过渡到量子力学处理还需要证明Q
和动量p=dQ/dt满足正则变量对易关系。但Q
是复数简正坐标，不能直接变成算符，还需引
入线性变换
( )
q
q
q
n
E
ω
ω
ħ│
⎠
⎞
│
⎝
⎛
+
=
2
1
∑
│
⎠
⎞
│
⎝
⎛
+
=
q
q
q
q
Q
Q
H
2
2
2
2
1
ω
x
(
)q
q
q
QQ
-
+
=
Θ
2
1
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3、简正坐标：三维情况
• 定义简正坐标Q
n
• 通过线性变换消除交叉项，将动能和势能同时
简化为简正坐标Q
n
平方项的和
∑
=
=
N
n
n
Q
T
3
1
2
2
1
x
∑
=
=
N
n
n
n
Q
V
3
1
22
2
1
ω
∑
=
=
N
n
n
jn
j
j
Qa
M
u
3
1
1
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晶格振动的量子理论
23
• 那么，正则动量为
n
n
n
Q
Q
VT
p
x
x
=
∂
-
∂
=
)
(
• 哈密顿量为
(
)
∑
=
+
=
N
n
nn
n
Q
p
H
3
1
22
2
2
1
ω
• 从正则方程得到
nn
n
n
Q
Q
H
p
2
ω-
=
∂
∂
-
=
x
0
2
=
+
nn
n
Q
Q ω
xx
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24
4、晶格振动的量子化
• 将经典哈密顿中的动量写成算符形式
n
n
Q
i
p
∂
∂
-
= ħ
• 即可得到波动方程
(
)
(
)N
N
N
n
nn
Q
QQE
Q
QQ
Q
Q
n
3
2
1
3
2
1
3
1
22
2
2
2
2
1
,...,
,
,...,
,
ψ
ψ
ω
=
│
│
⌋
⌉
│
│
⌊
⌈
│
│
⎠
⎞
│
│
⎝
⎛
+
∂
∂
-
∑
=
ħ
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晶格振动的量子理论
25
• 这表示的是一系列无相互作用的简谐振子，可
以分离变量，记
( )
( )l
l
l
ll
Q
Q
Q
Q
l
φ
ε
φ
ω
=
│
│
⎠
⎞
│
│
⎝
⎛
+
∂
∂
-
22
2
2
2
2
1
ħ
• 解为厄密多项式，其本征值为
l
l
l
n
ω
ε
ħ│
⎠
⎞
│
⎝
⎛
+
=
2
1
∑
=
=
N
l
l
E
3
1
ε
(
)
( )
∏
=
=
N
l
l
n
N
Q
Q
QQ
l
3
1
3
2
1
φ
ψ
,...,
,
• 得
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晶格振动的量子理论
26
comments
• 特别注意：一个简正振动并不是表示某一个原
子的振动，而是整个晶体所有原子都参与的振
动频率相同的振动
• 这种集体振动称为振动模
• 振动能量是分裂的，量子化的！即
∑
=
j
jjnj
n
uaM
Q
~
l
l
l
n
ω
ε
ħ│
⎠
⎞
│
⎝
⎛
+
=
2
1
• 由
∑
=
=
N
n
n
jn
j
j
Qa
M
u
3
1
1
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晶格振动的量子理论
27
• 这样的量子谐振子的频率就是经典振动的频率
• 这样的量子谐振子称为声子——晶格振动的能
量子
• 利用声子的概念处理晶体中相互作用问题就比
较简单明了，比如：
* 晶格振动与晶格振动的相互作用；
* 晶格振动与电子的相互作用；
* 晶格振动与光子的相互作用等
声子
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28
声子是玻色子，遵从玻色统计
• 声子是描写晶体中所有原子集体振动的量子
* 包含原子周期性排列结构的信息
• 考虑振动能量：以频率ω振动，能量是量子化
的
ω
ε
ω
ε
ħ
ħ
n
n
n
n
=
⇒
│
⎠
⎞
│
⎝
⎛
+
=
2
1
• 半经典处理：声子能量分立，但用经典统计。
根据玻尔兹曼统计理论，略去常数项后，在温
度为T时一个频率ω的振动模式平均能量为
( )
Tk
e
en
E
n
n
n
n
B
0
0
1
,
=
=
∑
∑
∞
=
-
∞
=
-
β
ω
ω
ωβ
ωβ
这里
ħ
ħ
ħ
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29
∑
∑
∑
-
-
-
∂
∂
-
=
β
β
β
β
n
n
n
e
e
ne
ln
β
β
-
-
∂
∂
-
=
e
1
1
ln
1
1
-
=
β
e
( ) ∑
∑
=
=
-
=
=
N
i
i
N
i
i
i
e
E
U
3
1
3
1
1
β
ω
ω
ω
ħ
ħ
∑
=
=
N
i
i
n
U
3
1
ωħ
1
1
-
=
β
ω
i
e
n
ħ
( )
1
0
0
-
=
=
∑
∑
∞
=
-
∞
=
-
ωβ
ωβ
ωβ
ω
ω
ω
ħ
ħ
ħ
ħ
ħ
e
e
en
E
n
n
n
n
1
1
-
=
Tk
l
B
l
e
n
/)q(
)q(
ωħ
• 常用的关系
• 由此得到
• 对N个原子，每个原子3个自由度，共有3N个
振动模式
• 如比较
得
正是声子能量
之和，如果n
