本文译自 Philip Hall, What is Modern Algebra about, Eureka, 3 (1940), 12-14. 作者Philip Hall(1904--1982)，英国数学家，主要工作在群论，组合学中的婚姻定理(marriage theorem)也归功于他。Hall对近世代数的发展有很大影响，他指导的博士生 Garrett Birkhoff(1911--1996) 与 Paul Cohn(1924--2006)对近世代数在美国与英国的推进做出了积极的贡献。Eureka 是英国剑桥大学数学协会——The Archimedeans（见链接内容）——发行的一份年刊，该刊物创办于1939年，至今已有75年历史。
这是我8年前本科毕业论文的一部分，当时学校要求我们每个学生翻译1500字的科技文献。我喜欢抽象代数，偶然看到这篇小文章，很喜欢，就翻译了。
代数这门学科的历史源远流长，我们很难给它下一个准确的定义。在原始的阿拉伯语中，代数这个词所指的可能只是一种精巧的运算，即将等式中的一项从一边移到另一边。这大致等同于减法，它与加法、乘法、除法一起，构成了初等算术的四种有理运算。
代数的近代发展极大地依赖于这样一个认识，即在数学中还有许多与这四个基本运算相似的运算需要研究。
举一个熟悉的例子，两个向量按照平行四边形法则的合成可以看成是一种加法，而且常常也是这样表示的。再如，两个算子
这样一种运算或许可以称为一个数学合成。或许我们可以简单地说，近世代数就是研究数学合成的理论。
因此，经典的普通的数的代数只不过是诸多代数中的一种，虽然它理所当然是最为重要的一种。除此之外，还屹立着矩阵代数、四元数代数、逻辑代数、以及其它许多没有特殊名字的代数结构。
但是，这些不同种类的代数在很大的程度上相互紧密联系着。近世代数之所以取得了最大的进展，最主要在于是通过“比较解剖学”的方法来研究它们。这里关键的方法是同态映射或表示的原理，也就是从一个代数到另一个代数中的这样一个映射，使得在第一个代数里成立的任何等式经过映射以后在第二个代数里仍然成立。通过研究一个给定的代数到某个标准代数——比方说，矩阵代数——的所有可能的同态，就可以得到关于给定的代数结构的许多信息。这就是表示论的主题，它的一个优美的论述最近已经由 Hermann Weyl 发表在他的著作《古典群》里（译者注：指 H. Weyl, The Classical Groups, Their Invariants and Representations, Princeton University Press, 1939.（国内有1946第二版的影印本。）P. Hall 曾经为这本书写了书评，见 The Mathematical Gazette, 24, No.260 (1940), pp. 216-218.)。正是在这一点上，近世代数与上个世纪代数学最富有成果的发展——即不变量，协变量和张量的理论——联系起来了。
对新奇的代数对象的研究有时会引发意想不到的额外收获，正如1925年量子力学的创立所证明的那样。在这个理论中，一个物理量，例如氢原子的能量，是用一个适当的线性算子来表示的，而不是像先前经典物理中一样用一个实数来表示。从代数的观点来看，线性算子与矩阵很相似。在那时，矩阵代数已经得到高度发展，足以作为新的物理理论所需要的线性算子代数的向导。量子力学的一些最引人注目的特征（译者注：例如Heisenberg提出的“测不准原理”，或称“不确定性原理”）正是归因于这样一个事实：这个代数是非交换的。
在代数学发展的后期，一个具有基本重要性的事件是群论的发现，这要归功于 Lagrange，Cauchy，Abel，当然，首要的是法国数学家 Galois，他在1832年死于一场决斗，时年20岁。群论的这一进展的一个直接成果是，Abel 所首先证明的用根式解一般五次方程的不可能性，从而结束了人们在继成功解决了三次方程和四次方程之后想用同样的方式解决五次方程的梦想。事实上，五次方程在代数学中的历史角色可以与平行公理在几何学中的历史角色相提并论。
但是群论的重要性并不限于这个特殊问题。它适用于任何有可能挖掘出对称的分支。对称的定义远不是表明上看起来的那么简单，但是它仍然可以用精确的数学语言定义。而且，它的定义直接引向群的理论。每个对象的对称都与一个群相联系。正是由于这一联系，群在几何学和物理学中才得以广泛应用。
群之所以重要还有另外一个原因。从某种意义上说，群是最简单的一类代数系统；在群里只有一种合成的方式，不论把它写成加法还是乘法。而且，任何一个在某种程度上具有重要性的代数结构在某种意义下是一个群的说法也不会太离谱。
另一个对代数的新近发展有显著影响的学科是代数数论。许多第一次用在这个相当特殊和高度复杂的代数分支里的方法从此找到了一个更加广阔的应用领域，这个程序常常被称为“代数的算术化”，它使得代数整个学科在特征上更加抽象并且更加简单。Poincar\'{e} 的忠告或许最好地表达了这一动向的精神：“人们应该通过思想而不是计算取得胜利。”
当然，这并不是说，旧形式的代数失去了它的意义。相反地，对一个近代代数学家来说，最兴奋的事可能是他能够富有技巧地运用一些简单的一般思想去证明那些从前需要用复杂而精致的技巧来证明的旧结果
对实数域的认识
数学系 09级01班 尹仙菊 20091021108
数学与应用数学专业
1
对实数域的认识
摘要：数学严密化是通过各个分支的公理化完成的。公理化发展的实质是从一些由公理出发的非定义术语导出公理的推论。并在各系统内确立这些公理的独立性，相容性及结构规定性。公理化的探索早在Euclid时代就已开始，而真正创立在19世纪。真是由于第二次数学危机，当VCauchy，Weierstrass等人完成了极限化的严格化之后，分析的严密化促使整个数学基础的反思，于是数的基础的严密性趋向产生了。
关键词：实数域、实数域的构造、实数域的定义与性质、实数域的基本运算、完备公理、 七个等价命题
算术进展的重要步骤是负数的引入，这是17世纪迈出的，其作用是在于将数学从处理正数引导到处理整个实数。从负数的记法可知，负数的引入较晚。中国和印度较早使用到了负数，但对数学有重大发展的欧洲并未产生影响。古希腊对数学的研究不乏独创成果，却对方程的负解置之不理，几近完全排斥。13世纪初意大利斐波那qie解释负数为欠款。到了17世纪数学家仍负数持怀疑态度。帕斯卡不相信方程的负解，笛卡尔也只是部分接受负数，称负根为“假根”。1544年德国施蒂费尔在他的著作《整数算术》（Arithmetica Integra，1544）中注意到负数不单是一种减数，还是小于零的数。1629年法国－荷兰吉拉尔在《代数新发现》(Invention nouvelle en lalgebve)中解释了负数的几何意义，并同等处理正数及负数。（《世界数学通史》梁宗巨等著。辽宁教育出版社。）
《几何原本》卷10专门讨论特定的不可公度量及分类。不可公度量：不可被同一量尽的量。无理成数：与有理成段不可公度的线段。V.J.KATZ.A history of Mathmatics 2nd.ed. 高等教育出版社 2。4。8。
数学严密化是通过各个分支的公理化完成的。公理化发展的实质是从一些由公理出发的非定义术语导出公理的推论。并在各系统内确立这些公理的独立性，相容性及结构规定性。公理化的探索早在Euclid时代就已开始，而真正创立在19世纪。真是由于第二次数学危机，当VCauchy，Weierstrass等人完成了极限化的严格化之后，分析的严密化促使整个数学基础的反思，于是数的基础的严密性趋向产生了。这时我们需要的时逻辑上的严密推理的可靠基础。
1833－1835年Hamilton引入有理数分类理想，并希望借此定义无理数。1872年Dedekind在《连续性与无理数》（Stetigkeit und irrationale Zahlen）发表其无理数理论。这就是Dedekind分割。1883年Cantor在《关于无穷线性点集》（Uber unendliche linear Punktmannig faltigkeiten）书中发表了其无理数理论，证明了实数系的完备性，并包含了上确界思想。1889年C.Peano在《算术原理新方法》中从非定义的“集合、自然数、后继者”等概念出发阐述了自然数的公理体系，然后通过对整数、有理数、无理数的处理，给出了实数系。1899年Hilbert给出包括连接、运算、顺序、连续四种公理的实数系公理方法。至此完成了实数系的基础工作，能解决它面对的所有逻辑问题，并为算术、代数及分析提供稳固基础。
一、实数域的构造：
关于Dedekind分割法构造实数系
关于Cantor序列法构造实数系
关于有理数为端点的区间套构造实数系参考：R.柯朗微积分和数学分析引论第一卷第一分册 科学出版社
关于Peano自然数构造实数系参考：Landau. Foundations of Analysis. New York:Chelsea 2
Publishing Company.1951
从有理数构造实数
实数可以用通过收敛于一个唯一实数的十进制或二进制展开如 {3, 3.1, 3.14, 3.141,
3.1415,·} 所定义的序列的方式而构造为有理数的补全。实数可以不同方式从有理数构造出来。这里给出其中一种，其他方法请详见实数的构造。
公理的方法
设 R 是所有实数的集合，则：
集合 R 是一个域： 可以作加、减、乘、除运算，且有如交换律，结合律等常见性质。 域 R 是个有序域，即存在全序关系 ≥ ，对所有实数 x, y 和 z：
若 x ≥ y 则 x + z ≥ y + z；
若 x ≥ 0 且 y ≥ 0 则 xy ≥ 0。
集合 R 满足完备性，即任意 R 的有空子集 S ( S∈R，S≠Φ)，若 S 在 R 内有上界，那么 S 在 R 内有上确界。
最后一条是区分实数和有理数的关键。例如所有平方小于 2 的有理数的集合存在有理数上界，如 1.5；但是不存在有理数上确界（因为 √2 不是有理数）。
实数通过上述性质唯一确定。更准确的说，给定任意两个有序域 R1 和 R2，存在从 R1 到 R2 的唯一的域同构，即代数学上两者可看作是相同的。
另外的重要参考书：辛钦 数学分析八讲P8 无理数的构造
二、实数系的定义与性质：
1、定义：
满足以下四条的集R称实数集，它的元素称实数，这些条件称实数的公理：
(1) (R，+，×)为一个域，称为实数域.
