Monday, October 5, 2015

fudan 简谐近似：力与位移成线性关系 晶体中每个原子振动是仅差相位的N种与波矢有关的集体振动,原子位移以波形式传播→格波

[PDF]上讲回顾：晶格振动的色散关系
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1. 上讲回顾：晶格振动的色散关系. • 简谐近似：力与位移成线性关系 ... 晶格振动的量子理论. 2. 本讲目的：引入声子来描写晶格振动 ...... 衡位置的恢复力. • 怎么处理？

原子位移以波形式传播→格波

3支声学,3s-3支光学

存在频率隙，不允许传播

* 原子位移以波形式传播→格波
# 3支声学：q→0，ω与q成线性关系
† 振幅方向相同， q=0时代表质
心的振动
# 3s-3支光学：q→0，ω为常数
† 振幅方向相反，q=0时代表质心
不动的相向振动
• 存在频率隙，不允许传播

* 原子位移以波形式传播→格波
# 3支声学：q→0，ω与q成线性关系
† 振幅方向相同， q=0时代表质
心的振动
# 3s-3支光学：q→0，ω为常数
† 振幅方向相反，q=0时代表质心
不动的相向振动
• 存在频率隙，不允许传播
* 原子位移以波形式传播→格波
# 3支声学：q→0，ω与q成线性关系
† 振幅方向相同， q=0时代表质
心的振动
# 3s-3支光学：q→0，ω为常数
† 振幅方向相反，q=0时代表质心
不动的相向振动
• 存在频率隙，不允许传播


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上讲回顾：晶格振动的色散关系
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晶格振动的量子理论
1
上讲回顾：晶格振动的色散关系
• 简谐近似：力与位移成线性关系
• 晶体中每个原子振动是仅差相位的
N种与波矢有关的集体振动→ω(q)
* 原子位移以波形式传播→格波
# 3支声学：q→0，ω与q成线性关系
† 振幅方向相同， q=0时代表质
心的振动
# 3s-3支光学：q→0，ω为常数
† 振幅方向相反，q=0时代表质心
不动的相向振动
• 存在频率隙，不允许传播
optical
acoustic
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晶格振动的量子理论
2
本讲目的：引入声子来描写晶格振动
• 简谐振动的特点
* 原子位移u不独立， u之间有且仅有相位差别
* 但，振动ω(q)独立，即ω(q)之间无耦合
→本质上是一种独立振动←简谐振动
→对简谐振动量子化
→简谐振动的能量是分裂的
→简谐振动能量子=声子
目的：与晶格作用←与声子作用
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晶格振动的量子理论
3
第25讲、晶格振动的量子理论
1. 一维单原子链解的讨论
2. 简正坐标：一维情况
3. 简正坐标：三维情况
4. 晶格振动的量子化
→视野拓展→离子晶体的振动
* 离子晶体长光学波的电磁耦合→色散关系的偏离
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晶格振动的量子理论
4
1、一维单原子链解再讨论
• 简谐势
• 运动方程
• 尝试解
• 解，振动模式
• q的取值为
不等价有N
)2
(
1
1
2
2
n
n
n
n
x
x
x
dt
xd
m
-
+
=
-
+
β
2
sin
2)(
qa
m
q
β
ω
=
( )
[
]
tq
qnai
n
Ae
x
ω-
=
取整数
l
aN
l
q
,
2π
=
(
)
∑
+
-
=
n
n
n
xx
V
2
1
2
1
β
简谐
思考：这个解到底表示什么意思？
2
sin
2)(
qa
m
q
β
ω
=
( )
[
]
tq
qnai
n
Ae
x
ω-
=
取整数
l
aN
l
q
,
2π
=
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晶格振动的量子理论
6
讨论：从解的形式看
• 位移不独立，与第n个原胞有关，
* 如果格矢na相差为2π/q的整数倍时，位移完全相等
• 振动频率ω(q)与第几个原胞(原子)完全无关
• 思考：这是什么意思？
