现代物理中的一些基本概念
来自: CS 2009-05-06 02:06:35
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现代物理中的一些基本概念
Wiki中文版中找到的物理名词解释不够全，特做此现代物理中的基本概念以方便中国人查阅。
常曲率时空Riemann张量只取决于Ricci标量R。于是，根据缩并的Bianchi恒等式，R在整个时空是一常数。事实上，这些时空都是均匀的。R=0的常曲率空间是Minkowski时空。R>0的常曲率空间是de Sitter时空。
w+v>0 的de Sitter空间区域构成宇宙的稳恒态模型的时空，这种时空模型最早由Bondi和Gold(1948)、Hoyle(1948)分别提出。在这个模型里，假定物质沿曲面{t=常数}的测地法线运动。当物质进一步分离时，更多的物质会不断地产生出来以维持密度为一常数。Bondi和Gold没有为模型寻求场方程。不过，Pirani(1955)、Hoyle和Narlikar(1964)已经指出，如果我们在通常物质之外再引入负能量密度的标量场，则可将度规视为Einstein方程的一个解。那个标量场(“C”场)还决定着物质的连续产生。
稳恒态理论的好处是能做出简单而又明确的预言。但从我们的观点看，它有两个不令人满意的地方：一是存在负能量；另一点是它的时空只是半个de Sitter空间，还可以扩展。尽管存在这些美学上的异议，对稳恒态理论的真正检验还在于其预言是否与实验观测一致。现在看来，它似乎并不一致，尽管观测结果还不是很确定。
de Sitter空间是测地完备的，但这种空间仍有些无法用任何测地线连接起来。这种截然不同于那些具有正定度规的空间。在具有正定度规的空间里，测地线的完备性保证了空间中任意两点至少可用一条测地线连接。代表稳恒态宇宙的半个de Sitter空间在过去是不完备的(有些测地线在整个空间是完备的，它们穿越了稳恒态区域的边界，因而在那个区域内是不完备的)。
与Minkowski空间不同的是，de Sitter空间对类时曲线和零曲线都有在未来和过去的类空无穷远。这一区别对应于这样一个事实：在de Sitter时空里，对观察者的测地线来说，同时存在粒子视界和事件视界。
在de Sitter空间里，我们考察一族有着类时测地线历史的粒子。这些粒子必然始于类空无穷远L-并止于类空无穷远L+。令p是粒子O的世界线上的某个事件，即历史上的某一时刻(沿O的世界线的固有时)。p的过去零锥是p时刻能被O观察到的时空的所有事件的集合。某些其他粒子的世界线可能与这个零锥相交，这些粒子对O来说是可见的；反之，可能存在一些粒子，它们的世界线不与这个零锥相交，它们这时对O来说是不可见的。在稍后于p的时刻，O可观察到更多粒子，但仍有些粒子是不可见的。我们将O在p时刻可见到的粒子与该时刻不可见粒子的分界称为观察者O在事件p的粒子视界，它代表处于观察者O的视野极限的那些粒子的历史。注意，仅当粒子族内所有粒子的世界线均已知时，粒子视界才可能确定。如果某个粒子处于视界面上，则事件p就是粒子的生成光锥与O的世界线相交的一点。另一方面，在Minkowski空间里，所有其它粒子，如果沿类时测地线运动，则对O的世界线上的任意事件p都是可见的。只要我们仅考虑测地线的观测者族，就可以认为粒子视界的存在是过去零无穷远的类空性的一个结果。
所有在p的过去零锥外的事件，直到事件p所代表的时刻，都未被O 所见。O的世界线在L+上有一极限。在de Sitter时空里，O的过去零锥(由对实际时空取极限得到，也可直接获自共形时空)是两类事件之间的分界：O在某一时刻可观察的事件和O永远也无法观察的事件。我们称这个界面为世界线的未来事件视界。它是世界线的过去的边界。另一方面，在Minkowski时空里，任一测地观察者的极限零锥均包含整个时空，故不存在测地观察者永远无法看见的事件。然而，如果观察者作匀加速运动，则其世界线可能有一个未来事件视界。我们可以认为，测地观察者的未来事件视界的存在是L+的类空性的一个结果。
Schwarzschild解
尽管空间均匀解是描述宇宙大尺度物质分布的一个良好模型，但它们不足以说明像太阳系这样的局部的时空几何。我们可以用Schwarzschild解很好地近似描述这种几何，它代表大质量球对称天体外虚空的球对称时空。事实上，迄今为止所有为检验广义相对论与Newton理论之间的差异而进行的实验，都是基于这个解的预言。
我们考虑球对称时空情形的Einstein方程。或许我们可将球对称时空的基本特征认定为存在这么一条世界线L，它使时空关于L球对称。这样，在以L的任意一点p为中心、沿过p且垂直于L的所有测地线上取一常数距离d所定义的每个类空二维曲面Ld上，所有点都是等价的。如果利用保持L不变的正交群SO(3)来顺序改变p点的方向，则由定义知，时空将保持不变，Ld上相应的点将映射到自身，故时空允许群SO(3)作为等距变换群，群的轨道即球面Ld。(有可能存在特殊的d值使曲面Ld仅为一点p’，而点p’又是另一个对称中心。)
然而，在某些我们希望作为球对称的时空也可能并不存在像L这样的世界线。例如，在Schwarzschild解和Reissner-Nordstrom解里，时空在r=0点是奇异的，否则它们也该是对称中心。因此，我们把存在作用在像Ld这样的二维曲面的等距变换群SO(3)作为球对称时空的特征。如果时空允许将SO(3)群作为等距变换群，且群的轨道为类空二维曲面，我们就称它是球对称的。这些轨道也必然是正常数曲率的二维曲面。
我们完全可以写出并验证所有球对称时空的度规，尤其是所有Schwarzschild解和Reissner-Nordstrom解，但它们都是渐近平直的空间。一般说来，球对称空间可能至多存在两点，从这两点看，空间才呈球对称。尽管它们可作为大质量天体附近的时空模型，但只能作为与我们从某个非常特殊的位置附近看到的与各向同性相一致的宇宙模型。例外的情形是那些宇宙在时空的每一个点都呈各向同性的模型。
正如Walker(1944)证明的，每一点的严格球对称意味着宇宙是空间均匀的，它容许一个六参数等距变换群，其可迁曲面是常曲率的三维类空曲面。这种空间称为Robertson-Walker (或Friedmann)空间(Minkowski空间、de Sitter空间和反de Sitter空间均属一般Robertson-Walker空间的特例)。由此我们可得出结论：这些空间都是我们可观测区域的时空大尺度几何的良好近似。
我们可通过叠合这些三维空间中适当的点，来获得其他整体拓扑；甚至在负曲率或零曲率情形，我们也可以通过这种方式来得到紧致的三维空间。但是这种常负曲率紧致曲面可能不具有连续的等距变换群—尽管每一点均存在Killing向量，但由这些Killing向量仍无法确定整体Killing向量场，而且它们生成的局部等距变换群也不能连接起来形成整体的等距变换群。在零曲率情形，紧致空间只能有三参数等距变换群。无论哪种情形，叠合产生的空间都不会是各向同性的。
R<0的常曲率空间称为反de Sitter空间，这个空间存在闭合类时线，但它不是单连通的。如果我们解开圆周S，则可得到反de Sitter空间的通用覆盖空间，它不包含任何闭合类时线。反de Sitter空间还有两个有趣的性质。
存在夸克物质组成的恒星吗?
我们知道，质子是由两个u和一个d夸克组成，中子是由一个u和两个d夸克组成。在中子星的内部，物质密度可以远比原子核的密度还高得多，那里中子与中子之间可以挤得很紧，以致中子被挤破而形成夸克物质。那么，会不会存在夸克星呢? 如果夸克星的能量比中子星低，那么中子星会转变为夸克星，宇宙中稳定存在的就应当是夸克星而不是中子星。
十分有趣的是，E.Witten以及稍后的E. Farhi和R.L. Jaffe在1984年发表的奠基性论文中指出，在相当宽的量子色动力学参数范围内，奇异夸克物质的能量不仅比非奇异夸克物质低，而且也比重子物质低。因此，奇异性的能量应显著低于中子星，即奇异星比中子星更稳定。这个结论使C. Alcock等人于1986年甚至说：很可能所以已知的中子星其实都是奇异星。
1999年，李向东、庞巴奇(Bombaci)等人利用新发现的毫秒X射线脉冲星SAX J1808.4-3658的观测数据，对该脉冲星的半径与质量给出的限定，并与各种中子物质态和奇异夸克物态能给出的致密星的半径与质量关系进行比较，指出SAX J1808.4-3658很可能是一颗奇异星。稍后，他们利用准周期振荡的观测数据，指出4U 1728-34也可能是一颗奇异星。
中子物质转变为奇异物质的相变会放出大量能量，而且相变的时间又往往很短，它很可能与爆发现象密切相关。1995年12月，美国康普顿卫星上的仪器 BATSE在银心附近观测到一个硬X射线暴GRO J1744-28，离地球的距离约为25000光年。这是一个很特别的爆发现象，既是暴，又是脉冲星。光子能量在几十keV的范围。暴的持续时间约为10 秒。
因为强作用是奇异数守恒的，具有不同奇异数的d和s应完全独立地参与强作用。但是，按照卡比玻理论，d和s却是以混合态参与弱作用的。所以，夸克是以不同的面貌参与强作用和弱作用的。当然，如果考虑到三代六味夸克，卡比玻的2夸克叠加将扩展为卡比玻-小林诚 (Kobayashi)-益川敏英(Maskawa)的3夸克叠加。在3夸克叠加态中将出现新的角度和相位角，这可以解释弱作用中的CP不守恒。
部分子
部分子究竟是什么东西? 最自然的一种猜想是，部分子可能就是夸克，或者至少有一部分是夸克。这种观点被称为夸克-部分子模型。按照夸克-部分子模型，原始的作用是通过夸克-部分子进行的。比如在高能电子-正电子对撞过程中，首先通过电磁作用产生一对部分子，而后通过强作用发展成为两束强子。根据动量守恒定律，一对部分子应当向两个相反方向射出去。因此，由这一对部分子发展成的强子将形成明显的向相反方向射出的两束，这叫做喷射或喷注。如果不是通过部分子对这个中间阶段，强子应当向四面八方飞出，很难设想会形成方向相反的两束。实验上果然发现了这种喷射现象，这对于夸克-部分子模型是一个有力支持。从部分子通过强作用发展形成的强子束是可见的。
1979年，丁肇中小组发现，当对撞能量高达二三十GeV时，电子-正电子对撞过程中除了两个主强子束外，有时还有一个或两个较小的强子束，呈现三喷注或四喷注现象。这里，小的强子束可能是由胶子发展形成的。
核子是一个孤立子，其中包含着许多部分子。轻子和核子的深度非弹性散射可以分解成轻子与组成核子的各夸克部分子的弹性碰撞过程；当轻子能量足够高时，每一次碰撞可以看成是轻子与原子核中的一个核子碰撞，这就是所谓的脉冲近似。在轻子与夸克部分子弹性碰撞以后，该夸克部分子再与其他夸克部分子或袋碰撞，形成许多终态粒子。
深度非弹性散射的结构函数和强子的内部结构有关，要从强子的结构模型来进行研究。强子由夸克组成，夸克之间存在由胶子传播的作用，这作用有渐近自由的性质。当光子或中间玻色子的动量很大时，它的波长远小于核子的线度。它对强子的作用，深入强子内部，直接施加于夸克；而夸克和夸克之间的强作用，由于渐近自由的性质，实际很弱，以致可以忽略不计。这时，轻子对强子的散射过程，就可以归结为轻子对自由夸克的散射过程。
序参量
对于超导和超流转变，序参量的含义不那么直观。这两种现象是宏观范围内表现出来的量子效应，让我们用“宏观波函数”来描述它们。这就是超导体中的“能隙”参量，因为激发一个电子或“空穴”所需的能量要大于能隙的绝对值。
找出连续相变中的序参量，研究它的变化规律，是相变理论的首要任务。虽然序参量的结构很不一样，但在临界点上其绝对值连续地趋于零这一点是共同的。
序参量通常可以和一定的外场耦合。这些场称为“对偶场”。序参量和对偶场是一对热力学共轭变量。对偶场往往可以从外部控制。对偶场为零时，序参量在临界点自发出现，使对称破缺。下表列举了几种物理系统的序参量、对偶场、破缺的对称和恢复对称的模式。
相变名称 序参量 对偶场 破缺的对称 恢复对称的模式
各向同性铁磁体 M H 三维转动群 自旋波
超导 能隙 无经典对应 U(1)规范群 集体激发
超流 波函数 无经典对应 U(1)规范群 集体激发
并不是一切序参量和对偶场都是宏观可测的物理量。例如，反铁磁体的序参量是一个次晶格，而不是整个晶格的平均磁化强度，它可以用磁共振的办法测量。
1937 年朗道提出的平均场理论是非常普遍的。连续相交的主要特征是序参量在相变点连续地从零变到非零值。在临界点附近，序参量是一个小量。许多不同领域中提出的平均场理论，形式虽很不同，但实质却一样，主要表现在临界点附近的行为相同，临界指数的数值彼此相等。可以证明外斯的“分子场理论”等理论与朗道理论的等价性。
朗道的平均场理论原来不考虑涨落效应。能不能“修改”一下这个理论，哪怕是部分地考虑这一效应。存在空间涨落时，磁化强度M与空间位置有关，它是微观磁矩的统计平均值，磁矩之间的关联表现为乘积的平均值不等于平均值的乘积，这两者的差别就称为关联函数。
特别容易激发的模式叫做“软模”，软模就是长波涨落。在单轴铁磁体的情形，这个模式可以对应自旋向上或向下。如果两者同样激发，并不破坏对称。但如果向上的模式偶然占了优势，就会激发更多向上的模式，产生软模的“凝聚”，从而出现自发磁化。
