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1.1 质点运动的描述
由于运动学的任务在于描写空间位置的改变，而不涉及物体相互作用和运动之间的关系．因此，我们重点讨论运动学中最为基本的质点的运动．本节介绍质点运动学的基本概念，着重讨论两个基本的物理量——速度和加速度．
1.1.1 质点
物体是研究对象的统称，实际物体总有其大小和形状，而且一般说来，它们在运动中可以同时有旋转、变形等等．但是，如果物体的大小和形状在所研究的问题中不起作用或作用很小，就可以忽略物体的大小和形状，而把物体抽象为只有质量的几何点，这样的研究对象在力学中称为质点，例如，当我们讨论地球公转问题时，并不涉及地球自转所引起的各部分运动的差别，地球的形状、大小无关紧要，因此可以把地球看作是一个质点．实际上所谓质点是一个从实际中抽象出来的理想模型，即具有质量的点．
应当指出，一个实际的研究对象能否看成是质点，不是依物体的大小而定，而是依问题的性质而定．如在有些问题中，大如恒星亦可视作质点，在另一些问题中小如分子、原子亦须考虑其形状、大小．还有，同一个物体在这个问题中可当作质点，在另一问题中却不能作为质点处理．总之，能否将物体视作质点，要根据问题的性质而定，要看把实际对象抽象为质点时是否能反映运动的主要特征．
质点是力学中最基本、最简单的理想模型，以后我们还将引入质点系等理想模型．掌握了质点的运动规律，就能用数学方法推导出质点系的运动规律，因此，研究质点的运动是研究更为复杂的运动的基础．实际上，在一定条件下，把实际研究对象抽象化、理想化为某种模型，这种研究方法在物理学中经常采用，它使我们能够把握住事物的主要方面，使我们对事物的认识更深刻、更正确、更全面．
1.1.2 参考系和坐标系
1．参考系
一切物体都在运动，即使看来“静止”的建筑物如房屋、桥梁等也正随着地球一起运动．地球不但自转，还围绕太阳公转；而太阳系相对于附近恒星说来，正朝着武仙星座运动；太阳又是银河系的成员，而银河系也在旋转着……．这些事实表明，运动是普遍的、绝对的，而“静止”只有相对的意义．
虽然运动具有绝对性，但是，对运动情况的具体描述则具有相对性．例如，在水平匀速前进的火车中，一乘客竖直向上抛出一个小球．车上乘客观察到这小球是沿直线运动，而地面上的人观察到的却是小球沿一条抛物线运动．这是因为车上乘客选择车厢为标准，而站台人员以地面为标准，从而得出不同结论．一个运动相对于不同的标准具有不同的运动描述，这就叫做运动描述的相对性．
由于机械运动具有相对性，因此，描述一个运动时，就必须选择其他物体作标准．描述运动时选作标准的物体（一个不变形的物体，或保持相对静止的几个物体），称为参考系．
在研究运动学问题时，参考系可以任意选择，看问题的性质和计算的方便而定．例如，描述太阳系行星运动时，如果使用太阳参考系，则行星作椭圆运动；但是，如果用地球参考系，它们将作复杂的曲线运动．因此，以太阳参考系描述行星的运动比较简单方便．而在描述地球上的物体运动时，常选择地球为参考系．
2．坐标系
参考系确定之后，要把质点在各个时刻相对于参考系的位置定量表示出来，还需要在参考系上固定一个坐标系，所讨论的这个质点的位置就由它在该坐标系中的坐标决定．因此，对于描述物体的位置变化来说，坐标系起着刻度尺的作用．
最常用的坐标系是直角坐标系，有时根据需要也可选用其他坐标系，如球坐标系、自然坐标等．
1.1.3 位置矢量 运动方程
1．位置矢量
要讨论质点位置随时间的变化，先要确切描述质点的位置．为了同时给出质点相对于参考点的距离和方位，可以引入位置矢量．由参考系上的坐标原点引向质点P所在位置的矢量称为质点的位置矢量．如图1-1所示，通常以r表示．
在国际单位制（SI）中，位置矢量大小的单位为米（m），与长度单位相同．
位置矢量可在直角坐标系Oxyz中用三个互相正交的分量来表示，如图1-1所示．若p点的位置矢量r在x，y，z轴上的分量（即坐标）分别为x，y，z，则位置矢量的正交分解式为
