全像原理:
場論與重力的世紀婚禮
量子場論與廣義相對論是兩個在本質上非常不同的理論。可是透過黑
洞物理與弦論所啟發的全像原理，卻能使兩者互為一體的兩面，增進了
我們對量子重力的理解。除此，我們也可以利用全像原理來研究強作用
或強關聯系統。本文將綜述全像原理的發展過程與主要概念。
AdS 空間是一個有重力位能井(gravitational potential
well)的大箱子，
而更重要的是，人們已經開始可以對不同理論間的對
偶性見怪不怪了。
四、 世紀婚禮
1997 年底，馬達希納(Maldacena)提出了一個驚人
的猜想[3]:他說10 維時空的第二型的超對稱重力理論
緊緻化(compactify)在5 維球上所得到的5 維反-底希特
(anti-de Sitter，AdS) 空間的重力理論等價於4 維有最大
超對稱與無窮大規範對稱的楊-彌爾斯(Yang-Mills)場
論。而且這個場論具有共形對稱(conformal
symmetry)(也就是在廣義的尺度變換下不變)，所以是
一個共形場論(conformal field theory. CFT)[4]，因此這個
對應被稱為AdS/CFT 對偶，這是一個強弱對偶。
AdS 空間是一個有負曲率的最大對稱空間
(maximally symmetric space)，負曲率是由負的宇宙學常
數(negative cosmological constant)所造成。所以某個意義
上，AdS 空間是一個有重力位能井(gravitational potential
well)的大箱子，箱子的大小大約是AdS 空間的曲率半
徑。此外，AdS 空間的邊界是類時的(time-like)，而且
由於重力位能井的作用，光由中心到邊界所需的時間
是有限的，這與有類光(light-like)邊界的平空間(flat
space)不同[5]。由於邊界是類時的，所以可把所對應的
CFT 想像成是住在AdS 空間的邊界，至於AdS 空間的
徑向方向則對應到CFT 中重整化群(Renormalization
Group, RG)的能量標度(energy scale)。如果馬達希納的
猜想是對的話，這就意味著我們可以用一個住在邊界
的量子場論來描述AdS 重力，與黑洞熵的面積律有異
曲同工之妙。因此可以說，AdS/CFT 對偶性是全像原
理在弦論裡的一個具體實現的例子。而這樣的對偶性
大大超出了一般人對如何統一量子場論與重力的想
像，也可以說是理論物理的一個世紀性的大突破。
馬達希納所以能提出這樣的猜想是因為他發現在
某些特殊的極限底下， D 膜的開弦與閉弦之間的耦合
可以忽略，也就是用來描述D 膜的量子場論與重力理
論可以互不相干，所以可以是互補或等價的描述。而
這個特殊極限下所得到的D 膜時空幾何便是AdS 空
間，而相對應的開弦理論便是有共型不變的楊-彌爾斯
場論。然而這並不保證這兩個理論是等價的。馬達希
納更進一步發現兩個理論的運動學(kinematic)對稱性
是相同的，所以保證它們有相同的粒子能譜。更精確
的講，5 維AdS 空間的座標變換對稱性(isometry)是
SO(4,2)，這對應到4 維CFT 的對稱性。特別注意的是
一般4 維量子場論對稱性是勞倫茲群(Lorentz group)，
也就是SO(3,1)，因為額外的共形對稱使得對稱性增加
到SO(4,2)。此外，原本用來緊緻化10 維重力的5 維球
的座標變換對稱性SO(6)則對應到CFT 中用來轉置超
對稱的R 對稱性。依據這種對應，可以發現AdS 重力
理論中的基本場(elementary field)會對應到CFT 中複雜
的規範不變算子(gauge-invariant operators)，這些算子在
強作用底下是自然的物理觀測量。這也暗示著AdS 重
力中基本場的弱作用維擾論會對應到CFT 中的與規範
不變算子有關的強作用現象。
然而僅僅有運動學對稱性的對應是不夠的，還需要
有動力學的對應才能支持馬達希納的猜想，而這些在
他的文章中卻付之闕如。不過幾個月以後，普林斯頓
大學與高等研究院的兩組人馬就找到了動力學證據。
他們主要是提出如何由AdS 空間中基本場的微擾論來
算出CFT 中算子的關聯函數(correlation function)。而其
中基本的想法是AdS 基本場的在殼作用量(on-shell
action)就是對偶CFT 的配分函數(partition function)，而
基本場在邊界的值對應到CFT 中耦合到對應算子的源
(source)。如此一來，我們就可以透過解一個古典場在
AdS 空間的運動方程式來求得一個強耦合CFT 的關聯
函數。這樣的突破大大的提升了人們對AdS/CFT 對偶
性的信心，因此接著就考慮了在有限溫度的情況下的
全像對偶關係，而這個對應牽涉到黑洞。由於黑洞有
