隨機過程在量子場論計算中的應用
文/林立
所謂隨機過程，是指在一定的條件下，可能發生也可能不發生的過程，具有不確定性，亦即：具有機率性。
最常見的隨機過程之數學模型就是無規行走(random walk)。大家熟知的布朗運動現象即可利用無規行走來解釋。在無規行走中，最重要的一個物理量就是機率分布函數。它是表示一個在初始時刻位於原點的質點，經過N步無規行走之後，出現在的機率。
由於在無規行走模型中，我們假設質點每一次行走之步伐大小相同，所花的時間也相同，所以在中的N即相當於是時間變數。經由條件機率的考量及傅立葉變換的技巧，我們可以推導出的路徑積分表達式，其形式和量子力學中時間演化算符(又稱為傳播子)之Feynman路徑積分表達式在數學上相同，有一個一對一的對應[註1]。
這種對應在物理上也有一定的意義，因為一個量子系統具有量子不確定性，因此帶有隨機性。量子力學的Feynman路徑積分表示法可以將這種隨機性明確的表示出來。我們可以將量子系統傳播子的路徑積分式中的每一條路徑視為一個隨機過程，其對傳播子之貢獻的權重即為，其中S為此量子系統所對應的古典力學系統之作用量，所以等於動能項減去位能項。若是經過一個Wick旋轉：
，
將時間轉換為虛時間t'之後(所以上式中的τ仍取實數值)，就可以化為完全和無規行走之之路徑積分有一對一對應的形式了。在此形式中，因子變成為，其中SE是對應的古典力學系統之動能項加位能項，相當於是總能量了[註2]。如此一來，Wick旋轉之後傳播子路徑積分式中的即可視為相應的隨機過程發生的機率。這在物理意義上也可以和無規行走之的路徑積分式有了對應[註3]。
路徑積分表示法作為一種解題方法，在具有機率性的物理問題中有很廣泛的應用。在各種應用中，路徑積分式中之各條路徑都可以看成是一個隨機過程。本文主要是要介紹路徑積分在量子場論之非微擾計算中的應用。
量子場論在數學上就是量子力學，其主要差別只在於量子場論將(廣義)空間座標變成為腳標，場的本身則成為"力學量"，亦即：成為新的廣義座標，從而有對應的"共軛動量"(姑且稱之為動量場)，於是在量子場論中，被量子化的是場及其共軛動量。我們可以利用下面的表列看出量子場論與量子力學在數學形式上的對應：
古典質點力學古典場論廣義座標
廣義動量
量子力學量子場論
[註4]
和量子力學的情況一樣，量子場論也有兩種量子化方法。第一種就是"傳統"的量子化方法：正則量子化。它的基本假設即上述表列中所列的基本等時對易關係。這種量子化方法對應於古典力學的Hamilton方法。它最大的好處是可以經由傅立葉變換將場的粒子性格顯示出來，並且在原則上可得出系統Hamilton算符的本徵值譜[註5]。但缺點是實際上作計算(尤其是非微擾的數值計算)時不方便。
第二種量子化方法就是泛函積分法。這是完全比照量子力學
[註4]
和量子力學的情況一樣，量子場論也有兩種量子化方法。第一種就是"傳統"的量子化方法：正則量子化。它的基本假設即上述表列中所列的基本等時對易關係。這種量子化方法對應於古典力學的Hamilton方法。它最大的好處是可以經由傅立葉變換將場的粒子性格顯示出來，並且在原則上可得出系統Hamilton算符的本徵值譜[註5]。但缺點是實際上作計算(尤其是非微擾的數值計算)時不方便。
第二種量子化方法就是泛函積分法。這是完全比照量子力學中的Feynman路徑積分法而得到的。我們可以由正則量子化中的真空到真空的躍遷機率振幅之表達式出發，把時間分割成很多個很短的時段，再夾入一組一組的完備集，然後即可將場算符, 化為場函數, , 再將場動量部分的積分積掉(這部分的積分是高斯積分，所以可以作解析計算)，就會得出形式上和量子力學的路徑積分相似的泛函積分[註6]。
量子場論的泛函積分法在作計算時是十分方便的。首先我們可以採用引入外源的方法作為技巧來作微擾展開計算，在計算過程中很自然的就會得到Wick定理的結果[註7]。相對的，在正則量子化中，我們必須花費好一番功夫才能證明出Wick定理[註8]。其次，我們有一套系統化的方法可以用來直接計算泛函積分。這裡所謂的"直接"是指不作微擾展開，也不作其他的近似。這樣的計算當然適用於強耦合的情況，故通常稱為非微擾計算。本文所要介紹的隨機過程在量子場論計算中的應用，指的正是這種情況。
這裡所說的泛函積分其實就是路徑積分，是在"場空間"中的路徑積分，所以是抽象的路徑。而和量子力學的路徑積分相同，量子場論的泛函積分告訴我們，時間演化有來自每一條可能的路徑的貢獻，其貢獻的權重正比於，其中S即為此量子場論系統所對應的古典場論的作用量，
其中L為此量子場論系統的拉氏量密度，所以也是動能減去位能。
所以，在量子場論中，真空到真空的躍遷振幅在數學上也是一個相位角因子的積分：
，
只不過這裡的積分是一個泛函積分。
可以看出，古典極限(即古典場論)正是由靜止相位條件來決定的，從而可得出Euler-Lagrange方程，此即古典場的運動方程。
然而，任何泛函積分牽涉到的自由度總數都必然是不可數的無窮多，所以非微擾計算還是必須作一些近似，否則實際上無法執行。
在實際計算中，首先我們先將時間軸轉到虛時間軸，這相當於作一個Wick變換：
，
其中為純虛數, , 故為實數，這等於是從閔氏時空轉入了歐氏時空，這會使得原先泛函積分中的相位角因子變成為指數衰減因子，從而在數學上處理積分時會較為方便[註9]。
必須強調，我們把時間變為虛時間的動作純粹只是一個數學轉換，尚未作任何近似。
接下來，我們作第一個近似：將底空間(即d+1維時空)格子點化，於是泛函積分就近似為一多重積分。這是為了將來利用電腦作數值計算必須作的準備工作。我們為了減少近似的誤差，格子點的分布必須要夠密，以免偏離連續時空太遠[註10]。
由於為了使誤差不至於過大，格子點的總數仍然很多(例如：84個, 104個, 甚至164個, 244個)，多到無法利用電腦直接計算此多重積分的地步。於是，為了計算該多重積分，勢必要再作近似。這一步的近似就是設法利用隨機取樣的算法來近似的計算此多重積分，正是在這裡用到了隨機過程的概念。其基本想法是：
一式中，指數衰減因子之值相對較大(即SE之值相對較小)的場組態對積分有較重大之貢獻，所以我們只要能設計出一種算法，能夠在(不可數的)無窮多個場組態中，把對積分貢獻較大的"那些"組態挑起來，如此即應有
比較嚴格來說，是要設計出一種算法，使得我們隨機挑選出來的很多個場組態是依照正比於的機率來分布的[註11]。
所以，這種想法其實是在原有的時空座標之外，又多引入了一個假想的時間軸(fake time axis)，而將原有的d維空間，一維(虛)時間，看成是d+1維空間。然後，從一個任意給定的場組態出發，以一定的方法，沿著假想時間軸產生出一系列的場組態。也可以說，在這種想法之下的任何一種計算多重積分的近似法，其實就是引入一套沿著假想時間軸的"動力學機制"，這套動力學機制會以一定的機率，產生一個隨機過程，使得沿著假想時間軸產生出來的場組態正是依照特定的機率分布而分布的。這樣就達到了我們當初想要用隨機取樣的方式來近似的計算多重積分的目的。