* 这表示所有的原子都同时在做频率为ω的振动，只
不过有个相位差！
( )
[
]
tq
qnai
n
Ae
x
ω-
=
2
sin
2)(
qa
m
q
β
ω
=
取整数
l
aN
l
q
,
2π
=
这说明什么？
各个原子的振动不是独立的！
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晶格振动的量子理论
8
讨论：位移与格点？
• 不同格点，n，原子的位移，由Bloch定理决
定，仅仅差一个相因子，这说明，各个原子的
振动并不是独立的
• 思考：什么意思？
* 晶格振动是一种集体的振动！
• 思考：什么意思？
* 对应某个给定频率，需要N个原子互相有关联的位
移来描写具有这个频率的集体振动→振动是互相有
关的；或，提到某个频率的振动，就得与这N个的
位移联系起来
( )
[
]tq
qnai
n
Ae
x
ω
-
=
( )
[
]
个原胞
共有
为整数
N
n
Ae
x
tq
qnai
n
,
,
ω
-
=
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晶格振动的量子理论
9
讨论：再看位移与波矢关系
• 波矢的取值由周期性边界条件决定
* 一个状态q对应s个频率，s即自由度，一维单原子，
s=1；…
* N是振动状态的数目
* 简谐近似下这些不同的振动状态，互相之间是独立
的，没有关系→简谐振动
• 总结一下，晶体原子的振动，简单地说
* 就是关于q独立，关于x不独立！
原胞数
个值
共
N
N
N
l
N
l
Na
q
,
,
2
2
,
2
≤
<
-
=
π
( )
[
]tq
qnai
n
Ae
x
ω
-
=
那么，各个原子到底怎么振动？或，
在任意时刻t，各个原子到底处在什么
位置？
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讨论：再看解的形式
• 实际上，上面只是一个特解，一般解应是它们
的迭加，即在任意时刻t，n格点的原子处在
• 振幅与q有关，A
q
(t)中含有e-iωt
* 即位移是各种不同波矢、不同频率的格波的迭加
• 用这种方法来确定晶体中各个原子的空间坐标
随时间的变化，使描写晶格振动变得非常复杂
* 因为各个原子相互之间是关联的
[
]t
qnai
n
Ae
x
ω
-
=
( )
∑
=
q
iqna
q
n
etA
x
这个形式？
为什么会这样？
不同原子的振动是互相关联的，虽然振
动状态是独立的，但每个原子位移并不
是独立的
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晶格振动的量子理论
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那有无更简便的方法来描写这种振动
• 有！
* 如果把所有有关联的原子位移用一个整
体的位移来描写，即把所有原子的位移
以某种形式组合起来，用这种整体位移
来描写这个本质上是独立的振动
• 这可能吗？
* 可能，这就是简正坐标
• 为什么？
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晶格振动的量子理论
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回忆：我们如何处理一维运动？
• 就象我们不会用三维坐标处理一维运动
* 描写一维运动，如随意放置坐标轴，需要三个
变量x，y，z；当然它们并不独立，会有两个
约束条件。但形式上会有三个变量x，y，z出
现在运动方程中，这样的表示是不方便的
• 不会这样做！并不是不能，而是不为
• 现在的道理是一样的→有可能以与每个原
胞有关的变量为坐标轴的N维坐标系就可
解决这个问题→这即简正坐标。N是原胞
的总数
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晶格振动的量子理论
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2、简正坐标：一维情况
• 一维单原子链解的分析
* 换个角度，如果晶格振动中各个不同的波矢、不同
频率的格波的振幅知道了，振动情况也就完全确定
了——因为格波之间没有相互作用
* 因此，就没有必要去知道每个原子的空间坐标
• 但是原子之间关联怎么办？看如何关联?
