假定有一个线性链，每个格点被金属球占据的概率为P。把线链分成元胞，每个元胞中有2个格点。要使整个元胞导通，元胞中每个格点必须导通。因此元胞导通的概率是单个格点导通概率的乘积。用P'表示元胞导通的概率，它是格点导通概率P的函数。这个函数当然与元胞尺寸有关，把它记为R(P)。一般情形下R可能很复杂，对一维链则很简单，通常把R(P)叫做P的“重正化变换”，即从格点的导通概率变换成元胞的导通概率。

假定有一个线性链，每个格点被金属球占据的概率为P。把线链分成元胞，每个元胞中有2个格点。要使整个元胞导通，元胞中每个格点必须导通。因此元胞导通的概率是单个格点导通概率的乘积。用P'表示元胞导通的概率，它是格点导通概率P的函数。这个函数当然与元胞尺寸有关，把它记为R(P)。一般情形下R可能很复杂，对一维链则很简单，通常把R(P)叫做P的“重正化变换”，即从格点的导通概率变换成元胞的导通概率。

这样的变换可以连续地作下去，我们把R这些重正化变换的整体称为“重正化群”。







 重正化群
假定有一个线性链，每个格点被金属球占据的概率为P。把线链分成元胞，每个元胞中有2个格点。要使整个元胞导通，元胞中每个格点必须导通。因此元胞导通的概率是单个格点导通概率的乘积。用P'表示元胞导通的概率，它是格点导通概率P的函数。这个函数当然与元胞尺寸有关，把它记为R(P)。一般情形下R可能很复杂，对一维链则很简单，通常把R(P)叫做P的“重正化变换”，即从格点的导通概率变换成元胞的导通概率。

这样的变换可以连续地作下去，我们把R这些重正化变换的整体称为“重正化群”。在我们讨论的例子中，可以先作一次变换把2个格点归并成一个小元胞，再作一次变换把2个小元胞归并成一个大元胞，结果等价于把4个格点一次归并成一个大元胞。但是，这里不能定义逆元素，因为元胞的归并是一一对应的操作，然而元胞的分解不是一一对应的。没有逆元素的群称为半群。因此，从比较准确的意义上说，重正化群是一种半群。

对几何相变也可以定义关联长度，就是格点被金属球占据的概率为P时连通集团的平均尺寸。几何相变中也有一个临界点。达到临界点以后，连通集团的尺寸变成无穷大。这时不管用什么尺子量都是无穷大。导通性质不再因重正化变换而改变。因此，临界点至少应该是重正化变换的“不动点”，但不动点不一定都是临界点。在相变理论中，如果某个参数的值经过重正化变换后越变越大，就叫做“有关参数”。重正化的计算是一个三部曲：一是找到恰当的重正化变换，也就是标度变换；二是研究这个变换的不动点，找出与临界点有关的不动点和相应的有关参数；三是分析在这个不动点附近的变换性质，求出临界指数。

既然在临界点上关联长度趋向无穷，体系就应当具有“标度不变性 ”。量子场论中的重正化群方法，是为了讨论“重正化电荷”怎样不随截断因子变化，由费曼等于20世纪50年代发展起来的。1971年，威尔逊把这种重正化的思想与相变理论中非常直观的标度变换图像结合起来，赋予重正化群理论以丰富而具体的物理内容。这里关键的一步，是把关联长度趋向无穷的临界点与重正化群变换的不动点联系起来。

继Gell-Mann和Low的早期研究之后不久，一个更普遍的观点是研究在可重正理论中当所有有关的距离都是类空的且同时趋于零时Green函数的小距离行为。这个问题似乎是纯理论性的，因它涉及的振幅都是远离质壳的。幸运的是，这是一个错误的印象。一些间接的方法，如轻子在强子靶上的深度非弹性散射，使我们能够探测小距离的相互作用。Bjorken和Feynman从理论上预言的这类实验的结果，部分地启发了Wilson，Symanzik和Callan对这些Green函数小距离行为的研究。