有一个映射(加法运算)
+：R×R→R
使得（a，b）R×R，a+bR与之对应，称a+b为a与b之和，并且满足：
i、有中性元0存在（称为加法零元），s.t.aR，a+0=0+a=a
ii、aR有-aR（称为a的负元），s.t.a+（-a）=（-a）+a=0
iii、运算+是结合的，即a,b,cR，满足a+(b+c)=(a+b)+c
iv、运算+是交换的，即a,bR，满足a+b=b+a
讨论：如果在任何集G上确定了满足上述i、ii、iii条件的一个运算，即称G为一个群；如果群G满足iv条件，那么称G为交换群或Abel群。
有一个映射(乘法运算)
：R×R→R
使得（a，b）R×R，abR与之对应，称ab为a与b之积，并且满足关于乘法运算，集R\0为（乘法）Abel群。即是满足：
i、有中性元1存在（称为乘法零元即单位元），s.t.aR，a+0=0+a=a
ii、aR\0有a-1R\0（称为a的逆元），s.t.a（a-1）=（a-1）a=1
iii、运算+是结合的，即a,b,cR\0，满足a(bc)=(ab) c
iv、运算+是交换的，即a,bR\0，满足ab=ba
另外，乘法对加法是分配的，即：a,b,cR,(a+b) c=ac+bc
讨论：如果集G上定义了+，两种运算，并满足上述所有公理，则称G为一个（代数）域。 由上述公理派生出的减法和除法：a-b:=a+(-b),a÷b=ab-1(b≠0)
(2) R是一个全序集，即与+，运算相容的全序公理：R的元素间有关系≤，即a,b,cR，满足 3
条件：
i、a≤a(自反性)
ii、(a≤b)∧(b≤a)a=b(反对称性)
iii、(a≤b)∧(b≤c)a≤c(传递性)
iv、(a≤b)∨(b≤a)(即R中任意两元a、b能比较大小)
讨论：R中的关系≤称为不等关系。
如果关系≤满足上述的i、ii、iii条件，则称≤为偏序关系。定义了一个偏序关系的集合R称为偏序集，记为（R，≤）。满足条件iv的偏序关系称为序关系。定义了序关系的集合称为全序集或线性序集
另外，序关系对+，两种运算的联系：a,b,cR，则i、a≤ba+c≤b+c;ii、(0≤a)∧(0≤b) (0≤ab);iii、(a≤b)∧(c≤0)ac≤bc
2、实数域的相关性质
实数集有序性
实数集是有序的，即任意两个实数a、b必定满足下列三个关系之一：ab. 实数的传递性 实数大小具有传递性，即若a>b,b>c,则有a>c. 实数的阿基米德性 实数具有阿基米德（Archimedes）性，即对任何a，b ∈R，若b>a>0,则存在正整数n，使得na>b. 实数的稠密性 实数集R具有稠密性，即两个不相等的实数之间必有另一个实数，既有有理数，也有无理数. 实数唯一性 如果在一条直线（通常为水平直线）上确定O作为原点，指定一个方向为正方向（通常把指向右的方向规定为正方向），并规定一个单位长度，则称此直线为数轴。任一实数都对应与数轴上的唯一一个点；反之，数轴上的每一个点也都唯一的表示一个实数。于是，实数集R与数轴上的点有着一一对应的关系。 完备性 作为度量空间或一致空间，实数集合是个完备空间，它有以下性质： 所有实数的柯西序列都有一个实数极限。 有理数集合就不是完备空间。例如，(1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, 1.41421, ...) 是有理数的柯西序列，但没有有理数极限。实际上，它有个实数极限 √2。实数是有理数的完备化——这亦是构造实数集合的一种方法。 极限的存在是微积分的基础。实数的完备性等价于欧几里德几何的直线没有“空隙”。 “完备的有序域” 实数集合通常被描述为“完备的有序域”，这可以几种解释。 首先，有序域可以是完备格。然而，很容易发现没有有序域会是完备格。这是由于有序域没有最大元素（对任意元素 z，z + 1 将更大）。所以，这里的“完备”不是完备格的意思。 另外，有序域满足戴德金完备性，这在上述公理中已经定义。上述的唯一性也说明了这里的“完备”是指戴德金完备性的意思。这个完备性的意思非常接近采用戴德金分割来构造实数的方法，即从（有理数）有序域出发，通过标准的方法建立戴德金完备性。 这两个完备性的概念都忽略了域的结构。然而，有序群（域是种特殊的群）可以定义一致空间，而一致空间又有完备空间的概念。上述完备性中所述的只是一个特例。（这里采用一致空间中的完备性概念，而不是相关的人们熟知的度量空间的完备性，这是由于度量空间的 4 定义依赖于实数的性质。）当然，R 并不是唯一的一致完备的有序域，但它是唯一的一致完备的阿基米德域。实际上，“完备的阿基米德域”比“完备的有序域”更常见。可以证明，任意一致完备的阿基米德域必然是戴德金完备的（当然反之亦然）。这个完备性的意思非常接近采用柯西序列来构造实数的方法，即从（有理数）阿基米德域出发，通过标准的方法建立一致完备性。 “完备的阿基米德域”最早是由希尔伯特提出来的，他还想表达一些不同于上述的意思。他认为，实数构成了最大的阿基米德域，即所有其他的阿基米德域都是 R 的子域。这样 R 是“完备的”是指，在其中加入任何元素都将使它不再是阿基米德域。这个完备性的意思非常接近用超实数来构造实数的方法，即从某个包含所有（超实数）有序域的纯类出发，从其子域中找出最大的阿基米德域。 高级性质 实数集是不可数的，也就是说，实数的个数严格多于自然数的个数（尽管两者都是无穷大）。这一点，可以通过康托尔对角线方法证明。实际上，实数集的势为 2ω（请参见连续统的势），即自然数集的幂集的势。由于实数集中只有可数集个数的元素可能是代数数，绝大多数实数是超越数。实数集的子集中，不存在其势严格大于自然数集的势且严格小于实数集的势的集合，这就是连续统假设。该假设不能被证明是否正确，这是因为它和集合论的公理不相关。 所有非负实数的平方根属于 R，但这对负数不成立。这表明 R 上的序是由其代数结构确定的。而且，所有奇数次多项式至少有一个根属于 R。这两个性质使 R成为实封闭域的最主要的实例。证明这一点就是对代数基本定理的证明的前半部分。 实数集拥有一个规范的测度，即勒贝格测度。 实数集的上确界公理用到了实数集的子集，这是一种二阶逻辑的陈述。不可能只采用一阶逻辑来刻画实数集：1. Löwenheim-Skolem定理说明，存在一个实数集的可数稠密子集，它在一阶逻辑中正好满足和实数集自身完全相同的命题；2. 超实数的集合远远大于 R，但也同样满足和 R 一样的一阶逻辑命题。满足和 R 一样的一阶逻辑命题的有序域称为 R 的非标准模型。这就是非标准分析的研究内容，在非标准模型中证明一阶逻辑命题（可能比在 R 中证明要简单一些），从而确定这些命题在 R 中也成立。 拓扑性质 实数集构成一个度量空间：x 和 y 间的距离定为绝对值 |x - y|。作为一个全序集，它也具有序拓扑。这里，从度量和序关系得到的拓扑相同。实数集又是 1 维的可缩空间（所以也是连通空间）、局部紧致空间、可分空间、贝利空间。但实数集不是紧致空间。这些可以通过特定的性质来确定，例如，无限连续可分的序拓扑必须和实数集同胚。以下是实数的拓扑性质总览： 令 a 为一实数。a 的邻域是实数集中一个包括一段含有 a 的线段的子集。 R 是可分空间。 Q 在 R 中处处稠密。 R的开集是开区间的联集。 R的紧子集是有界闭集。特别是：所有含端点的有限线段都是紧子集。 每个R中的有界序列都有收敛子序列。 R是连通且单连通的。 R中的连通子集是线段、射线与R本身。由此性质可迅速导出中间值定理。 扩展与一般化 实数集可以在几种不同的方面进行扩展和一般化： 最自然的扩展可能就是复数了。复数集包含了所有多项式的根。但是，复数集不是一个 5 有序域。 实数集扩展的有序域是超实数的集合，包含无穷小和无穷大。