倒三角是一个算符，意思是分别对ψ(x，y，z)的x,y,z坐标求偏导的平方和, ▽2ψ(x，y，z)+(8π2m/h2)[E-U(x，y，z)]ψ(x，y，z)=0
核磁共振原理_百度百科
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电子自旋共振_百度百科
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2012年01月27日_国家安全大将_新浪博客
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周期三导致混沌
从圆映射到区间映射，从二维映射到一维映射，其认为混沌意味着周期三，混沌就是一个折叠，而其的符号系统就是去折叠
追风，一瓢蓝若
欢迎使用哈工大博客服务,在这里记录你的工作和生活。相对论通俗演义
发表于: 2011-11-14 19:51:55
作者: 张轩中
这本书写到这里，化了一年的时间。还需要写大概一年多的时间，才能构成一个完整的演义。李贺在快死的时候，跟他母亲说：玉皇大帝造了白帝楼，落成了，叫我去作赋。这个《相对论通俗演义》在写作过程中得到了很多人的激励和批评。当所有人要感谢的时候我要感谢上天给了我这个机会。文章中的篮色部分由王善钦作出。（CHARON:原文有蓝色部分，但是转的时候颜色没有掉，本文红色部分是我加上的）这个白帝楼还没有造好，大家先进来看看。有没有评论和批评意见，发到poetmomo@163.com
相对论通俗演义
第一章 早期的英雄时代
（1）
历史是淹没在荒烟蔓草间的，当后人回头看历史的时候，尤其能看到一些神话和英雄史诗，虽然模糊不清，但让你感觉到心潮澎湃。相对论一直是地球上最美丽的学问。这一门学问是爱因斯坦创立的。它最根本的看法，是研究我们的宇宙，因为宇宙只有一个，而我们身处其中，于是，很多人难免担心，我们做为宇宙的一部分，能不能认识宇宙。正如你的一个手掌，能不能认识你这个人。这个问题是玄妙的，中国古代的庄子和屈原等人也思考过这样的问题，他们有一个很模糊不清的认识，原因是因为他们没有具备一些数学描述。
宇宙洪荒，是很玄很妙。问题的关键在于如何认识它，很多人的思想在这里汇集。尤其是苏东破的一句诗，被认为可以体现一种思想情操。
他说：不识庐山真面目，只缘身在此山中。
苏先生是一个很大的才子，他的这个诗本身是具有哲理性的。当我们把他运用到这个宇宙的时候，我们就会反躬自问：是否，我们处在宇宙之中，所以，我们无法认识宇宙的真面目。这个问题本身没有唯一的答案，从爱因斯坦说法上，我们可以看到一个自然科学家的态度。 爱因斯坦说：宇宙最不能理解的地方是，它居然是可以理解的。
可知论和不可知这两种论调是人类个体的分水岭。但这样分界是不明显的，很多人从来没有问过自己，自己到底属于可知论者还是不可知论者。很多时候，这样的分类也是缺乏意义的。但，一个事实永远存在，就是一定有很多人，对未知事物充满好奇之心。
（2）
我们仰望星空，俯仰天地。态度决定一切。在认识宇宙，或者说，认识未知世界的道路上，尸横遍地。数学家们，相对于其他的一批人，以其特有的执著和特立独行，来给这个宇宙造一个描述的工具。并且，这个工具是最基本的。数学比绘画和音乐要更加基本。绘画和音乐，描述世界，但依赖于眼睛和耳朵。而数学，有一个最基本的依赖，它依赖于大脑。有理由相信的一点，是我们地球文明之外的文明，他们那些智慧生物可以没有眼睛，没有耳朵，但他们不能没有大脑。
毕达哥拉斯是一个杰出的古代数学家，他认为，世界的本质是数。
他的说法听起来好象是有点夸张了，但初衷是善良的，不是说他要故意压迫那些非数学家。2，3，5，7……这些的数字，我们称为素数，它们是基本的。人类要向外太空发射信息，寻找其他的文明，一个方法就是朝天空发射“素数”。因为，宇宙的各个角落，要是也有文明的外星人，他们收到这样的信号，会欢欣鼓舞，因为这无疑给他们一个预示。 预示在这个苍凉的宇宙，他们并不孤独。 数是基本的，但广义相对论却更多地和几何学发生了关系，这一点在后面的篇幅中再逐渐展开。当然，有一位得Fields奖的数学家道格拉斯曾经说过：“我的切身体会是，几何学家是好人。”他的话里面有温情脉脉的情感因素，但修正他的话，我们会发现是这样：“我的切身体会是，数学家是好人。”
是的，数学是仰望宇宙的透镜。
在古代的数学家中，有一个人，他让我们知道，寄生在这世上是那么好，这个人的名字是欧几里得。
（3）
欧几里得写的一本众所周知的书，叫《几何原理》。这至少是2000年前的事情了。但中国人看到这书的时候，是在明朝的徐光启时代。也就是说，中间有至少1200年的时间差距。我不想查书用来精确表示这些年代差异，是因为我不是搞历史的，也不想过于在一些琐碎的事情上精密无比。
《几何原理》里有五条公理。虽然一般人说不全，但第五条说所有平行直线永不相交。这一条大家全知道，被叫做第五公设。也就是说，有的人认为，这一条，不能做为一个公理，因为它可能可以被其他公理推出来。
《几何原理》好象是一个大厦，它有五个巨大的石头做为地基。但第五块石头，有的人认为，有问题。
爱因斯坦的相对论，与第五公设这个问题休戚相关。当然，我不预备在这里做任何数学的证明，通俗的演义往往与数学相隔遥远，我们引用爱丁顿的话：证明是一个偶像，数学家在这个偶像面前折磨自己。
第五公设折磨了一代又一代的人。现在看来，这个折磨已经结束，但其意义非常深刻。欧几里德的几何学，是关于平坦空间的几何学。而真正广泛的几何学，它不仅仅要处理平坦空间里的情景。Riemann是研究弯曲空间几何学的大师。他死的时候才39岁，但他活着的时候一直很优秀，1854年，他为了在哥廷根大学获得一个讲师的职位，发表了一个关于几何学的演讲，演讲的题目是《论几何学的基础》，这次讲演是开天辟地的一个壮举。下面的听众很多，但据说，几乎没有人能够听懂，频频点头表示赞同人只有一个人，是一个老头，名字叫Gauss。
这个故事发生在Riemann为了得到讲师职位的时候，有的人可能会觉得很奇怪，为什么一个讲师讲的东西在那大学里别的教授全听不懂。这样的现状是存在的，并且是不能避免的，只说明Riemann实在是太有才华了。一般地，在一所很好的大学，无论是古代还是近代，都可能有这样的感受：
这是正常的好大学必须的。我们知道，在当时，Riemann讲师是最伟大的，他后来的贡献繁多，以其在微分几何和复分析里的伟大建树影响历史，现在的Riemann猜想还在领导数学的潮流，在物理学里，Riemann的级数在量子场论中经常出现，在相对论中，研究casimir效应，也要用到。
Riemann几何的出现，给爱因斯坦的引力理论，提供了一个先天的数学工具。历史表明，数学物理在这个时候，达到了一个全新的高度。
（4）
今月也曾照古人。这是李白说的。看到月亮，很多人有一些基本的问题，比如说，1640年左右，也就是中国的吴三桂引着清兵进入山海关的时代。英国的cambridge大学有一个叫牛顿的人，他解决了一个问题，按照现代语言来说，是牛顿发现了万有引力定律，从而解释了为什么月球在天空绕地球天马行空地周期转动。牛顿发现万有引力定理以后，我们才真正看到了物理。而相对论，就是研究万有引力的。 牛顿是怀着格物知理理想的数学物理大家。牛顿和爱因斯坦是人类历史上科学巨匠。但牛顿本身，相比爱因斯坦，具有一种由内而外的霸王气概。他的工作显然是划时代的，其情操，也是划时代的。在历史上，他与莱布尼姿和胡克等人有过交恶。同时代的那些伟人在他面前，几乎全掉了颜色。我们只能由衷得叹上一句：到底是牛顿！
在人品上，牛顿不算是一个谦恭之人。一个人持才傲物，藐视同伦，普通人是做不到了。牛顿的万有引力定律，仅这一项，就足够他鹤立鸡群了。何况牛顿有那么多大的发现。盖棺论定得说，牛顿其人，500年不朽，牛顿其文，1000年不朽。1000年以后，世界末日，什么都朽了。
（5）
物理学也有最初的童稚时代，比牛顿要早，是哥白尼的出现，后者写了一本书，书名叫《天体运行论》，出版是1543年，出版的时候，作者已经快死了，原因是因为这本书是一本很反动的书，著者选择在临死之前出版它，是一种对自己负责的态度。这本书主要说了一个事情，就是地球是绕着太阳转动的。这个是天文学和物理学上的第一个有实际意义的进展，早于康德和拉普拉斯的星云说时代。康德是一个德国的哲学家，一辈子没有出过一个叫哥尼斯堡的小镇，但其了解天下事，康德说，只有两件事情可以震撼我的心灵，一是人类的道德情操，一是我们头顶的星空。可见康德多少对星空有点研究，他可能认为地球上的一切，全来自星云的演化，这是一个比生物进化论更强大的进化的观点。拉普拉斯是19世纪的法国人，在拿破仑的宫廷干过行政。国王拿破仑是一个数学爱好者，他曾经有一个拿破仑定理，是很有点意思的。定理说，任何一个三角形，各边上各作等边三角形，接下来将这三个三角形的重心联结起来，那么就必定是一个等边三角形。当然拉普拉斯的数学才能，远过于拿破仑。拉普拉斯微分算子，这个微分算子的背后是一片汪洋大海，这个算子描述定态的薛定格方程，所以在物理上也是很有用的，真正有思想的人，往往会在三角形区域解拉普拉斯方程。这个拉普拉斯微分算子可以被开方，得到dirac算子，dirac算子背后是一片原始森林，因为dirac是20世纪最伟大的物理学家，他和薛定格一起得到1933年的诺贝尔奖金。薛定格说：“我们得奖的时候，dirac还非常年轻，我是带着我老婆去领奖的，但dirac是带着他妈妈去的”。由此可见，dirac是一个非常年轻有成绩的物理学家。是他走出了把狭义相对论和量子力学结合起来考虑的道路。关于这些算子理论，极大地推动了数学的发展。也是从算子的谱开始，我们从连续的数学分析走向离散的特征值问题的研究。而离散的性质，恰恰是量子力学的精髓之一。 当然经典物理学中也有离散谱，例如驻波。
回头来看哥白尼的工作。他的工作说明，人类第一个较明智的科学看法，不是研究宇宙如何起源，演化，而在于研究太阳和地球的关系。这是一个很务实的进步。就是在现代，虽然有精确宇宙学这样的学问，研究宇宙如何膨胀，如何加速膨胀，但前路漫漫，让不专门从事理论物理的人瞠目结舌地怀疑，是否目标过于庞大，你们居然研究整个宇宙，把星系当做尘埃？
相对论学家似乎存在一个情节，那算是一个单纯信仰，他们认为，世界可以被还原为一个单一的原理。而凝聚态物理和统计说明，在不同的尺度，有不同的物理。比如人类的存在，人类的情感和思维，不是物理学的单一原理可以解释的。统计性和自组织性的出现，使得在相对论学家的眼睛里，这个世界变的高深莫测了。
无论如何，相对论还是一如既往地奢侈和不切实际，因为，它是预备去理解宇宙。
（6）
20世纪之前的所有年代，相对论还没有诞生，我统称它们为“英雄时代”。在这个漫长的时代里，有无数的数学物理两门学科里的英雄人物，这批人中的杰出代表是牛顿。这个时代是一个古典为主的时代。而广义相对论的出现，是这个古典时代的结束。广义相对论是“经典的极致”。在字典里，“经典”应该有两个意思，一个是古代的，古典的；另外一个就是优美的，美到可以写进历史之书。这样的美是很少见的，往往在平面几何里你偶然能感受到这样的震撼心灵的美。
在极早期，托勒密认为太阳绕地球转动。他认为太阳绕地球转动，现在看来，也算是没有错误。为什么？因为，机械运动是相对的。谁动谁不动，在牛顿的眼睛里是“相对的”。所以说，按照牛顿的看法，描述地日运动，托勒密的思想是没有问题的，虽然它可能导致一系列不优美的结论，比如导致木星也绕地球转动，那么我们这个太阳系看上去还真是乱糟糟的，一点也不优美了。但托勒密在平面几何里关于圆的内接四边形的一个定理，是天籁之声。这个定理是美的。这样的数学之美，与同时代的屈原对香草美人的美来比较，我们看到一点西方的数学逻辑的辉芒。
dirac和爱因斯坦，以及其他的很多人，全是追求美的天才。相对论，恰恰给我们展现了一个数学逻辑上的美感。
这个美，引得无数英雄竞折腰。 是的，我们全是一群在朝圣路上踽踽独行之人。
壮美矣！爱因斯坦！！第二章 一个美丽的椭圆
（1）
1543年，哥白尼关于日心说的工作之后，丹麦的天文学家第谷不太同意哥白尼的观点。他出生贵族，是一个有钱来做天文观测的人士。据说第谷年轻的时候与人斗殴，被砍掉半个鼻子，所以他后来有半个金鼻子，长相显得非常怪异。他开始夜观天象，并且整理了一套看上去杂乱无章的数据。这套数据，最后保留着给了他的助手，一个叫开普勒的人，但第谷的本意，好象是想把这些数据传给自己的女婿的。开普勒一生生活是相当潦倒的，最后还死在讨债途中，那是在1630年，他几个月领不到薪水，经济困难，不得不亲自前往雷根斯堡的基金会索取，在那里他突发高烧，几天后在贫病交困中去世。他去世的时候，觉得自己非常对不起自己的老婆孩子，因为他把自己的一生精力，全花在研究天文学和写书出版之上了。他在出版书的时候，据说，第谷的女婿还给他写了一个序文，这个序文有一个特点，是通篇大骂开普勒剽窃第谷的成就。这样子的书是很奇异的。
但开普勒的几本书《新天文学》和《宇宙和谐》先后给出了3个行星运动定理。第一个定理是很重要的，认为行星运动的轨道是一个椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点之上。他实际上没有想到，未来会表明，一个封闭的椭圆是一件过于唯美之事，因为根据爱因斯坦的相对论，轨道会有进动，我们不能得到一个封闭的椭圆。第二个定理异常强大，他几乎用肉眼看出角动量守恒定理，说的是行星矢径在单位时间扫过的面积相同。第三个定理，似乎绝对是上帝的旨意，要从一组数的三次方和另外一组数的平方中看到不变量，依靠一般凡人的眼睛，往往不够，这个定理说的是行星运动周期的平方和轨道半径的立方成正比。
这三个定理，迫使牛顿得到万有引力定律。万有引力的出世，其实来自于开普勒对数据的千万次摸排。开普勒的视力不好，相比第谷，他显然不擅长天文观测，但他的确具备从复杂数据中提炼出物理规律的神奇能力。这往往是一种从天上看到人间的天赋异禀。
他的行星运动第一个定理里，开始出现一个完美的椭圆。
(2)
一般说来，一个椭圆是封闭的，这样的对称性背后，包含着守恒的物理量。由对称性导致守恒量，是伟大的德国女数学家Noether的思想，数学家外尔曾经这样开玩笑：“女数学家有两种，一种不是女的，一种不是数学家”。没有问题，Noether肯定是一个数学家，她一辈子没有结婚，把全部精力投身给了近世代数。某个时候CN.yang认为，Noether的这个原理是最基本的，于是，国内讲力学的教材开始了一次改革，改革的结果是从对称性开始讲力学。无论怎么样，对称性是美的化身。描述对称性最好的语言是群论。对称性和守恒量有一一对应的关系，这一点，是深刻的。比如，众所周知的结论是，空间是均匀的，所以动量守恒。于是，行星运动的轨道是封闭的椭圆，这样的对称性导致的守恒量就是龙格—楞次矢量。
什么是椭圆？在数学上，椭圆的定义是在平面上到两个定点之间的距离之和等于定长的点所组成的集合。这个是很清楚的，一般高中生就要学会怎么样画一个椭圆。这是解析几何里的事情。在Fermat和笛卡儿的解析几何里，人们换了一个看法，那就是把一个曲线与一个代数方程等同起来，这样的想法把代数和几何结合起来，这样的结合是思想的奇葩，包括后来在物理中经常运用的所谓su（2）李群，从代数的角度去看一下，就可以知道它其实就是一个3维球面。解析几何的一个很直观的推广是能不能把一个实n维流形嵌入到高维空间，然后再把这个流形表达成为一个或者一组代数方程。这样事情Nash和chaw伟良等人做过了。
解析几何带来的一个全新的数学时代。只有当椭圆被放在坐标系里的时候，才可以遇见另外的问题，那就是如何计算椭圆的周长。这个时候，完美的椭圆似乎突然让人迷惘。因为，圆的周长是很简单的，上过学的人全会算，而椭圆周长，上过学的一般不会算。
（3）
计算椭圆周长的问题也难住了牛顿。虽然用牛顿的万有引力定律，可以得到椭圆轨道。但仔细地研究这个椭圆的来历，有一些需要推敲的地方。在经典的力学里中心势是库仑势或者谐振子势的时候，轨道才是封闭说，只有当中心势是库仑势或者谐振子势的时候，轨道才是封闭的。这个定理是重要的，因为它否认了其他势场里存在封闭轨道的可能性，哪怕是对库仑势的微小偏离。所以，当爱因斯坦的广义相对论对万有引力的库仑势做修正的时候，在理论上，这个完美的椭圆崩溃了。