• 就是有交叉项！如果能通过变化消除交叉项，
就可以分离变量。为此，需要变换基轴x，本
质上，相当于通过变换使晶格振动的描写简化
(
)
(
)
∑
∑
+
+
+
-
+
=
-
=
n
nn
n
n
n
n
n
xx
xx
xx
V
1
2
1
2
2
1
2
2
1
2
1
β
β
简谐
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一维单原子链解的位移
• 用 x
n
表示格点n处原子位移时，x是坐标轴
* 就象一维运动采用三维坐标一样，既然每个原胞中
等价原子的振动不是独立的，把它们的位移都表示
出来的描写是不方便的
• 我们已经知道，每个振动并不是独立的，因
此，可以适当选择坐标轴，使运动的描写能够
简化
• 现在的任务是如何选择坐标系，也即如何选取
基轴，使势能的表示没有交叉项
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基轴的选择
• 不能用xyz做基轴，那么用什么做基轴较好？
• 显然，应该是N维的，用eiqna
，
对于不同的q
• 用本征矢eiqna做基轴
• 本征矢eiqna本身满足正交归一性，即按q求和，
• 或按n求和，
* 这个正交归一就是说：按状态求和，只看一个格点
就可以了；而按格点求和，只看一个状态就可以了
( )
∑
=
q
iqna
q
n
etA
x
(
)
',
'
1
nn
q
anniq
e
N
δ=
∑ -
(
)
',
'
1
qq
n
naqqi
e
N
δ=
∑ -
iqna
e
N
1
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展开
• Q
q
(t)就是简正坐标，该式意义即x
n
在基矢轴
eiqna的分量。利用正交条件可以求它的逆变化
• 现在看动能和势能在这个基矢轴下能不能表示
得简洁些
∑
=
n
n
xm
T
2
2
1
x
(
)
(
)
∑
∑
+
+
+
-
+
=
-
=
n
n
n
n
n
n
n
n
xx
x
x
x
x
V
1
2
2
1
2
1
2
2
2
β
β
( )
( )
∑
=
q
iqna
q
n
etQ
Nm
tx
1
( )
( )
∑
∑
∑
-
-
=
q
n
naiq
iqna
q
n
naiq
n
ee
N
tQ
Nm
etx
N
'
'
1
1
1
( )
( )
( )
tQ
tQ
etx
N
m
q
q
qq
q
n
naiq
n
'
'
'
=
= ∑
∑
-
δ
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19
• 将
代入
[
]
naiqaniq
naiq
iqna
aniq
iqna
aniqaniq
qqn
qq
e
e
ee
ee
e
e
QQ
Nm
V
'
)
(
'
)
('
)
('
)
(
',,
'
1
1
1
1
2
+
+
+
+
-
+
-
=
∑
β
[
]
∑
∑
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
-
-
+
=
+
+
',
)'
(
'
)'
(
'
qq
n
naqqi
aiq
iqa
aqqi
qq
e
e
e
eQQ
Nm
1
2
β
[
]
{
}
∑
-
+
-
-
+
=
',
',
'
)'
(
'
qq
qq
aiq
iqa
aqqi
qq
Ne
e
eQQ
Nm
δ
β
1
2
[
]
{
}
∑
-
-
-
-
=
q
iqa
iqa
q
q
e
e
QQ
m
2
2
β
[
]
{
} ∑
∑
-
-
=
-
=
q
q
qq
q
q
q
QQ
qa
QQ
m
2
2
1
1
ω
β
)
cos(
[
])
cos(qa
m
q
-
=
1
2
2
β
ω
(
)
∑
+
+
-
+
=
n
n
n
n
n
xx
x
x
V
1
2
2
1
2
2
β
( )
( )
∑
=
q
iqna
q
n
etQ
Nm
tx
1
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20
• 同样对动能也可得
∑
∑
∑
∑
∑
-
-
+
+
=
=
=
=
q
q
q
qq
qqqq
qq
n
naqqi
qq
qqn
naqqi
qq
QQ
QQ
e
QQ
N
eQQ
N
T
x
x
x
x
x
x
x
x
2
1
2
1
2
1
2
1
',
','
',
)'
(
'
',,
)'
(
'
δ
• 利用
*
q
q
Q
Q =
-
• 最终可得
∑
│
⎠
⎞
│
⎝
⎛
+
=
q
q
q
q
Q
Q
H
2
2
2
2
1
ω
x
[
])
cos(qa
m
q
-
=
1
2
2
β
ω
• 其中
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晶格振动的量子理论
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• 这样过渡到量子力学处理——简谐振子方程
* 可解得能量
• 值得注意：量子化谐振子的频率就是经典简谐
振动的频率
• 可以推广到三维的情况
• 上面所说的过渡到量子力学处理还需要证明Q
和动量p=dQ/dt满足正则变量对易关系。但Q
是复数简正坐标，不能直接变成算符，还需引