在连续对称破缺时，一定会出现零能量的恢复对称的模式，叫做Goldstone模。这种模式与离散对称下的软模不同，它的本征频率不仅在临界点为零，而且在小于临界点的整个温度区间也是零。一般说，这种运动模式与序参量正交。在各向同性的铁磁体中，这就是自旋波。考虑到序参量是高温相破坏对称的软模凝聚的结果，也可以说，Goldstone与高温相破坏对称的模互相垂直。在高温无序相，各个方向等价。
伊辛模型
伊辛模型的理论和实际意义，远远超出了它的提出者当年的认识。它能相当好地描述各向异性很强的磁性晶体，如反铁磁体镝铝石榴石。它是一大类相变现象的代表，而且还有助于理解量子场论的一些根本问题。
模型虽然很简单，求解却极为困难。1944年昂萨格发表了二维伊辛模型的严格解。昂萨格解的最大特点，是比热奇异性表现为无穷的对数尖峰，而不是平均场理论给出的有限跳跃。二维伊辛模型的严格解是统计物理的重大成就。它表明应用统计物理的原则和方法可以解释相变。它首次对平均场理论的正确性提出了怀疑。
尽管实验结果与平均场理论的预言差别很大，但有两件事发人深思。一是许多性质迥然不同的体系临界行为却非常相似，临界指数几乎完全一样。二是临界指数的实验值，虽然不同于平均场理论，但都很好地满足一些“标度”关系。耐人寻味的是，平均场理论，二维伊辛模型的严格解和三维伊辛模型级数展开解，也都满足这些关系。
有人曾严格地证明，平均场理论的结果对于具有长程作用力的模型是正确的。就是说，对于分子间有长程作用的液体模型，可得出范德瓦尔斯方程。偏离临界点时经典理论是很好的描述，但到临界点附近就不行了，那里物质更像昂萨格的所描述的。给昂萨格和范德瓦尔斯整合的第一步，是要找出一种非平均场行为的普适描述。这就是所谓的“标度假定”。经过标度以后，很多材料磁化强度随温度的变化曲线完全一样。性质差异很大的液体，数值经过标度后都能很好地落在一条曲线上，说明标度假定反映了事物的本质。
为什么在临界点会有如此普遍的标度性质，卡丹诺夫给出了一个非常直观的物理图像。这是以后发展起来的“重正化群”理论的基础。既然在临界点上关联长度是无穷大，那么不管用什么尺子来量，它都是无穷大。远离相变点时，关联长度与相互作用长度差不多。在相变点附近，由短程作用导致长程关联的理论手段，就是自相似的标度变换。
重正化群
假定有一个线性链，每个格点被金属球占据的概率为P。把线链分成元胞，每个元胞中有2个格点。要使整个元胞导通，元胞中每个格点必须导通。因此元胞导通的概率是单个格点导通概率的乘积。用P'表示元胞导通的概率，它是格点导通概率P的函数。这个函数当然与元胞尺寸有关，把它记为R(P)。一般情形下R可能很复杂，对一维链则很简单，通常把R(P)叫做P的“重正化变换”，即从格点的导通概率变换成元胞的导通概率。
这样的变换可以连续地作下去，我们把R这些重正化变换的整体称为“重正化群”。在我们讨论的例子中，可以先作一次变换把2个格点归并成一个小元胞，再作一次变换把2个小元胞归并成一个大元胞，结果等价于把4个格点一次归并成一个大元胞。但是，这里不能定义逆元素，因为元胞的归并是一一对应的操作，然而元胞的分解不是一一对应的。没有逆元素的群称为半群。因此，从比较准确的意义上说，重正化群是一种半群。
对几何相变也可以定义关联长度，就是格点被金属球占据的概率为P时连通集团的平均尺寸。几何相变中也有一个临界点。达到临界点以后，连通集团的尺寸变成无穷大。这时不管用什么尺子量都是无穷大。导通性质不再因重正化变换而改变。因此，临界点至少应该是重正化变换的“不动点”，但不动点不一定都是临界点。在相变理论中，如果某个参数的值经过重正化变换后越变越大，就叫做“有关参数”。重正化的计算是一个三部曲：一是找到恰当的重正化变换，也就是标度变换；二是研究这个变换的不动点，找出与临界点有关的不动点和相应的有关参数；三是分析在这个不动点附近的变换性质，求出临界指数。
既然在临界点上关联长度趋向无穷，体系就应当具有“标度不变性 ”。量子场论中的重正化群方法，是为了讨论“重正化电荷”怎样不随截断因子变化，由费曼等于20世纪50年代发展起来的。1971年，威尔逊把这种重正化的思想与相变理论中非常直观的标度变换图像结合起来，赋予重正化群理论以丰富而具体的物理内容。这里关键的一步，是把关联长度趋向无穷的临界点与重正化群变换的不动点联系起来。
继Gell-Mann和Low的早期研究之后不久，一个更普遍的观点是研究在可重正理论中当所有有关的距离都是类空的且同时趋于零时Green函数的小距离行为。这个问题似乎是纯理论性的，因它涉及的振幅都是远离质壳的。幸运的是，这是一个错误的印象。一些间接的方法，如轻子在强子靶上的深度非弹性散射，使我们能够探测小距离的相互作用。Bjorken和Feynman从理论上预言的这类实验的结果，部分地启发了Wilson，Symanzik和Callan对这些Green函数小距离行为的研究。
期望在大动量下质量可被忽略时，理论变为标度不变的事实上是太简化了。渐近行为是由相应的无质量理论给出的。重正化迫使我们选取一任意能量标度，这个能量标度破坏了量纲分析，正是这种任意性事实上挽救了我们，标度的改变可以归结为耦合常数的修改。相应的流由类似于Beta系数的函数所主宰，因此重正化群变换取代了简单的量纲分析。
这个流中的紫外不动点(假如它们存在)，当Lambda增大至无穷时将吸引耦合常数。对耦合常数的特殊值，这将导致小距离标度不变性的恢复。这些耦合常数的特殊值在很大程度上不依赖于初始数据。特别是，一般而言观察到的场(或其他复合算符)的最纲将依赖于动力学。
原点为紫外不动点的情况是特别有趣的。这种情况称为渐近自由。对简单的无标度性的对数修正，将作为重整化的结果出现。如果在一个经典的作用量中所有有量纲的常数都不存在，我们预期这个理论是标度不变的。对于一个有质量的理论，在小距离上也可能发生这种情况。
如果组态变换被重新标度，也可以考虑这种变换在有质量的理论中的效应，因而得到反映标度不变性破坏的Ward恒等式。在这个意义上讲，这里的分析与纯粹的量纲分析是不同的。因为我们这里考虑的是动力学变量(场)变换的效应，而不是有量纲的参数(例如质量)的变换的效应。如果我们打算这样做，就会把两种不同的物理情况联系起来。
Coleman和Gross的详尽检验确定了下述结果：除非理论本身包含非阿贝尔规范场，任何可重整理论在四维时空中都不可能是渐近自由的。一个渐近自由理论的大动量行为，只有当原点是最近的不动点时才是可计算的，这就是物理学家们特别偏爱这种情形的原因。然而，“ 渐近自由”这个名字是有点含糊的，因为即使如此，无标度行为与自由场的情形还是相差一个对数因子的。
重正化
为完成重正化方案，需要一个量，这个量是电子-正电子散射核，或简称为核。在外光子被吸收后马上有电子-正电子对出现，它们必须以所有可能的方式散射以给出完全顶角。在非相对论性势散射理论中玻恩级数求和成为一个封闭的积分方程。从重正化理论的观点看，通过核K表示传播子和顶角是相当有用的。原因是K中的发散仅仅来内线的自能或顶角插入。如果没有这种插入，K将是有限的，在计算K中包含的重正化问题要相对地容易些，涉及传播子和顶角中发散的更困难问题可以从它们之间以及与K相互联系的积分方程的角度进行讨论。
在量子电动力学的重正化方案中，一个重要的助手是广义Ward恒等式，即QED 理论重正化过程中出现的三个无穷大常数中，有两个实际上是相同的，它使我们能直接从顶角计算传播子。它是微分的流守恒的结果，Ward恒等式是规范理论对称性的结果，实际上它表示的是格林函数之间的关系。
仅当实施一个标度变换后，一个着衣粒子与一个裸粒子都遵守同样的规律时，这个理论才是可重正化的；举例来说当实施了标度变换后，电磁场仍服从同样的一些方程。利用重正化常数的定义，可以重新标度传播子和顶角，以及电荷。由这个重新标度所定义的重正化常数可以反过来与传播子和顶角相联系。这把我们带到问题的关键之处，即证明：至重整后的电荷的每一阶，这些量和方程都是有限的，所以依赖于截断的顶在重新标度定律中都被吸收了。重正化的思想是：重新标度传播子和顶角函数，以使在质壳附近，以及在顶角情形下对于零动量传递，这些量趋于自由粒子的相应的量。
重正化理论的最大问题是证明重新标度的传播子和顶角函数是有限的，即当它们通过重正的电荷表示时是不依赖于截断的函数。使得这个任务困难的因素在于，这些重正化常数Z是发散的，它们是依赖于截断的量。对重正化方案幸运的是，重新标度并不使各个积分方程的结构复杂化。类似的标度定律可以对具有任意数目外线的普遍Feynman振幅写出。定义顶角的积分方程，以及通过顶角决定电子传播子的Ward恒等式也可以加以重正。由于 Ward恒等式通过顶角完全确定电子传播子，所以对于电子自能部分的方程不需再考虑。在顶角方程的非齐次顶中重正化常数的出现相对地是无害的，可以用在方程右端积分的发散部分作减除来排除它。
首先我们要处理试图定出Feynman积分上界时会出现的一个技术问题：对进入Feynman振幅的外动量作解析延拓，延拓到其分母肯定不会为零的区域。如果将动量能够通过Wick转动都变到欧氏区，那么，分母将都是负定的，就不会出现奇异性。
完全传播子的纵向分量和自由传播子的一样；换句话说，规范场传播子的纵向分量是不需要重正的。值得注意的是，规范场传播子的纵向分量是和规范固定项紧密联系的；因此，规范固定项是重正化无关的。
超导体
当波矢k一定时，格波能量的增加也是按一份普朗克能量增加的，称晶格格波的能量子(普朗克能量)为“声子”；晶格格波可用声子语言来描述。从一种形式的观点来看，导致超导电性的电子与晶格之间的相互作用可以想成是声子的虚发射和再吸收。对于能量在费米能附近的那些电子来讲，一个电子放出一个动量为q的声子，而这个声子又几乎立即被第二个电子所吸收；在整个过程中满足动量守恒。
当费米能一定时，费米动量就一定，如果在动量空间以费米能量为半径画一个球，那么正常金属在T=0K的情况下，在动量空间中，凡是小于费米能量的状态都被电子占据了，而大于费米能量的状态全空着，这个球常称为费米球，相应的球面是费米面。在上述被金属中的电子所充满的费米球上，若再额外增加两个电子，那么按照泡利不相容原理，既然金属中的众多电子牢牢地守住费米海，这两个外来电子就只能去占据大于费米能量的空着的量子态。与此相应，在动量空间中讲，假设当电子处在费米球面附近一个薄壳区之内时两个电子之间有吸引作用，但电子与晶格的相互作用足够强时，电子间的间接吸引作用可能胜过电子间的库仑排斥作用从而使电子间有一种净剩的吸引作用。
如果电子间存在这种净的吸引作用，结果它们能够形成一个束缚态，两个电子组成电子对偶，称之为库珀对。从动量空间来看，当总动量为零并且两个电子自旋相反时束缚能最大，从而这时对偶的能量最低。正常金属的电阻是由于电子被格波散射引起的。在超导体中，BCS超导图像中很重要的一点就是库珀对总动量的一致性。在没有电流时对态的总动量为零。如果动量空间的整个动量分布整体移动了P/2，这时对态具有的总动量为P，而且对所有的对态都一样。现在只是各电子整体在动，电流是由总动量为P的电子对传输的。这些形成了库珀对的电子不断散射，但在散射过程中总动量守恒，这就是超导电流无阻的原因。
还存在第二类超导体。当外磁场小于下临界磁场时，超导体内的磁感应强度B=0，超导体处于迈斯纳态；当外磁场超过下临界磁场时，即有部分磁通量穿入超导体内，超导体内的磁感应强度从零迅速增大；直到外磁场为上临界磁场时超导电性才消失，体内的磁感应强度就完全和正常态的金属一样了。当外磁场处于下临界磁场和上临界磁场之间时超导体的状态并不是迈斯纳态，称之为混合态(mixed state)。
当超导体处于混合态时，超导体内的磁通线组成了一个二维的周期性磁通格子。在超导区域，一部分电子组成了束缚电子对，在交界区，超导电子经过界面向正常区延伸，正常电子则经过界面向超导区延伸。在超导、正常金属交界区，超导电子的密度必然要随空间位置而变化。在纯金属元素中只有铌、钒、锝三者属第二类超导体。这种材料允许在整块材料内部的许多非超导区域内存在一丝丝很细的磁场。每条这种磁力线周围环绕着电流回路漩涡，它们能够在材料内部产生量子化的磁场。
雷杰理论
1968，当时还在魏斯曼科学研究院(Weizmann Institute of Science)的一名意大利的物理学家维那齐亚多(Gabriel Veneziano)试图了解强作用力时发表了一篇文章，用数学式来表示瑞吉轨道(Regge trajectory)。他意外发现十九世纪的数学家欧拉(Leonhard Euler)所完成的欧拉Beta函数(Euler beta function)，几乎符合所有基本粒子强交互作用所需要的特质。这个公式假定了共振态是以系列形式出现的；在这样的一个系列中，较重的粒子有较大的自旋，因此它们绕其轴的转动比较轻的粒子更激烈。
一年后，另外一群以芝加哥大学的南部(Yoichiro Nambu)和日本大学(Nihon University)的后藤Tetsuo Goto为首的物理学家注意到，根据这个方程式，粒子可视为具有某特定的空间延伸量，也就是可以是一段线段，或一段弦。假定这些共振态是由某种像“夸克” 那样的东西组成的；只有在这些共振态中的夸克彼此绕更大的圆周作轨道运动，才能理解这些较重的共振态会有大量的转动能量，也就是角动量，因为它们中的每一个都不允许比光运动得更快；然而这些夸克却不会互相分离。