它不是一个阿基米德域。 有时候，形式元素 +∞ 和 -∞ 加入实数集，构成扩展的实数轴。它是一个紧致空间，而不是一个域，但它保留了许多实数的性质。 希尔伯特空间的自伴随算子在许多方面一般化实数集：它们可以是有序的（尽管不一定全序）、完备的；它们所有的特征值都是实数；它们构成一个实结合代数。 三、实数域的基本运算： 实数可实现的基本运算有加、减、乘、除、乘方等，对非负数（即正数和0）还可以进行开方运算。实数加、减、乘、除（除数不为零）、平方后结果还是实数。任何实数都可以开奇次方，结果仍是实数，只有非负实数，才能开偶次方其结果还是实数。 实数对于四则运算封闭性 实数集R对加、减、乘、除（除数不为零）四则运算具有封闭性，即任意两个实数的和、差、积、商（除数不为零）仍然是实数。 四、完备公理： 对于数系，不可能加入任何集合的元素使加入后的集合满足前述公理。 即数构成一个对象系，它在保持上述公理全部成立时不能扩大。亦即有上界的非空集合必有上确界。 如果≠A,BR且满足aA，bB，有a≤b则cR,s.t.a≤c≤b 徐森林教授在他的新作《数学分析》（清华大学出版社2005年9月版）中将完备公理表述为“R是完备的，即R中一切Couchy数列收敛”。 另外，Archimedes公理：bR，a>0则存在nN,s.t.na>b。 B.A.卓里奇在为莫斯科大学写的《数学分析》教材中叙述为：对任意hN，aR，则存在唯一kN，s.t.(k-1)h≤a)的任何一个正元素，若对于(F，>)的每个正元素b,总能选择适当的自然数n（与b有关）,使得nα>b成立。不满足这个要求的“正性质”，称为非阿基米德“正性质”。具有非阿基米德“正性质”的域，称为非阿基米德序域。依照这个分类，有理数域、实数域和实代数数域，按通常的大小关系作为“正性质”，它们都是序域；按阿基米德“正性质”，它们又都是阿基米德序域。实数域的子域也是阿基米德序域。反过来还可以证明，任何一个阿基米德序域都保序同构于实数域的一个子域。
实数域的特性
连续性
数轴上的任何一点都可以用一个实数来表示，每个实数也对应着数轴上的一个点，可见全体实数正好铺满了数轴，这个性质称为实数的连续性。
有序性
对于任意a，b ∈R，必满足下述三个关系之一：
(i) ab
阿基米德性
对任意a，b ∈R，若a>0，b>0，则存在正整数n，使得na>b.
推论： 任意两个不相等的实数间必然存在一个有理数。（1）
证明：
设α，β∈R，且α<β。由阿基米德性，必存在自然数N，使得N(β-α)>1，即β-α>(1/n) 任意取定有理数γ(0)0，a-γ(0)》0，故由阿基米德性，存在m∈N，使得γ(0)+(m/N)>α.可见，数列{γ(0)+(m/N)}中总有一项大于a.
设 γ(0)+(n(0)/N) 为此数列第一个大于α的项，于是γ(0)+(n(0)-1)/n ≤ α，故 γ(0)+(n(0)/N)-β≤a-(n(0)-1)/N+(n(0)/N)-β
=a+(1/N)-β
<0
即 α< γ(0)+(n(0)/N)<β，而 γ(0)+(n(0)/N)显然为有理数，即证。
类似可以证明：任意两个不相等的实数之间必存在一个无理数。于是有：任意两个不相等的实数之间必有一个实数。
（1）也可以描述为：在任意一个区间（α,β）内都存在有理数。
由此可见，有理数在实数集中是密集分布的，但仍有“缝隙”，这些“缝隙”则有无穷多的无理数填满。
完备性
①所有实数的柯西序列都有一个实数极限。
②有理数集并非拓扑完备，例如 (1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, 1.41421, ·) 是有理数的柯西序列却没有有理数极限。但它却有个实数极限 √2。实数集是有理数集的空备化——这亦是其中一个构作实数集的方法。
极限的存在是微积分的基础。实数的完备性等价于欧几里得几何的直线没有“空隙”。
五、七个等价命题：
实数基本定理：对R的每一个分划A|B，都存在唯一的实数r，使它大于或等于下类A中的每一个实数，小于或等于上类B中的每一个实数。 确界定理:在实数系R内,非空的有上(下)界的数集必有上(下)确界存在。
单调有界原理:若数列{Xn}单调上升有上界，则 {Xn}必有极限。 区间套定理:设{[a,b] }是一个区间套,则必存在唯一的实数r,使得r包含在所有的区间里,即
有限覆盖定理:实数闭区间[a,b]的任一覆盖E,必存在有限的子覆盖。 紧致性定理：有界数列必有收敛子数列
柯西收敛定理：在实数系中，数列有极限存在的充分必要条件是：
美国科学家埃里克·贝齐格、威廉·莫纳和德国科学家斯特凡·黑尔因开发出超分辨率荧光显微镜而获得2014年度诺贝尔化学奖。诺贝尔化学奖评审委员会8日在瑞典首都斯德哥尔摩宣布这一消息时认定，3名科学家成功突破传统光学显微镜的极限分辨率，将显微技术带入“纳米”领域，让人类能以更精确的视角窥探微观世界。
创新破“极限”
3名获奖者中，现年54岁的贝齐格来自美国霍华德·休斯医学研究所，现年61岁的莫纳现任美国斯坦福大学教授，现年52岁的黑尔同时就职于马克斯·普朗克生物物理化学研究所和德国癌症研究中心。
长期以来，光学显微镜的成像效果被认为受到光的波长限制，无法突破0.2微米即光波长二分之一的分辨率极限。这三位科学家则以创新手段“绕过”这一极限，通过激光束激活荧光分子，在荧光分子发光的时候通过特别手段消除或过滤掉多余荧光，从而获得比“极限”更精确的成像。
诺贝尔化学奖评审委员会在当天发表的声明中说，通过荧光分子的帮助，这些科学家实现了这一突破，使用这一革命性显微技术在各自专业领域研究生命的最微小组成部分。
其中，黑尔通过研究神经细胞了解大脑突触现象，莫纳研究与亨廷顿氏症(一种神经退化性紊乱疾病)相关的蛋白质，贝齐格研究胚胎内部的细胞分裂。
探索“无止境”
这一“纳米显微”技术问世前，人类凭借光学显微镜对细胞内分子作用的观察一直存在局限。
按照诺贝尔化学奖评审委员会的说法，3位科学家的成果将显微技术带入“纳米”领域，让人类能够“实时”观察活细胞内的分子运动规律，为疾病研究和药物研发带来革命性变化。
“在帕金森氏症、阿尔兹海默氏症(老年痴呆症)或亨廷顿氏症发作时，他们(科学家)可以跟踪与之有关的蛋白质(变化)；受精卵分裂并发育成胚胎的过程中，他们也可以观察这些单个蛋白质(变化)，”诺贝尔化学奖评审委员会说，3人的研究成果为微生物研究带来了几乎无限的可能，“理论上讲，如今没有什么物质结构小得无法研究。”
如今，“纳米显微”技术在世界范围内被广泛运用，每天人类都能从其带来的新知识中获益。
获奖“太意外”
获得诺贝尔奖，对德国科学家黑尔似乎太过意外。他告诉诺贝尔奖基金会，接到电话时，他正在安静地阅读一篇科研论文，以为打来的是一个恶作剧电话。
“太令人意外了，我没敢相信。我一开始觉得这可能是个恶作剧，”黑尔说，“幸运的是，我记得(瑞典皇家科学院常任秘书)诺尔马克教授的声音，我意识到(他)旁边还有其他人……才认为这是真的。”
不过，黑尔没有陷入惊喜中，而是挂完电话继续阅读论文。
“我读完了那篇我希望读到结尾的论文，然后再给我妻子打电话，还有几个和我关系密切的人。”黑尔说，他没有去理会如潮水般涌来的电话和采访请求。
回忆起研究成果，黑尔说，他的研究最开始时遭到业内人士的强烈抵制，“人们觉得这个‘极限’自1873年就存在，再去做一些研究……有点疯狂，不太现实”。
“然而，我的观点是，20世纪发生了那么多物理学(研究发现)……我觉得一定有某种东西或现象能帮助你突破那个极限，”黑尔说，“我一直都乐于挑战事物，挑战公共智慧。”
解读：显微镜下的更小世界
从光学显微镜到能探知纳米世界的超分辨率显微镜，2014年诺贝尔化学奖所表彰的科学研究突破了以往物体观测尺寸的界限，使人类得以研究更微小的世界。
