www.wuli.ac.cn/fileup/PDF/20010505.pdf
轉為繁體網頁
轉為繁體網頁
2001年5月5日 - 实行相应的幺正变换，而信息提取则是对量子信息. 系统实施量子测量. ... 纠缠性、
Saturday, January 31, 2015
热谱 正则系综 幺正性 信息
PDF]量子信息引论# - 物理杂志
用量子隧穿法研究带质量四极矩静态
黑洞的 Hawking 辐射!
韩亦文
（达县师范高等专科学校物理系，达州 635000）
（2005 年 4 月 20 日收到；2005 年 5 月 19 日收到修改稿）
对带质量四极矩的静态黑洞 Hawking 辐射的隧穿过程进行了简单直接的推导，得到了热谱.因推导过程应用了
能量守恒定律，故真正的辐射不一定是纯热的.这一结果支持了这样一种观点：隧穿的辐射携带信息是可能的.
关键词：黑洞，辐射，隧穿，能量守恒
PACC：0420，9760L
! 四川省教育厅自然科学基金（批准号：03B047）资助的课题.
1. 引
言
Hawking 关于黑洞存在温度和 T =!/2!的量子
辐射［1，2］这个令人震惊的发现，引导人们在黑洞热力
学的研究上做了大量卓有成效的工作. 由此产生了
如温度格林函数法、路径积分法、Damour<Ruffini 法
以及 Unruch 的二次量子化等方法［3—6］研究黑洞的热
辐射.一系列的研究结果显示［7—10］，从宏观上看黑洞
辐射伴随着信息的损失，即黑洞有精确的热谱，无毛
定理成立.不过，热谱的获得完全取决于一个唯一的
因素即温度.然而，当热量被控制时，外幅射就不会
有任何信息，即 Hawking 结果的幺正性丧失. 同时，
无毛理论认为一个稳定黑洞外面的几何完全被如质
量、电荷、角动量等少数参量具体化，因此，时空几何
辐射可以在一个幺正理论中被
也没有携带其他信息. 尽管弦理论也支持 Hawking 描述［11］，但有关辐射
过程中信息是怎样返回的问题，仍然令人不可思议，
因为已有的研究结果并没有直接地展示出黑洞在蒸
发过程中所剩塌缩物质的宏观特征. 尽管宏观信息
的丢失在本质上与量子力学并不矛盾，但如果能够
展示出与塌缩物质组态相关的外辐射特征，则至少
有部分信息可以返回而勿需苛求去解决全量子引力
问题.关于这个问题，有人曾经猜测可能非局域性起
了作用［12］
.
然而，在黑洞辐射过程中，热谱和无毛都不能在
视界面处得到. 如果确实如此，则违背能量守恒定
律，因为热谱包含了一个任意高能层，对于一个孤立
黑洞，当辐射量子被发射时，其黑洞质量必然会减
少，洞也会随之收缩. 因此，能量守恒保证在获得更
高能量的同时，热谱开始脱离对热量的依赖，即在微
正则系综里，温度只是低能量的近似值. 换句话说，
描述稳定不变黑洞组态的无毛定理只是一个提供近
似值的理论.
事实上，黑洞辐射出的只是低于它的质量.最近
的研究显示［13，14］，在量子引力中，应该把极端黑洞看
作是受激亚稳态，而黑洞辐射的根源应该是在考虑
引力反作用后，能像隧穿一样可以直接加以描述.这
种描述直接体现了 Hawking 提出的非常具有启发性
的物理图像，即黑洞辐射是粒子通过隧道效应穿越
视界这样一个图像.运用这种方法，人们对静态球对
称 Schwarzschild 时空，de sitter 时空，anti<de sitter 时空
Hawking 辐射的隧穿过程进行了直接推导
［15—17］
. 本
文用此方法对带质量四极矩的静态黑洞 Hawking 辐
射的隧穿过程进行了研究，结果表明，在考虑自引力
的情况下，辐射谱偏离纯热谱.
2. 时空的 Painleve 坐标变换
带有质量四极矩的静态时空的线元为［18］
ds2
= m2 er2"｛e2#（x2 r y2 ）
dx2
x2 r 1
+
dy2
y2 r
[
]1
第 54 卷 第 11 期 2005 年 11 月
1000<3290/2005/54（11）/5018<04
物 理 学 报
ACTA PHYSICA SINICA
Vol.54，No.11，November，2005
"
"
""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""
2005 Chin. Phys. Soc.
+（x2 r 1）（y2 r 1）d!2 ｝r e2"dt2 .