如果你把这些强子想象是由一段段弦组成的，在它们的端点有夸克，那么 Veneziano公式就是你所得到的。根据Veneziano模型(Veneziano-Nambu model)，这些弦由两个反方向的作用力保持微妙的平衡，一是张力，使弦的两端拉近，另一为使弦两端分离的加速力。弦就好像飞机的螺旋桨，随时随地都在转动，所谓的离心力使得弦的两端向外拉，而弦本身内收的张力，恰好与之平衡，此一内收的张力非常强劲，每根弦上约十叁吨左右。
重子有一种特性，就是其角动量对质量平方作图，会得到一条相当直的线，这些曲线就称为雷杰轨道，以纪念其发明人雷杰。雷杰理论是根据意大利理论物理学家 Tullio Regge的名字命名的，它用交换介子来描述强子散射，如果夸克的数量大致为常数，该理论就会更加自然。在量子色动力学(QCD)理论诞生之前，人们用雷杰理论，尤其是一种称作坡密子(pomeron)的东西，描述有关总散射截面和弹性散射截面的强相互作用数据的方法。传统的坡密子和QCD理论是一对不和谐的伙伴。尽管QCD可能是一种基本理论，但令人尴尬的是，在处理大多数高能质子-质子和质子-反质子散射问题时，坡密子都要优于QCD理论。
坡密子交换是一种神秘的介子家族中的介子发生的交换。也就是说，坡密子是一系列满足雷杰理论要求的粒子。在能量非常高的情况下，坡密子交换占统治地位，有大量的实验证明确实如此。在它们自己的地盘上，坡密子甚至比QCD理论还要出色。它们的地盘就是所谓的软相互作用，在该过程中，参与碰撞的粒子之间几乎不传递动量。软相互作用会给QCD理论带来麻烦，因为它所涉及的能量太小了，以至于无法使用微扰论。
在某些质子-反质子碰撞过程中，如果一个初始粒子没有受到任何损伤，只是动量稍微变小了一些，而另一个粒子却发生碎裂，这种碰撞称为衍射散射(diffraction scattering)：质子-(反)质子碰撞中15%是衍射散射。1985年，加利福尼亚大学洛杉矶分校的Peter Schlein和CERN的贡纳(Gunnar Ingelman)推断，由于坡密子传递强相互作用，它们本身也应该是由胶子甚至夸克组成的。在衍射散射事件中，质子或反质子中的一个保持完整，因此总体上至少有一些衍射散射事件会显示出独特的喷注特征。
QCD求和规则
从本质上讲，一个强子在短距离上看上去，就是一个逐步包含越来越多非微扰背景的序列，结果累加起来就形成了对强子参数的限制；换句话说，它是一种QCD求和规律，这种方法最初是由施夫曼和他的同事在1978年提出来的。实际上QCD求和规则方法为理论物理学家们提供了能计算许多性质的强有力工具，例如可以用它计算夸克的质量、介子和重子的衰变性质、磁矩以及其他许多性质。
镜像对称破缺结构函数可以通过中微子和反中微子对质子-中子混合靶散射概率的差别计算出来。根据简单的部分子模型，该结果应该等同于夸克同反夸克之间散射概率的差别。因为从“海”中出现的夸克应该同海中的反夸克对应，夸克海的贡献相互抵消，最终剩余的结果等于价夸克的贡献。这是求和规则的一个例子，即基于对夸克动量贡献求和的一种关系。CCFR小组进行的中微子实验检验了该规则，在考虑了QCD修正之后，得到价夸克的数量为3，误差在10%的范围之内。
康奈尔大学的Kurt Gottfried于1967年推导出一种求和规则：电子与中子散射同电子与质子散射概率之间的差别，应该是一个简单的分数。这个定律的基础是夸克携带独特的分数电荷，并且质子的夸克组分是uud，而中子的组分是ddu。该定律还假定，核子内部出现的反上夸克和反下夸克数量是相等的。
核子自旋求和规则表示在累计所有可能动量百分比后自旋结构函数的性质。其中一条规律是由比约肯创立的，比约肯求和规则用弱相互作用参数，表达了中子和质子的纵向自旋结构函数之间的差别。同位旋对称性已经将质子和中子联系在一起了，中子能够通过弱衰变过程转变为质子，弱相互作用参数的出现是自然的。
随着QCD理论的诞生，比约肯求和规则通过它的一个预言为世人所知，现代版还包括与强耦合参数有关的修正。经QCD修正过的比约肯求和规则，在百分之几的精度内同现代质子和中子数据吻合，它说明了QCD理论的成功，因为与比约肯规则相悖就会导致严重的问题。
QCD中的手征性
某些左旋物体产生的东西也必须保持左旋，而右旋的物体也只能产生右旋产物，这种变化称为手征性(chiral)。粒子物理学家们将左旋夸克变为更多左旋夸克的对称性操作以及右旋世界中的相应变换，称为手征性对称变换。在QCD中，夸克不存在无质量夸克所具有的简单手征性变换能力；实际上，无质量的左旋和右旋夸克失去了相互对话的能力，它们只能够停留在各自的世界里。但是3种不同的味道仍然存在，现在左旋夸克和右旋夸克可以分别实现夸克味道混合，在数学上表示为存在味道转动。但物理学家们没有观测到强子的“宇称同伴”，QCD理论的手征性对称被隐藏了起来，或者换句话讲，它发生了自发破缺。
如果对称性破缺并不严格，只是近似出现，结果就会产生低质量、无自旋的粒子，称为假Goldstone玻色子。尽管真实的上夸克、下夸克和奇异夸克的质量与强相互作用能量相比很小，但它们并不严格为零，因此真实的QCD理论并不具有严格的手征性对称，因此手征性对称破缺会产生小质量的介子。能够通过结合形成像π介子、核子等可观测粒子的夸克，其有效质量大约是300兆电子伏，这是由夸克同周围手征性破缺真空相互作用的结果。自发对称性破缺以这种方式影响有效夸克的质量。
QCD理论的手征对称性特征也是手征微扰论的出发点，手征微扰论是基于量子色动力学的低能有效理论, 已成为核物理和低能粒子物理研究的有力方法，手征微扰论可以计算出大尺度上传统QCD微扰理论无法解决的问题。手征微扰论的出发点是一种完全手征性对称性理论，即一种关于无质量夸克的虚构QCD理论，然后再将真实质量以微扰形式引入，由此得到的有效场论能够得到大量的低能结果。
尽管手征对称性及其破缺取得了巨大成功，但为对称性算一笔小帐就可以发现一个隐藏的错误。假定夸克没有质量，就会引入另一套SU(3)群和U(1)群的乘积。其中，一套SU(3)群对应八正法，它将发生强相互作用的粒子都集中到各个家庭中。π子和这些家庭的其它介子，与第二套SU(3)群的自发对称性破缺有关。一套U(1)群用来保证重子数守恒。但是剩下的一个U(1)群，似乎找不到可观测粒子的对应，称为“U(1)问题”。
最后一种 U(1)对称性预示着还存在许多在现实世界中不存在的粒子，它们与普通粒子的内禀镜像对称性相反。这种宇称对应粒子不存在，说明U(1)对称性发生了破缺，并没有适当的介子可以标记这种自发对称性破缺。阿哈罗诺夫-玻姆效应表明具有非平凡拓扑性质的真空怎样产生物理上可观测的结果，在QCD理论中也存在非平凡真空拓扑性。
σ模型
SU(2)乘SU(2)李代数是由矢量和轴矢量荷的对易规则产生的；假定轴矢量流近似守恒，则得到的对称性被称为手征对称性；它是在Goldstone模型里实现的，其中π介子被看成无质量粒子。这一假设使我们能从求和规则形式的流代数和低能定理推出新结果。
σ 模型是最早由Gell-Mann和Levy于1960年引入的一个场论模型，它们是作为实现手征对称性和轴矢量流部分守恒的例子引入的。σ模型的名字来自于其中的一个记号，可以借此研究重正化和对称性的相互影响。σ模型中包含零质量的费米子同位旋二重态场、假标量π介子三重态和标量场σ。这个模型是有趣的，它是一个可重正化的模型。
线性破缺项意味着量子σ场有一不为零的真空平均值v，这表示考虑到场的真空涨落时必须围绕v值而不是零值作微扰展开，这是通过移动场量来实现的。在σ场平移后得到的拉氏函数，在幂次计数的意义下是可重正的。在相互作用拉氏函数中，所有单项式的量纲都小于或等于4；可能的抵消项也同样是如此。假定σ粒子经受了玻色凝聚；在一个对称的环境中质子和中子是无质量的，现在由于聚居在真空中的所有σ粒子而减缓了速度，它们获得了质量；对于这一体系而言，Goldstone定理是正确无误的。
线性σ模型和它的Goldstone极限证实，即使在 Born项范围内流代数和PCAC的所有约束也都成立，这一事实指出，我们可以利用它作为唯象的拉氏函数，就象弱相互作用的Fermi理论。即使这一理论在四维时空里按照通常标准是不可重正的，它也具有一些与现代强相互作用场论共同的特点。
算符乘积展开(Operator product expansion, OPE)
算符乘积，按照Wick定理，可以展开为包含所有可能收缩的正规乘积之和。自由场的收缩是已知的奇异函数，可以在近距离处或光锥附近，展开成级数。在一定近似下，取其一定的奇异部分就可以算出有一定意义的结果。可是，对于相互作用场，它们的收缩是未知的，不能采用上述办法来处理。为此Wilson提出了设想。
研究复合算符乘积矩阵元的行为的意义，在于下述几个有明确定义的极限情况：1、类空间隔趋于零(欧几里德情形)；2、类时间隔趋于零(闵可夫斯基情形)；3、间隔的平方趋于零(类光极限情形)。问题1是可以最彻底地分析的问题之一，其结果可以直接用于统计力学。最重要的贡献是由 Wilson和Zimmermann给出的。为了分析对深度非弹性现象的部分子模型的修正，必须将小距离展开加以推广。
OPE思想把物理现象小心地根据长度分隔开。用长度尺度来刻画系统的性质，比指定某种背景过程的截断要好得多。短于截断长度范围内的性质对“相似性测量”有贡献，这种测量决定了大尺度效应的相对重要性。如果给一个特写，深度非弹性散射就会以另一种样子出现，那些散射组分通过一种神秘的方式结合在一起形成一个质子，可以用相似因子(likelihood factor)描述质子内部散射组分的分布。相似因子依赖于探测光子的波长，它等价于描述夸克在质子内部分布的结构函数。
OPE的划分是基于尺度的，划分所选择尺度的长短具有任意性，相似性测量受重正化群的支配。这就表示，一旦在某个难以观察的精细尺度上可以用微扰论计算相似性，我们可以将尺度放大，这也许能够符合实验观测。算符乘积的级数展开，和一般的级数展开是不同的。在一般的级数展开中，都有一组正交、完备的函数系，如球函数、柱函数等；而算符乘积的展开，却缺少一组正交、完备的函数系，只有少数几个展开函数。所以，我们把它叫做展开，而不叫做级数展开。
对于流算符的编时乘积，可以利用一般量子场论中介绍的Wick定理，把它展开为包括所有可能的收缩的正规乘积之和，然后代入传播子的表达式，OPE就可以计算出来。
海夸克和价夸克
结构函数也称为夸克分布函数，表示核子动量在夸克之间的分配情况，F2的深度非弹性散射中得到的两个结构函数中最重要的一个。几乎没有夸克会占据核子动量的绝大部分，但却有相当多的夸克动量很小，质子并不仅仅是一个由三个孤立夸克所组成的包。
三个价夸克携带着质子的量子数，因此它们可以用重子数、电荷、同位旋等量来表明质子的身份，对应着简单夸克模型所要求的uud组成方式。因为价夸克可以聚集在一起形成质子，它们必须通过某种方式相互作用，很可能是通过胶子发生作用，这样才能让三个夸克共同分享质子动量。起传递作用的胶子反过来也会产生夸克- 反夸克对：价夸克沉浸在不断变换的低能胶子、夸克和反夸克“海”中。
实际上，动量大于质子动量1/10的胶子寥寥无几，但是动量百分比较低的胶子数量非常多，这说明低动量百分比的部分子实际上都是胶子。从实用主义的角度来说，很多过程的计算，比如质子-质子散射生成Z玻色子和W玻色子、底夸克和顶夸克以及假定的Higgs粒子的过程，都依赖于对低动量百分比夸克和胶子数量的了解。检验求和规则要包括所有动量成份的贡献，因此也要求了解这些信息。
核子自旋危机
根据HERMES得到的结果，上价夸克的自旋方向同父质子相同，而下夸克的自旋相反。但还存在不足之处：HERMES小组证实，只有25%~30%的质子或中子自旋是由内部夸克引起的。根据理论，这个数字可能是60%~100%，这种偏差不能令人满意，因此在粒子物理学中诞生了一个新词：核子自旋危机。
实验表明，最简单夸克模型计算出来的磁矩与实验值惊人地一致，但用来预言自旋时却出了问题。根据这一模型，核子自旋100%由3种价夸克引起，这同实验观测到的结果不一致。简而言之，简单夸克模型太简单了，无法解释核子的自旋。
“ 核子自旋危机”使核子结构研究进入一个新时代，理论研究更活跃，如果说八十年代初是每一个国家都有他们的核力夸克模型，那么九十年代每个国家都有许多核子自旋模型，三十年来为解释强子结构而建立的种种夸克模型都被用来研究过核子自旋，更直接的QCD理论计算也分成意见不一的派别。据CERN统计，自从他们的EMC组实验测量1988年发表后，全世界共发表了二千多篇有关论文。
核子自旋、磁矩结构研究表明，纯价夸克模型只是一种近似，海夸克在核子结构中起重要作用，这和原子结构绝然不同。胶子在核子结构中起重要作用是早已确定的事实，七十年代已知胶子几乎带有一半核子的动量，有人估计胶子能量占核子质量的1/3。核子自旋结构讨论中，一种解释是胶子自旋对核子自旋有重要贡献，不过如何区分夸克和胶子自旋有争议。但不管理论上如何争议，实验上已着手测量胶子自旋。
