Sunday, November 8, 2015

polik vector tensor 并矢既不是点积，也不是叉积，而是矢量的直积或直乘。基张量是两个基矢的并矢，所以属于二阶基张量; 因为其结果已经超出了原来的矢量空间，所以属于外积的一种

通常一个并矢具有九个分量。因此，有时也写成三个分量的形式，而每一分量为一矢量

三个矢量格林函数的辐射条件结合在一起，构成了并矢格林函数的辐射条件

[PPT]第四章：格林函数ppt

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2013年2月1日 - 这种求解数学物理方程的方法即经典的格林函数法，又称为点源函数法或 ... 2）通常结果用一个含有格林函数的有限积分表示，物理意义清晰，便于以 ...

并矢既不是点积，也不是叉积，而是矢量的直积或直乘。因为其结果已经超出了原来的矢量空间，所以属于外积的一种

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（原创）矢量的直积——并矢

2009-10-21 23:59:44| 分类：科学的皇后 | 标签：张量直积外积并矢向量 |举报 |字号大中小订阅

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前面已经介绍了一阶张量的概念，实际上二阶张量是最常用的张量。二阶以上（含二阶）的张量统称为高阶张量。在介绍高阶张量之前，我们先介绍一下矢量的直积。

矢量的直积是矢量之间最简单的一种乘法运算，其结果是张量，所以也叫做矢量的张量积，俗称并矢。举例说明如下：

设三维白线性空间中的任意两个矢量的线性表出分别为

与

则两个矢量的直积就是一个并矢，属于二阶张量的一种，可记为

注意：并矢的先后次序一般不可交换。即

并矢既不是点积，也不是叉积，而是矢量的直积或直乘。因为其结果已经超出了原来的矢量空间，所以属于外积的一种。所谓直积运算就是一个矢量的所有线性组合项遍乘另一个矢量的所有线性组合项，类似于多项式乘法。如上例即

可见三维空间中的一个二阶张量共有9个分量。本例的基矢都是自然基矢（协变基矢），分量都是逆变分量，所以这个张量属于一个二阶逆变张量。

如果用爱因斯坦求和约定，上述并矢（二阶张量）还可以简洁地表示为

注意：两对哑标相乘时必须区别开。

其中基矢的并矢

叫做基张量，本例中的基张量是两个基矢的并矢，所以属于二阶基张量。基张量对应的线性组合系数

叫做张量的分量。对于两个n维矢量的并矢，有时也用完整的一组

个分量表示其运算结果（一个二阶张量），即

矢量的直积运算还可以采用分量矩阵形式表示。如上例可表示为

一组9个基张量也可以用矩阵表示为

矢量的直积运算可以推广到多个矢量的并矢，即高阶张量。如三个矢量的直积（三重并矢）abc是一个三阶张量

四个矢量的并矢abcd是一个四阶张量

依此类推。为简便起见，张量可以只用一个大写字母（比如T）表示，代表阶数的横线通常可以省略。

当然最常用的是二阶张量，那么二阶张量的定义是什么？且听下回分解。

（作者：周法哲2009-10-21于广东）

（原创）什么是一阶张量？（图）

进入张量的概念

上一回说到，张量概念的前提是坐标变换，而坐标变换的核心关键是基矢变换矩阵（过渡矩阵）A。在同一空间里，当坐标变换时，所有的参量按照其变换规律可以分成两大类：随A协调一致地变换者叫做协变量；“逆转而变”者叫做逆变量。那么一阶张量究竟是什么样的量呢？本文先介绍一阶逆变张量的定义。

一般地，在n维空间的任一坐标系中给定一组有序的数

如果当坐标基矢按某个过渡矩阵A变换时，而这一组数X却按A的转置逆矩阵B变换，即变为

则称这一组数为一个一阶逆变张量。通常用上标变量表示。

矢量的坐标分量（或矢端点的坐标）就是这样的一组数。当坐标基矢变换时，它们却逆转而变，所以属于逆变张量。又因为它们的变换因子中只乘了一个矩阵，所以属于一阶张量。下面举例说明。

在白线性空间里，有一矢量P，我们选定一组基矢

建立一个坐标系，矢量P可表示为一组坐标分量

，即可表示为一组有序的数

，可构成一个n×1阶的列矩阵X。这样就把矢量转化为一组标量，便于计算机处理。

不妨以二维空间为例，坐标基矢为

，则矢量P可以表示为数组

，或列矩阵

如下图中的

坐标系所示：

图：一阶逆变张量

但是，同一个矢量P在不同的坐标系中会表现为不同的数组。就是说如果我们选定另一组基矢

建立另一个坐标系，矢量P则又可表示为另一组坐标分量

，即可表示为另一个数组

，也可构成另一个n×1阶的列矩阵X'。

不妨仍以二维空间为例，当坐标基矢组变换为

'时，则描述矢量P的数组变换成

，也可记为列矩阵

如上图中的

坐标系所示。

通过前几回的讨论我们知道，当坐标变换时，两组基矢之间的变换关系体现为一个过渡矩阵A。仍以二维空间为例，假定可记为

或一般地对于n维空间写成

其中基矢变换矩阵（过渡矩阵）A为n×n阶方阵

一阶逆变张量的定义是说：当坐标基矢按如上矩阵A变换时，则矢量P的坐标分量却按矩阵B“逆转而变”成

对于二维空间中即

对于n维空间一般即

其中坐标变换矩阵B也是一个n×n的方阵

如果变换矩阵B恰是过渡矩阵A的转置逆矩阵

则这样的矢量（一组数）就属于逆变量，叫做一阶逆变张量。

注意：上式中矩阵元素的指标次序倒置表示矩阵的转置。

可见，张量是一组数，其中随坐标基矢变换“逆转而变”者属于逆变张量，变换因子中只乘一次矩阵者叫做一阶张量。矢量就是一阶张量的典型实例。

一阶张量的几何意义如上图。中国古代汉语中“张”字的本义是指把弦安装到弓上，拉的紧绷绷的。英语中“张量”一词tensor也是“拉紧”的意思。作为某个一阶张量的矢量实体，是个客观存在的不变量，但我们采用不同的坐标系来描述它时，却表现为不同的坐标分量组合，张成不同的平行四边形，然而两个平行四边形的对角线（矢量实体）始终不变，描述的对象是同一个“量”，这样的量就是张量。

值得提醒大家的是，矢量是一阶张量的典型实例，但一阶张量不仅仅只有矢量。况且上述举例的矢量是一阶逆变张量，只不过是一阶张量中的一类，实际中还存在一阶协变张量。究竟什么是一阶协变张量呢？且听下回分解。

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1.1 质点运动的描述	加到收藏夹添加相关资源

1.1 质点运动的描述

由于运动学的任务在于描写空间位置的改变，而不涉及物体相互作用和运动之间的关系．因此，我们重点讨论运动学中最为基本的质点的运动．本节介绍质点运动学的基本概念，着重讨论两个基本的物理量——速度和加速度．

1.1.1 质点

物体是研究对象的统称，实际物体总有其大小和形状，而且一般说来，它们在运动中可以同时有旋转、变形等等．但是，如果物体的大小和形状在所研究的问题中不起作用或作用很小，就可以忽略物体的大小和形状，而把物体抽象为只有质量的几何点，这样的研究对象在力学中称为质点，例如，当我们讨论地球公转问题时，并不涉及地球自转所引起的各部分运动的差别，地球的形状、大小无关紧要，因此可以把地球看作是一个质点．实际上所谓质点是一个从实际中抽象出来的理想模型，即具有质量的点．

应当指出，一个实际的研究对象能否看成是质点，不是依物体的大小而定，而是依问题的性质而定．如在有些问题中，大如恒星亦可视作质点，在另一些问题中小如分子、原子亦须考虑其形状、大小．还有，同一个物体在这个问题中可当作质点，在另一问题中却不能作为质点处理．总之，能否将物体视作质点，要根据问题的性质而定，要看把实际对象抽象为质点时是否能反映运动的主要特征．

质点是力学中最基本、最简单的理想模型，以后我们还将引入质点系等理想模型．掌握了质点的运动规律，就能用数学方法推导出质点系的运动规律，因此，研究质点的运动是研究更为复杂的运动的基础．实际上，在一定条件下，把实际研究对象抽象化、理想化为某种模型，这种研究方法在物理学中经常采用，它使我们能够把握住事物的主要方面，使我们对事物的认识更深刻、更正确、更全面．

1.1.2 参考系和坐标系

1．参考系

一切物体都在运动，即使看来“静止”的建筑物如房屋、桥梁等也正随着地球一起运动．地球不但自转，还围绕太阳公转；而太阳系相对于附近恒星说来，正朝着武仙星座运动；太阳又是银河系的成员，而银河系也在旋转着……．这些事实表明，运动是普遍的、绝对的，而“静止”只有相对的意义．

