Monday, October 5, 2015

一般IR发散都和零质量粒子联系在一起。因为它能量没有能隙，在任何物理过程中都可能产生无穷无尽的零质量粒子，这些粒子能量低到实验探测不到; 。技术处理上的表现就如计算元激发传播子的时，软模的出现会使得涨落波矢为零时发散。序参量（如磁化强度）则是一定对称性破缺的软模凝聚形成。在大于3维的空间里IR发散就没有了

一般IR发散都和零质量粒子联系在一起。因为它能量没有能隙，在任何物理过程中都可能产生无穷无尽的零质量粒子，这些粒子能量低到实验探测不到


你在这里面混淆了UV发散和IR发散的事情

辐射修正那是QED里面对树图的高阶修正过程（即计入真空极化影响），涉及内线动量圈积分（UV发散），因而要进行重整化。这所谓发散抵消实际上是一套流程手续，首先进行正规化（Pauli-Villars正规化或者维数正规化）分离出发散部分，对裸的Lagrangian引入抵消Lagrangian后边得到重整化Lagrangian，把发散部分吸收进重整化常数里头（也就是遮起来当作没看见；或者说归入一定能标下的本底部分，有限能标下根本无法激发仪器也探测不到）。于是裸量等于重整化常数乘以重整化量，我们测量的物理量实际上都是重整化量。见：http://www.blogbus.com/xyzhongzhi-logs/259925347.html

而IR发散则相对于UV发散来说良性得多，确实按照场论，IR发散是由于内线低能粒子所导致。在QED中其重要程度不如UV发散，毕竟在QED里面低能实光子和虚光子引起的IR发散是正好抵消的（在传播子分母处添加无穷小质量，然后圈图和树图抵消）；QED里面这个对观察量没什么影响，长波极限的低能软光子根本没有任何仪器会探测到。对于相变物理则更为有意思，临界点附近，系统对称性破缺的那部分相互作用场激发的恢复模会软化（低至零动量就变成Goldstone模），长波涨落就导致长程序破坏使得关联长度发散。所以说长波涨落的存在是因为有零质量的Goldstone模。一般IR发散都和零质量粒子联系在一起。因为它能量没有能隙，在任何物理过程中都可能产生无穷无尽的零质量粒子，这些粒子能量低到实验探测不到。技术处理上的表现就如计算元激发传播子的时，软模的出现会使得涨落波矢为零时发散。序参量（如磁化强度）则是一定对称性破缺的软模凝聚形成。在大于3维的空间里IR发散就没有了（当然假设UV发散已经截断了），因为高维中涨落影响程度降低了，因此Wilson发展了$4-\epsilon$维数展开法（维数正规化）。传统的Landau理论其实是考虑最低标度（原子间）的涨落波矢积掉之后的平均场结果，认为短程涨落才起到作用，这一来没考虑更大标度(集团间)的涨落对长程序的影响；RG手续则相当于是对所有标度（关联长度发散）的涨落波矢都逐层积掉。

一些例子，譬如铁磁体的磁振子在居里点温度软化，以及气液相变点声子软化促使凝聚，表面张力近乎为零呈现两相不可分辨，Peirls相变在$2k_F$点声子软化....这些软模出现都导致响应发散，也就是一种IR发散。所以说实际上IR发散只不过是人为地使用了物理图像不正确的理论导致。见：http://www.douban.com/group/topic/69353489/