接下來在介紹沿著假想時間軸的動力學機制之前，我們必須先打個岔，強調一件事：在量子場論之泛函積分(將底時空格子點化之後成為多重積分)之計算中，其實有兩種隨機過程。一種隨機過程即為泛函積分本身之各個"路徑"，這是沿著底時空的路徑，每一個特定的時空點上對應著一個場值，每一條路徑以之機率出現；另一種隨機過程則出現在這裡引入的動力學機制中，這是一種沿著假想時間軸上的路徑，每一個特定的假想時間點上對應著一組場組態，在這個隨機過程中，各個場組態是以之機率來分布的。可以看出，在第二種隨機過程中，每一個特定假想時間點上出現的場組態本身就是第一種隨機過程。在此提醒讀者注意，不要將這兩種隨機過程搞混了。可以說，我們是利用假想時間軸上的動力學機制產生出一個第二類的隨機過程，從而得出很多個第一類的隨機過程，由此而能近似的計算量子場論系統的泛函積分。
實際在計算多重積分時，可以引入不同的動力學機制。凡是能使得產生出來的場組態按照特定的機率來分布的動力學機制均可採用。一般採用的機制分為兩大類，一類是沒有系統偏差的方法，包括熱源法，Metropolis法，Hybrid Monte Carlo法(HMC)等等，另一類是有系統偏差的方法，像Langevin方程，Kramer方程都是。
所謂有系統偏差，是指產生出來的場組態不是依照來分布的，而是依照來分布，其中的即為系統偏差。一般而言它會和沿著假想時間軸作演化時離散化的步伐大小的某個冪次成正比。
我們為了計算多重積分，引入了隨機取樣的概念來作近似，這就已經有了統計誤差。所以，我們當然不希望再有一個系統偏差。因此，在實際計算中，我們會盡量避免系統偏差。亦即：盡量採用無系統偏差的方法。
我們發現，是否有系統偏差的關鍵是在於我們用來作計算的動力學機制是否滿足精細平衡(detailed balance)的條件。凡是滿足精細平衡的算法給出的結果就沒有系統偏差，只有統計誤差[註11]。
在沒有系統偏差的方法中，熱源法是直接產生依照來分布的場組態。所以從理論上來說，這是最好的方法，可惜在實際問題中多半用不上。這是因為我們只會由均勻的隨機變數，產生高斯分布的隨機變數，所以當問題的作用量是場的平方形式時，我們才可能利用熱源法來作計算。然而，很多相互作用力項不是平方項，尤其是有費米子場存在的問題中，會出現行列式項，那是場的高度非線性項，所以都無法利用熱源法來作計算。
至於Metropolis法，則是由另一組初始的場組態出發 (記作)，再隨機的產生一組新的場組態(記作)，若，則接受，否則以的機率接受。可以證明Metropolis法滿足精細平衡的條件，因此沒有系統偏差[註11]。但是，Metropolis法在實際計算中有重大缺點，所以也較少被採用。其重大缺點為：隨機產生的新場組態會導致的值很小，使得新組態幾乎都不會被接受，從而會一直停留在舊的場組態上，通常要經過一段時間很長的時間(假想時間軸的時間)才會走到一組新的場組態上。這表示Metropolis法在實際應用時，沿著假想時間軸會有很長的相關時間長度，也就是在隨機取樣上很沒有效率。
針對Metropolis法的缺點，英國愛丁堡大學的研究小組在西元1987年引入了一個Hybrid Monte Carlo (HMC)法[註11]，這個方法是利用古典力學中的 Hamilton 正則運動方程作為由舊的場組態產生新的場組態的運動方程(當然是沿著假想時間軸的運動)，一旦產生了新的場組態，則以作為機率來接受。HMC相較於Metropolis法，在決定是否接受產生出來的新組態的部份，和Metropolis法相同。因此可以證明HMC滿足精細平衡，所以HMC是沒有系統偏差的；另方面，在產生新的場組態上，Metropolis法是純隨機式的，因此可以說是"盲目的"，然而HMC法則是利用Hamilton 力學的正則運動方程來產生的，因此不是盲目的，而且，由能量守恆可以看出一旦，兩者的數值也會相差很小，使的接受新組態的機率不會太低，從而在實際計算中，可以很快的就能接受新的組態，於是能夠在較短的時間之內走過相當一部分的場空間，真正做到了隨機取樣。所以HMC法具有Metropolis法的優點：無系統偏差，在實際計算中又沒有Metropolis法的缺點，顯然可以取Metropolis法而代之，在有費米子場的問題中尤其是如此。因此，現在在作量子場論問題非微擾計算時，一般都是採用HMC法。
以上就是關於隨機過程在量子場論中應用的大概介紹。總的來說，我們
上就是關於隨機過程在量子場論中應用的大概介紹。總的來說，我們為了計算量子場論中的某個躍遷機率或格林函數的多重積分式，首先引入一個假想的時間軸，然後再引入一個可以產生沿著假想時間軸的動力學演化的動力學機制，這個動力學機制會產生一個隨機過程，在這個隨機過程中出現的場組態會依照來分布，這就達到了隨機取樣的目的，從而也近似的計算出我們想要計算的多重積分了。
當然，前面介紹的都是零溫度量子場論，因此泛函積分中所代表的是量子擾動。在有限溫度時，系統既有量子擾動又有熱擾動，當系統處在平衡態時，其狀態可由密度算符來描述。由於密度算符在數學形式上和時間演化算符(即傳播子)只差了一個時間到虛時間的變換，其中虛時間相當於溫度的倒數，其餘皆相同，所以我們可以直接將有限溫度量子場論系統的密度算符的矩陣元寫成歐式時空中的泛函積分，然後上面介紹的計算零溫度量子場論系統之躍遷振幅的近似方法就可以照搬過來，近似的計算有限溫度時之密度算符了[註12]。不過，在零溫度時底空間之時間軸的長度原則上可以是無限長的。在有限溫度時，因為我們是在計算密度算符，所以底空間之"時間軸"之長度必須等於溫度的倒數，從而總是有限的。
註解：
[1]D.C. Khandekar et. al. , Path-Integral Methods and Their Application (World Scientific), 第一章第三節。
[2]符號SE中之右足標E是代表Euclidean。我們把Wick旋轉之後的虛時間中的稱為歐氏時間(Euclidean Time)。
[3]當然，量子機率和古典機率的來源是不同的。這就導致了一個重大的差異：在量子物理中，有一個比機率更基本、更重要的概念，那就是機率振幅，其絕對值平方才是機率。在古典物理中，只有機率而沒有機率振幅的概念。嚴格來說，量子力學的傳播子給出的是機率振幅，不是機率。所以量子系統之傳播子的路徑積分式中的是代表機率振幅。作了Wick旋轉之後得到的仍然是代表機率振幅。因此，這裡所說的物理意義上的對應，其實是無規行走中的各路徑的機率對應於量子力學傳播子之各路徑的機率振幅。
[4]在量子場論之基本等時對易關係中，由於腳標均為連續取值，所以等式右側是出現-函數。
[5]L.Ryder, Quantum Field Theory (Cambridge University Press), 第四章。
[6]關於由量子力學的正則量子化得出Feynman路徑積分之推導過程，可以參考Shankar之Principles of Quantum Mechanics第八章，或H.J. Rothe, Lattice Gauge Theories (World Scientific)第二章。
[7]L.Ryder, Quantum Field Theory (Cambridge University Press), 第六章。
[8]D. Lurie, Particles and Fields, (InterScience Publisher), 第六章。