（1）
度规函数
"
（x，y）=
1
2
ln
x r 1
x + 1
+"0（x，y），
（2）
"
0（x，y）= A2 x（x2 r 3x2 y2 + 3y2
r 4y4 ）/（x2 r y2 ）3 ，
（3）
#（x，y）=
1
2
ln
x2 r 1
x2 r y2 +#0（x，y）， （4）
#
0（x，y）=
1
2
A2
1 r y2
（x2 r y2）4［3（1r5y2）
（x2 r x2）2
+ 8y2（3r5y2）
（x2 r y2）+ 24y4（1 r y2）］
+
1
8
A2
2
1ry2
（x2 ry2）8［r 12（1r4y2 +25y4）
（x2 ry2）5
+ 3（3 r 153y2 + 697y2 r 675y6）
（x2 + y2）4
+ 32y2（9 r 105y2 + 259y4 r 171y6）
（x2 r y2）3
+ 32y4（45 r 271y2 + 451y4 r 225y6）
（x2 r y2）2
+ 2384y6（1r4y2 + 5y4 r 2y6）
（x2 r y2）
+ 1152y8（1r3y2 + 3y4 r y6）］，
（5）
其中 m 为引力场的场源质量，A2 为场源质量四极
矩因子.变换到球极坐标系 x =
r
m r 1，y = cos$，! =
!
则（1）式可改写成
ds2
=re2"
0
1 r
2m
( )r
dt2 + e2（#
0
r"
0 ）
1 r
2m
( )r
r1
dr2
+ r2 e2（#
0
r"
0 ）
d
!
2 + r2 er2"
0
sin2
$d$
2 .
（6）
由文献［19］可知，当 r!2m 时，在视界附近存在如
下近似：
e2（#
0
r2"
0 ）
= e2（r A2 /2r3A
2
2 /8）.
（7）
利用（7）式，可将（6）式改写成
ds2
=re3A
2
2 /8
1 r
2m
( )r
dt2 + er A2 r3A
2
2 /8
1 r
2m
( )r
r1
dr2
+ e3A
2
2 /8 r2 sin2
$d$
2 + er A2 r3A
2
2 /8 r2 d
!
2 .
（8）
欲描述视界的隧穿，需进行坐标变换，当然，这种变
换不同于 Schwarzschild 坐标变换. 于是我们引入
Painleve 坐标
［20］，以期在视界处时空不再奇异. 为了
获得新的线元，定义如下新的坐标时间：
ts = t + f（r），
（9）
其中，f 仅与 r 有关. 为此，根据（9）式，时空线元（8）
式可写成
ds2
= r（1 r g（r））dt2
s +
er A2
1 r g（r）
dr2
+ e3A
2
2 /8 r2 sin2
$d$
2 + er A2 r3A
2
2 /8 r2 d
!
2 .（10）
在四维时空中，对于带质量四极矩的静态黑洞，1 r
g（r）= e3A
2
2 /8（1r2m/r），在视界面 r = 2m 处度规
（10）式不再奇异但仍然是固有时间反演的不变量.
因此，对于一个径直下落的观者，在穿越视界面时不
会观察到任何不正常的情况.为此，可以选择观者的
时间作为坐标时间.作为推论，我们要求这个时间应
是平直的，于是有如下条件：
1
1 r g（r）r
1 r g（r）
er A2
（f!（r））2
= 1. （11）
对（9）式微分，可得
dts = dt + f!（r）dr .
（12）
将（11）式及（12）式代入（10）式，得 Painleve 坐标下的
新的时空线元为
ds2
=re3A2 /8
1 r
2m
( )r
dt2
r 2er A2 /2+3A
2
2 /16
2m
"r
dtdr + er A2 dr2
+ e3A
2
2 /8 r2 sin2
$d$
2 + er A2 r3A
2
2 /8 r2 d
!
2 .（13）
不难验证，（13）式确定的度规分量在视界面 r = 2m
处不再奇异. 而且，对于无穷远观者，度规（13）与度
规（8）不可区分，考虑径向类光测地线 d$= d% = 0，
ds2 = 0，得
*r =
dr
dt
= eA2 /2+3A
2
2 /16
±1+
2m
"
(
)r
. （14）
当考虑到粒子的自引力时，上述方程将被修正.
对于球面波即穿越视界薄层的粒子，如果薄层有能
量%，则视界内外的几何为相同的时空几何，不同之
处在于质量参数. 当总的能量固定时，质量 m 应该
用 m r% 来替代.