把很多地球排成一个链，能产生像声波一样的波吗？
豹豹

来自: 豹豹(本人已死有事烧纸) 2014-11-29 13:26:25

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  • Everett

    Everett (╮(╯▽╰)╭ ~(=￣ U ￣=)~) 2014-11-29 18:54:29

    1. 所有平移对称性自发破缺的系统，都会有声波。声波将具有三个偏振模式，它们在低频下是无能隙的线性色散关系，高频下色散关系会偏离线性并截断于Debye频率，这里Debye频率由相互作用的特征能标决定。这些规律是普适的，与模型的细节无关。也就是说，无论是在电磁相互作用下形成的原子晶体，还是在引力相互作用下形成的星球晶体，只要破缺平移对称性，都会在低能下演生出声子，而且声子的色散和极化模式与相互作用的细节无关。所以，在普适类的意义上，你可以说所有的声波都是一样的。普适性这个思想是凝聚态物理的核心要义之一，这就是为什么我们只要研究原子链的声波就够了，考虑地球链的声波并不会带来新的物理，因为它们属于同一种普适现象：对称性破缺导致的Goldstone模式。

    2. 虽然固体物理的教科书常常用一维单原子链作为例子来介绍声子，但是一维单原子链在现实中并不存在，因为它违反Mermin-Wagner定理。Mermin-Wagner定理说的是：在一维系统中不可能发生连续对称性的自发破缺。而平移对称性正是一种连续对称性，晶体的形成等价于自发破缺平移对称性，因此在一维条件下形成晶体是被Mermin-Wagner定理禁止的。所以你构想的星球链事实上不会形成，它们会立刻在量子涨落下融化为液体，如果没有容器来约束这些星球，它们就会飞走。也就是，说平移对称性自发破缺这个前提条件并不能实现，因此也就不会产生像声波一样的波了。

    3. 你的想象力很丰富，这很好。在想象之余如果能post a sharp question，那么就更好了。我们构造模型的目的不仅仅是满足好奇心，而是为了回答有意义的问题。
  • Everett

    Everett (╮(╯▽╰)╭ ~(=￣ U ￣=)~) 2014-11-29 18:54:29

    1. 所有平移对称性自发破缺的系统，都会有声波。声波将具有三个偏振模式，它们在低频下是无能隙的线性色散关系，高频下色散关系会偏离线性并截断于Debye频率，这里Debye频率由相互作用的特征能标决定。这些规律是普适的，与模型的细节无关。也就是说，无论是在电磁相互作用下形成的原子晶体，还是在引力相互作用下形成的星球晶体，只要破缺平移对称性，都会在低能下演生出声子，而且声子的色散和极化模式与相互作用的细节无关。所以，在普适类的意义上，你可以说所有的声波都是一样的。普适性这个思想是凝聚态物理的核心要义之一，这就是为什么我们只要研究原子链的声波就够了，考虑地球链的声波并不会带来新的物理，因为它们属于同一种普适现象：对称性破缺导致的Goldstone模式。

    2. 虽然固体物理的教科书常常用一维单原子链作为例子来介绍声子，但是一维单原子链在现实中并不存在，因为它违反Mermin-Wagner定理。Mermin-Wagner定理说的是：在一维系统中不可能发生连续对称性的自发破缺。而平移对称性正是一种连续对称性，晶体的形成等价于自发破缺平移对称性，因此在一维条件下形成晶体是被Mermin-Wagner定理禁止的。所以你构想的星球链事实上不会形成，它们会立刻在量子涨落下融化为液体，如果没有容器来约束这些星球，它们就会飞走。也就是，说平移对称性自发破缺这个前提条件并不能实现，因此也就不会产生像声波一样的波了。

    3. 你的想象力很丰富，这很好。在想象之余如果能post a sharp question，那么就更好了。我们构造模型的目的不仅仅是满足好奇心，而是为了回答有意义的问题。
  • Phantom_Ghost

    Phantom_Ghost (Glaube am Chaos) 2014-12-01 01:36:57

    问题经E大一点拨就升华了，第二条尤其有意思。

    S.Coleman证明了低维量子场里面都不可能发生连续对称性SSB（There are no goldstone bosons in two dimensions. Comm. Math. Phys. 31 (1973), 259-264.），用到CMP里面就是Mermin-Wagner定理了

