polik von Neumann algebra. topology “拓扑”空间 谁跟谁是邻居。但是，如果我们人为地规定（一个括号内的人互为邻居）,我们就定义了集合｛Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ｝的一个“拓扑结构”。“一个”的含义是指这个集合还可以有其他的拓扑结构，只要规定其他形态的“邻居”关系, gauss 高斯曲率本身的导出看起来是完全不涉及度量，但是高斯证明它竟然只依赖于度量

转自理工学院数学园地


　　看科普类的书籍，必然会遇到各种有关“空间”的名词。这些名词在科普书里很少会有明确的解释，要么解释得容易误解。下面把常见的一些空间及其准确的科普级别解释罗列如下。



　　首先是“空间”。一般来说，空间就是一堆点，一个集合。但是由于通常这集合都人为添加有更多的结构，因此名为“空间”。
　　然后是科普最高难懂级别的“拓扑”空间。什么是拓扑？假设给一个５人集合：
 R=｛Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ｝
　　明显，我们并不知道谁跟谁是邻居。但是，如果我们人为地规定（一个括号内的人互为邻居）：｛Ａ，Ｂ，Ｃ｝，｛Ｄ，Ｅ｝，｛Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ｝，｛Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ｝，｛Ｄ｝，｛｝。
　　就这样，我们就定义了集合｛Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ｝的一个“拓扑结构”。“一个”的含义是指这个集合还可以有其他的拓扑结构，只要规定其他形态的“邻居”关系。当然，这种规定是要满足一些条件的，先不管。
　　因此，拓扑事实上是一种“相邻性”的人为指定。上文的一个括号（即R的一个子集）即一个“邻域”，比如｛Ａ，Ｂ，Ｃ｝就是成员Ａ，Ｂ，Ｃ的邻域。一个邻域称为“开集”。
　拓扑纯数学上的定义是这样的
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝====================
设X是一个非空集合。X的一个子集族τ称为X的一个拓扑，如果它满足：
　　（1）X和空集{}都属于τ；
　　（2）τ中任意多个成员的并集仍在 τ 中；
　　（3）τ中有限多个成员的交集仍在 τ 中。
　　称集合X连同它的拓扑τ为一个拓扑空间，记作（X,τ）。称τ中的成员为这个拓扑空间的开集。
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝==============
　　一些拓扑空间的例子：
1.欧几里德空间在通常开集的意义下是拓扑空间，它的拓扑就是所有开集组成的集合。
　　2.设X是一个非空集合。则集合t：{X,{}}是X的一个拓扑。称t为X的平凡拓扑。显然（X,t）只有两个开集，X和{}。
　　3.设X是一个非空集合。则X的幂集T=2^X也是X的一个拓扑。称T为X的离散拓扑。显然X的任意子集都是(X,T)的开集。
　　4.设X={1,2,3}。则{X,{},{1,2}}是X的一个拓扑，但｛X,｛｝,｛1｝,｛2｝｝不是拓扑，因为{1}U{2}={1，2}不属于｛X,｛｝,｛1｝,｛2｝｝
　　为什么要定义拓扑？一个原因是要描述“连续”，另一方面是要引入极限。什么是连续？平常的连续是指“没有断点”，连续直线上的两个点能够“无限*近”，有断点了就不行了，就不连续了。但是这里运用了“*近”，即有了“距离”的概念，而对于一些问题我们并不需要距离，并且实质上涉及的只是“相邻”的概念。由上文所述，相邻是用“拓扑”来描述的。因此，有了拓扑，我们就可以描述“连续”了。另外，“相邻”概念可以引入普遍的“不断*近”的描述（不依赖于距离的不断缩小），于是也就可以谈论极限了。
　　这就是为什么一般谈论到“拓扑”的东西，比如说一张纸只要不撕裂，不粘合任何点，任意变形拉伸蹂躏它都不会改变它的拓扑，因为在这种前提下，纸面各点的“相邻性”没有改变，邻居还是邻居——但是一旦撕裂了，那断裂两侧的邻居就变成远方朋友了；反过来，一旦粘合，则陌生人就变成邻居，这些操作都破坏了邻近性，即破坏了“τ”的结构。 因此，我们说，一张A4纸和一个球面、一个圆柱侧面是不同胚的，球面是A4纸所有边界粘合的结果，圆柱侧面则是两条对边粘合结果。
　　这样，我们就有了“拓扑空间”的准确描述了。




　　欧几里德空间：相对论必提空间。在书籍中提到欧几里德空间通常有两种侧重点：１是侧重它的“平直”性，２是仅仅侧重它平庸简单的“拓扑结构”。
n维欧几里德空间是RX……XR，即n个R（作为最简单的拓扑空间，其开集即为所有的开区间及开区间的交并）的“积”，其中任何一个点表示为(x1,x2,……xn)，记为Rn。其中的开集一般用“a处的球形邻域{x| |x-a|<ε}”来描述。当然它的开集还有其他的描述方法，比如用开立方等，都是同一个拓扑的不同表示。
　　欧几里德空间的拓扑结构是最简单的，一般我们会谈到２维的平面是２维欧几里德空间，然后会跟球面、柱面、莫比乌斯圈这些复杂的拓扑空间做对比。
　　当我们谈到它的平坦性的话，则是指其上附带一个平坦（曲率＝０）的度量。详细的度量介绍在黎曼流形中。它通常与弯曲空间、闵可夫斯基空间做对比。


　　黎曼空间、弯曲空间：广义相对论必提空间。
　　我们拿到一个空间之后，其实不能说它是否弯曲了。比如我们拿到一个欧几里德空间，如前面所述，可能只是指我们拿到了一个拓扑空间，还没有给它赋予一个“弯曲结构”，即不能谈论它的弯曲。
　　怎样才能讨论它的弯曲呢？我们必须给它一个度规，或者“度量”。这个度量是人为给定的，反映了这个空间的任何两个点（一般是无限邻近的两点的距离），形状如：
各类数学物理空间 - hemanzi - 记忆成长的历程
　　上式即给出了两个邻近点的距离的表达式。这个表达式中含有坐标变量r，θ，φ，即与坐标系选择有关。上图给出的线元自然是熟知的球坐标的线元，并且它给出了一个平坦的欧几里德空间。对了，现在可以讨论欧几里德空间的平坦性了。这是很显然的，平常我们用个球坐标并不会把欧几里德空间扭弯，不同的坐标不会改变空间的弯曲情况。况且，我们可以做个坐标变换，把球坐标换回直角坐标，于是线元变成了很简单的：ds2=dx2+dy2+dz2。我们看到，线元方程右边三个平方项的系数为１，１，１，通过一定的计算可以知道这是标准的“平坦度量”，即给出了一个平坦的空间。
　　现在小结一下，一句话，度量告诉空间如何弯曲。
　　一个空间（指确定的拓扑性质）可以赋予不同的度量，使得它能够有不同的弯曲情况。熟悉的例子是，同样是４维欧几里德空间，我们可以给它最普通的“伽利略时空”度量，即度量为ds2=dx2+dy2+dz2+dt2，又可以给它一个闽可夫斯基度量ds2=－dt2+dx2+dy2+dz2，注意时间dt前是负号。这就是著名的伽利略时空和狭义相对论时空，差别就是度量的一个负号。狭义相对论的闽可夫斯基度量也是平坦的。我们还可以赋予它其他更加复杂的度量，这些复杂的度量无情地弯曲了可怜的欧几里德空间。
　　这就是广义相对论。
　　广义相对论用的是“黎曼空间”。黎曼空间在数学中一般是指“线元总是大于０即ds2>0，并且线元对称”的空间。线元对称是指其中的两个相关的交*项，比如dxdy和dydx的系数相等，而我们上面给出的线元这些项系数均为０，故也是对称的线元。为什么要泾渭分明地分开说dxdy和dydx呢？因为这两个一般来说是不等的，就像矩阵乘法AB≠BA一样。严格地描述线元应该用张量语言，在那里可以清楚地看见这两者确实不等。
　　但是由于广义相对论是从狭义相对论来的，不能随便扔一个度量过去就完事，因此其度量是受限制的，即受等效原理约束，这个度量必须能在“自由下落系（所谓系，是指坐标系）中还原到闵可夫斯基时空”。因此，广义相对论的度量ds2可不一定>0，因为有个－dt2的存在。因此，实际上广义相对论用的是“广义黎曼空间”，即拥有“对称线元”的空间。
　　


