科学网—黎曼几何的发轫-浅谈高斯绝妙定理- 顾险峰的博文
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黎曼几何的发轫-浅谈高斯绝妙定理. 已有536 次阅读 2015-10-18 06:58 |系统分类:轉為繁體網頁
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第二章十四节高斯曲率的计算公式97 - 三亿文库
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第二章曲面论；高斯曲率的计算公式；高斯定理；LN? ... 高斯曲率的计算公式. 高斯定理. LN?M. K?k1k2?2 。 EG?F. 注意. ，. (r,r,r). M?n?r. uv? ， ... 高斯绝妙定理断言一个曲面的高斯曲率可以只用第一类基本量及其导数表示，从而K 事实上是曲面的一个 ...轉為繁體網頁
[FLASH]999 999% /999 第一章第三节第三节曲面论概述曲面论概述
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0 { ) ( , v , u v , u r 平面} , sin , {cos ) , ( v u u v u r 圆柱面具有相同的第一基本形式： .... 换句话来叙述高斯绝妙定理, 曲面的度量决定了曲面的弯曲程度。历史文献精选70.高斯：《关于曲面的一般研究》摘要_v0d85ty1_ ...
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2010年10月29日 - 高斯推广了欧拉等人的曲率概念而定义了曲面在一点的总曲率，也就是 ... 从而球面三角学以及其它一些定理（其中包含作者得到的一个利用很广 ..... x = x(u, v) y = y(u, v) z = z(u, v) , (u, v)∈U[U为O-uv平面上的一块区域，S为O-xyz空间中的一块曲面 ..... Gauss绝妙定理指出, Gauss曲率K在曲面的等距变换下维持不变.轉為繁體網頁
各类数学物理空间- Ackerman的日志- 网易博客
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2009年4月5日 - 几何学也不例外，最著名的几何定理就是他的“高斯绝妙定理”（定理得名字 .... 于是，轉為繁體網頁
径向动能, 求围成曲面的Gauss曲率，第一第二基本形式
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2015年10月27日 - 2014年10月17日- 高斯的绝妙定理就是：生活在曲面上的蚂蚁，根本不需要离开它就能 ... 科学网—黎曼几何的发轫-浅谈高斯绝妙定理- 顾险峰的博文 ... 组成的一维... ustc shine a strong ultraviolet pulsed laser on th... ustc pan 量子 ...轉為繁體網頁
曲面论的基本定理曲线论中, 我们在R - x2_百度文库
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2012年5月12日 - 定理7.1 (高斯绝妙定理) 曲面的高斯曲率是内蕴量. b11 b22 ?b2 12 2 g11 ... u v 曲面的第二基本形式是edII = Ldu2 + N dv 2 = [HE + φ(u)]du2 + [HG ...轉為繁體網頁
什么是第二基本形式意思详解- 淘大白
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R 中曲面引论R 中一个参数曲面S 的第二基本形式由高斯引入.最先假设曲面是两次连续 ... 这叫做高斯方程，可以视为高斯绝妙定理的推广。在一个标准正交基中第二 ...轉為繁體網頁