[9]由於所有的物理系統都是處於閔氏時空中，所以在歐氏時空中為了計算各個物理量而建立的關聯函數必須要能夠經由一個反Wick轉換回到閔氏時空中，這才表示在歐氏空間中的計算是有意義的，其結果是正確的。然而歐氏空間中的關聯函數未必能夠解析延拓回閔氏空間。也就是說，直接在歐氏時空中寫下來的量子場論模型不一定能對應到真實的量子系統。請參考I. Montvay, G. 所著Quantum Fields on a Lattice (Cambridge University Press) 一書之第一章第三節。
[10]H. J. Rothe, Lattice Gauge Theories (World Scientific), 第九章。
[11]H. J. Rothe, Lattice Gange Theories (World Scientific), 第十五章。
[12]H. J. Rothe, Lattice Gange Theories (World Scientific), 第十七章。
关于规范场与规范对称
转载]关于开集(2012-11-24 22:07:19)
邻域 phymath999
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在拓扑空间中，有这样一类集合。它们可能包含有无数个点，但在这无数个点中，某一些点的极限点却与这些点天各一方，人鬼殊途：我们在集合内，却眼巴巴地望着集合外的你。换一个说法，当你孜孜不倦地在集合里找点的时候，这一列点总能一个接一个地被你找着，但在那无穷大的另一端，永远有那么一个点完成了质的飞跃，与身后无穷多个弟兄们挥手告别，跨过顶着大括号的集合边界，幸运抵达了幸福的彼端。这个时候，我们便称这个点“极限点”，称这类集合为“开集”。
从人生意义上来说，开集们表现得十分励志：不像它的弟兄闭集，把出去的路全都封死了，普通点极限点都给老子老老实实待在肚子里，开集则告诉大家：路在脚下：只要追随极限点，飞跃的光芒就在前方！可科学往往相悖于直觉。在实际操作中，大家却不愿意看到开集的身影。在欧几里得空间里，开集一定不紧。所以每当开集带着他的励志点点们出现在我们的视线中时，紧集的许多有益身心健康的定理与结论都无法应用，闹得学生们，特别是经济系的学生们抓耳挠腮思前想后，直想着挠出一个条件开集变闭集。好让集合上面那传说中的连续函数的最值点别恰好是天人相隔的极限点。
不幸的是，开集不进在草稿纸上祸害同学，还在现实生活中大展拳脚。张俊山老先生曾经在园阶举过这么一个例子：
“一开始是出去上个厕所，书包暂时放在位置上，这很正常；之后是人还没到，书就占着地儿，这就有点不对劲了；再之后，人想，既然都得放书，我干嘛不放没用的书？于是什么读者什么的都出现了；发展到现在，干脆连书都不要了，我就贴个条吧。”
张老先生根据自己的学科背景，把这个现象叫做“异化”，指的是原来一个很正常、很合理的事情慢慢就变得不正常、不合理了。但我们不妨套用一下开集的概念，就会发现在“占座”这一列点上，存在着那么一个点“嘣”一下越过了合理这一开集的禁区，实现了质的飞跃，为占座事业做出了突出的贡献，使其进化成最终形态，贴条占座。
不单单是贴条占座，传谣也是在“真实”这么一个开集上飞跃出来的。举一个极端的例子，A跟B说彩票中了两块钱，转天A正吃这火锅，Z跑过来就是一句，你小子中了两亿？当然，现实生活中这情况基本不会发生，但“死亡35人”、“秋裤的故事”等等极限点们实在显示不出其原有励志色彩，反而时不时透出几股阴森的气息。
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2013年5月30日 - 每個點的一個”附近”(鄰域)總是可以指定一種座標(觀察者區域有效的刻度量尺所訂出來的，對"附近"包括的事件點都有效) 3.不同坐標之間的轉換是" ...
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2013年2月2日 - 這裏，重正化的意思是簡單統一場論是局部可重正的，用微分幾何的話說，在切空間的一個鄰域內是可以重正的。註意，簡單統一場論是一次量子化
一般的说法是，规范场是由“不可积相位因子”所导致的，为了解决掉不可积的相位因子，就产生了与物质场相耦合的规范场，以保证规范变换下整个体系的某些性质保持不变。
这个不可积，指的是对什么的不可积？
举个例子，如果规范场是无旋的(静电场)，那它在空间中显然可积，不可能出现沿着不同路径能积出不同结果的现象。这岂不没有意义了？
这个不可积，指的是对什么的不可积？
举个例子，如果规范场是无旋的(静电场)，那它在空间中显然可积，不可能出现沿着不同路径能积出不同结果的现象。这岂不没有意义了？
建议您看两篇文章
（1）Integral Formalism for Gauge Fields，杨振宁教授发表于1974年，美国物理评论快报
（2）这是杨振宁教授发表在美国物理评论D的论文，关于磁单极，和Tai Tsun Wu合作的，发表于1975年。您可以谷歌一下很好找的。
关于不可积相位因子为什么是规范场的积分形式，这两篇论文是原创的。
（1）Integral Formalism for Gauge Fields，杨振宁教授发表于1974年，美国物理评论快报
（2）这是杨振宁教授发表在美国物理评论D的论文，关于磁单极，和Tai Tsun Wu合作的，发表于1975年。您可以谷歌一下很好找的。
关于不可积相位因子为什么是规范场的积分形式，这两篇论文是原创的。
这两篇文章的重要性，可能要远远超出现有的物理学界的认识。
不可积相因子是规范场的内禀形式。很多物质与规范场的耦合用微分形式可以描述，但并不是所有的作用都可以。只有用规范场的积分形式才能完备的描述规范场的所有作用。
路径依赖性也是场空间拓扑性反映的需要。比如，对于一个球面，我们不可能用一个连通的开集去覆盖它，这是空间内禀性质决定的，因此路径的依赖是不可避免的。
不可积相因子是规范场的内禀形式。很多物质与规范场的耦合用微分形式可以描述，但并不是所有的作用都可以。只有用规范场的积分形式才能完备的描述规范场的所有作用。
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- 2011-07-03 08:20
额...都没看懂...我不知道规范场理论是谁教你的哎...
一般来说，场量都存在一个不可观测相位角，理论上讲相位角是非可观测的。所以当初杨老就有了一个想法，即认为任何正确的物理理论，都不应该依赖于场量的相位角。这才是规范理论的初衷...
但是后来很快发现，这个要求太“低”了，由于Lagrangian很容易满足整体规范对称性，所以又把上面的思想推广成为“定域规范变换”，这就使得量子场论成为了定域场论，也是因为这样的推广可以给出Lagrangian里面的相互作用相~~~
这个才是规范理论的整体的物理图像...你要是不信，可以找Peskin的量子场论的书去看，或者直接找我发过的笔记，上面也有Yang-Mills两个人当年发过的原文~~所以我不懂你说的“不可积相角导致需要引入规范场”这是怎么回事~~
另外你后面说的我也不知道是要表达什么意思...电场本身不是电场相互作用中的规范辅助势，你这里说对它积分与规范变换有啥关系？以及你这里所说的“规范场”到底指的是规范辅助势场还是规范场强呢？前者是U（1）群的联络部分，而后者是协变导数对易关系来确定的，所以不清楚你说的是哪一个...