离太阳最近的行星是水星，那儿的万有引力场强最大，广义相对论的修正最明显，之前人们已经观测到水星近日点存在进动，也就是说，人们开始注意水星的公转轨道是不是一个封闭的椭圆，但没有人可以解释这到底是为什么。既然轨道不是椭圆，我们就知道，水星与太阳之间的万有引力势场不是严格的库仑势。这似乎应该意味着一个曙光的黎明，相对论虽然比较难以理解，但在这个椭圆封闭性问题上，结论是很清楚了。原来，牛顿的万有引力定律，那样美的一个定律，在引力比较强的时候，也是不对的。
爱因斯坦的广义相对论解释了水星近日点的进动，这是对广义相对论的三大验证之一。1919年的时候，英国天文学家爱丁顿利用日全食的机会，他领导下的实验证明了光线偏折的规律也符合广义相对论的预言，这个实验是著名的，因为他极大地支持了爱因斯坦的理论。当时也就是第一次世界大战，德国和英国是敌对国，所以这个实验的成功的时候，大众的眼球被吸引了，报纸的头版是这样的：英国科学家支持了德国科学家的理论。当爱丁顿做出这个实验的时候，他的心情很可能比爱因斯坦更加激动。有一个说法是他认为自己和爱因斯坦是当时唯一懂得广义相对论的两个人。而当记者问爱因斯坦说，当您的理论被实验证明是正确的时候，您怎么想？爱因斯坦的回答说：没有什么好奇怪的，上帝安排的，我不相信还会出现别的结果。
（4）
虽然1919年，牛顿理论已经被实验证明应该被爱因斯坦的广义相对论所取代，但牛顿依然是绕不过去的存在。拿牛顿万有引力定律和库仑定律来比，虽然有点抬举库仑，但马上会发现牛顿的意义有很多。牛顿的万有引力定律，实际上告诉人们，质量总是正的，也就是万有引力总是相互吸引，这样的话，宇宙似乎不能跟一个孕妇一样，不由自主地膨胀。但目前观测到的宇宙，它居然在膨胀，并且还是加速膨胀。对于宇宙的加速膨胀，这里只是暂时提起。但这个问题，已经成为了21世纪物理学晴朗的天空里最大的一个乌云，这个乌云似乎要覆盖整个天穹，让人分外地不安。情况就是这样的，物理学家本来以为自己已经快了解了整个宇宙的100%，后来突然被一声闷雷惊起，一个声音说，“无知的狂妄，你仅仅了解我的4%”。质量总是正的，可能让人想起经典广义相对论中著名的正质量猜想。有的人会想起1980年代witten和Schoen和Yau对该猜想的的证明。
当然，如何定义质量，在广义相对论中，也是一个具有不止一个标准答案的问题，在正质量猜想里的是ADM质量（Arnowitt，Deser，Misner）。在这里，我们几乎可以挥别牛顿了。
有一个叫伏尔泰的法国人，他也曾经研究了一下牛顿的事迹，现在关于牛顿和苹果落地的这些故事，多数也是出自他的手笔。伏尔泰是一个能力很强的文科圣手，他还勾引了一位公爵的老婆，也许是相互勾引，——后来两人一起私奔。
1727年牛顿逝世，思想界的巨擘辞世，伏尔泰参加了葬礼。牛顿84岁离开人世，为他抬棺材的是两位公爵、三位伯爵以及大法官。（charon：牛顿葬在威斯特敏斯大教堂里面，就跟中国现在葬在八宝山一样或皇陵一样尊贵，伏尔泰死后也享受了类似的殊荣，显示了这两个国家对人才的重视）伏尔泰是这样描述的："他是像一位深受臣民爱戴的国王一样被安葬的。在他之前，没有哪一位科学家享受如此殊荣。在他之后，如此厚葬的也将是屈指可数。"牛顿去世后不久，诗人薄柏总结了世人对牛顿的评价，说：自然规则在黑暗里，上帝说，让牛顿干吧！于是一切大放光明。
牛顿是一个聪明人，他几乎能从容应对所有非常的局面，但他不是完人，他在数学上也遇见一些困难。比如他不能求出全部自然数倒数平方之和，也不能积出椭圆的周长。历史朝后面发展，我们发现，椭圆周长只能用非初等的椭圆积分表达出来。而另人惊奇的是，挪威数学家Abel证明了五次方程没有代数解答，但有些五次方程的解， Hermite证明可以通过椭圆函数来表出。这说明了数学的各个侧面具有统一性的一面。而相对论在经历了1970年代之后的多年的沉寂以后，面临着一个引力量子化的命运。在量子引力的理论中，椭圆函数等等，也全面都浮现出来。所以，这个完美的椭圆，告诉我们不少秘密，盯着一个椭圆看很久，里面全部是秘密。有一句箴言：一花一世界，一沙一天堂。
第三章 等效原理
（1）
1841年，中英鸦片战争在进行之中，西方远远地领先于中国，22岁的剑桥大学数学系的学生亚当斯根据牛顿万有引力和天王星运动的轨迹，假想有一颗未知的行星在天空运行。他经过一年的计算，猜测出这颗可能的行星的轨道。1843年10月，他把自己预言的这颗新行星的轨道寄格林威治天文台台长。但是，这位天文台台长对亚当斯的信不予理会。他严重地不相信这个年轻的大学生会在笔尖发现一颗新的行星。
另一位法国青年天文学家勒维耶也在研究这个问题。他也推测是因为存在一颗未知行星的引力作用，使天王星的轨道运动受到干扰，也就是天文学上所谓的“摄动”影响。他计算出这颗行星的轨道、位置、大小，然后请德国天文学J.G伽勒寻找这颗
未知的行星。1846年9月23日，伽勒根据勒维耶预言，只花了一个小时，就在离勒维耶预言的位置不到1度的地方，发现了一颗新的行星。后来这个新的行星被命名为海王星。发现海王星的那一年，勒维耶35岁。
亚当斯和勒维耶所做的工作，类似与同时代的门捷列夫，门捷列夫通过对元素卡片的一次又一次地排列，预言了大量的未知元素。 （charon：门捷列夫不止预言了未知元素，并且还修正了人家刚发现的新元素的性质，虽然他还没有接触到这些元素！搞的新发现者很郁闷哦！呵呵。101号元素命名为钔，就是为了纪念伟大的门捷列夫，可惜门捷列夫没有拿到ｎｏｂｅｌ奖，因为要给他的时候他已经与世长辞了，这确实是ｎｏｂｅｌ奖的一大损失）
水星也是太阳系的一颗行星，它在近日点时也有类似于天王星的不遵循轨道运动的现象。1855年，勒维耶根据他发现海王星的经验，预言在水星轨道内有一条行星带（他认为是水内行星而不是行星带摄动，并命名为火神星，或者祝融星）它影响了水星的运动。这一次，勒维耶失败了。这一次失败有点象后来的物理学家泡利，泡利因为根据能量守恒而预言中微子的存在，声名雀起，但又相信宇称守恒而预言上帝不是一个左撇子，遭遇失败。但勒维耶发现海王星，在这之后的确没有人再怀疑牛顿的万有引力。但20世纪初的天文观测发现了水星轨道的异常，这为万有引力定律掘墓。事实似乎说明，椭圆不能精密描述行星运动。在另外的一个侧面，抛物线出场了。在这里谈及的曲线还全是空间里的曲线，不是时空中的世界线，世界线是相对论中最基础的概念之一，大概意思是把一个空间点拉长成为一条线，而Dirac方程在粒子的世界线上引入了超对称，这样的看法还为时尚早。
伽利略 (1564 ~ 1642年)，出生于意大利的比萨,他从小就喜欢思考。十七岁时进入比萨大学念医学。在他的学生时期,他看到吊在教堂圆型天花板的灯的摆动,发现了钟摆周期只与摆线的长度有关，而与摆角和摆锤的质量无关，这真是一个出人意料的发现，简直可以作为上帝存在的明证，他的这个发现，大致上就是发现了简谐振动，简谐振动是一个二阶常微分方程。
他是那个黑暗时代的先知，同时是英雄时代的伟大导师，聪颖过人，心比天高，这一点可以从他的两个思想实验里看出来。这些思想使得牛顿认为自己是站在巨人伽利略的肩膀之上。
第一个思想实验是用来说明自由落体运动的。虽然据说他后来也在比萨斜塔亲自做了这个实验。但他的思想实验，却似乎更加可信，甚至不能辩驳。他说：“不考虑空气阻力，轻的东西将和重的东西同时下落，它们将同时落地。因为假如亚里士多德是对的，重的先落地，而轻的后落地，那么，倘使我在它们两个之间连一个无质量的刚性细绳，可以想见，总质量大于它们两个的单独质量，于是，按照亚里士多德，这个整体将落的更快，但事实上，轻的东西一定会拖重的那个的后腿。于是这就自相矛盾。可见，亚里士多德是错误的，轻的东西和重的一样，必然需要时刻有相同的速度，它们同时落地。”
这个思想实验，使得人们认识了自由落体运动的思想精髓。自由落体成为相对论初期研究的一个专门武器，爱因斯坦据此思考了等效原理。伽利略逝世的那一年是1642年，同一年牛顿诞生，而其自由落体的思想一直到20世纪初，依然为爱因斯坦所沿用，并且在1907年灵光一现，发现了等效原理。这有一点类似九方皋相马，普通人往往跟伯乐的儿子一样，只知道按图索骥。
——而爱因斯坦，却在一个古老的思想里发现了新的真理。
(2)
抛物线是圆锥曲线的一种，它的非线性性质在混沌动力学中被经常利用到，然后平地起惊雷，说，周期三导致混沌，出现了周期三，其他什么周期都将出现。可见，从抛物线出发，往往能够深入浅出。在教室里斜抛一个粉笔头，它总是画出优雅的舞线。假如没有空气阻碍，其轨迹是一条抛物线。其运动可以被简单分解，在竖直方向上，它是带初速的自由落体运动，在水平方向是匀速直线运动。
一个最简单的计算可以表明，以相同的初条件斜抛出不同质量的物体，其运动轨迹是抛物线，这些抛物线全部是可以重合起来的，因为它们一模一样。不同的质量，相同的轨道，这说明，运动轨道与质量没有关系，这一点与单摆一样，再次证明上帝存在，抛物线和单摆是处在引力场中的，它们这样的现象，说明这好象是一个内禀的几何效应。
简单的抛物线，用一种返璞归真的语言告诉年轻的爱因斯坦，引力，是一种几何效应。 1907年,有人请爱因斯坦写一个介绍狭义相对论的综述文章,写这样的文章,使得爱因斯坦重新全面地审视了一下自己的理论和周围的世界。狭义相对论是在1905年建立的。当时的爱因斯坦依然在伯尔尼专利局,他坐在书桌边，突然遇见了一生中最快乐的思想——等效原理,"我正坐在伯尔尼专利局的桌旁,突然出现了一个想法,'如果一个人自由下落,他将感受不到自己的重量。'"
换一句话说，引力质量等于惯性质量。爱因斯坦把这个称为等效原理。
物理学家曾经发现了一些等效原理一样的方法来处理问题，比如电学理论中，最让人瞠目结石的一个关于电路的定律，不是基尔霍夫的。它叫“戴维南定律”，用来处理一个等效电动势。其背后的数学，不是瞬间能想清楚的。但无疑的是，等效的方法，极大简化了模型的复杂性。在某个程度上，爱因斯坦从等效原理出发，建立了广义相对论。当然，比如synge等人就认为，等效原理虽然让爱因斯坦一生最快乐，在相对论建立过程中就象一个接生婆，但现在，接生过程已经完成，相对论应该体面地埋葬掉这个接生婆。
synge是一位极早期就用几何语言来表述广义相对论的人，内心有一种不被世人理解的苦闷。他的话虽然有点过河拆桥的意思，但动机也是很不错的。因为，凡是懂得等效原理的人，十之八九会以为，一个自由下落的观察者，他所看到的时空总是平坦的。
但几何学家一定不同意。 因为时空是否平坦，就是说微分流形是否平坦，只依赖于它上面的度量，而不依赖于坐标系。
同时代的人群之中，爱因斯坦是第一个想到等效原理。这个原理使得人们发现了一些引力场不同与其他场论的地方，造成巨大的困难。比如一个人朝太阳掉下去，按照等效原理，在他看来，他没有感受到任何引力，相当于他没有测量到引力场的能量。这明显不同于电磁场的情况。比如电荷，是一个局部的电荷密度的，满足连续性方程，电荷受恒。引力能量有没有局部的密度？这个问题看上去似乎谁都要扪心自问，但寻找它的答案，相对论学者们一度衣带渐宽，人来人往，一次一次开会讨论，但好象全是在looking for the right answer to the wrong question。黑暗由此产生，人郁闷了。
引力能量不能在单独一个点上被谈及,因为时空中的一个点不考虑它的邻域无法谈它是否弯曲。准局域（quasilocal）的定义应运而生。德国的Nester是最初的倡导者和专家,这个人现在台湾的国立中央大学。
当然大范围地定义一个时空的能量或者质量是可能的，比如Komar有一个定义，这个定义只要求时空存在一个类时的killing场，就可以定义一个包围在2维球面内的空间的总质量，并且，这个总质量跟包围它的2维球面的选择没有关系，这就很象电动力学里的高斯定律了，说的是，对点电荷的电场强度计算通过包围它的曲面的通量，结果是点电荷的电量，与曲面无关。
（3）
爱因斯坦在1907年还没有写出他著名的爱因斯坦方程。等效原理一直是他思想上最闪光的部分。直观地看，似乎类似于圆是弯曲的，但可以用正多边形来逼近圆的周长。但一个人要真正看清楚背后的东西，需要不止一天的时间，正如很少有人能清楚说明圆周率和自然常数和自然数一之间的关系。(charon:欧拉发现的e^i(pi) + 1 = 0,非常简单明了，真是优美极了)为了数学地理解等效原理，爱因斯坦在1907年之后的这段时间内自觉地转向Riemann几何，他需要跟他的老同学数学家格罗斯曼合作学习微分几何，那里有一些名词，比如联络，克氏符，曲率张量。等他建立起相对论，微分几何学得到了物理学的推动，开始大步发展，广为人知，本来数学家已经认为，微分几何已经是沉迷于玩溺上下指标，是没有大出息了。Gauss时代的几何，总是把曲线曲面嵌入到外部的高维空间进行研究。但宇宙没有外面，于是，相对论天然的要求一个研究内禀几何性质的Riemann几何学，这样的几何对象，不需要外部空间的存在。
可能后来赶上爱因斯坦的相对论潮流的数学家会认为，爱因斯坦的等效原理就是说，在一个弯曲流形上的每一点，总可以存在一个平坦的切空间。（在爱因斯坦当时那个时代，manifold这样的概念已经存在，就是1854年左右的Riemann引进的（Riemann引进的流形概念和现在的概念相差很大，真正的是在1901年Hilbert定义而在1913年由Weyl精确定义）。）数学家用自己特有的方式理解等效原理，让文人墨客失魂落魄。歌德在这方面深有体会，他讲：数学家犹如法国人，无论你跟他们讲什么，他们把它翻译成自己的语言，于是成了全然不同的东西。
在物理上，爱因斯坦的自由下落的电梯是一个理想的惯性系，但它是局部的，在电梯里，引力消失了。几百年前，伽利略的另外一个思想实验，那里有一个从光滑斜面上滚下来的小球，这个小球被伽利略证明能够滚到无穷远处。他的这个思想实验，可以证明牛顿第一运动定律的正确性质，但留给后代的人一个问题，什么叫惯性，什么叫惯性系？这样的问题难有一针见血的答案让所有的人都欣然接受，充分理解。这个问题太难了，蜀道之难，难于上青天。惯性系是什么，也有登天之难。
第四章 闵氏时空
(1)
现在已经知道的是，物理学的几乎全部知识，全是建立在平坦的闵氏时空之上，但广义相对论是一个例外。如果问什么是广义相对论里的度量，答案是它很象是人生，人生如戏,但看戏的无非做戏人，也就是说，度量在时空舞台上，它既是演员又是观众。度量刻画时空流形的弯曲。古希腊哲学家们对于空间缺乏清晰的数学认识,因此他们的讨论没有考虑到这个空间到底是平坦还是弯曲。于是出现了一些过于飘渺的议论，这些议论有的是很诙谐的，比如认为大地是被乌龟托着，浮于大海之上。理想主义派的代表人物是柏拉图，他有时间研究几何学，搞了一个奥林匹亚学院，广收门徒,传道授业解惑,一时天下英才,尽数被得而育之,柏拉图的人生真乃是一派风流，他写了一本书，叫《理想国》。大学问家难免一脉相传，比如柏拉图本身就是苏格拉底的学生，而柏拉图的学生，有一个人，名字如雷贯耳，亚里士多德，亚里士多德影响历史，影响力达到两千年之久，亚里士多德的观点是朴素无华的，他认为重的物体和轻的物体做自由落体，重的物体先到落地。民间具有天真的直觉，也支持这个观点。在柏拉图的那个神秘学院，穿过学院的拱形门楼，首先映入眼帘的是几个字：“不懂几何者禁止入内。”这样的话，让人不寒而栗。
柏拉图希望通过高深的几何学来理解空间。虽然他的用词很可能引起数学农民的反感，但这条道路，是一条正确而光明的道路。平面几何最杰出的定理之一来自毕达哥拉斯。毕达哥拉斯（Pythagelas）（约公元前580—约前500），是古希腊的哲学家、数学家、天文学家，他早年曾游历埃及、巴比伦（一说到过印度）等地，为了摆脱暴政，他移居到意大利半岛南部的克罗托内，在那里组织了一个集政治、宗教、数学合一的秘密团体。这个团体后来在政治斗争中被打散，他逃到塔兰托，后来终于被杀害了。但他的学派全保留了下来，这让人想起爱因斯坦在拒绝当以色列的总统时候说的一句话：“政治只为一时，而方程可以久远。” 毕达哥拉斯本人以发现勾股定理（西方称毕达哥拉斯定理）著称于世。这个定理早已为巴比伦人和中国人所知，不过最早的证明大概要归功于毕达哥拉斯学派。这个学派发现用三个整数表示直角三角形边长的一种公式：2n＋1，2n2＋2n分别是二直角边，则斜边是2n2＋2n＋1。这公式既属于算术，又属于几何。
