另一個
難題是量子重力無法重整化，也就是說隨著重力場的
增強，量子效應隨之增大而變得不可控制，從而使得
理論失去可預測性。這一點與可重整化的量子電動力
學的可預測性大相逕庭。換句話說，如同電子一樣，
重力子(graviton)(或時空)的點集特性造成無窮大自
能，但是不同的是重力子的無窮大自能無法藉由重整
化消去。這樣的結果暗示著時空幾何的點集特性與量
子效應是相衝突的。
由於這些難題，物理學家逐漸放棄這種簡約式的
量子化重力的辦法，轉而開始找尋更徹底的解決之
道，其中最成功的就是弦論(string theory)。弦論放棄了
時空的點集特性，因此避開了無法重整化自能的困
擾。另一方面，弦論在低能量的狀況下可以逼近廣義
相對論，所以是一個自洽的理論[1]。某個意義上，弦
論成功的結合了量子效應與重力，然而實際上它僅僅
提供了一個銜接兩者的框架，對於強重力場的特性與
本質的瞭解仍付之闕如。
除此之外，本質上場論與廣義相對論是兩種非常不
一樣的理論，前者描述粒子動力學，後者描述時空動
力學。因此必須突破某種出於對理論本質的執著，才
有可能看出它們之間的等價關係。對此，在弦論二次
革命中另一個扮演重要角色的核心概念「對偶性」
(duality)適時地產生了推波助瀾的作用。對偶性就是指
兩個看起來非常不同的理論可以是等價的。譬如如果
兩個理論能譜中的基本粒子(elementary particle)與孤立
子解成一一對應，而且作用量(action)在耦合常數強變
弱，弱變強的自對偶(self-dual)變換下不變，則該理論
的強作用下的物理將等價於弱作用下的物理，又稱為
S 對偶或強弱對偶(strong/weak duality)。另外，有所謂
的T 對偶性支持弦論在不同時空下的等價性。利用這
些對偶性，人們發現所有的弦理論都是等價的，而且
應該統一在一個更大的理論架構下，也就是M 理論。
而更重要的是，人們已經開始可以對不同理論間的對
偶性見怪不怪了。
四、 世紀婚禮
1997 年底，馬達希納(Maldacena)提出了一個驚人
的猜想[3]:他說10 維時空的第二型的超對稱重力理論
緊緻化(compactify)在5 維球上所得到的5 維反-底希特
(anti-de Sitter，AdS) 空間的重力理論等價於4 維有最大
超對稱與無窮大規範對稱的楊-彌爾斯(Yang-Mills)場
論。而且這個場論具有共形對稱(conformal
symmetry)(也就是在廣義的尺度變換下不變)，所以是
一個共形場論(conformal field theory. CFT)[4]，因此這個
對應被稱為AdS/CFT 對偶，這是一個強弱對偶。
AdS 空間是一個有負曲率的最大對稱空間
(maximally symmetric space)，負曲率是由負的宇宙學常
數(negative cosmological constant)所造成。所以某個意義
上，AdS 空間是一個有重力位能井(gravitational potential
well)的大箱子，箱子的大小大約是AdS 空間的曲率半
徑。此外，AdS 空間的邊界是類時的(time-like)，而且
由於重力位能井的作用，光由中心到邊界所需的時間
是有限的，這與有類光(light-like)邊界的平空間(flat
space)不同[5]。由於邊界是類時的，所以可把所對應的
CFT 想像成是住在AdS 空間的邊界，至於AdS 空間的
徑向方向則對應到CFT 中重整化群(Renormalization
Group, RG)的能量標度(energy scale)。如果馬達希納的
猜想是對的話，這就意味著我們可以用一個住在邊界
的量子場論來描述AdS 重力，與黑洞熵的面積律有異
曲同工之妙。因此可以說，AdS/CFT 對偶性是全像原
理在弦論裡的一個具體實現的例子。而這樣的對偶性
大大超出了一般人對如何統一量子場論與重力的想
像，也可以說是理論物理的一個世紀性的大突破。
馬達希納所以能提出這樣的猜想是因為他發現在
某些特殊的極限底下， D 膜的開弦與閉弦之間的耦合
可以忽略，也就是用來描述D 膜的量子場論與重力理
論可以互不相干，所以可以是互補或等價的描述。而
這個特殊極限下所得到的D 膜時空幾何便是AdS 空
間，而相對應的開弦理論便是有共型不變的楊-彌爾斯
場論。然而這並不保證這兩個理論是等價的。馬達希
納更進一步發現兩個理論的運動學(kinematic)對稱性
是相同的，所以保證它們有相同的粒子能譜。更精確
的講，5 維AdS 空間的座標變換對稱性(isometry)是
SO(4,2)，這對應到4 維CFT 的對稱性。特別注意的是
一般4 維量子場論對稱性是勞倫茲群(Lorentz group)，
也就是SO(3,1)，因為額外的共形對稱使得對稱性增加
到SO(4,2)。此外，原本用來緊緻化10 維重力的5 維球
的座標變換對稱性SO(6)則對應到CFT 中用來轉置超
對稱的R 對稱性。依據這種對應，可以發現AdS 重力
理論中的基本場(elementary field)會對應到CFT 中複雜
的規範不變算子(gauge-invariant operators)，這些算子在
強作用底下是自然的物理觀測量。這也暗示著AdS 重
力中基本場的弱作用維擾論會對應到CFT 中的與規範
不變算子有關的強作用現象。
然而僅僅有運動學對稱性的對應是不夠的，還需要
有動力學的對應才能支持馬達希納的猜想，而這些在
他的文章中卻付之闕如。不過幾個月以後，普林斯頓
大學與高等研究院的兩組人馬就找到了動力學證據。
他們主要是提出如何由AdS 空間中基本場的微擾論來
算出CFT 中算子的關聯函數(correlation function)。而其
中基本的想法是AdS 基本場的在殼作用量(on-shell
action)就是對偶CFT 的配分函數(partition function)，而
基本場在邊界的值對應到CFT 中耦合到對應算子的源
(source)。如此一來，我們就可以透過解一個古典場在
AdS 空間的運動方程式來求得一個強耦合CFT 的關聯
函數。這樣的突破大大的提升了人們對AdS/CFT 對偶
性的信心，因此接著就考慮了在有限溫度的情況下的
全像對偶關係，而這個對應牽涉到黑洞。由於黑洞有
熱力學，所以很自然的想法便是AdS 空間中的黑洞熱
力學應該會對偶到CFT 的熱力學，尤其黑洞熵的面積
律恰好對應到CFT 熵的體積律，而這確實如此。另外，
AdS 空間中的黑洞有正的比熱，所以可以形成一個穩
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