一般来说，场量都存在一个不可观测相位角，理论上讲相位角是非可观测的。所以当初杨老就有了一个想法，即认为任何正确的物理理论，都不应该依赖于场量的相位角。这才是规范理论的初衷...
但是后来很快发现，这个要求太“低”了，由于Lagrangian很容易满足整体规范对称性，所以又把上面的思想推广成为“定域规范变换”，这就使得量子场论成为了定域场论，也是因为这样的推广可以给出Lagrangian里面的相互作用相~~~
这个才是规范理论的整体的物理图像...你要是不信，可以找Peskin的量子场论的书去看，或者直接找我发过的笔记，上面也有Yang-Mills两个人当年发过的原文~~所以我不懂你说的“不可积相角导致需要引入规范场”这是怎么回事~~
另外你后面说的我也不知道是要表达什么意思...电场本身不是电场相互作用中的规范辅助势，你这里说对它积分与规范变换有啥关系？以及你这里所说的“规范场”到底指的是规范辅助势场还是规范场强呢？前者是U（1）群的联络部分，而后者是协变导数对易关系来确定的，所以不清楚你说的是哪一个...
您和楼主都没有说错，呵呵，只不过您们两人在诉说规范场的两种不同形式，所以还没有找到交集。
规范场有两种形式，一种是微分形式，即魏尔所发现的规范场。还有一种不太为人们所注意，那就是狄拉克所发现的电磁场的积分形式。
1954年，杨振宁教授将前一种微分形式推广到非阿贝尔结构，并首次将规范不变性作为物理法则之一。二十年后的1974年，杨振宁教授将后一种狄拉克所发现的积分形式也推广到了积分形式，即规范场的不可积相位因子。见Phys. Rev. Lett. 33, 445–447 (1974) ，顺便说一下，这个工作也是受到广义相对论的影响，并导致规范场和纤维丛的联系，正是如此杨振宁教授才专门请simons（Chern-simons规范场的simons）到石溪州立大学讲一下微分几何的纤维丛部分。
从本质上来说，物理学家们所运用的规范场的微分形式，即最小耦合导数，是有缺陷的。而规范场哦积分表述正是解决这个问题。
简单来说，规范场方程中本身蕴含了奇异性，即有奇点的存在，这种奇点严重的影响着规范场微分方程，要注意的是，这里说的奇点是内禀奇点，比如球面的南北两极。但如果选择适当的路径变换就可以避免碰到奇点，即可以用基本群找到一个良好的路径。
而楼主所谈到的其实是规范场的平凡形式，即只存在一个标量场（静电场）的情形，这是可以做一个局域规范变换消除掉的，但是规范场确实存在奇异点涉及到整体效果，这是不能用局域规范变换消除掉的。比如Berry相位的存在就是显然的证明，即规范场的参数空间存在奇异性，因而出现整体效应,而这只能用规范场的积分形式描述（也就是不可积相位因子）。
嗯。。。我也觉得9楼有一种不大明白“什么叫讨论物理而不是讨论数学”的感觉，我们讨论的是物理问题而不是数学问题。什么样的是应用到物理上的数学，怎么以解决物理问题为目的去搞数学推导与运算，9楼还需好好体会一下。。。
如果您觉得不可积相位因子和规范场的积分表述是两回事，我建议您还是需要再看一下Integral Formalism for Gauge Fields。
前段时间，我与Berry教授就这个问题进行过很长的讨论。
您应该知道不可积相位之所以后来引起非常重要的重视就是因为Berry相位的工作吧。而Integral Formalism for Gauge Fields中对于不可积相位因子(闭路径)导致规范不变性有着明确的论述，这篇论文只有4页，您应该看一看的。
还有一个问题，您所提到的静电场的确是一个平凡的情形，对于一个处处无奇性的标量函数B，我们可以定义电磁势dB，其中d是微分算子。利用斯托克斯定理可以很容易的算出，这个庞加莱定理d*dB等于零（无旋）。所以对于相位没有贡献。当然前提条件B处处没有奇性。不过在您所说的情形中，还是有一个需要讨论的是，如果B=1/r，这里还有一个奇点r=0，这是会影响整个结果的，不过在积分表述中，我们可以寻找路径避开它,当然整体上是无法避免的。
有意思的是，不久之后，我会发表一篇相关的论文（一篇场论的论文，我想Berry教授心里是很关心这篇论文的，题外话了，呵呵），到时可以来大家讨论一下。
在回复楼主的帖子中，我已经透露了，这恰好是我前一段时间研究过的领域，如果不是我的领域，我还是不敢胡说的。您看了我列的两篇文章就可以明白了。等一下，我想想，您们提到的张永德教授应该了解这里，因为我知道他前段时间在研究相关的问题，您可以问问他，我说的到底是不是乱说呢？呵呵
让数学同行如此评价，深感无地自容，一定吸取教训，更加的努力学习。
连续统问题，是我最近关注的一个方向，只不过我确实是和量子力学一块儿研究的。说起来肯定有一种风马牛不相及的地方。
也许要完成这个图景之后，您才可能理解我确实也不是胡乱说。
回复21楼：
规范场积分微分的那部分，可以认为你说的还是正确的～但后面一些叙述表明一些物理概念你并不清楚……另外张老师已经很久不做科研了，但我知道你说的一些观点要是拿到他那去肯定不会被认同，因为他上课的时候和我们说过的一些物理上比较忌讳的想法，在这里你有所涉及，所以肯定会遭到他老人家的反对～
规范场积分微分的那部分，可以认为你说的还是正确的～但后面一些叙述表明一些物理概念你并不清楚……另外张老师已经很久不做科研了，但我知道你说的一些观点要是拿到他那去肯定不会被认同，因为他上课的时候和我们说过的一些物理上比较忌讳的想法，在这里你有所涉及，所以肯定会遭到他老人家的反对～
其实我所说的确实是正确的，您可以看看李华钟教授的著作《简单物理系统的整体性——贝里相位及其他》，这本书里讲的很清楚的。
引一句复旦大学倪光炯教授的话吧“在1984年之后的很长一段时间，能真正的理解不可积相因子几何性‘拓扑性或者说整体性’的人，恐怕还只占少数”。
而且这部分内容写进高等量子力学的时间也并不长。从相对论吧里看来在这个问题上的发言之后，我确实觉得这个问题需要您们的重视。因为它还涉及到另一个问题的存在。
而这就涉及到整个西方，自麦克斯韦和爱因斯坦（甚至牛顿）以来的物理描述观念的出发点的问题。
其实我说他最近在关注这个问题，是因为我在arXiv上看到过他的相关论文就是2008年左右。另外他最近出了两本量子力学专著，其中有一章专门讨论这个问题。我注意到，他把他在arXiv上的论文的结论直接搬到书里了。
更重要的是，我注意到，他写这两本书的目的似乎就是为了arXiv上论文的内容。因为，除了这一部分之外，其他部分与他早期的书并无区别。
在我没有觉得逻辑上完美之前，我在连续统和量子力学本性上所说的都可能是胡说的。不过在这一楼规范场积分形式的问题上我确实没有胡说，因为胡乱发表论文说不正确的话，毕竟还是要被国际同行笑话的，而在前面的一部分内容，是被我写进论文的，当然这倒不是我的原创，我是从李华钟教授的著作《简单物理系统的整体性——贝里相位及其他》中学习到的。
PS 我发表论文的前提是，逻辑上完美无缺，否则我是不会轻易发表论文的，这一点我还是可以向您保证的。
回复24楼：
你引的第二篇文章关于磁单极的连老杨自己现在都不怎么愿意提了……跟你说，纤维丛的这个数学结构在数学上来看确实可以当做一个不错的数学模型来研究，包括磁单极这种模型也是。但是再漂亮的模型那也只是数学，是不算数的，原因很简单，因为实验上找不到磁单极～
你引的第二篇文章关于磁单极的连老杨自己现在都不怎么愿意提了……跟你说，纤维丛的这个数学结构在数学上来看确实可以当做一个不错的数学模型来研究，包括磁单极这种模型也是。但是再漂亮的模型那也只是数学，是不算数的，原因很简单，因为实验上找不到磁单极～
好吧，实在是瞒不住了，我是学化学的。
我对你最后这句 "只能用规范场的积分形式描述" 表示强烈怀疑. 在我看来, 规范场的微分形式与积分形式是等价的, 并没有什麼 "只能". 根据我的经验, 用规范场的微分形式处理问题, 如果出现了错误, 其实只是由於思虑不周, 采用了错误的边界条件所致.
