測地線確代表兩點之間的最短距離。一旦走遠了就不一定是最短的, 切向量微分以後當然指向經圓的圓心,和球面垂直, 流形上的曲线和函数在局部上有很好的性质，比如说线性性质

14 數學傳播23卷2期民88年6月
如何理解切空间里的向量可以看成微分算子？

定义倒是清楚，包括各种定义的等价性，但是有点不太能理解的是，如何将微分算子和微分流形看成是“相切的”？有没有比较直观的解释？谢谢。

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6 个回答

什么是答案总结？ 答案总结

冯白羽，数学专业本科在读

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我们之所以要研究切向量、余切向量，正是因为流形上的曲线和函数在局部上有很好的性质，比如说线性性质。而我们考察线性空间的性质时，当然两个线性空间如果同构就几乎可以看做一回事。所以相切的概念本身就是在讲，局部上如果可以用线性空间的行为去刻画流形的性质，就说这个空间在某种意义上与流形相切。

编辑于 2014-09-20 添加评论 感谢 分享 收藏 • 没有帮助 • 举报

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匿名用户

I think this is because T (maps manifold to its tangent bundle) is a covariant End-functor of category Manifold. usually we get the feeling of tangent via Euclidian space, while in Manifold there are enough arrows Rn -> M (curves etc.) and M -> Rm (embedding thms), and the functority of T extends that feeling to general manifolds, ie, we wanna this hold: tangent vectors should be preserved under morphisms.
as for me this definition more natural: first we have a manifold, with naturally an algebra C(M), then consider the derivations of C(M), denoted by Der(C(M)), and recognise it as TM. (this process should be adjusted when considering more rigid structures like complex)
---------
i mean morphisms between manifolds naturally induce morphisms between the function algebras and thus induce morphisms between Der() and we get the functor T. this is the link of the two paragraphs above.

编辑于 2014-09-16 1 条评论 感谢 分享 收藏 • 没有帮助 • 举报

闵捷，I wanna see 4 dimensionally

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谢邀。
我觉得最直观的理解就是在里，一个vector 对应一个linear differential operator ，给出函数的directional derivative。而一个n dimensional manifold M上面的函数局部来看都是定义在上，所以切向量可以看成是linear differential operator。（不过我猜你大概都知道了。。。。。）

======刚才这里写了一段被@Liph 指出其实是cotangent space，可耻地删掉了T_T======

我记得warner的书就是用这种方法定义的切空间，讲得挺清楚的可以看看。

编辑于 2014-09-15 4 条评论 感谢 分享 收藏 • 没有帮助 • 举报

zero，数学系在读学森

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我的理解是，切向量（微分算子）在二维的时候有很好的直观，所以理解做相切，到了高维或者任意流形只是借用了这个术语而已，再谈几何直观就不太对了

毕竟流形不嵌入高维空间，你连法向量都没有，自然不可能直观的理解相切

至于切向量理解为微分算子，因为向量在欧式空间很好理解，但是在一个抽象流形上怎么定义一个向量，或者定义一个方向。只要把方向和这个方向求导的微分算子等同起来，于是就可以很自然的搬到流形上了

发布于 2014-09-19 2 条评论 感谢 分享 收藏 • 没有帮助 • 举报

Minglei Xiao，物理宅

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微分算符~方向导数~方向~切向量

发布于 2014-09-20 添加评论 感谢 分享 收藏 • 没有帮助 • 举报

魏厚生，“我对作为整体的人类爱的越深，对作为个…

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毕竟，如果按曲面微分几何的做法定义流形上的切向量，就必须先把流形嵌入到Rn里，而且这种嵌入一般来说没有canonical的方式。这种方式想必即便可以也相当的丑。
如果定义成芽环上的满足Leibniz性质的线性映射，一方面它的经典的切向量可以互相转换，另一方面又能进一步的推广，比如在复流形里光滑复值函数的芽环。流形的另一种等价定义是局部与Rn（作为ringed space）同构的ringed space，芽环上的映射似乎能比较好的衔接到这个概念。

對一些簡單的曲面, 利用這個定義很容
易發現測地線。拿球面來說, 我們看看經線,
沿經線畫單位長的切向量, 這些切向量微分
以後當然指向經圓的圓心, 也就是球心, 所
以和球面垂直, 因此不僅是經線, 只要是大圓
(圓心和球心重合的圓) 都是測地線。