　　为什么说，有了度量，空间就可以弯曲了呢？
　　这要从高斯说起。高斯是伟大数学家，高数有他的定理，很多地方都有他的定理。几何学也不例外，最著名的几何定理就是他的“高斯绝妙定理”（定理得名字也是这么牛，可见此定理之牛B程度）。这个定理说的是，一个二维曲面，其高斯曲率only与其上的度量有关。用中文说明白点就是如下：
给定了一个曲面，它用参数方程表达为r=r(u,v)，那么它上面的邻近两点的距离平方自然是：
ds2=dr2=ru2du2+rv2dv2+2ruvdudv
　　其中ru是矢量r（作为u,v的矢量函数）对u的偏导数，ru也是一个矢量，各分量分别是r分量函数对u的偏导数。ru2、rv2、+2ruv就是度量（系数）。
　　高斯曲率是一个很重要的曲率，它是一个实数，它反映了一个曲面的“内禀弯曲程度”，一个耳熟能详的例子就是我们可以把一张A4纸温柔地卷曲（不拉伸不蹂躏）成一个圆柱筒，然后A4纸的高斯曲率与圆柱筒的高斯曲率是一样的，但我们不能把A4纸温柔地弄成一个球形，因为两者的高斯曲率是不同的。可以感觉到，高斯曲率反映了一个曲面真正的弯曲情况。
　　高斯曲率本身的导出看起来是完全不涉及度量，但是高斯证明它竟然只依赖于度量。其实现在看来也很容易理解，“温柔地卷曲、不拉伸”就是说不改变曲面任何两点的相对距离，就是说当新曲面任何两点的相对距离都不改变、都与模板曲面相同的时候，则新旧曲面的高斯曲率是一样的。
　　这一点推广到了高维的情况。在高维时候，给了空间一个度量以后，这度量就决定了一个曲率张量（即一堆实数，这些实数有机结合起来成了一个巨大的张量），这个曲率张量描述了这个空间“真正的弯曲情况”。
　　


　　为什么爱因斯坦那么喜欢这个张量呢？这堆恶心的实数有什么牛B之处？
　　我们说平坦无奇的A4纸与一个圆筒是不同的，因为我们看到圆筒比较弯曲。但这是站着说话不腰疼，因为我们长得比一张A4纸高，比圆筒大，更为本质一点地说，我们站在一个三维空间中对这两个二维的东西说三道四。我们忘了多少年以来古人一直认为地球是平的，这是一个典型的例子说明约束在一个巨大的２维（曲）面上的生物是多么可怜和无知。
　　我们现在大多数人都知道地球是个球，而对此最重要的理解就是我们在太空拍下了地球的球状图片，我们在三维宇宙空间中观看地球——如果没有这些图片，相信大家都还会以为地球是平的。
　　说一下题外话：地球例子是个很著名的例子，它主要用于两个论题：１就是本文正在讨论的这个问题，另一个是略为不同的，说明“弯曲的空间在局域、小区域是平直”的。
　　回到原问题。那么为什么在卫星上天以前，我们就知道地球是球的呢？呵呵，因为有麦哲伦……当然这说法也不一定对。有麦哲伦的环球航行，不一定说明地球是球状，也可以是一个巨大的圆筒。关键是我们有像麦哲伦这样的一些伟大的航海家、陆行者、测绘者。他们用船、双腿、仪器，在地面上划出许多“线”，这些线都用于对世界两点距离的确定之中。通过这些距离数据，我们可以看出，地球确实是球形的。
　　高斯曾经想做这个实验，通过确定三座高山的距离来算一下地球是不是球状，以及弯曲程度。当然他没有成功，但是后继的人陆续成功了。前文说过，一个曲面的真正的弯曲程度是由“度量”即任何两点距离来确定的。通过确定地面上各地点之间的距离，我们可以站在地球表面上得出地球是球形这个伟大的结论——这是几何学的伟大成功，也为我们测量宇宙时空弯曲程度提供方法。我们不需要站到５维欧几里德空间中来观看我们的宇宙（这种居高临下的观察行为叫做“嵌入”，把低维的物体放进高维空间中观察其外观形状），只需要在宇宙中航行、测量，就可以通过距离来定出宇宙真正的弯曲程度了。
　　讲广义相对论的书很多会有一个苹果和上面的虫子、蚂蚁图。这幅图就是源自高斯绝妙定理，“度量决定弯曲”。
　　更细致的情况是这样的：给定了度量，那么曲率就可以写出来了，它是一个４阶张量（矩阵），记作R：
各类数学物理空间 - hemanzi - 记忆成长的历程　　
R是一个n X n X n X n矩阵，标号ijkl 负责指明位置。这个数（函数）共同表征了弯曲空间的本质弯曲，矩阵（张量）R有一定的反对称性，使得这n4个数并非完全互相独立的，当n=2即２维曲面时，只剩下一个独立的量，这个量就是高斯曲率。当n=1时，R=0，因此一根线其实内禀曲率＝０，因此可以很轻松地把一根线弯曲成各种你能够想得出的形状，但是不用拉伸线。
　　文似看山不喜平，科普文也一样。刚说完的“度量决定曲率”这个斩钉截铁的“真理”其实并不绝对。“度量决定曲率”其实是黎曼几何势力范围内才能成立的，更加本质的结论在微分几何中描述。黎曼几何是微分几何的一小块，前面说到的，弯曲空间上人为附加了“度量结构”才引入黎曼几何，倘若不添加这度量结构，或者附加别的结构的话，那就不是黎曼几何了。
　　
关于曲率的一般的说法是，曲率由联络决定；通俗地说，一个弯曲空间中其实没有固有（即理所当然的、众口一词的）的“平行移动”概念，请看http://spetw.sysu.edu.cn/bbs/dispbbs.asp?boardID=31&ID=246&page=1，于是，我们就人为地指定（只需要满足一定的小条件，就可以了；事实上，有无穷种不同的指定方法，相当随意）“什么是平移”，方法是在弯曲空间中n3个与坐标有关的函数。由人所指定的平行移动方法，产生了空间的“弯曲”，即曲率。简单地说，就是“平移的定义决定曲率”。
热爱数学的同学们可能会想知道度量的切实数学含义。下面就简单介绍一下。
　　首先，我们来观看一个线性空间（矢量空间）。任给一个矢量空间，那么里面的矢量的长度你是知道了吗？
　　粗略地看来，仿佛是知道了的。因为我们可以用内积|x|2=x12+……+xn2。但是，数学家们的眼光很独特，他们说没有法律规定这就是长度。他们使用一种双线性映射来定义矢量的“内积”（严格讨论长度的语言应该用赋范空间，讨论内积应该用内积空间）g(X,Y)，g是一个双线性映射VXV——>R，满足：
g(aX,Y)=ag(X,Y)，g(X,bY)=bg(X,Y),
g(X+Z,Y)=g(X,Y)+g(Z,Y),g(X,Y+Z)=g(X,Y)+g(X,Z)
g(X,Y)=g(Y,X)
　　这就定义了一个“度规”。前两行是线性性，第三行定义了它的对称性。可以证明，当矢量空间选取某个坐标基底，则g(X,Y)可以表达成ΣguvXuYv，（u,v从１到n（空间维数）求和）。于是，当guv=δuv时候，g(X,Y)恰好等于普通的内积，此时，这个线性空间成了欧几里德空间（因为有了度规），不过这时的欧几里德空间多了一种结构——线性运算结构，这是由于我们一开始讨论就设定了一个矢量空间的原因。
　　我们知道弯曲的空间每一点有它的切矢量，比如球面任何一点处都有与球面相切的一堆矢量，这些矢量铺成一个２维的矢量空间（看起来像一个与球面相切的平面）。于是这相当于在空间的每一点都安装了一个“切矢量空间”。如果我们在每一点再人为添加一个映射g与该处的切矢量空间相联系，那么，这个满布整个空间的g就成了空间的度规场，它描述着空间每一点切空间矢量的长短事宜。知道了这个空间的切矢量的长短事宜，我们就可以通过积分来把两点的距离算出来。样子就是：
图片点击可在新窗口打开查看