r=xi+yi+zk
（1.1）
式中i，j，k分别表示沿x，y，z轴正方向的单位矢量．x，y，z称做质点的位置坐标，也可用来描述质点的位置，与用位置矢量来描述是一致的．
位置矢量的大小（即r的模）为
位置矢量的方向，可由其方向余弦确定：
式中α，β，γ分别表示r与x，y，z轴正方向之间的夹角（取小于180°值），它们满足以下关系式：
cos2α+cos2β+cos2γ=1
故三个方向余弦中只有两个是独立的．
2．运动方程
在质点运动过程中，它的位置矢量随时间改变，每一时刻均有一定的位置矢量与之对应，如图1-2所示，即位置矢量r为时间t的函数
r=r（t）
上式称做质点的运动方程．它给出任意时刻质点的位置．下面讲了速度与加速度后，我们将看到，如已知质点的运动方程，就可以确定质点在任一时刻的速度和加速度，即掌握了质点运动的全部情况．因此，求出运动方程是质点运动学的中心问题．
运动方程在直角坐标系Oxyz中的正交分解式为
r=r（t）=x（t）i+y（t）j+z（t）k
（1.2）
质点运动时，坐标x，y，z都是时间t的函数，所以运动方程在直角坐标系中也可写成
(1.3)
称为质点运动方程的标量形式．
当质点被限制在一平面内运动，例如在xy平面内运动时，称为二维运动，其运动方程为
(1.4)
当质点被限制在一直线上，例如在x轴上运动时，称为一维运动，其运动方程为
x=x（t）
（1.5）
3．轨迹
质点在所选定的参考系中运动时，在空间所经过的路径称为质点运动的轨迹．随着质点的运动，其位置矢量的矢端也在空间运动，实际上，矢端的轨迹就是质点运动的轨迹，如图1-3所示．轨迹可用数学形式表示，以质点在平面上的运动为例，其运动方程为（1.4）式，消去t，得
y=y(x)
这就是质点在直角坐标系中的轨迹方程．实际上，式（1.3）也可以看作是以时间t为参数的质点轨迹的参数方程．
例1 已知一质点的运动方程为
r（t）=ati+（bt-ct2）j
a、b、c为常数，求该质点的轨迹．
解 该质点的运动方程在直角坐标系中的表达式为
所以它在xOy平面上运动，从第一式和第二式中消去t，便得
这就是该质点的轨迹方程，它是在xOy平面上的经过原点O的抛物线．
例2 已知一质点的运动方程为
式中时间和坐标值均采用国际单位制．求：
（1）t=2s和t=4s时质点的位置；
（2）质点的运动轨迹。
解 （1）质点在xOy平面上作二维运动．
t=2s时，
t=4s时
（2）由所给的运动方程消去时间t，得
x2+y2=25
这表明该质点的轨迹是以原点O为圆心，半径等于5m，在xOy平面上的圆．如图1-4所示．读者不难看出，质点是沿着顺时针方向作圆周运动．
1.1.4 速度
1．位移和路程
为了描述质点在一定时间间隔内位置的变动，我们引入位移矢量．参照图1-5，一运动着的质点，其位置在轨道上连续变化，设t时刻质点位于P点，t+△t时刻到达Q点，r（t）和r（t+△t）分别表示时刻t和t+△t的位置矢量．自质点初始位置引向△t时间后末位置的矢量△r称作质点在这段时间间隔内的位移．由图可以看出，位移也就等于质点在这段时间内位置矢量的增量：
△r=r（t+△t）-r（t）
（1.6）
写出△t始末的位置矢量在直角坐标系中的正交分解式：
r（t+△t）=x（t+△t）i+y（t+△t）j+z（t+△t）k
r（t）=x（t）i+y（t）j+（t）k
二式相减得位移
△r=[x(t+△t)-x（t）]i+[y（t+△t）-y（t）]j+[z（t+△t）-z（t）]k
=△xi+△yi+△zk
(1.7)
这是位移在直角坐标系中的正交分解式，它表明位移可由位置坐标的增量来决定．
应当指出，位移刻划出质点在一段时间内位置变动的总效果，但并未给出质点是沿什么路径由起点运动到终点的．因此一定要认清质点在一段时间内的位移△r和所经过的路程△s这二者的区别．就一般情况而言，位移并不表示质点在其轨迹上所走过路径的长度．例如长跑运动员绕400m跑道跑了25圈，他跑过的路程是10000m，但位移却是零！路程是在一段时间内，质点在其轨迹上经过的路径的总长度．位移是矢量，而路程是正的标量．一般说来，在同一时间间隔内，路程和位移的大小并不相等．