核结构研究给我们一个重要教训，能谱固然是检验结构模型的重要实验数据，不同态间的跃迁对结构更灵敏，核子基态到各种重子共振态的跃迁将对核子结构模型提供更严格的检验，这方面的测量也已广泛展开。粒子物理研究中，常常是理论模型众多，实验数据不多，因为粒子物理实验又费时又费钱。核子结构研究中则实验远远领先于理论，核子结构研究已经导致三个诺贝尔奖，看样子核子结构研究还将导致新发现。
在许多不可避免的复杂性当中，最微妙、影响最广的，是由额外胶子交换引起的“基本”过程末态变化。例如在深度非弹性散射过程中，一个额外胶子将质子碎片同被散射的夸克联系起来。质子碎片同反质子内部的一个反夸克联系在一起，由于要涉及一种神秘的数学方法，这一类型的过程被称为“高扭度”(higher- twist)效应。
重子口袋
除了组分夸克模型外，三十多年来还提出了许多其他核子结构模型。例如和组分夸克模型同时提出的有袋模型，那儿夸克囚禁特征用一个夸克不能越出边界的约束条件来表示，并假定在边界内(袋内)夸克间只有胶子传递的微扰作用(表示渐近自由)，而且袋内的夸克就是QCD拉氏量中出现的流夸克。产生夸克泡所需要的能量称为口袋常数。
口袋模型是由Kenneth Johnson和他的同事于1974年在MIT提出来的。“口袋工人”们已经获得了成功，他们成功地解释了强子质量和总自旋之间的关系以及强子质量的基本图谱。他们还能够给像介子碎裂这样的过程提供一套独特的模型。如果真空的色介常数趋于零，则围绕夸克形成口袋；当口袋内夸克处于颜色单态时，口袋的质量有限，并且使夸克脱离袋需要作无穷大的功；强子可以看成是这种无色的口袋。
李政道为了改进口袋模型的Lorentz非协变性，提出了非拓扑孤子模型，那儿Lorentz非协变的袋边界约束条件被一个协变的标量场Sigma所代替。既然色介常数与空间位置有关，根据相对论，一般说它就是空间-时间坐标的函数；唯象地说它就是一种场。色介常数是一个洛仑兹标量，所以色介常数是一种唯象的标量场；实际上它是一种长程有序场，描写QCD的长程集体效应，因此只有低频成份，没有高频成份；可以引进另一种唯象的标量场Sigma，Sigma线性地依赖色介常数。
QCD真空
在组分夸克模型框架下，关于组分夸克间的相互作用也出现了不同模型，Glozman-Riska-Brown在手征对称自发破缺概念基础上提出了夸克间互作用应由Goldstone玻色子传递的模型。Manohar-Georgi同样采用手征对称自发破缺的概念，但认为Goldstone玻色子和胶子交换都对夸克互作用有贡献。现在比较流行的理论是由于能量低于1GeV时手征对称自发破缺，夸克、胶子凝聚使流夸克转化为组分夸克。
在 QCD理论中，介子从对称性破缺中产生，这说明真空一定存在某种夸克-反夸克背景，物理学家们将其称为夸克凝聚。正是这种夸克凝聚真空中的涟漪形成了实际可观测的介子。夸克凝聚是一种夸克-反夸克海洋，夸克对的自旋方向相反，以保证洛仑兹不变性和能量最低；因此，夸克凝聚建立在夸克同反夸克的相互关系之上。
真空还是胶子凝聚以及其他一些组分居住的地方。背景夸克和胶子正是通过这种凝聚进入了QCD理论的求和规律方法，它对于计算强子性质十分有用。尽管理论物理学家们都坚信，真空在夸克禁闭中起了重要作用，但它仍然是一个巨大的尚未解决的疑团。一套强相互作用理论应当具有近似手征对称性，并且这种对称性会由于存在夸克-反夸克凝聚而自发破缺，该过程与π介子的质量和寿命都有关系。
1975年，Alexander Polyakov和同事们的工作揭示了一种胶子实体，该实体从很久以前很远的地方诞生，并在将来且很远的地方消失；尽管在最初和最后，场强都会消失，但中间存在一个局部区域，其中的场具有一定的正能量，现在被称为瞬子(instanton)，是由胶子形成的一种能量块。瞬子是孤子的一个实例，它们携带一个拓扑荷，这个量是守恒的，正是这种拓扑属性保证了它们的安全。
当我们想精确地描述η粒子时，确实存在一个反常，这个反常的真正根源并不起因于重正化过程。正如狄拉克所认为的那样，负能和正能之间的来回转变是可能的；规范场有一个“纽结”构形，这个“纽结”正是场线的纠缠，而它对于引进费米子态的负能和正能之间的转变是必需的。这个场构形仅在一瞬间存在，形成后又立即消失了，因此得名瞬子；正是有了瞬子，η粒子才有了质量。瞬子能够提供一种合适的对称性破坏。一个无质量的胶子产生的瞬子，能将一个右旋的夸克反转为左旋夸克，这种手征性反转就是手征对称性的破缺。因此，瞬子破坏了手征对称性，又不要求存在一种轻质量的介子；QCD理论的U(1)问题解决了。
有质量的规范理论
一个具有质量项的规范理论是否可重正化呢? 在电动力学中，情况是乐观的。在把规范场分成横向和纵向两部分后，在传播子中引起坏的行为的纵向部分对S矩阵不做贡献。这是因为纵向和横向分量之间没有相互作用，且场是与守恒流耦合的。在一个非阿贝尔理论中，这些性质没有一条被满足；纵向和横向部分的确有相互作用，而规范场所耦合的流也不守恒。么正规范并不适合于研究重正化，因为传播子具有坏的大动量行为。
所有的非物理态，即假想的Goldstone玻色子、矢量场附加的极化态和鬼粒子场，实际上都对S矩阵元没有贡献；所有这些非物理场的传播子在动量为零处都有一个极点。在任何规范下，特别是在Landau规范下，非物理态不做贡献。虽然非物理粒子已经从物理子空间中消失，自发破缺机制的某些痕迹，即某些有质量的标量场仍然残留下来了。
R运算等效于在拉氏量中插进一些可以表示为耦合常数的级数的抵消项。R运算中的抵消项形式对于研究杨-米尔斯场是方便的，因为它使得我们能够以一种简单而明显的方式考虑对称性质。抵消项的明显形式依赖于具体的中间正规化和减除点(即泰勒级数展开的中心点)的选择，选择一种不方便的正规化将使得对于重正化理论的分析变得非常困难。在规范场的情况下，能够保持未重正化理论的形式对称性的不变正规化是特别方便的。
对于非阿贝尔规范场，目前存在两种不变正规化方法：高阶协变导数方法和维数正规化方法。第一种方法实际上是对于自由传播子用减除来正规化的标准正规化步骤所作的具有不变性的推广；这种减除等效于在拉氏量中插进有高阶导数的项，在杨-米尔斯场的情况下，这样一种做法破坏了规范不变性，因为通常的导数不是协变的。由于出现了带导数的新顶点，正规化只是部分的，二阶、三阶和四阶图形仍然发散。因此，单用高阶协变导数方法不能完全解决问题；而只将问题化为研究超可重正理论，即只产生有限个发散图形的理论。剩下的图形可以用略加修改的泡利-维拉方法来正规化。
和高阶协变导数方法不一样，维数正规化并不归结为原始拉氏量的某种修正，而是直接地处理费曼图。这一方法是基于以下两件事实：(1)格林函数之间的形式对称关系(广义Ward恒等式)不依赖于时空维数(n)；(2)当n足够小或者是复数时，所有的图形都对应于收敛的积分。这样，广义Ward恒等式能够在所有积分都收敛的n的区域中严格地证明，然后利用解析延拓可以过渡到n=4。
反常
假定费米子与规范场通过轴矢量流耦合，反常有可能发生在这种流的守恒中，这来源于当保持手征对称时理论的不可正规化。在量子电动力学或Sigma模型中，这种反常是可接受的。如果规范场与反常流耦合，情况就有很大的不同；Slavnov-Taylor恒等式可能不适用，并且可重正性也可能受到破坏。在规范场保持零质量的理论中，这意味着需要所有可能的、量纲为4的抵消项，这将破坏耦合常数重正化的普适性；当对称性被自发破缺时，问题变得更加严峻。
当我们研究非常轻的费米子在一个电磁场或在一个杨-Mills场中的行为时，反常会突然地蹦出来。中性π介子能在一个极短的时间内转化成一个质子和一个质子；虽然它们通常又立刻会回到π介子态，但是它们也能彼此湮灭，而在此过程中发射出两个光子。但这个双光子衰变本该是不允许的，正如在夸克图像中的裸夸克一样，在质子图像中用到的裸质子也几乎是无质量的。倘若它们是精确地无质量的，与π介子相关的守恒定律使得该π介子绝对不可能衰变为任何个数的光子。由于螺旋性不符合，无质量的费米子不能够彼此湮灭。但裸夸克确实有小小的质量，这就使得该π介子实际上有机会衰变。
这个形式上的论述是有缺陷的，把计算重正化是必要的；当人们计算任何可以测量的东西时，该理论包含了能相互消除的无穷大力；但是当人们试着去螺旋性时，却发现在这无穷大消除过程中螺旋性的守恒律牺牲掉了。结果是，每当一个费米子沿着一个有三角形轨道的图形整整走一圈时就会发生这种情况；我们把这一现象称为三角形反常。
当试着对杨-Mills场找出重正化的精确规定时，反常又出现了；在温伯格-Salam模型中，裸费米子必须精确地无质量。这些反常会使理论变得无用，除非它们碰巧能够彼此消除；现在产生了一个小小的奇迹；如果我们拿出标准模型，由轻子造成的所有反常，竟然会和由u和d夸克造成的所有反常彼此巧妙地消除掉! 大自然产生的轻子的种类和夸克的种类一样多，这就是其中的原因；否则的话我们将会面临一个不可重正化的方案。
反常并不只是出现在弱作用理论中，三角形图形也会出现在强相互作用理论中；我们考虑与夸克螺旋性守恒有关的代数，这个代数的一个结果是，有些强子是无质量的并且自旋为0：它们就是Goldstone粒子。事实上，三个π介子都几乎没有质量，而且它们的自旋都是0。但应该有四个守恒律，因此必须有第四个轻的、自旋为0的粒子；能满足这些必要规定的客体只能是η粒子；总之，量子色动力学预言了η粒子必须是很轻的；但是η粒子却要比π介子重得多；这就是所谓的η难题。
规范场
规范场相位的局部变换，等效于出现一个附加的电磁场。这和爱因斯坦引力理论中的弱等效原理完全类似，在那里，坐标系的变化导致出现附加的引力场。相对性原理意味着，不是一组场，而是整个一类规范等效的场位形对应于真实的物理情况；在内禀电荷空间中没有将物质的物理场表示为分量的特殊的固定基底；这样的基底能够在每一时空点局域的引进，然而没有物理的原因将它固定下来；基底的局域变化被解释为规范场的改变，这里的规范场起着和引力场与电磁场类似的作用。
这可以有一种精确的几何解释，其中杨-米尔斯场起着引力理论中克利斯托菲符号的作用；和克利斯托菲符号类似，杨-米尔斯场描述了电荷空间中的平行位移，并决定了这一空间的曲率，且规范场类似于张量场。纤维丛理论提供了描述这一相似性的自然语言；主丛联络的概念对应于杨-米尔斯场。一般说来，沿闭合回路平行位移会改变规范场，且场强张量为该空间的曲率。场强张量是协变导数的对易子，而Jacobi恒等式与引力理论中的Bianchi恒等式相类似。
正则量子化方法得到的S矩阵表达式不是明显协变的，这对于进行微扰论计算，特别是对于重正化是很不方便的。路径积分方法能够克服这一缺陷。相对性原理启发我们，为了达到这一目的，需要对规范等效类进行相对论不变的参数化。
广义Ward恒等式
重正化步骤通常用格林函数来表述，和S矩阵不一样，格林函数不是规范不变的对象，它们的值依赖于所选择的特殊的规范条件。相对性原理等效于在格林函数之间存在着一些关系；类比于电动力学，我们称这种关系为广义Ward恒等式。这种关系提供了不同规范的物理等效性，并在证明重正化S矩阵的规范不变性时起关键作用。特别是由它们可知，为消除去掉中间正规化后出现的发散所需要的抵消项有规范不变的结构。
对于格林函数的纵向部分不存在辐射修正，对于三点和四点函数的相应的恒等式看起来比电动力学中复杂得多，因为它们里面包含有虚构粒子的格林函数。由广义Ward恒等式可以得到结论，从格林函数中去掉发散所需要的抵消项之间存在关系。和波函数纵向部分的重正化对应的抵消项等于零；如果格林函数满足广义Ward恒等式，则抵消项形成一个规范不变的结构；重正化不破坏理论的规范不变性。
广义Ward恒等式表述了杨-米尔斯场有效拉氏量在某种经典情况下没有的相加对称性。有效拉氏量指的是指数上的表达式，这一表达式除了经典杨-米尔斯拉氏量以外，还包含规范固定项和虚构场的拉氏量。在构造么正的重正化S矩阵时，我们用了不变的中间正规化；不变正规化作用量的存在使我们能够得到广义Ward恒等式，并利用它们证明么正规范和洛仑兹规范的等效性。一般说来，并不需要采用不变的中间正规化；原则上，可以引入任意的中间正规化，并选择抵消项使得重正化格林函数满足广义Ward恒等式。
第二类超导体
对具有负界面能的超导体来说，当它处于磁场中时，若在结构上变成一系列正常态和超导态交替出现的分布，即混合态时则在能量上最有利。这是因为在正常态和超导态金属的界面区有负的界面能，从而会使整个超导体混合态的能量变低。两类超导体的本质差异就在于界面能，如果界面能为正，那就是第一类超导体，如果界面能为负，那就是第二类超导体。两类超导体在电子有序的微观物理图像上是没有差异的。
考虑一个中空金属圆柱体；当中空圆柱体是正常金属时，我们加上外磁场，这时将有磁通线穿入金属及中间的空洞。再将温度降到临界点温度以下，使该中空圆柱体变成超导态。实验发现，这时在超导体材料内部没有磁通线，但在中空的洞内有磁通线；这种磁通线在空间分布的差异是由表面电流造成的，在中空圆柱体的内外两表面产生了流向彼此相反的表面电流。伦敦早就指出，中空超导体空洞内的磁通量变化是不连续的，称为磁通量的量子化。1959年，昂萨格考虑到束缚电子对的超导微观机制后说明，磁通量变化的最小单位是 hc/2e，这个因子2来源于电子对具有两个电子电荷量；1961年所完成的实验证明这个修正是正确的，这就从实验方面肯定了BCS的电子对物理图像。
