仅当向量包含3个或更多分量时，叉积才有意义。

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4.5.7 叉积

2012-11-29 11:10 李祥瑞/陈武 译 人民邮电出版社 字号：T | T

《3D游戏编程大师技巧（上、下册）》第4章三角学、向量、矩阵和四元，本章介绍了很多数学知识：向量、矩阵、参数化方程、复数、四元数等；这只是当今编写视频游戏所需数学知识的冰山一角。本节为大家介绍叉积。

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4.5.7  叉积
另一种向量乘法是叉积。然而，仅当向量包含3个或更多分量时，叉积才有意义。因此，这里将以3D向量为例进行讨论。给定u = <ux，uy，uz>和v = <vx，vy，vz>，叉积u v的定义如下：
u   v = |u|*|v|*sin( ) * n
下面逐项分析这个公式。|u|为向量u的长度，|v|为向量v的长度，sin( )是两个向量之间夹角的正弦。因此，|u|*|v|*sin(  )是一个标量，即是一个数值。然后，我们将它与n相乘，但n是什么呢？n是一个单位法线向量，即它与向量u和v都垂直，且长度为1.0。图4.23图示了这种乘法。
因此，根据叉积可以知道向量u和v之间的夹角以及u和v的法线向量。然而，如果没有另一个公式，将无法得到任何信息。问题是，如何计算u和v的法线向量呢？答案是使用叉积的另一种定义。
叉积还定义为一种非常特殊的向量积。然而，如果不使用矩阵，将难以描述这种定义。要计算u和v的叉积（u v），可以建立一个这样的矩阵：

图4.23  叉积

其中i、j、k分别是与x轴、y轴、z轴平行的单位向量。
要计算u和v的叉积，执行下面的乘法：
n = (uy*vz-vy*uz)*i - (ux*vz-vx*uz)*j + (ux*vy-vx*uy)*k
n是三个标量分别乘以三个相互垂直（即分别与x轴、y轴和z轴平行）的单位向量的线性组合。因此，可以省略i、j、k，将上述公式表示为：
n = <uy*uz-vy*uz, -ux*vz+vx*uz, ux*vy-vx*uy>
n是向量u和v的法线向量，但不一定是单位向量（如果u和v都是单位向量，n也将是单位向量），因此必须归一化以得到n。完成这一步后，就可以其代入到前面的叉积方程中，执行所需的计算。
然而，在实际应用中，很少有人使用公式u v＝|u|*|v|*sin(  )*n，而只是使用矩阵形式来计算法线向量，因为 通常是未知的。这里再次表明了对向量进行归一化在3D图形学中的重要性，您将使用归一化向量来进行光照计算、定义平面、比较多边形朝向、进行碰撞检测等。
叉积的乘法定律
下面列出叉积满足的乘法定律。
给定向量u、v和w以及标量k：
(a)u v =-(v   u)(非常重要)
(b)u (v + w)=(u v)+(u w)
(c)(u+v) w=(u w)+(v w)
(d)k*(u v)=(k*u) v=u (k*v)

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