　　自然，T就是切矢量了，积分是沿着某一条曲线来进行的．当曲线不断缩短，那么就曲线两个端点就是无穷邻近点，上式就给出了线元的表达式．
　　再具体一点的说这个问题，是这样的：假设弯曲空间有一个坐标系了xu，u=1,...,n，n是空间的维度。那么每一点就有n个坐标基矢：
图片点击可在新窗口打开查看
　　我们知道线性空间的基底组是很任意的，只要组内n个矢量线性独立即可，而一个合格的坐标系就会使得坐标基矢组线性独立，那么这n个矢量完全可以充当切空间的基底。在这基底下，g(X,Y)=ΣguvXuYv，u,v=1,2,...n，求和。注意到函数组（其实是一个张量的分量）guv。可以证明，此时弯曲空间的线元就是
ds2=Σguvdxudxv









引文来源  ［科普］各类数学物理空间[理工学院学生园地]

nLab
von Neumann algebra

Skip the Navigation Links | Home Page | All Pages | Latest Revisions | Authors | Feeds | Export |

Context

Algebra

higher algebra
universal algebra

Algebraic theories

• algebraic theory / 2-algebraic theory / (∞,1)-algebraic theory
• monad / (∞,1)-monad
• operad / (∞,1)-operad

Algebras and modules

• algebra over a monad
  ∞-algebra over an (∞,1)-monad
• algebra over an algebraic theory
  ∞-algebra over an (∞,1)-algebraic theory
• algebra over an operad
  ∞-algebra over an (∞,1)-operad
• action, ∞-action
• representation, ∞-representation
• module, ∞-module
• associated bundle, associated ∞-bundle

Higher algebras

• monoidal (∞,1)-category
  
  • symmetric monoidal (∞,1)-category
  • monoid in an (∞,1)-category
  • commutative monoid in an (∞,1)-category
• symmetric monoidal (∞,1)-category of spectra
  
  • smash product of spectra
  • symmetric monoidal smash product of spectra
  • ring spectrum, module spectrum, algebra spectrum
• A-∞ algebra
  
  • A-∞ ring, A-∞ space
• C-∞ algebra
• E-∞ ring, E-∞ algebra
  
  • ∞-module, (∞,1)-module bundle
  • multiplicative cohomology theory
• L-∞ algebra
  
  • deformation theory

Model category presentations

• model structure on simplicial T-algebras / homotopy T-algebra
• model structure on operads
  model structure on algebras over an operad

Geometry on formal duals of algebras

• Isbell duality
• derived geometry

Theorems

• Deligne conjecture
• delooping hypothesis
• monoidal Dold-Kan correspondence

Edit this sidebar

Functional analysis

• Functional Analysis

Overview diagrams

• topological vector spaces
• locally convex topological vector spaces

Basic concepts

• topological vector space
  
  • locally convex topological vector space
  • Banach Spaces
    
    • reflexive
  • Hilbert Spaces, Fréchet Spaces, Sobolev spaces, Lebesgue Spaces
  • Bornological Vector Spaces
  • Barrelled Vector Spaces
• linear operator
  
  • bounded, unbounded, self-adjoint, compact, Fredholm
  • spectrum of an operator
• operator algebras
  
  • functional calculus

Theorems

• Stone-Weierstrass theorem
• spectral theory
  
  • spectral theorem
  • Gelfand duality
• functional calculus
• Riesz representation theorem
• measure theory

Topics in Functional Analysis

• Bases
• Algebraic Theories in Functional Analysis
• An Elementary Treatment of Hilbert Spaces
• When are two Banach spaces isomorphic?

Edit this sidebar

Measure and probability theory

measure theory
probability theory

Measure theory

• measurable space, measurable locale
• measure, measure space
• von Neumann algebra
• geometric measure theory

Probability theory

• probability space
• probability distribution
• state
  
  • in AQFT and operator algebra
  • GNS construction
  • Fell's theorem
• entropy, relative entropy

Information geometry

• information geometry
• information metric
• Wasserstein metric

Thermodynamics

• thermodynamics
• second law of thermodynamics, generalized second law
• ergodic theory

Theorems

• Riesz representation theorem

Edit this sidebar

AQFT

AQFT and operator algebra

Definitions

• quantum mechanical system
  
  • observable
    
    • operator algebra
      
      • C*-algebra
      • von Neumann algebra
    • subsystem
  • state,
    
    • cyclic vector, separating vector
• local net of observables
  
  • Haag-Kastler axioms
  • Wightman axioms
  • causal net
  • field net
  • conformal net

Theorems

States and observables

• Kochen-Specker theorem
• Gleason's theorem
• Wigner theorem

Operator algebra

• GNS construction
• modular theory
• Fell's theorem
• Stone-von Neumann theorem
• Haag's theorem

Local QFT

• Reeh-Schlieder theorem
• Bisognano-Wichmann theorem
• PCT theorem
• spin-statistics theorem
• DHR superselection theory

Euclidean QFT

• Osterwalder-Schrader theorem

Edit this sidebar

Contents

• Idea
• History and terminology
• Definitions
  • Abstract von Neumann algebras
  • Concrete von Neumann algebras
• Sakai’s theorem and properties of preduals
• Elementary examples
• Properties of morphisms of von Neumann algebras
• $W^*$-categories
• Modules over von Neumann algebras
• Bimodules over von Neumann algebras and Connes fusion
• Modular algebra and Tomita–Takesaki theory
• Gelfand duality for commutative von Neumann algebras
• Relevance
• General
• Relation to measurable spaces
• Topics of interest for the understanding of AQFT
  • Vectors
  • Projections in von Neumann algebras
    • Projections are norm dense
    • Gleason’s theorem
    • Murray–von Neumann classification of factors
  • Miscellaneous
• Related concepts
• References

Idea

A von Neumann algebra or $W^*$-algebra is an important and special kind of operator algebra, relevant in particular to measure theory and quantum mechanics/quantum field theory in its algebraic formulation as AQFT. Specifically, (non-commutative) von Neumann algebras can be understood as the formal duals of (non-commutative) localizable measurable spaces (or measurable locales); see the section Relation to measurable spaces below.

History and terminology

Since terminology varies in the literature, we will say something about this first. There are no precise definitions here; see below for those.
(Of course, $W^*$-algebras should not be confused with W-algebras in (logarithmic) conformal field theory.)
John von Neumann originally studied certain operator algebras (back then they were called rings of operators), defined as unital $*$-subalgebras of the algebra $B(H)$ of bounded operators on some Hilbert space $H$ that are closed in any of the several operator topologies on $B(H)$ (except for the norm topology, which gives $C^*$-algebras); the ultraweak topology is most convenient for our purposes.
One disadvantage of such a definition is that it makes it difficult to separate properties of von Neumann algebras from properties of their representations on Hilbert spaces. For example, all faithful representations induce the same ultraweak topology on a von Neumann algebra, but different representations induce different weak topologies. Furthermore, not all von Neumann algebras come automatically equipped with a representation on a Hilbert space, such as the coproduct of two von Neumann algebras (although such a representation can always be constructed). Finally, this definition unnecessarily confuses two very distinct notions: algebras and modules (or representations).
Therefore, we may use the modern abstract terminology in which a von Neumann algebra is defined as an algebra with certain structures and properties. It then becomes a theorem that every von Neumann algebra has a free representation on a Hilbert space (such as Haagerup's standard form), so we may study von Neumann algebras in the historical concrete sense if we wish; but now we think of these as particular representations of algebras.
In the old terminology, morphisms of representations of von Neumann algebras (von Neumann algebras in the historical concrete sense) are sometimes called spatial morphisms of von Neumann algebras (as opposed to the abstract morphisms that we will define below). Similarly, the concrete von Neumann algebras themselves are sometimes called von Neumann algebras, whereas the abstract von Neumann algebras are called $W^*$-algebras. Compare the historic definitions of $C^*$-algebras, as well as other examples of concrete and abstract structures such as manifolds.
The nPOV dictates that a clear distinction between the categories of algebras and modules must be maintained, in particular, modules should not be confused with algebras. Hence we stick to the modern terminology, which also seems to be preferred in new papers on von Neumann algebras, see for example arXiv:1110.5671v1.