北京大学生物动态光学成像中心研究员孙育杰介绍，超分辨率荧光显微技术主要应用于生物领域。孙育杰说，传统光成像分辨率一般是波长的一半200纳米。这个分辨率在细胞成像上有些大了。很多细胞结构小于这个，很多生物分子排列很紧，这样也看不到。因此，科学家们致力于超分辨率领域的研究。
孙育杰介绍，超分辨率领域的发展分为三个阶段，在1994年，德国人斯特凡·黑尔最先从原理和技术上实现了超分辨率，当时称为STED，但因为生物兼容性很差，很容易将生物样品烧坏，因此一直没能大范围应用。2006年，此次诺奖得主埃里克·贝齐格与华裔科学家庄小威几乎在同一时间各自独立发表论文，发明了新的超分辨率技术。二者在原理上非常像，且生物兼容性非常好，“这个技术一下子火起来”。
此后，最早推出超分辨率技术的黑尔教授也在技术上不断改革，使得生物兼容性很好。因此，目前该领域主要广泛使用这三种技术。“这3个技术都很成熟，也有公司投入生产。比如尼康、奥林巴斯等，已经商用化了。北京还有10多家实验室在用这个技术。”
目前，这几种技术把传统成像分辨率提高了10到20倍，最好的能达到10纳米，“这种提高是非常了不起的”。因此，超分辨率技术推出后，科学家们可以看到细胞内的细节，包括细胞结构，分子间的相互作用，相互定位及动态过程等。“好比一个近视眼的人突然戴上了合适的眼镜”。
STED显微镜原理：
http://v.youku.com/v_show/id_XNzk5Mjk1MTg4.html
化学奖属于跨界出品
物理学的原理和技术，广泛应用于生命科学领域，最后却获得了诺贝尔化学奖，这令一些人感到困惑。对此，孙育杰说，这几个技术都是跨界技术。实际上黑尔和庄小威都是物理专业毕业。他们都是一直从事物理研究，最后转做生物，用物理理论解决了生物的技术需求。“这是一个典型的技术诺贝尔奖，也是跨界的结果”。
对于此技术获得化学奖，他说这几类技术实现超分辨率，都是利用荧光探针的性质，包括化学有机染料、荧光蛋白等。在2008年也有科学家凭借荧光蛋白获得过诺贝尔化学奖。“这其实是个生物领域”。他表示，这个技术就是利用了生物分子、化学分子的性质，实现了突破衍射极限的超高分辨率成像。
反应：学界为华裔学者叫屈
昨天，诺贝尔化学奖公布后，很多学界专家都认为华裔科学家庄小威更有资格获得该奖。
原北大生命科学院院长饶毅在第一时间发表文章称：“贝齐格的工作不仅与华裔教授庄小威的工作在物理原理上完全一样，而且他们研究论文发表的时间也一样，令人不解为何厚此薄彼。”
孙育杰认为，在荧光显微技术这一领域，庄小威也是极为重要的贡献人。
有学者说，莫纳虽然在成像领域里德高望重，备受尊敬，但是相比诺贝尔奖，还有一定差距，在质量上远不如黑尔、贝齐格和庄小威。
据介绍，庄小威目前任哈佛大学化学系和物理系教授，兼北京大学生物动态成像中心研究员。庄小威毕业于中国科技大学少年班，美国加州大学物理学博士、斯坦福大学博士后，40岁当选美国科学院院士。
■埃里克·贝齐格
1960年出生于美国密歇根州，1988年获得美国康奈尔大学博士学位。美国神经科学家、发明家、应用物理学家，他从康奈尔大学毕业后在贝尔实验室工作。其主要贡献是研发了用于分子生物学、神经科学的光学成像工具。现在美国弗吉尼亚州霍华德·休斯医学研究所工作。
2011年7月，贝齐格接受BBC的采访介绍超分辨率显微镜技术时说，我们第一次掌握了这种技术，可以让我们了解正在发生的复杂的三维动态。
2006年，超高分辨率显微镜研究行业翻开了新的篇章。贝齐格和其他三个科研小组几乎同时发表了他们提高显微镜分辨率的科研成果。贝齐格和研究伙伴一起在2006年的《科学》杂志上发表了他们的研究成果。
■斯特凡·黑尔
1962年生于罗马尼亚阿拉德，于1981年进入德国海德堡大学学习，并于1990年获得海德堡大学物理学博士学位。现为德国籍，是马克斯·普朗克生物物理化学研究所所长之一。
1991年至1993年，黑尔在位于德国海德堡的欧洲分子生物学实验室从事研究工作。1993年至1996年在芬兰图尔库大学的物理医学系从事研究工作。1994年，黑尔发明了STED显微镜，是超分辨率显微技术的一大突破。
1997年，黑尔迁往哥廷根，成为马克斯·普朗克学会在哥廷根的生物物理化学研究所的研究员。2003年至今，黑尔也是位于海德堡的德国癌症研究中心高分辨率光学显微技术部门的主任。
2002年，黑尔获德国雷宾赫激光技术奖。2008年，曾获德国科学技术最高奖——莱布尼茨奖。
■威廉·莫纳
1953年生于美国加利福尼亚州的普莱森顿，1982年获得康奈尔大学物理学博士学位。现为美国斯坦福大学哈利·S·莫什讲座教授，是单分子光谱和荧光光谱领域的著名专家。
1981年至1995年，莫纳在IBM位于加利福尼亚州圣荷西的研究中心担任研究人员和管理人员。1993年至1994年，在瑞士苏黎世联邦理工学院担任访问客座教授。1995年至1998年，在加利福尼亚大学担任杰出教授(物理化学领域)。1998年至今，在斯坦福大学担任教授。
莫纳曾获得不少荣誉，1984年获得罗杰·I·威尔金斯全美杰出年轻电气工程师奖；2001年获得美国物理学会厄尔勒·K·普利勒奖；2008年获得以色列沃尔夫奖化学奖；2009年获得欧文·朗缪尔化学物理学奖。
设V是一
个非空集合，F是一个数 域，在集合V的元素之间定义一种代数运算，叫做加法；这就是说，给出了一个法则，对于V中任意两个元素x和y，在V中都有唯一的一个元素z与他们对应，称为x与y的和，记为z=x+y．在数域F与集合V的元素之间还定义了一种运算，叫做数量乘法；这就是说，对于数域F中任一数k与V中任一元素x，在V中都有唯一的一个元素y与他们对应，称为k与x的数量乘积，记为y=kx。如果加法与乘法还满足下述规则，那么V称为数域F上的线性空间．
1. V对加法成Abel群，即满足：
（1）（交换律）x+y=y+x；
（2）（结合律）（x+y）+z=x+（y+z）
（3）（零元素）在V中有一元素0，对于V中任一元素x都有x+0=x；
（4）（负元素）对于V中每一个元素x，都有V中的元素y，使得x+y=0；
2. 数量乘法满足：
（5）1x=x；
（6）k(lx)=(kl)x；
3. 数量乘法和加法满足：
（7）（k+l）x=kx+lx；
（8）k（x+y）=kx+ky．
其中x，y，z为V中任意元素，k，l为数域F中的任意元素，1是F的乘法单位元。
数域F称为线性空间V的系数域或基域，F中元素称为纯量或数量（scalar），V中元素称为向量 （vector）。
当系数域F为实数域时，V称为实线性空间。当F为复数域时，V称为复线性空间。
线性变换（linear transformation），高等数学名词。向量空间V到其自身的映射称为V的变换，V到V的线性映射称为V的线性变换。简言之，线性映射就是保持线性关系的映射。
线性空间V到自身的映射通常称为V上的一个变换。
线性变换参考图
同时具有以下定义：
线性空间V上的一个变换A称为线性变换，如果对于V中任意的元素α，β和数域P中任意k，都有
A(α+β)=A（α）+A（β）
A (kα)=kA(α)
线性代数研究的一个对象，即向量空间到自身的保运算的映射。例如，对任意线性空间V，位似是V上的线性变换，平移则不是V上的线性变换。对线性变换的讨论可借助矩阵实现。σ关于不同基的矩阵是相似的。Kerσ={a∈V|σ（a）=θ}（式中θ指零向量）称为σ的核，Imσ={σ（a）|a∈V}称为σ的象，是刻画σ的两个重要概念。
对于欧几里得空间，若σ关于标准正交基的矩阵是正交（对称）矩阵，则称σ为正交（对称）变换。正交变换具有保内积、保长、保角等性质，对称变换具有性质：〈σ(a)，β〉=〈a，σ（β）〉。