2．速度
为了描述质点运动的快慢和方向，我们引入速度这一物理量．
（1）平均速度
质点在t时刻到t+△t时刻这段时间内的位移是△r，我们可以用位移△r除以发生这段位移的时间△t，即单位时间内的位移△r/△t来近似地描述t时刻附近质点运动的快慢和方向．质点位移△r=r（t+△t）-r（t）与发生这一位移的时间间隔△t之比，称作质点在这段时间内的平均速度，记作v，
(1.8)
（2）瞬时速度
平均速度仅仅提供一段时间内位置总变动的方向和平均快慢，却不能精细地刻划质点在这段时间内发生的运动方向的改变和时快时慢的详细情况．显然，△t取得越短，近似的程度就越好，平均速度就越能反映出t时刻的真实运动情况．当△t→0，△r/△t趋近于一个确定的极限矢量，这个极限矢量确切地描述了质点在t时刻运动的快慢和方向，这就是质点在t时刻的瞬时速度，它等于t时刻至t+△t时刻一段时间内平均
(1.9)
即质点的瞬时速度等于位置矢量对时间的变化率或一阶层数，记作
(1.10)
速度的方向由位移△r的极限方向决定，当△t→0时，位移△r趋于轨道的切线方向．如图1-6所示．因此，质点在任一时刻的瞬时速度的方向和这个时刻质点所在处的轨道曲线相切并指向质点前进的方向。
此外，为了描述质点沿轨迹运动的平均快慢，又引入平均速率概念．质点经过的路程△s与经过这一段路程所用时间△t之比，称做这段时间的平均速率，用v表示，即
(1.11)
可见，平均速率是标量，它等于质点在单位时间内所通过的路程，因此平均速率和平均速度是两个不同的概念，只有当质点在直线上沿固定方向运动时，两者的量值才相等．
当△t→0时，弦长|△r|无限接近于对应的路程△s，故瞬时速率可以表示为
(1.12)
瞬时速率是标量，它反映质点在该时刻运动的快慢，其量值等于该时刻速度的大小．
速度和速率的单位同为米·秒-1（m·s-1）．
（3）速度在直角坐标系中的表示
瞬时速度v在直角坐标系Oxyz中的正交分解式为
v=vxi+vyj+vzk
将（1.2）式对时间求导，得
(1.13)
与前式对比，得
即瞬时速度矢量的投影等于位置坐标对时间的一阶导数．vx，vy，vz为代数量，可取正值也可取负值．
瞬时速度的大小和方向余弦可表示如下：
例3 已知一质点沿x轴运动，其运动方程为
解 根据速度的定义，通过对质点的运动方程的徽分运算即可求出它的速度．
根据式（1.6），该质点的速度为
这个结果说明，质点的速度按正弦规律作周期性的变化，可正可负．若速度为正，则其方向沿x轴正方向；若速度为负，则其方向沿x轴负方向．所以，质点将在x轴上往复运动．这种按正弦或余弦规律的往复运动，叫作简谐振动．
1.1.5 加速度
质点运动时，瞬时速度大小和方向都可能变化，为了描述各个时刻速度矢量变化的情形，我们引入加速度的概念．
1．加速度
（1）平均加速度
设质点在t时刻的速度为v（t），经△t后速度变为v（t+△t），如图1-7所示，速度增量△v=v（t+△t）-v（t）与发生这一增量所用
(1.14)
平均加速度与一定时间间隔相对应，其大小反映△t时间内速度矢量的平均变化率，其方向沿着速度增量△v的方向．
（2）瞬时加速度
平均加速度只能近似地描述△t时间内速度变化的情况．显然，时间
称加速度，记作a．
(1.15)
即质点的瞬时加速度等于速度矢量对时间的变化率或一阶导数．又因
故得
(1.16)
即瞬时加速度等于位置矢量对时间的二阶导数．
加速度是矢量．加速度的方向为△v的极限方向，在一般情形下，△v的极限方向与速度v的方向并不一致，因而a的方向与v的方向不一致．例如在图1-8所示的斜抛运动中，质点在轨道上各点的速度都沿轨道切线方向，而加速度方向则总是向下的．从这个例子可以看出a的大致趋势：质点作曲线运动时，a的方向总是指向曲线凹的一侧．只有在质点的直线运动中，加速度的方向和速度的方向总是相同或相反．