通过勾股定理，导致不可约分数也就是无理数的发现，这个发现者是学派的一个门徒，实际上这个发现极大地推动了数学的发展。如果要证明根号二是一个无理数，最好的办法可能是Fermat发明的无限递降法。这个学派还有重大的发现，他们还发现正多面体只有五种，就是正四面体、正六面体、正八面体、十二面体和正二十面。这个发现被S T yau赞美，其实就是欧拉后来发现的关于凸多面体的欧拉定理，或者说微分几何里的高斯（Gauss）-Bonnet定理，但这个背后，还有很深沉的东西。毕达哥拉斯死后，这个学派还继续存在两个世纪之久，他的定理如果被推到很小的区域，也是正确的。几何学家往往把这样的微小三角形一个名字，美其名曰“特征三角形”。用相对论的眼光来看，毕氏的定理是描述了一个2维平坦空间。有经验的看客会至少马上想到以下两点：第一，所有的2维曲面都是局部共形平坦，整体上，比如Riemann球和Poincare上半平面都是无法与复平面建立共形等价的，当然也无法共形平坦。）第二，在所有2维曲面上，爱因斯坦的方程天然成立。毕达哥拉斯定理与广义相对论，有着一衣带水的关系。
毕达哥拉斯定理在中国，被称为勾股定理。西周时代，武王克商，周公与大夫商高讨论，商高说，“勾三，股四，弦五”，这个话不能算是一个定理，只算是一个特例。这记载于一本朝代和来历不很明显的书《周髀算经》。但该书又明确指出，周公的后人的一段对话，对话里明显表达了勾股定理。毕达哥拉斯定理说，一个直角三角形，它的两边的长度的平方和等于斜边的长度的平方。这个定理的证明方法很多，华罗庚年轻时候，也考虑过不少的证明方案。最流行的证明方案,恐怕是通过在一个边长为a+b的正方形内内接一个边长为c的正方形来作，利用面积相等，等到a的平方加上b的平方等于c的平方。
这个定理出现后，可能中国古代数学家找到了很多乐趣，生活充满七色阳光，数学家开始沉沦，之后中国的数学就开始落后了，科举考试也没有想到要测试一下数学能力，导致举国出现一种靡靡之音。后来到了17世纪，有一个叫Fermat的法国人，他本身是一个律师，但数学才情很高，其才情之高，足以睥睨天下，比如，在数论中，他就有Fermat大小定理传世。小定理说的是素数的一个性质，这个定理后来被欧拉推广，欧拉对比整数a小的素数的个数引进了关于a的一个函数。判定素数还有一个定理就是威尔逊定理。Fermat在一本书的扉页或者页眉那样的地方写道：我可以证明a的n次方加b的n次方等于c的n次方，如果abc不等于零，那它没有其他的整数解，这个我已经证明出来了，但这地方太小，写不下了。他写完这个后，也就没有多讲，后来就死去。这个命题传了出去，被称为Fermat大猜想,或者Fermat大定理，黑暗由此产生，几乎没有一个数学家能够证明它或者推翻它，所以，这个Fermat大定理独领风骚三百年。
后来，据说这成了一种文化，在纽约地铁站，墙壁上可以看到这样的话：Fermat大猜想我已经证明出来了，但我来不及写下我的证明，因为我的地铁来了。到了1995年左右，Fermat猜想真的被证明出来了，证明它的人叫Andrew
Wiles。证明过程艰辛而且痛苦，类似于越王勾践，Andrew Wiles深闭门而不出，十年磨一剑，终成大器。这是数论在近来的最高成就，数论远离物理学，相对论也很难与它有联系。虽然两者具有同样的品质:看上去很美。
(2)
毕达哥拉斯定理用到计算空间点之间的绝对距离。空间的两个点之间的绝对距离不依赖于坐标系的变化。这一点很重要，正如一个人的思想品德，不依赖于他所穿的衣服。陈省身有一个比喻，大概意思是，微分流形就是裸体的原始人，而黎曼流形是穿衣服的现代人。衣服相当于坐标系，是可以更换的。但在坐标系变换下，绝对距离是一个不变量。
闵可夫斯基（Hermann Minkowski，1864－1909）出生于俄国的 Alexotas (现在是立陶宛的Kaunas)。一看他的名字,一般人都能猜出他是俄国人，他要干的事情，是在时空中引进绝对的距离。这一点是惊人的，1908年当他抛出他的这个绝对的时空距离的时候，连爱因斯坦本人，也有点不太能够理解。他年轻的时候，他父亲是一个成功的犹太商人，但是当时的俄国政府迫害犹太人，所以当闵可夫斯基八岁时，父亲就带全家搬到普鲁士的 Konigsberg (哥尼斯堡)定居，普鲁士就是现在的德国，普法战争就是德国与法国的战争，所以在欧洲大陆上这个两个大国是有些宿仇的。当时的闵可夫斯基他们搬家以后，就与 Hilbert的家仅一河之隔。所以这一次搬家带给他和Hilbert终身的友谊，年轻的时候，Hilbert觉得，闵可夫斯基远比自己聪明十倍，有点沮丧。1909年1月10日，闵可夫斯基在正达创作力高峰时，突患急性阑尾炎，抢救无效，于1月12日去世，年仅45岁。(CHARON:天妒英才啊！！天妒英才啊！闵可夫斯、罗巴切附斯基，后面还有几位！！伟大的maxwell也一样)挚友Hilbert替他整理遗作，1911年出版《闵可夫斯基全集》。1900年闵可夫斯基在苏黎士的综合技术学校EYH教数学，学生的人来人往，多数已经在历史里湮没，但里面有一个人就是爱因斯坦。爱因斯坦对功课漠不关心，闵可夫斯基对此表示失望，说爱因斯坦是一只懒狗。1902年闵可夫斯基离开ETH，来到德国的哥廷根大学担任数学教授，当时是Klein邀请他去的。哥廷根大学领导世界数学潮流，当时有希尔伯特，克莱因，那样的巨人们在那里。1854年，Riemann也就是为了在哥廷根大学得到一个讲师席位，发表了他那划时代的演讲。 闵可夫斯基把时间和空间等同起来，构成一个整体。1907年，Minkowski猜想可以用非欧空间的想法来理解Lorentz和Einstein的工作，他认为过去一直被认定是独立的时间和空间的概念可以被结合在一个四维的时空：ds^2 = -dt^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2。这种结构后来被称为"Minkowski时空"。根据这个度量，相对论的精髓思想被用简单的数学方式表出。这些工作为狭义相对论提供了骨架。诺贝尔物理奖得主M. Born说，他在Minkowski的数学工作找到了“相对论的整个武器库”。用现在的语言讲，闵可夫斯基认为时间和空间作为一个整体存在，这个整体，被称为四维时空。
换一个说法,就是在广义相对论中,没有先验的时间，为了得到时间，先到时空做一个3+1分解。因为4维的东西没有人见到过，所以没有人可以想象出来4维的时空到底是一个什么，象一个面包还是一个杯子，全不是。只好来一个比喻，时空就好象是一根香肠，可以被切片，每一个切面，才是空间。但3+1分解是人为的，它把破坏了本来的对称性。
狭义相对论最重要的思想正是把单独的时间和空间给埋葬掉了。
闵可夫斯基说：“我要摆在你们面前的空间和时间的观点，已经在实验物理学的土壤里萌芽了……从今往后，空间和时间本身都将要注定在黑暗中消失，只有两者的一种结合才能够保持一个独立的实体。”
假定2个事件之间的时空间隔是一个不变量，那么时间必然与空间联系在一起，构成一个整体去描述那个不变量。这是爱因斯坦1905年发现的狭义相对论的全部。虽然当爱因斯坦听到闵可夫斯基的发现时，不是特别在意。爱因斯坦笑话说：闵可夫斯基用那么数学那样复杂的语言来描述狭义相对论，物理学家简直弄不清楚了。
4年后，1912年，爱因斯坦认识到，自己不应该笑话闵可夫斯基。因为要把引力与狭义相对论结合起来，闵可夫斯基的观点是很优雅的。
（3）
狭义相对论考虑的是完全的平直时空，这样的时空是爱因斯坦方程的一个解，被称为闵可夫斯基时空。时空上面的度量是闵可夫斯基度量，保持度量不变的变换是庞加莱群。这个群是10维的李群。但闵可夫斯基时空没有物质，引力场退化，在经典广义相对论看来，这是一个虚空，没有多少意义。
Minkowshi时空是平坦的，看上去平淡无奇。数学家唐纳森等人在1983年发现，4维度的Minkowshi时空流形（是Euclidean空间，它与Minkowshi时空流形无法建立整体的微分同胚，但可以局部微分同胚）具有无穷多个微分结构。这个发现利用的是非经典的量子场论，结论是惊人的，因为其他的R^n(n不等于4)的流形上都只有唯一的微分结构。Minkowshi时空那样特殊，而人类生活其中，这简直成了又一个上帝存在的明证。
但在当时爱因斯坦和闵可夫斯基那个时代，人们的意识还没有到底这样深的程度。Maxwell的电磁场理论已经无比成熟，这是在Minkowshi时空上的电磁场方程。但有些问题很少被人注意到，比如因为电磁场的存在必然引起时空的弯曲，所以不存在真正意义上的平直时空的Maxwell方程。
而其他的问题层出不穷，后来的相对论学家温茹也用量子场论中的波格留波夫变换等技术发现，
在Minkowski时空上的加速观察者，他将观测到自己处在热浴之中，也就是说，这组加速观察者看不到整个Minkowski时空，而是存在一个看不到的区域，就是有一个视界，这个视界象一个黑洞视界一样，在热辐射粒子。Minkowski时空显示出奇怪的另一面，这些事情的发生，引导人们反躬自问起来。对于看上去貌不惊人的Minkowshi时空，人们到底晓得多少.。一直以为Minkowshi时空是真空，但事情显得很复杂，它似乎象一个貌似平静，但诡波谲流的大海。
第五章 经典场
(1)
牛顿的万有引力是不需要媒质而瞬时作用的力，虽然牛顿也说，想象引力能在真空中瞬时地和超距地作用是荒谬的，数学家笛卡儿同时是一个哲学家，他有一些哲学思辩，主要的思想是想说明真空不是一无所有的虚空。19世纪，同样的超距作用问题重新出现在库仑定律里——两个电荷在真空中通过瞬时力相互吸引或排斥。19世纪的法拉第出身贫苦，他父亲是打铁的,象他这样的情况,要想做出好的工作,需要比别人加倍的努力。他13岁就开始在钉书的店里搞装订做学徒。当时是维多利亚时代，流行教育讲座，每次要收钱1先令，但法拉第没有。后来在新落成的皇家研究院有了免费讲座，是院长戴维主讲的。二十一岁的法拉第在他的内心里运筹帷幄，要求拜见戴维,后来他成功地成为戴维的助手，1813年他还参加了环欧的科学旅行。他见到了许多著名的科学家，象安培、伏特和盖•吕萨克等，其中几位学者立即发现了这位年青人的才华。法拉第终于这样出人头地，但有时还不免被老板戴维的老婆叫去干一些贴身男仆才干的事情。法拉第是一个英雄人物。他相信，磁场能产生电流，于是做了许多实验,小学写过作文的人全知道法拉第有一本传说中的日记,那里每一天记着同样的几个字:“今天依然没有成功。”这说明锲而不舍是多么地重要。物理学实验不同于社会学的实验，戊戌变法失败后，政治教材告诉我们，这一失败说明资本主义的改良道路不适合当时的中国，辛亥革命的果实被袁世凯窃取，民主被帝制复辟，说明资本主义的革命道路不适合当时的中国，于是，一个伟大的历史决定论就浮现了，只有社会主义才能挽救当时的中国。但是，在物理学实验上，法拉第需要却是那种不断失败，不断战斗的精神。 日复一日，十年过去了。 直到1831年，他失手把磁铁掉进了线圈之中，电流计在电光火石间动了一下。磁场产生了电流，他终于成功了！！
法拉第是这个黑暗长夜时代的光明，他是召唤电的天使，是后世唯一的神话之一。
牛顿认为存在瞬时超距作用,法拉第提出了场的观念。认为能量存在的方式之一就是场，物体之间没有相互接触也可以通过场发生相互作用。这就是经典的场。如果把这个经典场量子化，得到的就是传递相互作用的媒介子，它们是自旋为整数的玻色子。后来的1930年代日本科学家汤川秀树提出了介子，用来传递中子和质子之间的相互作用。我第一次读这样的科普文章，看见书上画了两个小孩，他们把一个小皮球抛过来抛过去。真是太有趣了，这个小球，就是传递相互作用的介子。
后来28岁的麦克斯维选择了一个风和日丽的日子去拜访法拉第，后者已经是一位68岁的老头，法拉第说：“你是唯一真正理解我的人，但你不应该停留于用数学来解释我的观点,你应该突破它。”Maxwell听从了这个意见。
（2）
Maxwell1831年出生在英国爱丁堡。1831年是一个非凡的年份。因为这一年，法拉第发现了电磁感应。霍金是一个出生时间选得更巧的人，他说他出生的那天，是伽利略逝世300周年忌日！
Maxwell不善言辞，他是在英雄时代唯一一个可以与Newton抗衡的人。他爸爸是有科学技术爱好的律师（有的说他爸爸是工程师）。他16岁的时候上爱丁堡大学，有的同学说他爸爸是土财主，Maxwell是一个土包子。三年后，19岁的他到cambrigde三一学院，为一窥上帝之书。再后来Maxwell就留在Cambrige教书，经常在玫瑰花开满花圃的夜晚对着花刺不住地演讲，从而达到给学生上课时候口吃清楚地程度。他下的苦工仅次于古希腊某位著名的结巴演讲家，后者每天清晨把石子放舌头底下练口才。
电磁理论的经典程度让人吃惊，包含库仑、奥斯特、法拉第、毕奥——萨伐尔、安培这些人发现的定律。丹麦物理学家奥斯特在上一堂电流实验课时，一根磁针碰巧正放在他的装置近旁。他注意到，每当接通电流时，磁针就发生偏转。这个发现之后才几个星期，安德烈•安培（Anure rtillpere）提出了一个理论，解释说可能是变化的电力产生感应磁力。于是，一个神秘的怪兽才开始被人类驯服。磁场显然是一个很奇怪的东西，后来的爱因斯坦回忆道，他小时候一直着迷挖空心思的一个玩具就是指南针。随后的一系列实验工作充分地证实了电和磁现象之间的密切关系。24岁的Maxwell发表了关于磁力线的第一个文章，题目叫做《法拉第的力线》，有一些清楚的数学表达。Maxwell比起法拉第来，数学见长。1862年Maxwel发表了第二篇论文《物理力线》，进一步发展了法拉第的思想，得到了新的结果：电场变化产生磁场，由此预言了电磁波的存在，并证明了这种波的速度等于光速，揭示了光的电磁本质。1864年他的第三篇论文《电磁场的动力学理论》，从几个基本实验事实出发，运用场论的观点，以演绎法建立了系统的电磁理论。1873年他出版了《电学和磁学论》，全面地总结了19世纪中叶以前对电磁现象的研究成果，建立了完整的电磁理论体系。这个理论体系是一幢在经典的土壤上建成的大厦，但这个大厦的建成，召唤着相对论的诞生。
Maxwell把那些定律统一起来，现在的大学物理教材上一般写成四个方程构成的一个方程组。这样的统一具备非凡的美感，可能更加重要的一点是，Maxwell的方程组预言一点：光也是电磁波。牛顿时代以来，对于光是什么，讨论甚嚣尘上，但没有很好的答案，Maxwell基本用他的数学，回答了这个问题。光存在于这个世界，真的是太重要了。对于光，最精辟的说法是：上帝说要有光，于是有了光。在相对论中，光可以被看成是类光矢量，或者说零矢量，这样的零矢量本身不是零，它能够存在，在于，相对论在时空流形上配置了一个洛仑兹号差的度量。
按照现代的微分几何,闵氏时空上的真空Maxwell方程组可以写为:
dF=0 （1）
d*F=0 （2）
这是本书里出现的第一个方程组。作为一本正经的科普读物，这样的数学公式很可能引起阅读量比预期减半，读者纷纷逃逸。但这个方程实在是太美了，美到极致是疯狂，著者我也就不管了。民间科学家读到这里，多数人一笑而过，少数人会觉得莫名其妙，或者痛苦异常，睡觉也愤怒。（这是比较形式化的东西，不过确实可以让民科为难）为什么这里的Maxwell是这样写的。于是准备了一段解释。
方程（1）其实就是U（1）纤维丛上的毕安基恒等式，一个无挠的联络使得它恒成立，在这里，F相当于曲率2形式。这个方程对应于Maxwell方程组里的两个，其中一个说明，磁场的散度为零。
方程（2）里面的星号表示的是Hodge对偶。
如果写成F=dA，其中A是联络，那么，一些更加美妙的结论可以被推出来……引进余微分算子以后，可以与外微分算子一起组成lapalce算子，然后，可以从真空的Maxwell方程组中推出波动方程来。当然，在这个过程中——物理系的本科生全知道——要加上lorentz规范条件。
这就是一整套关于电的理论。1898年汤母逊发现了电子后。这个理论开始一次又一次经受了实验的验证。但是麦克斯韦的方程写成四个一组的方程组，很多人会觉得有点美，但不是很对称，因为，他的方程里有电荷，但没有磁荷。其他的问题是一个静止电荷具有不随时间变化的径向电场。但当电荷运动时，其周围电场会自己调节到新的位置，场的变动以一个有限速度即光速传播，这就是辐射场。静电场和辐射场的区别，也引起了人们的注意。电磁理论的影响像万有引力定律一样巨大。麦克斯韦死后8年即1887年，亨利希•赫兹（Heinrich Herzi）在实验室成功地造出了电磁波。20世纪初，古列莫•马可尼第一次实现了跨越大西洋的无线电联系，电讯时代从此开始。技术的光明比之前的任何一个时代还要光亮。