不过, 对於某一类问题, 积分形式的确有它的便利性与威力.
不过, 对於某一类问题, 积分形式的确有它的便利性与威力.
好吧是我的语气不当，其实这点是您以前自己告诉我的
我觉得pipi老师说得没什么太大问题，.但我不清楚这里讨论那么多东西的具体背景是什么..懒得都看了.我就随便补充了
积分形式嘛.
在高能物理里就是wilson loop很有物理意义，因为规范不变，so不能gauge away.
且拓扑上不平凡.
从拓扑角度看上有点区别的.
积分形式嘛.
在高能物理里就是wilson loop很有物理意义，因为规范不变，so不能gauge away.
且拓扑上不平凡.
从拓扑角度看上有点区别的.
呵呵，您的话直接就引到关键点上的，突然发现您非常的敏锐。
规范场的微分形式和积分形式并不等价，当然这只是在一类很特殊的情形才出现的状况。现在请恕我卖个关子，因为我的文章还没有刊登出来。以后我会来讨论这个问题的。
到时候希望得到您的指教。
不知道为什么看到您下面的那只猫就想笑。
wilson loop和杨振宁教授的论文是独立发表的，有趣的是两者有着惊人的契合度。至少您已经指出了积分形式的不同点，只是说的含蓄，拓扑上的关系。
当然，您只是指出了其中一点，以后我会来补充另外的部分。到时候希望讨论的热烈一些，因为那时候的讨论肯定会涉及到三个人，牛顿、麦克斯韦和爱因斯坦。
我说了，我一开始叙述的东西的意义就不正确。。。
我所提到的东西并不是Berry的“不可积相因子”，而是在规范变换对称要求下，场的整体相位具有一个无法观测的不定积分因子，相位差才是可观测的，这就好比谈及“势”的时候并不存在一个绝对的零势点，只有势差具有观测意义。
这点云娘看出来了，所以他反而看不懂我说的啥。而你却被我这个错误表述绕进去了。
另外，建议你别用“您们”这种有严重用法错误的词汇行不？
我所提到的东西并不是Berry的“不可积相因子”，而是在规范变换对称要求下，场的整体相位具有一个无法观测的不定积分因子，相位差才是可观测的，这就好比谈及“势”的时候并不存在一个绝对的零势点，只有势差具有观测意义。
这点云娘看出来了，所以他反而看不懂我说的啥。而你却被我这个错误表述绕进去了。
另外，建议你别用“您们”这种有严重用法错误的词汇行不？
哎，如果您一直关注规范场的几何性质方面并深入下去，你就可以理解我所说的了。
在您最早的表述中，您已经涉及到不可积与路径的问题。随便说一句，Berry相位就是一个不可积的规范场（参数空间的）的相位因子。如果您已经提及了不可积和路径的问题，我想您所在学校或者研究所从事规范场几何性质研究的教授，也一定会想到这一点。对于不可积相位的系统，您所说的相位差也是可以通过规范变换消除掉，只有闭合环路的部分才是有意义的。也就是说，您所谈及的规范变换并不是处处都可以实施的，需要考虑到路径问题，在狄拉克弦的部分，规范变换是奇异的。
我只不过将这个问题提到了她本来的面目，或许我多此一举了（因为您反而迷惑了），我意识到了尽管您的表述是碰触了规范场的积分表述，但是您本人并没有进入她的领地。当然不管怎么样，我算是将这个规范场非常重要的方面引导到这个吧里了。
并且我仍旧建议你们重视她。呵呵，我换成“你们”了，谢谢您纠正我这个语法错误。
相位的奥妙之处，如能掌握确实不是一朝一夕的事情。
回复46楼：
额……你要是非要从规范场往纤维丛上扯的话，我建议你去数学吧。做物理的人最关心的是一个数学模型能不能够描述客观世界的物理过程，至于这个数学模型有哪些数学上的问题，并不是做物理的人很关心的～你要是总用数学的眼光来考察物理问题，这就偏离了物理学所需要的科研方式已经精神，这样的结果只能使你研究的东西只有数学上的意义而没多少物理上的意义～
额……你要是非要从规范场往纤维丛上扯的话，我建议你去数学吧。做物理的人最关心的是一个数学模型能不能够描述客观世界的物理过程，至于这个数学模型有哪些数学上的问题，并不是做物理的人很关心的～你要是总用数学的眼光来考察物理问题，这就偏离了物理学所需要的科研方式已经精神，这样的结果只能使你研究的东西只有数学上的意义而没多少物理上的意义～
尽管磁单极没有被发现，但Berry相位却一直被实验所证实，您可以关注一下吴咏时教授20世纪80年代的相关工作，他曾经因为辫子群在分数霍尔效应的工作受人关注。所以尽管我的表述中有一点点的接触纤维丛，但是其实也是与实验相对应的部分，这是我为什么带出Berry相位的原因。
最简单的二态系统，就存在着参数空间（磁场）的磁单极，其中的奇异性给出整体相位。
其实我所诉说的这些都是物理的，但我知道您似乎不是很习惯这一套语言，因为我能体会，几年前我也跟您一样。我尽管出身数学，但是我的数学和物理学学习的时间是一样长的，所以我能明白物理系最习惯的语言系统。但是有时候，在物理学的某些领域，很多的表述其实还是比较数学的。
要知道，数学本身只是一套语言符号而已，它唯一的作用只是使得我们的表述和想深入表述的严格化。
对了，您是中科大的吧？我记得吴咏时教授很早的时候就是中科院的，好像那时候也在中科大从事教育工作。
以前都没有时间接触到中科大的学生和老师，在这个吧里似乎很多，呵呵。老实说，受益匪浅。
以后我尽量用你们习惯的表述来讨论问题，我发现我有两个方面的内容其实都适合在这里进行讨论。
对了，问您一个问题。“什么叫科班出身？”
这是我以前常听到的话题，是指中科大的理科生吗？或者是笼统的说理科生？老实说，我没有接受过正规的数学（数学还稍好，毕竟本科是学数学专业的）和物理教育，因此你们的批评肯定都是中肯的，我会接受的，这一点是诚心的。
“科班出身”是指接受过正统的数理教育与训练的人...