加速度的大小，即
代表速度增量的大小随时间的变化率．值得提出的是，要正确理解加速度这一概念，必须注意它是与速度矢量增量△v密切相关的，因此，在运动过程中，不论速度的大小有改变或是速度的方向有改变，都是速度矢量有了变化。加速度都不等于零．例如，对匀速率曲线运动（例如匀速率圆周运动），虽然速度的大小保持不变，可是速度的方向不断变化，
在国际单位制中，加速度的单位是米／秒2（m·s-2）．
2．加速度在直角坐标系中的表示式
将式（1.9）代入式（1.10），可得加速度在直角坐标系中的正交分解式
(1.17)
以ax，ay，az表示a在x，y，z轴上的投影：
(1.18)
即瞬时加速度在坐标轴上的投影等于位置坐标对时间的二阶导数．
由前面讨论得到了质点的位置矢量、速度和加速度在直角坐标系中的正交分解式．这些式子表明，任何一个曲线运动都可分解成为沿x，y，z三个方向的直线运动，每个方向上的运动是相互独立的，整个运动可看成是沿三个坐标轴直线运动的叠加，这就是运动的叠加原理．因为直线运动的描述最简单，每一个直线运动只需要用相应的坐标以及速度、加速度的投影就可以表示出来，所以利用直角坐标系可以把矢量问题化为较简单的标量问题处理．在分别研究了沿各个坐标轴方向的直线运动之后，整个运动可以由矢量叠加而求得．这样实际上对一般曲线运动的研究都可归结为对直线运动的研究．本节讨论的问题仅限于质点的二维或一维运动。
例4 如图1-9所示，已知物体由地面射出，其射出时相对于地面的速度为v0射角为θ0。，若不计空气阻力和风力等影响，试求：
（1）物体在任一时刻的速度和位置；
（2）到达最高点所需时间及最大飞行高度；
（3）由发射到落回地面所需时间和物体的射程；
（4）物体的运动轨迹．
解 建立直角坐标系Oxy，坐标原点在物体发射处，x轴滑水平方向，y轴竖直向上，发射物速度v0在Oxy平面内物体所作的抛体运动为平面运动（二维运动）．如图1-9所示．
（1）物体飞行时的加速度为重力加速度g，故
ax=0，ay=-g．
对时间积分得
选择发射时为计时起点，则速度初始条件为
t=0，vox=v0cosθ0，voy=v0sinθ0
代入上式得任一时刻物体的速度为
计算vx和vy对时间的积分
根据以上计时起点和坐标系的选择，位置坐标的初始条件为
t=0，x0=y0=0
代入上式即得到任一时刻物体的坐标为
上式即为抛体运动方程的标量形式，也可写成矢量式
（2）设物体到达最高点所需的时间为tH，到达的最大高度为H，此时，速度的竖直分量为零，即vy=0，代入vy=v0sinθ0-gt，即得
的飞行总时间为
对应于y=0的另一个解t=0，表示物体在起点的时刻．
以T值代入x=v0cosθ0t，解得射程
（4）从函数x（t），y（t）中消去t，可以得到物体的轨迹方程
这就是真空中的弹道方程，表明物体飞行轨道是抛物线．上面的讨论没有考虑到空气阻力的影响，所得结论只有在空气阻力极小的情况下才比较符合实际．物体在空气中运动受到的阻力与物体本身的形状，空气的密度，特别是和物体的速率有关．物体速率越小，空气阻力的影响越小，抛体的运动越接近我们讨论的理想情况．
例5 已知一质点沿x轴运动，其位置矢量为
A、ω为常数，求该质点的加速度．
解 根据式（1.16），
前面在例3中已说过这种运动叫简谐振动．以上计算结果进一步说明，简谐振动的一个特点是，其加速度的方向与位量矢量的方向相反，加速度的大小与位置矢量的大小成正比．
3．切向加速度和法向加速度
质点运动的加速度，也可用自然坐标将a正交分解为切向加速度和法向加速度，如图1-10所示．如质点在A处，可在此处取一单位矢量沿切线方向，叫做切向单位矢量，记作τ，加速度沿此方向的投影称做切向加速度．另取一单位矢量沿曲线法线且指向曲线的凹侧，称做法向单位矢量，记作n，加速度沿此方向投影称做法向加速度．