质量极高
现代物理中的一些基本概念
Wiki中文版中找到的物理名词解释不够全，特做此现代物理中的基本概念以方便中国人查阅。
常曲率时空Riemann张量只取决于Ricci标量R。于是，根据缩并的Bianchi恒等式，R在整个时空是一常数。事实上，这些时空都是均匀的。R=0的常曲率空间是Minkowski时空。R>0的常曲率空间是de Sitter时空。
w+v>0 的de Sitter空间区域构成宇宙的稳恒态模型的时空，这种时空模型最早由Bondi和Gold(1948)、Hoyle(1948)分别提出。在这个模型里，假定物质沿曲面{t=常数}的测地法线运动。当物质进一步分离时，更多的物质会不断地产生出来以维持密度为一常数。Bondi和Gold没有为模型寻求场方程。不过，Pirani(1955)、Hoyle和Narlikar(1964)已经指出，如果我们在通常物质之外再引入负能量密度的标量场，则可将度规视为Einstein方程的一个解。那个标量场(“C”场)还决定着物质的连续产生。
稳恒态理论的好处是能做出简单而又明确的预言。但从我们的观点看，它有两个不令人满意的地方：一是存在负能量；另一点是它的时空只是半个de Sitter空间，还可以扩展。尽管存在这些美学上的异议，对稳恒态理论的真正检验还在于其预言是否与实验观测一致。现在看来，它似乎并不一致，尽管观测结果还不是很确定。
de Sitter空间是测地完备的，但这种空间仍有些无法用任何测地线连接起来。这种截然不同于那些具有正定度规的空间。在具有正定度规的空间里，测地线的完备性保证了空间中任意两点至少可用一条测地线连接。代表稳恒态宇宙的半个de Sitter空间在过去是不完备的(有些测地线在整个空间是完备的，它们穿越了稳恒态区域的边界，因而在那个区域内是不完备的)。
与Minkowski空间不同的是，de Sitter空间对类时曲线和零曲线都有在未来和过去的类空无穷远。这一区别对应于这样一个事实：在de Sitter时空里，对观察者的测地线来说，同时存在粒子视界和事件视界。
在de Sitter空间里，我们考察一族有着类时测地线历史的粒子。这些粒子必然始于类空无穷远L-并止于类空无穷远L+。令p是粒子O的世界线上的某个事件，即历史上的某一时刻(沿O的世界线的固有时)。p的过去零锥是p时刻能被O观察到的时空的所有事件的集合。某些其他粒子的世界线可能与这个零锥相交，这些粒子对O来说是可见的；反之，可能存在一些粒子，它们的世界线不与这个零锥相交，它们这时对O来说是不可见的。在稍后于p的时刻，O可观察到更多粒子，但仍有些粒子是不可见的。我们将O在p时刻可见到的粒子与该时刻不可见粒子的分界称为观察者O在事件p的粒子视界，它代表处于观察者O的视野极限的那些粒子的历史。注意，仅当粒子族内所有粒子的世界线均已知时，粒子视界才可能确定。如果某个粒子处于视界面上，则事件p就是粒子的生成光锥与O的世界线相交的一点。另一方面，在Minkowski空间里，所有其它粒子，如果沿类时测地线运动，则对O的世界线上的任意事件p都是可见的。只要我们仅考虑测地线的观测者族，就可以认为粒子视界的存在是过去零无穷远的类空性的一个结果。
所有在p的过去零锥外的事件，直到事件p所代表的时刻，都未被O 所见。O的世界线在L+上有一极限。在de Sitter时空里，O的过去零锥(由对实际时空取极限得到，也可直接获自共形时空)是两类事件之间的分界：O在某一时刻可观察的事件和O永远也无法观察的事件。我们称这个界面为世界线的未来事件视界。它是世界线的过去的边界。另一方面，在Minkowski时空里，任一测地观察者的极限零锥均包含整个时空，故不存在测地观察者永远无法看见的事件。然而，如果观察者作匀加速运动，则其世界线可能有一个未来事件视界。我们可以认为，测地观察者的未来事件视界的存在是L+的类空性的一个结果。
Schwarzschild解
尽管空间均匀解是描述宇宙大尺度物质分布的一个良好模型，但它们不足以说明像太阳系这样的局部的时空几何。我们可以用Schwarzschild解很好地近似描述这种几何，它代表大质量球对称天体外虚空的球对称时空。事实上，迄今为止所有为检验广义相对论与Newton理论之间的差异而进行的实验，都是基于这个解的预言。
我们考虑球对称时空情形的Einstein方程。或许我们可将球对称时空的基本特征认定为存在这么一条世界线L，它使时空关于L球对称。这样，在以L的任意一点p为中心、沿过p且垂直于L的所有测地线上取一常数距离d所定义的每个类空二维曲面Ld上，所有点都是等价的。如果利用保持L不变的正交群SO(3)来顺序改变p点的方向，则由定义知，时空将保持不变，Ld上相应的点将映射到自身，故时空允许群SO(3)作为等距变换群，群的轨道即球面Ld。(有可能存在特殊的d值使曲面Ld仅为一点p’，而点p’又是另一个对称中心。)
然而，在某些我们希望作为球对称的时空也可能并不存在像L这样的世界线。例如，在Schwarzschild解和Reissner-Nordstrom解里，时空在r=0点是奇异的，否则它们也该是对称中心。因此，我们把存在作用在像Ld这样的二维曲面的等距变换群SO(3)作为球对称时空的特征。如果时空允许将SO(3)群作为等距变换群，且群的轨道为类空二维曲面，我们就称它是球对称的。这些轨道也必然是正常数曲率的二维曲面。
我们完全可以写出并验证所有球对称时空的度规，尤其是所有Schwarzschild解和Reissner-Nordstrom解，但它们都是渐近平直的空间。一般说来，球对称空间可能至多存在两点，从这两点看，空间才呈球对称。尽管它们可作为大质量天体附近的时空模型，但只能作为与我们从某个非常特殊的位置附近看到的与各向同性相一致的宇宙模型。例外的情形是那些宇宙在时空的每一个点都呈各向同性的模型。
正如Walker(1944)证明的，每一点的严格球对称意味着宇宙是空间均匀的，它容许一个六参数等距变换群，其可迁曲面是常曲率的三维类空曲面。这种空间称为Robertson-Walker (或Friedmann)空间(Minkowski空间、de Sitter空间和反de Sitter空间均属一般Robertson-Walker空间的特例)。由此我们可得出结论：这些空间都是我们可观测区域的时空大尺度几何的良好近似。
我们可通过叠合这些三维空间中适当的点，来获得其他整体拓扑；甚至在负曲率或零曲率情形，我们也可以通过这种方式来得到紧致的三维空间。但是这种常负曲率紧致曲面可能不具有连续的等距变换群—尽管每一点均存在Killing向量，但由这些Killing向量仍无法确定整体Killing向量场，而且它们生成的局部等距变换群也不能连接起来形成整体的等距变换群。在零曲率情形，紧致空间只能有三参数等距变换群。无论哪种情形，叠合产生的空间都不会是各向同性的。
R<0的常曲率空间称为反de Sitter空间，这个空间存在闭合类时线，但它不是单连通的。如果我们解开圆周S，则可得到反de Sitter空间的通用覆盖空间，它不包含任何闭合类时线。反de Sitter空间还有两个有趣的性质。
存在夸克物质组成的恒星吗?
我们知道，质子是由两个u和一个d夸克组成，中子是由一个u和两个d夸克组成。在中子星的内部，物质密度可以远比原子核的密度还高得多，那里中子与中子之间可以挤得很紧，以致中子被挤破而形成夸克物质。那么，会不会存在夸克星呢? 如果夸克星的能量比中子星低，那么中子星会转变为夸克星，宇宙中稳定存在的就应当是夸克星而不是中子星。
十分有趣的是，E.Witten以及稍后的E. Farhi和R.L. Jaffe在1984年发表的奠基性论文中指出，在相当宽的量子色动力学参数范围内，奇异夸克物质的能量不仅比非奇异夸克物质低，而且也比重子物质低。因此，奇异性的能量应显著低于中子星，即奇异星比中子星更稳定。这个结论使C. Alcock等人于1986年甚至说：很可能所以已知的中子星其实都是奇异星。
1999年，李向东、庞巴奇(Bombaci)等人利用新发现的毫秒X射线脉冲星SAX J1808.4-3658的观测数据，对该脉冲星的半径与质量给出的限定，并与各种中子物质态和奇异夸克物态能给出的致密星的半径与质量关系进行比较，指出SAX J1808.4-3658很可能是一颗奇异星。稍后，他们利用准周期振荡的观测数据，指出4U 1728-34也可能是一颗奇异星。
中子物质转变为奇异物质的相变会放出大量能量，而且相变的时间又往往很短，它很可能与爆发现象密切相关。1995年12月，美国康普顿卫星上的仪器 BATSE在银心附近观测到一个硬X射线暴GRO J1744-28，离地球的距离约为25000光年。这是一个很特别的爆发现象，既是暴，又是脉冲星。光子能量在几十keV的范围。暴的持续时间约为10 秒。
因为强作用是奇异数守恒的，具有不同奇异数的d和s应完全独立地参与强作用。但是，按照卡比玻理论，d和s却是以混合态参与弱作用的。所以，夸克是以不同的面貌参与强作用和弱作用的。当然，如果考虑到三代六味夸克，卡比玻的2夸克叠加将扩展为卡比玻-小林诚 (Kobayashi)-益川敏英(Maskawa)的3夸克叠加。在3夸克叠加态中将出现新的角度和相位角，这可以解释弱作用中的CP不守恒。
部分子
部分子究竟是什么东西? 最自然的一种猜想是，部分子可能就是夸克，或者至少有一部分是夸克。这种观点被称为夸克-部分子模型。按照夸克-部分子模型，原始的作用是通过夸克-部分子进行的。比如在高能电子-正电子对撞过程中，首先通过电磁作用产生一对部分子，而后通过强作用发展成为两束强子。根据动量守恒定律，一对部分子应当向两个相反方向射出去。因此，由这一对部分子发展成的强子将形成明显的向相反方向射出的两束，这叫做喷射或喷注。如果不是通过部分子对这个中间阶段，强子应当向四面八方飞出，很难设想会形成方向相反的两束。实验上果然发现了这种喷射现象，这对于夸克-部分子模型是一个有力支持。从部分子通过强作用发展形成的强子束是可见的。
1979年，丁肇中小组发现，当对撞能量高达二三十GeV时，电子-正电子对撞过程中除了两个主强子束外，有时还有一个或两个较小的强子束，呈现三喷注或四喷注现象。这里，小的强子束可能是由胶子发展形成的。
核子是一个孤立子，其中包含着许多部分子。轻子和核子的深度非弹性散射可以分解成轻子与组成核子的各夸克部分子的弹性碰撞过程；当轻子能量足够高时，每一次碰撞可以看成是轻子与原子核中的一个核子碰撞，这就是所谓的脉冲近似。在轻子与夸克部分子弹性碰撞以后，该夸克部分子再与其他夸克部分子或袋碰撞，形成许多终态粒子。
深度非弹性散射的结构函数和强子的内部结构有关，要从强子的结构模型来进行研究。强子由夸克组成，夸克之间存在由胶子传播的作用，这作用有渐近自由的性质。当光子或中间玻色子的动量很大时，它的波长远小于核子的线度。它对强子的作用，深入强子内部，直接施加于夸克；而夸克和夸克之间的强作用，由于渐近自由的性质，实际很弱，以致可以忽略不计。这时，轻子对强子的散射过程，就可以归结为轻子对自由夸克的散射过程。
序参量
对于超导和超流转变，序参量的含义不那么直观。这两种现象是宏观范围内表现出来的量子效应，让我们用“宏观波函数”来描述它们。这就是超导体中的“能隙”参量，因为激发一个电子或“空穴”所需的能量要大于能隙的绝对值。
找出连续相变中的序参量，研究它的变化规律，是相变理论的首要任务。虽然序参量的结构很不一样，但在临界点上其绝对值连续地趋于零这一点是共同的。
序参量通常可以和一定的外场耦合。这些场称为“对偶场”。序参量和对偶场是一对热力学共轭变量。对偶场往往可以从外部控制。对偶场为零时，序参量在临界点自发出现，使对称破缺。下表列举了几种物理系统的序参量、对偶场、破缺的对称和恢复对称的模式。
相变名称 序参量 对偶场 破缺的对称 恢复对称的模式
各向同性铁磁体 M H 三维转动群 自旋波
超导 能隙 无经典对应 U(1)规范群 集体激发
超流 波函数 无经典对应 U(1)规范群 集体激发
并不是一切序参量和对偶场都是宏观可测的物理量。例如，反铁磁体的序参量是一个次晶格，而不是整个晶格的平均磁化强度，它可以用磁共振的办法测量。
1937 年朗道提出的平均场理论是非常普遍的。连续相交的主要特征是序参量在相变点连续地从零变到非零值。在临界点附近，序参量是一个小量。许多不同领域中提出的平均场理论，形式虽很不同，但实质却一样，主要表现在临界点附近的行为相同，临界指数的数值彼此相等。可以证明外斯的“分子场理论”等理论与朗道理论的等价性。
朗道的平均场理论原来不考虑涨落效应。能不能“修改”一下这个理论，哪怕是部分地考虑这一效应。存在空间涨落时，磁化强度M与空间位置有关，它是微观磁矩的统计平均值，磁矩之间的关联表现为乘积的平均值不等于平均值的乘积，这两者的差别就称为关联函数。
特别容易激发的模式叫做“软模”，软模就是长波涨落。在单轴铁磁体的情形，这个模式可以对应自旋向上或向下。如果两者同样激发，并不破坏对称。但如果向上的模式偶然占了优势，就会激发更多向上的模式，产生软模的“凝聚”，从而出现自发磁化。