    在二维或一维中,晶格的形成是受到Mermin-Wagner定理禁阻的。 Hohenberg,Mermin和 Wagner在一系列文章中论证了有限温度下只有短程相互作用的二维系统是不能自发发生连续对称性破缺的,他们讨论了包括超流、超导、磁体以及平移对称破缺序的晶格相。

    严格一维体系破坏有序就是每个点，例如1D Ising链的kink（domain-wall），在能量有限时总会有热涨落 $e^{-\beta E}$，因此一位体系不会有长程序，也不会有温度升高从长程序变无序的相变。同样严格的对于晶格来说二维系统中无法破缺连续平移对称性。因为在有限温度下存在热力学涨落，使得原子不应该能稳定地在固定晶格常数距离的平衡位置附近振动，那么这个位置平移关联函数将会随着距离衰减，因而不会有平移对称性破缺序存在。

    譬如对于磁性体系，在低维各向同性的系统中是既没有铁磁相也没有反铁磁相——没有任何长程磁有序。例如1D Ising模型、2D XY模型。XY模型 $H=-J\sum_{\langle ij\rangle}\cos(\theta_i-\theta_j)\simeq\frac{J}{2}\int(\nabla\theta(r))^2\;dr$ 具有$O(2)$对称性，场真空期望值在有限温度下都为零（热涨落都足够强无自发磁化），没有对称性破缺序引起的二级相变（譬如自旋取向一致排列$O(2)$破缺到$Z_2$）。也就是说处于无序相时关联函数$\langle\theta(r)\theta(0)\rangle\sim e^{-r/\xi}\;,\;(r/\xi\gg 1)$。一个连续对称性破缺体系都会产生Goldstone模激发，那么对d维的上述自旋系统Goldstone模的传播子（低能涨落关联）为 $\left\langle \delta\theta(r)\delta\theta(0) \right\rangle\sim\frac{1}{\beta J} \int^{\tiny\Lambda=1/a}\frac{d^d k}{(2\pi)^d} \frac{1}{k^2}$，对整体磁化强度贡献为最低阶自能修正 $\left\langle\theta\right\rangle =1-\tfrac{1}{2}\left\langle(\delta\theta)^2\right\rangle + \ldots$ 。在d>2时候可得到有限值（已做UV截断），而在d≤2出现红外发散。这也就告诉人们在低维系统中出现Goldstone模是错误的图像，实际上是涨落破坏一切长程序。这里的IR发散也就是人为造成的，即模型近似错误而导致；因为我们为了描述低能Goldstone模做了线性近似处理，仔细严格处理的话就会得到整个磁化强度为零。 这也就是磁性体系里面的Mermin-Wagner定理的表现。严格数学证明见：http://www.scholarpedia.org/article/Mermin-Wagner_Theorem

    然而实际情况是系统不都是各项同性、短程相互作用的，往往会是各向异性而产生长程关联，即有某种长程序。我们来看一些例子：

    （1）不少晶体有晶轴序（取向对称性）：晶轴统一取向（各向异性）。这种不均匀的位置平移性关联（在行、列的原子局部排列起来）导致长程作用出现迫使晶轴排列一致从而打破连续旋转对称性。

    （2）石墨烯是个稳定的二维晶格，但实际上并不是真正的严格二维，因为其扭曲结构使得弹性能储存来抑制热涨落对晶格地破坏（长程作用）。
    参考资料见：http://www.researchgate.net/post/Why_does_graphene_refuse_Mermin_weigner_theorem