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看科普类的书籍，必然会遇到各种有关“空间”的名词。这些名词在科普书里很少会有明确的解释，要么解释得容易误解。下面把常见的一些空间及其准确的科普级别解释罗列如下。
首先是“空间”。一般来说，空间就是一堆点，一个集合。但是由于通常这集合都人为添加有更多的结构，因此名为“空间”。
然后是科普最高难懂级别的“拓扑”空间。什么是拓扑？假设给一个５人集合：
R=｛Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ｝
明显，我们并不知道谁跟谁是邻居。但是，如果我们人为地规定（一个括号内的人互为邻居）：｛Ａ，Ｂ，Ｃ｝，｛Ｄ，Ｅ｝，｛Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ｝，｛Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ｝，｛Ｄ｝，｛｝。
就这样，我们就定义了集合｛Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ｝的一个“拓扑结构”。“一个”的含义是指这个集合还可以有其他的拓扑结构，只要规定其他形态的“邻居”关系。当然，这种规定是要满足一些条件的，先不管。
因此，拓扑事实上是一种“相邻性”的人为指定。上文的一个括号（即R的一个子集）即一个“邻域”，比如｛Ａ，Ｂ，Ｃ｝就是成员Ａ，Ｂ，Ｃ的邻域。一个邻域称为“开集”。
拓扑纯数学上的定义是这样的
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设X是一个非空集合。X的一个子集族τ称为X的一个拓扑，如果它满足：
（1）X和空集{}都属于τ；
（2）τ中任意多个成员的并集仍在 τ 中；
（3）τ中有限多个成员的交集仍在 τ 中。
称集合X连同它的拓扑τ为一个拓扑空间，记作（X,τ）。称τ中的成员为这个拓扑空间的开集。
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一些拓扑空间的例子：
1.欧几里德空间在通常开集的意义下是拓扑空间，它的拓扑就是所有开集组成的集合。
2.设X是一个非空集合。则集合t：{X,{}}是X的一个拓扑。称t为X的平凡拓扑。显然（X,t）只有两个开集，X和{}。
3.设X是一个非空集合。则X的幂集T=2^X也是X的一个拓扑。称T为X的离散拓扑。显然X的任意子集都是(X,T)的开集。
4.设X={1,2,3}。则{X,{},{1,2}}是X的一个拓扑，但｛X,｛｝,｛1｝,｛2｝｝不是拓扑，因为{1}U{2}={1，2}不属于｛X,｛｝,｛1｝,｛2｝｝
为什么要定义拓扑？一个原因是要描述“连续”，另一方面是要引入极限。什么是连续？平常的连续是指“没有断点”，连续直线上的两个点能够“无限*近”，有断点了就不行了，就不连续了。但是这里运用了“*近”，即有了“距离”的概念，而对于一些问题我们并不需要距离，并且实质上涉及的只是“相邻”的概念。由上文所述，相邻是用“拓扑”来描述的。因此，有了拓扑，我们就可以描述“连续”了。另外，“相邻”概念可以引入普遍的“不断*近”的描述（不依赖于距离的不断缩小），于是也就可以谈论极限了。
这就是为什么一般谈论到“拓扑”的东西，比如说一张纸只要不撕裂，不粘合任何点，任意变形拉伸蹂躏它都不会改变它的拓扑，因为在这种前提下，纸面各点的“相邻性”没有改变，邻居还是邻居——但是一旦撕裂了，那断裂两侧的邻居就变成远方朋友了；反过来，一旦粘合，则陌生人就变成邻居，这些操作都破坏了邻近性，即破坏了“τ”的结构。 因此，我们说，一张A4纸和一个球面、一个圆柱侧面是不同胚的，球面是A4纸所有边界粘合的结果，圆柱侧面则是两条对边粘合结果。