熱力學，所以很自然的想法便是AdS 空間中的黑洞熱
力學應該會對偶到CFT 的熱力學，尤其黑洞熵的面積
律恰好對應到CFT 熵的體積律，而這確實如此。另外，
AdS 空間中的黑洞有正的比熱，所以可以形成一個穩
定的熱力學系統，這與有負的比熱因而不穩定的平空
間黑洞大不相同。
五、 他們世俗的孩子們
在經過數年中無數的計算與測試，人們逐漸確認
了馬達希納的猜想。尤其在某些特殊情況底下，強作
用的CFT 可以化約為可積系統(Integrable Systems)，因
此可以直接測試非常複雜的關聯函數，而所得的結果
皆與猜想吻合。由於有了非常顯著的證據，物理學家
們開始好奇AdS/CFT 式的全像原理有沒有可能運用在
非AdS 或非CFT 的情況。如此一來，也許可以解決許
多原來無解的強作用或強關聯(strongly correlated)系
統，譬如量子色動力學(Quantum Chromodynamics, QCD)
或高溫超導(High Temperature Superconductor, High
T_c)。限於篇幅的緣故，在此簡短的提出兩個有趣的
推廣與應用。
首先，是將AdS 空間換成漸進AdS 空間
(Asymptotically AdS space)，即不需保持全域的(global)
SO(4,2)對稱，如此一來可以可慮對偶CFT 在非平衡態
時的物理，譬如傳輸現象與流體力學。在長波長的極
限底下，我們可以利用線性響應原理(linear response
theory)從全像關聯函數得到CFT 在強耦合時的傳輸係
數(transport coefficients)。對於強耦合的非平衡態系統，
除了全像計算，幾乎沒有其他辦法可以研究他們的動
態傳輸現象，這包括第一原理計算(first principle
calculation)。透過這些計算，人們發現剪黏滯係數(shear
viscosity)與熵密度的比值必須大於一個普世值
(universal value)，這是之前無法預期到的[6]。而且這個
普世值與AdS 黑洞的散射截面有關，這樣的聯繫暗示
AdS 黑洞物理應等價於對偶CFT 的流體力學。的確，
當我們對全像理論進行系統性的長波長展開(derivative
expansion)，便可以發現AdS 空間下的愛因斯坦方程式
等價於對偶CFT 中用來描述相對論性共形流體力學的
納維爾-史托克斯方程式(Navier-Stokes equation)。兩組
方程式都是非線性地，而且後者是藉由全像原理第一
次被完整且正確地推導出來。
另外，大部分的物理系統都不是共形不變的，所
以如要用全像原理來研究這些系統在強作用時的物
理，就必須考慮徑向變形的AdS 空間(warped AdS space)
的對偶，其中度規(metric)的徑向變形效應對偶到場論
中重整化群流(Renormalization Group Flow)。其中最有
趣的強作用或強關聯系統是高能物理的QCD 理論與
凝聚態物理中的超導現象。而在討論QCD 的全像對偶
模型中最成功的是酒井-杉本模型(Sakai-Sugimoto
model)[7]，這個模型可以圖像式的解釋手徵對稱破缺
(chiral symmetry breaking)，並得出與實驗觀測相近的介
子譜(meson spectrum)與低能量的有效手徵微擾論
(effective chiral perturbation theory)。
至於一般超導現象是與自發性對稱破缺有關，也
就是有效場論的純量場在小於臨界溫度時會產生凝聚
(condensation)，而形成不為零的序參數(order
parameter)。從全像的觀點來看，與序參數算子對偶的
基本場必須是可歸一化的(normalizable)，也就是不需要
無窮大的能量就可以使基本場在邊界有值，從而引進
除了質量、電荷與角動量之外新的黑洞參數，這就意
味著違反黑洞的光頭定理。與平空間中的黑洞不同，
(warped) AdS 空間中的黑洞處在一個重力位能井中，所
以基本場在溫度夠低時無法逃脫位能井而在視界面上
產生凝聚。這又是全像原理再一次展示新物理。
六、 從此過著幸福快樂的生活?
儘管全像原理帶給我們對於量子重力的新看法與
應用，但並不意味著我們已經完全瞭解量子重力，從
此可以過著幸福快樂的生活。目前全像原理的適用性
僅限於AdS 空間，對於平空間的史瓦茲薛爾德黑洞
(Schwarzschild black hole)所展現的全像現象如面積律
與微觀態的理解仍非常有限。另外，大部分的全像原
理應用是從重力來理解強作用系統，而很少有從弱作
用的場論來研究對偶的強重力現象，譬如黑洞奇點在
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