虽然运动具有绝对性，但是，对运动情况的具体描述则具有相对性．例如，在水平匀速前进的火车中，一乘客竖直向上抛出一个小球．车上乘客观察到这小球是沿直线运动，而地面上的人观察到的却是小球沿一条抛物线运动．这是因为车上乘客选择车厢为标准，而站台人员以地面为标准，从而得出不同结论．一个运动相对于不同的标准具有不同的运动描述，这就叫做运动描述的相对性．

由于机械运动具有相对性，因此，描述一个运动时，就必须选择其他物体作标准．描述运动时选作标准的物体（一个不变形的物体，或保持相对静止的几个物体），称为参考系．

在研究运动学问题时，参考系可以任意选择，看问题的性质和计算的方便而定．例如，描述太阳系行星运动时，如果使用太阳参考系，则行星作椭圆运动；但是，如果用地球参考系，它们将作复杂的曲线运动．因此，以太阳参考系描述行星的运动比较简单方便．而在描述地球上的物体运动时，常选择地球为参考系．

2．坐标系

参考系确定之后，要把质点在各个时刻相对于参考系的位置定量表示出来，还需要在参考系上固定一个坐标系，所讨论的这个质点的位置就由它在该坐标系中的坐标决定．因此，对于描述物体的位置变化来说，坐标系起着刻度尺的作用．

最常用的坐标系是直角坐标系，有时根据需要也可选用其他坐标系，如球坐标系、自然坐标等．

1.1.3 位置矢量 运动方程

1．位置矢量

要讨论质点位置随时间的变化，先要确切描述质点的位置．为了同时给出质点相对于参考点的距离和方位，可以引入位置矢量．由参考系上的坐标原点引向质点P所在位置的矢量称为质点的位置矢量．如图1-1所示，通常以r表示．

在国际单位制（SI）中，位置矢量大小的单位为米（m），与长度单位相同．

位置矢量可在直角坐标系Oxyz中用三个互相正交的分量来表示，如图1-1所示．若p点的位置矢量r在x，y，z轴上的分量（即坐标）分别为x，y，z，则位置矢量的正交分解式为

r=xi+yi+zk

（1.1）

式中i，j，k分别表示沿x，y，z轴正方向的单位矢量．x，y，z称做质点的位置坐标，也可用来描述质点的位置，与用位置矢量来描述是一致的．

位置矢量的大小（即r的模）为

位置矢量的方向，可由其方向余弦确定：

式中α，β，γ分别表示r与x，y，z轴正方向之间的夹角（取小于180°值），它们满足以下关系式：

cos²α+cos²β+cos²γ=1

故三个方向余弦中只有两个是独立的．

2．运动方程

在质点运动过程中，它的位置矢量随时间改变，每一时刻均有一定的位置矢量与之对应，如图1-2所示，即位置矢量r为时间t的函数

r=r（t）

上式称做质点的运动方程．它给出任意时刻质点的位置．下面讲了速度与加速度后，我们将看到，如已知质点的运动方程，就可以确定质点在任一时刻的速度和加速度，即掌握了质点运动的全部情况．因此，求出运动方程是质点运动学的中心问题．

运动方程在直角坐标系Oxyz中的正交分解式为

r=r（t）=x（t）i+y（t）j+z（t）k

（1.2）

质点运动时，坐标x，y，z都是时间t的函数，所以运动方程在直角坐标系中也可写成

(1.3)

称为质点运动方程的标量形式．

当质点被限制在一平面内运动，例如在xy平面内运动时，称为二维运动，其运动方程为

(1.4)

当质点被限制在一直线上，例如在x轴上运动时，称为一维运动，其运动方程为

x=x（t）

（1.5）

3．轨迹

质点在所选定的参考系中运动时，在空间所经过的路径称为质点运动的轨迹．随着质点的运动，其位置矢量的矢端也在空间运动，实际上，矢端的轨迹就是质点运动的轨迹，如图1-3所示．轨迹可用数学形式表示，以质点在平面上的运动为例，其运动方程为（1.4）式，消去t，得

y=y(x)

这就是质点在直角坐标系中的轨迹方程．实际上，式（1.3）也可以看作是以时间t为参数的质点轨迹的参数方程．

例1 已知一质点的运动方程为

r（t）=ati+（bt-ct²）j

a、b、c为常数，求该质点的轨迹．

解该质点的运动方程在直角坐标系中的表达式为

所以它在xOy平面上运动，从第一式和第二式中消去t，便得

这就是该质点的轨迹方程，它是在xOy平面上的经过原点O的抛物线．

例2 已知一质点的运动方程为

式中时间和坐标值均采用国际单位制．求：

（1）t=2s和t=4s时质点的位置；

（2）质点的运动轨迹。

解（1）质点在xOy平面上作二维运动．

t=2s时，

t=4s时

（2）由所给的运动方程消去时间t，得

x²+y²=25

这表明该质点的轨迹是以原点O为圆心，半径等于5m，在xOy平面上的圆．如图1-4所示．读者不难看出，质点是沿着顺时针方向作圆周运动．

1.1.4 速度

1．位移和路程

为了描述质点在一定时间间隔内位置的变动，我们引入位移矢量．参照图1-5，一运动着的质点，其位置在轨道上连续变化，设t时刻质点位于P点，t+△t时刻到达Q点，r（t）和r（t+△t）分别表示时刻t和t+△t的位置矢量．自质点初始位置引向△t时间后末位置的矢量△r称作质点在这段时间间隔内的位移．由图可以看出，位移也就等于质点在这段时间内位置矢量的增量：

△r=r（t+△t）-r（t）

（1.6）

写出△t始末的位置矢量在直角坐标系中的正交分解式：

r（t+△t）=x（t+△t）i+y（t+△t）j+z（t+△t）k

r（t）=x（t）i+y（t）j+（t）k

二式相减得位移

△r=[x(t+△t)-x（t）]i+[y（t+△t）-y（t）]j+[z（t+△t）-z（t）]k

=△xi+△yi+△zk

(1.7)

这是位移在直角坐标系中的正交分解式，它表明位移可由位置坐标的增量来决定．

应当指出，位移刻划出质点在一段时间内位置变动的总效果，但并未给出质点是沿什么路径由起点运动到终点的．因此一定要认清质点在一段时间内的位移△r和所经过的路程△s这二者的区别．就一般情况而言，位移并不表示质点在其轨迹上所走过路径的长度．例如长跑运动员绕400m跑道跑了25圈，他跑过的路程是10000m，但位移却是零！路程是在一段时间内，质点在其轨迹上经过的路径的总长度．位移是矢量，而路程是正的标量．一般说来，在同一时间间隔内，路程和位移的大小并不相等．

2．速度

为了描述质点运动的快慢和方向，我们引入速度这一物理量．

（1）平均速度

质点在t时刻到t+△t时刻这段时间内的位移是△r，我们可以用位移△r除以发生这段位移的时间△t，即单位时间内的位移△r/△t来近似地描述t时刻附近质点运动的快慢和方向．质点位移△r=r（t+△t）-r（t）与发生这一位移的时间间隔△t之比，称作质点在这段时间内的平均速度，记作v，

(1.8)

（2）瞬时速度

平均速度仅仅提供一段时间内位置总变动的方向和平均快慢，却不能精细地刻划质点在这段时间内发生的运动方向的改变和时快时慢的详细情况．显然，△t取得越短，近似的程度就越好，平均速度就越能反映出t时刻的真实运动情况．当△t→0，△r/△t趋近于一个确定的极限矢量，这个极限矢量确切地描述了质点在t时刻运动的快慢和方向，这就是质点在t时刻的瞬时速度，它等于t时刻至t+△t时刻一段时间内平均

(1.9)

即质点的瞬时速度等于位置矢量对时间的变化率或一阶层数，记作

(1.10)

速度的方向由位移△r的极限方向决定，当△t→0时，位移△r趋于轨道的切线方向．如图1-6所示．因此，质点在任一时刻的瞬时速度的方向和这个时刻质点所在处的轨道曲线相切并指向质点前进的方向。

此外，为了描述质点沿轨迹运动的平均快慢，又引入平均速率概念．质点经过的路程△s与经过这一段路程所用时间△t之比，称做这段时间的平均速率，用v表示，即

(1.11)

可见，平均速率是标量，它等于质点在单位时间内所通过的路程，因此平均速率和平均速度是两个不同的概念，只有当质点在直线上沿固定方向运动时，两者的量值才相等．

当△t→0时，弦长|△r|无限接近于对应的路程△s，故瞬时速率可以表示为

(1.12)

瞬时速率是标量，它反映质点在该时刻运动的快慢，其量值等于该时刻速度的大小．

速度和速率的单位同为米·秒^-1（m·s^-1）．

（3）速度在直角坐标系中的表示

瞬时速度v在直角坐标系Oxyz中的正交分解式为

v=v_xi+v_yj+v_zk

将（1.2）式对时间求导，得

(1.13)