这样，我们就有了“拓扑空间”的准确描述了。
欧几里德空间：相对论必提空间。在书籍中提到欧几里德空间通常有两种侧重点：１是侧重它的“平直”性，２是仅仅侧重它平庸简单的“拓扑结构”。
n维欧几里德空间是RX……XR，即n个R（作为最简单的拓扑空间，其开集即为所有的开区间及开区间的交并）的“积”，其中任何一个点表示为(x1,x2,……xn)，记为Rn。其中的开集一般用“a处的球形邻域{x| |x-a|<ε}”来描述。当然它的开集还有其他的描述方法，比如用开立方等，都是同一个拓扑的不同表示。
欧几里德空间的拓扑结构是最简单的，一般我们会谈到２维的平面是２维欧几里德空间，然后会跟球面、柱面、莫比乌斯圈这些复杂的拓扑空间做对比。
当我们谈到它的平坦性的话，则是指其上附带一个平坦（曲率＝０）的度量。详细的度量介绍在黎曼流形中。它通常与弯曲空间、闵可夫斯基空间做对比。
黎曼空间、弯曲空间：广义相对论必提空间。
我们拿到一个空间之后，其实不能说它是否弯曲了。比如我们拿到一个欧几里德空间，如前面所述，可能只是指我们拿到了一个拓扑空间，还没有给它赋予一个“弯曲结构”，即不能谈论它的弯曲。
怎样才能讨论它的弯曲呢？我们必须给它一个度规，或者“度量”。这个度量是人为给定的，反映了这个空间的任何两个点（一般是无限邻近的两点的距离），形状如：
各类数学物理空间 - hemanzi - 记忆成长的历程
上式即给出了两个邻近点的距离的表达式。这个表达式中含有坐标变量r，θ，φ，即与坐标系选择有关。上图给出的线元自然是熟知的球坐标的线元，并且它给出了一个平坦的欧几里德空间。对了，现在可以讨论欧几里德空间的平坦性了。这是很显然的，平常我们用个球坐标并不会把欧几里德空间扭弯，不同的坐标不会改变空间的弯曲情况。况且，我们可以做个坐标变换，把球坐标换回直角坐标，于是线元变成了很简单的：ds2=dx2+dy2+dz2。我们看到，线元方程右边三个平方项的系数为１，１，１，通过一定的计算可以知道这是标准的“平坦度量”，即给出了一个平坦的空间。
现在小结一下，一句话，度量告诉空间如何弯曲。
一个空间（指确定的拓扑性质）可以赋予不同的度量，使得它能够有不同的弯曲情况。熟悉的例子是，同样是４维欧几里德空间，我们可以给它最普通的“伽利略时空”度量，即度量为ds2=dx2+dy2+dz2+dt2，又可以给它一个闽可夫斯基度量ds2=－dt2+dx2+dy2+dz2，注意时间dt前是负号。这就是著名的伽利略时空和狭义相对论时空，差别就是度量的一个负号。狭义相对论的闽可夫斯基度量也是平坦的。我们还可以赋予它其他更加复杂的度量，这些复杂的度量无情地弯曲了可怜的欧几里德空间。
这就是广义相对论。
广义相对论用的是“黎曼空间”。黎曼空间在数学中一般是指“线元总是大于０即ds2>0，并且线元对称”的空间。线元对称是指其中的两个相关的交*项，比如dxdy和dydx的系数相等，而我们上面给出的线元这些项系数均为０，故也是对称的线元。为什么要泾渭分明地分开说dxdy和dydx呢？因为这两个一般来说是不等的，就像矩阵乘法AB≠BA一样。严格地描述线元应该用张量语言，在那里可以清楚地看见这两者确实不等。
但是由于广义相对论是从狭义相对论来的，不能随便扔一个度量过去就完事，因此其度量是受限制的，即受等效原理约束，这个度量必须能在“自由下落系（所谓系，是指坐标系）中还原到闵可夫斯基时空”。因此，广义相对论的度量ds2可不一定>0，因为有个－dt2的存在。因此，实际上广义相对论用的是“广义黎曼空间”，即拥有“对称线元”的空间。
为什么说，有了度量，空间就可以弯曲了呢？
这要从高斯说起。高斯是伟大数学家，高数有他的定理，很多地方都有他的定理。几何学也不例外，最著名的几何定理就是他的“高斯绝妙定理”（定理得名字也是这么牛，可见此定理之牛B程度）。这个定理说的是，一个二维曲面，其高斯曲率only与其上的度量有关。用中文说明白点就是如下：