我们首先就圆周运动讨论质点的法向加速度和切向加速度．然后推广至一般平面曲线运动．
质点作圆周运动，如图1-11所示．设在任一段时间内质点由P点运动到Q点，质点在这段时间内沿圆轨道所经过的路程即弧长为△s，它所对应的圆心角为θ，则
△s=Rθ
将上式代入式（1.12），可求得质点速度的大小，即速率等于
(1.19)
以，上式说明，质点作圆周运动时，其线速度等于圆周半径与其角速度的乘积．速度方向沿着运动轨迹在该点的切线并指向运动的前方．
质点作圆周运动时，如果其线速度的大小不随时间改变．则这种运动叫做匀速率圆周运动，否则就叫做变速率圆周运动．但是，不论质点运动的线速度的大小是否随时间改变，由于其速度矢量的方向总在不断地改变着，所以作圆周运动的质点的加速度不等于零．
现在先来讨论质点作匀速率圆周运动的加速度．
图1-12a中，设圆半径为R， t时刻质点位于P点，速度为v（t）， t+△t时刻到达Q点，速度为v（t+△t）．
为了计算出 a，可将矢量v（t）和v（t+△t）平移并画三角形 ABC，如图1-12b所示．因为v（t）重直于OP，v（t+△t）垂直于OQ，所以△t和v（t+△t）之间的夹角也是△θ，即在△t时间内速度方向转过了△θ角．可见，虽然速度大小不变，但因为速度的方向有变化，所以△v≠0．由加速度的定义式，t时刻（在P点）的加速度为
加速度的大小
故
因此加速度的大小为
(1.20)
由于v=ωR，代入上式，a又可以表示为
(1.21)
这就是说，在匀速率圆周运动中，质点的瞬时加速度的大小是一个
方向．于是，由上述得
(1.22)
由此可见，作匀速率圆周运动的质点具有指向圆心或沿法向单位矢
弯曲使速度方向发生变化引起的，是直线运动所没有的．
在变速率圆周运动中，质点速度的大小和方向都随时间改变，所以加速度a和速度v既不会象在直线运动中那样在同一直线上，也不会象在匀速率圆周运动中那样互相垂直，而是夹某一角度，如图1-13所示．这个夹角也可能随时间改变．
因此，在变速率圆周运动中，可将质点在任一时刻或质点在轨道上任一点的加速度正交分解为切向和法向两个分量，即
a=aτ+an
（1.23）
加速度的大小为
(1.24)
加速度的方向以a和该时刻的速度v之间的夹角α表示时，有
（1.25）
法向加速度an和向心加速度相同，它反映速度方向的变化率；切向加速度aτ反映质点速率（速度大小）的变化率，切向加速度可表示成
（1.26）
其大小为
（1.27）
这样，式（1.23）可写成
虽然以上结论是讨论圆周运动得到的，但也可应用到一般的曲线运动，因为一般曲线运动的每一小段都可看作是某一圆的一部分，只是不同小段所对应的圆半径不同而已，见图1-14．曲线上M点附近的一小段所对应的圆称为曲率圆，圆半径称为曲线在该处的曲率半径，用ρ表示．一般曲线运动的加速度可表示为
这种用法向分量和切向分量来表示加速度的方法叫作加速度在自然坐标中的表示法．
质点运动时，如果同时有法向加速度和切向加速度，则质点的速度大小和方向都改变．如果an=0，则a=aτ，质点作变速直线运动；如果aτ=0，则a=an，质点作匀速率曲线运动，若an只是方向改变而大小不变，即an=常量时，作匀速率圆周运动．因此，直线运动和匀速率圆周运动都是一般曲线运动的特例．
例6 列车出站时，由静止开始速率均匀增大，其轨道为半径R=800m的圆弧．已知离开车站一分钟时列车速率为24km·h-1（公里／小时），求在离开车站两分钟时的切向加速度、法向加速度和总加速度．
解 由于速率均匀增加，因此切向加速度大小不变，
已知在△t=1min内，速率增量△v=24km·h-1，故
欲求t=2min时的法向加速度an，应先求出这一时刻的速率v．因为初速为零，故
v=aτt．
t=2min时的法向加速度的大小
这一时刻的总加速度大小
a与v之间夹角
1.1 质点运动的描述
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