（3）
Maxwell场方程的建立为后来狭义相对论的建立奠定了理论基础，因为它在伽利略变换下是被破坏的，也就是说，假如只做空间上的变换，而保持时间不变，Maxwell场方程就要被破坏。于是严重的问题就出来了，直接导致了lorentz变换的出现，这迫使人们接受一个四维的时空观。所以，在相对论出现的道路上，Maxwell场方程是一个丰碑。一直到现在，Maxwell场方程是完美无暇的，它在广义相对论中的基本不需要修改。
爱因斯坦的场方程出来以后，出现了很多与麦克斯维场方程的比较。其中一个特点是Maxwell方程是线性的，爱因斯坦的方程是非线性的。另外一个是真空Maxwell方程具有共形不变性，但真空爱因斯坦方程不具备这样的性质。后来，研究经典场的时候，一套旋量分析的方法被引进来，广阔的舞台打开了。科学家开始在这个宇宙的舞台上演奏华丽之弦，跳苍凉之舞。
第六章 狭义相对论
(1)
1900年，世纪发轫，年度的英雄人物之中，希尔伯特在巴黎数学家大会上提出了那著名的23个世纪难题，其中不包括庞加莱猜想，poincare猜想出现于1904年，这个猜想说假如某三流形具有与三维球面一样的同伦群，那么这个三维流形只能是三维球面。1900年，在英国皇家学会的新年庆祝会上,著名物理学家开尔文勋爵作了展望新世纪的发言。回顾过去峥嵘岁月,
他充满自信地说:物理学的大厦已经建成,未来的物理学家只需要做些修修补补的工作就行了。只是明朗的天空中还有两朵乌云，一朵与黑体辐射有关，另一朵与迈克尔逊实验有关。
那时候是世纪之初，看来有一种新时代的浮躁。实际上，当时的物理学大厦压根就是一小庙，更广大的天空和宇宙还在神秘之中。数学和物理学面临一个大雨欲来风满楼的局面，相对论是一个交叉地带，数学家庞加莱和希尔伯特也在相对论上做过工作。庞加莱得到了lorentz变换，希尔伯特在爱因斯坦之前得到了正确的广义相对论场方程。爱因斯坦去哥廷根报告他的工作的时候，一开始得到的场方程是R-ab=T-ab。其中R-ab是里奇张量。
在爱因斯坦之前，物理学家lorentz和数学家poincare都已经在这个方向上作了大量的工作，用现代语言来讲，平坦闵氏时空的保度量变换就是poincare变换群，而lorentz变换群就是poincare变换群的一个子群。但poincare似乎是完全接受不了爱因斯坦的狭义相对论，虽然两个人的结果是几乎一样的。所以poincare虽然一辈子作了不少关于相对论的演讲。但是他从来就不提起过爱因斯坦与相对论这两个词。
某个时候，爱因斯坦的母校ETH(苏黎世理工学院)要聘请爱因斯坦当教授，poincare写了一封信，大大的夸奖了爱因斯坦一番,但最后一段比较微妙：“我不认为他的预言都能被将来验证，他从事的方向那么多，因此我们应该会想到，他的某些研究会走向死胡同。但在同时，我们有希望认为他走的某一个方向会获得成功，而某一个成功，就足够了。”
poincare于1912年去世，他的贡献可以彪炳千古，其在微分几何上有一个poincare引理，说的是一个闭形式能不能整体地写成一个恰当形式。这个引理说，如果微分形式F=dA，称F是恰当的，那么dF=0；如果反过来，dF=0，称F是闭的，但不一定能有整体的F=dA，要想实现整体的F=dA这样的结果，要求流形是可以缩为一点的。poincare引理言简意赅，但很容易引出高斯-斯托克斯积分公式，也可以引出纤维丛的示性类，所以著者可以主观地说：“把一个微分几何学家和广义相对论学家从睡梦中摇醒，问他什么是poincare引理。假如答不出来，那他一定是假的。”poincare去世了，有个数学界的组织者给爱因斯坦去了一封信，说要出个纪念文集来纪念poincare,爱因斯坦拖了四个月才回信说，由于路上的耽搁，信刚刚收到，估计已经晚了，偏偏这位组织者不死心，说晚了也没关系，你写了就行。于是爱因斯坦又过了两个半月回信说，由于事务繁忙，实在没力气写了，然后不了了之。
经典物理学的终结者是麦克斯韦。他同时在天体物理学、气体分子运动论、热力学、统计物理学等方面，都作出了卓越的成绩。普朗克（Max Plank）说：“麦克斯韦的光辉名字将永远镌刻在经典物理学家的门扉上，光芒万丈。从出生地来说，他属于爱丁堡；从个性来说，他属于剑桥大学；从功绩来说，他属于全世界”。从研究方向看,很多人可能与他有一定的相似性，李政道也是。李政道在天体物理学上，把钱道拉塞卡极限从5.6倍太阳质量推到了1.4倍太阳质量，在统计物理方面，李政道证明了二维空间不存在湍流，后来又与杨振宁合作证明了单位圆分解定理。湍流是非常重要的，国内的极早就开始研究相对论的周培源教授，就化了大量力气来研究湍流。瓦特发明蒸汽机的之前，他注意到水的沸腾可以推动茶壶的盖子，但后来研究流体力学的人发现，沸腾是一件很严重的事情，在那个时候，热传导方程就不能再使用了。在那里，人们看到了湍流，纳维叶-斯托克斯偏微分方程，可以描述湍流。没有问题，湍流一直跟生活关系密切。
1900年，爱因斯坦大学毕业，天之骄子，难免意气风发，爱因斯坦试图留校当物理教授韦伯的助教，那样的话，爱因斯坦可以继续在那里读书然后得到博士学位。但是韦伯似乎不喜欢爱因斯坦，他要了两个外系的学生当助教，偏偏不要爱因斯坦，于是，爱因斯坦非常失望，对于前途的打算，被韦伯悉数破坏。在他1905年建立狭义相对论之前,爱因斯坦的人生似乎波澜四起,命运多舛，他还没有结婚,但女朋友米列娃就给他生了一个女儿。据说这个女儿后来被爱因斯坦当作养子来抚养，爱因斯坦的父母反对他与米列娃结婚。他找不到工作，四处碰壁，还做了一阵家庭教师，生活显示出巨大的不稳定性，就象是一个蜘蛛网，罩了爱因斯坦一脸。为了找工作，爱因斯坦发了不少的求职信，但没有一个成功，爱因斯坦认为，很多用人单位要人，但他们往往去大学里打听他，韦伯一定说了不少坏话。1902年，在他的朋友格罗斯曼的帮助下，爱因斯坦终于在伯尔尼的瑞士联邦专利局找到了一份稳定的工作。
早在16岁时，爱因斯坦就了解到光是电磁波，他想，如果一个人以光速运动，他看到的世界会是一个什么样子？爱因斯坦的少年时代的这个问题，一直引导着他前进，后来使得他博得了冷酷历史的嫣然一笑。爱因斯坦之所以那样想，是因为惯性参考系的相对性。爱因斯坦年少时的问题具有他思想上的光芒，但用光子来做参考系是没有意义的。但参考系是重要的，中国古代有庄周梦蝶的故事，很是朴素，大致是在说同样的事情。我上大学一年级的时候，第一次听到这个故事，觉得很惊人，朴素的思想，很大的奥妙。在运动学上，如果一个苍蝇绕着一个静坐在凳子上的人的脑袋打转，牛顿时代的看法是，苍蝇与该人的地位是平等的，因为在苍蝇看来，人是在绕着自己在打转。但事情远非那样简单，在人和苍蝇这个系统的背景下，有一个Minkowski惯性系，这个参考系中，人的世界线是一条测地线，而苍蝇的世界线是螺旋上升的一条曲线，不是测地线。通俗地讲，在四维时空里看来，苍蝇和人，不具有同等的地位。在时空图中，人的世界线是直线，是Minkowski背景时空上的测地线。而苍蝇的世界线是螺旋线。到了这里，一个新奇的世界已经展开。时间这个维度被加了进来，一个四维的参考系，显得比三维的参考系要多了一些新颖的东西。“世界线”这个词语，变成狭义相对论中最时髦的词语之一。
（2）
狭义相对论的最主要的公式是洛伦兹变换，是洛伦兹最先给出的，但相对论的创始人却不是洛伦兹而是爱因斯坦。洛伦兹也认为，相对论是爱因斯坦提出的。
洛伦兹变换考虑惯性参考系之间的线性变换。假如是非线性的变换，就可能把一个没有零温度的惯性参考系变成一个热辐射的参考系，这就是林德勒变换。
从麦克斯韦电磁可以知道电磁波以光速传播，而且光速是一个恒定的常数。伽利略相对性原理说，物理规律在一切惯性系中都是相同的。麦克斯韦方程组在所有惯性系中都应成立，这就是说，光速在任何惯性系中都应该相同，都应是同一个常数c 。但同时按照伽利略相对性，惯性系之间可以差一个相对运动速度v 。依照速度(矢量)迭加的平行四边形法则，电磁波(即光波)的速度如果在惯性系A 中是c，那么，在相对于A 以速度v运动的另一个惯性系B 中，就不应再是c 了，而应是c＋v或c－v。但是，麦克斯韦电磁理论说光速只能是c ，不能是c＋v或c－v。那么，爱因斯坦意识到，一定有什么地方出错了。
下面的三条理论，肯定有某一条是错误的了。
(1). 麦克斯韦电磁理论，它要求光速只能是常数c；
(2). 相对性原理，它要求包括电磁理论在内的所有物理规律在一切惯性系中都相同；
(3). 伽利略变换，作为三维空间矢量迭加原理的平行四边形法则。这一点后来看来不满足四维的相对论，但对于一个四维矢量，这个平行四边形法则是否能继续使用呢？四维速度还能按照这个法则合成吗？粗略地说，数学家哈密顿曾经研究四元数，用了10年的时间，才知道，四元数是不满足交换律的，也就是说，对一个四维矢量，AB不等于BA，这样，平行四边形法则是不成立了。四元数空间实际上和单位矩阵和pauli矩阵空间是同构的，但矩阵不满足交换律。细致地说，单位四元数是一个四维空间的三维球面，而三维球面正好是SU（2）李群。pauli矩阵恰好是SU（2）李群的李代数的基。在这里依稀可以看到，洛伦兹群和su（2）群有了某种莫名的关系。这个关系就是旋量。
爱因斯坦想的没有那么细致，但他认定，第（3）条是错的，在光速不变原理和相对性原理的基础上，他推出了两个惯性系之间的坐标变换关系，这个关系就是洛伦兹等人早已得出的变换公式。
不过，爱因斯坦是在不知道洛伦兹等人的工作的情况下，独立推出这一公式的。更重要的是，爱因斯坦对该变换的解释与洛伦兹完全不同，时代证明，在物理解释上，爱因斯坦是正确的。于是，一个被巩固了地位的狭义相对性原理出场了：“所有的惯性参考系中，物理规律是一样的。”
狭义相对论的背景时空是Minkowski平坦时空。相对性原理导致了朗之万提出Twins悖论。这个提法简洁明了，使得哲学家再次被惊醒了，学术非常之争鸣。哲学家亨利.伯格森后来承认，朗之万1911年4
月的演讲，“第一次唤起了我对爱因斯坦观念的注意”。
双生子悖论使人困惑。劳厄1911年写信告诉爱因斯坦，反对相对论的共同理由“主要是时间相对性和由此产生的悖论”。劳厄在1912年写的世界上第一部相对论教科书中说：这些悖论和其它有关时间相对性问题具有“伟大的哲学意义”。附带地说，第一，当年的Twins悖论具有非凡的影响力，它极大地推动了狭义相对论思想在民间的传播；第二，在早期，写作相对论的文章的人中，有一个研究生，他是W.pauli，他的文章后来出了一本书，这个人后来在量子力学领域相当杰出，其批评意见无比尖锐刻薄，被称为“上帝的鞭子”。
Twins悖论的基本意思是说：在地球上有一对可爱的双胞胎姐妹，有一天，姐姐坐了极快速的火箭吧，去外太空去旅游了一番。等她回来，发现妹妹已经是人老珠黄，昭华已逝……而自己依然是貌美如花。既然相对论说，时间是相对的，那为什么会出现这样天上三日，地上三年的事情呢？现代的几何语言给出了一个解释：因为妹妹和姐姐的世界线不一样，妹妹的世界线是Minkowski时空里的测地线，而姐姐穿越大气层再回来她肯定不是惯性运动所以她的世界线不是测地线。而世界线的长度表示生命的固有时间流动。更因为Pseudo-Riemannian时空的切空间（Minkowski时空是其特殊情况）成立反三角形性质：两边之和小于第三边。
天地者万物之逆旅，光阴者百代之过客。
当李白把时间和空间分离开来理解的时候，他没有想到的是，把时间和空间结合起来理解，具有非凡的快感。往来成古今，26岁的爱因斯坦，用他深邃的眼眸照亮了黑暗的时空。
第七章 微分几何杂谈
（1）
据说几何学起源于丈量大地，微分几何学里有一个词语，"测地线",测地线在黎曼几何中是是2点之间最短的线，但时空具有非正定的号差，是伪黎曼几何，或者说是lorentz几何，所以，测地线是时空2点之间最长的类时线。当一开始，古代的人们发明平面几何的时候，也同时撞见一些问题，比如，能不能把用尺规作图把一块圆的土地等面积地变换成一个正方形的土地，化圆为方一直困绕着古代数学家，后来这个问题被证明是不能实现的。另外一个问题是这样的,给你一根长度一定的绳子，叫你去圈一块土地，怎么样子圈地，才能够得到最大面积，这就是等周问题。如果这条曲线不是平面曲线，这个等周问题更加复杂，所谓Plateau问题或者极小曲面问题，其实就是一个非线性偏微分方程。等周问题和最速降线问题一样,促使变分方法的诞生，在物理学上，这就是人们津津乐道的真理之一，“对作用量变分为零得到Euler-lagrange方程”。因此，几何学的这些问题非常朴素，但背后包含了巨大的玄机，其中lagrange的分析力学的思想，区别与牛顿，lagrange曾经写了一本书，这本书是讲力学的，但全书没有一个图，lagrange非常自豪。 这本书Lagrange写了三十年，名为《分析力学》，把力学变为分析学的分支。
古代的人不知道大地其实是一个2维球面。后来，航海家麦哲伦环球航行，他是一个无比成功的冒险大王，他当然知道，假如大地是一个正方形，那么，可能有一天，他麦哲伦会走到大地的尽头，然后扑通一下掉进无底的深渊。历史总是垂青少数幸运的青年,后来，麦哲伦成功地回到了原来的出发点，大家才知道，原来真相只有一个，是这样的：我们居住在一个球面之上。但如若事后诸葛，仔细看一下，人类的武断似乎让人苦笑，其实，麦哲伦能够环球航行，不足以证明大地是一个球面，因为，还有其他的可能，比如环面，柱面,Mobius带，Klein瓶。其实要发现大地是一个球面，是一件很麻烦的事情。我们可能不得不站在高处，比如卫星之上，向下俯瞰，才能得到一个初步的结论，这是一种把流形嵌入在高维空间的方法。
2维球面具有很多性质，在拓扑的意义上，它的欧拉数为2。在几何上，它可以是最大对称空间，处处具有同样的曲率。在纤维丛上，2球面上的2形式张量场不可能整体是恰当的，也就是不可能存在单一的电磁势A使得处处满足F=dA，这就是poincare引理，于是我们得到chern示性类。
在19世纪末，美丽法国的小城南锡。poincare小的时候，就是高度近视眼。所以他上课全靠听力。由于运动神经的不协调他从小就不能与小伙伴一起玩，童年非常之不幸。在数学上，他后来做出了伟大的贡献。懂数学的全知道，在三维空间，标量场的梯度取旋度为0，矢量场的旋度的散度为0，这其实可以用外微分的语言表达为poincare引理。
poincare引理认为，假如流形可缩为一点,假如它上面的一个微分形式是恰当的，那么它必定是闭的。这个断言非常之强，可算是当时数学上的颠峰之作。poincare是数学物理的最后一个全才，他研究3体问题，在这个问题上,有一个poincare-birkhoff定律，这个定理是关于不动点问题的，据说在保面积映射中,如果出现在相空间的环面上的两个周期P,Q的比例是有理数,那么上面的流转过有限周以后必定回到原来的点,如果用poincare截面来描述的话就是在poincare截面上出现了点的回复,从而实际的映射点是离散分布在圆周上的有限点。poincare于1912年猜测,这种情形下的映射有2kQ个不动点,一半稳定,一半不稳定,这被称为"poincare最后猜想",在Harvard大学的Birkhoff证明了这个猜想,声名鹊起。这一映射模型是poincare在研究限制性三体运动中抽象出来的数学模型，如果在相空间的环面上的两个周期P,Q的比例是无理数(不是有理数),那么环面上的流就是拟周期运动,永远无法在poincare截面上出现点的回复,从而实际的映射点是连续分布在圆周上的无限多个点,这个情形就要用Moser定理来解决。（这个是poincare-birkhoff不动点定律，不是poincare-birkhoff定理）现时代要培养全才，已经没有可能，因为pioncare是断后的那一个人。