Definitions

For completeness, we give both the modern abstract and historical concrete definitions.

Abstract von Neumann algebras

We build on the concepts of Banach space and (abstract) $C^*$-algebra. In this definition, a Banach space is a complex Banach space and a morphism of Banach spaces is a short linear map (a complex-linear map of norm at most $1$); a $C^*$-algebra is a complex unital $C^*$-algebra, and a morphism of $C^*$-algebras is a unital $*$-homomorphism (which is necessarily also a short linear map). Note in particular that an isomorphism of either must be an isometry.
Given a Banach space $A$, a predual of $A$ is a Banach space $V$ whose dual Banach space $V^*$ is isomorphic to $A$:

$$V^* \overset{i}\to A$$

(or more properly, equipped with such an isomorphism $i$). Similarly, given a morphism $f\colon A \to B$ (properly, with $A$ and $B$ so equipped), a predual of $f$ is a morphism $t\colon W \to V$ whose dual is isomorphic to $f$:

$$\array { V^* & \overset{i}\to & A \\ \mathllap{t^*}\downarrow & & \downarrow\mathrlap{f} \\ W^* & \underset{j}\to & B } .$$

With these preliminaries, a $W^*$-algebra or (“abstract”) von Neumann algebra is a $C^*$-algebra that admits a predual (or more properly, equipped with one), and a $W^*$-homomorphism is a $C^*$-homomorphism that admits a predual. In this way, the category of $W^*$-algebras becomes a subcategory of the category of $C^*$-algebras.
It is a theorem (see below) that the predual of a $W^*$-algebra or $W^*$-homomorphism is essentially unique; we speak of the predual of $A$, write it $A_*$, and identify $A$ with $(A_*)^*$ (and similarly for morphisms). (So in fact we don't need the word ‘equipped’; being a $W^*$-algebra is an extra property, not an extra structure, on a $C^*$-algebra.)

Concrete von Neumann algebras

Fix a complex Hilbert space $H$ and consider the algebra $B(H)$ of bounded operators on $H$. A (“concrete”) von Neumann algebra on $H$ is a unital $*$-subalgebra of $B(H)$ that is closed in the weak operator topology, or equivalently in the ultraweak topology? or in the strong topology. As such is automatically closed in the norm topology, the von Neumann algebras form a (particularly nice) class of concrete $C^*$-algebras on $H$, where the latter are defined as unital $*$-subalgebras of $B(H)$ closed under the norm topology.
We equip a von Neumann algebra with the topology induced by its inclusion into $B(H)$ equipped with the ultraweak topology. An abstract morphism of von Neumann algebras can then be defined as a unital $*$-homomorphism that is continous in the ultraweak topology. Here we are disregarding the data of the inclusion of a von Neumann algebra into $B(H)$ and treating it as an algebra on its own.
Alternatively, we can define a von Neumann algebra $A$ as a unital $*$-algebra that admits an injective morphism into $B(H)$ for some Hilbert space $H$ such that the image of the inclusion is closed in the ultraweak topology on $B(H)$. One can then prove that the topology induced on $A$ by the ultraweak topology on $B(H)$ does not depend on the choice of $H$ or the particular inclusion of $A$ into $B(H)$. Hence one can define an abstract morphism of von Neumann algebras as a unital morphism of $*$-algebras that is continuous in the ultraweak topology.
It is a theorem that the category of (concrete) von Neumann algebras and abstract morphisms is equivalent to the category of (abstract) $W^*$-algebras and $W^*$-homomorphisms. Similarly, we get the category of representations of $W^*$-algebras on Hilbert spaces using instead the spatial morphisms of concrete von Neumann algebras.

Sakai’s theorem and properties of preduals

Sakai’s theorem states that preduals considered in the abstract definition are necessarily unique. More precisely, given a von Neumann algebra $A$ we consider the category whose objects are pairs $(V,f)$, where $V$ is a Banach space and $f\colon V^*\to A$ is an isomorphism of Banach spaces. A morphism from $(V,f)$ to $(W,g)$ is a morphism $h\colon V\to W$ of Banach spaces such that $f h^* = g$.
Sakai’s theorem then states that in the above category there is exactly one morphism between any pair of objects, which is necessarily an isomorphism. In particular, the category of preduals is canonically isomorphic to the terminal category.
Sakai’s theorem can be extended to morphisms of von Neumann algebras. Thus preduals of von Neumann algebras and their morphisms are unique up to a unique isomorphism, in particular we can talk about the predual of a von Neumann algebra and the predual of a morphism of von Neumann algebras.
The weak topology induced on a von Neumann algebra by its predual is called the ultraweak topology. The role of the ultraweak topology for von Neumann algebras is analogous to the role of the norm topology for C*-algebras. In particular, morphisms of von Neumann algebras are precisely those morphisms of C*-algebras that are continuous in the ultraweak topology.
Consider the dual space $V$ of a von Neumann algebra $A$ equipped with the ultraweak topology. The topological vector space $V$ canonically embeds into the dual of $A$ as a Banach space, the embedding map being induced by the canonical continuous map from $A$ equipped with the norm topology to $A$ equipped with the ultraweak topology. Thus $V$ is also a Banach space. There is a canonical morphism of Banach spaces from $A$ to $V^*$ given by evaluating an element of $V$ on the given element of $A$. This morphism is in fact an isomorphism, hence $V$ is the predual of $A$. In other words, the predual of a von Neumann algebra is canonically isomorphic to its dual in the ultraweak topology. Similarly, the predual of a morphism of von Neumann algebras is canonically isomorphic to its dual in the ultraweak topology.

Elementary examples

The easiest example of a von Neumann algebra is given by the $C^*$-algebra $B(H)$ of bounded operators on a complex Hilbert space $H$. The predual can be canonically identified with the Banach space of trace class operators.
Any $C^*$-subalgebra of $B(H)$ closed in the ultraweak topology is again a von Neumann algebra.
Another example is $L^\infty(X)$ under pointwise almost everywhere multiplication, where $X$ is a measure space or a localizable measurable space. These are (up to isomorphism) all of the commutative von Neumann algebras, according to a specialized version of the Gelfand–Naimark theorem. In the case where $X$ is a finite measure space, where we have $L^\infty(X) \subset L^2(X)$, a concrete realization $L^\infty(X) \hookrightarrow B(L^2(X))$ is given by considering $L^2(X)$ as an $L^\infty(X)$-module given by pointwise almost everywhere multiplication.

Properties of morphisms of von Neumann algebras

$W^*$-categories

Modules over von Neumann algebras

Bimodules over von Neumann algebras and Connes fusion

Modular algebra and Tomita–Takesaki theory

• modular theory

Gelfand duality for commutative von Neumann algebras

Relevance

The Gel’fand–Naimark theorem states that there is a contravariant equivalence between the category of commutative von Neumann algebras and the category of localizable measurable spaces; that is, the opposite category of one is equivalent to the other. See Relation to Measurable Spaces below. General von Neumann algebras are seen then as a ‘noncommutative’ measurable spaces in a sense analogous to noncommutative geometry.
The importance of von Neumann algebras for (higher) category theory and topology lays in the evidence that von Neumann algebras are deeply connected with the low dimensional quantum field theory (2d CFT, TQFT in low dimensions, inclusions of factors, quantum groups and knot theory; elliptic cohomology: works of Wenzl, Vaughan Jones, Anthony Wasserman, Kerler, Kawahigashi, Ocneanu, Szlachanyi etc.).
The highlights of their structure theory include the results on classification of factors (Alain Connes, 1970s) and theory of inclusions of subfactors (V. Jones). (Hilbert) bimodules over von Neumann algebras have a remarkable tensor product due Connes (Connes fusion). Following Segal’s manifesto

• Graeme Segal, Elliptic cohomology (after Landweber-Stong, Ochanine, Witten, and others). Séminaire Bourbaki, Vol. 1987/88. Astérisque No. 161-162 (1988), Exp. No. 695, 4, 187–201 (1989).

and its update

• Graeme Segal, What is an elliptic object? Elliptic cohomology, 306–317, London Math. Soc. Lecture Note Ser., 342, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2007.

on hypothetical connections between CFT and elliptic cohomology, Stolz and Teichner have made a case for a role von Neumann algebras seem to play in a partial realization of that program:

• Stefan Stolz and Peter Teichner, What is an elliptic object? (pdf)

See also the Wikipedia entry entry for more on von Neumann algebras and a list of references and links.