给定了一个曲面，它用参数方程表达为r=r(u,v)，那么它上面的邻近两点的距离平方自然是：
ds2=dr2=ru2du2+rv2dv2+2ruvdudv
其中ru是矢量r（作为u,v的矢量函数）对u的偏导数，ru也是一个矢量，各分量分别是r分量函数对u的偏导数。ru2、rv2、+2ruv就是度量（系数）。
高斯曲率是一个很重要的曲率，它是一个实数，它反映了一个曲面的“内禀弯曲程度”，一个耳熟能详的例子就是我们可以把一张A4纸温柔地卷曲（不拉伸不蹂躏）成一个圆柱筒，然后A4纸的高斯曲率与圆柱筒的高斯曲率是一样的，但我们不能把A4纸温柔地弄成一个球形，因为两者的高斯曲率是不同的。可以感觉到，高斯曲率反映了一个曲面真正的弯曲情况。
高斯曲率本身的导出看起来是完全不涉及度量，但是高斯证明它竟然只依赖于度量。其实现在看来也很容易理解，“温柔地卷曲、不拉伸”就是说不改变曲面任何两点的相对距离，就是说当新曲面任何两点的相对距离都不改变、都与模板曲面相同的时候，则新旧曲面的高斯曲率是一样的。
这一点推广到了高维的情况。在高维时候，给了空间一个度量以后，这度量就决定了一个曲率张量（即一堆实数，这些实数有机结合起来成了一个巨大的张量），这个曲率张量描述了这个空间“真正的弯曲情况”。
为什么爱因斯坦那么喜欢这个张量呢？这堆恶心的实数有什么牛B之处？
我们说平坦无奇的A4纸与一个圆筒是不同的，因为我们看到圆筒比较弯曲。但这是站着说话不腰疼，因为我们长得比一张A4纸高，比圆筒大，更为本质一点地说，我们站在一个三维空间中对这两个二维的东西说三道四。我们忘了多少年以来古人一直认为地球是平的，这是一个典型的例子说明约束在一个巨大的２维（曲）面上的生物是多么可怜和无知。
我们现在大多数人都知道地球是个球，而对此最重要的理解就是我们在太空拍下了地球的球状图片，我们在三维宇宙空间中观看地球——如果没有这些图片，相信大家都还会以为地球是平的。
说一下题外话：地球例子是个很著名的例子，它主要用于两个论题：１就是本文正在讨论的这个问题，另一个是略为不同的，说明“弯曲的空间在局域、小区域是平直”的。
回到原问题。那么为什么在卫星上天以前，我们就知道地球是球的呢？呵呵，因为有麦哲伦……当然这说法也不一定对。有麦哲伦的环球航行，不一定说明地球是球状，也可以是一个巨大的圆筒。关键是我们有像麦哲伦这样的一些伟大的航海家、陆行者、测绘者。他们用船、双腿、仪器，在地面上划出许多“线”，这些线都用于对世界两点距离的确定之中。通过这些距离数据，我们可以看出，地球确实是球形的。
高斯曾经想做这个实验，通过确定三座高山的距离来算一下地球是不是球状，以及弯曲程度。当然他没有成功，但是后继的人陆续成功了。前文说过，一个曲面的真正的弯曲程度是由“度量”即任何两点距离来确定的。通过确定地面上各地点之间的距离，我们可以站在地球表面上得出地球是球形这个伟大的结论——这是几何学的伟大成功，也为我们测量宇宙时空弯曲程度提供方法。我们不需要站到５维欧几里德空间中来观看我们的宇宙（这种居高临下的观察行为叫做“嵌入”，把低维的物体放进高维空间中观察其外观形状），只需要在宇宙中航行、测量，就可以通过距离来定出宇宙真正的弯曲程度了。
讲广义相对论的书很多会有一个苹果和上面的虫子、蚂蚁图。这幅图就是源自高斯绝妙定理，“度量决定弯曲”。
更细致的情况是这样的：给定了度量，那么曲率就可以写出来了，它是一个４阶张量（矩阵），记作R：
各类数学物理空间 - hemanzi - 记忆成长的历程
R是一个n X n X n X n矩阵，标号ijkl 负责指明位置。这个数（函数）共同表征了弯曲空间的本质弯曲，矩阵（张量）R有一定的反对称性，使得这n4个数并非完全互相独立的，当n=2即２维曲面时，只剩下一个独立的量，这个量就是高斯曲率。当n=1时，R=0，因此一根线其实内禀曲率＝０，因此可以很轻松地把一根线弯曲成各种你能够想得出的形状，但是不用拉伸线。