poincare与klein研究3维的空间。这个3维的空间是深山老林，很少有人能进去以后不迷路。这个Felix•klein是德国人，因为研究瓶子而闻名世界。说到klein瓶已经高度抽象，它是2个mobius带子粘起来的结果，但它不能在3维空间中被粘起来。poincare的问题是是不是任何3维的流形都同胚于3维球面？这个问题成为亘古难解的poincare猜想。Yau.s.t认为人类连poincare猜想也搞不清楚，那就是连司空见惯的3维空间也没有真正研究好。可是,历史总是猛烈发展,相对论已经在另外一个来自瑞典的物理学家Oscar•klein启蒙下进入高维度研究。这个启蒙运动叫做“卡鲁扎——klein理论”。
2）
微分几何大致分为三种，黎曼几何，辛几何，复几何。这是根据微分流形上的度量来分类的。在相对论看来，黎曼几何不是最好的，最好的是伪黎曼几何，上面有因果结构；辛几何是有用的，但可是描述哈密顿系统，现在最流行的圈量子引力，就是从哈密顿系统里开始做量子化的；复几何与彭罗斯一直推销的扭量理论相关。陈省身考虑了复示性类，明显区别与庞德里亚金和惠特尼的示性类不同，但取得最大的成就。因为复数比实数要优越，要自然，正如任何多项式方程在复数范围里全有解。
杨振宁写了一首诗歌，来赞美陈示性类。
"天衣岂无缝，匠心剪接成。浑然归一体，广邃妙绝伦。造化爱几何，四力纤维能。千古寸心事，欧高黎嘉陈。”
最后一句，欧高黎嘉陈。这一句话里面，包含五位杰出的几何学家。按照我第一次读到这个诗歌的经历，我有点吃不准，那个欧字，是欧拉还是欧几里得，欧拉在几何学上的贡献我不是很清楚，因此是欧几里得。欧拉是18世纪的数学巨匠,据说在他临死之前,他说了一句话:"我死了"。说完他就死去，很是神奇。数学大家的情操，表露无疑。欧拉生前，是处理无穷级数求和的专家，自然数倒数的平方和是一个难题，当时欧拉的老师John.伯努利也弄不出来，但欧拉算出来了，答案是pi的平方除以6。其证明过程相当于把n次多项式方程里的韦达定理推到n等于无穷。
高斯从小就是是一个神童，他10来岁的时候就会做等差数列求和，1加到100等于5050。这个故事现在家喻户晓，不少家庭用这个来检验自己家的小孩子是不是有数学天分。他青年的时候做17等分圆周的时候,后来就完整地研究了曲面和曲线,还得到很多重要的微分几何里的定理,其中一个叫"高斯绝妙定理",这个定理说明2维曲面的黎曼内禀曲率与外部空间无关。 黎曼1854年的那个著名演讲的题目是《几何学基础之假设》，微分几何学开始研究内禀曲率。 嘉当是法国数学家，是陈省身的导师。 陈省身是中国数学家，2004年12月在南开大学去世，标志一个数学时代的结束。丘成桐先生题写挽联寄托对陈省身老师的哀思。
呜呼，大厦倾矣，二千年勾弦求根，割园三角，终不抵陈氏造类， 孤学西传，置几
何于大观，扬华夏于世界。
哀哉，哲人萎乎，卅五载提携攻错，赏誉四方，犹未忘柏城授业，中土东归，传算学
之薪火，立科学之根基。
弟子 成桐 敬挽
2004年12月4日”
（3）
陈省身年轻的时候，推广了微分几何学上很重要的Guass-bonnet公式。Guass-bonnet公式具有非凡的影响，因为它联系了局部几何性质与整体拓扑性质，把看上去很不显然的两个东西联系在一起了，数学的统一性，变的非常明显。
他在1980年访问中国科学院理论物理研究所，写了一个诗歌，表达了更深的意思，数学和物理，具有统一性。这个诗歌高屋建瓴，人间难得几回闻：
“物理几何是一家，共同携手到天涯。黑洞单极穷奥秘，纤维联络织锦霞。进化方程孤立异，对偶曲率瞬息差。筹算竟有天人用，拈花一笑不言中。”
早期的相对论，因为没有用到整体微分几何，数学看上去有一些麻烦，数学技巧也显得不是很高，Hawking写道，费曼曾经描述过1962年的一次华沙召开的引力会议，对当时的相对论研究者的低能表示了一定的轻视，到了1960年代，彭罗斯(R.Penrose)用整体微分几何证明了相对论里面的第一个奇性定理，结果开创了新的局面。penrose还大刀阔斧地在广义相对论中引进了旋量。就我自己的认识来说，dirac方程的解就是一种旋量。但在4维空间，最小的旋量是2维的,这就是不带质量的中微子，用weyl方程描述。对于最小的旋量，推广地说，如果n为偶数，n维时空之上,p=n/2-1,则,最小的旋量维数是2的p次方。如果n为奇数，n维时空之上,则p=n/2-1/2,最小的旋量维数是2的p次方。在任意n维矢量空间,给定任意号差的黎曼度量,全可以定义旋量。但在流形上整体定义旋量场，却要考虑到流形的整体拓扑性质。而最近很热的扭量，其实就是一对旋量，满足一个约束方程。
第八章 广义相对论
（1）
狭义相对性原理说，“所有的惯性参考系中，物理规律是一样的。”基于狭义相对性原理和光速不变原理，爱因斯坦在1905年得到了狭义相对论。爱因斯坦得到狭义相对论的那一年，发表了著名的三篇文章，其中第二篇里叙述了E=mc^2。E=mc^2后来引起大众的关注，因为这个公式认为，质量和能量是等效的。在这个公式里，m不是静止质量，而是运动质量。
一百年过去了，现在看来，狭义相对论是很自然的想法，因为4维平坦时空的Maxwell方程具有与生俱来的Lorentz协变性。但惯性系不是一个自然的概念。爱因斯坦不是一个普普通通的男人，他1905年左右做了一些光电效应这样的文章，然后继续回到相对论，决定抛弃惯性系。在物理学里，惯性系是一个有特权的王国，爱因斯坦想，这个物理世界应该是民主的，不应该存在具有特权的参考系。他有了这样的思想——姑且称之为“参考系的民主”。做M理论的人可能更加深刻，他们了解胡耳和汤森的思想：膜的民主。
民主是一样好东西，近代中国在1919年开始了五四运动，疯狂追寻民主，这个运动的思想根源是新文化运动，当时人们大声疾呼“德先生”和“赛先生”，知识分子试图挽中国之狂澜于既倒。蔡元培希望请最大的“赛先生”爱因斯坦来中国讲学。那时，正是爱因斯坦和相对论名声大噪的时候。蔡元培通过各种渠道，一再邀请爱因斯坦访问中国，爱因斯坦也表示愿意访问中国。然而好事多磨，由于种种原因，爱因斯坦都未能成行。有的文章称：“直到１９２２年，事情才有了眉目。爱因斯坦将访问日本的消息传来，蔡元培又一次发出邀请。爱因斯坦也回信了，双方就访华的条件，协商了一下。蔡元培提出，如能到北大演讲，愿出酬金每月一千元。下榻处选在最高档的北京饭店。爱因斯坦倒也直率，他在回信中提出，每月一千元的酬金，数目尚可，但是要改成一千美元。住北京饭店，他是满意的，不过要按两人付费，也许他是考虑带夫人同行。一千美元的酬金，在当时是非常高的，因为那时爱因斯坦尚在德国，而德国‘马克’正在经历一场大贬值。对于一位在德国任职的科学家来说，即使是爱因斯坦这样的著名科学家，一千美元也不是一个小数。再说，北京饭店的客房也是以昂贵著称的。然而，蔡元培先生还是答应了爱因斯坦的这些条件。蔡元培认为，爱因斯坦如能光临北大，比什么鼎鼎大名的政治家、军事家都重要百倍！于是，北京饭店做了相关的准备，北京大学师生更是满腔热情、积极筹备，还特意组织了多场报告会，由丁西林等人讲解相对论，（丁西林后来是北大图书馆的）一时间掀起了一个宣传、普及相对论的高潮。可惜的是，由于种种原因，爱因斯坦最终未能访问北京，他只是在往返日本的途中，在上海停留了两天，就匆匆地走了。”这件事情到现在已经是明日黄花，但真相现在还有人在争论之中。可以肯定，爱因斯坦不是一个会轻易放人鸽子的人。
回过头看，万有引力的大小依赖于两个物体之间的空间间隔，但在四维几何里，3维空间间隔不是一个不变量，参考系改变以后，这个空间间隔就变化了，于是万有引力大小就变化；万有引力定律与狭义相对论的矛盾水火不容。这个矛盾大致可以这样看出来，两个物体之间的空间间隔依赖于观察者，所以在不同的惯性观察者看来，2个物体之间的万有引力大小依赖于观察者。这区别于库仑定律，在库仑定律中，除了电力还有磁力，在电荷加速的时候还有辐射。
万有引力定律对吗？狭义相对论对吗？爱因斯坦开始陷入了深深的思考。后来他意识到，应该抛弃惯性系了，他于是抛弃了惯性系。惯性系成了一个完美的弃妇，而新人却更胜旧人。在一定意义上，下面三个原理是一致的：
1。广义相对性原理。
2。广义协变性原理。
3。微分同胚不变性原理。
到时候了，爱因斯坦提出了广义相对性原理，“所有的参考系中，物理规律是一样的。”有了这样一个原理，爱因斯坦要做的事情就是思考一下万有引力了，他要做的时候很简单，就是要让万有引力理论不依赖与参考系，不依赖于观察者。因为，爱因斯坦相信，物理规律是普适的，它是物理王国的法律，有上帝制定，对谁都一样，在任何时间任何地点，全是一样的。就这样爱因斯坦用他的思辩构造了了他的引力理论——广义相对论。在他的理论中，引力不是一种力，也许可以说，引力根本就不存在，所谓引力，其实是空间和时间（统称时空）被物质扭曲。正如一个人躺在席梦丝床上把床睡得陷了下去。引力不再是引力，所以有的人研究引力，写的书名字却叫《时间，空间和物质》。
1915年６，７月，爱因斯坦在阿廷根作了６次关于广义相对论的学术报告。同年１１月提出广义相对论引力方程的完整形式，并且成功地解释了水星近日点运动。
１９１６年，３月他完成总结性论文《广义相对论的基础》，
广义相对论正式地出炉了！值得指出的是，数学家希尔伯特在爱因斯坦之前就推出了引力场方程，他说：“哥廷根大街的每一个小孩都比爱因斯坦更懂四维几何，但发明广义相对论的是爱因斯坦而不是数学家。”
爱因斯坦方程是天人合一的典范，它的出世，表明纯粹理性具有非凡美感，人类心智，极富荣耀。
G-ab=T-ab （3）
在真空情景下，爱因斯坦方程可以写成：
R-ab=0 （4）
在有些情景下，人们处理带有宇宙项的爱因斯坦方程。
爱因斯坦方程（3）的思想精髓众所周知：物质等于时空的弯曲。这一点是最重要的，如果问爱因斯坦理论最震撼人心的思想是什么，一半人会回答是等效原理，另外一半人会回答是物质等于时空的弯曲。真正思考过这个问题的人，多数会选择后者。这个后者，也被很多研究圈量子引力的人最喜欢的，他们把这个叫做“背景无关性”。可以相信，一个正确的量子引力理论，它肯定不需要事先假定理论适用的背景。
有一个问题，是很自然的，假如没有物质，时空是不是会弯曲？很多人马上会讲，schwarzschild时空的外部解，没有物质，但是弯曲的。它是真空爱因斯坦方程的解。但注意，schwarzchild的外部不是闭的空间。真空爱因斯坦（4）引起了很多几何学家的兴趣。在某个时候，我还是一个年轻的大学本科学生，听S.T.Yau在中国科学院的一次公众演讲，他是当代最杰出的几何学家之一，他问：“是否存在一个闭空间，那里没有物质，但时空弯曲？”
第九章 黎曼曲率杂谈
（1）
爱因斯坦方程横空出世了，求解这个方程变的很重要。爱因斯坦的方程是偏微分方程，它是几何和分析之间的桥梁，这个方程里面，最实质的内容就是黎曼曲率。需要求解的是度量函数，但求解一般不是轻易的事情。爱因斯坦曾经在一次纪念Maxwell的演讲时说：“偏微分方程进入理论物理的时候只是一个婢女，但现在已经是主妇。”其说法很容易让人想起中国古典名著《金瓶梅》。偏微分方程的理论，到现在还不是很成熟的。已经成熟的是代数方程，或者说是多项式方程。2的x次方加3的x次方等于1，这样的方程不算是代数方程。高斯证明了代数基本定理，说，n次代数方程f（x）=0，那么，它必然有n个复数根。但是真正求解n次代数方程，不是很简单的一件事情。
历史上一点一滴进步，都凝固了前人的心血。即使历史善于遗忘，也难免记住一些英雄。方程论上最早的英雄塔塔里亚，他解决了三次方程，
塔塔里亚活着的时候被人砍伤，成为哑巴（他小时侯的村庄受战争蹂躏，他被敌军士兵砍了嘴巴，后来口吃了，他这个名字的意思就是“口吃”，他不是哑巴）。据说在意大利语中，塔塔里亚就是“口吃者”的意思。他第一个解答这样子的方程：
x^3-21x^2+78x-55=0
但塔塔里亚掌握了3次方程的解法，没有发表，每天压枕头底下暗爽，后来被人剽窃了。世道浇漓，剽窃的人成为当时该领域的学术带头人。塔塔里亚很是愤懑，1530年他约对方在米兰大教堂各出30道3次方程比赛，观者千人。结果是塔塔里亚大获全胜，对方一题未答，成为剽窃史上空前丑闻，也让后人引以为戒。解决了三次方程，很自然地就是解答更高次的方程。
1824年，22岁的Abel自费出版了一个小册子，他证明了，n大于等于5的时候，n次代数方程一般没有根式解。Abel是挪威的数学家，是一个穷牧师的儿子，一生贫病交加，27岁时候死于肺结核。天才生于寒冷，他濒死去的时候，巴黎大学给他一个聘书，聘他去做教授，可是，Abel马上死去。Abel理论对后世有巨大的影响。
天才是互相感应的，Abel死的前一年法国的19岁的伽罗华写了一论文给法兰西科学院。他用一个新的方法回答了能够根式求解的代数方程的条件。其文章太前卫，别人看起来有点南腔北调。投稿2次，人家竟然把原稿给丢失了。
伽罗华是另外一个具有杰出才能的法国数学天才，他引起了群论的诞生。伽罗华比Abel更加富有传奇色彩，当时的法国巴黎各派政治意见不和，习惯卸下门板，在街道上筑起街垒，互扔石头。伽罗华是一个天才，他考巴黎著名的工科学校竟然2次没有考上，上了巴黎师范。后者在当时还不算是名校。伽罗华对政治感兴趣，他是一个镇长的儿子，很有实力。还曾经因为政治上反对波旁王朝“七月革命”而被学校开除，后来又因为政治入了监狱，再上了法庭，在法庭上，他说：“我们是孩子，我们精力充沛，勇往直前。”
21岁的伽罗华在一天晚上，他答应与人决斗，在油灯下匆忙了写下了群论纲领。这个纲领也算是一个遗言，在某个地方他写道：我的时间不多了……
第2天天才在决斗中牺牲。
1832年5月的这天。
一轮血红的残阳挂在某一个枯树的枝头。
整个世界都快哭了。
Abel和伽罗华全在年轻的时候离开人世，他们对数学的影响却无比深远。他们对天才的年轻人有很好的示范作用，特引用词一首，以表哀思：
“原谅话也不讲半句此刻生命在凝聚
过去你曾寻过某段失去了的声音
落日远去人祈望留住青春的一刹
风雨思念置身梦里总会有唏嘘
若果他朝此生不可与你那管生命是无奈
过去也曾尽诉往日心里爱的声音
就像隔世人期望重拾当天的一切
此世短暂转身步进萧刹了的空间
只求望一望让爱火永远的高烧
青春请你归来再伴我一会”
挪威不是一个大国，但它出土了一流的数学家Abel，还有一个大名鼎鼎的是索飞斯•李。李发明的李群是相对论中的基本数学工具之一，很难想象一个不懂得李群的相对论专家会是什么样子。Bianchi对3维的李代数进行分类，发现有九种，这就是九个Bianchi宇宙。
（2）
李群也是微分流形，从微分流形的角度看它，会有一些直观的印象。比如SO（4）群，它是标准的三球面S^3上的等度量群。那么，什么是三球面呢？中学的几何学基本上都是研究2或者3维平直空间里面的几何学。一个点是0维的，一条直线是1维的，一个面是2维的，我们生活的空间是3维的。
2维的面，很简单，有的看上去是弯曲的，比如篮球的表面，或者十三陵地宫里的巨大的圆木柱子的表皮——柱面。
但可以看到，一个柱面是可以用剪刀剪开，然后可以贴在平坦的墙壁上，所以，不太严格地说，柱面的内在的曲率是0，而球面显然不是这样的。球面的内禀曲率不是0，大概就是你不能用剪刀剪开它然后完全地贴到平坦墙壁上。
我刚开始接触黎曼几何时，就是用上面的方法在强行理解“内在的曲率”的。
但还是有一些问题，比方在纸上画一个扇形，然后把扇形卷起来用胶水把对边粘起来。那就是一个圆锥面。
显然圆锥面也是可以用剪刀剪开，然后可以贴在平坦的墙壁上，于是圆锥面的内在的曲率也是0。但它有一个尖点，那里不是光滑的，不能定义内在的曲率，应该排除。
内在的曲率，实际上是指Riemann张量。
那么什么是张量呢？这个东西不是一个容易理解的概念，它可以被放在坐标系下被确定下来。比如一块石头，从东边看它象一只猫，从西边看象一兔子，从南边看它象一个乌龟。那么这个石头的外形，就仿佛是一个张量。
如果一个人试图研究一个正立方体沿着体对角线转动时候的动能，那么，转动惯量就是一个很好的例子。真正考虑这个问题并做过计算，甚至不断变换正立方体的转轴，张量，这个有点神秘的幽灵，会立刻象花朵一样开放在眼前。
自行车的内胎。它的拓扑结构是一个二（维）环面，修车人生活在三维空间里，他看到的是这样一个中间有洞的东西。
拓扑地看，一个自行车内胎与一个篮球皮有什么区别？自行车内胎上剪出一条封闭曲线不一定把它分成2块，但一个篮球面上剪一条封闭曲线一定把球面分成2块。这个暗示了球面与环面在拓扑上是不一样的。一个自行车的内胎实际上是一个柱面弯起来以后把2个头接起来产生的。看的出来，它就是一个圆周s1在另外一个圆周s1上走了一圈后得到的，所以有一个很直观的记号，环面T2=s1