General

The bicommutant theorem (as known as the double commutant theorem , or von Neumann’s double commutant theorem ) is the following result.
Let $A \subseteq B(H)$ be a sub-star-algebra of the C-star algebra of bounded linear operators on a Hilbert space $H$. Then $A$ is a von Neumann algebra on $H$ if and only if $A = A''$, where $A'$ denotes the commutant of $A$.
Notice that the condition of $A$ being a von Neumann algebra (being closed in the weak operator topology; “weak” here can be replaced by “strong”, “ultrastrong”, or “ultraweak” as described in operator topology), which is a topological condition, is by this result equivalent to an algebraic condition (being equal to its bicommutant).

Relation to measurable spaces

The Gel’fand–Naimark theorem states that the category of localizable measurable spaces is contravariantly equivalent to (that is equivalent to the opposite of) the category of commutative von Neumann algebras. As such, arbitrary von Neumann algebras may be interpreted as ‘noncommutative’ measurable spaces in a sense analogous to noncommutative geometry.

Topics of interest for the understanding of AQFT

This paragraph will collect some facts of interest for the aspects of AQFT.
In this paragraph $\mathcal{M}$ will always be a von Neumann algebra acting on a Hilbert space $\mathcal{H}$ with commutant $\mathcal{M}'$.

Vectors

Definition. A vector $x \in \mathcal{H}$ is a cyclic vector if $\mathcal{M}x$ is dense in $\mathcal{H}$.

Definition. A vector $x \in \mathcal{H}$ is a separating vector if $M(x) = 0$ implies $M = 0$ for all $M \in \mathcal{M}$.

Theorem. The notions of cyclic and separating are dual with respect to the commutant, that is a vector is cyclic for $\mathcal{M}$ iff it is separating for $\mathcal{M}'$.

Projections in von Neumann algebras

One crucial feature of von Neumann algebras is that they contain “every projection one could wish for”: there are three points that make this statement precise:

• the linear combinations of projections are norm dense in a von Neumann algebra
• Gleason's theorem
• Murray–von Neumann classification of factors

Projections are norm dense

First let us note that every element $A$ of a von Neumann algebra can trivially be written as a linear combination of two selfadjoint elements:

$$A = \frac{1}{2} (A + A^*) + i\frac{1}{2i} (A - A^*)$$

Then, by the spectral theorem every selfadjoint element A is represented by it’s spectral measure E via

$$A = \integral_{-\|A\|}^{\|A\|} \lambda E(d\lambda)$$

The integral converges in norm to A and all spectral projections are elements of the von Neumann algebra. It immediatly follows that the set of finite sums of multiples of projections is norm dense in every von Neumann algebra.

Gleason’s theorem

See Gleason's theorem.

Murray–von Neumann classification of factors

To be done…

Miscellaneous

• split inclusion of von Neumann algebras

Related concepts

• enveloping von Neumann algebra
• von Neumann algebra factor

References

• Jacob Lurie, von Neumann algebras, lecture series (2011) (web)

Revised on April 28, 2014 10:10:06 by Toby Bartels (64.89.53.201)


闲论Atiyah-Singer指标定理

几番被人转载，已经不知道原文作者在哪儿了。感觉很不错，值得看一看


Nowadays, mathematicians tend to over-abstract things that in fact cannot be further abstracted, which not only dilutes the essence of concepts but also drives away potential students and users, and eventually, if this pathological mood is not cured, will make a lot of mathematicians breadless. ---------Vladimir Igorevich Arnold

开场白

余观天下学数众才，体察愈久，遗憾益多。开始决定献身数学时，大家都是聪明、愉快、可爱、活泼的，也是被别人视为天赋才俊。但是随着时间推进，一些人开始变愚蠢了，一些人开始变苦闷了，一些人开始变得令人讨厌了，一些人开始变古怪了，一些人变虚弱了。更过一些时间，一些人已经是白痴了，一些人已经自杀了，一些人已经是罪犯了，一些人已经是疯子了，一些人累死了。现在走在这条路上的或朝这条路上走的仍然是千千万万，各种悲剧天天发生。身是献了，但白献了。还搭上翘首期望的家人亲友以及一些无辜的关连者。

万幸偶有小成大成者，却同时也惹出一堆冤家对头，倾扎之惨烈，不亚于黑帮火并。暂时胜者担心报复，除时时努力固守城池以外，也终日疑神疑鬼，久而变态失常，最终众叛亲离者绝非鲜见；一时败者则卧薪尝胆，时时司机反扑，报得一箭之仇，然现实常常是仇难报，气难消，遂焦躁不安，怨天尤人，久而变得古怪，抑郁，甚至崩溃。


为何开始看起来的一桩好事会变得这样惨呢？主要是态度不对。古人练功修行讲的德字主要是就是讲态度要正确。现在很多人，由首先喜欢数学崇拜数学变成拿数学当商品工具谋名获利，并以所得多少作为衡量成功与否的标志，多数人因此走入歧途是必然的。正确的态度是你玩数学或你与数学玩。以玩得开心为最高宗旨。既不要想通过学数学抱得美人归，住进黄金屋，做得人上人，也不要想去光宗耀祖，恩泽乡里，更不要想去当所谓英雄为民族争光，报效国家，这些人充其量也就是被权贵玩来摆去的宠物狗。如果一开始就是以正确的态度学数言数，玩数之人就会永远保持聪明、愉快、可爱、活泼。如果是这样，我们看到的数学文章着作也决不是现在这样以狗狗互相威聂的方式写成声明书。

本文题头引用的数学物理大师也是教育大师Arnold的话，反映本人对数学（物理）界悲剧的另一些观察是也没有错误的。数学生到大二左右，就开始幻想脱离俗家尘世，进入不食人间烟火的状态。先是与"土得掉渣，难以启齿"的具体数字和图形决裂，然后是大胆抛弃"半土不洋，肤浅得很"的运算和公式，匆匆穿上光鲜的水货衣服（半懂不懂的外文书），擦上廉价的胭脂（网上抄来的作业），配上借来的首饰（一知半解的老师讲义），端着身子急急溶入"豪华典雅，宛如仙境"的各种抽象定义引理定理建构的"上流社会"。但是，正如Arnold指出的，不必要的抽象不但害人，终将害己。与学武功的人类比，过分抽象等于过份强调虚力、意志和策略而忽视实力、环境和具体的战术，好多从数之人走向悲剧，不光做不出数学成果，最终连一份谋生的差事都做不来，重蹈邯郸学步覆辙，实属自取其果，如果一开始就加以注意，完全可以避免。

鉴于上面几点，本文的第一个主要目的当然是要向外行以草包大众喜闻乐见的方式介绍一些常人望而生畏的着名数学难题，作点破除迷信，奚落权威的事。旧时艰涩书中物，进入平常百姓心，翰林神道华山剑，屠狗之辈亦善玩。既向有数学兴趣的人展示绝大多数的抽象是不必要的害人之物，另外也顺便将一些所谓的"高度抽象"概念之唬人外表揭穿──世上无神鬼，都是人炒起也，跟着抽象起哄的数学家中真正懂得实质的人并不多，与江湖郎中一样。本文另一个主要目的之一是（向数学家们或数学家们to be）示范如何以正确态度学数学，如何以正确态度讲数学。看看我如何讲数学，如何理解数学，希望给学数同道树个榜样。希望你们读完此文以后，不光是具体知识增长了，学数教数的态度也变得积极正面一些，个人生活变得快乐一些，减少悲剧的发生。