    （3）一些磁体中因为LS耦合而导致各向异性，使得还是可以实现二维Heisenberg铁磁体以及反铁磁体，如 $K_2CuF_4$。

    （4）2D XY模型中在低温时候可以发生拓扑相变（KT），形成解禁闭KT涡旋相。关联函数是 $\frac{1}{r^\xi}$, 即存在代数长程序。

    （5）最后来看和问题最为相关的模型：1D单原子链，它实际上是很不稳定的。假设每个原子提供一个价电子形成一维近自由电子气体，离子实相互排斥（Coulomb作用）周期性排列成晶格。而对电子气体的扰动既有电子间相互作用，还有晶格势场的作用：电子-声子相互作用。而可以发现问题是在涨落波矢为$q=2k_F$时候会出现声子软化（Kohn异常）导致响应系数（极化率）$\chi(2k_F)\to\infty$。也就是说这个频率$\omega(2k_F)$声子的软化程度依赖于温度，在某临界温度以下会趋于零即完全软化；意味着晶格振动恢复力消失，晶格失稳而发生畸变。这也就是说一旦在一维链里面不可避免地在有限温度涨落出现格波从而下形成电子-声子相互作用时，就会发生二聚化使得晶格常数变为原来的两倍（所以软模在$2k_F$处），这种相变称为Peierls相变（不均匀、各向异性）。这一来就形成CDW序（电荷长程序），电子气体低温下形成的不是Fermi液体而是Luttinger液体。这个在实验室实际只能有一些准一维体系（$NbSe_3$）来实现或者各向异性排列的单二聚化链譬如聚乙烯这种。

    还有两点，其一就是对离散对称性破缺自然也没有限制，例如二维Ising晶格里面发生$Z_2$破缺。以及其二是（零温）量子相变也不会受制约（这是量子涨落掌管的领域），譬如横场Ising模型的磁场调控的量子相变。

    最后谈一谈楼主说的星球链，首先它们是吸引势能，要能排成稳定长链都很困难（假如你让它们旋转维持稳定），这时候要是加扰动来弄出“格波”，那很明显就是这个扰动哪怕很小都会使得这个链马上失稳，也就是“声子”频率就对任何扰动动量都为零，响应发散（系统崩塌，星球四散或者撞到一块）
  • smallandred

    smallandred (Let the Stars Decide) 2014-12-01 06:09:16

    还是不太明白。。。我在钢管里塞进去一长串用弹簧串起来的球，球和弹簧都是同一个型号的，也不会有声子吗？
    另外晶体的表面也不能有振动模式吗？
  • Phantom_Ghost

    Phantom_Ghost (Glaube am Chaos) 2014-12-01 08:39:47

    补充两句，一维链Peirels相形成二聚化，这种行为使得晶格稳定性提高，或者说抑制热涨落的影响(否则响应系数极化率发散)。这种晶格离散对称性破缺后的结果也可以视为声子软模凝聚造成的结果。

    凝聚态的量子多体里面出现的发散也一如QFT一样，在一定能标下的有效理论是可以重整化的，就像对电子液体的响应做自能修正后得到Fermi液体的结果。而我们上面给出XY模型低能EFT如果出现SSB却发现IR发散，这意味着这种有效理论描述的图景是失败的，不应该出现SSB;类似的QED里面也有IR发散，软光子造成的问题很小，也同样是物理图景不正确认为造成，可以轻易扣除。在凝聚态物理里面我们只需要根据系统存在一定量子自由度(qubit的spin、gauge charge之类)在严格的格点模型里面不同能标下演生合适的有效理论(演生论)。对于高能物理的思路，会倾向认为存在一个统一的量子场，以一些基本性质如Lorentz对称、因果性原理等等作为第一性原理构成基本理论，低能下约化出标准模型等等各种有效理论(演生论)。这是一种思维角度的对照，见: http://www.douban.com/group/topic/68811238/
  • 豹豹

    豹豹 (本人已死有事烧纸) 2014-12-05 22:39:43

    很感谢两位的回帖，确实很精彩

    我想说，没意料到话题会发展到一维晶体和二维晶体的存在性问题，之前也知道，二维晶体理论上不能再自然界存在，Phantom的回帖中提到了几种特殊的二维晶体，那我想问石墨烯抑制热涨落对晶格地破坏的弹性能为什么是一种长程作用呢？