x s1。（环面记做：s1 x s1。因为环面的英语是Torus。所以还可以把2维度的环面简单记为T2。）
那么自行车内胎T2的内禀曲率是不是为0呢？？？很明显它用剪刀剪2次后是不能完全展成平直的，它不可以完全地贴在平坦的墙壁上。因此，在三维欧几里得平坦空间的自行车内胎，它不是处处内禀曲率为0。当这样说的时候，实际上背后的故事很是悠长。
因为gauss-bonnet-chern定理显示曲率与欧拉数有联系。几何与拓扑之间的联系就建立起来了，此岸的人们可以通过这些桥梁摘取彼岸之花，数学家的兴奋之情可以想象。但推广的高维流形怎么样研究，纤维丛出现了。
“美国的whitney在1935年第一个提出纤维丛上的示性类。在瑞典，stiefel在hopf的指导下也开始研究初级的示性类，有一些萌芽思想。whitney是在哈佛大学，他发明了上同调语言，所以他关于示性类是一种上同调类。whitney证明了基本的乘积定理。在1942年，pontrjagin在莫斯科大学开始研究grassmann流形的同调，这个使得他开始建立新的示性类。在1946年陈省身在复矢量空间上做示性类。他引进复数是高人之处，因为复数比实数要简单。”这是
milnor在《characteristic》中写到的，milnor因为证明7维球面上有不同于标准的微分结构，名留青史。他当时和nash同时在princeton大学。纤维丛的概念最初在1935由whitney给出。hopf和stiefel的工作也说明研究微分几何的拓扑学侧面是重要的。steenrod是princeton的教授，他是nash与milnor的师长。他有一书叫《the topology of fibre bundles》,在第2部分用到hurewicz的同伦群方法。hurewicz有一个定理，这样定理可以从同调群得到同伦群。比如H1（m）=0。他可以认定m是单连通的。同伦同调是研究流形的基本方法，早在1900年，Poincare他在研究三维流形时，问：如果一个流形与三维球面有着相同的同调群，那么这个流形是否拓扑同胚于S^3？
四年后他本人给出了否定的回答。这时他已经引进了基本群，也就是第一同伦群，他将问题改为：“如果一个三维闭流形与三维球面有相同的基本群，(基本群平凡，或者说这个流形单连通，)那么这个流形是否同胚于S^3？”。这就是“Poincare猜想”。这个问题一直到现在还没有解决。fermat大定理被克服后，是否说明这个Poincare
Conjecture也将被克服？后来的数学家可能就是美国数学家斯梅尔（smale）推广了 3维度Poincare猜想，广义 Poincare猜想说：如果一个n维单连通流形与 S^n 有相同的同调群，那么它一定拓扑同胚于 S^n。斯梅尔证明了五维及五维以上的同伦球面(具有与球面相同的同伦群)都与同维度球面拓扑同胚．他因此获得了1966年的 Fields 奖。斯梅尔的工作集中在5维以上，这无疑说明，3维与4维度流形的拓扑性质可能是相当奇特的。这个有点象5次以上方程没有代数解法。一出来很让人吃惊。
在1980年之前，人们可以计算单连通四流形的同调和上同调群。
以s^4为例说明：
所谓同调，s^4它在5维欧空间里嵌入的话，直观上就好象一个篮球，内部就有一个5维的洞。所以它的H4（s^4）非平凡，H4（s^4）=Z。这可见于M.A.ARMSTRONG著《基础拓扑学》，由孙以丰等译出。
由poincare对偶可得到H0（s^4）=Z。
由hurewicz定理，H1（s^4）=0意味着单连通。
由poincare对偶可得到H3（s^4）=0。
唯一包含信息的是
H2（s^4）=Z^b2。其中b2是第2betti数。
而上同调群比同调群要多一些信息。但这些给出的信息依然不是足够的。
1982年春，Michael Freedman 完成了单连通四维流形的拓扑分类，从而证明了4维的广义 Poincare猜想，并因此获得了1986年的 Fields 奖。弗里得曼（Freedman，M.）运用了凯森（Cas-son，A.）环柄得到了单连通闭拓扑四维流形的拓扑分类。4维度的研究之所以特殊，是因为它迫使人们放弃惠特尼传统方法。
（3）
在数学物理中，场论和微分几何的关系已经到了情侣般如胶似漆的程度。相对论本来就是微分几何，文献很多，但多数文章不会留下来，有的研究者指导研究生写文章，集中多年精力做的事情就是把低维的情况推广到高维。第一个博士生从3维推到4维，第二个博士生从4维推到5维，年复一年。直到某一年，流年不利，有实力的博士生直接从3维推到n维。于是，这个事情算是彻底干净了。另起炉灶的时光来了。什么叫高维空间？人类生活的时空一般认为是4维的，但在string理论理论认为宇宙是10维的，有6个维度太小。譬如花园里面的一个很长的自来水管，它是柱面，当然是2维的，但远远地看，人们会以为那是一根1维的绳子呢！！人们感觉不到6个额外维度，但他们组成卡拉比-邱成桐空间。额外维是相对论研究的潮流之一，5维度的时空，也就是1920年代初期最早最原始的kluza-klein理论，具有统一引力和电磁力的神奇功能。5维的kaluza-klein时空比人们的感觉到的4维的多出一个维度，多出了那一个维度非常之小。但电子在那里运动的时候就在4维时空表现出电荷来。这多少有点象看一个人在翻滚过山车，他身上有离心力的痕迹。
到了20世纪末，美国的女科学家lisa
Randall等提出了膜宇宙模型，她曾经在哈佛做博士后。我有一天，在北京的地铁里，问loop量子引力的三大领军人物之一，梯曼告诉我说，当他去哈佛做博士后的时候，lisa
Randall还没有来哈佛。估计梯曼不会希望我们的宇宙是高于4维的，因为时空一旦高于4维，那么空间部分就不是3维，loop量子引力之所以成功，是因为它要求空间是3维的，那么它上面的标架有一个so（3）的自由性，这个so（3）的李代数和su（2）李代数同构，于是，loop量子引力可以把引力做一次量子化，做成非常类似与yang-mills的su（2）场论。但lisa
Randall的文章允许额外维，并且是开放的额外维。于是我们现在的宇宙看上去就好象是操场上的一个篮球。这样的是为了解释暗物质暗能量物体构造出来的膜宇宙模型。霍金2002年再次来到中国的时候，在杭州大谈了一次膜宇宙，引起了世人对膜宇宙的莫名崇拜。
第十章 宇宙学之一
（1）
爱因斯坦把他的方程写出来以后，开始考虑的一件事情是如何从他的方程得到我们生活其中的宇宙。爱因斯坦的雄才大略在这一件事情上体现得淋漓尽致。这种气质在科学家中是极其少见的，赫胥利《天演论》第一句也有过类似的气质：“赫胥黎独处一室之中，在英伦之南，背山而面野，槛外诸境，历历如在机下。乃悬想二千年前，当罗马大将恺彻未到时，此间有何景物？计惟有天造草昧……”
爱因斯坦也是这样，他要在斗室之中，通晓天地之变，阴阳之道，但他用的是数学方法做《天演论》。
宇宙是一个四维流形，要研究它的演化，就是要研究3维空间超曲面如何在时间里演化。演化要满足爱因斯坦方程。除了爱因斯坦方程，3维空间超曲面上的初始数据,也就是曲率和外曲率，与四维时空的曲率，相互之间要满足微分几何里的高斯-科达奇方程。对于真空爱因斯坦方程来说，高斯方程表示哈密顿约束，而科达奇方程象征着空间微分同胚约束，是4维广义相对论的对称性的体现。广义相对论的对称性，就是广义协变性，或者称为微分同胚不变性。微分同胚群是无限维的，研究起来非常复杂，圈量子引力要保持这样的群，也就是要保持这样的对称性，所以明显不同于弦论，这是弦论和圈论之争的本质。
广义相对论一直被誉为最美丽的理论，爱因斯坦也被认为是人类历史上最伟大的科学家，他一个人苦心孤诣地研究工作，为我们打开了认识神秘宇宙的大门。当然，与爱因斯坦的广义相对论有竞争的理论，为数也多如牛毛，这些理论之中，最重要的是班斯和迪克的标量张量理论，在他们那里，牛顿万有引力常数不再是一个常数，而是一个函数，这个想法是很自然的。函数也就是标量场，在广义相对论中，标量场神出鬼没，成就了一批又一批的文章。那么广义相对论最重要的品质是什么？这个品质就是上面所说的微分同胚不变性。
但在广义相对论中，最基本的是时空流形M和它上面的度量
g＿ab。Ｍ在没有g＿ab的时候，仅仅是一个微分流形，它上面是没有距离概念的，也没有光锥结构，也就是没有过去和未来这样的因果结构。Ｍ仅仅是一个微分拓扑空间，可能把它想象成一个４维的自行车内胎或者篮球皮，等等等等。Ｍ上面具有光滑的微分结构。至于它上面有多少光滑的微分结构，这个问题就过于艰深了。一般地说，在最简单的4维平坦Minkowski流形上，唐纳森用yang-mills场论的方法证明，上面有无穷多个微分结构。这个工作得到Fields奖，也将会名垂青史。
那么，Ｍ上的所有微分同胚变换是不是构成一个李群？答案是肯定的，但是，这个diff（M）李群是无限维的，这有一点不象su（2）那样简单，su（2）李群是3维的。在圈量子引力中，su（2）群上的平方可积函数空间是一个希尔伯特空间，内积通过海尔（Haar，通常翻译为哈尔）测度定义。但对于diff（M）李群，因为它无限维，所以不存在海尔测度，圈量子引力再次遇见困难。
（2）
在相对论里，度量
g＿ab的号差是Lorentz的，也就是说，把度量看成一个4乘4的矩阵，在线性代数里面，有一个惯性定理，这个定理说，在相合变换下，矩阵的正负特征值的个数是不变的。度量是Lorentz的，相当说，特征值有一个是负的，其他三个是正的，写成（-，+，+，+）。其中，负号代表时间。
是否每一个流形都可以配上一个Lorentz号差的度量？或者说存在整体定义的时间？时间作为一个矢量场整体存在，矢量场整体无奇点，指数为０．Hopf-poincare的指数定理说，指数和等于欧拉数。所以一个流形可以配上一个lorentz号差的度量，必然要求流形Ｍ的欧拉数为０。
Ｍ的拓扑结构对g＿ab的限制，这样的问题连爱因斯坦也没有考虑过。宇宙是有时间的，比如热力学时间箭头或电磁辐射时间箭头等等，全是浮现在宇宙大海之上的航标，如何正确地用纯几何来定义时间也是广义相对论中的大问题了。宇宙在演化，它由熵为零的状态变大熵增加的状态。如果宇宙最初是最大对称的，那么它可以是德西特宇宙或者反德西特宇宙，正两种宇宙全是共形平坦的，所以外尔曲率退化为零。当宇宙最后发生大挤压，外尔曲率发散，熵也发散了。penrose认为，外尔曲率的演化可以表示宇宙的时间，这就是极其著名的外尔曲率猜想，也就是用几何的方法来表示宇宙的时间。
（3）哥白尼原理，也叫宇宙学原理，它涉及到宇宙的空间部分，该原理说：我们的宇宙，在空间上是均匀的，各向同性的。这一个原理是有一定实验根据的，那就是微波背景辐射。当然这个背景也不是绝对均匀的。但在数学上，这样的空间就是最大对称性空间。
人类生活在其中的宇宙，浩瀚神秘，每当仰望星空，很多人都会好奇，宇宙，它的空间部分到底是有限还是无限的，宇宙是不是自相似的具有分形结构，是否天圆地方，是否有沉睡在宇宙深处的黑暗能量，外星球有没有象人类同样的孤寂和智慧。在中国古代，就有《天问》的说法，这是一种十分好奇的一种心态。
目前的观测似乎说明，我们的宇宙3维空间部分具有最大对称性。单连通3流形具有最大对称性的，拓扑只有3种，E3，S3，H3。这个分类的结论与Thurston有联系。Thurston把单连通3维的几何体分成8种，前面的3种就是E3，S3，H3，允许6个独立killing场，具有最大对称；后面的5种分别为S2×S1,
H2×S1, Sol, Nil 和 SL(2,R)，允许3个独立killing场，具有均匀性（spatially
homogeneous），但不具有各向同性。所有这一切的前提，全是研究单连通流形。至于不是单连通的，或者其他情景，只能让人归结到poincare猜想。poincare猜想最近声称被perelman证明，其中用到Ricci
flow方法，Ricci flow方程为
d/dt
g-ij=-2R-ij。其实就是物理上的热传导方程。历史地看，毕达哥拉斯最早知道，正多面体只有5种，这相当于冰山的一角，推广到高维空间，问有多少个超正多面体。冰山暴露出来，一定让很多人大吃一惊，这样的冰山，可以化神气的泰坦尼客为腐朽，把繁华变成南柯一梦。
话说回来，我们的宇宙，在空间上是什么样子的呢？真的是E3，S3，H3的其中一种吗？罗伯逊和沃克RW度量描述了这3种情况。RW度量的给出，纯粹是从对称性的考虑和宇宙膨胀的事实中写出来的。这个RW度量不是真空爱因斯坦方程的解。
RW度量可以描述我们的宇宙，但它与爱因斯坦方程没有从属关系，也就是说，即使爱因斯坦方程不对，RW度量也可以是正确的。它们两个的地位独立,类似于男人和女人的关系，男人和女人的结合，出来的结果是一个婴孩，就是富里德曼方程。富里德曼方程描述宇宙到底是怎么样子在膨胀。因为单知道膨胀是不够。现在发现膨胀是加速的，宇宙学就会给现在的科学提出一个大问题。这个问题总得来说是与暗物质和暗能量有关系。李政道曾经提过21世纪的物理学的大问题，暗物质暗能量好象也是其中之一，其他他说的好象有夸克幽禁和渐近自由。渐近自由理论已经得到诺贝尔物理奖。同样，暗物质暗能量问题一旦解决，肯定也能得到诺贝尔物理奖。在相对论领域，能够得诺贝尔物理奖的还有引力波或者引力子的发现。不说诺贝尔物理奖，宇宙学的这个问题可以与生命的起源，DNA的编排，生物为什么必然要死亡等问题类比，是文明的指标。
莎士比亚（他借Hamlet的口说的）有一个很精彩很著名的句子，好象是说：“死掉还是活着，这是一个问题！”对于宇宙来讲，死掉还是活着这同样也是一个问题。
第十一章 宇宙学之二
（1）
宇宙的命运是少数人扣人心弦的谈资。近代宇宙学，大爆炸模型已经被很多人接受，被称为标准宇宙模型，其他还有一些非标准模型，其中以前最有影响的是稳恒态宇宙模型，它由英国天文学家霍伊尔（Hoyle，Sir
Fred 1915～）、美国天文学家邦迪（Bondi，Hermann 1919～）以及在奥地利出生的美国天文学家戈尔德（Gold，Thomas
1920～）提出的。霍伊尔曾经在剑桥大学，霍金从牛津大学毕业，最初是很想成霍伊尔的研究生。邦迪定义了时空的质量，称为邦迪质量，区别于ADM质量。戈尔德时空是均匀的各向异性的时空，具有闭合的类时线，所有一个人可以沿着闭合的类时线回到自己的过去，可以亲眼目睹自己被分娩的现场一幕，确实是震撼人心。大爆炸理论一开始是热大爆炸理论，没有暴涨的过程。在热大爆炸宇宙模型提出的初期，人们曾根据哈勃常数推算宇宙的年龄，然而由于哈勃常数在测定远距离星系的视星等与红移关系时，采用了造夫变星决定距离的偏差太大，以致得到的哈勃常数太大，由此估算出的宇宙年龄只有20亿年，比地球的寿命还短，这给当时的热大爆炸宇宙学说带来困难，稳态宇宙学说应运而生。
稳态宇宙学说认为，既然时间和空间平等，而宇宙物质在空间分布是均匀且各向同性的（此为宇宙学原理），那么宇宙在时间上也应是均匀不变的，这就是所谓的“完全宇宙学原理”。宇宙既然不断地在膨胀，同时又要求保持宇宙物质分布上的均衡不随时间改变，必然要求物质在不断地产生，从而保持宇宙物质的密度随时间不变。在稳态宇宙方程中，物质的产生和宇宙的膨胀不是正好地得到补偿，就可能出现稳恒态附近的起伏解，解中恰好呈现了物质分布的局域不均匀性。其次在应用电动力学或其它场论研究粒子间相互作用时，推迟势与超前势都是方程的解，然而只有推迟势才得到了观测上的验证，通常只用因果律解释其原因，这种解释带有人为性，常不能令人满意。1945年，惠勒和费曼计算一个加速运动的电荷与宇宙中所有其它电荷的作用，在推迟势与超前势中，只有推迟势在起作用。他们的这一讨论是在稳态宇宙的基础上进行的。这似乎是在理论上对稳态宇宙学的一种间接支持。此外，在稳态宇宙学中，不出现高温、高密度的初态，避开了难以摆脱的“奇点”困扰。但稳态宇宙学不能清楚地说明，物质在哪里、以何种方式产生，以什么形态出现。在这个模型里，宇宙不会死亡。
考虑宇宙模型，往往能让人的感觉怅惘的空虚，偶然会让人对人生也充满怀疑的颓废。情绪化而理性不够的人转而只能问一些最基本最天然的问题，比如，宇宙是不是无限大？宇宙是不是平坦的？
粗略地说：
1.可观测的宇宙是有限的。2.RW宇宙是（局部）共形平坦的。