与前式对比，得

即瞬时速度矢量的投影等于位置坐标对时间的一阶导数．v_x，v_y，v_z为代数量，可取正值也可取负值．

瞬时速度的大小和方向余弦可表示如下：

例3 已知一质点沿x轴运动，其运动方程为

解根据速度的定义，通过对质点的运动方程的徽分运算即可求出它的速度．

根据式（1.6），该质点的速度为

这个结果说明，质点的速度按正弦规律作周期性的变化，可正可负．若速度为正，则其方向沿x轴正方向；若速度为负，则其方向沿x轴负方向．所以，质点将在x轴上往复运动．这种按正弦或余弦规律的往复运动，叫作简谐振动．

1.1.5 加速度

质点运动时，瞬时速度大小和方向都可能变化，为了描述各个时刻速度矢量变化的情形，我们引入加速度的概念．

1．加速度

（1）平均加速度

设质点在t时刻的速度为v（t），经△t后速度变为v（t+△t），如图1-7所示，速度增量△v=v（t+△t）-v（t）与发生这一增量所用

(1.14)

平均加速度与一定时间间隔相对应，其大小反映△t时间内速度矢量的平均变化率，其方向沿着速度增量△v的方向．

（2）瞬时加速度

平均加速度只能近似地描述△t时间内速度变化的情况．显然，时间

称加速度，记作a．

(1.15)

即质点的瞬时加速度等于速度矢量对时间的变化率或一阶导数．又因

故得

(1.16)

即瞬时加速度等于位置矢量对时间的二阶导数．

加速度是矢量．加速度的方向为△v的极限方向，在一般情形下，△v的极限方向与速度v的方向并不一致，因而a的方向与v的方向不一致．例如在图1-8所示的斜抛运动中，质点在轨道上各点的速度都沿轨道切线方向，而加速度方向则总是向下的．从这个例子可以看出a的大致趋势：质点作曲线运动时，a的方向总是指向曲线凹的一侧．只有在质点的直线运动中，加速度的方向和速度的方向总是相同或相反．

加速度的大小，即

代表速度增量的大小随时间的变化率．值得提出的是，要正确理解加速度这一概念，必须注意它是与速度矢量增量△v密切相关的，因此，在运动过程中，不论速度的大小有改变或是速度的方向有改变，都是速度矢量有了变化。加速度都不等于零．例如，对匀速率曲线运动（例如匀速率圆周运动），虽然速度的大小保持不变，可是速度的方向不断变化，

在国际单位制中，加速度的单位是米／秒²（m·s^-2）．

2．加速度在直角坐标系中的表示式

将式（1.9）代入式（1.10），可得加速度在直角坐标系中的正交分解式

(1.17)

以a_x，a_y，a_z表示a在x，y，z轴上的投影：

(1.18)

即瞬时加速度在坐标轴上的投影等于位置坐标对时间的二阶导数．

由前面讨论得到了质点的位置矢量、速度和加速度在直角坐标系中的正交分解式．这些式子表明，任何一个曲线运动都可分解成为沿x，y，z三个方向的直线运动，每个方向上的运动是相互独立的，整个运动可看成是沿三个坐标轴直线运动的叠加，这就是运动的叠加原理．因为直线运动的描述最简单，每一个直线运动只需要用相应的坐标以及速度、加速度的投影就可以表示出来，所以利用直角坐标系可以把矢量问题化为较简单的标量问题处理．在分别研究了沿各个坐标轴方向的直线运动之后，整个运动可以由矢量叠加而求得．这样实际上对一般曲线运动的研究都可归结为对直线运动的研究．本节讨论的问题仅限于质点的二维或一维运动。

例4 如图1-9所示，已知物体由地面射出，其射出时相对于地面的速度为v₀射角为θ₀。，若不计空气阻力和风力等影响，试求：

（1）物体在任一时刻的速度和位置；

（2）到达最高点所需时间及最大飞行高度；

（3）由发射到落回地面所需时间和物体的射程；

（4）物体的运动轨迹．

解建立直角坐标系Oxy，坐标原点在物体发射处，x轴滑水平方向，y轴竖直向上，发射物速度v₀在Oxy平面内物体所作的抛体运动为平面运动（二维运动）．如图1-9所示．

（1）物体飞行时的加速度为重力加速度g，故

a_x=0，a_y=-g．

对时间积分得

选择发射时为计时起点，则速度初始条件为

t=0，v_ox=v₀cosθ₀，v_oy=v₀sinθ₀

代入上式得任一时刻物体的速度为

计算v_x和v_y对时间的积分

根据以上计时起点和坐标系的选择，位置坐标的初始条件为

t=0，x₀=y₀=0

代入上式即得到任一时刻物体的坐标为

上式即为抛体运动方程的标量形式，也可写成矢量式

（2）设物体到达最高点所需的时间为t_H，到达的最大高度为H，此时，速度的竖直分量为零，即v_y=0，代入v_y=v₀sinθ₀-gt，即得

的飞行总时间为

对应于y=0的另一个解t=0，表示物体在起点的时刻．

以T值代入x=v₀cosθ₀t，解得射程

（4）从函数x（t），y（t）中消去t，可以得到物体的轨迹方程

这就是真空中的弹道方程，表明物体飞行轨道是抛物线．上面的讨论没有考虑到空气阻力的影响，所得结论只有在空气阻力极小的情况下才比较符合实际．物体在空气中运动受到的阻力与物体本身的形状，空气的密度，特别是和物体的速率有关．物体速率越小，空气阻力的影响越小，抛体的运动越接近我们讨论的理想情况．

例5 已知一质点沿x轴运动，其位置矢量为

A、ω为常数，求该质点的加速度．

解根据式（1.16），

前面在例3中已说过这种运动叫简谐振动．以上计算结果进一步说明，简谐振动的一个特点是，其加速度的方向与位量矢量的方向相反，加速度的大小与位置矢量的大小成正比．

3．切向加速度和法向加速度

质点运动的加速度，也可用自然坐标将a正交分解为切向加速度和法向加速度，如图1-10所示．如质点在A处，可在此处取一单位矢量沿切线方向，叫做切向单位矢量，记作τ，加速度沿此方向的投影称做切向加速度．另取一单位矢量沿曲线法线且指向曲线的凹侧，称做法向单位矢量，记作n，加速度沿此方向投影称做法向加速度．

我们首先就圆周运动讨论质点的法向加速度和切向加速度．然后推广至一般平面曲线运动．

质点作圆周运动，如图1-11所示．设在任一段时间内质点由P点运动到Q点，质点在这段时间内沿圆轨道所经过的路程即弧长为△s，它所对应的圆心角为θ，则

△s=Rθ

将上式代入式（1.12），可求得质点速度的大小，即速率等于

(1.19)

以，上式说明，质点作圆周运动时，其线速度等于圆周半径与其角速度的乘积．速度方向沿着运动轨迹在该点的切线并指向运动的前方．

质点作圆周运动时，如果其线速度的大小不随时间改变．则这种运动叫做匀速率圆周运动，否则就叫做变速率圆周运动．但是，不论质点运动的线速度的大小是否随时间改变，由于其速度矢量的方向总在不断地改变着，所以作圆周运动的质点的加速度不等于零．

现在先来讨论质点作匀速率圆周运动的加速度．

图1-12a中，设圆半径为R， t时刻质点位于P点，速度为v（t）， t+△t时刻到达Q点，速度为v（t+△t）．

为了计算出 a，可将矢量v（t）和v（t+△t）平移并画三角形 ABC，如图1-12b所示．因为v（t）重直于OP，v（t+△t）垂直于OQ，所以△t和v（t+△t）之间的夹角也是△θ，即在△t时间内速度方向转过了△θ角．可见，虽然速度大小不变，但因为速度的方向有变化，所以△v≠0．由加速度的定义式，t时刻（在P点）的加速度为

加速度的大小

故

因此加速度的大小为

(1.20)

由于v=ωR，代入上式，a又可以表示为

(1.21)

这就是说，在匀速率圆周运动中，质点的瞬时加速度的大小是一个

方向．于是，由上述得

(1.22)

由此可见，作匀速率圆周运动的质点具有指向圆心或沿法向单位矢

弯曲使速度方向发生变化引起的，是直线运动所没有的．

在变速率圆周运动中，质点速度的大小和方向都随时间改变，所以加速度a和速度v既不会象在直线运动中那样在同一直线上，也不会象在匀速率圆周运动中那样互相垂直，而是夹某一角度，如图1-13所示．这个夹角也可能随时间改变．

因此，在变速率圆周运动中，可将质点在任一时刻或质点在轨道上任一点的加速度正交分解为切向和法向两个分量，即

a=a_τ+a_n

（1.23）

加速度的大小为

(1.24)

加速度的方向以a和该时刻的速度v之间的夹角α表示时，有

（1.25）

法向加速度a_n和向心加速度相同，它反映速度方向的变化率；切向加速度a_τ反映质点速率（速度大小）的变化率，切向加速度可表示成

（1.26）

其大小为

（1.27）

这样，式（1.23）可写成

虽然以上结论是讨论圆周运动得到的，但也可应用到一般的曲线运动，因为一般曲线运动的每一小段都可看作是某一圆的一部分，只是不同小段所对应的圆半径不同而已，见图1-14．曲线上M点附近的一小段所对应的圆称为曲率圆，圆半径称为曲线在该处的曲率半径，用ρ表示．一般曲线运动的加速度可表示为