    E大说到截止于Debye频率这倒是不错的回答了我直觉上没有细细思考的频率问题，只是另外一个连续对称性的自发破缺具体是指什么物理情景呢？

    还有，虽说与具体的相互作用细节无关，但我很好奇，引力充当相互作用的时候，我们该怎么描述？

    话说这个二维Heisenberg铁磁体有没有资料？
  • 豹豹

    豹豹 (本人已死有事烧纸) 2014-12-05 22:55:16

    话说这个对整体磁化强度贡献为最低阶自能修正$\left\langle\theta\right\rangle =1-\tfrac{1}{2}\left\langle(\delta\theta)^2\right\rangle + \ldots$ ，这个修正是仅仅的一个二级近似么
  • 豹豹

    豹豹 (本人已死有事烧纸) 2014-12-06 00:26:44

    还是不太明白。。。我在钢管里塞进去一长串用弹簧串起来的球，球和弹簧都是同一个型号的，也不会 还是不太明白。。。我在钢管里塞进去一长串用弹簧串起来的球，球和弹簧都是同一个型号的，也不会有声子吗？ 另外晶体的表面也不能有振动模式吗？ ... smallandred
    表面振动模是一个不太一样的也很有意思的问题
  • Phantom_Ghost

    Phantom_Ghost (Glaube am Chaos) 2014-12-20 20:34:51

    很感谢两位的回帖，确实很精彩 我想说，没意料到话题会发展到一维晶体和二维晶体的存在性问题 很感谢两位的回帖，确实很精彩 我想说，没意料到话题会发展到一维晶体和二维晶体的存在性问题，之前也知道，二维晶体理论上不能再自然界存在，Phantom的回帖中提到了几种特殊的二维晶体，那我想问石墨烯抑制热涨落对晶格地破坏的弹性能为什么是一种长程作用呢？ E大说到截止于Debye频率这倒是不错的回答了我直觉上没有细细思考的频率问题，只是另外一个连续对称性的自发破缺具体是指什么物理情景呢？ 还有，虽说与具体的相互作用细节无关，但我很好奇，引力充当相互作用的时候，我们该怎么描述？ 话说这个二维Heisenberg铁磁体有没有资料？ ... 豹豹
    石墨烯里面的intrinsic ripple就是一种稳定晶格pattern，抑制热涨落。你也可以视为一种声子软模凝聚的结果，就是零频零动量声子，那自然是长程的。
  • Ein_st_ein

    Ein_st_ein (上网只为卖萌，坚决不去撕逼...) 2014-12-21 00:52:53

    很感谢两位的回帖，确实很精彩 我想说，没意料到话题会发展到一维晶体和二维晶体的存在性问题 很感谢两位的回帖，确实很精彩 我想说，没意料到话题会发展到一维晶体和二维晶体的存在性问题，之前也知道，二维晶体理论上不能再自然界存在，Phantom的回帖中提到了几种特殊的二维晶体，那我想问石墨烯抑制热涨落对晶格地破坏的弹性能为什么是一种长程作用呢？ E大说到截止于Debye频率这倒是不错的回答了我直觉上没有细细思考的频率问题，只是另外一个连续对称性的自发破缺具体是指什么物理情景呢？ 还有，虽说与具体的相互作用细节无关，但我很好奇，引力充当相互作用的时候，我们该怎么描述？ 话说这个二维Heisenberg铁磁体有没有资料？ ... 豹豹
    這個問題和我們討論的問題的有什麼聯繫求指出
  • 豹豹

    豹豹 (本人已死有事烧纸) 2014-12-22 10:07:37

    這個問題和我們討論的問題的有什麼聯繫求指出 這個問題和我們討論的問題的有什麼聯繫求指出 Ein_st_ein
    最初我只是想思考下相互作用与波的形成的关系，只是脑洞开大了想到这个引力的问题，当然没想到帖子里会具体讨论到声波的形成条件问题……
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