为什么要考虑共形变换，因为共形变换保持光锥结构不变，也就是说，不改变时空的因果结构。这是重要的，也是物理学家孜孜以求的。 现在被广为接受的观点是我们对宇宙的讨论可以分为两部分。第一是各种物理的场它们所满足的局部的定律，这些往往用微分方程被表诉出来。第二是这些方程的边界条件，以及它们的解的整体性质。这在一定程度上要求我们想象宇宙的边缘。这两个部分是相互联系的。实际上我们已经知道局部的定律是由宇宙的大尺度结构决定的，这正是边界条件决定偏微分方程的解。反过来可以说，爱因斯坦方程是一个局部方程，它不能决定宇宙的拓扑。
但人们相信，我们认识的物理规律可以被推到整个宇宙。这纯粹是一种信仰，人们就象是在原始大森林里生活的人们，高山层峦叠嶂，第一个山谷里的人们，有一套法规，这套法规认为，通奸者要被游街，然后沉潭。但在其他的山谷，这套法规还可以通行？谁也不能保证。在宇宙学上，人们使用了这个很大的假设，就是我们在实验室里所得到的物理定律在宇宙的其他地方依然适合。假如看上去好象不是，那么我们说在我们的局部理论中还存在着尚未发现的场。我们还使用一些其他的假设，比如时空用伪Riemann几何描述以及能量密度的正定性，或者说广义相对论中的能量条件。
2）
假设引力也是一种力，那么现在已经知道的基本的作用力可以分为4类：强作用和弱作用，电磁力和引力。其他三种相互作用可以用yang-mills方程描述。
DF=0 （5）
D*F=0 （6）
这两个方程是真空Maxwell方程组
dF=0 （1）
d*F=0 （ 2）
的非线性推广。其中D是协变外微分算子。整个方程显得很紧凑，非常优美。
当然引力是现在为止发现的最微弱的力，但在宇宙大尺度结构的形成上起了主导作用。这个是因为强作用与弱作用的力程非常短，而虽然电磁作用的力程很长，但电荷的排斥与吸引是平衡的。引力，相反，却总是相互吸引的。所以一个物理上总的相互吸引力，总是在其他三个力中占据主导地位。
引力不但是在大尺度上起主导作用的力量，而且，它对质量不大的物体也是以相同的方式进行作用的。Galileo最先发现不同质量的物体做自由落体的速度都一样。这个被Evtvos用非常高精度的实验所检验，还有Dicke以及其后继者也做了进一步的检验。并且人们还观测到光被引力所偏折。既然没有东西可以比光具有更快的速度，这意味着引力决定了宇宙的因果性结构。比如它决定了时空中的事件是否可以有因果联系。（广义相对论实际上是就是黎曼几何学，几何学上没有对光速恒定提出限制，光速恒定是狭义相对论的基础，体现在广义相对论中，使得时间与空间量纲一致。）
在爱因斯坦的广义相对论基石上研究大尺度时空结构。爱因斯坦的理论预言与实验非常之符合。但人们也许有时候会提到与爱因斯坦理论不太一样的理论，比如，Brans——Dicke理论，有的人以为Brans——Dicke理论已经死了，事实上现在网络上还能有这样的文章，说明Brans—Dicke理论还活着。在宇宙学上，模型一旦出现，绝不会轻易死亡，人们要把它当作一个球，至少拍上20年。
时空的模型是一个流形M配上一个lorentz度规g-ab。有两个假设赋予度规g-ab以物理意义：局部的因果性与局部的能动张量守恒。这个在相对论中是被实验证明的。第3个假设是度规g-ab的场方程，这个是几乎没有被实验所证明的。所以，一个好的引力理论在用到场方程的时候往往只用到诸如正质量密度使得引力是相互吸引（而非排斥的）。这种性质在爱因斯坦的相对论的对手brans——dicke理论中也是一样的。
还有一种称为正反物质的宇宙模型，它由瑞典物理学家克莱因（Klein，O.）提出。为了解释现今宇宙完全由正物质组成，克莱因假设，宇宙初期存在有电磁场，由于引力和电磁作用，等离子体中正反物质分开，并分别聚集形成由正、负物质为主组成的物质团，由正负物质湮灭产生巨大的辐射压，使得两种物质团朝两侧被推开，当今宇宙恰好处于以正物质为主的宇宙区域之中。它说的天花乱坠，但最后的胜利者，依然是大爆炸宇宙学。
第十二章 黑洞的惊鸿一瞥
（1）
在几乎所有的物理学的书籍中，可能费曼的三卷物理学讲义最引人注目，这个讲义大致是1960年代他在加洲理工大学给大学一年级与二年级的学生做的演讲。当时大概有180个学生聚集在一个大的演讲厅里，一周两次去听物理学家费曼的讲座。这些学生在听完以后分成15到20个人一组在助教的指导下背诵和理解这些讲座。费曼说在这些讲座的最主要的任务是要使得那些从高中来到加洲理工的非常聪明的学生保持他们对物理学的热情。因为这些学生他们曾经听说过物理学是多么有趣以及激动人心——相对论，量子力学，以及其他现代的观念。但是一般地，在他们真正进入大学的前期2年的入门课程里，他们往往听到的是让人沮丧的缺乏现代新鲜感的课程。这些学生们被迫着去研究斜面，静电学，诸如此类有点罗嗦的东西，其实这些东西有的学生在高中的时候就了解的很清楚了。所以，一般来说，大学物理系的前2年非常徒劳。费曼用他的精彩讲座试图来改变这样的局面。他的讲座里，也讲了一两次广义相对论。
古典的传统的物理学确实有非常令人乏味的地方。在大学里，很多年轻学生对诸如“黑洞”，“虫洞”这样的事物充满激情和美丽幻想。
这就是生活。
2）
黑洞。
最早使用这个名字的人是费曼的导师，后者可以被称为“美国相对论之父”，因为爱因斯坦之后，几乎在美国的所有一流的相对论专家，全是他的徒弟和徒孙。他就是惠勒。附带地说，我上研究生的时候，在学校里听一位印度学者做相对论的报告，这位学者在开场白里戏称刘辽为“Father of Chinese General
Relativity”，当时座下的刘辽教授当即表示了谦虚地反对，于是，大家一笑而过，实际上中国的相对论研究，起源于周培源等先生的工作，但后来周培源喜欢上了湍流，湍流是自然界里常见的现象，当我们给一杯水加热，那么一开始热传导方程可以很好地被使用，我们甚至可以预见加热多长时间后水将要沸腾，在沸腾之前，水面是那么平静，平静地让你觉得不再希奇。但事情没有那样简单，一旦水开始沸腾了，平静的水面上开始出现渐渐出现诡波谲流，继续加热，水就沸腾了。这是一个普通的场景，但对瓦特来说，这就是蒸汽机，对于1883年的雷诺（Reynolds）来说，这也许是另一个奇异的世界，雷诺指出：当流体的雷诺系数R大于某个临界值Rc时，流体就从层流向湍流转化。不久，他又提出了著名的雷诺方程，试图用确定论的方法来解决这个问题，然而他始终没有得到明确的结果。后来人们发现，描述湍流的动力学性质，最好的方程是Navier-Stokes方程。Navier-Stokes也是2阶非线性方程。后来的中国，相对论研究不是很热闹，在文化大革命时期，掀起了批判相对论和爱因斯坦的高潮，封建社会主义露出畸形的一面。刘辽受到一定的迫害，但坚贞不屈，证明了知识分子真是社会的良心。在美国，惠勒1933年研究生毕业以后就开始大展宏图，在二战期间做过原子弹的研究工作。战争结束以后用计算机模拟过黑洞。因为，黑洞是恒星演化的产物，恒星的核反应，这其实就是原子弹的原理。所以，对于黑洞一开始的研究，是很物理的，而不是象现在，由于霍金和penrose的威望，相对论显得偏于几何和数学化。
“黑洞”这个词，在法语里感觉起来比较淫秽。但钱德拉塞卡曾经说过，广义相对论作为一门理论，其实验依据不是非常充足，但他相信，广义相对论是真理，为什么？因为从他做黑洞微扰的经验，他得到了一些震撼人心的美的体验。
黑洞一出现，人们普遍认为，这几乎就是世界末日的真实体验，以史瓦西黑洞为例，当观察者进入到离黑洞中心距离为R=2M的时候，他就会在人类的世界里消失。道理是很简单的，在R小于2M的时候，每一个等R面全是同时面，也就是说，坐标R在那个时候，已经不是空间，而表示时间了，所以，观察者不可能在同一时间出现在相等的R处，于是，时间流动，这个观察者必然要沿着R单调变化的方向前进，于是，它必然要撞上R=0的那个可怕的地方，这个地方，是这个观察者时间的终点，被称为奇点。
美国康奈尔大学的研究者Rindler，他给R=2M的那个地方取了一个名字，叫做地平线，英文是Horizon，原始的意思是说，这个观察者掉进了R=2M这个曲面之后，黑洞外面的人再也见不到他了，就好象太阳在地平线之下，地球上的人就看不见了。后来，Horizon被翻译为一个更加学术化的名词“视界”。
如果说有什么记号能够表示黑洞，最简单的数学可能是：
奇点+视界=黑洞。
（3）
黑洞，就好象是达芬奇的《梦娜丽莎的微笑》这样的历史名画，或者是贝多芬的《命运》这样的交响乐章，它充满了美，同时充满了对人生命运的无情嘲弄。在1970年代以前，人们开始接受一个这样的观念，黑洞，是恒星演化的终结。黑洞是一个完全黑色的东西，
但是，在1974年2月，在牛津大学有第一次的量子引力会议，这样的会议在6年以后还有一次，会议的组织者是该校的爱沙姆，西阿玛和彭罗斯等。在这个会议上，霍金报告了一个惊人的消息，黑洞不是完全黑的，它会向外发出辐射，并且，这个辐射是热辐射，也就是说，它不会带出什么有意思的信息。当然不排除霍金在这个回忆之前已经吐露了这个研究结论。
霍金的这个发现，给他引得了世界性的声誉。这个时候以后，大众的视线，开始聚焦在这个在轮椅上的严重失声肌肉严重萎缩的英雄人物身上，历史显得疯狂起来。因为，霍金传递了一个讯号：黑洞，不是恒星演化的终结，而只是一个中间过程，我们人类，似乎还有希望。
相对论比较成熟的学问包含了宇宙学和黑洞。相比较来说，宇宙学和天文学的关系密切。宇宙学它的历史悠久漫长，在这个历史过程中，爱因斯坦引入了宇宙学常数，修改了他的引力场方程。他的这个举动，使得整个宇宙学的历史跌宕起伏。黑洞理论和宇宙学一样，给相对论以一个应用的舞台。在某个时候，爱丁顿和钱德拉塞卡有过著名的争论，相对于沉默的钱德拉塞卡，爱丁顿这样尖锐地说：“你是以恒星的角度看问题，而我，是从大自然的角度看问题。”也许，这句话在这里显得荒诞。对于宇宙，要从大自然的角度去看，但对于黑洞，也许要从恒星的角度去看，这是钱德拉塞卡的梦开始的地方。
这本书写到这里，化了一年的时间。还需要写大概一年多的时间，才能构成一个完整的演义。李贺在快死的时候，跟他母亲说：玉皇大帝造了白帝楼，落成了，叫我去作赋。这个《相对论通俗演义》在写作过程中得到了很多人的激励和批评。当所有人要感谢的时候我要感谢上天给了我这个机会。文章中的篮色部分由王善钦作出。（CHARON:原文有蓝色部分，但是转的时候颜色没有掉，本文红色部分是我加上的）这个白帝楼还没有造好，大家先进来看看。有没有评论和批评意见，发到poetmomo@163.com
相对论通俗演义
第一章 早期的英雄时代
（1）
历史是淹没在荒烟蔓草间的，当后人回头看历史的时候，尤其能看到一些神话和英雄史诗，虽然模糊不清，但让你感觉到心潮澎湃。相对论一直是地球上最美丽的学问。这一门学问是爱因斯坦创立的。它最根本的看法，是研究我们的宇宙，因为宇宙只有一个，而我们身处其中，于是，很多人难免担心，我们做为宇宙的一部分，能不能认识宇宙。正如你的一个手掌，能不能认识你这个人。这个问题是玄妙的，中国古代的庄子和屈原等人也思考过这样的问题，他们有一个很模糊不清的认识，原因是因为他们没有具备一些数学描述。
宇宙洪荒，是很玄很妙。问题的关键在于如何认识它，很多人的思想在这里汇集。尤其是苏东破的一句诗，被认为可以体现一种思想情操。
他说：不识庐山真面目，只缘身在此山中。
苏先生是一个很大的才子，他的这个诗本身是具有哲理性的。当我们把他运用到这个宇宙的时候，我们就会反躬自问：是否，我们处在宇宙之中，所以，我们无法认识宇宙的真面目。这个问题本身没有唯一的答案，从爱因斯坦说法上，我们可以看到一个自然科学家的态度。 爱因斯坦说：宇宙最不能理解的地方是，它居然是可以理解的。
可知论和不可知这两种论调是人类个体的分水岭。但这样分界是不明显的，很多人从来没有问过自己，自己到底属于可知论者还是不可知论者。很多时候，这样的分类也是缺乏意义的。但，一个事实永远存在，就是一定有很多人，对未知事物充满好奇之心。
（2）
我们仰望星空，俯仰天地。态度决定一切。在认识宇宙，或者说，认识未知世界的道路上，尸横遍地。数学家们，相对于其他的一批人，以其特有的执著和特立独行，来给这个宇宙造一个描述的工具。并且，这个工具是最基本的。数学比绘画和音乐要更加基本。绘画和音乐，描述世界，但依赖于眼睛和耳朵。而数学，有一个最基本的依赖，它依赖于大脑。有理由相信的一点，是我们地球文明之外的文明，他们那些智慧生物可以没有眼睛，没有耳朵，但他们不能没有大脑。
毕达哥拉斯是一个杰出的古代数学家，他认为，世界的本质是数。
他的说法听起来好象是有点夸张了，但初衷是善良的，不是说他要故意压迫那些非数学家。2，3，5，7……这些的数字，我们称为素数，它们是基本的。人类要向外太空发射信息，寻找其他的文明，一个方法就是朝天空发射“素数”。因为，宇宙的各个角落，要是也有文明的外星人，他们收到这样的信号，会欢欣鼓舞，因为这无疑给他们一个预示。 预示在这个苍凉的宇宙，他们并不孤独。 数是基本的，但广义相对论却更多地和几何学发生了关系，这一点在后面的篇幅中再逐渐展开。当然，有一位得Fields奖的数学家道格拉斯曾经说过：“我的切身体会是，几何学家是好人。”他的话里面有温情脉脉的情感因素，但修正他的话，我们会发现是这样：“我的切身体会是，数学家是好人。”
是的，数学是仰望宇宙的透镜。
在古代的数学家中，有一个人，他让我们知道，寄生在这世上是那么好，这个人的名字是欧几里得。
（3）
欧几里得写的一本众所周知的书，叫《几何原理》。这至少是2000年前的事情了。但中国人看到这书的时候，是在明朝的徐光启时代。也就是说，中间有至少1200年的时间差距。我不想查书用来精确表示这些年代差异，是因为我不是搞历史的，也不想过于在一些琐碎的事情上精密无比。
《几何原理》里有五条公理。虽然一般人说不全，但第五条说所有平行直线永不相交。这一条大家全知道，被叫做第五公设。也就是说，有的人认为，这一条，不能做为一个公理，因为它可能可以被其他公理推出来。
《几何原理》好象是一个大厦，它有五个巨大的石头做为地基。但第五块石头，有的人认为，有问题。
爱因斯坦的相对论，与第五公设这个问题休戚相关。当然，我不预备在这里做任何数学的证明，通俗的演义往往与数学相隔遥远，我们引用爱丁顿的话：证明是一个偶像，数学家在这个偶像面前折磨自己。
第五公设折磨了一代又一代的人。现在看来，这个折磨已经结束，但其意义非常深刻。欧几里德的几何学，是关于平坦空间的几何学。而真正广泛的几何学，它不仅仅要处理平坦空间里的情景。Riemann是研究弯曲空间几何学的大师。他死的时候才39岁，但他活着的时候一直很优秀，1854年，他为了在哥廷根大学获得一个讲师的职位，发表了一个关于几何学的演讲，演讲的题目是《论几何学的基础》，这次讲演是开天辟地的一个壮举。下面的听众很多，但据说，几乎没有人能够听懂，频频点头表示赞同人只有一个人，是一个老头，名字叫Gauss。
这个故事发生在Riemann为了得到讲师职位的时候，有的人可能会觉得很奇怪，为什么一个讲师讲的东西在那大学里别的教授全听不懂。这样的现状是存在的，并且是不能避免的，只说明Riemann实在是太有才华了。一般地，在一所很好的大学，无论是古代还是近代，都可能有这样的感受：
这是正常的好大学必须的。我们知道，在当时，Riemann讲师是最伟大的，他后来的贡献繁多，以其在微分几何和复分析里的伟大建树影响历史，现在的Riemann猜想还在领导数学的潮流，在物理学里，Riemann的级数在量子场论中经常出现，在相对论中，研究casimir效应，也要用到。
Riemann几何的出现，给爱因斯坦的引力理论，提供了一个先天的数学工具。历史表明，数学物理在这个时候，达到了一个全新的高度。
（4）
今月也曾照古人。这是李白说的。看到月亮，很多人有一些基本的问题，比如说，1640年左右，也就是中国的吴三桂引着清兵进入山海关的时代。英国的cambridge大学有一个叫牛顿的人，他解决了一个问题，按照现代语言来说，是牛顿发现了万有引力定律，从而解释了为什么月球在天空绕地球天马行空地周期转动。牛顿发现万有引力定理以后，我们才真正看到了物理。而相对论，就是研究万有引力的。 牛顿是怀着格物知理理想的数学物理大家。牛顿和爱因斯坦是人类历史上科学巨匠。但牛顿本身，相比爱因斯坦，具有一种由内而外的霸王气概。他的工作显然是划时代的，其情操，也是划时代的。在历史上，他与莱布尼姿和胡克等人有过交恶。同时代的那些伟人在他面前，几乎全掉了颜色。我们只能由衷得叹上一句：到底是牛顿！
