Wednesday, October 14, 2015

动量向量的分布 能量換成动量 麦克斯韦-玻尔兹曼速率分布 在电离层和空间等离子体的物理学中，特别对电子而言，重组和碰撞激发（也就是辐射过程）是重要的。如果在这个情况下应用麦克斯韦-玻尔兹曼分布，就会得到错误的结果。另外一个不适用麦克斯韦-玻尔兹曼分布的情况，就是当气体的量子熱波長（英语：Thermal de Broglie wavelength）与粒子之间的距离相比不够小时，由于有显著的量子效应也不能使用麦克斯韦-玻尔兹曼分布

通常，我们更感兴趣于分子的速率，而不是它们的速度分量。麦克斯韦-玻尔兹曼速率分布为




麦克斯韦-玻尔兹曼分布[编辑]

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麦克斯韦-玻尔兹曼分布是一个概率分布，在物理学和化学中有应用。最常见的应用是统计力学的领域。任何（宏观）物理系统的温度都是组成该系统的分子和原子的运动的结果。这些粒子有一个不同速度的范围，而任何单个粒子的速度都因与其它粒子的碰撞而不断变化。然而，对于大量粒子来说，处于一个特定的速度范围的粒子所占的比例却几乎不变，如果系统处于或接近处于平衡。麦克斯韦-玻尔兹曼分布具体说明了这个比例，对于任何速度范围，作为系统的温度的函数。它以詹姆斯·麦克斯韦和路德维希·玻尔兹曼命名。
这个分布可以视为一个三维向量的大小，它的分量是独立和正态分布的，其期望值为0，标准差为a。如果X_i的分布为\ X \sim N(0, a^2)，那么
Z = \sqrt{X_1^2+X_2^2+X_3^2}
就呈麦克斯韦-玻尔兹曼分布，其参数为a。


麦克斯韦-玻尔兹曼分布的物理应用[编辑]

麦克斯韦-玻尔兹曼分布形成了分子运动论的基础，它解释了许多基本的气体性质，包括压强和扩散。麦克斯韦-玻尔兹曼分布通常指气体中分子的速率的分布，但它还可以指分子的速度、动量，以及动量的大小的分布，每一个都有不同的概率分布函数，而它们都是联系在一起的。
麦克斯韦-玻尔兹曼分布可以用统计力学来推导（参见麦克斯韦-玻尔兹曼统计）。它对应于由大量不相互作用的粒子所组成、以碰撞为主的系统中最有可能的速率分布，其中量子效应可以忽略。由于气体中分子的相互作用一般都是相当小的，因此麦克斯韦-玻尔兹曼分布提供了气体状态的非常好的近似。
在许多情况下（例如非弹性碰撞），这些条件不适用。例如，在电离层和空间等离子体的物理学中，特别对电子而言，重组和碰撞激发（也就是辐射过程）是重要的。如果在这个情况下应用麦克斯韦-玻尔兹曼分布，就会得到错误的结果。另外一个不适用麦克斯韦-玻尔兹曼分布的情况，就是当气体的量子熱波長（英语：Thermal de Broglie wavelength）与粒子之间的距离相比不够小时，由于有显著的量子效应也不能使用麦克斯韦-玻尔兹曼分布。另外，由于它是基于非相对论的假设，因此麦克斯韦-玻尔兹曼分布不能做出分子的速度大于光速的概率为零的预言。

推导[编辑]

麦克斯韦最初的推导假设了三个方向上的表现都相同，但后来在玻尔兹曼的一个推导中利用分子运动论去掉了这个假设。现在，麦克斯韦-玻尔兹曼分布可以轻易地从能量的玻尔兹曼分布推出：
\frac{N_i}{N} = \frac{g_i \exp\left(-E_i/kT \right) } { \sum_{j}^{} g_j \,{\exp\left(-E_j/kT\right)} } \qquad\qquad (1)
其中Ni 是平衡温度T 时，处于状态i 的粒子数目，具有能量Ei 和简并度gi，N 是系统中的总粒子数目，k 是玻尔兹曼常数。（注意有时在上面的方程中不写出简并度gi。在这个情况下，指标i 将指定了一个单态，而不是具有相同能量Ei 的gi 的多重态。）由于速度和速率与能量有关，因此方程1可以用来推出气体的温度和分子的速度之间的关系。这个方程中的分母称为正则配分函数。

动量向量的分布[编辑]