在数学中，线性映射（也叫做线性变换或线性算子）是在两个向量空间之间的函数，它保持向量加法和标量乘法的运算。术语“线性变换”特别常用，尤其是对从向量空间到自身的线性映射(自同态)。
在抽象代数中，线性映射是向量空间的同态，或在给定的域上的向量空间所构成的范畴中的态射
这是我8年前本科毕业论文的一部分，当时学校要求我们每个学生翻译1500字的科技文献。我喜欢抽象代数，偶然看到这篇小文章，很喜欢，就翻译了。
代数这门学科的历史源远流长，我们很难给它下一个准确的定义。在原始的阿拉伯语中，代数这个词所指的可能只是一种精巧的运算，即将等式中的一项从一边移到另一边。这大致等同于减法，它与加法、乘法、除法一起，构成了初等算术的四种有理运算。
代数的近代发展极大地依赖于这样一个认识，即在数学中还有许多与这四个基本运算相似的运算需要研究。
举一个熟悉的例子，两个向量按照平行四边形法则的合成可以看成是一种加法，而且常常也是这样表示的。再如，两个算子
这样一种运算或许可以称为一个数学合成。或许我们可以简单地说，近世代数就是研究数学合成的理论。
因此，经典的普通的数的代数只不过是诸多代数中的一种，虽然它理所当然是最为重要的一种。除此之外，还屹立着矩阵代数、四元数代数、逻辑代数、以及其它许多没有特殊名字的代数结构。
但是，这些不同种类的代数在很大的程度上相互紧密联系着。近世代数之所以取得了最大的进展，最主要在于是通过“比较解剖学”的方法来研究它们。这里关键的方法是同态映射或表示的原理，也就是从一个代数到另一个代数中的这样一个映射，使得在第一个代数里成立的任何等式经过映射以后在第二个代数里仍然成立。通过研究一个给定的代数到某个标准代数——比方说，矩阵代数——的所有可能的同态，就可以得到关于给定的代数结构的许多信息。这就是表示论的主题，它的一个优美的论述最近已经由 Hermann Weyl 发表在他的著作《古典群》里（译者注：指 H. Weyl, The Classical Groups, Their Invariants and Representations, Princeton University Press, 1939.（国内有1946第二版的影印本。）P. Hall 曾经为这本书写了书评，见 The Mathematical Gazette, 24, No.260 (1940), pp. 216-218.)。正是在这一点上，近世代数与上个世纪代数学最富有成果的发展——即不变量，协变量和张量的理论——联系起来了。
对新奇的代数对象的研究有时会引发意想不到的额外收获，正如1925年量子力学的创立所证明的那样。在这个理论中，一个物理量，例如氢原子的能量，是用一个适当的线性算子来表示的，而不是像先前经典物理中一样用一个实数来表示。从代数的观点来看，线性算子与矩阵很相似。在那时，矩阵代数已经得到高度发展，足以作为新的物理理论所需要的线性算子代数的向导。量子力学的一些最引人注目的特征（译者注：例如Heisenberg提出的“测不准原理”，或称“不确定性原理”）正是归因于这样一个事实：这个代数是非交换的。
在代数学发展的后期，一个具有基本重要性的事件是群论的发现，这要归功于 Lagrange，Cauchy，Abel，当然，首要的是法国数学家 Galois，他在1832年死于一场决斗，时年20岁。群论的这一进展的一个直接成果是，Abel 所首先证明的用根式解一般五次方程的不可能性，从而结束了人们在继成功解决了三次方程和四次方程之后想用同样的方式解决五次方程的梦想。事实上，五次方程在代数学中的历史角色可以与平行公理在几何学中的历史角色相提并论。
但是群论的重要性并不限于这个特殊问题。它适用于任何有可能挖掘出对称的分支。对称的定义远不是表明上看起来的那么简单，但是它仍然可以用精确的数学语言定义。而且，它的定义直接引向群的理论。每个对象的对称都与一个群相联系。正是由于这一联系，群在几何学和物理学中才得以广泛应用。
群之所以重要还有另外一个原因。从某种意义上说，群是最简单的一类代数系统；在群里只有一种合成的方式，不论把它写成加法还是乘法。而且，任何一个在某种程度上具有重要性的代数结构在某种意义下是一个群的说法也不会太离谱。
另一个对代数的新近发展有显著影响的学科是代数数论。许多第一次用在这个相当特殊和高度复杂的代数分支里的方法从此找到了一个更加广阔的应用领域，这个程序常常被称为“代数的算术化”，它使得代数整个学科在特征上更加抽象并且更加简单。Poincar\'{e} 的忠告或许最好地表达了这一动向的精神：“人们应该通过思想而不是计算取得胜利。”
当然，这并不是说，旧形式的代数失去了它的意义。相反地，对一个近代代数学家来说，最兴奋的事可能是他能够富有技巧地运用一些简单的一般思想去证明那些从前需要用复杂而精致的技巧来证明的旧结果
对实数域的认识
数学系 09级01班 尹仙菊 20091021108
数学与应用数学专业
1
对实数域的认识
摘要：数学严密化是通过各个分支的公理化完成的。公理化发展的实质是从一些由公理出发的非定义术语导出公理的推论。并在各系统内确立这些公理的独立性，相容性及结构规定性。公理化的探索早在Euclid时代就已开始，而真正创立在19世纪。真是由于第二次数学危机，当VCauchy，Weierstrass等人完成了极限化的严格化之后，分析的严密化促使整个数学基础的反思，于是数的基础的严密性趋向产生了。
关键词：实数域、实数域的构造、实数域的定义与性质、实数域的基本运算、完备公理、 七个等价命题
算术进展的重要步骤是负数的引入，这是17世纪迈出的，其作用是在于将数学从处理正数引导到处理整个实数。从负数的记法可知，负数的引入较晚。中国和印度较早使用到了负数，但对数学有重大发展的欧洲并未产生影响。古希腊对数学的研究不乏独创成果，却对方程的负解置之不理，几近完全排斥。13世纪初意大利斐波那qie解释负数为欠款。到了17世纪数学家仍负数持怀疑态度。帕斯卡不相信方程的负解，笛卡尔也只是部分接受负数，称负根为“假根”。1544年德国施蒂费尔在他的著作《整数算术》（Arithmetica Integra，1544）中注意到负数不单是一种减数，还是小于零的数。1629年法国－荷兰吉拉尔在《代数新发现》(Invention nouvelle en lalgebve)中解释了负数的几何意义，并同等处理正数及负数。（《世界数学通史》梁宗巨等著。辽宁教育出版社。）
《几何原本》卷10专门讨论特定的不可公度量及分类。不可公度量：不可被同一量尽的量。无理成数：与有理成段不可公度的线段。V.J.KATZ.A history of Mathmatics 2nd.ed. 高等教育出版社 2。4。8。
数学严密化是通过各个分支的公理化完成的。公理化发展的实质是从一些由公理出发的非定义术语导出公理的推论。并在各系统内确立这些公理的独立性，相容性及结构规定性。公理化的探索早在Euclid时代就已开始，而真正创立在19世纪。真是由于第二次数学危机，当VCauchy，Weierstrass等人完成了极限化的严格化之后，分析的严密化促使整个数学基础的反思，于是数的基础的严密性趋向产生了。这时我们需要的时逻辑上的严密推理的可靠基础。
1833－1835年Hamilton引入有理数分类理想，并希望借此定义无理数。1872年Dedekind在《连续性与无理数》（Stetigkeit und irrationale Zahlen）发表其无理数理论。这就是Dedekind分割。1883年Cantor在《关于无穷线性点集》（Uber unendliche linear Punktmannig faltigkeiten）书中发表了其无理数理论，证明了实数系的完备性，并包含了上确界思想。1889年C.Peano在《算术原理新方法》中从非定义的“集合、自然数、后继者”等概念出发阐述了自然数的公理体系，然后通过对整数、有理数、无理数的处理，给出了实数系。1899年Hilbert给出包括连接、运算、顺序、连续四种公理的实数系公理方法。至此完成了实数系的基础工作，能解决它面对的所有逻辑问题，并为算术、代数及分析提供稳固基础。