是不是科班出身，这个很重要，倒不是瞧不起那些不是科班出身的科学爱好者或者民间科学家，但是从历史上看，重大科学发现与进展都是接受过正统科学训练的人才能做出来的。
另外我也没想批评你什么，只是想告诉你，如果你是研究数学的话，那么你的那套思考方式并不完全适合物理学。还有对于一些尚未了解清楚的领域，应该给予耐心的听取~~
是不是科班出身，这个很重要，倒不是瞧不起那些不是科班出身的科学爱好者或者民间科学家，但是从历史上看，重大科学发现与进展都是接受过正统科学训练的人才能做出来的。
另外我也没想批评你什么，只是想告诉你，如果你是研究数学的话，那么你的那套思考方式并不完全适合物理学。还有对于一些尚未了解清楚的领域，应该给予耐心的听取~~
呵呵，接受您的意见。
对了，您和MorrowindK 是同一个人吗？都叫超级云K。
在这个吧里，我其实主要想讨论两个问题。其中一个是量子力学本性的问题，由于我现在也没有系统的东西，只有暂时打住了。
只是没有想到吧主居然在这个帖子里无意中触及我想谈的另一个话题，所以就兴趣来了，说一说。
以后希望在这两个相关问题上多向你们请教。
对了，您和MorrowindK 是同一个人吗？都叫超级云K
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是~
另外说一下，以前研究的规范场以及纤维丛的那些东西，现在物理上继续做的人不是很多了，因为当初人们研究这个，有一个希望是想把引力给纳入进来，进而统一四种相互作用，只可惜后来一系列的“No go theorem”已经中断了这条道路，所以后来人们引入了超对称的概念来继续统一之路，因此现在大家更注重超引力/超弦这方面的东西，而不是一味的去研究以前非超对称下的规范场理论以及纤维丛模型~~
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是~
另外说一下，以前研究的规范场以及纤维丛的那些东西，现在物理上继续做的人不是很多了，因为当初人们研究这个，有一个希望是想把引力给纳入进来，进而统一四种相互作用，只可惜后来一系列的“No go theorem”已经中断了这条道路，所以后来人们引入了超对称的概念来继续统一之路，因此现在大家更注重超引力/超弦这方面的东西，而不是一味的去研究以前非超对称下的规范场理论以及纤维丛模型~~
现在的确不是很多了，当时最早意识到引力可能是规范场也是杨振宁教授1974年美国物理评论快报的文章，我前面提到过。从20世纪70年代到80年代末，很多人都试图寻找一个基于规范相互作用的引力版本。克莱因在20世纪40年代也提到的类似的非阿贝尔场的观念，也是在考虑高维引力场时出现的，在这一点上更早的工作，是卡鲁扎的五维模型。这些历史您应该也非常熟悉。
只是后来人们意识到超对称的局域变换很自然的增加一个场，而这个场的自旋为2（可以作为引力），而这一点附加在弦的拉式量上是很自然的。因此，在大多数物理学家看来，从这一条路上通向四种作用统一是很有吸引力的。
我曾经对于这个领域的研究，就在这里止步了，我的主要兴趣是在弦的二维界面与凝聚态方面。后来我不怎么相信统一场，所以就没有继续关注下去。
我也不学习统一场方面的了，我现在关注量子力学本性。
您是中科大的，应该认识李淼教授吧，他在弦这方面好像是最早进入的人之一，另外好像最近他在研究熵引力。
从您后来的表述中，我意识到您只是在看最简单的拉式量的局域规范不变性（即拉式量具有简单的相位不变性，这是最基本的，被伦敦和魏尔、克莱因所发现）。只不过您的表述无意中踏入了规范场的积分表述。
量子场论的版本，我看了不下十种，国内的版本有刘辽教授的《量子场论》（平直空间）、李政道教授《粒子物理导引》（上下册）、戴元本教授的《相互作用的规范理论》、王正行教授的《简明量子场论》，曹昌祺教授的《量子规范场论》。
不过这些所有的教材一个都没有系统的讲规范场的积分表述。包括国外的教材也没有，但是这却是非常之重要的。只有国内的李华钟教授在其著作《简单物理系统的整体性——Berry相位及其他》有一点点的涉及。
所以我在一看到您在问到规范变换相位，以及不可积和路径的问题，我以为您在研究这个方向的东西，所以就给您介绍了杨振宁教授的两篇原创文章。我之所以这么做，也确实是因为在量子场论的教材没有一本是介绍这个的（我不知道物理学界为什么没有意识到这个东西的重要性）。
但是我没有想到您只是初学规范场论，所以就弄巧成拙了，不过也没有关系，如果您能深入下去总会意识到我说的东西。
至于您让我再去读读量子场论并弄清楚这个东西，我实在无语，因为量子场论的教材确实还没有讲这个的。当然您后来才提及的局域规范变换是另一回事了。
“规范场是由“不可积相位因子”所导致的，为了解决掉不可积的相位因子，就产生了与物质场相耦合的规范场，以保证规范变换下整个体系的某些性质保持不变。”
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以上是您的原话，您自己再看看我推荐您看的第一篇文章。“规范场是由‘不可积相位因子’所导致的”这句话几乎在这篇文章里有同样的表述。
我猜测您所看到的教材里肯定有一点点的提到类似的东西，只不过您所看的教材的作者还没有能力深入下去，或者是不愿深入下去，一点就止。
我还不愿意相信，您只是就这个问题在后来的故意刁难我。
您看的教材是谁写的？书名是？
我看的量子场论是王正行的《简明量子场论》，你好像也看过。
而不可积相位因子，以及Berry相位的相关问题，我是在苏汝铿《量子力学》第二版上看的。
所以我的问题是出在把两个原本就不是同一回事的“相位”混淆了而出的问题，是学习过程中出现的误解，而不是研究一些还没有得到定论(或许是这样的)的东西。
你连我的问题究竟是什么都没弄清楚，不仅答非所问，还就着“非所问的答”往外延伸，你觉得有意义吗？所以我认为你尽管看了不少，但根本就没懂透彻。
而不可积相位因子，以及Berry相位的相关问题，我是在苏汝铿《量子力学》第二版上看的。
所以我的问题是出在把两个原本就不是同一回事的“相位”混淆了而出的问题，是学习过程中出现的误解，而不是研究一些还没有得到定论(或许是这样的)的东西。
你连我的问题究竟是什么都没弄清楚，不仅答非所问，还就着“非所问的答”往外延伸，你觉得有意义吗？所以我认为你尽管看了不少，但根本就没懂透彻。
另外，我无意刁难你。而你歪掉我的问题本身，反而更有刁难的嫌疑。
依赖于时空坐标的局域规范变换，它产生的规范场是与不可积相因子有关的，这点我并未否认。而我原本想说的，则是场的整体规范对称所产生的一个结果——“绝对相因子”是不存在的，也就是说积分结果存在一个不定因子，它意味着不可观测的绝对相位。所以我后来说，我误解了不可积相因子的意义，将两者混为一谈了。你到现在还没搞清楚我的错误出在哪。
我初学量子场论，而且是自学，没那个能力去深入考虑你所说的问题，你硬灌给我是无益的。
依赖于时空坐标的局域规范变换，它产生的规范场是与不可积相因子有关的，这点我并未否认。而我原本想说的，则是场的整体规范对称所产生的一个结果——“绝对相因子”是不存在的，也就是说积分结果存在一个不定因子，它意味着不可观测的绝对相位。所以我后来说，我误解了不可积相因子的意义，将两者混为一谈了。你到现在还没搞清楚我的错误出在哪。