这种用法向分量和切向分量来表示加速度的方法叫作加速度在自然坐标中的表示法．

质点运动时，如果同时有法向加速度和切向加速度，则质点的速度大小和方向都改变．如果a_n=0，则a=a_τ，质点作变速直线运动；如果a_τ=0，则a=a_n，质点作匀速率曲线运动，若a_n只是方向改变而大小不变，即a_n=常量时，作匀速率圆周运动．因此，直线运动和匀速率圆周运动都是一般曲线运动的特例．

例6 列车出站时，由静止开始速率均匀增大，其轨道为半径R=800m的圆弧．已知离开车站一分钟时列车速率为24km·h^-1（公里／小时），求在离开车站两分钟时的切向加速度、法向加速度和总加速度．

解由于速率均匀增加，因此切向加速度大小不变，

已知在△t=1min内，速率增量△v=24km·h^-1，故

欲求t=2min时的法向加速度a_n，应先求出这一时刻的速率v．因为初速为零，故

v=a_τt．

t=2min时的法向加速度的大小

这一时刻的总加速度大小

a与v之间夹角

微分形式与同调论浅析

Chern posted @ 2014年9月23日 10:46 in 数学物理 , 391 阅读

原文于2012-5-8 09:39 发表于繁星客栈，因繁星客栈瘫痪，故转载至此处。
据说科大本科生就学过群论和场论了，前两天殷义豪学长又推荐了一本写给本科生的弦论教材。那么，本科生可不可以学同调论呢？在这篇文章里，我们就来进行这种尝试。为了易于理解，请允许我以物理学家们的直观风格来阐述这极其抽象晦涩的数学理论。当然，虽然本文不需要很深数学基础，但如果你对四大力学、张量和群论的一点入门知识都不了解的话，文中某些论述也可能让你感到莫名其妙。所以建议你先读读我以前的拙作《漫谈抽象代数》和《现代微分几何的基本概念》。
你可能读过我的《漫谈抽象代数》或《现代微分几何的基本概念》，学过或自学过点集拓扑，但我还是想强调一下。现代数学是一种结构数学。现代物理中的数学方法是从（可微）流形开始的，而流形是从拓扑空间开始的，拓扑空间又是从集合论开始的。我们在集合上进行不同的运算，就构造了不同的空间。例如，引入加法和数乘，就定义了线性（矢量）空间，引入内积运算就定义了度量空间。事实上，我们也可以不引入距离的概念，只类比开区间的概念由邻域来定义开集，通过一个点集的每个开邻域都与n维欧式空间同胚（连续的一一映射）来定义流形。集合是静态的，但映射是动态的，所以集合上就可以有导数与微分这些与运动相关的概念。例如U与V交集中的点P经f与g分别映射为x与y，则取f的逆映射将x映回P，再映到y就给出y与x的函数关系，于是可以求y对x的导数（这就是映射的微分）。流形的可微性使得我们能够赋予它大量的结构，如微分形式、李导数（关键是构造一种拉回映射）、张量（纤维丛、联络）等。本文主要讨论微分形式，关于丛上的群结构和联络结构的讨论留到下一篇日志。好了，闲话少说，让我们进入正题。什么是同调，它与物理学什么关系呢？为了从认识论的深度说清楚这个问题，我们需要一些预备知识。
一、微分形式的基本概念
1.对偶空间
如前所述，对加法和数乘运算封闭的集合即为向量空间，我们用V表示。V的对偶空间V*是向量空间V上的线性函数构成的集合（用α，β，γ，…表示这些函数），V*中的元素称为对偶向量（或线性微分式）。函数α在u上值用αu表示。V*中的元素满足左分配律α(u+v)=αu+αv，α(cu)=c(αu)和右分配律(α+β)u=αu+βu，(cα)u=c(αu)，即对于α和u都是线性的，即定义了一个双线性映射。在V中， $u = x^i e_i$ ；在V*中， $\alpha = \eta _i \varepsilon ^i$ ，且 $\varepsilon ^i e_j = \delta _j^i$ ，故α为u的对偶向量， $\varepsilon ^i$ 为 $e_j$ 的对偶基向量（也称具有上标的 $\varepsilon ^i$ 为逆变基向量，具有下标的 $e_j$ 为协变基向量）。
2.格拉斯曼代数
一个代数，是指这样的一个集合A，在这个集合中可有三种运算：数乘、加法、乘法。A在前两种运算下是一个向量空间，在后两种运算下是一个环。格拉斯曼代数G(V)是由V构造的：对V中任意x，y，定义x∧y=-y∧x，x∧x=0称楔形积∧为外积（对两个向量而言，外积即为矢量叉积），则对于V中一组基1， $e_1$ ， $e_2$ ，…， $e_n$ ，由1可张成1维子空间 $\Lambda ^0$ ，由 $e_i$ 可张成n维子空间 $\Lambda ^1$ ，由 $e_{i_1 } \wedge e_{i_2 }$ 可张成 $C_n^2$ 维子空间 $\Lambda ^2$ ，…，由 $e_{i_1 } \wedge e_{i_2 } \wedge \cdots \wedge e_{i_p }$ 张成 $C_n^p = \frac{{n!}}{{p!(n - p)!}}$ 维子空间 $\Lambda ^p$ ，由 $e_1 \wedge e_2 \wedge \cdots \wedge e_n$ 张成1维子空间 $\Lambda ^n$ ，这些子空间的直和
$G(V) = \sum\limits_{p = 0}^n { \oplus \Lambda ^p (V)} = \Lambda ^0 \oplus \Lambda ^1 \oplus \cdots \oplus \Lambda ^n$
为 $C_n^0 + C_n^1 + \cdots + C_n^n = 2^n$ 维向量空间，称为外向量空间或向量空间V的格拉斯曼代数，其中 $\Lambda ^p (V)$ 为生成此外代数的一组基。
类似地，对于对偶空间V*也有外代数 $G(V*) = \sum\limits_{p = 0}^n { \oplus \Lambda ^p (V*)}$ .特别有意义的是，它的子空间的元素 ${\Lambda ^p (V*)}$ 称为向量空间V上的p次外微分形式，它是V上的反对称p重线性函数。
3.流形上的微分形式
设M为n维（无穷阶可微）流形，x为M上一点，U为M上点x的坐标邻域，Tx为点x处M的切向量空间，Tx*为Tx的对偶空间（或称余切空间）。对U中任意一点x，在余切空间中构造一个元素 $\omega = a_i dx^i$ ，它是一个从x到ω(x)的映射，称ω为1次微分形式。为了得到更高次微分形式，我们利用格拉斯曼代数。令Vx=Tx*，
则 $G(T_x^ * ) = \Lambda _x^0 \oplus \Lambda _x^1 \oplus \cdots \oplus \Lambda _x^n$
其中 $\Lambda _x^0$ 是一维实矢量空间， $\Lambda _x^1$ 是元素为 $a_i dx^i$ 的向量空间（以 $dx^i$ 为基）， $\Lambda _x^2$ 是元素为 $\sum\limits_{i_1 < i_2 } {a_{i_1 i_2 } dx^{i_1 } \wedge dx^{i_2 } }$ 的向量空间（ ${dx^{i_1 } \wedge dx^{i_2 } }$ 为基）， $\Lambda _x^p$ 是以 ${dx^{i_1 } \wedge dx^{i_2 } \wedge \cdots \wedge dx^{i_p } }$ 为基，
$\sum\limits_{i_1 < \cdots < i_p } {a_{i_1 i_2 \cdots i_p } dx^{i_1 } \wedge dx^{i_2 } \wedge \cdots \wedge dx^{i_p } }$ 为元素的 $C_n^p = \frac{{n!}}{{p!(n - p)!}}$ 维向量空间，
$\Lambda _x^n$ 是以 $dx^1 \wedge dx^2 \wedge \cdots \wedge dx^n$ 为基的一维向量空间。
综上所述，M上的p次微分形式 $\omega ^p$ 是M上的一个映射，它将M上任一点x映成 $\Lambda _x^p$ 中的一个元素，即
$\omega ^p :x \to \omega ^p (x) = a_{i_1 i_2 \cdots i_p } dx^{i_1 } \wedge dx^{i_2 } \wedge \cdots \wedge dx^{i_p }$
我们把该p次微分形式的全体的集合记为 $F^p (M)$
4.霍奇星算子
为讨论对偶微分式，引入*算子作为一对向量空间 $\Lambda ^p (M)$ 和 $\Lambda ^{n - p} (M)$ 之间的线性变换，即
$* :\Lambda ^p (M) \to \Lambda ^{n - p} (M)$ ，p=0,1,2,…,n.在规范意义下，该映射诱导出微分形式之间有同样的映射 $* :F^p (M) \to F^{n - p} (M)$ .
设 $\omega = \sum {a_{i_1 i_2 \cdots i_p } dx^{i_1 } \wedge dx^{i_2 } \wedge \cdots \wedge dx^{i_p } }$
则 $* \omega = \sum {\eta _{i_1 i_2 \cdots i_p j_1 j_2 \cdots j_{n - p} } a_{i_1 i_2 \cdots i_p } dx^{j_1 } \wedge dx^{j_2 } \wedge \cdots \wedge dx^{j_{n - p} } }$