（几个荤笑话有些长，我删掉了。）
（某些）微分方程的解（的数目）由定义该微分方程的空间的几何拓扑特征全部决定。或更简单地讲，一个空间中某些行为好的微分方程的解的数目是一个拓扑不变量。

列位看官已经知道AS不光不神秘，简直就是BS。这时，恐有人跳将出来，大呼"亵渎亵渎！"，"浅薄浅薄！"，"狂妄狂妄！"。
在下今天不光要说，AS的表达一点不难，还要说它的证明也不难。一不做，二不休，坚持浅薄不动摇，将亵渎进行到底，狂妄后面乾脆再麻烦您加上透顶二字！

尊重江湖规矩，用黑话表达AS：

记纤维丛E(F,M,π,G）的截面s(E,F) 与s(E,F＇)间映射D，则其解析指标，即其零频解的数目dim ker D - dim coker D等于其拓扑指标
Topo_Ind (D) = Int_[i_m ~ ch(σ)]
其中I_M是微分形式，由在其上面定义方程的流形M的曲率所确定，项ch(σ)为得自方程的象征的微分形式,int代表积分。或者用另一种更明确的表达式：
Topo_Ind(D) = (-1)^n < ch (s(D)) ~ td (TCM) , [m] >
其中n是流形M的维度，s(D)是微分算子D的像征，ch 代表陈特征，TCM 是流形M的复化切丛，td 代表Todd类，~ 是上积或杯积，[m]是流形M的基本类 , <-,-> 是Kronecker配对。

如有人在此受到惊吓或愤怒，则正好达到了本人目的。但请列位看官莫要惊慌，更不要埋怨，且等在下花上三言两语，上面那些黑话撩起的迷雾必会顷刻消散。数学江湖以艰涩隐晦为荣尊，化简为繁，变浅为深，是为至高皈依，谁将一件最简单的事说得最复杂以致普天下无人能懂，则可被崇为天宗。想当初，高斯常常宣布一些惊人结果而又不给出证明，遂得王子头衔。罗素写出<<数学原理>>两本天书，无人能读，被奉成数学之神。格罗腾迪克出版<<代数几何基础>>洋洋万页，页页难过天书，令所有数学家无地自容，立得数学之无极大王称号（他老人家面对如此荣耀一时竟受不了，从此精神崩溃，家破人亡。阿弥陀佛！）。一时间，大小玩数者，竞相仿效，环顾数国，一片乌烟瘴气。可怜天下百姓闻数丧胆，唯恐避之不及。在下深知众生历受大小数霸之欺何其苦也，故尊天意反其道而行之，以简为尊，以易为荣，以最平白文字讲述最深刻真理而不失严谨，解放天下数残理痴。将数学贵族才能享受的佳肴美酒搬上平民百姓的饭桌，是为吾宗。

先容在下将一些唬我看官的名词表列出来以便一一驯服，记有
1. 映射
核，余核，伴随算子，椭圆算子，Fredholm 算子，象征
2. 纤维丛
纤维，截面，结构群，切丛
3. 微分形式
（上）同调类
4. 特征类
陈类
Todd类
基本类
杯积
Kroneker 配对
5. K群，范畴

也就是四、五组十来个术语。平常这些玩意个个如凶神恶煞，动不动要占上专著数部，洋
洋逾千页，一般学子几年苦修方得一知半解，云里雾里。今天诸君只要浏览三五页版面约
几支香功夫即可大体完成，唯一要求是心中反覆默念本师之名，直至开悟。

这些概念今天肯定讲不完，但不要急，我们今天会见到一个真正的指标定理。

映射是最基本也是最抽象的数学操作之一，将两个集合的元素关连起来。我们不妨叫第一个集合叫原物（妻集），映射到第二个集合里生成的集体叫像（夫集）。数学家男的多，因此，多（妻）对一（夫）是可能的，但一（妻）对多（夫）是绝对禁止的。

如果物国里每个女人都有（一个）仅属于自己的男人作丈夫，即女人不共夫，则是一（妻）对一（夫），即所谓的一一映射（注意这个名词只讲一妻必有一夫，但并不暗含每夫必有一妻，要看老婆够不够多）。如果像国里每个男人都有（至少一个）老婆，男人当然满意，故称满射。如果既是满射又是一一映射的话，那就是乌托邦里的一夫一妻制，一妻必有一夫，一妻仅有一夫，荆倌互忠，既不共夫亦不共妻，即所谓的双射，或许双双满意？

能够建立双射映射的两个集合，在抽象意义下，物像没有区分，谁为物，谁为像，见仁见
智，公婆不分，故名同构。还有变态的自映射，镜中人是你，你也是镜中人，这个后面还
要提的。

函数是映射的最简单例子。算子是稍微"高级"一点的映射。
如果映射将一个集合的一些元素全部映射到"单位"元素（加法的零或乘法的一），则这些
元素形成一个叫核（ker）的子集合。原物集合中的ker之所以重要，被单独列出，归根到
底还是因为像集合里的"单位"元素独特。他跟本集合内任何一个元素作用（例如相乘）还
是该元素本身。因此核内任何一个元素与本集合内任何非核元素相乘所得结果必在核外，
否则他会被映到单位素。原来ker乃初中之国，独立王国是也。因此，每一个核外元素与
全体核内元素可以产生一共同类，是为等价类。可以通过与核内元素建立关连的元素属于
同一等价类。由此立得不同等价类的元素必不相同。整个集合就可以按等价类拆分，因而
集合元素是核内元素之整数倍。

显然，同一个集合的核是可变的因为核与映射有关。改变映射，核的元素会变。

这个核，随集合对应物改变而有很多别名，正则子空间，理想，不变子空间，正则子群，
不变子群等等，看官且留意他们是亲姊妹。他也是投影或射影的最一般描述。投影空间（
商空间）即为原空间对某个（正则）子空间取商的结果。

集合到本身的映射，即自映射，有一个特例：他给出两个元素经过映射成另一个元素，凡
夫俗子称这种映射为运算，加减乘除之类。配有乘法的集合叫群，配有乘法（半群─即没
有相应的除法）和加法（群）的叫环，若进一步配有加乘皆为群（即有加减乘除）的集合
叫体（或域）。（比较怪异的运算是所谓求模运算以及交换运算。因此，还有一些特别的
集合如模空间，配有交换关系一个集合的叫一个代数。）

群这个字值得稍微多花一点笔墨。他是只配有一种运算（乘法）的集合，因而最简单，研
究得最彻底，但应用也最广。数霸喜欢谈抽象群，就是只谈元素和乘法，而我们数学贫民
喜欢知道具体的元素是啥，乘法到底是怎样做的。把元素和乘法具体化，抽象群就会灵魂
附体，现出原形，即所谓的群表示。具体化需要一个场所，即表示空间。我讲一下，"表
示"这个词是误用，"表演"才反映真意。但现在没办法改了。

我们看一个三正角形的对称性。表演空间是我们通常的二维欧氏空间，元素就是转动，相
乘就是两个转动接续进行。穿越三角形重心与三角形平面垂直的轴为转动轴。转120度，
240度都会回到原样。可见正三角形的对称群的三个元素表现为：不动（单位素），转12
0度，转240度。如果将二维空间写成二维向量空间，上述三个转动可以用矩阵表现出来，
即三个特殊的转动矩阵。这种元素数目有限的群叫有限群。将群元素当作空间的一点，群
本身又成为一个空间。正三角形的对称群空间为三个点（位于圆周上）形成的离散空间。

显然可以有无限群，甚至还有连续群。假如将上述正三角形换成圆盘，转动群就变成连续
群了，可以用角度做参数化，用离散化的李代数表示。此时群空间（整个圆周）也是连续
的。

群可以用元素加上"乘法或操作"构成，此处"乘法/操作"是广义的二元运算，这个刚才讲
了，其实此处"元素"也可以是广义的，这就冒出一些初听起来怪异恐怖的新群，像同伦群
，同调群，它们是以等价类为元素构造的的群，也就是说同一类元素（可能有无限多个！
）只算一个元素。这个先提个醒，后面还要讲。