期望在大动量下质量可被忽略时，理论变为标度不变的事实上是太简化了。渐近行为是由相应的无质量理论给出的。重正化迫使我们选取一任意能量标度，这个能量标度破坏了量纲分析，正是这种任意性事实上挽救了我们，标度的改变可以归结为耦合常数的修改。相应的流由类似于Beta系数的函数所主宰，因此重正化群变换取代了简单的量纲分析。

这个流中的紫外不动点(假如它们存在)，当Lambda增大至无穷时将吸引耦合常数。对耦合常数的特殊值，这将导致小距离标度不变性的恢复。这些耦合常数的特殊值在很大程度上不依赖于初始数据。特别是，一般而言观察到的场(或其他复合算符)的最纲将依赖于动力学。

原点为紫外不动点的情况是特别有趣的。这种情况称为渐近自由。对简单的无标度性的对数修正，将作为重整化的结果出现。如果在一个经典的作用量中所有有量纲的常数都不存在，我们预期这个理论是标度不变的。对于一个有质量的理论，在小距离上也可能发生这种情况。

如果组态变换被重新标度，也可以考虑这种变换在有质量的理论中的效应，因而得到反映标度不变性破坏的Ward恒等式。在这个意义上讲，这里的分析与纯粹的量纲分析是不同的。因为我们这里考虑的是动力学变量(场)变换的效应，而不是有量纲的参数(例如质量)的变换的效应。如果我们打算这样做，就会把两种不同的物理情况联系起来。

Coleman和Gross的详尽检验确定了下述结果：除非理论本身包含非阿贝尔规范场，任何可重整理论在四维时空中都不可能是渐近自由的。一个渐近自由理论的大动量行为，只有当原点是最近的不动点时才是可计算的，这就是物理学家们特别偏爱这种情形的原因。然而，“ 渐近自由”这个名字是有点含糊的，因为即使如此，无标度行为与自由场的情形还是相差一个对数因子的。



重正化
为完成重正化方案，需要一个量，这个量是电子-正电子散射核，或简称为核。在外光子被吸收后马上有电子-正电子对出现，它们必须以所有可能的方式散射以给出完全顶角。在非相对论性势散射理论中玻恩级数求和成为一个封闭的积分方程。从重正化理论的观点看，通过核K表示传播子和顶角是相当有用的。原因是K中的发散仅仅来内线的自能或顶角插入。如果没有这种插入，K将是有限的，在计算K中包含的重正化问题要相对地容易些，涉及传播子和顶角中发散的更困难问题可以从它们之间以及与K相互联系的积分方程的角度进行讨论。

在量子电动力学的重正化方案中，一个重要的助手是广义Ward恒等式，即QED 理论重正化过程中出现的三个无穷大常数中，有两个实际上是相同的，它使我们能直接从顶角计算传播子。它是微分的流守恒的结果，Ward恒等式是规范理论对称性的结果，实际上它表示的是格林函数之间的关系。

仅当实施一个标度变换后，一个着衣粒子与一个裸粒子都遵守同样的规律时，这个理论才是可重正化的；举例来说当实施了标度变换后，电磁场仍服从同样的一些方程。利用重正化常数的定义，可以重新标度传播子和顶角，以及电荷。由这个重新标度所定义的重正化常数可以反过来与传播子和顶角相联系。这把我们带到问题的关键之处，即证明：至重整后的电荷的每一阶，这些量和方程都是有限的，所以依赖于截断的顶在重新标度定律中都被吸收了。重正化的思想是：重新标度传播子和顶角函数，以使在质壳附近，以及在顶角情形下对于零动量传递，这些量趋于自由粒子的相应的量。

重正化理论的最大问题是证明重新标度的传播子和顶角函数是有限的，即当它们通过重正的电荷表示时是不依赖于截断的函数。使得这个任务困难的因素在于，这些重正化常数Z是发散的，它们是依赖于截断的量。对重正化方案幸运的是，重新标度并不使各个积分方程的结构复杂化。类似的标度定律可以对具有任意数目外线的普遍Feynman振幅写出。定义顶角的积分方程，以及通过顶角决定电子传播子的Ward恒等式也可以加以重正。由于 Ward恒等式通过顶角完全确定电子传播子，所以对于电子自能部分的方程不需再考虑。在顶角方程的非齐次顶中重正化常数的出现相对地是无害的，可以用在方程右端积分的发散部分作减除来排除它。