例如 $df = \frac{{\partial f}}{{\partial x^1 }}dx^1 + \frac{{\partial f}}{{\partial x^2 }}dx^2 + \frac{{\partial f}}{{\partial x^3 }}dx^3$
经*运算后 $\frac{{\partial f}}{{\partial x^i }}$ 不变， $dx^i$ 变成 $\eta _{ijk} dx^j \wedge dx^k$ ，于是有
$* df = \eta _{123} \frac{{\partial f}}{{\partial x^1 }}dx^2 \wedge dx^3 + \eta _{213} \frac{{\partial f}}{{\partial x^2 }}dx^1 \wedge dx^3 + \eta _{312} \frac{{\partial f}}{{\partial x^3 }}dx^1 \wedge dx^2$
由于 $\eta _{123} = \eta _{312} = 1$ ， $\eta _{213} = - 1$ ， $dx^1 \wedge dx^3 = - dx^3 \wedge dx^1$ ，故上式简化为
$* df = \frac{{\partial f}}{{\partial x^1 }}dx^2 \wedge dx^3 + \frac{{\partial f}}{{\partial x^2 }}dx^3 \wedge dx^1 + \eta _{312} \frac{{\partial f}}{{\partial x^3 }}dx^1 \wedge dx^2$
5.微分形式的外微分
设有一零次微分形式 $f \in F^0 (M)$ ，令 $X = \sum\limits_{i = 1}^n {x^i \frac{\partial }{{\partial x^i }}}$ 为切向量空间Tx(M)中的一个向量，则
$df(X) = \frac{{\partial f}}{{\partial x^i }}dx^i \cdot x^j \frac{\partial }{{\partial x^j }} = \frac{{\partial f}}{{\partial x^i }}x^j \delta _j^i = x^i \frac{{\partial f}}{{\partial x^i }} = X(f)$
这表明，d作为一个微分算子是从 $F^0$ 到 $F^1$ 的映射。相应地，可定义 $d:F^p (M) \to F^{p + 1} (M)$ 为由p次微分形式的空间到p+1次微分形式的空间的映射，称为微分形式的外微分，它将p次微分形式
$\omega = \sum\limits_{i_1 < \cdots < i_p } {a_{i_1 i_2 \cdots i_p } dx^{i_1 } \wedge dx^{i_2 } \wedge \cdots \wedge dx^{i_p } }$
变成
$\begin{array}{l} d\omega = \sum\limits_{i_1 < \cdots < i_p } {da_{i_1 i_2 \cdots i_p } \wedge dx^{i_1 } \wedge dx^{i_2 } \wedge \cdots \wedge dx^{i_p } } \\ + ( - 1)^0 a_{i_1 i_2 \cdots i_p } d(dx^{i_1 } \wedge dx^{i_2 } \wedge \cdots \wedge dx^{i_p } ) \\ \end{array}$
经过p次交换d算子的位置，可以由证明上式第二项为零（p个零之和），于是有
$d\omega = \sum {\frac{{\partial a_{i_1 i_2 \cdots i_p } }}{{\partial x^j }}dx^j \wedge dx^{i_1 } \wedge dx^{i_2 } \wedge \cdots \wedge dx^{i_p } }$
则
$d^2 \omega = d \circ d\omega = \frac{{\partial ^2 a_{i_1 i_2 \cdots i_p } }}{{\partial x^j \partial x^k }}dx^k \wedge dx^j \wedge dx^{i_1 } \wedge dx^{i_2 } \wedge \cdots \wedge dx^{i_p }$
交换指标k和j，由于 $dx^k \wedge dx^j = - dx^j \wedge dx^k$ ，于是 $d^2 \omega = - d^2 \omega$ ，故
$d^2 \omega = d \circ d\omega = 0$
6.梯度、旋度、散度、拉普拉斯算子
（1）grad f=▽f=dfº，即零次微分形式的一次外微分运算即为标量函数的梯度。
（2）设 $\omega ^1 = a_i dx^i = A$ ，
$d(a_1 dx^1 + a_2 dx^2 + a_3 dx^3 )$
$= (\frac{{\partial a_1 }}{{\partial x^1 }}dx^1 \wedge dx^1 + \frac{{\partial a_1 }}{{\partial x^2 }}dx^2 \wedge dx^1 + \frac{{\partial a_1 }}{{\partial x^3 }}dx^3 \wedge dx^1 )$
$+ (\frac{{\partial a_2 }}{{\partial x^1 }}dx^1 \wedge dx^2 + \frac{{\partial a_2 }}{{\partial x^2 }}dx^2 \wedge dx^2 + \frac{{\partial a_2 }}{{\partial x^3 }}dx^3 \wedge dx^2 )$
$+ (\frac{{\partial a_3 }}{{\partial x^1 }}dx^1 \wedge dx^3 + \frac{{\partial a_3 }}{{\partial x^2 }}dx^2 \wedge dx^3 + \frac{{\partial a_3 }}{{\partial x^3 }}dx^3 \wedge dx^3 )$
由于 $dx^1 \wedge dx^1 = dx^2 \wedge dx^2 = dx^3 \wedge dx^3 = 0$ ，
$dx^2 \wedge dx^1 = - dx^1 \wedge dx^2$ ， $dx^3 \wedge dx^2 = - dx^2 \wedge dx^3$ ，
$dx^1 \wedge dx^3 = - dx^3 \wedge dx^1$
故
$\begin{array}{l} d\omega = (\frac{{\partial a_2 }}{{\partial x^1 }} - \frac{{\partial a_1 }}{{\partial x^2 }})dx^1 \wedge dx^2 \\ + (\frac{{\partial a_3 }}{{\partial x^2 }} - \frac{{\partial a_2 }}{{\partial x^3 }})dx^2 \wedge dx^3 + (\frac{{\partial a_1 }}{{\partial x^3 }} - \frac{{\partial a_3 }}{{\partial x^1 }})dx^3 \wedge dx^1 \\ \end{array}$
由于 $* (dx^2 \wedge dx^3 ) = \eta _{231} dx^1$ ， $* (dx^3 \wedge dx^1 ) = \eta _{312} dx^2$ ， $* (dx^1 \wedge dx^2 ) = \eta _{123} dx^3$ ，故
$* d\omega = (\frac{{\partial a_2 }}{{\partial x^1 }} - \frac{{\partial a_1 }}{{\partial x^2 }})dx^3 + (\frac{{\partial a_3 }}{{\partial x^2 }} - \frac{{\partial a_2 }}{{\partial x^3 }})dx^1 + (\frac{{\partial a_1 }}{{\partial x^3 }} - \frac{{\partial a_3 }}{{\partial x^1 }})dx^2$
这和旋度的表达式一摸一样，故*dA=▽×A=rotA
（3）仍设 $\omega ^1 = a_1 dx^1 + a_2 dx^2 + a_3 dx^3$ ，同理可得
$* d * \omega ^1 = \frac{{\partial a_1 }}{{\partial x^1 }} + \frac{{\partial a_2 }}{{\partial x^2 }} + \frac{{\partial a_3 }}{{\partial x^3 }} = \nabla \cdot A = divA$
（4）给定一个球坐标下的零次微分式f=f(r,θ,φ)，在弯曲时空中作一次外微分运算，得