是声子占据数
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30
• 格波的能量是分立的，整数倍地增加
l
l
l
n
ω
ε
ħ│
⎠
⎞
│
⎝
⎛
+
=
2
1
l
l
n ωħ
2/
l
ωħ
• 声子的能量和准动量分别为
l
ωħ
qħ
• 第l支格波的能量为
• 最低能量并不是零，称为零点振动能
• 晶体的热学性质与晶格振动有关的部分由此给
出。即玻色分布的地位相当于电子中费米分布
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31
本讲小结
• 运动方程是相互关联的：简谐势能如果用原子
位移表示有交叉项
* 每个振动q状态(模式)是独立的，位移是关联的
→因此，有可能简化这个问题
* 简正坐标：用更简洁地坐标来描写这种物理本质上
是独立的晶体中原子的集体振动
* 简谐振子：由于晶体的周期性结构，原子位移并不
是独立的，但有可能找到一种坐标系，使哈密顿对
角化→独立简谐振子，意即振动与振动之间无耦合
• 对晶格振动中的简谐振子进行量子化→声子
* 这是以后研究晶体热力学性质、描写电子被晶格振
动散射，进而研究金属电导的基础
(
)
∑
+
-
=
n
n
n
xx
V
2
1
2
1
β
简谐
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32
新引入的概念
• 晶格振动是一种集体振动——称为格波
* 在简谐近似下，格波就是简谐波，这时格波之间的
没有相互作用
• 独立的简谐振动模式——声子——简谐振动的
能量量子格波能量→能量量子化→声子
* 如果某种格波ωl
(q)被n
l
个声子占据，这种格波的能
量就是
* 声子是遵从玻色统计
* 声子的能量和准动量分别为
)q(
l
l
l
n
ω
ε
ħ│
⎠
⎞
│
⎝
⎛
+
=
2
1
1
1
-
=
Tk
l
B
l
e
n
/)q(
)q(
ω
ħ
l
ωħ
qħ
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习题
25. 设有一维简单晶格，晶格常数为a，原子质量
为m，在平衡点附近两个原子间相互作用势能
可表示成
3
2
2
0
6
1
2
1
2
1
r
r
ra
a
UrU
ζ
η
ζ
η
+
+
│
⎠
⎞
│
⎝
⎛
+
-
=
)(
求色散关系。
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→视野拓展→离子晶体的振动
• 离子晶体振动会有什么特别的问题？
* 离子晶体中，长光学波振动将产生内建电场！
* 这个内建电场作用在离子上，有一个附加的指向平
衡位置的恢复力
• 怎么处理？
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35
极化产生内建电场
• 正、负离子的相对位移，将导致极化强度矢量
* Q是有效电荷，omega是原胞体积，u分别是正负离
子的相对位移
• 产生极化波
• 根据电动力学，极化将产生内建电场
(
)-
+
-
Ω
=
uu
P
*
1
Q
(
)t
i
e
ω
-
•
=
rq
PP
0
(
)
(
)2
2
2
0
2
2
/
/
c
q
c
ω
ε
ω
-
•
-
=
Pqq
P
E
这种内建电场将如何影响晶格振动？
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影响作用在原子上附加力
• 作用在离子上的力将变化
(
)
(
) E
uu
u
E
uu
u
Q
dt
d
M
Q
dt
d
M
-
-
=
+
-
-
=
-
+
-
-
-
+
+
+
β
β
2
2
2
2
E
u
u
uuu
Q
dt
d
M
M
MM
+
-
=
-
=
+
=
-
+
-
+
-
+
β
μ
μ
2
2
,
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如果分横向、纵向振动
• 纵向电场(q波矢)
• 横向电场
• 横向伴随电磁场，而纵向就只有电场，
• 由于电磁场存在，外电磁波与晶格振动的横模
之间发生耦合，从而改变传播性质
相反方向
与
这里
P
EqP
P
E
L
L
,//
,
0
ε
-
=
(
)
qP
P
E
⊥
-
=
这里
,
/
2
2
2
0
2
c
q
T
ω
ε
ω
Eq
B
×
=
ω
1
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极化色散关系，类声子(直线)，类光子(斜线)
• 细实线表示没有
电磁耦合时的声
子、光子色散关
系
• ω>cq区域，极
化电场E与位移
u相反，使恢复
力增加频率增
加；反之亦然
• 耦合产生频率隙
LO
ω
TO
ω
类声子
类声子
类光子
类光子
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40
课堂讨论题
• 如右图的振动
的频谱关系，
是光学支态密
度大还是声学
支态密度大？
一维的情况如
何？高维的
呢？为什么？
q
ω
π/2a
声学支
光学支
LO
LA
(2β/μ)
1/2
(2β/M)
1/2
(2β/m)
1/2
M>m



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