我初学量子场论，而且是自学，没那个能力去深入考虑你所说的问题，你硬灌给我是无益的。
哎！童鞋！
我要被你击败了！苏汝铿的量子力学是我最早学量子力学的版本，里面讲Berry相位确实提到了不可积的问题，我看过。
关键的问题是研究规范场积分表述的人并不多，但我恰好是其中之一。最近在国外发表的论文也是这个方向的。
而我以前又是学习过规范场微分表述的，即您后来提到的局域规范变换。
现在您把苏汝铿教材《量子力学》里的不可积相位（看来他就是那个我说的没有深入讲下去的人了，哎），与《简明量子场论》里的局域规范变换，放在一块儿提问题。那就是进入规范场的积分表述了，老大！！！
恰好这两个方面我都学了，我不中招，谁中招啊！
哎，Berry相位的奥妙之处，又被您忽视了。那个所谓的“绝对相因子”有时候也是可以观测的，对于不平凡的路径的一个回路，这个相位会显现出来。这是被光纤实验多次证实的。
好了，打住了，免得到时候又被想象成我是在“无知”了。
言尽于此，我只能说，坂上中微子，你————————夺命书生在后面。
看60楼吧，我不再解释了。
王正行先生的《简明量子场论》我只看了一部分，还没有看到有提到“不可积相因子”的内容，所以我的问题是出在整体规范对称要求所带来的一个不定的“绝对相位”，也就是积分形式最后总是要有一个不定的积分项，我把它误解成了导致规范场存在的“不可积相位”。
说到这里你还不明白我的错误是什么，那我干脆直接请求你别再给我讲解了。
王正行先生的《简明量子场论》我只看了一部分，还没有看到有提到“不可积相因子”的内容，所以我的问题是出在整体规范对称要求所带来的一个不定的“绝对相位”，也就是积分形式最后总是要有一个不定的积分项，我把它误解成了导致规范场存在的“不可积相位”。
说到这里你还不明白我的错误是什么，那我干脆直接请求你别再给我讲解了。
【那个所谓的“绝对相因子”有时候也是可以观测的，对于不平凡的路径的一个回路，这个相位会显现出来。】
从这句话我可以确认我的判断——你不知道我的初衷是啥。
另外夺命书生什么的，你中招云云，这些闲话少讲，感叹少发，我最讨厌在正经讨论的时候掺杂这种话。说白了民科这个毛病很严重，我很讨厌。
从这句话我可以确认我的判断——你不知道我的初衷是啥。
另外夺命书生什么的，你中招云云，这些闲话少讲，感叹少发，我最讨厌在正经讨论的时候掺杂这种话。说白了民科这个毛病很严重，我很讨厌。
我在前面已经说了，这几本量子场论都没有提及不可积相位因子。我什么时候又说王正行的书里提到不可积相位了呢。我说的是苏汝铿，大哥！！
您应该看看李华钟教授的《简单物理系统的整体性——Berry相位及其他》，您们学校里应该有这本书吧，1998年的。
您学过量子力学就可以看了，不需要太多其他准备，这本书写的很好。
您看了就明白了。
所以我说我误解了不可积相因子的意义。。。
所以你为什么还非要把两者混到一块去呢？你说这些话意义何在啊？
别纠缠这个了行不行？我正式承认，大哥，我的水平远远不能望你项背，你是大师，你说的所有东西，我还没有能力一下子全理解，需要慢慢学习消化之后去领悟。这你满意了吧？
所以你为什么还非要把两者混到一块去呢？你说这些话意义何在啊？
别纠缠这个了行不行？我正式承认，大哥，我的水平远远不能望你项背，你是大师，你说的所有东西，我还没有能力一下子全理解，需要慢慢学习消化之后去领悟。这你满意了吧？
我知道您说的初衷，就是整体规范变换的那个相位因子，这个因子由于与其共轭相乘之后就不显现在拉式量中。
但是您以为这样就完了，这也是很多量子场论里没有提及的问题。
从1928年-1984年，所有的人与您刚才说的是一样的。不过1984年，Berry的工作之后，人们才体会到情形远远没有这么简单，那个所谓的绝对相位有些情形也是可以观测的，即非平凡的路径。这就是倪光炯教授，说为什么1984年之后很多人还不明白相位的奥妙的原因。
由于是出现在1984年，所以很多的教材是没有写进去的。
童鞋，我不纠缠这个问题了。
我的量子场论也是自学的，只不过恰好与Berry教授接触过，因此知道一些被忽视的东西。我给您说了，也是我觉得有这个必要。
这是我熟悉的领域，在您熟悉的领域很多东西我还不是要向您学习。看来是我弄巧成拙了，我错了，我错了。
每个人分配的时间不一样，您在这个领域花的时间多，我在那个领域花的时间多，所以互补长短就是这样来，毕竟总时间是一样的，所以您也不用谦虚。
不过，王正行教授那本《简明量子场论》确实写得不错，您选择这本书是绝对正确的：）
您是哪个大学的？中科大的？
数学预备（1） ——矢量、坐标系、立体角与重积分 （教材P112）
物理量分类: 标量，矢量和张量 (scalars ,vectors and tensors)
标量（0阶张量）——无空间取向，只需要一个数值即可表示的量。
例如，长度，时间，质量，能量，电势（电
矢量（1阶张量）——有一定的空间取向的量，在一般的三维欧氏空间中，这类量可分解为3 个有序分量。例如，质点 的位置矢量，速度，动量，角动量;电场强度，磁电场强度，等。
二阶张量——这类量有着比矢量更复杂的空间取向，在一般的三维欧氏空间中，二阶张量可分解为9 个有序分量。
例如，刚体的转动惯量，电荷系统的四极矩，等。还可以定义更高阶的张量
矢量表示
印刷——用黑体字母，如 r , A
书写——在字母上方加一箭头
1 .矢量的点乘和叉乘
(1)矢量的点乘（标积）:矢量 A与B 的点乘定义为标量A·B =AB cosq 
非黑体的A和B，分别表示矢量A和B的数值，q 是两矢量的夹角.按此定义，显然有
A·B = B·A （矢量的标积满足交换律） 正值
当0 ￡ q < p / 2 A·B = 0
当q = p / 2 （两矢量正交） 负值 当 p / 2 < q ￡ p
(2)矢量的叉乘（矢积）:矢量 A与B 的叉乘定义为矢量C = A×B
其值为A·B =AB sin q
即等于以这两个矢量的长度为邻边构成的平行四边形的面积
规定：作为运算结果的矢量C ，垂直于A和B 构成的平面，其方向遵从右手螺旋规则——
设想 A 沿q 角（小于p ）旋转到 B（以右手弯曲的四指表示旋转方向），
则螺旋前进的方向（右手母指的方向）就是C 的方向.按此规定，显然有
设想 A 沿q 角（小于p ）旋转到 B（以右手弯曲的四指表示旋转方向），
则螺旋前进的方向（右手母指的方向）就是C 的方向.按此规定，显然有
A×B = -- B×A （矢量的矢积不满足交换律）
而且,当q =0 或 p，即两个矢量同向或反向时，矢积为零：A×B = 0
2.坐标系、立体角（教材P117）和重积分
（1）直角坐标系（笛卡儿坐标系）
沿三个坐标轴正方向的单位基矢： 
任一点P的坐标： 
P点的位置矢量：（x, y, z）
P点处任一矢量：
沿三个基矢方向的无限小线元为:dl1 = dx, dl2 = dy, dl3=dz
与三个基矢正交的无限小面积元为:
dS1 = dl2dl3 = dydz
dS2 = dl3dl1 = dzdx
dS3 = dl1dl2 = dxdy
dS2 = dl3dl1 = dzdx
dS3 = dl1dl2 = dxdy
无限小体积元为dV = dl1 dl2 dl3 = dxdydz
（2） 一般的曲线正交坐标系
除了直角坐标系之外，我们还常常根据具体问题的需要，采用曲线正交坐标系，例如球坐标系和圆柱坐标系.