$df = \frac{{\partial f}}{{\partial r}}dr + \frac{{\partial f}}{{\partial \theta }}d\theta + \frac{{\partial f}}{{\partial \varphi }}d\varphi$
为了进行*运算，需要变换到平直空间： $dx^1 = dr$ ， $dx^2 = rd\theta$ ， $dx^3 = r\sin \theta d\varphi$ ，于是
$df = \frac{{\partial f}}{{\partial r}}dx^1 + \frac{1}{r}\frac{{\partial f}}{{\partial \theta }}dx^2 + \frac{1}{{r\sin \theta }}\frac{{\partial f}}{{\partial \varphi }}dx^3$
现在，作一次*运算，得
$* df = \frac{{\partial f}}{{\partial r}}dx^2 \wedge dx^3 + \frac{1}{r}\frac{{\partial f}}{{\partial \theta }}dx^3 \wedge dx^1 + \frac{1}{{r\sin \theta }}\frac{{\partial f}}{{\partial \varphi }}dx^1 \wedge dx^2$
为了进行外微分运算，需要变换到弯曲空间：
$* df = r^2 \sin \theta \frac{{\partial f}}{{\partial r}}d\theta \wedge d\varphi + \sin \theta \frac{{\partial f}}{{\partial \theta }}d\varphi \wedge dr + \frac{1}{{\sin \theta }}\frac{{\partial f}}{{\partial \varphi }}dr \wedge d\theta$
现在，作一次外微分运算，得
$d * df = \sin \theta \frac{\partial }{{\partial r}}(r^2 \frac{{\partial f}}{{\partial r}})dr \wedge d\theta \wedge d\varphi$
$+ \frac{\partial }{{\partial \theta }}(\sin \theta \frac{{\partial f}}{{\partial \theta }})d\theta \wedge d\varphi \wedge dr + \frac{1}{{\sin \theta }}\frac{{\partial ^2 f}}{{\partial \varphi ^2 }}d\varphi \wedge dr \wedge d\theta$
为了进行*运算，再变换到平直空间，得
$\begin{array}{l} d * df = [\frac{1}{{r^2 }}\frac{\partial }{{\partial r}}(r^2 \frac{{\partial f}}{{\partial r}}) + \frac{1}{{r^2 \sin \theta }}\frac{\partial }{{\partial \theta }}(\sin \theta \frac{{\partial f}}{{\partial \theta }}) \\ + \frac{1}{{r^2 \sin ^2 \theta }}\frac{{\partial ^2 f}}{{\partial \varphi ^2 }}]dx^1 \wedge dx^2 \wedge dx^3 \\ \end{array}$
现在，在进行一次*运算，得
$* d * df = \frac{1}{{r^2 }}\frac{\partial }{{\partial r}}(r^2 \frac{{\partial f}}{{\partial r}}) + \frac{1}{{r^2 \sin \theta }}\frac{\partial }{{\partial \theta }}(\sin \theta \frac{{\partial f}}{{\partial \theta }}) + \frac{1}{{r^2 \sin ^2 \theta }}\frac{{\partial ^2 f}}{{\partial \varphi ^2 }}$
这正是球坐标下拉普拉斯算子的表达式，故有 * d * df =▽²f=Δf
综上所述，dfº=▽f=grad f，*dA=▽×A=rotA ，*d*A=▽·A=divA， * d * df =▽²f=Δf.需要注意的是，求上述量在弯曲坐标系的表达式时，进行d运算前要变换到弯曲空间，进行*运算前要变换到平直空间。
二、同调论的基本概念
1.同伦与同调的基本思想：
设二维平面上有一个圆环，环上有三条封闭曲线l，m，n，其中l不跨过中心的洞，m包围中心的洞，n包围了m.考虑曲线积分∮pdx+qdy，这里p=p(x,y),q=q(x,y)是两个变量的连续函数，它们的偏导数连续且满足əp/əy=əq/əx.那么，沿着闭曲线l的积分为零，沿着闭曲线m和n的积分相等且不为零。拓扑学是专门研究一个物体的“洞”的情况的几何学，只管洞得有无、多少，不管大小，例如，耳洞数相同的女生在拓扑学的意义下是等价的。因为拓扑学的本意是橡皮泥几何学，橡皮泥是可以连续形变的，形变过程中不保距也不保角（这就是为什么我们前面引入拓扑空间时一再强调要暂时忽略距离等度量性质的原因），只保洞数（连续性）不变。我们称能够经过连续形变由此及彼的两个几何对象是同伦的，例如上述闭曲线m和n同伦（但都与l不同伦）.实际上，圆环上任何跨过中心洞的闭曲线都能互相由此及彼，因而都是同伦的。特别地，不跨过中心洞的闭曲线经过连续形变可以收缩为一点，称之为同伦于常值道路（一条曲线就是一条道路）。为什么叫同伦？呵呵，具有相同耳洞数的女生的伦理观念可能是相同的吧。至少，有耳洞的与没耳洞的女生人生价值观不同。
那么，什么是同调呢？通俗地说，如果两条曲线共同围成一个区域的边界，就称它们是同调的。例如上述闭曲线m和n.由于中心洞的存在，m和n都没能围成一个区域（l与洞无关，自身就围成一个区域）。但m与n放在一起（严格地说，曲线是有方向的，应该说m与-n，或m-n）却围成了一个区域，所以它们共同构成一个区域的边界，即它们是同调的。
为什么叫同调？“调”本来是音乐术语，经常听说某某唱歌跑调，那就是不能和原唱所唱的调吻合。特别地，两个人一起唱歌，一个比另一个慢半拍，或比另一个低八度，那么两人一起唱出来的歌就很难听。所以，“调”需要两个人配合。那么，怎么让两条曲线配合？那就是夫唱妻随两人一起共同构成某区域的边界，如上述m与-n。特别地，世上也有奇人，一个人能唱两个调，譬如李玉刚，既能唱男声也能唱女声，所以就不需要人配合。类似地，某些曲线不需要其他曲线配合，自己就能构成一个区域的边界，例如上述曲线l.不需要任何曲线配合，那就同调于零呗。二维闭曲面可以构成三维区域的边界，一维闭曲线可以构成二维区域的边界，那么一个点（零）也可以构成一维区域（线段）的边界，那就是端点呀。
我们把一条曲线称为一条道路，所有同伦的道路构成一个集合，称为（道路）同伦类。一条道路有起点也有终点。如果像羽泉《哪一站》所唱“终点也是起点”，即一条道路的终点是另一条道路的起点时，我们不就可以从这条路走向那条路吗？真是山重水复疑无路，柳暗花明又一村啊。我们把从一条路走向另一条路称为道路的乘积（即定义一种乘法）。设由A到B再到C三条小道连成一条康庄大道，显然，走完AB歇一会再走C，与走完A就歇一会，然后一口气走完BC，结果是一样的。所以，道路的乘法满足结合律。由于任何道路P与常值闭道路l的乘积仍是P，所以常值闭道路可以看作道路的单位元。而道路不是二极管，我们也可以沿着与原来相反的方向走，并称这是逆路。不过，这里倒不用担心不进则退，因为没有水；也不用担心狭路相逢，即使千军万马过独木桥也不会掉河里。综上所述，道路满足封闭性、结合律、有单位元、逆元，所以构成一个群，称为道路的基本（同伦）群。
基本群的思想很简单，但计算上不方便。尤其到了高维同伦群，更是蜀“道”之难，难于上青天。于是，人们转入同调（群）论的研究。
如前所述，能一起构成某一区域边界的两条闭曲线是同调的，独自一人就能构成某一区域边界的闭曲线同调于零。所有同调的曲线构成一个等价类，称为同调类。那么，同调的曲线如何构成群呢？让我们来考察汽车轮胎的内胎，它是三维空间中的二维环面。在环面上有很多封闭曲线，但基本上可分成两类：经圆类m和纬圆类p（类似于地球经纬线，一类沿汽车轮子滚动方向，另一类垂直于该方向）。如果一条闭曲线既沿经圆方向环绕又沿纬圆方向环绕，则可以表示为m与p的线性组合。例如绕经圆2圈绕纬圆3圈，则表示为2m+3p.环面上任意闭曲线具有形式αm+βp（这里α、β是整数）；另外同调类之间可以加减。所以，环面上全体同调类的集合构成一个群，它是具有两个生成元m，p的（自由交换）群，同构于两个整数加群的直和。类似地，双环面（两个车胎对接）是具有4个生成元m1，m2，p1，p2的自由交换群，每一同调类具有α1m1+α2m2+β1p1+β2p2.
当然，这刚刚定义了同调类。要定义同调群，还需要做进一步考察：