在连续对称破缺时，一定会出现零能量的恢复对称的模式，叫做Goldstone模。这种模式与离散对称下的软模不同，它的本征频率不仅在临界点为零，而且在小于临界点的整个温度区间也是零。一般说，这种运动模式与序参量正交。在各向同性的铁磁体中，这就是自旋波。考虑到序参量是高温相破坏对称的软模凝聚的结果，也可以说，Goldstone与高温相破坏对称的模互相垂直。在高温无序相，各个方向等价。
伊辛模型
伊辛模型的理论和实际意义，远远超出了它的提出者当年的认识。它能相当好地描述各向异性很强的磁性晶体，如反铁磁体镝铝石榴石。它是一大类相变现象的代表，而且还有助于理解量子场论的一些根本问题。
模型虽然很简单，求解却极为困难。1944年昂萨格发表了二维伊辛模型的严格解。昂萨格解的最大特点，是比热奇异性表现为无穷的对数尖峰，而不是平均场理论给出的有限跳跃。二维伊辛模型的严格解是统计物理的重大成就。它表明应用统计物理的原则和方法可以解释相变。它首次对平均场理论的正确性提出了怀疑。
尽管实验结果与平均场理论的预言差别很大，但有两件事发人深思。一是许多性质迥然不同的体系临界行为却非常相似，临界指数几乎完全一样。二是临界指数的实验值，虽然不同于平均场理论，但都很好地满足一些“标度”关系。耐人寻味的是，平均场理论，二维伊辛模型的严格解和三维伊辛模型级数展开解，也都满足这些关系。
有人曾严格地证明，平均场理论的结果对于具有长程作用力的模型是正确的。就是说，对于分子间有长程作用的液体模型，可得出范德瓦尔斯方程。偏离临界点时经典理论是很好的描述，但到临界点附近就不行了，那里物质更像昂萨格的所描述的。给昂萨格和范德瓦尔斯整合的第一步，是要找出一种非平均场行为的普适描述。这就是所谓的“标度假定”。经过标度以后，很多材料磁化强度随温度的变化曲线完全一样。性质差异很大的液体，数值经过标度后都能很好地落在一条曲线上，说明标度假定反映了事物的本质。
为什么在临界点会有如此普遍的标度性质，卡丹诺夫给出了一个非常直观的物理图像。这是以后发展起来的“重正化群”理论的基础。既然在临界点上关联长度是无穷大，那么不管用什么尺子来量，它都是无穷大。远离相变点时，关联长度与相互作用长度差不多。在相变点附近，由短程作用导致长程关联的理论手段，就是自相似的标度变换。
重正化群
假定有一个线性链，每个格点被金属球占据的概率为P。把线链分成元胞，每个元胞中有2个格点。要使整个元胞导通，元胞中每个格点必须导通。因此元胞导通的概率是单个格点导通概率的乘积。用P'表示元胞导通的概率，它是格点导通概率P的函数。这个函数当然与元胞尺寸有关，把它记为R(P)。一般情形下R可能很复杂，对一维链则很简单，通常把R(P)叫做P的“重正化变换”，即从格点的导通概率变换成元胞的导通概率。
这样的变换可以连续地作下去，我们把R这些重正化变换的整体称为“重正化群”。在我们讨论的例子中，可以先作一次变换把2个格点归并成一个小元胞，再作一次变换把2个小元胞归并成一个大元胞，结果等价于把4个格点一次归并成一个大元胞。但是，这里不能定义逆元素，因为元胞的归并是一一对应的操作，然而元胞的分解不是一一对应的。没有逆元素的群称为半群。因此，从比较准确的意义上说，重正化群是一种半群。
对几何相变也可以定义关联长度，就是格点被金属球占据的概率为P时连通集团的平均尺寸。几何相变中也有一个临界点。达到临界点以后，连通集团的尺寸变成无穷大。这时不管用什么尺子量都是无穷大。导通性质不再因重正化变换而改变。因此，临界点至少应该是重正化变换的“不动点”，但不动点不一定都是临界点。在相变理论中，如果某个参数的值经过重正化变换后越变越大，就叫做“有关参数”。重正化的计算是一个三部曲：一是找到恰当的重正化变换，也就是标度变换；二是研究这个变换的不动点，找出与临界点有关的不动点和相应的有关参数；三是分析在这个不动点附近的变换性质，求出临界指数。
既然在临界点上关联长度趋向无穷，体系就应当具有“标度不变性 ”。量子场论中的重正化群方法，是为了讨论“重正化电荷”怎样不随截断因子变化，由费曼等于20世纪50年代发展起来的。1971年，威尔逊把这种重正化的思想与相变理论中非常直观的标度变换图像结合起来，赋予重正化群理论以丰富而具体的物理内容。这里关键的一步，是把关联长度趋向无穷的临界点与重正化群变换的不动点联系起来。
继Gell-Mann和Low的早期研究之后不久，一个更普遍的观点是研究在可重正理论中当所有有关的距离都是类空的且同时趋于零时Green函数的小距离行为。这个问题似乎是纯理论性的，因它涉及的振幅都是远离质壳的。幸运的是，这是一个错误的印象。一些间接的方法，如轻子在强子靶上的深度非弹性散射，使我们能够探测小距离的相互作用。Bjorken和Feynman从理论上预言的这类实验的结果，部分地启发了Wilson，Symanzik和Callan对这些Green函数小距离行为的研究。
期望在大动量下质量可被忽略时，理论变为标度不变的事实上是太简化了。渐近行为是由相应的无质量理论给出的。重正化迫使我们选取一任意能量标度，这个能量标度破坏了量纲分析，正是这种任意性事实上挽救了我们，标度的改变可以归结为耦合常数的修改。相应的流由类似于Beta系数的函数所主宰，因此重正化群变换取代了简单的量纲分析。
这个流中的紫外不动点(假如它们存在)，当Lambda增大至无穷时将吸引耦合常数。对耦合常数的特殊值，这将导致小距离标度不变性的恢复。这些耦合常数的特殊值在很大程度上不依赖于初始数据。特别是，一般而言观察到的场(或其他复合算符)的最纲将依赖于动力学。
原点为紫外不动点的情况是特别有趣的。这种情况称为渐近自由。对简单的无标度性的对数修正，将作为重整化的结果出现。如果在一个经典的作用量中所有有量纲的常数都不存在，我们预期这个理论是标度不变的。对于一个有质量的理论，在小距离上也可能发生这种情况。
如果组态变换被重新标度，也可以考虑这种变换在有质量的理论中的效应，因而得到反映标度不变性破坏的Ward恒等式。在这个意义上讲，这里的分析与纯粹的量纲分析是不同的。因为我们这里考虑的是动力学变量(场)变换的效应，而不是有量纲的参数(例如质量)的变换的效应。如果我们打算这样做，就会把两种不同的物理情况联系起来。
Coleman和Gross的详尽检验确定了下述结果：除非理论本身包含非阿贝尔规范场，任何可重整理论在四维时空中都不可能是渐近自由的。一个渐近自由理论的大动量行为，只有当原点是最近的不动点时才是可计算的，这就是物理学家们特别偏爱这种情形的原因。然而，“ 渐近自由”这个名字是有点含糊的，因为即使如此，无标度行为与自由场的情形还是相差一个对数因子的。
重正化
为完成重正化方案，需要一个量，这个量是电子-正电子散射核，或简称为核。在外光子被吸收后马上有电子-正电子对出现，它们必须以所有可能的方式散射以给出完全顶角。在非相对论性势散射理论中玻恩级数求和成为一个封闭的积分方程。从重正化理论的观点看，通过核K表示传播子和顶角是相当有用的。原因是K中的发散仅仅来内线的自能或顶角插入。如果没有这种插入，K将是有限的，在计算K中包含的重正化问题要相对地容易些，涉及传播子和顶角中发散的更困难问题可以从它们之间以及与K相互联系的积分方程的角度进行讨论。
在量子电动力学的重正化方案中，一个重要的助手是广义Ward恒等式，即QED 理论重正化过程中出现的三个无穷大常数中，有两个实际上是相同的，它使我们能直接从顶角计算传播子。它是微分的流守恒的结果，Ward恒等式是规范理论对称性的结果，实际上它表示的是格林函数之间的关系。
仅当实施一个标度变换后，一个着衣粒子与一个裸粒子都遵守同样的规律时，这个理论才是可重正化的；举例来说当实施了标度变换后，电磁场仍服从同样的一些方程。利用重正化常数的定义，可以重新标度传播子和顶角，以及电荷。由这个重新标度所定义的重正化常数可以反过来与传播子和顶角相联系。这把我们带到问题的关键之处，即证明：至重整后的电荷的每一阶，这些量和方程都是有限的，所以依赖于截断的顶在重新标度定律中都被吸收了。重正化的思想是：重新标度传播子和顶角函数，以使在质壳附近，以及在顶角情形下对于零动量传递，这些量趋于自由粒子的相应的量。
重正化理论的最大问题是证明重新标度的传播子和顶角函数是有限的，即当它们通过重正的电荷表示时是不依赖于截断的函数。使得这个任务困难的因素在于，这些重正化常数Z是发散的，它们是依赖于截断的量。对重正化方案幸运的是，重新标度并不使各个积分方程的结构复杂化。类似的标度定律可以对具有任意数目外线的普遍Feynman振幅写出。定义顶角的积分方程，以及通过顶角决定电子传播子的Ward恒等式也可以加以重正。由于 Ward恒等式通过顶角完全确定电子传播子，所以对于电子自能部分的方程不需再考虑。在顶角方程的非齐次顶中重正化常数的出现相对地是无害的，可以用在方程右端积分的发散部分作减除来排除它。
首先我们要处理试图定出Feynman积分上界时会出现的一个技术问题：对进入Feynman振幅的外动量作解析延拓，延拓到其分母肯定不会为零的区域。如果将动量能够通过Wick转动都变到欧氏区，那么，分母将都是负定的，就不会出现奇异性。
完全传播子的纵向分量和自由传播子的一样；换句话说，规范场传播子的纵向分量是不需要重正的。值得注意的是，规范场传播子的纵向分量是和规范固定项紧密联系的；因此，规范固定项是重正化无关的。
超导体
当波矢k一定时，格波能量的增加也是按一份普朗克能量增加的，称晶格格波的能量子(普朗克能量)为“声子”；晶格格波可用声子语言来描述。从一种形式的观点来看，导致超导电性的电子与晶格之间的相互作用可以想成是声子的虚发射和再吸收。对于能量在费米能附近的那些电子来讲，一个电子放出一个动量为q的声子，而这个声子又几乎立即被第二个电子所吸收；在整个过程中满足动量守恒。
当费米能一定时，费米动量就一定，如果在动量空间以费米能量为半径画一个球，那么正常金属在T=0K的情况下，在动量空间中，凡是小于费米能量的状态都被电子占据了，而大于费米能量的状态全空着，这个球常称为费米球，相应的球面是费米面。在上述被金属中的电子所充满的费米球上，若再额外增加两个电子，那么按照泡利不相容原理，既然金属中的众多电子牢牢地守住费米海，这两个外来电子就只能去占据大于费米能量的空着的量子态。与此相应，在动量空间中讲，假设当电子处在费米球面附近一个薄壳区之内时两个电子之间有吸引作用，但电子与晶格的相互作用足够强时，电子间的间接吸引作用可能胜过电子间的库仑排斥作用从而使电子间有一种净剩的吸引作用。
如果电子间存在这种净的吸引作用，结果它们能够形成一个束缚态，两个电子组成电子对偶，称之为库珀对。从动量空间来看，当总动量为零并且两个电子自旋相反时束缚能最大，从而这时对偶的能量最低。正常金属的电阻是由于电子被格波散射引起的。在超导体中，BCS超导图像中很重要的一点就是库珀对总动量的一致性。在没有电流时对态的总动量为零。如果动量空间的整个动量分布整体移动了P/2，这时对态具有的总动量为P，而且对所有的对态都一样。现在只是各电子整体在动，电流是由总动量为P的电子对传输的。这些形成了库珀对的电子不断散射，但在散射过程中总动量守恒，这就是超导电流无阻的原因。
还存在第二类超导体。当外磁场小于下临界磁场时，超导体内的磁感应强度B=0，超导体处于迈斯纳态；当外磁场超过下临界磁场时，即有部分磁通量穿入超导体内，超导体内的磁感应强度从零迅速增大；直到外磁场为上临界磁场时超导电性才消失，体内的磁感应强度就完全和正常态的金属一样了。当外磁场处于下临界磁场和上临界磁场之间时超导体的状态并不是迈斯纳态，称之为混合态(mixed state)。
当超导体处于混合态时，超导体内的磁通线组成了一个二维的周期性磁通格子。在超导区域，一部分电子组成了束缚电子对，在交界区，超导电子经过界面向正常区延伸，正常电子则经过界面向超导区延伸。在超导、正常金属交界区，超导电子的密度必然要随空间位置而变化。在纯金属元素中只有铌、钒、锝三者属第二类超导体。这种材料允许在整块材料内部的许多非超导区域内存在一丝丝很细的磁场。每条这种磁力线周围环绕着电流回路漩涡，它们能够在材料内部产生量子化的磁场。
雷杰理论
1968，当时还在魏斯曼科学研究院(Weizmann Institute of Science)的一名意大利的物理学家维那齐亚多(Gabriel Veneziano)试图了解强作用力时发表了一篇文章，用数学式来表示瑞吉轨道(Regge trajectory)。他意外发现十九世纪的数学家欧拉(Leonhard Euler)所完成的欧拉Beta函数(Euler beta function)，几乎符合所有基本粒子强交互作用所需要的特质。这个公式假定了共振态是以系列形式出现的；在这样的一个系列中，较重的粒子有较大的自旋，因此它们绕其轴的转动比较轻的粒子更激烈。
一年后，另外一群以芝加哥大学的南部(Yoichiro Nambu)和日本大学(Nihon University)的后藤Tetsuo Goto为首的物理学家注意到，根据这个方程式，粒子可视为具有某特定的空间延伸量，也就是可以是一段线段，或一段弦。假定这些共振态是由某种像“夸克” 那样的东西组成的；只有在这些共振态中的夸克彼此绕更大的圆周作轨道运动，才能理解这些较重的共振态会有大量的转动能量，也就是角动量，因为它们中的每一个都不允许比光运动得更快；然而这些夸克却不会互相分离。