首先我们要处理试图定出Feynman积分上界时会出现的一个技术问题：对进入Feynman振幅的外动量作解析延拓，延拓到其分母肯定不会为零的区域。如果将动量能够通过Wick转动都变到欧氏区，那么，分母将都是负定的，就不会出现奇异性。

完全传播子的纵向分量和自由传播子的一样；换句话说，规范场传播子的纵向分量是不需要重正的。值得注意的是，规范场传播子的纵向分量是和规范固定项紧密联系的；因此，规范固定项是重正化无关的。



超导体
当波矢k一定时，格波能量的增加也是按一份普朗克能量增加的，称晶格格波的能量子(普朗克能量)为“声子”；晶格格波可用声子语言来描述。从一种形式的观点来看，导致超导电性的电子与晶格之间的相互作用可以想成是声子的虚发射和再吸收。对于能量在费米能附近的那些电子来讲，一个电子放出一个动量为q的声子，而这个声子又几乎立即被第二个电子所吸收；在整个过程中满足动量守恒。

当费米能一定时，费米动量就一定，如果在动量空间以费米能量为半径画一个球，那么正常金属在T=0K的情况下，在动量空间中，凡是小于费米能量的状态都被电子占据了，而大于费米能量的状态全空着，这个球常称为费米球，相应的球面是费米面。在上述被金属中的电子所充满的费米球上，若再额外增加两个电子，那么按照泡利不相容原理，既然金属中的众多电子牢牢地守住费米海，这两个外来电子就只能去占据大于费米能量的空着的量子态。与此相应，在动量空间中讲，假设当电子处在费米球面附近一个薄壳区之内时两个电子之间有吸引作用，但电子与晶格的相互作用足够强时，电子间的间接吸引作用可能胜过电子间的库仑排斥作用从而使电子间有一种净剩的吸引作用。

如果电子间存在这种净的吸引作用，结果它们能够形成一个束缚态，两个电子组成电子对偶，称之为库珀对。从动量空间来看，当总动量为零并且两个电子自旋相反时束缚能最大，从而这时对偶的能量最低。正常金属的电阻是由于电子被格波散射引起的。在超导体中，BCS超导图像中很重要的一点就是库珀对总动量的一致性。在没有电流时对态的总动量为零。如果动量空间的整个动量分布整体移动了P/2，这时对态具有的总动量为P，而且对所有的对态都一样。现在只是各电子整体在动，电流是由总动量为P的电子对传输的。这些形成了库珀对的电子不断散射，但在散射过程中总动量守恒，这就是超导电流无阻的原因。

还存在第二类超导体。当外磁场小于下临界磁场时，超导体内的磁感应强度B=0，超导体处于迈斯纳态；当外磁场超过下临界磁场时，即有部分磁通量穿入超导体内，超导体内的磁感应强度从零迅速增大；直到外磁场为上临界磁场时超导电性才消失，体内的磁感应强度就完全和正常态的金属一样了。当外磁场处于下临界磁场和上临界磁场之间时超导体的状态并不是迈斯纳态，称之为混合态(mixed state)。

当超导体处于混合态时，超导体内的磁通线组成了一个二维的周期性磁通格子。在超导区域，一部分电子组成了束缚电子对，在交界区，超导电子经过界面向正常区延伸，正常电子则经过界面向超导区延伸。在超导、正常金属交界区，超导电子的密度必然要随空间位置而变化。在纯金属元素中只有铌、钒、锝三者属第二类超导体。这种材料允许在整块材料内部的许多非超导区域内存在一丝丝很细的磁场。每条这种磁力线周围环绕着电流回路漩涡，它们能够在材料内部产生量子化的磁场




在低能（比截断能标低得多）下，不可重整的项可以被吸收到可重整的项的系数里面，所以用只含有可重整的项的有效拉氏量就能描述低能下的物理