所有闭曲线构成一个群，称为闭路群。在这些闭路（闭曲线）中，有的自己一人就构成某区域的边界，有的不能界住任何区域，需要配合其他闭曲线一起才能构成某区域的边界。我们把那些能独自构成某区域边界的闭路称为边缘闭路。所有这些边缘闭路构成一个群，称为边缘群，它是闭路群的一个子群。既然是子群，那么就可以对它作（母群的）商群，也就是在这些闭路中除去那些边缘闭路。我们把这一商群称为同调群。
为什么要除掉那些边缘闭路呢？我们还要引入一些概念，请继续往下看。
2.曲面的多边形表示与三角剖分：
为了计算同调群，我们要化曲为直，即把用直面等价代替曲面进行讨论。
如果你看过足球烯，你就会明白，球面其实是与凸多面体同胚（连续的一一映射）的。所以，我们完全可以用多边形来表示曲面。在曲面上像经纬线那样画一个有限网络，它由有限个顶点和连接这些顶点的有限条弧组成。若它能将曲面分割成有限个同胚于圆盘的区域，我们就称该曲面能剖分成多边形。
在平面上画一些多边形，在多边形顶点上标上字母，在边上标上箭头代表方向，把相同的字母和方向相同的边粘合在一起，将得到一个曲面（特别是如果多边形分布合理的话能构成闭曲面），称为曲面的多边形表示。
给定一个曲面，它的多边形表示不止一种。不同曲面能剖分成的多边形种类不同，有些不能剖分成任意给定的一种多边形。但是，任何曲面都能剖分成三角形。所以，我们今后主要研究曲面的三角剖分。
当然，即使只采取三角剖分，剖分方式也不止一种。例如，正四面体、正八面体、正二十面体都是球面的三角剖分。但对于给定的一种曲面，存在最小的三角剖分（即用最少的三角形数，如球面的最小剖分为正四面体）。
下面，我们就来看看如何进行三角剖分。
首先，剖分要保证每个顶点和每条棱都是某个三角形的顶点和棱；每条棱都是（或至多是）两个三角形公共边；对任意两个三角形，都有一个三角形序列把它们连接起来，使得相邻两个三角形有公共边；
其次，在每个顶点标上字母，由字母的顺序诱导三角形的边及其三角形本身的方向。如果所有相邻三角形的公共边反向，则称这些三角形是协合的。如果一个曲面的三角剖分能指定协合方向，则称该曲面是可定向的。球面、环面都是可定向的，莫比乌斯带是不可定向的。
3.闭链、边缘链和同调群：
为了便于计算同调群，我们只研究一类特殊的空间，它可以看成由一小块一小块我们熟悉的空间“很好地”拼凑（或规则相处，指要么不相交，要么公共部分为它们的公共面单形）起来的，即所谓的可单纯剖分的空间。曲面是二维的，可以用三角形剖分；对高维空间，就要用相当于三角形的“高维砖块”来砌成我们的建筑物了（呵呵，建筑也是一门艺术呢，公园里平面镶嵌的设计者一定是位数学家兼艺术家）。
我们把由一点组成的图形叫做0维单（纯）形，记作σº=＜v。＞；闭线段称为1维单形，记作σ¹=＜v0,v1＞；三角形称2维单形，记作σ²=＜v0,v1,v2＞；四面体称3维单形，记作σ³=＜v0,v1,v2,v3＞…单形σ³=＜v0,v1,v2,v3＞的0维面（即顶点）为＜v0＞,＜v1＞,＜v2＞,＜v3＞；1维面（即棱）有＜v0,v1＞，＜v0,v2＞，＜v0,v3＞，＜v,1,v2＞，＜v1,v3＞，＜v2,v3＞；2维面有＜v0,v1,v2＞，＜v0,v1,v3＞，＜v0,v2,v3＞，＜v1,v2,v3＞.
有限个规则相处（要么不相交，要么公共部分为它们的公共面单形）的单形之和称为一个（单纯）复形，记作K.闭曲面的三角剖分称为单纯剖分。下面，我们来考虑环面的一个选定的单纯剖分K，考虑这个剖分下的定向多边形曲线，方向由顶点的字母顺序诱导，并标在多边形的棱上。若一条棱的顶点为v，w，则用<v,w>表示这条棱，方向由v到w.类似地，若u,v,w是K的一个三角形顶点，则<u,v,w>表示按顶点顺序u，v，w定向的二维单形。只要保证三角形的顶点环绕方向不变，从哪个顶点开始写没有关系。序向的改变用一个负号表示，即满足<w,v>=-<v,w> ，<v,u,w>=-<u,v,w>.定向棱<v,w>的边缘定义为ə<v,w>=<w>-<v>，定向三角形的边缘定义为ə<v,u,w>=<v,w>+<w,u>+<u,v>，即它的定向棱之和。0维单形的边缘定义为零。
任意多边形曲线可以看作其各定向棱之和，其边缘定义为其各定向棱的边缘之和。如果计算得其边缘值为零，则称该多边形曲线没有边缘，即它是闭的。
现在考虑一般情形。K的定向棱以整系数的线性组合为z=λ1<u1,v1>+…+λk<uk,vk>.如果它的边缘əz=0，我们就称z是K的一维闭链。对于K的任意两个1维闭链Σλi<ui,vi>及Σμi<ui,vi>，定义加法Σλi<ui,vi>+Σμi<ui,vi>=Σ（λi+μi）<ui,vi>，则K的全体一维闭链在这个加法下构成一个（交换）群，称为一维闭链群，记作Z1(K).如果一个闭链能找到定向三角形的一个整系数的线性组合，使得它的边缘恰是这个闭链，就称该闭链为一个边缘链。全体一维边缘链构成一维闭链的一个子群，称为一维边缘链群，记作B1(K).我们感兴趣的是包围一个洞的闭链，即非边缘的闭链。为了从闭链中除去那些边缘链，我们将闭链对边缘链作商群运算，即H1(K)=Z1(K)/B1(K)，并把该商群称为一维同调群。该定义可推广到p维。
据定义，若两个闭链相差一个边缘链（如前述的闭曲线m与n），则它们是同调的。
三、微分形式与同调论的联系
1.闭形式与恰当形式：
若ω=dθ，则称ω为恰当形式；若dω=0，则称ω为闭形式。因为ddω≡0，故恰当形式一定是闭形式，这称为庞加莱引理。一般情况下，其逆命题不成立。但是可以证明，在局域单连通邻域上，闭形式也是恰当形式。
2.微分形式的积分：
在R¹中，取一闭区间[a,b]=D，将D的有向边缘记为əD=ə(a,b)=b-a，其中ə称为边缘算子。于是牛顿-莱布尼茨公式为 $\int_D {df} = f(b) - f(a) = \int_{\partial D} f$ ，该公式反映了1维体积分和（2-1）维边界上的积分的联系。
在R²中，令ω¹=Pdx+Qdy，则
$d\omega ^1 = (\frac{{\partial Q}}{{\partial x}} - \frac{{\partial P}}{{\partial y}})dx \wedge dy$
于是格林公式
$\int_D {(\frac{{\partial Q}}{{\partial x}} - \frac{{\partial P}}{{\partial y}})dxdy} = \int_{\partial D} {Pdx + Qdy}$
即简化为 $\int_D {d\omega } = \int_{\partial D} \omega$ ，该公式揭示了2维体积分与（2-1）维边界上积分的联系。
在R³中，令ω¹=Pdx+Qdy+Rdz，则斯托克斯定理简化为∫∫Ddω¹=∮əDω¹
在R³中，令ω²=Pdy∧dz+Qdz∧dx+Rdx∧dy，则高斯定理简化为∫∫∫Ddω²=∮əDω²
上述四个公式可统一地写成 $\int_D {d\omega } = \int_{\partial D} \omega$ ，称为广义斯托克斯公式。由此可见，采用微分形式的表述方式，不仅反映了定理本身内容，而且反映了坐标变换时表达式的协变规律。
在微分形式框架下表述的广义斯托克斯公式，可推广到n维域D上n次微分形式ω和（n-1）维边界əD上（n-1）次微分形式之间。在n维流形M中取一有界闭区域D，其定向与M一致。D的边界为əD，其定向由D诱导。只要有界区域D能被基本单纯形（点、线段、三角形、四面体等）剖分，则在D上的积分就是在用来剖分的单纯形上的积分之和。在əD上的积分就是沿每个单纯形边界的积分之和。当沿内部边界积分相加时，两次取向相反的每两个积分抵消，从而得到沿整个区域边界上的积分。
积分区域的三角剖分与前面讲的闭曲面的三角剖分完全类似，将一小块一小块区域累加起来得到等于一大圈边界上面积的思想也与拓扑学中将一毫升空气一毫升空气吹进气球得到整个气球体积的思想不谋而合，这就预示着我们可以类比闭曲面的同调理论建立微分形式的同调理论，这就是我们下面要讲的德拉姆上同调。
3.德拉姆上同调：
类似于“若两个闭链相差一个边缘，则这两个闭链是同调的”，我们可以定义微分形式的同调：若两个p次闭微分形式ω1与ω2仅仅相差一个恰当微分形式dθ，即ω1=ω2+dθ，则称这两个闭形式是同调的，记作ω1~ω2.
类似于闭曲面的同调群是闭链群对边缘链群的商群，我们将p次闭微分形式构成的向量空间 $\mathop {F^p }\limits^ \circ (M)$ 对p次恰当微分形式构成的向量空间 $dF^{p - 1} (M)$ 的（同余）商空间
${{\mathop {F^p }\limits^ \circ (M)} \mathord{\left/ {\vphantom {{\mathop {F^p }\limits^ \circ (M)} {dF^{p - 1} (M)}}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} {dF^{p - 1} (M)}}$
定义为微分形式的同调群，记作
$H^p (M) = {{\mathop {F^p }\limits^ \circ (M)} \mathord{\left/ {\vphantom {{\mathop {F^p }\limits^ \circ (M)} {dF^{p - 1} (M)}}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} {dF^{p - 1} (M)}}$
例如，球面S²的德拉姆上同调群H¹(S²)=0，即球面上每个（1次）闭微分形式都是恰当微分形式。