对于一般的曲线正交坐标系，空间任一点P的坐标以(u1 ,u2 ,u3)表示，沿u1 ,u2 ,u3 三个坐标增加方向的基矢量
互相正交.
互相正交.
一般地，随 P点位置变动，三个基矢的方向将发生改变.
沿此三个方向的无限小线元为dl1 = h1du1 dl2 = h2du2 dl3 = h3du3
h1 ,h2 ,h3 称为度规系数，一般是坐标 (u1 ,u2 ,u3)的函数.
P点上的矢量F 可以分解为 
(3)球坐标系
任一点P 的坐标为: u1 = r ,u2 =q ,u3 =f
r ——P点离坐标原点O的距离，变化范围：0≤r <∞
q——O与P的连线与 z 轴（极轴）的夹角，称为极角，变化范围：0≤q ≤p
f ——O与P’ 的连线对x 轴的夹角，其中P’是P点在xy平面的投影，
f 也称为P点的方位角，变化范围：0≤f ≤2p
P为原点建立的球坐标系基矢:
分别沿三个坐标增加的方向
P点的直角坐标 （ x, y, z ）与球坐标 ( r, q , f ) 的变换关系为
x = r sinq cos f , y = r sinq sin f , z = r cosq
当坐标有无限小增量dr，dq , df , 则三个无限小线元为
dl1 =dr , dl2 = r dq ,dl3 = r sinqdf
三个度规系数为
h1 =1, h2 = r, h3 = rsin q
以r为半径的球面元为
dS = dl2dl3 = r2 sinq dqdf = r2dW
其中，dW 称为dS对O点张开的立体角元
将d W 对任意半径的球面积分，均得到
事实上，由于dS1 和dS2 对O点的立体角元相等，故容易证明：
任意闭合曲面S 对其内部任意一点所张的立体角均为4p.
由于球面元 dS = r2dW，故半径 r =a 的球面积
无限小体积元为
d V = dl1 dl2 dl3 =r2 sinq dr dq df = r2drdW
将dV对半径为a 的球体积分，给出此球的体积
问题：内、外半径分别a 和b为的球壳体积是多少？
(4)圆柱坐标系
任意一点P的坐标为 u1 = r , u2 = f , u3 = z .
坐标变化范围： 0 ≤ r <∞ , 0 ≤ f ≤ 2p , -∞ < z <+∞
以P为原点建立的正交坐标系，沿三个坐标增增加方向的基矢量为
P的坐标(r ,f , z)与(x ,y ,z)的变换为
x = r cosf ， y = rsinf ， z = z
当坐标有无限小增量dr，df ，dz , 则三个无限小线元为
dl1 = dr ， dl2 = rdf ， dl3 = dz
三个度规系数为h1 = 1 , h2 = r , h3 = 1
圆柱侧面的面积元为
dS r = dl2 dl3 = r d f dz
半径为 r= a ，长为 l 的圆柱侧面积为 
圆柱端面的面积元为
dSz = dl1 dl2 = r drdf
无限小体积元为
d V = dl1 dl2 dl3= r drdfdz
半径为a，长为 l 的圆柱体积为
内外半径分别为a和b ，长为 l 的圆柱壳体积是多少？
数学预备（2） ——矢量分析简介 （教材P845）
经典场 (classical fields) 概念
如果一个物理量是空间坐标的函数（连续的或存在间断点的），我们就把这个物理量在空间的分布看成一个“场”.
如果一个物理量是空间坐标的函数（连续的或存在间断点的），我们就把这个物理量在空间的分布看成一个“场”.
例如
温度场——温度在空间或物体内的分布函数T（x,y,z），这是标量场
流速场——流体的速度分布分布函数v (x,y,z ) ，这是矢量场
如果温度和流速的分布还与时间t 有关，那么它们就都是空间和时间的函数：
T = T （x,y,z，t ）
v = v (x,y,z, t )
v = v (x,y,z, t )
电磁场
经典电磁理论把传递电磁作用的物质，看成是“连续分布的物质”，这种物质就是电磁场
电磁场由带电物质产生，并以下面的物理量描述：
电场强度分布函数 E(x,y,z)
磁感应强度分布函数B(x,y,z ) ,或磁场强度分布函数H(x,y,z)
两者都属于矢量场
也可用标势和矢势描述电磁场
标势分布函数φ(x,y,z) 构成标量场（或以U表示）
矢势分布函数A（x,y,z）构成矢量场
在相对论电动力学中，电场强度E 和磁感应强度B，统一成电磁场张量.
以后，我们都用某点的位矢r 表示这点的坐标(x,y,z,).如E(x,y,z) = E(r)
标量场的梯度（gradient of a scalar field）
在直角坐标系中，无限接近的两点P与P'之间，线元矢量dl分解为
标量场φ 在P点的值：φ（ r）
在P'点的值：φ(r +dr)
在这两点之间，φ的无限小增量——全微分为
我们称
为标量场φ在P点的梯度，它是一个矢量. φ在所有点上的梯度构成矢量场
我们看到，微分算符（读作“del” ）
具有矢量性质,
它作用于标量函数 f 的结果，变成一个矢量函数.
若P'与P两点处于标量场φ的同一等值面，即线元矢量dl沿此等值面的切向，此时dφ=0，这意味着P点上的矢量 必定沿等值面的法向.
仅当线元矢量dl与此等值面的法向一致，即dl = dn时，dφ才有最大值：
大家将看到，某点上电势（或称电位）函数U 的梯度之负值，等于该点的电场强度E (矢量函数) ：
在球坐标系中，标量场φ的梯度
而在圆柱坐标系中
微分算符对矢量函数E 的有两种运算方式:
E 的散度（divergence）：
是一个标量
E 的旋度（rotation, 或curl）
则是一个矢量
高斯定理和斯托克斯定理
高斯定理： 对任意闭合曲面S及其包围的体积V，下述积分变换定理成立：
左方表示矢量场A通过闭合曲面S 的净通量（net flux）
右方表示矢量场A在V 内所有点的散度对V 的体积分
规定：闭合曲面面积元矢量dS 沿曲面的外法线方向
斯托克斯定理： 对任意的闭合路径L所围的曲面S，下述积分变换成立:
右方表示矢量场A在曲面S所有点的旋度通过S的通量（ flux）
规定：无限小的闭合路径L围成的面积元矢量dS ， dS的方向与路径L的绕行方向成右手螺旋关系
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