一、实数域的构造：
关于Dedekind分割法构造实数系
关于Cantor序列法构造实数系
关于有理数为端点的区间套构造实数系参考：R.柯朗微积分和数学分析引论第一卷第一分册 科学出版社
关于Peano自然数构造实数系参考：Landau. Foundations of Analysis. New York:Chelsea 2
Publishing Company.1951
从有理数构造实数
实数可以用通过收敛于一个唯一实数的十进制或二进制展开如 {3, 3.1, 3.14, 3.141,
3.1415,·} 所定义的序列的方式而构造为有理数的补全。实数可以不同方式从有理数构造出来。这里给出其中一种，其他方法请详见实数的构造。
公理的方法
设 R 是所有实数的集合，则：
集合 R 是一个域： 可以作加、减、乘、除运算，且有如交换律，结合律等常见性质。 域 R 是个有序域，即存在全序关系 ≥ ，对所有实数 x, y 和 z：
若 x ≥ y 则 x + z ≥ y + z；
若 x ≥ 0 且 y ≥ 0 则 xy ≥ 0。
集合 R 满足完备性，即任意 R 的有空子集 S ( S∈R，S≠Φ)，若 S 在 R 内有上界，那么 S 在 R 内有上确界。
最后一条是区分实数和有理数的关键。例如所有平方小于 2 的有理数的集合存在有理数上界，如 1.5；但是不存在有理数上确界（因为 √2 不是有理数）。
实数通过上述性质唯一确定。更准确的说，给定任意两个有序域 R1 和 R2，存在从 R1 到 R2 的唯一的域同构，即代数学上两者可看作是相同的。
另外的重要参考书：辛钦 数学分析八讲P8 无理数的构造
二、实数系的定义与性质：
1、定义：
满足以下四条的集R称实数集，它的元素称实数，这些条件称实数的公理：
(1) (R，+，×)为一个域，称为实数域.
有一个映射(加法运算)
+：R×R→R
使得（a，b）R×R，a+bR与之对应，称a+b为a与b之和，并且满足：
i、有中性元0存在（称为加法零元），s.t.aR，a+0=0+a=a
ii、aR有-aR（称为a的负元），s.t.a+（-a）=（-a）+a=0
iii、运算+是结合的，即a,b,cR，满足a+(b+c)=(a+b)+c
iv、运算+是交换的，即a,bR，满足a+b=b+a
讨论：如果在任何集G上确定了满足上述i、ii、iii条件的一个运算，即称G为一个群；如果群G满足iv条件，那么称G为交换群或Abel群。
有一个映射(乘法运算)
：R×R→R
使得（a，b）R×R，abR与之对应，称ab为a与b之积，并且满足关于乘法运算，集R\0为（乘法）Abel群。即是满足：
i、有中性元1存在（称为乘法零元即单位元），s.t.aR，a+0=0+a=a
ii、aR\0有a-1R\0（称为a的逆元），s.t.a（a-1）=（a-1）a=1
iii、运算+是结合的，即a,b,cR\0，满足a(bc)=(ab) c
iv、运算+是交换的，即a,bR\0，满足ab=ba
另外，乘法对加法是分配的，即：a,b,cR,(a+b) c=ac+bc
讨论：如果集G上定义了+，两种运算，并满足上述所有公理，则称G为一个（代数）域。 由上述公理派生出的减法和除法：a-b:=a+(-b),a÷b=ab-1(b≠0)
(2) R是一个全序集，即与+，运算相容的全序公理：R的元素间有关系≤，即a,b,cR，满足 3
条件：
i、a≤a(自反性)
ii、(a≤b)∧(b≤a)a=b(反对称性)
iii、(a≤b)∧(b≤c)a≤c(传递性)
iv、(a≤b)∨(b≤a)(即R中任意两元a、b能比较大小)
讨论：R中的关系≤称为不等关系。
如果关系≤满足上述的i、ii、iii条件，则称≤为偏序关系。定义了一个偏序关系的集合R称为偏序集，记为（R，≤）。满足条件iv的偏序关系称为序关系。定义了序关系的集合称为全序集或线性序集
另外，序关系对+，两种运算的联系：a,b,cR，则i、a≤ba+c≤b+c;ii、(0≤a)∧(0≤b) (0≤ab);iii、(a≤b)∧(c≤0)ac≤bc
2、实数域的相关性质
实数集有序性
实数集是有序的，即任意两个实数a、b必定满足下列三个关系之一：ab. 实数的传递性 实数大小具有传递性，即若a>b,b>c,则有a>c. 实数的阿基米德性 实数具有阿基米德（Archimedes）性，即对任何a，b ∈R，若b>a>0,则存在正整数n，使得na>b. 实数的稠密性 实数集R具有稠密性，即两个不相等的实数之间必有另一个实数，既有有理数，也有无理数. 实数唯一性 如果在一条直线（通常为水平直线）上确定O作为原点，指定一个方向为正方向（通常把指向右的方向规定为正方向），并规定一个单位长度，则称此直线为数轴。任一实数都对应与数轴上的唯一一个点；反之，数轴上的每一个点也都唯一的表示一个实数。于是，实数集R与数轴上的点有着一一对应的关系。 完备性 作为度量空间或一致空间，实数集合是个完备空间，它有以下性质： 所有实数的柯西序列都有一个实数极限。 有理数集合就不是完备空间。例如，(1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, 1.41421, ...) 是有理数的柯西序列，但没有有理数极限。实际上，它有个实数极限 √2。实数是有理数的完备化——这亦是构造实数集合的一种方法。 极限的存在是微积分的基础。实数的完备性等价于欧几里德几何的直线没有“空隙”。 “完备的有序域” 实数集合通常被描述为“完备的有序域”，这可以几种解释。 首先，有序域可以是完备格。然而，很容易发现没有有序域会是完备格。这是由于有序域没有最大元素（对任意元素 z，z + 1 将更大）。所以，这里的“完备”不是完备格的意思。 另外，有序域满足戴德金完备性，这在上述公理中已经定义。上述的唯一性也说明了这里的“完备”是指戴德金完备性的意思。这个完备性的意思非常接近采用戴德金分割来构造实数的方法，即从（有理数）有序域出发，通过标准的方法建立戴德金完备性。 这两个完备性的概念都忽略了域的结构。然而，有序群（域是种特殊的群）可以定义一致空间，而一致空间又有完备空间的概念。上述完备性中所述的只是一个特例。（这里采用一致空间中的完备性概念，而不是相关的人们熟知的度量空间的完备性，这是由于度量空间的 4 定义依赖于实数的性质。）当然，R 并不是唯一的一致完备的有序域，但它是唯一的一致完备的阿基米德域。实际上，“完备的阿基米德域”比“完备的有序域”更常见。可以证明，任意一致完备的阿基米德域必然是戴德金完备的（当然反之亦然）。这个完备性的意思非常接近采用柯西序列来构造实数的方法，即从（有理数）阿基米德域出发，通过标准的方法建立一致完备性。 “完备的阿基米德域”最早是由希尔伯特提出来的，他还想表达一些不同于上述的意思。他认为，实数构成了最大的阿基米德域，即所有其他的阿基米德域都是 R 的子域。这样 R 是“完备的”是指，在其中加入任何元素都将使它不再是阿基米德域。这个完备性的意思非常接近用超实数来构造实数的方法，即从某个包含所有（超实数）有序域的纯类出发，从其子域中找出最大的阿基米德域。 高级性质 实数集是不可数的，也就是说，实数的个数严格多于自然数的个数（尽管两者都是无穷大）。这一点，可以通过康托尔对角线方法证明。实际上，实数集的势为 2ω（请参见连续统的势），即自然数集的幂集的势。