入线性变换
( )
q
q
q
n
E
ω
ω
ħ│
⎠
⎞
│
⎝
⎛
+
=
2
1
∑
│
⎠
⎞
│
⎝
⎛
+
=
q
q
q
q
Q
Q
H
2
2
2
2
1
ω
x
(
)q
q
q
QQ
-
+
=
Θ
2
1
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3、简正坐标：三维情况
• 定义简正坐标Q
n
• 通过线性变换消除交叉项，将动能和势能同时
简化为简正坐标Q
n
平方项的和
∑
=
=
N
n
n
Q
T
3
1
2
2
1
x
∑
=
=
N
n
n
n
Q
V
3
1
22
2
1
ω
∑
=
=
N
n
n
jn
j
j
Qa
M
u
3
1
1
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晶格振动的量子理论
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• 那么，正则动量为
n
n
n
Q
Q
VT
p
x
x
=
∂
-
∂
=
)
(
• 哈密顿量为
(
)
∑
=
+
=
N
n
nn
n
Q
p
H
3
1
22
2
2
1
ω
• 从正则方程得到
nn
n
n
Q
Q
H
p
2
ω-
=
∂
∂
-
=
x
0
2
=
+
nn
n
Q
Q ω
xx
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4、晶格振动的量子化
• 将经典哈密顿中的动量写成算符形式
n
n
Q
i
p
∂
∂
-
= ħ
• 即可得到波动方程
(
)
(
)N
N
N
n
nn
Q
QQE
Q
QQ
Q
Q
n
3
2
1
3
2
1
3
1
22
2
2
2
2
1
,...,
,
,...,
,
ψ
ψ
ω
=
│
│
⌋
⌉
│
│
⌊
⌈
│
│
⎠
⎞
│
│
⎝
⎛
+
∂
∂
-
∑
=
ħ
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25
• 这表示的是一系列无相互作用的简谐振子，可
以分离变量，记
( )
( )l
l
l
ll
Q
Q
Q
Q
l
φ
ε
φ
ω
=
│
│
⎠
⎞
│
│
⎝
⎛
+
∂
∂
-
22
2
2
2
2
1
ħ
• 解为厄密多项式，其本征值为
l
l
l
n
ω
ε
ħ│
⎠
⎞
│
⎝
⎛
+
=
2
1
∑
=
=
N
l
l
E
3
1
ε
(
)
( )
∏
=
=
N
l
l
n
N
Q
Q
QQ
l
3
1
3
2
1
φ
ψ
,...,
,
• 得
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26
comments
• 特别注意：一个简正振动并不是表示某一个原
子的振动，而是整个晶体所有原子都参与的振
动频率相同的振动
• 这种集体振动称为振动模
• 振动能量是分裂的，量子化的！即
∑
=
j
jjnj
n
uaM
Q
~
l
l
l
n
ω
ε
ħ│
⎠
⎞
│
⎝
⎛
+
=
2
1
• 由
∑
=
=
N
n
n
jn
j
j
Qa
M
u
3
1
1
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27
• 这样的量子谐振子的频率就是经典振动的频率
• 这样的量子谐振子称为声子——晶格振动的能
量子
• 利用声子的概念处理晶体中相互作用问题就比
较简单明了，比如：
* 晶格振动与晶格振动的相互作用；
* 晶格振动与电子的相互作用；
* 晶格振动与光子的相互作用等
声子
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声子是玻色子，遵从玻色统计
• 声子是描写晶体中所有原子集体振动的量子
* 包含原子周期性排列结构的信息
• 考虑振动能量：以频率ω振动，能量是量子化
的
ω
ε
ω
ε
ħ
ħ
n
n
n
n
=
⇒
│
⎠
⎞
│
⎝
⎛
+
=
2
1
• 半经典处理：声子能量分立，但用经典统计。
根据玻尔兹曼统计理论，略去常数项后，在温
度为T时一个频率ω的振动模式平均能量为
( )
Tk
e
en
E
n
n
n
n
B
0
0
1
,
=
=
∑
∑
∞
=
-
∞
=
-
β
ω
ω
ωβ
ωβ
这里
ħ
ħ
ħ
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29
∑
∑
∑
-
-
-
∂
∂
-
=
β
β
β
β
n
n
n
e
e
ne
ln
β
β
-
-
∂
∂
-
=
e
1
1
ln
1
1
-
=
β
e
( ) ∑
∑
=
=
-
=
=
N
i
i
N
i
i
i
e
E
U
3
1
3
1
1
β
ω
ω
ω
ħ
ħ
∑
=
=
N
i
i
n
U
3
1
ωħ
1
1
-
=
β
ω
i
e
n
ħ
( )
1
0
0
-
=
=
∑
∑
∞
=
-
∞
=
-
ωβ
ωβ
ωβ
ω
ω
ω
ħ
ħ
ħ
ħ
ħ
e
e
en
E
n
n
n
n
1
1
-
=
Tk
l
B
l
e
n
/)q(
)q(
ωħ
• 常用的关系
• 由此得到
• 对N个原子，每个原子3个自由度，共有3N个
振动模式
• 如比较
得
正是声子能量
之和，如果n
是声子占据数