下列所述的推导，与詹姆斯·克拉克·麦克斯韦描述的推导和后来由路德维希·玻尔兹曼描述的具有较少假设的推导都有很大不同。它与玻尔兹曼在1877年的探讨比较接近。
对于“理想气体”（由基态的非相互作用原子所组成）的情况，所有能量都是动能的形式。宏观粒子的动能与动量的关系为：
E=\frac{p^2}{2m} \qquad\qquad (2)
其中p2是动量向量p = [px, py, pz]的平方。因此，我们可以把方程1写成：
\frac{N_i}{N} = \frac{1}{Z} \exp \left[ -\frac{p_x^2 + p_y^2 + p_z^2}{2mkT} \right] \qquad\qquad (3)
其中Z是配分函数，对应于方程1中的分母。在这里，m是气体的分子质量，T是热力学温度，k是玻尔兹曼常数。这个Ni/N的分布与找到具有这些动量分量值的分子的概率密度函数fp成正比，因此：
f_\mathbf{p} (p_x, p_y, p_z) = \frac{c}{Z} \exp \left[ -\frac{p_x^2 + p_y^2 + p_z^2}{2mkT} \right]. \qquad\qquad (4)
歸一化常數c可以通过认识到分子具有任何动量的概率必须为1来决定。因此，方程4在所有px、py和pz上的积分必须是1。
可以证明：
c = \frac{Z}{(2 \pi mkT)^{3/2}}. \qquad\qquad (5)
把方程5代入方程4，得出：
f_\mathbf{p} (p_x, p_y, p_z) = \left( \frac{1}{2 \pi mkT} \right)^{3/2} \exp \left[ -\frac{p_x^2 + p_y^2 + p_z^2}{2mkT} \right]. \qquad\qquad (6)
可以看出，这个分布是三个独立、呈正态分布的变量p_x、p_y和p_z的乘积，其方差为mkT。此外，可以看出动量的大小呈麦克斯韦-玻尔兹曼分布，其中a=\sqrt{mkT}。

能量的分布[编辑]

利用p² = 2mE，以及动量的大小的分布函数（参见以下速率分布的章节），我们便得出能量的分布：
f_E\,dE=f_p\left(\frac{dp}{dE}\right)\,dE =2\sqrt{\frac{E}{\pi(kT)^3}}~\exp\left[\frac{-E}{kT}\right]\,dE. \qquad \qquad(7)
由于能量与三个呈正态分布的动量分量的平方和成正比，因此这个分布是具有三个自由度的卡方分布：
f_E(E)\,dE=\chi^2(x;3)\,dx
其中
x=\frac{2E}{kT}.\,
麦克斯韦-玻尔兹曼分布还可以通过把气体视为量子气体来获得。

速度向量的分布[编辑]

认识到速度的概率密度函数fv与动量的概率密度函数成正比：
f_\mathbf{v} d^3v = f_\mathbf{p} \left(\frac{dp}{dv}\right)^3 d^3v
并利用p = mv，我们便得到：
f_\mathbf{v} (v_x, v_y, v_z) = \left(\frac{m}{2 \pi kT} \right)^{3/2} \exp \left[- \frac{m(v_x^2 + v_y^2 + v_z^2)}{2kT} \right], \qquad\qquad
这就是麦克斯韦-玻尔兹曼速度分布。在速度相空间（vx, vy, vz）的一块无穷小区域[dvx, dvy, dvz] 内找到具有特定速度v = [vx, vy, vz]的气体分子的几率为
f_\mathbf{v} \left(v_x, v_y, v_z\right)\, dv_x\, dv_y\, dv_z.
像动量一样，这个分布是三个独立、呈正态分布的变量v_x、v_y和v_z的乘积，但方差为\frac{kT}{m}。还可以看出，对于速度向量[vx, vy, vz]，麦克斯韦-玻尔兹曼速度分布是三个方向上的分布的乘积：
f_v \left(v_x, v_y, v_z\right) = f_v (v_x)f_v (v_y)f_v (v_z)
其中一个方向上的分布为：
f_v (v_i) = \sqrt{\frac{m}{2 \pi kT}} \exp \left[ \frac{-mv_i^2}{2kT} \right]. \qquad\qquad
这个分布具有正态分布的形式，其方差为\frac{kT}{m}。正如所预料的，对于静止的气体，在任何方向上的平均速度都是零
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