由于实数集中只有可数集个数的元素可能是代数数，绝大多数实数是超越数。实数集的子集中，不存在其势严格大于自然数集的势且严格小于实数集的势的集合，这就是连续统假设。该假设不能被证明是否正确，这是因为它和集合论的公理不相关。 所有非负实数的平方根属于 R，但这对负数不成立。这表明 R 上的序是由其代数结构确定的。而且，所有奇数次多项式至少有一个根属于 R。这两个性质使 R成为实封闭域的最主要的实例。证明这一点就是对代数基本定理的证明的前半部分。 实数集拥有一个规范的测度，即勒贝格测度。 实数集的上确界公理用到了实数集的子集，这是一种二阶逻辑的陈述。不可能只采用一阶逻辑来刻画实数集：1. Löwenheim-Skolem定理说明，存在一个实数集的可数稠密子集，它在一阶逻辑中正好满足和实数集自身完全相同的命题；2. 超实数的集合远远大于 R，但也同样满足和 R 一样的一阶逻辑命题。满足和 R 一样的一阶逻辑命题的有序域称为 R 的非标准模型。这就是非标准分析的研究内容，在非标准模型中证明一阶逻辑命题（可能比在 R 中证明要简单一些），从而确定这些命题在 R 中也成立。 拓扑性质 实数集构成一个度量空间：x 和 y 间的距离定为绝对值 |x - y|。作为一个全序集，它也具有序拓扑。这里，从度量和序关系得到的拓扑相同。实数集又是 1 维的可缩空间（所以也是连通空间）、局部紧致空间、可分空间、贝利空间。但实数集不是紧致空间。这些可以通过特定的性质来确定，例如，无限连续可分的序拓扑必须和实数集同胚。以下是实数的拓扑性质总览： 令 a 为一实数。a 的邻域是实数集中一个包括一段含有 a 的线段的子集。 R 是可分空间。 Q 在 R 中处处稠密。 R的开集是开区间的联集。 R的紧子集是有界闭集。特别是：所有含端点的有限线段都是紧子集。 每个R中的有界序列都有收敛子序列。 R是连通且单连通的。 R中的连通子集是线段、射线与R本身。由此性质可迅速导出中间值定理。 扩展与一般化 实数集可以在几种不同的方面进行扩展和一般化： 最自然的扩展可能就是复数了。复数集包含了所有多项式的根。但是，复数集不是一个 5 有序域。 实数集扩展的有序域是超实数的集合，包含无穷小和无穷大。它不是一个阿基米德域。 有时候，形式元素 +∞ 和 -∞ 加入实数集，构成扩展的实数轴。它是一个紧致空间，而不是一个域，但它保留了许多实数的性质。 希尔伯特空间的自伴随算子在许多方面一般化实数集：它们可以是有序的（尽管不一定全序）、完备的；它们所有的特征值都是实数；它们构成一个实结合代数。 三、实数域的基本运算： 实数可实现的基本运算有加、减、乘、除、乘方等，对非负数（即正数和0）还可以进行开方运算。实数加、减、乘、除（除数不为零）、平方后结果还是实数。任何实数都可以开奇次方，结果仍是实数，只有非负实数，才能开偶次方其结果还是实数。 实数对于四则运算封闭性 实数集R对加、减、乘、除（除数不为零）四则运算具有封闭性，即任意两个实数的和、差、积、商（除数不为零）仍然是实数。 四、完备公理： 对于数系，不可能加入任何集合的元素使加入后的集合满足前述公理。 即数构成一个对象系，它在保持上述公理全部成立时不能扩大。亦即有上界的非空集合必有上确界。 如果≠A,BR且满足aA，bB，有a≤b则cR,s.t.a≤c≤b 徐森林教授在他的新作《数学分析》（清华大学出版社2005年9月版）中将完备公理表述为“R是完备的，即R中一切Couchy数列收敛”。 另外，Archimedes公理：bR，a>0则存在nN,s.t.na>b。 B.A.卓里奇在为莫斯科大学写的《数学分析》教材中叙述为：对任意hN，aR，则存在唯一kN，s.t.(k-1)h≤a
创新破“极限”
3名获奖者中，现年54岁的贝齐格来自美国霍华德·休斯医学研究所，现年61岁的莫纳现任美国斯坦福大学教授，现年52岁的黑尔同时就职于马克斯·普朗克生物物理化学研究所和德国癌症研究中心。
长期以来，光学显微镜的成像效果被认为受到光的波长限制，无法突破0.2微米即光波长二分之一的分辨率极限。这三位科学家则以创新手段“绕过”这一极限，通过激光束激活荧光分子，在荧光分子发光的时候通过特别手段消除或过滤掉多余荧光，从而获得比“极限”更精确的成像。
诺贝尔化学奖评审委员会在当天发表的声明中说，通过荧光分子的帮助，这些科学家实现了这一突破，使用这一革命性显微技术在各自专业领域研究生命的最微小组成部分。
其中，黑尔通过研究神经细胞了解大脑突触现象，莫纳研究与亨廷顿氏症(一种神经退化性紊乱疾病)相关的蛋白质，贝齐格研究胚胎内部的细胞分裂。
探索“无止境”
这一“纳米显微”技术问世前，人类凭借光学显微镜对细胞内分子作用的观察一直存在局限。
按照诺贝尔化学奖评审委员会的说法，3位科学家的成果将显微技术带入“纳米”领域，让人类能够“实时”观察活细胞内的分子运动规律，为疾病研究和药物研发带来革命性变化。
“在帕金森氏症、阿尔兹海默氏症(老年痴呆症)或亨廷顿氏症发作时，他们(科学家)可以跟踪与之有关的蛋白质(变化)；受精卵分裂并发育成胚胎的过程中，他们也可以观察这些单个蛋白质(变化)，”诺贝尔化学奖评审委员会说，3人的研究成果为微生物研究带来了几乎无限的可能，“理论上讲，如今没有什么物质结构小得无法研究。”
如今，“纳米显微”技术在世界范围内被广泛运用，每天人类都能从其带来的新知识中获益。
获奖“太意外”
获得诺贝尔奖，对德国科学家黑尔似乎太过意外。他告诉诺贝尔奖基金会，接到电话时，他正在安静地阅读一篇科研论文，以为打来的是一个恶作剧电话。
“太令人意外了，我没敢相信。我一开始觉得这可能是个恶作剧，”黑尔说，“幸运的是，我记得(瑞典皇家科学院常任秘书)诺尔马克教授的声音，我意识到(他)旁边还有其他人……才认为这是真的。”
不过，黑尔没有陷入惊喜中，而是挂完电话继续阅读论文。
“我读完了那篇我希望读到结尾的论文，然后再给我妻子打电话，还有几个和我关系密切的人。”黑尔说，他没有去理会如潮水般涌来的电话和采访请求。
回忆起研究成果，黑尔说，他的研究最开始时遭到业内人士的强烈抵制，“人们觉得这个‘极限’自1873年就存在，再去做一些研究……有点疯狂，不太现实”。
“然而，我的观点是，20世纪发生了那么多物理学(研究发现)……我觉得一定有某种东西或现象能帮助你突破那个极限，”黑尔说，“我一直都乐于挑战事物，挑战公共智慧。”
解读：显微镜下的更小世界
从光学显微镜到能探知纳米世界的超分辨率显微镜，2014年诺贝尔化学奖所表彰的科学研究突破了以往物体观测尺寸的界限，使人类得以研究更微小的世界。
北京大学生物动态光学成像中心研究员孙育杰介绍，超分辨率荧光显微技术主要应用于生物领域。孙育杰说，传统光成像分辨率一般是波长的一半200纳米。这个分辨率在细胞成像上有些大了。很多细胞结构小于这个，很多生物分子排列很紧，这样也看不到。因此，科学家们致力于超分辨率领域的研究。
孙育杰介绍，超分辨率领域的发展分为三个阶段，在1994年，德国人斯特凡·黑尔最先从原理和技术上实现了超分辨率，当时称为STED，但因为生物兼容性很差，很容易将生物样品烧坏，因此一直没能大范围应用。2006年，此次诺奖得主埃里克·贝齐格与华裔科学家庄小威几乎在同一时间各自独立发表论文，发明了新的超分辨率技术。二者在原理上非常像，且生物兼容性非常好，“这个技术一下子火起来”。
此后，最早推出超分辨率技术的黑尔教授也在技术上不断改革，使得生物兼容性很好。因此，目前该领域主要广泛使用这三种技术。“这3个技术都很成熟，也有公司投入生产。比如尼康、奥林巴斯等，已经商用化了。北京还有10多家实验室在用这个技术。”
目前，这几种技术把传统成像分辨率提高了10到20倍，最好的能达到10纳米，“这种提高是非常了不起的”。因此，超分辨率技术推出后，科学家们可以看到细胞内的细节，包括细胞结构，分子间的相互作用，相互定位及动态过程等。“好比一个近视眼的人突然戴上了合适的眼镜”。