线性映射是最简单的，也是最重要的：

f(aA+bB)＝af(A)+bf(B)。

举例：向量空间V，W之间的映射f：V-->W。则dim V = dim (ker f) + dim (im f). dim
就是空间的维度。这个结果，虽说平淡，却异常重要。

对偶空间：V-->V*, W-->W*
"内积"： g(v1,v2) , G(w1,w2)
伴随映射f^： G(w,fv) = g(v,f^w)
有一简单但重要的结论，线性映射与其伴随映射的像空间之维度相等：
dim im f = dim im f^

至此，我们能够给出一个儿童版的指标定理及完整证明：

对向量空间之间的线性映射f: V-->W，V中元素按ker f作为不变子空间分成等价类，im
f 必定与商集V/ker f同构。自然得到：dim V = dim (ker f) + dim (im f)。 同样，我
们可以引入余核： coker = W/im f，即W空间中依im f作为不变子空间分出的等价类，显
然有：dim W = dim (coker f) + dim (im f). 于是，我们立得：
dim (ker f) - dim (coker f) ＝ dim V - dim W。
由于dim (coker f) = dim (ker f^) 故上式亦可写成
dim (ker f) - dim (ker f^) ＝ dim V - dim W。

这个简单事实意味深长：左边每项都是非常依赖于f的具体细节，但右边却只与整体性质
，即V和W的维度之差有关，它显然是一个拓扑不变量，因而它告诉我们：尽管左边每项都
是非常依赖于f的具体定义，但其差dim (ker f) - dim (coker f)却与f没有关系！这一
简单结果可以理解为玩具级的指标定理：算子f的解析指标（左边）等于其作用流形的拓
扑指标（右边）。

闲论Atiyah-Singer指标定理（3A）─椭圆算子与纤维丛 zz

一开始提了，本讲座不是写给娃娃的童话，而是以领略数学颠峰奇景为目的，专门撩拨数
学里的超级成人话题，极黄极暴力。看官倘若没有疑虑、心跳、罪恶感以及愤怒的话，阁
下必定是数学狂魔，而且是绝代混蛋，数界的陈冠希们会上门跪拜求教。不过看官放心，
多数疑问到后面会慢慢澄清，到达顿悟是突然的，不可预测的，但只要稍有耐心它又是必
然的。

那就继续讲集合、算子。

一类研究得比较充分的线性映像是线性微分算子。简单而言，线性微分算子就是一阶，二
阶，...导数拼凑成的算子多项式：
a_(n) f^(n) + a_(n-1) f^(n-1) +...bf
这里a_(i),i=1,2,...,n以及b都是x的多项式。看官可以验证一下，它满足线性映像条件。

假如f是多个变量，x_1,x_2,...,x_n的函数，则上述方程推广成n元微分算子多项式方程
，显然这种微分算子包含对单个变量x_i,i=1,2,...n的（1,2,...阶）导数，也包含对不
同变量的交叉导数，而每个导数的系数，写成一般的表达式为：a_(i_1,i_2,i_3,...),
i_1+i_2+i_3+...=1,2,...,n,它们都是x_1,x_2,...x_n的多项式。

正如代数多项式的根是代数学的基本问题一样，算子多项式的"根"，即给定空间上的微分
方程之零频解问题，是微分拓扑学里的基本问题，简单地说也就是一般空间上的偏微分方
程（PDE）求解问题。

正如一元二次方程ax^2+bx+c=0按判别式b^2-4ac＝正、负、零分别对应两实根、两复根、
重根的情况一样，PDE也依系数之关系决定解的差异，因而有抛物算子、椭圆算子、双曲
算子等之分。PDE的判别式由通过叫象征的东西给出：简单而言，就是将要解的PDE转成其
富里叶形式，
a_(jn) ξ_j^(n) + a_(n-1 k) ξ_k^(n-1) +...bξ
将其按x和ξ的幂次之和归并，最高次微分项最重要，故用其系数a_(jn)拼凑出n×n主象
征（矩阵）。主象征矩阵是对称的。比如二次PDE的主象征矩阵是2×2，三次PDE的主象征
矩阵是3×3...依主象征矩阵之正定，零和负定分别给出椭圆，抛物和双曲微分算子。

因此，椭圆算子定义为：如果微分算子主象征矩阵之行列式非零（主象征矩阵有逆矩阵）
，则为椭圆算子。

我们做几个小练习。df/dx-df/dy=0和df/dx-idf/dy=0是两个看上去相当像的微分方程，
但它们的解的性质却大相径庭。第一个解是平庸的，第二个解是解析函数，拥有极丰富的
内涵。从它们的（主）象征：ia – ib 与 ia + b看，很清楚。第一个方程的象征在a=b
时都会为零， 而第二个仅在a=b=0时才会为零，故第二个方程是椭圆型的，而且只有一个
解，其解空间是一维的（椭圆偏微分方程拥有有限维的解空间）。

看官可以亲自验证，通常向量分析里的梯度，散度和旋度算子都不是椭圆算子。

同理，也可以判断出物理上常用的拉普拉斯算子（Laplacian）是椭圆算子，因为其象征
为- a^2 - b^2，而另一个常用的达朗贝尔算子（D＇Alambertian）必须限制在光锥外才
是椭圆算子。

我们考虑紧致流形，紧致大体就是有限的意思。泛函分析可以给出简单的定理：紧致流形上的椭圆算子之ker和coker都是有限维的，即所谓Fredholm的。前面讲过，对于算子或映射D: V --> W，coker = W / im D。dim coker不等于零就说明存在D不能映到的地方，也就是说在W上存在额外的限制条件或约束条件。所以，对紧流形，椭圆算子自动暗含它就是Fredholm算子。一般解析指标：ind_ana = dim ker D – dim coker D.

至此，可以解释所谓"微分算子解析指标是个拓扑不变量"是什么意思了。就是指算子里的主象征矩阵元作连续变化时上述解析指标ind_ana不会改变。或者说，有无限多个PDE的解析指标相等（虽然他们的解的具体形式会有差异）。AS定理告诉你这个值是该微分算子作用的流形的拓扑性质所决定（难怪与主象征参数变化无关！）。AS定理也告诉你如何具体算出这个指标的值，也就是说到底是流形的哪个拓扑不变量对应那些（无限多个）椭圆算子的解析指标。

好，集合与映像联合王国的基础概念就暂时介绍到这，其实也没有太多别的啦。如果到此你还没有产生恐惧感，我认为你绝对有起码的数学天赋，品尝几口21世纪数学饭馆的酒菜还是受得了的，甚至能够尽情玩乐享受一番。下面讲一个具体的集合的例子，跟本主题有关的空间，即纤维丛。

描写变化的函数，如车辆飞机的路线，股票的涨落，影音讯号，都是用平面曲线记录的，因此，X-Y坐标系人人会读，人人要用。其实带坐标系的二维平面就是一个纤维丛。我们可以想象整个平面是一根Y向直线横扫X空间而形成的。被横扫的空间（这里是X）叫底空间，那根直线就是纤维。

从另一个角度看，我们也可以将XY平面当作一个乘积空间，即每一个X点可以与Y的每一点相乘得到一条直线。

当然这是一个太平庸的例子，但一般意义的纤维丛确实是乘积空间的推广。"推广"了什么？刚才的例子之所以叫平庸，是因为他每个地方的乘法完全一样，不同X的地方的Y直线毫无差异，就像红朝人民的脑袋，万众一心，平庸得可怕。总而言之，一张四平八板的纸片确实有点无聊。不过，稍微变一下就可以别开生面，例如，将纸带扭一圈或几圈以后对接，形成Mobius带子。哈！你没办法用简单的坐标系或通用的乘法了。局部看来，小人度腹，依然是个"平面方形"，直线段尚在，依然可以用乘积空间描写，但稍微走远一点就发现，原来的"Y直线"整条都是直的而且对得很齐但现在"弯掉了"，不对齐了。跳出三界，来个全观，则发现，相邻的弯掉的直线之间的关系（转换函数或联络）与扭曲的程度有关。