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30
• 格波的能量是分立的，整数倍地增加
l
l
l
n
ω
ε
ħ│
⎠
⎞
│
⎝
⎛
+
=
2
1
l
l
n ωħ
2/
l
ωħ
• 声子的能量和准动量分别为
l
ωħ
qħ
• 第l支格波的能量为
• 最低能量并不是零，称为零点振动能
• 晶体的热学性质与晶格振动有关的部分由此给
出。即玻色分布的地位相当于电子中费米分布
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31
本讲小结
• 运动方程是相互关联的：简谐势能如果用原子
位移表示有交叉项
* 每个振动q状态(模式)是独立的，位移是关联的
→因此，有可能简化这个问题
* 简正坐标：用更简洁地坐标来描写这种物理本质上
是独立的晶体中原子的集体振动
* 简谐振子：由于晶体的周期性结构，原子位移并不
是独立的，但有可能找到一种坐标系，使哈密顿对
角化→独立简谐振子，意即振动与振动之间无耦合
• 对晶格振动中的简谐振子进行量子化→声子
* 这是以后研究晶体热力学性质、描写电子被晶格振
动散射，进而研究金属电导的基础
(
)
∑
+
-
=
n
n
n
xx
V
2
1
2
1
β
简谐
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32
新引入的概念
• 晶格振动是一种集体振动——称为格波
* 在简谐近似下，格波就是简谐波，这时格波之间的
没有相互作用
• 独立的简谐振动模式——声子——简谐振动的
能量量子格波能量→能量量子化→声子
* 如果某种格波ωl
(q)被n
l
个声子占据，这种格波的能
量就是
* 声子是遵从玻色统计
* 声子的能量和准动量分别为
)q(
l
l
l
n
ω
ε
ħ│
⎠
⎞
│
⎝
⎛
+
=
2
1
1
1
-
=
Tk
l
B
l
e
n
/)q(
)q(
ω
ħ
l
ωħ
qħ
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习题
25. 设有一维简单晶格，晶格常数为a，原子质量
为m，在平衡点附近两个原子间相互作用势能
可表示成
3
2
2
0
6
1
2
1
2
1
r
r
ra
a
UrU
ζ
η
ζ
η
+
+
│
⎠
⎞
│
⎝
⎛
+
-
=
)(
求色散关系。
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→视野拓展→离子晶体的振动
• 离子晶体振动会有什么特别的问题？
* 离子晶体中，长光学波振动将产生内建电场！
* 这个内建电场作用在离子上，有一个附加的指向平
衡位置的恢复力
• 怎么处理？
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极化产生内建电场
• 正、负离子的相对位移，将导致极化强度矢量
* Q是有效电荷，omega是原胞体积，u分别是正负离
子的相对位移
• 产生极化波
• 根据电动力学，极化将产生内建电场
(
)-
+
-
Ω
=
uu
P
*
1
Q
(
)t
i
e
ω
-
•
=
rq
PP
0
(
)
(
)2
2
2
0
2
2
/
/
c
q
c
ω
ε
ω
-
•
-
=
Pqq
P
E
这种内建电场将如何影响晶格振动？
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影响作用在原子上附加力
• 作用在离子上的力将变化
(
)
(
) E
uu
u
E
uu
u
Q
dt
d
M
Q
dt
d
M
-
-
=
+
-
-
=
-
+
-
-
-
+
+
+
β
β
2
2
2
2
E
u
u
uuu
Q
dt
d
M
M
MM
+
-
=
-
=
+
=
-
+
-
+
-
+
β
μ
μ
2
2
,
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如果分横向、纵向振动
• 纵向电场(q波矢)
• 横向电场
• 横向伴随电磁场，而纵向就只有电场，
• 由于电磁场存在，外电磁波与晶格振动的横模
之间发生耦合，从而改变传播性质
相反方向
与
这里
P
EqP
P
E
L
L
,//
,
0
ε
-
=
(
)
qP
P
E
⊥
-
=
这里
,
/
2
2
2
0
2
c
q
T
ω
ε
ω
Eq
B
×
=
ω
1
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极化色散关系，类声子(直线)，类光子(斜线)
• 细实线表示没有
电磁耦合时的声
子、光子色散关
系
• ω>cq区域，极
化电场E与位移
u相反，使恢复
力增加频率增
加；反之亦然
• 耦合产生频率隙
LO
ω
TO
ω
类声子
类声子
类光子
类光子
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课堂讨论题
• 如右图的振动
的频谱关系，
是光学支态密
度大还是声学
支态密度大？
一维的情况如
何？高维的
呢？为什么？
q
ω
π/2a
声学支
光学支
LO
LA
(2β/μ)
1/2
(2β/M)
1/2
(2β/m)
1/2
M>m
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