測地線確代表兩點之間的
最短距離。一旦走遠了就不一定是最短的


球面上的測地線和一個平面幾何的問題
張海潮
一八五四年, 年僅二十八歲的黎曼, 在
七十七歲的高斯面前就職演講「論幾何學之
基礎假說」。在這篇演講中, 他解釋了在流形
上為什麼要定出測距的微量元素ds2, 並且
要「建立一個自一原點出發的測地線或最短
曲線系統。」(註一) 用現在的術語來說, 就是
利用測量在局部畫出測地線, 並且利用這些
測地線所形成的座標來(至少) 了解局部的幾
何。
更具體的說, 以地球表面為例,從北極出
發, 沿各條經線往南方走, 這些經線就是測地
線, 它們走了多長可以緯度 表, 走的方向
可以經度 表, 因此ds2 可以d 和d 表成
d 2 + sin2 d 2。(註二) 如果我們觀察一個
緯圓, 亦即等緯度的一個圓, 它等於是由 等
於常數所定義的, 因此d 為0, 此時ds2 就
變成sin2 d 2, 這說明了緯圓的周長會因緯
度而變; 當 是九十度的時候, 它代表赤道,
此時sin 等於1, 說明了赤道緯圓的圓周最
長。(同註二)。
許多微分幾何的教本都會花點篇幅說明
測地線這個名詞並不等價於連結兩點之間的
最短曲線, 原因是測地線起源於局部的測量,
如果只管局部, 那測地線確代表兩點之間的
最短距離。一旦走遠了就不一定是最短的。比
方說, 大家都知道經線是球面上的測地線, 在
同一條經線上的兩點, 有兩個方式連結(圖
一)
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P •
Q
劣
弧
優
弧
圖一
左邊的那一段較短稱為劣弧, 右邊的那一段
較長稱為優弧, 劣弧是最短距離, 但兩個弧都
是測地線。
因此曲面上測地線的意義在數學上就乾
脆定成是滿足測地線方程式的曲線。我以為
這個定義方程式是伯努利在一六九八年給萊
布尼茲的信裡首先提出的。(註三)
這個定義原來是針對在三度空間中的曲
面所提出的, 它把測地線定義為「若將單位切
向量微分則不會有曲面上的分量」。直觀來看,
我們可以把一條曲線想像成是質點以單位速
度(即速率為一) 所走的路徑, 如果它的加速


度向量與曲面垂直, 那麼此時質點速度上的
改變只是為了適應地形而爬上爬下,
對距離來說始終是走最經濟的路線; 換句話
說, 因為加速度的方向即受力的方向, 這個方
向和曲面垂直的時候表示質點唯一的受力來
自曲面對質點的束縛(Constraint) 這樣的
力不會對質點做功, 質點是處在自由運動的
狀態, 自然應該經歷最短的距離。(所以愛因斯
坦在廣義相對論裡認為光走的路徑就是測地
線)。
對一些簡單的曲面, 利用這個定義很容
易發現測地線。拿球面來說, 我們看看經線,
沿經線畫單位長的切向量, 這些切向量微分
以後當然指向經圓的圓心, 也就是球心, 所
以和球面垂直, 因此不僅是經線, 只要是大圓
(圓心和球心重合的圓) 都是測地線。可是要
看出大圓上的劣弧是連結兩端點的最短曲線
其實並不是那麼明顯。雖然我在前段談到伯
努利一六九八年的定義方程式時從物理的角
度出發說明了這個數學定義的合理性, 但是
實際上如果我們硬要在球面上連結甲乙兩點
的大圓之劣弧是甲乙兩點間的最短距離並不
那麼容易證明。
讓我們看一看這個問題的一個比較簡單
的形式: 假設甲乙兩點在一個緯圓上, 而同
時它們也在一個大圓上, 為什麼緯圓上之劣
弧會比大圓上之劣弧長呢? 請看下圖(圖二,
大圓並未畫出)
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丙
甲
乙
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圖二
甲, 乙在緯圓(圓心為丙) 上, 又在以丁
同時為球心和圓心的大圓上, 丙圓小半徑短,
因此以甲乙連線段為軸把丙轉到甲乙丁這個
平面上則丙會落在三角形甲乙丁中, 如圖(圖
三)
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甲乙
丙
丁
圖三
圖中有兩個等腰三角形,一大一小, 現在
要證明甲丙·(角丙) 大於甲丁·角丁, 也就是
相應的兩個劣弧之間應有的大小關係。這個
證明不難, 可是一定要用微積分, 雖然表面上
看來不牽涉到。再變形一下, 看看下圖(圖四,
可以說是圖三的左半邊),