自然坐标系中的加速度在一般曲线运动中，质点速度的大小和方向不断发生变化。如动画所示，汽车沿圆形跑道行驶时各点速度的大小和方向都不相同。

1-4  切向加速度和法向加速度

(Tangential  and Normal Accelerations)

加速度在直角坐标系中的分量式，在有些场合下不够直观。本节得到的加速度在“自然坐标系”中的切向和法向分量式可以弥补这种不足。

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学习要求：掌握切向加

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速度和法向加速度的概念及其计算方法。

在一般曲线运动中，质点速度的大小和方向不断发生变化。如动画所示，汽车沿圆形跑道行驶时各点速度的大小和方向都不相同。为了更清楚地描述质点在曲线运动中的加速度及其物理意义，通常采用自然坐标系中的加速度表示式 。 自然坐标系 以质点运动轨迹上的任一点 P 为原点，一根坐标轴沿P 点的切线方向（单位矢量为 ）；另一坐标轴沿 P 点的法线并指向曲线

的凹侧（单位矢量为 ），这种坐标系就是自然坐标系。请注意，虽然沿轨迹上各点 和 的大小都等于　1，但它们的方向不断变化，因此它们不再是常矢量。

切向加速度和法向加速度 我们首先讨论变速圆周运动。 如前所述，质点的速度是沿着轨迹切向的，因此，质点的速度可表示为它的大小 和切向单位矢量 的乘积，即   对于变速圆周运动 ，速率和 显然都是变量。设在 时间内  的微分为 ，则由加速度的定义得 由上图可见，矢量的方向垂直于 并指向圆心，所以，它和 的方向相同。而 的长度为 1，所以 的大小 ；于是有    ， 因而 式中弧长为质点在 时间内经过的路程。将上式代入 的表达式，即得 由此可见， 在自然坐标系中变速圆周运动的加速度可分解为相互正交的切向加速度 和法向加速度 两个分量： 和  切向加速度 表示质点仅由于速率变化引起的加速度； 法向加速度 表示质点仅由于速度方向变化引起的加速度。 总加速度 的大小为 的方向可用它和 间的夹角 表示： 如果质点的速度只改变方向而不改变大小，则有 或 ，即质点只有法向加速度， 这就是我们熟知的质点作匀速率圆周运动的情形。 以上关于变速圆周运动加速度的讨论及其结果，对任何平面曲线运动都适用。但在计算式中要用曲率半径 代替圆周运动中的半径 R 。一般说来，曲线的曲率半径及其曲率中心是逐点变化的。 　　在一般曲线运动的情况下，质点速度的大小和方向同时在改变，自然同时具有切向加速度和法向加速度。     想想看，如果只有切向加速度，质点做什么运动呢 ？ 如果只有法向加速度，质点又做什么运动呢？ 右边动画演示的是切向加速度等于零的一个质点的运动。每点击按钮　　的一瞬间质点获得一次法向加速度，请试试看。

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例题-1 如果圆形轨道的半径 m，汽车在 a 点的速率 va = 10 m/s,经 4 s 到达 b 点,速率变为 = 26 m/s 。求它再经过 4 s 的切向加速度、法向加速度和加速度。假定汽车作匀变速率运动。
[解]：由于速率均匀地增加，所以切向加速度的大小不变：
如果令汽车在 a 点为 时刻  ，即可由积分   得速率方程 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  或
那么， 时刻的速率就是 42 m/s，法向加速度的大小为   最后得 时刻的加速度的大小为      加速度 与速度 的夹角为
例题-2    已知质点的轨迹方程 ，且在任意时刻质点速度的 x 分量vx=2 m/s 。 若t=0时刻 x=0 ，求： （1）质点的速度v ； （2）质点所在处的曲率半径 。[解] 思考题 1.质点作平面曲线运动时，其轨迹上各点都有曲率半径为 的圆与之相切（图1）,因此可计算该点的 、 及 。请问图 2 中所示的各点的加速度 ，哪个是不可能存在的呢？[答案]
	图 1		图 2
2.质点做圆周运动，切向加速度可能为零吗？法向加速度可能为零吗？[答案] 3.质点做任意平面曲线运动，法向加速度可能为零吗？[答案]