STED显微镜原理：
http://v.youku.com/v_show/id_XNzk5Mjk1MTg4.html
化学奖属于跨界出品
物理学的原理和技术，广泛应用于生命科学领域，最后却获得了诺贝尔化学奖，这令一些人感到困惑。对此，孙育杰说，这几个技术都是跨界技术。实际上黑尔和庄小威都是物理专业毕业。他们都是一直从事物理研究，最后转做生物，用物理理论解决了生物的技术需求。“这是一个典型的技术诺贝尔奖，也是跨界的结果”。
对于此技术获得化学奖，他说这几类技术实现超分辨率，都是利用荧光探针的性质，包括化学有机染料、荧光蛋白等。在2008年也有科学家凭借荧光蛋白获得过诺贝尔化学奖。“这其实是个生物领域”。他表示，这个技术就是利用了生物分子、化学分子的性质，实现了突破衍射极限的超高分辨率成像。
反应：学界为华裔学者叫屈
昨天，诺贝尔化学奖公布后，很多学界专家都认为华裔科学家庄小威更有资格获得该奖。
原北大生命科学院院长饶毅在第一时间发表文章称：“贝齐格的工作不仅与华裔教授庄小威的工作在物理原理上完全一样，而且他们研究论文发表的时间也一样，令人不解为何厚此薄彼。”
孙育杰认为，在荧光显微技术这一领域，庄小威也是极为重要的贡献人。
有学者说，莫纳虽然在成像领域里德高望重，备受尊敬，但是相比诺贝尔奖，还有一定差距，在质量上远不如黑尔、贝齐格和庄小威。
据介绍，庄小威目前任哈佛大学化学系和物理系教授，兼北京大学生物动态成像中心研究员。庄小威毕业于中国科技大学少年班，美国加州大学物理学博士、斯坦福大学博士后，40岁当选美国科学院院士。
■埃里克·贝齐格
1960年出生于美国密歇根州，1988年获得美国康奈尔大学博士学位。美国神经科学家、发明家、应用物理学家，他从康奈尔大学毕业后在贝尔实验室工作。其主要贡献是研发了用于分子生物学、神经科学的光学成像工具。现在美国弗吉尼亚州霍华德·休斯医学研究所工作。
2011年7月，贝齐格接受BBC的采访介绍超分辨率显微镜技术时说，我们第一次掌握了这种技术，可以让我们了解正在发生的复杂的三维动态。
2006年，超高分辨率显微镜研究行业翻开了新的篇章。贝齐格和其他三个科研小组几乎同时发表了他们提高显微镜分辨率的科研成果。贝齐格和研究伙伴一起在2006年的《科学》杂志上发表了他们的研究成果。
■斯特凡·黑尔
1962年生于罗马尼亚阿拉德，于1981年进入德国海德堡大学学习，并于1990年获得海德堡大学物理学博士学位。现为德国籍，是马克斯·普朗克生物物理化学研究所所长之一。
1991年至1993年，黑尔在位于德国海德堡的欧洲分子生物学实验室从事研究工作。1993年至1996年在芬兰图尔库大学的物理医学系从事研究工作。1994年，黑尔发明了STED显微镜，是超分辨率显微技术的一大突破。
1997年，黑尔迁往哥廷根，成为马克斯·普朗克学会在哥廷根的生物物理化学研究所的研究员。2003年至今，黑尔也是位于海德堡的德国癌症研究中心高分辨率光学显微技术部门的主任。
2002年，黑尔获德国雷宾赫激光技术奖。2008年，曾获德国科学技术最高奖——莱布尼茨奖。
■威廉·莫纳
1953年生于美国加利福尼亚州的普莱森顿，1982年获得康奈尔大学物理学博士学位。现为美国斯坦福大学哈利·S·莫什讲座教授，是单分子光谱和荧光光谱领域的著名专家。
1981年至1995年，莫纳在IBM位于加利福尼亚州圣荷西的研究中心担任研究人员和管理人员。1993年至1994年，在瑞士苏黎世联邦理工学院担任访问客座教授。1995年至1998年，在加利福尼亚大学担任杰出教授(物理化学领域)。1998年至今，在斯坦福大学担任教授。
莫纳曾获得不少荣誉，1984年获得罗杰·I·威尔金斯全美杰出年轻电气工程师奖；2001年获得美国物理学会厄尔勒·K·普利勒奖；2008年获得以色列沃尔夫奖化学奖；2009年获得欧文·朗缪尔化学物理学奖。
线性空间和线性算子入门 杨孔庆
本系列主要介绍了物理学中的线性空间和线性算子入门，线性空间是这样一种集合，其中任意两元素相加可构成此集合内的另一元素，任意元素与任意数（可以是实数也可以是复数，也可以是任意给定域中的元素）相乘后得到此集合内的另一元素，线性算子即线性变换，线性变换（linear transformation），高等数学名词。向量空间V到其自身的映射称为V的变换，V到V的线性映射称为V的线性变换。简言之，线性映射就是保持线性关系的映射，本系列介绍了相关内容。
教师团队
线性空间和线性算子入门
线性空间
简单的说，线性空间是这样一种集合，其中任意两元素相加可构成此集合内的另一元素，任意元素与任意数（可以是实数也可以是复数，也可以是任意给定域中的元素）相乘后得到此集合内的另一元素。设V是一
个非空集合，F是一个数 域，在集合V的元素之间定义一种代数运算，叫做加法；这就是说，给出了一个法则，对于V中任意两个元素x和y，在V中都有唯一的一个元素z与他们对应，称为x与y的和，记为z=x+y．在数域F与集合V的元素之间还定义了一种运算，叫做数量乘法；这就是说，对于数域F中任一数k与V中任一元素x，在V中都有唯一的一个元素y与他们对应，称为k与x的数量乘积，记为y=kx。如果加法与乘法还满足下述规则，那么V称为数域F上的线性空间．1. V对加法成Abel群，即满足：
（1）（交换律）x+y=y+x；
（2）（结合律）（x+y）+z=x+（y+z）
（3）（零元素）在V中有一元素0，对于V中任一元素x都有x+0=x；
（4）（负元素）对于V中每一个元素x，都有V中的元素y，使得x+y=0；
2. 数量乘法满足：
（5）1x=x；
（6）k(lx)=(kl)x；
3. 数量乘法和加法满足：
（7）（k+l）x=kx+lx；
（8）k（x+y）=kx+ky．
其中x，y，z为V中任意元素，k，l为数域F中的任意元素，1是F的乘法单位元。
数域F称为线性空间V的系数域或基域，F中元素称为纯量或数量（scalar），V中元素称为向量 （vector）。
当系数域F为实数域时，V称为实线性空间。当F为复数域时，V称为复线性空间。
线性算子
线性算子即线性变换。线性变换（linear transformation），高等数学名词。向量空间V到其自身的映射称为V的变换，V到V的线性映射称为V的线性变换。简言之，线性映射就是保持线性关系的映射。
线性空间V到自身的映射通常称为V上的一个变换。
线性变换参考图
同时具有以下定义：
线性空间V上的一个变换A称为线性变换，如果对于V中任意的元素α，β和数域P中任意k，都有
A(α+β)=A（α）+A（β）
A (kα)=kA(α)
线性代数研究的一个对象，即向量空间到自身的保运算的映射。例如，对任意线性空间V，位似是V上的线性变换，平移则不是V上的线性变换。对线性变换的讨论可借助矩阵实现。σ关于不同基的矩阵是相似的。Kerσ={a∈V|σ（a）=θ}（式中θ指零向量）称为σ的核，Imσ={σ（a）|a∈V}称为σ的象，是刻画σ的两个重要概念。
对于欧几里得空间，若σ关于标准正交基的矩阵是正交（对称）矩阵，则称σ为正交（对称）变换。正交变换具有保内积、保长、保角等性质，对称变换具有性质：〈σ(a)，β〉=〈a，σ（β）〉。
在数学中，线性映射（也叫做线性变换或线性算子）是在两个向量空间之间的函数，它保持向量加法和标量乘法的运算。术语“线性变换”特别常用，尤其是对从向量空间到自身的线性映射(自同态)。
在抽象代数中，线性映射是向量空间的同态，或在给定的域上的向量空间所构成的范畴中的态射
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