如果你把这些强子想象是由一段段弦组成的，在它们的端点有夸克，那么 Veneziano公式就是你所得到的。根据Veneziano模型(Veneziano-Nambu model)，这些弦由两个反方向的作用力保持微妙的平衡，一是张力，使弦的两端拉近，另一为使弦两端分离的加速力。弦就好像飞机的螺旋桨，随时随地都在转动，所谓的离心力使得弦的两端向外拉，而弦本身内收的张力，恰好与之平衡，此一内收的张力非常强劲，每根弦上约十叁吨左右。
重子有一种特性，就是其角动量对质量平方作图，会得到一条相当直的线，这些曲线就称为雷杰轨道，以纪念其发明人雷杰。雷杰理论是根据意大利理论物理学家 Tullio Regge的名字命名的，它用交换介子来描述强子散射，如果夸克的数量大致为常数，该理论就会更加自然。在量子色动力学(QCD)理论诞生之前，人们用雷杰理论，尤其是一种称作坡密子(pomeron)的东西，描述有关总散射截面和弹性散射截面的强相互作用数据的方法。传统的坡密子和QCD理论是一对不和谐的伙伴。尽管QCD可能是一种基本理论，但令人尴尬的是，在处理大多数高能质子-质子和质子-反质子散射问题时，坡密子都要优于QCD理论。
坡密子交换是一种神秘的介子家族中的介子发生的交换。也就是说，坡密子是一系列满足雷杰理论要求的粒子。在能量非常高的情况下，坡密子交换占统治地位，有大量的实验证明确实如此。在它们自己的地盘上，坡密子甚至比QCD理论还要出色。它们的地盘就是所谓的软相互作用，在该过程中，参与碰撞的粒子之间几乎不传递动量。软相互作用会给QCD理论带来麻烦，因为它所涉及的能量太小了，以至于无法使用微扰论。
在某些质子-反质子碰撞过程中，如果一个初始粒子没有受到任何损伤，只是动量稍微变小了一些，而另一个粒子却发生碎裂，这种碰撞称为衍射散射(diffraction scattering)：质子-(反)质子碰撞中15%是衍射散射。1985年，加利福尼亚大学洛杉矶分校的Peter Schlein和CERN的贡纳(Gunnar Ingelman)推断，由于坡密子传递强相互作用，它们本身也应该是由胶子甚至夸克组成的。在衍射散射事件中，质子或反质子中的一个保持完整，因此总体上至少有一些衍射散射事件会显示出独特的喷注特征。
QCD求和规则
从本质上讲，一个强子在短距离上看上去，就是一个逐步包含越来越多非微扰背景的序列，结果累加起来就形成了对强子参数的限制；换句话说，它是一种QCD求和规律，这种方法最初是由施夫曼和他的同事在1978年提出来的。实际上QCD求和规则方法为理论物理学家们提供了能计算许多性质的强有力工具，例如可以用它计算夸克的质量、介子和重子的衰变性质、磁矩以及其他许多性质。
镜像对称破缺结构函数可以通过中微子和反中微子对质子-中子混合靶散射概率的差别计算出来。根据简单的部分子模型，该结果应该等同于夸克同反夸克之间散射概率的差别。因为从“海”中出现的夸克应该同海中的反夸克对应，夸克海的贡献相互抵消，最终剩余的结果等于价夸克的贡献。这是求和规则的一个例子，即基于对夸克动量贡献求和的一种关系。CCFR小组进行的中微子实验检验了该规则，在考虑了QCD修正之后，得到价夸克的数量为3，误差在10%的范围之内。
康奈尔大学的Kurt Gottfried于1967年推导出一种求和规则：电子与中子散射同电子与质子散射概率之间的差别，应该是一个简单的分数。这个定律的基础是夸克携带独特的分数电荷，并且质子的夸克组分是uud，而中子的组分是ddu。该定律还假定，核子内部出现的反上夸克和反下夸克数量是相等的。
核子自旋求和规则表示在累计所有可能动量百分比后自旋结构函数的性质。其中一条规律是由比约肯创立的，比约肯求和规则用弱相互作用参数，表达了中子和质子的纵向自旋结构函数之间的差别。同位旋对称性已经将质子和中子联系在一起了，中子能够通过弱衰变过程转变为质子，弱相互作用参数的出现是自然的。
随着QCD理论的诞生，比约肯求和规则通过它的一个预言为世人所知，现代版还包括与强耦合参数有关的修正。经QCD修正过的比约肯求和规则，在百分之几的精度内同现代质子和中子数据吻合，它说明了QCD理论的成功，因为与比约肯规则相悖就会导致严重的问题。
QCD中的手征性
某些左旋物体产生的东西也必须保持左旋，而右旋的物体也只能产生右旋产物，这种变化称为手征性(chiral)。粒子物理学家们将左旋夸克变为更多左旋夸克的对称性操作以及右旋世界中的相应变换，称为手征性对称变换。在QCD中，夸克不存在无质量夸克所具有的简单手征性变换能力；实际上，无质量的左旋和右旋夸克失去了相互对话的能力，它们只能够停留在各自的世界里。但是3种不同的味道仍然存在，现在左旋夸克和右旋夸克可以分别实现夸克味道混合，在数学上表示为存在味道转动。但物理学家们没有观测到强子的“宇称同伴”，QCD理论的手征性对称被隐藏了起来，或者换句话讲，它发生了自发破缺。
如果对称性破缺并不严格，只是近似出现，结果就会产生低质量、无自旋的粒子，称为假Goldstone玻色子。尽管真实的上夸克、下夸克和奇异夸克的质量与强相互作用能量相比很小，但它们并不严格为零，因此真实的QCD理论并不具有严格的手征性对称，因此手征性对称破缺会产生小质量的介子。能够通过结合形成像π介子、核子等可观测粒子的夸克，其有效质量大约是300兆电子伏，这是由夸克同周围手征性破缺真空相互作用的结果。自发对称性破缺以这种方式影响有效夸克的质量。
QCD理论的手征对称性特征也是手征微扰论的出发点，手征微扰论是基于量子色动力学的低能有效理论, 已成为核物理和低能粒子物理研究的有力方法，手征微扰论可以计算出大尺度上传统QCD微扰理论无法解决的问题。手征微扰论的出发点是一种完全手征性对称性理论，即一种关于无质量夸克的虚构QCD理论，然后再将真实质量以微扰形式引入，由此得到的有效场论能够得到大量的低能结果。
尽管手征对称性及其破缺取得了巨大成功，但为对称性算一笔小帐就可以发现一个隐藏的错误。假定夸克没有质量，就会引入另一套SU(3)群和U(1)群的乘积。其中，一套SU(3)群对应八正法，它将发生强相互作用的粒子都集中到各个家庭中。π子和这些家庭的其它介子，与第二套SU(3)群的自发对称性破缺有关。一套U(1)群用来保证重子数守恒。但是剩下的一个U(1)群，似乎找不到可观测粒子的对应，称为“U(1)问题”。
最后一种 U(1)对称性预示着还存在许多在现实世界中不存在的粒子，它们与普通粒子的内禀镜像对称性相反。这种宇称对应粒子不存在，说明U(1)对称性发生了破缺，并没有适当的介子可以标记这种自发对称性破缺。阿哈罗诺夫-玻姆效应表明具有非平凡拓扑性质的真空怎样产生物理上可观测的结果，在QCD理论中也存在非平凡真空拓扑性。
σ模型
SU(2)乘SU(2)李代数是由矢量和轴矢量荷的对易规则产生的；假定轴矢量流近似守恒，则得到的对称性被称为手征对称性；它是在Goldstone模型里实现的，其中π介子被看成无质量粒子。这一假设使我们能从求和规则形式的流代数和低能定理推出新结果。
σ 模型是最早由Gell-Mann和Levy于1960年引入的一个场论模型，它们是作为实现手征对称性和轴矢量流部分守恒的例子引入的。σ模型的名字来自于其中的一个记号，可以借此研究重正化和对称性的相互影响。σ模型中包含零质量的费米子同位旋二重态场、假标量π介子三重态和标量场σ。这个模型是有趣的，它是一个可重正化的模型。
线性破缺项意味着量子σ场有一不为零的真空平均值v，这表示考虑到场的真空涨落时必须围绕v值而不是零值作微扰展开，这是通过移动场量来实现的。在σ场平移后得到的拉氏函数，在幂次计数的意义下是可重正的。在相互作用拉氏函数中，所有单项式的量纲都小于或等于4；可能的抵消项也同样是如此。假定σ粒子经受了玻色凝聚；在一个对称的环境中质子和中子是无质量的，现在由于聚居在真空中的所有σ粒子而减缓了速度，它们获得了质量；对于这一体系而言，Goldstone定理是正确无误的。
线性σ模型和它的Goldstone极限证实，即使在 Born项范围内流代数和PCAC的所有约束也都成立，这一事实指出，我们可以利用它作为唯象的拉氏函数，就象弱相互作用的Fermi理论。即使这一理论在四维时空里按照通常标准是不可重正的，它也具有一些与现代强相互作用场论共同的特点。
算符乘积展开(Operator product expansion, OPE)
算符乘积，按照Wick定理，可以展开为包含所有可能收缩的正规乘积之和。自由场的收缩是已知的奇异函数，可以在近距离处或光锥附近，展开成级数。在一定近似下，取其一定的奇异部分就可以算出有一定意义的结果。可是，对于相互作用场，它们的收缩是未知的，不能采用上述办法来处理。为此Wilson提出了设想。
研究复合算符乘积矩阵元的行为的意义，在于下述几个有明确定义的极限情况：1、类空间隔趋于零(欧几里德情形)；2、类时间隔趋于零(闵可夫斯基情形)；3、间隔的平方趋于零(类光极限情形)。问题1是可以最彻底地分析的问题之一，其结果可以直接用于统计力学。最重要的贡献是由 Wilson和Zimmermann给出的。为了分析对深度非弹性现象的部分子模型的修正，必须将小距离展开加以推广。
OPE思想把物理现象小心地根据长度分隔开。用长度尺度来刻画系统的性质，比指定某种背景过程的截断要好得多。短于截断长度范围内的性质对“相似性测量”有贡献，这种测量决定了大尺度效应的相对重要性。如果给一个特写，深度非弹性散射就会以另一种样子出现，那些散射组分通过一种神秘的方式结合在一起形成一个质子，可以用相似因子(likelihood factor)描述质子内部散射组分的分布。相似因子依赖于探测光子的波长，它等价于描述夸克在质子内部分布的结构函数。
OPE的划分是基于尺度的，划分所选择尺度的长短具有任意性，相似性测量受重正化群的支配。这就表示，一旦在某个难以观察的精细尺度上可以用微扰论计算相似性，我们可以将尺度放大，这也许能够符合实验观测。算符乘积的级数展开，和一般的级数展开是不同的。在一般的级数展开中，都有一组正交、完备的函数系，如球函数、柱函数等；而算符乘积的展开，却缺少一组正交、完备的函数系，只有少数几个展开函数。所以，我们把它叫做展开，而不叫做级数展开。
对于流算符的编时乘积，可以利用一般量子场论中介绍的Wick定理，把它展开为包括所有可能的收缩的正规乘积之和，然后代入传播子的表达式，OPE就可以计算出来。
海夸克和价夸克
结构函数也称为夸克分布函数，表示核子动量在夸克之间的分配情况，F2的深度非弹性散射中得到的两个结构函数中最重要的一个。几乎没有夸克会占据核子动量的绝大部分，但却有相当多的夸克动量很小，质子并不仅仅是一个由三个孤立夸克所组成的包。
三个价夸克携带着质子的量子数，因此它们可以用重子数、电荷、同位旋等量来表明质子的身份，对应着简单夸克模型所要求的uud组成方式。因为价夸克可以聚集在一起形成质子，它们必须通过某种方式相互作用，很可能是通过胶子发生作用，这样才能让三个夸克共同分享质子动量。起传递作用的胶子反过来也会产生夸克- 反夸克对：价夸克沉浸在不断变换的低能胶子、夸克和反夸克“海”中。
实际上，动量大于质子动量1/10的胶子寥寥无几，但是动量百分比较低的胶子数量非常多，这说明低动量百分比的部分子实际上都是胶子。从实用主义的角度来说，很多过程的计算，比如质子-质子散射生成Z玻色子和W玻色子、底夸克和顶夸克以及假定的Higgs粒子的过程，都依赖于对低动量百分比夸克和胶子数量的了解。检验求和规则要包括所有动量成份的贡献，因此也要求了解这些信息。
核子自旋危机
根据HERMES得到的结果，上价夸克的自旋方向同父质子相同，而下夸克的自旋相反。但还存在不足之处：HERMES小组证实，只有25%~30%的质子或中子自旋是由内部夸克引起的。根据理论，这个数字可能是60%~100%，这种偏差不能令人满意，因此在粒子物理学中诞生了一个新词：核子自旋危机。
实验表明，最简单夸克模型计算出来的磁矩与实验值惊人地一致，但用来预言自旋时却出了问题。根据这一模型，核子自旋100%由3种价夸克引起，这同实验观测到的结果不一致。简而言之，简单夸克模型太简单了，无法解释核子的自旋。
“ 核子自旋危机”使核子结构研究进入一个新时代，理论研究更活跃，如果说八十年代初是每一个国家都有他们的核力夸克模型，那么九十年代每个国家都有许多核子自旋模型，三十年来为解释强子结构而建立的种种夸克模型都被用来研究过核子自旋，更直接的QCD理论计算也分成意见不一的派别。据CERN统计，自从他们的EMC组实验测量1988年发表后，全世界共发表了二千多篇有关论文。
核子自旋、磁矩结构研究表明，纯价夸克模型只是一种近似，海夸克在核子结构中起重要作用，这和原子结构绝然不同。胶子在核子结构中起重要作用是早已确定的事实，七十年代已知胶子几乎带有一半核子的动量，有人估计胶子能量占核子质量的1/3。核子自旋结构讨论中，一种解释是胶子自旋对核子自旋有重要贡献，不过如何区分夸克和胶子自旋有争议。但不管理论上如何争议，实验上已着手测量胶子自旋。
核结构研究给我们一个重要教训，能谱固然是检验结构模型的重要实验数据，不同态间的跃迁对结构更灵敏，核子基态到各种重子共振态的跃迁将对核子结构模型提供更严格的检验，这方面的测量也已广泛展开。粒子物理研究中，常常是理论模型众多，实验数据不多，因为粒子物理实验又费时又费钱。核子结构研究中则实验远远领先于理论，核子结构研究已经导致三个诺贝尔奖，看样子核子结构研究还将导致新发现。