文似看山不喜平，科普文也一样。刚说完的“度量决定曲率”这个斩钉截铁的“真理”其实并不绝对。“度量决定曲率”其实是黎曼几何势力范围内才能成立的，更加本质的结论在微分几何中描述。黎曼几何是微分几何的一小块，前面说到的，弯曲空间上人为附加了“度量结构”才引入黎曼几何，倘若不添加这度量结构，或者附加别的结构的话，那就不是黎曼几何了。
关于曲率的一般的说法是，曲率由联络决定；通俗地说，一个弯曲空间中其实没有固有（即理所当然的、众口一词的）的“平行移动”概念，请看http://spetw.sysu.edu.cn/bbs/dispbbs.asp?boardID=31&ID=246&page=1，于是，我们就人为地指定（只需要满足一定的小条件，就可以了；事实上，有无穷种不同的指定方法，相当随意）“什么是平移”，方法是在弯曲空间中n3个与坐标有关的函数。由人所指定的平行移动方法，产生了空间的“弯曲”，即曲率。简单地说，就是“平移的定义决定曲率”。
热爱数学的同学们可能会想知道度量的切实数学含义。下面就简单介绍一下。
首先，我们来观看一个线性空间（矢量空间）。任给一个矢量空间，那么里面的矢量的长度你是知道了吗？
粗略地看来，仿佛是知道了的。因为我们可以用内积|x|2=x12+……+xn2。但是，数学家们的眼光很独特，他们说没有法律规定这就是长度。他们使用一种双线性映射来定义矢量的“内积”（严格讨论长度的语言应该用赋范空间，讨论内积应该用内积空间）g(X,Y)，g是一个双线性映射VXV——>R，满足：
g(aX,Y)=ag(X,Y)，g(X,bY)=bg(X,Y),
g(X+Z,Y)=g(X,Y)+g(Z,Y),g(X,Y+Z)=g(X,Y)+g(X,Z)
g(X,Y)=g(Y,X)
这就定义了一个“度规”。前两行是线性性，第三行定义了它的对称性。可以证明，当矢量空间选取某个坐标基底，则g(X,Y)可以表达成ΣguvXuYv，（u,v从１到n（空间维数）求和）。于是，当guv=δuv时候，g(X,Y)恰好等于普通的内积，此时，这个线性空间成了欧几里德空间（因为有了度规），不过这时的欧几里德空间多了一种结构——线性运算结构，这是由于我们一开始讨论就设定了一个矢量空间的原因。
我们知道弯曲的空间每一点有它的切矢量，比如球面任何一点处都有与球面相切的一堆矢量，这些矢量铺成一个２维的矢量空间（看起来像一个与球面相切的平面）。于是这相当于在空间的每一点都安装了一个“切矢量空间”。如果我们在每一点再人为添加一个映射g与该处的切矢量空间相联系，那么，这个满布整个空间的g就成了空间的度规场，它描述着空间每一点切空间矢量的长短事宜。知道了这个空间的切矢量的长短事宜，我们就可以通过积分来把两点的距离算出来。样子就是：
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自然，T就是切矢量了，积分是沿着某一条曲线来进行的．当曲线不断缩短，那么就曲线两个端点就是无穷邻近点，上式就给出了线元的表达式．
再具体一点的说这个问题，是这样的：假设弯曲空间有一个坐标系了xu，u=1,...,n，n是空间的维度。那么每一点就有n个坐标基矢：
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我们知道线性空间的基底组是很任意的，只要组内n个矢量线性独立即可，而一个合格的坐标系就会使得坐标基矢组线性独立，那么这n个矢量完全可以充当切空间的基底。在这基底下，g(X,Y)=ΣguvXuYv，u,v=1,2,...n，求和。注意到函数组（其实是一个张量的分量）guv。可以证明，此时弯曲空间的线元就是
ds2=Σguvdxudxv
引文来源 ［科普］各类数学物理空间[理工学院学生园地]
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