类似于前面闭曲面“边缘的边缘等于零”，即ə·əD≡0，我们有d·dθ=0，即恰当微分形式dθ上同调于零，
${dF^{p - 1} (M)}$ 是上同调于零的若干个p次（恰当）微分形式构成的群（集合）。以元素
$[\mathop \omega \limits^ \circ ] \in H^p (M)$ 标记闭微分形式 $\mathop \omega \limits^ \circ$ 对特指的等价关系的等价类，称为上同调类，矢量空间 $H^p (M)$ 的维数就是线性独立的上同调类的数目。
同调类可能太抽象了，不好理解。其实，正如我在《漫谈抽象代数》一文中所讲的，我们可以在一个集合中，将具有相同属性的归为一类，不同的归为不同的类，然后，在全集中把某一类（集合的子集）除去（或说忽略掉），这就是商集合（商空间、商群也是这个意思）。最简单的例子就是同余类（余数相同的归为一类，如被3除，余数为0的归为一类，余数为1的归为一类，余数为2的归为一类）。再通俗点说，把头发颜色相同的女生归为一类。集合的概念就像家庭一样，它里面的元素就是它的家庭成员，也像人类一样吃饭时有不同的口味。假如我们把所有微分形式看成一个大家庭，这个家庭里喜欢吃面食的成员叫做闭微分形式，喜欢吃面条的成员叫做恰当微分形式，那么我们就可以蒸一锅馒头（是面食但不是面条），让喜欢吃面条的成员饿着，这就叫商群，呵呵，明白物以类聚、人以群分的道理了吧。
理解任何同调群都有个原则性的困难，那就是何为商群；理解上同调群这个特定同调群有个困难，那就是微分形式与曲面拓扑性质无关，只有到把它积分时（广义斯托克斯公式）才能找到与曲面拓扑的关系——积分区域也可以像闭曲面一样作三角剖分。
四、同调论与物理学
（1）经典力学
考察一个质点的的单一自由度运动，其相空间是二维的。再加上一维时间，就构成三维流形，其基矢选为dq,dq',dt.构造ω¹=(əT/əq')dt,θ¹=-Udq，则
$d * \omega ^1 = \frac{d}{{dt}}\left( {\frac{{\partial T}}{{\partial \dot q}}} \right)dt \wedge d\dot q \wedge dq$
$d * \theta ^1 = - \frac{{\partial U}}{{\partial q}}dq \wedge dt \wedge d\dot q$
这是M³中同一点的两个恰当微分形式，它们上同调于零，即d*ω¹=0+d*θ¹.移项，得
$[\frac{d}{{dt}}\left( {\frac{{\partial T}}{{\partial \dot q}}} \right) + \frac{{\partial U}}{{\partial q}}]dt \wedge d\dot q \wedge dq = 0$
微分形式基底不为零，故
$\frac{d}{{dt}}\left( {\frac{{\partial T}}{{\partial \dot q}}} \right) + \frac{{\partial U}}{{\partial q}} = 0$
注意到L=T-U，则有
$\frac{d}{{dt}}\left( {\frac{{\partial L}}{{\partial \dot q}}} \right) - \frac{{\partial L}}{{\partial q}} = 0$
这就是自由质点的拉格朗日方程。
值得注意的是，就理论框架而言，我们未涉及最小作用量原理。我们输入的仅仅是动量和势的一次微分形式，然后按微分形式所遵循的规律作允许的运算，，不再输入先验的原理，就得到预期的结论。所以，用上同调来建立线性模型的动力学方程的方法具有明显的优越性——不仅简洁，还有丰富的代数和几何意义。可以断言，微分形式的上同调理论给出了所有线性动力学方程的框架。一旦有恰微分式上同调，就自然地导出一级变分为零的必然结果。
（2）热力学
由d(AdB)=-d(BdA)，可得d(TdS-pdV)=d(TdS+Vdp)=0，故TdS+Vdp必为某恰当微分形式，实际上TdS+Vdp正是dH.同理可得dF，dG.
由dE=TdS-pdV，作一次外微分运算，有ddE=(əT/əV+əp/əS)dV∧dS=0，即得əT/əV+əp/əS=0，即əT/əV=-əp/əS.这就是麦克斯韦关系之一。同理，由ddH=0，ddF=0，ddG=0可得另三个麦克斯韦关系。
（3）电动力学
考虑平直的闵可夫斯基四维流形，设四维势为 $\omega ^1 = A_0 dx^0 + A_1 dx^1 + A_2 dx^2 + A_3 dx^3$ ，
作两次外微分运算，由ddω¹=0可得
$\frac{{\partial F_{\mu \upsilon } }}{{\partial x^\gamma }} + \frac{{\partial F_{\lambda \mu } }}{{\partial x^\upsilon }} + \frac{{\partial F_{\upsilon \lambda } }}{{\partial x^\mu }} = 0$
此即▽·B=0和▽×E+əB/ət=0
又设四维电流密度为 $\gamma ^1 = j_0 dx^0 + j_1 dx^1 + j_2 dx^2 + j_3 dx^3$
由*δω²=(-1)²d*ω²=*γ¹可得
$\frac{{\partial F_{\mu \upsilon } }}{{\partial x^\upsilon }} = j_\mu$
此即▽·E=ρ和▽×B-əE/ət=j.
（4）量子力学/规范场论
我们可以类比上同调定义相关同调、泛同调，从而把同调论推广到非线性领域，例如杨-米尔斯方程。这方面的理论还处于研究阶段，暂不介绍。
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同调论到此为止，下面说说现代数学对现代物理学的意义。很多物理学家，尤其是实验物理学家和应用物理学家排斥数学，好像用不着演绎，自然规律都能从唯象中归纳出来似的。我想，大家都听说过“欲穷千里目，更上一层楼”吧。要想看得更远，需要站在巨人的肩膀上。纵观物理学史，几乎每一次数学形式的进步都大大地促进了物理学的发展。且不说圆锥曲线理论对发现行星运动定律的影响，且不说微积分对研究变加速、不规则和非线性问题的影响，那些都是几百年前的事了，我们且来看看近代的例子。
大家都知道爱因斯坦提出了广义相对论，但广义相对论是怎么提出的，这其中经历了多少坎坷却不是一本科普书能讲得清楚的。广义相对论的物理思想是非常简单的，但为什么老爱有了这个想法后又经历了好几年才给出引力场方程呢？不是他脑子笨，而是当时黎曼几何还不成熟，没人会想到那正是适合于描述引力的语言。爱因斯坦在建立相对论的过程中发展了黎曼几何，从这个意义上讲他也算半个数学家吧。
那么，与相对论并驾齐驱、共同构成现代物理学支柱的量子力学又如何呢？这就不能不说说经典力学的发展。为了使经典力学适用范围更广泛，拉格朗日等人将数学分析引入牛顿力学，用更广泛的能量、动量概念代替力、加速度等概念，得到分析力学。后来的发展表明，牛顿力学不适合描述高速和微观现象，而从分析力学的变分原理（最小作用量原理）出发却可以导出电动力学、量子力学、统计力学乃至全部物理学。而最小作用量原理又是微分形式上同调于零的必然结果。可见，数学形式的发展对物理学的影响是非常巨大的，数学虽是形式，但形式中蕴含了物理内容。
谈到作用量，就不得不谈一下对称性。诺特定理表明，作用量的每一个连续对称性都对应一种守恒律。例如，动量是空间平移变换的生成元，空间平移对称性就导致动量守恒；角动量是空间旋转变换的生成元，空间旋转对称性就导致角动量守恒，等等。量子力学中，很多时候并不需要具体计算某些细节，只要进行对称性分析就能简洁地得到结论。所以，对称性分析有利于量子力学的发展。那么，用什么描述对称性呢？那就是群论。例如，前面谈到的角动量，就可以用SO(3)描述。量子力学的角动量问题，就是要解SO(3)的李代数方程。
谈到对称性，还不得不谈一谈规范场。例如电磁场就是U(1)规范场，杨-米尔斯场就是SU(2)规范场。群论可以帮助我们统一基本相互作用，例如SU(2)×U(1)统一了弱相互作用和电磁相互作用。所以，群论对物理学发展具有重大意义。
谈到规范场，还不得不谈一谈纤维丛。在柱形磁场外面运动的电子为什么会发生干涉呢？因为场强为零但规范势不为零。在微分几何中，场强就是纤维丛的曲率，规范势就是纤维丛的联络。由于柱形磁场的存在，空间的拓扑性质发生了变化，由单连通变成了多连通。于是，当矢量绕行一周回到原位置时就相差了一个相因子，并且与初始状态不等价。为了描述这种现象，就要引入空间的自同构变换，这些自同构变换构成一个群，它就是联络的和乐群。
综上所述，数学形式的发展对于物理学的进一步发展是至关重要的，绝不是一种故意显酷的装B行为。
欲知如何从黎曼几何导出广义相对论，如何用李群分析量子力学，如何从纤维丛导出规范场，请听下回分解。

phymath999

Sunday, November 8, 2015

polik vector tensor 并矢既不是点积，也不是叉积，而是矢量的直积或直乘。基张量是两个基矢的并矢，所以属于二阶基张量; 因为其结果已经超出了原来的矢量空间，所以属于外积的一种

（原创）矢量的直积——并矢

（原创）什么是一阶张量？（图）

微分形式与同调论浅析

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