简言之，底空间各个地点各有各的纤维空间，就是非平庸丛了。

为了对阁下负责，对底空间，要做点补充。

第一是底空间无须平直，可以弯折。这个不奇怪，地球表面，阁下的俊脸贵体，都是弯曲空间。不弯还不行。没有曲线美。问题就大了。

第二，空间的长度单位（标准尺）可以随位置甚至时间而变，即，各个地方的长度单位还不一样（上海的1尺是广州的9寸）。这就是最通用的黎曼空间了。黎曼提出这种空间60余年以后，爱因斯坦找到了一个物理实例（使之成为最伟大的科学家），也就是阁下所在的宇宙，其实就是一个黎曼空间。真是不识庐山真面目，只缘身在此山中。当然阁下想看到尺子钟表不一样，或者看到时空之弯曲，您得稍微走高一点看才行，例如走100万光年回头看。藉助现代仪器如原子钟，地面与卫星轨道的时间差异就可以量出来。这里终于搭上了短江兄的GR(广义相对论)话题。

这有个休息亭，好，歇一会：一些人觉得像流形、非欧空间或弯曲空间难以捉摸，这里试着从一种特别的角度解释一下。我们回顾一下微积分干了什么。依我看，其实就是用古希腊数学家们关于线段、长方形和长方体的已知结果（长度、面积和体积）用来量度一般曲线、曲面和曲体的长度、面积和体积。其中用到的一个基本假设就是，不管多么"弯曲"的东西，总可以找到一个足够小的尺度，在此尺度下一切都是平直的。故可以用大量的微小线段、微长方形或微长方体为"尺子"拼凑出任意的形状或体系。微分几何的大部分也就是告诉你如何用微小的平直空间来建造一个"任意的"流形，所以基本思想还就是那一点东西在兜来兜去。

非欧空间简单讲就是一个到处充满奸商政痞地头蛇的国度，尺度和时间或物价等标准（数学家叫度规）由这些地头蛇制订。经历千万年演化，这些地头蛇现在都成了蛇精，变态已极，弄得流形上每一点都有其自己的度规标准，成语"点化成精"得改成"精化成点"。对于一个生活在这个国度的人而言，弄清各个地头蛇之度量时间标准之兑换率是至关重要的，这个兑换率就叫做联络（系数）。有人可能会讲，度规确定联络系数，简直是一句废话，纽约（N）一美元是波士顿（B）的95美分，联络系数当然是L_{NB}=1.05或L_{BN}＝0.95。大体没错。不过，你们可能还不知道这些地头蛇有多么无耻变态，原来，"上海的1尺是广州的9寸"只是一个大体的说法。地头蛇说，真正的兑换率还要看你的尺子是朝南北方向量，还是沿东西方向量，还是朝民主街方向量，还是朝自由大道方向量....也就是度规还与方向有关。还有比这更黑心变态的地头蛇吗？那种国度最后被上帝警告惩罚，地头蛇稍有收敛，将同一位置不同方向的度规兑换率用一个简单函数约束。只要知道三个互相垂直方向的两两兑换率（对三维流形总共是9个，对吧？）就可以知道任意方向的兑换率。这9个值就是度规张量。不同地方的度规张量之间的转换（联络系数）也可以决定：度规-->联络-->曲率（后面细讲）。

这里我们也看到一个数学与物理、化学和生物的范式对应：线段、长方形和长方体就是数学里的原子、分子和微晶，由此堆集出千千万万的流形（包括纤维丛）。

休息完，继续爬。

底流形上的转换函数之非平庸由结构群描述。例如，Mobius带，我们注意到平面与弯折纸带可能有整体的差异。这是什么意思呢？从纸带上垂直于纸面放一根铅笔，当他沿纸带走一圈回来时，平庸情形没有变化，但在扭曲带上走时会反向。的结构群为{1,-1}，-1出现在反向黏贴的那个地方。

类似地，纤维也有"转换函数"的对应物，由叫和乐群的东西描述。再看Mobius带。现在，不同于平庸情形的"相邻直线或纤维完全等价"，相邻"直线"满足特定的转换关系（这就是称为"局部规范变换"的东西）。和乐群归根到底由结构群决定。
对于一个普通的黎曼流形而言，休息时提了，流形的度规张量完全决定联络系数。而对于一个纤维丛而言，底流形的度规张量加上纤维的holonomy群才能决定联络。底流形上完成一个循环时纤维空间可能没有回归原状，和乐群是指纤维变化的变换群。

细心的朋友可能会说，你讲的所谓整体差异还不是那些局部差异（规范变换）积累起来的吗？铅笔指向在扭曲带上走一圈出现倒向还不是他在走的过程中慢慢逐步积累起来的？太对了。把这句话将得更清楚一点，就是给一批大师赢来功名利禄的东西。包括陈大师省身先生。即所谓的"将整体不变量用某些局部性质的积分表示"。别急，这个东西我们后面也要把他弄得清清楚楚明明白白。

至此，看官自己就可以给纤维丛下定义了。需要的东西为：底空间，纤维空间，转换映像，还有结构群，或简记为E（F,M,π,G）。看官看看时间，您花了多久到这里？数学系本科生四年下来能到达这一步的，罕也，Princeton，Oxford不例外。

好，现在讲一讲切丛，他是最常见的也是最重要的纤维丛。过底空间上每一点可以画出无限多条切线，构成切平面。因此可以将切平面当作纤维与底空间合成一个纤维丛，故名切丛。每个切空间也是一个向量空间，故切丛也是向量丛。

于是，我们知道所谓纤维丛的截面就是每一根纤维上拿一点（一个值）来拼出来的东西。是平面曲线y=f(x)的推广。

以二维球面为底空间的切丛上的一个截面就是该球面上的一个向量场。
古典微积分中导数是函数的变化除以自变量的变化，推广到纤维丛就是截面的变化（平行移动）对底流形参数的变化，这就是联络（一般有多个分量）。直感上可以猜到，纤维丛的联络由底流形和纤维二者共同决定。

阁下有一个天生的纤维丛。脑袋表面是底空间，上面长的头发就是纤维，转换函数依赖于阁下梳头的风格，结构群为平庸（不是吗？）。梳梳头，你得到纤维丛一个不同的截面。
前已述，群本身也是一个空间，因而我们可以将结构群的群空间就当作纤维空间，这种特殊的纤维丛叫主丛。既然主丛的纤维与结构群同一，只需标出底空间和结构群即可，故主丛记为P(M，G)。一个抽象群的元素都可以通过一些具体动作（操作）表现出来，叫群表示。李群，平移群，点群，等等天上神仙客都可以来个投胎下凡，即具体化。具体化就是选定群元素作用的场所，即表示空间。神迹在地球上表现。地球就是神的表示空间。看官可以看到，"表示空间"是多么地误导。当初要是叫表演空间多好。既然表演空间也是空间，我们假如将此表演空间当作纤维，也可以构成纤维丛，叫主丛诱导的伴侣丛，简称伴丛，记为PxVg，x指直乘，Vg是结构群G的表演空间，他是一个向量空间，故伴丛也叫伴向量丛。

下面是插曲，看官尽管可以略过。

令人惊心动魄的是这些看似灵界仙境才有的东西刚好是我们描述自然界的最可靠工具。现在物理学家认同所有的相互作用都是规范场刻画，而规范场在数学上与纤维丛完全是一回事。吴大俊和杨振宁证明规范势是纤维丛（主丛）上的联络，而规范场强是纤维丛（主丛底空间）的曲率。朗朗乾坤其实只是纤维丛世界之投影，像在我们世界扮演重要角色的电子似乎生活在三维空间，但实际上他的波函数是生活在以三维空间为底的纤维丛中。量子粒子由波函数描述，通常包含内部自由度。内部自由度对应的波函数可以当作纤维，底空间可以是普通的三维欧氏世界，也可以是（能量算子的）某个参数空间。因此，按纤维丛术语，体系的波函数就是丛截面。相位部分有动力学部分，几何部分和拓扑部分，其中后两种由和乐群描写。微观体系的很多＂古怪＂行为全因于此，例如成键机制，超导，量子霍尔效应等等。

插曲完了。到此，我们完成至少70％了。迷雾渐散，人心趋定。

42人 喜欢 喜欢

回应 推荐 喜欢 只看楼主