3. 视界的隧穿效应
下面讨论辐射粒子穿越视界的物理行为. 这里
以无质量的壳的出射为例来研究，对于球面引力而
言，Brikhoff 理论认为“壳”出现在时空几何上的唯一
影响是为“壳”的内外总质量的联系提供了匹配条
件，即因自引力的作用，出射粒子应遵从的方程中的
m 应被 m r% 取代.于是（13）式改写成
ds2
=re3A
2
2 /8
1 r
2（m r %）
(
)
r
dt2
r 2er A2 /2+3A
2
2 /16
2（m r %）
" r
dtdr + er A2 dr
+ e3A
2
2 /8 r2 sin2
$d$
2 + er A2 r3A
2
2 /8 r2 d
!
2 . （15）
由于在视界面附近的无限蓝移，在那里任何波
包的波长总是任意小量.在半经典极限中，我们采用
9105
11 期
韩亦文：用量子隧穿法研究带质量四极矩静态黑洞的 Hawking 辐射
WKB 近似.以此将隧穿振幅与粒子作用量的虚部相
联系，发射率! 是隧穿幅的平方［21］，即
! ! e
r2ImZ ，
（16）
为了计算作用量，先将它表示成
ImZ = Im"
rout
rin
pr dr = Im"
rout
rin"
pr
0
dp!r dr，（17）
其中 pr 为径向动量 rin = 2m 为初始半径，rout = 2（m
r"）为终极半径，由于视界面的收缩，所以 rin >
rout .由于辐射反作用导致视界面半径的收缩，在 rin
与 rout 之间的有限区域就会形成经典的势垒禁区.
（17）式中的动量，我们可以通过 Hamilton 方程来消
除，于是有
dH
dp r
=
!H
!p
=
dr
dt
，
（18）
其中 Hamilton 函数是 Painleve 时间的生成元. 因此，
作用量虚部为
ImZ = Im"
mr"
m "
rout
rin
dr
r
・ dH
= Im"
"
0
"
rout
rin
er（ A2 /2+3A
2
2 /16）dr
1 +
2（m r "! ）
# r
（r d"! ），
（19）
其中 (r = +dH/dpr 1 r . 利用（14）式，并注意到 rin >
rout 及 H = m r"! ，由（19）式可得
ImZ =+4#"er A2 /2r3A
2
2 /16（m r "/2）. （20）
将（20）式及（22）式代入（16）式，可得
! !e
r2ImZ
= er8""exp（r A2 /2r3A
2
2 /16）
（mr"/2）
= e#S ，
（21）
其中 #S 为黑洞的 BekensteinHHawkng 熵，按照文献
［22］的方法可以计算得到，这也正是我们所期望的
结果.
4. 结
论
综上所述，我们对带质量四极矩静态黑洞视界
隧穿的辐射进行了简单的推导，发现能量守恒不仅
提供了黑洞辐射过程中粒子隧穿的势垒，而且使热
谱在较高能态时产生热能偏离. 对辐射的修正结果
与 Hawking 的观点一致. 这个结果同时支持了文献
［13，14］的结论，即黑洞在辐射过程中携带信息是可
能的.
［1］
Hawking S W 1974 Nature 248 30
［2］
Hawking S W 1975 Math . Phys . 43 199
［3］
Gibbons G W and Perry M J 1978 Proc . R . Soc .A 358 467
［4］
Unruh W G 1976 Phys . Rev . D 41 870
［5］
Damour T and Ruffini R 1976 Phys . Rev . D 14 332
［6］
Dai X X and Zhao Z 1992 Acta Phys . Sin . 41 869（in Chinese）
［戴
宪新、赵 峥 1992 物理学报 41 869］
［7］
Luo Z Q and Zhao Z 1993 Acta Phys . Sin . 42 506（in Chinese）
［罗
志强、赵 峥 1993 物理学报 42 506］
［8］
Ma Y and Yang S Z 1997 Acta Phys . Sin . 46 2280（in Chinese）
［马
勇、杨树政 1997 物理学报 46 2280］
［9］
Song T P and Yao G Z 2001 Acta Phys . Sin . 51 1144（in Chinese）
［宋太平、姚国政 2001 物理学报 51 1144］
［10］ Zhang J Y 2003 Commun . Theor . Phys . 40 244（in Chinese）
［张靖
仪 2003 理论物理通讯 40 244］
［11］ Callan C G Jr. and Maldacena J M 1996 Nucl . Phys . B 472 591
Subscribe to:
Post Comments (Atom)
No comments:
Post a Comment