在许多不可避免的复杂性当中，最微妙、影响最广的，是由额外胶子交换引起的“基本”过程末态变化。例如在深度非弹性散射过程中，一个额外胶子将质子碎片同被散射的夸克联系起来。质子碎片同反质子内部的一个反夸克联系在一起，由于要涉及一种神秘的数学方法，这一类型的过程被称为“高扭度”(higher- twist)效应。
重子口袋
除了组分夸克模型外，三十多年来还提出了许多其他核子结构模型。例如和组分夸克模型同时提出的有袋模型，那儿夸克囚禁特征用一个夸克不能越出边界的约束条件来表示，并假定在边界内(袋内)夸克间只有胶子传递的微扰作用(表示渐近自由)，而且袋内的夸克就是QCD拉氏量中出现的流夸克。产生夸克泡所需要的能量称为口袋常数。
口袋模型是由Kenneth Johnson和他的同事于1974年在MIT提出来的。“口袋工人”们已经获得了成功，他们成功地解释了强子质量和总自旋之间的关系以及强子质量的基本图谱。他们还能够给像介子碎裂这样的过程提供一套独特的模型。如果真空的色介常数趋于零，则围绕夸克形成口袋；当口袋内夸克处于颜色单态时，口袋的质量有限，并且使夸克脱离袋需要作无穷大的功；强子可以看成是这种无色的口袋。
李政道为了改进口袋模型的Lorentz非协变性，提出了非拓扑孤子模型，那儿Lorentz非协变的袋边界约束条件被一个协变的标量场Sigma所代替。既然色介常数与空间位置有关，根据相对论，一般说它就是空间-时间坐标的函数；唯象地说它就是一种场。色介常数是一个洛仑兹标量，所以色介常数是一种唯象的标量场；实际上它是一种长程有序场，描写QCD的长程集体效应，因此只有低频成份，没有高频成份；可以引进另一种唯象的标量场Sigma，Sigma线性地依赖色介常数。
QCD真空
在组分夸克模型框架下，关于组分夸克间的相互作用也出现了不同模型，Glozman-Riska-Brown在手征对称自发破缺概念基础上提出了夸克间互作用应由Goldstone玻色子传递的模型。Manohar-Georgi同样采用手征对称自发破缺的概念，但认为Goldstone玻色子和胶子交换都对夸克互作用有贡献。现在比较流行的理论是由于能量低于1GeV时手征对称自发破缺，夸克、胶子凝聚使流夸克转化为组分夸克。
在 QCD理论中，介子从对称性破缺中产生，这说明真空一定存在某种夸克-反夸克背景，物理学家们将其称为夸克凝聚。正是这种夸克凝聚真空中的涟漪形成了实际可观测的介子。夸克凝聚是一种夸克-反夸克海洋，夸克对的自旋方向相反，以保证洛仑兹不变性和能量最低；因此，夸克凝聚建立在夸克同反夸克的相互关系之上。
真空还是胶子凝聚以及其他一些组分居住的地方。背景夸克和胶子正是通过这种凝聚进入了QCD理论的求和规律方法，它对于计算强子性质十分有用。尽管理论物理学家们都坚信，真空在夸克禁闭中起了重要作用，但它仍然是一个巨大的尚未解决的疑团。一套强相互作用理论应当具有近似手征对称性，并且这种对称性会由于存在夸克-反夸克凝聚而自发破缺，该过程与π介子的质量和寿命都有关系。
1975年，Alexander Polyakov和同事们的工作揭示了一种胶子实体，该实体从很久以前很远的地方诞生，并在将来且很远的地方消失；尽管在最初和最后，场强都会消失，但中间存在一个局部区域，其中的场具有一定的正能量，现在被称为瞬子(instanton)，是由胶子形成的一种能量块。瞬子是孤子的一个实例，它们携带一个拓扑荷，这个量是守恒的，正是这种拓扑属性保证了它们的安全。
当我们想精确地描述η粒子时，确实存在一个反常，这个反常的真正根源并不起因于重正化过程。正如狄拉克所认为的那样，负能和正能之间的来回转变是可能的；规范场有一个“纽结”构形，这个“纽结”正是场线的纠缠，而它对于引进费米子态的负能和正能之间的转变是必需的。这个场构形仅在一瞬间存在，形成后又立即消失了，因此得名瞬子；正是有了瞬子，η粒子才有了质量。瞬子能够提供一种合适的对称性破坏。一个无质量的胶子产生的瞬子，能将一个右旋的夸克反转为左旋夸克，这种手征性反转就是手征对称性的破缺。因此，瞬子破坏了手征对称性，又不要求存在一种轻质量的介子；QCD理论的U(1)问题解决了。
有质量的规范理论
一个具有质量项的规范理论是否可重正化呢? 在电动力学中，情况是乐观的。在把规范场分成横向和纵向两部分后，在传播子中引起坏的行为的纵向部分对S矩阵不做贡献。这是因为纵向和横向分量之间没有相互作用，且场是与守恒流耦合的。在一个非阿贝尔理论中，这些性质没有一条被满足；纵向和横向部分的确有相互作用，而规范场所耦合的流也不守恒。么正规范并不适合于研究重正化，因为传播子具有坏的大动量行为。
所有的非物理态，即假想的Goldstone玻色子、矢量场附加的极化态和鬼粒子场，实际上都对S矩阵元没有贡献；所有这些非物理场的传播子在动量为零处都有一个极点。在任何规范下，特别是在Landau规范下，非物理态不做贡献。虽然非物理粒子已经从物理子空间中消失，自发破缺机制的某些痕迹，即某些有质量的标量场仍然残留下来了。
R运算等效于在拉氏量中插进一些可以表示为耦合常数的级数的抵消项。R运算中的抵消项形式对于研究杨-米尔斯场是方便的，因为它使得我们能够以一种简单而明显的方式考虑对称性质。抵消项的明显形式依赖于具体的中间正规化和减除点(即泰勒级数展开的中心点)的选择，选择一种不方便的正规化将使得对于重正化理论的分析变得非常困难。在规范场的情况下，能够保持未重正化理论的形式对称性的不变正规化是特别方便的。
对于非阿贝尔规范场，目前存在两种不变正规化方法：高阶协变导数方法和维数正规化方法。第一种方法实际上是对于自由传播子用减除来正规化的标准正规化步骤所作的具有不变性的推广；这种减除等效于在拉氏量中插进有高阶导数的项，在杨-米尔斯场的情况下，这样一种做法破坏了规范不变性，因为通常的导数不是协变的。由于出现了带导数的新顶点，正规化只是部分的，二阶、三阶和四阶图形仍然发散。因此，单用高阶协变导数方法不能完全解决问题；而只将问题化为研究超可重正理论，即只产生有限个发散图形的理论。剩下的图形可以用略加修改的泡利-维拉方法来正规化。
和高阶协变导数方法不一样，维数正规化并不归结为原始拉氏量的某种修正，而是直接地处理费曼图。这一方法是基于以下两件事实：(1)格林函数之间的形式对称关系(广义Ward恒等式)不依赖于时空维数(n)；(2)当n足够小或者是复数时，所有的图形都对应于收敛的积分。这样，广义Ward恒等式能够在所有积分都收敛的n的区域中严格地证明，然后利用解析延拓可以过渡到n=4。
反常
假定费米子与规范场通过轴矢量流耦合，反常有可能发生在这种流的守恒中，这来源于当保持手征对称时理论的不可正规化。在量子电动力学或Sigma模型中，这种反常是可接受的。如果规范场与反常流耦合，情况就有很大的不同；Slavnov-Taylor恒等式可能不适用，并且可重正性也可能受到破坏。在规范场保持零质量的理论中，这意味着需要所有可能的、量纲为4的抵消项，这将破坏耦合常数重正化的普适性；当对称性被自发破缺时，问题变得更加严峻。
当我们研究非常轻的费米子在一个电磁场或在一个杨-Mills场中的行为时，反常会突然地蹦出来。中性π介子能在一个极短的时间内转化成一个质子和一个质子；虽然它们通常又立刻会回到π介子态，但是它们也能彼此湮灭，而在此过程中发射出两个光子。但这个双光子衰变本该是不允许的，正如在夸克图像中的裸夸克一样，在质子图像中用到的裸质子也几乎是无质量的。倘若它们是精确地无质量的，与π介子相关的守恒定律使得该π介子绝对不可能衰变为任何个数的光子。由于螺旋性不符合，无质量的费米子不能够彼此湮灭。但裸夸克确实有小小的质量，这就使得该π介子实际上有机会衰变。
这个形式上的论述是有缺陷的，把计算重正化是必要的；当人们计算任何可以测量的东西时，该理论包含了能相互消除的无穷大力；但是当人们试着去螺旋性时，却发现在这无穷大消除过程中螺旋性的守恒律牺牲掉了。结果是，每当一个费米子沿着一个有三角形轨道的图形整整走一圈时就会发生这种情况；我们把这一现象称为三角形反常。
当试着对杨-Mills场找出重正化的精确规定时，反常又出现了；在温伯格-Salam模型中，裸费米子必须精确地无质量。这些反常会使理论变得无用，除非它们碰巧能够彼此消除；现在产生了一个小小的奇迹；如果我们拿出标准模型，由轻子造成的所有反常，竟然会和由u和d夸克造成的所有反常彼此巧妙地消除掉! 大自然产生的轻子的种类和夸克的种类一样多，这就是其中的原因；否则的话我们将会面临一个不可重正化的方案。
反常并不只是出现在弱作用理论中，三角形图形也会出现在强相互作用理论中；我们考虑与夸克螺旋性守恒有关的代数，这个代数的一个结果是，有些强子是无质量的并且自旋为0：它们就是Goldstone粒子。事实上，三个π介子都几乎没有质量，而且它们的自旋都是0。但应该有四个守恒律，因此必须有第四个轻的、自旋为0的粒子；能满足这些必要规定的客体只能是η粒子；总之，量子色动力学预言了η粒子必须是很轻的；但是η粒子却要比π介子重得多；这就是所谓的η难题。
规范场
规范场相位的局部变换，等效于出现一个附加的电磁场。这和爱因斯坦引力理论中的弱等效原理完全类似，在那里，坐标系的变化导致出现附加的引力场。相对性原理意味着，不是一组场，而是整个一类规范等效的场位形对应于真实的物理情况；在内禀电荷空间中没有将物质的物理场表示为分量的特殊的固定基底；这样的基底能够在每一时空点局域的引进，然而没有物理的原因将它固定下来；基底的局域变化被解释为规范场的改变，这里的规范场起着和引力场与电磁场类似的作用。
这可以有一种精确的几何解释，其中杨-米尔斯场起着引力理论中克利斯托菲符号的作用；和克利斯托菲符号类似，杨-米尔斯场描述了电荷空间中的平行位移，并决定了这一空间的曲率，且规范场类似于张量场。纤维丛理论提供了描述这一相似性的自然语言；主丛联络的概念对应于杨-米尔斯场。一般说来，沿闭合回路平行位移会改变规范场，且场强张量为该空间的曲率。场强张量是协变导数的对易子，而Jacobi恒等式与引力理论中的Bianchi恒等式相类似。
正则量子化方法得到的S矩阵表达式不是明显协变的，这对于进行微扰论计算，特别是对于重正化是很不方便的。路径积分方法能够克服这一缺陷。相对性原理启发我们，为了达到这一目的，需要对规范等效类进行相对论不变的参数化。
广义Ward恒等式
重正化步骤通常用格林函数来表述，和S矩阵不一样，格林函数不是规范不变的对象，它们的值依赖于所选择的特殊的规范条件。相对性原理等效于在格林函数之间存在着一些关系；类比于电动力学，我们称这种关系为广义Ward恒等式。这种关系提供了不同规范的物理等效性，并在证明重正化S矩阵的规范不变性时起关键作用。特别是由它们可知，为消除去掉中间正规化后出现的发散所需要的抵消项有规范不变的结构。
对于格林函数的纵向部分不存在辐射修正，对于三点和四点函数的相应的恒等式看起来比电动力学中复杂得多，因为它们里面包含有虚构粒子的格林函数。由广义Ward恒等式可以得到结论，从格林函数中去掉发散所需要的抵消项之间存在关系。和波函数纵向部分的重正化对应的抵消项等于零；如果格林函数满足广义Ward恒等式，则抵消项形成一个规范不变的结构；重正化不破坏理论的规范不变性。
广义Ward恒等式表述了杨-米尔斯场有效拉氏量在某种经典情况下没有的相加对称性。有效拉氏量指的是指数上的表达式，这一表达式除了经典杨-米尔斯拉氏量以外，还包含规范固定项和虚构场的拉氏量。在构造么正的重正化S矩阵时，我们用了不变的中间正规化；不变正规化作用量的存在使我们能够得到广义Ward恒等式，并利用它们证明么正规范和洛仑兹规范的等效性。一般说来，并不需要采用不变的中间正规化；原则上，可以引入任意的中间正规化，并选择抵消项使得重正化格林函数满足广义Ward恒等式。
第二类超导体
对具有负界面能的超导体来说，当它处于磁场中时，若在结构上变成一系列正常态和超导态交替出现的分布，即混合态时则在能量上最有利。这是因为在正常态和超导态金属的界面区有负的界面能，从而会使整个超导体混合态的能量变低。两类超导体的本质差异就在于界面能，如果界面能为正，那就是第一类超导体，如果界面能为负，那就是第二类超导体。两类超导体在电子有序的微观物理图像上是没有差异的。
考虑一个中空金属圆柱体；当中空圆柱体是正常金属时，我们加上外磁场，这时将有磁通线穿入金属及中间的空洞。再将温度降到临界点温度以下，使该中空圆柱体变成超导态。实验发现，这时在超导体材料内部没有磁通线，但在中空的洞内有磁通线；这种磁通线在空间分布的差异是由表面电流造成的，在中空圆柱体的内外两表面产生了流向彼此相反的表面电流。伦敦早就指出，中空超导体空洞内的磁通量变化是不连续的，称为磁通量的量子化。1959年，昂萨格考虑到束缚电子对的超导微观机制后说明，磁通量变化的最小单位是 hc/2e，这个因子2来源于电子对具有两个电子电荷量；1961年所完成的实验证明这个修正是正确的，这就从实验方面肯定了BCS的电子对物理图像。
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