在人品上，牛顿不算是一个谦恭之人。一个人持才傲物，藐视同伦，普通人是做不到了。牛顿的万有引力定律，仅这一项，就足够他鹤立鸡群了。何况牛顿有那么多大的发现。盖棺论定得说，牛顿其人，500年不朽，牛顿其文，1000年不朽。1000年以后，世界末日，什么都朽了。
（5）
物理学也有最初的童稚时代，比牛顿要早，是哥白尼的出现，后者写了一本书，书名叫《天体运行论》，出版是1543年，出版的时候，作者已经快死了，原因是因为这本书是一本很反动的书，著者选择在临死之前出版它，是一种对自己负责的态度。这本书主要说了一个事情，就是地球是绕着太阳转动的。这个是天文学和物理学上的第一个有实际意义的进展，早于康德和拉普拉斯的星云说时代。康德是一个德国的哲学家，一辈子没有出过一个叫哥尼斯堡的小镇，但其了解天下事，康德说，只有两件事情可以震撼我的心灵，一是人类的道德情操，一是我们头顶的星空。可见康德多少对星空有点研究，他可能认为地球上的一切，全来自星云的演化，这是一个比生物进化论更强大的进化的观点。拉普拉斯是19世纪的法国人，在拿破仑的宫廷干过行政。国王拿破仑是一个数学爱好者，他曾经有一个拿破仑定理，是很有点意思的。定理说，任何一个三角形，各边上各作等边三角形，接下来将这三个三角形的重心联结起来，那么就必定是一个等边三角形。当然拉普拉斯的数学才能，远过于拿破仑。拉普拉斯微分算子，这个微分算子的背后是一片汪洋大海，这个算子描述定态的薛定格方程，所以在物理上也是很有用的，真正有思想的人，往往会在三角形区域解拉普拉斯方程。这个拉普拉斯微分算子可以被开方，得到dirac算子，dirac算子背后是一片原始森林，因为dirac是20世纪最伟大的物理学家，他和薛定格一起得到1933年的诺贝尔奖金。薛定格说：“我们得奖的时候，dirac还非常年轻，我是带着我老婆去领奖的，但dirac是带着他妈妈去的”。由此可见，dirac是一个非常年轻有成绩的物理学家。是他走出了把狭义相对论和量子力学结合起来考虑的道路。关于这些算子理论，极大地推动了数学的发展。也是从算子的谱开始，我们从连续的数学分析走向离散的特征值问题的研究。而离散的性质，恰恰是量子力学的精髓之一。 当然经典物理学中也有离散谱，例如驻波。
回头来看哥白尼的工作。他的工作说明，人类第一个较明智的科学看法，不是研究宇宙如何起源，演化，而在于研究太阳和地球的关系。这是一个很务实的进步。就是在现代，虽然有精确宇宙学这样的学问，研究宇宙如何膨胀，如何加速膨胀，但前路漫漫，让不专门从事理论物理的人瞠目结舌地怀疑，是否目标过于庞大，你们居然研究整个宇宙，把星系当做尘埃？
相对论学家似乎存在一个情节，那算是一个单纯信仰，他们认为，世界可以被还原为一个单一的原理。而凝聚态物理和统计说明，在不同的尺度，有不同的物理。比如人类的存在，人类的情感和思维，不是物理学的单一原理可以解释的。统计性和自组织性的出现，使得在相对论学家的眼睛里，这个世界变的高深莫测了。
无论如何，相对论还是一如既往地奢侈和不切实际，因为，它是预备去理解宇宙。
（6）
20世纪之前的所有年代，相对论还没有诞生，我统称它们为“英雄时代”。在这个漫长的时代里，有无数的数学物理两门学科里的英雄人物，这批人中的杰出代表是牛顿。这个时代是一个古典为主的时代。而广义相对论的出现，是这个古典时代的结束。广义相对论是“经典的极致”。在字典里，“经典”应该有两个意思，一个是古代的，古典的；另外一个就是优美的，美到可以写进历史之书。这样的美是很少见的，往往在平面几何里你偶然能感受到这样的震撼心灵的美。
在极早期，托勒密认为太阳绕地球转动。他认为太阳绕地球转动，现在看来，也算是没有错误。为什么？因为，机械运动是相对的。谁动谁不动，在牛顿的眼睛里是“相对的”。所以说，按照牛顿的看法，描述地日运动，托勒密的思想是没有问题的，虽然它可能导致一系列不优美的结论，比如导致木星也绕地球转动，那么我们这个太阳系看上去还真是乱糟糟的，一点也不优美了。但托勒密在平面几何里关于圆的内接四边形的一个定理，是天籁之声。这个定理是美的。这样的数学之美，与同时代的屈原对香草美人的美来比较，我们看到一点西方的数学逻辑的辉芒。
dirac和爱因斯坦，以及其他的很多人，全是追求美的天才。相对论，恰恰给我们展现了一个数学逻辑上的美感。
这个美，引得无数英雄竞折腰。 是的，我们全是一群在朝圣路上踽踽独行之人。
壮美矣！爱因斯坦！！第二章 一个美丽的椭圆
（1）
1543年，哥白尼关于日心说的工作之后，丹麦的天文学家第谷不太同意哥白尼的观点。他出生贵族，是一个有钱来做天文观测的人士。据说第谷年轻的时候与人斗殴，被砍掉半个鼻子，所以他后来有半个金鼻子，长相显得非常怪异。他开始夜观天象，并且整理了一套看上去杂乱无章的数据。这套数据，最后保留着给了他的助手，一个叫开普勒的人，但第谷的本意，好象是想把这些数据传给自己的女婿的。开普勒一生生活是相当潦倒的，最后还死在讨债途中，那是在1630年，他几个月领不到薪水，经济困难，不得不亲自前往雷根斯堡的基金会索取，在那里他突发高烧，几天后在贫病交困中去世。他去世的时候，觉得自己非常对不起自己的老婆孩子，因为他把自己的一生精力，全花在研究天文学和写书出版之上了。他在出版书的时候，据说，第谷的女婿还给他写了一个序文，这个序文有一个特点，是通篇大骂开普勒剽窃第谷的成就。这样子的书是很奇异的。
但开普勒的几本书《新天文学》和《宇宙和谐》先后给出了3个行星运动定理。第一个定理是很重要的，认为行星运动的轨道是一个椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点之上。他实际上没有想到，未来会表明，一个封闭的椭圆是一件过于唯美之事，因为根据爱因斯坦的相对论，轨道会有进动，我们不能得到一个封闭的椭圆。第二个定理异常强大，他几乎用肉眼看出角动量守恒定理，说的是行星矢径在单位时间扫过的面积相同。第三个定理，似乎绝对是上帝的旨意，要从一组数的三次方和另外一组数的平方中看到不变量，依靠一般凡人的眼睛，往往不够，这个定理说的是行星运动周期的平方和轨道半径的立方成正比。
这三个定理，迫使牛顿得到万有引力定律。万有引力的出世，其实来自于开普勒对数据的千万次摸排。开普勒的视力不好，相比第谷，他显然不擅长天文观测，但他的确具备从复杂数据中提炼出物理规律的神奇能力。这往往是一种从天上看到人间的天赋异禀。
他的行星运动第一个定理里，开始出现一个完美的椭圆。
(2)
一般说来，一个椭圆是封闭的，这样的对称性背后，包含着守恒的物理量。由对称性导致守恒量，是伟大的德国女数学家Noether的思想，数学家外尔曾经这样开玩笑：“女数学家有两种，一种不是女的，一种不是数学家”。没有问题，Noether肯定是一个数学家，她一辈子没有结婚，把全部精力投身给了近世代数。某个时候CN.yang认为，Noether的这个原理是最基本的，于是，国内讲力学的教材开始了一次改革，改革的结果是从对称性开始讲力学。无论怎么样，对称性是美的化身。描述对称性最好的语言是群论。对称性和守恒量有一一对应的关系，这一点，是深刻的。比如，众所周知的结论是，空间是均匀的，所以动量守恒。于是，行星运动的轨道是封闭的椭圆，这样的对称性导致的守恒量就是龙格—楞次矢量。
什么是椭圆？在数学上，椭圆的定义是在平面上到两个定点之间的距离之和等于定长的点所组成的集合。这个是很清楚的，一般高中生就要学会怎么样画一个椭圆。这是解析几何里的事情。在Fermat和笛卡儿的解析几何里，人们换了一个看法，那就是把一个曲线与一个代数方程等同起来，这样的想法把代数和几何结合起来，这样的结合是思想的奇葩，包括后来在物理中经常运用的所谓su（2）李群，从代数的角度去看一下，就可以知道它其实就是一个3维球面。解析几何的一个很直观的推广是能不能把一个实n维流形嵌入到高维空间，然后再把这个流形表达成为一个或者一组代数方程。这样事情Nash和chaw伟良等人做过了。
解析几何带来的一个全新的数学时代。只有当椭圆被放在坐标系里的时候，才可以遇见另外的问题，那就是如何计算椭圆的周长。这个时候，完美的椭圆似乎突然让人迷惘。因为，圆的周长是很简单的，上过学的人全会算，而椭圆周长，上过学的一般不会算。
（3）
计算椭圆周长的问题也难住了牛顿。虽然用牛顿的万有引力定律，可以得到椭圆轨道。但仔细地研究这个椭圆的来历，有一些需要推敲的地方。在经典的力学里中心势是库仑势或者谐振子势的时候，轨道才是封闭说，只有当中心势是库仑势或者谐振子势的时候，轨道才是封闭的。这个定理是重要的，因为它否认了其他势场里存在封闭轨道的可能性，哪怕是对库仑势的微小偏离。所以，当爱因斯坦的广义相对论对万有引力的库仑势做修正的时候，在理论上，这个完美的椭圆崩溃了。
离太阳最近的行星是水星，那儿的万有引力场强最大，广义相对论的修正最明显，之前人们已经观测到水星近日点存在进动，也就是说，人们开始注意水星的公转轨道是不是一个封闭的椭圆，但没有人可以解释这到底是为什么。既然轨道不是椭圆，我们就知道，水星与太阳之间的万有引力势场不是严格的库仑势。这似乎应该意味着一个曙光的黎明，相对论虽然比较难以理解，但在这个椭圆封闭性问题上，结论是很清楚了。原来，牛顿的万有引力定律，那样美的一个定律，在引力比较强的时候，也是不对的。
爱因斯坦的广义相对论解释了水星近日点的进动，这是对广义相对论的三大验证之一。1919年的时候，英国天文学家爱丁顿利用日全食的机会，他领导下的实验证明了光线偏折的规律也符合广义相对论的预言，这个实验是著名的，因为他极大地支持了爱因斯坦的理论。当时也就是第一次世界大战，德国和英国是敌对国，所以这个实验的成功的时候，大众的眼球被吸引了，报纸的头版是这样的：英国科学家支持了德国科学家的理论。当爱丁顿做出这个实验的时候，他的心情很可能比爱因斯坦更加激动。有一个说法是他认为自己和爱因斯坦是当时唯一懂得广义相对论的两个人。而当记者问爱因斯坦说，当您的理论被实验证明是正确的时候，您怎么想？爱因斯坦的回答说：没有什么好奇怪的，上帝安排的，我不相信还会出现别的结果。
（4）
虽然1919年，牛顿理论已经被实验证明应该被爱因斯坦的广义相对论所取代，但牛顿依然是绕不过去的存在。拿牛顿万有引力定律和库仑定律来比，虽然有点抬举库仑，但马上会发现牛顿的意义有很多。牛顿的万有引力定律，实际上告诉人们，质量总是正的，也就是万有引力总是相互吸引，这样的话，宇宙似乎不能跟一个孕妇一样，不由自主地膨胀。但目前观测到的宇宙，它居然在膨胀，并且还是加速膨胀。对于宇宙的加速膨胀，这里只是暂时提起。但这个问题，已经成为了21世纪物理学晴朗的天空里最大的一个乌云，这个乌云似乎要覆盖整个天穹，让人分外地不安。情况就是这样的，物理学家本来以为自己已经快了解了整个宇宙的100%，后来突然被一声闷雷惊起，一个声音说，“无知的狂妄，你仅仅了解我的4%”。质量总是正的，可能让人想起经典广义相对论中著名的正质量猜想。有的人会想起1980年代witten和Schoen和Yau对该猜想的的证明。
当然，如何定义质量，在广义相对论中，也是一个具有不止一个标准答案的问题，在正质量猜想里的是ADM质量（Arnowitt，Deser，Misner）。在这里，我们几乎可以挥别牛顿了。
有一个叫伏尔泰的法国人，他也曾经研究了一下牛顿的事迹，现在关于牛顿和苹果落地的这些故事，多数也是出自他的手笔。伏尔泰是一个能力很强的文科圣手，他还勾引了一位公爵的老婆，也许是相互勾引，——后来两人一起私奔。
1727年牛顿逝世，思想界的巨擘辞世，伏尔泰参加了葬礼。牛顿84岁离开人世，为他抬棺材的是两位公爵、三位伯爵以及大法官。（charon：牛顿葬在威斯特敏斯大教堂里面，就跟中国现在葬在八宝山一样或皇陵一样尊贵，伏尔泰死后也享受了类似的殊荣，显示了这两个国家对人才的重视）伏尔泰是这样描述的："他是像一位深受臣民爱戴的国王一样被安葬的。在他之前，没有哪一位科学家享受如此殊荣。在他之后，如此厚葬的也将是屈指可数。"牛顿去世后不久，诗人薄柏总结了世人对牛顿的评价，说：自然规则在黑暗里，上帝说，让牛顿干吧！于是一切大放光明。
牛顿是一个聪明人，他几乎能从容应对所有非常的局面，但他不是完人，他在数学上也遇见一些困难。比如他不能求出全部自然数倒数平方之和，也不能积出椭圆的周长。历史朝后面发展，我们发现，椭圆周长只能用非初等的椭圆积分表达出来。而另人惊奇的是，挪威数学家Abel证明了五次方程没有代数解答，但有些五次方程的解， Hermite证明可以通过椭圆函数来表出。这说明了数学的各个侧面具有统一性的一面。而相对论在经历了1970年代之后的多年的沉寂以后，面临着一个引力量子化的命运。在量子引力的理论中，椭圆函数等等，也全面都浮现出来。所以，这个完美的椭圆，告诉我们不少秘密，盯着一个椭圆看很久，里面全部是秘密。有一句箴言：一花一世界，一沙一天堂。
第三章 等效原理
（1）
1841年，中英鸦片战争在进行之中，西方远远地领先于中国，22岁的剑桥大学数学系的学生亚当斯根据牛顿万有引力和天王星运动的轨迹，假想有一颗未知的行星在天空运行。他经过一年的计算，猜测出这颗可能的行星的轨道。1843年10月，他把自己预言的这颗新行星的轨道寄格林威治天文台台长。但是，这位天文台台长对亚当斯的信不予理会。他严重地不相信这个年轻的大学生会在笔尖发现一颗新的行星。
另一位法国青年天文学家勒维耶也在研究这个问题。他也推测是因为存在一颗未知行星的引力作用，使天王星的轨道运动受到干扰，也就是天文学上所谓的“摄动”影响。他计算出这颗行星的轨道、位置、大小，然后请德国天文学J.G伽勒寻找这颗
未知的行星。1846年9月23日，伽勒根据勒维耶预言，只花了一个小时，就在离勒维耶预言的位置不到1度的地方，发现了一颗新的行星。后来这个新的行星被命名为海王星。发现海王星的那一年，勒维耶35岁。
亚当斯和勒维耶所做的工作，类似与同时代的门捷列夫，门捷列夫通过对元素卡片的一次又一次地排列，预言了大量的未知元素。 （charon：门捷列夫不止预言了未知元素，并且还修正了人家刚发现的新元素的性质，虽然他还没有接触到这些元素！搞的新发现者很郁闷哦！呵呵。101号元素命名为钔，就是为了纪念伟大的门捷列夫，可惜门捷列夫没有拿到ｎｏｂｅｌ奖，因为要给他的时候他已经与世长辞了，这确实是ｎｏｂｅｌ奖的一大损失）
水星也是太阳系的一颗行星，它在近日点时也有类似于天王星的不遵循轨道运动的现象。1855年，勒维耶根据他发现海王星的经验，预言在水星轨道内有一条行星带（他认为是水内行星而不是行星带摄动，并命名为火神星，或者祝融星）它影响了水星的运动。这一次，勒维耶失败了。这一次失败有点象后来的物理学家泡利，泡利因为根据能量守恒而预言中微子的存在，声名雀起，但又相信宇称守恒而预言上帝不是一个左撇子，遭遇失败。但勒维耶发现海王星，在这之后的确没有人再怀疑牛顿的万有引力。但20世纪初的天文观测发现了水星轨道的异常，这为万有引力定律掘墓。事实似乎说明，椭圆不能精密描述行星运动。在另外的一个侧面，抛物线出场了。在这里谈及的曲线还全是空间里的曲线，不是时空中的世界线，世界线是相对论中最基础的概念之一，大概意思是把一个空间点拉长成为一条线，而Dirac方程在粒子的世界线上引入了超对称，这样的看法还为时尚早。
伽利略 (1564 ~ 1642年)，出生于意大利的比萨,他从小就喜欢思考。十七岁时进入比萨大学念医学。在他的学生时期,他看到吊在教堂圆型天花板的灯的摆动,发现了钟摆周期只与摆线的长度有关，而与摆角和摆锤的质量无关，这真是一个出人意料的发现，简直可以作为上帝存在的明证，他的这个发现，大致上就是发现了简谐振动，简谐振动是一个二阶常微分方程。
他是那个黑暗时代的先知，同时是英雄时代的伟大导师，聪颖过人，心比天高，这一点可以从他的两个思想实验里看出来。这些思想使得牛顿认为自己是站在巨人伽利略的肩膀之上。
第一个思想实验是用来说明自由落体运动的。虽然据说他后来也在比萨斜塔亲自做了这个实验。但他的思想实验，却似乎更加可信，甚至不能辩驳。他说：“不考虑空气阻力，轻的东西将和重的东西同时下落，它们将同时落地。因为假如亚里士多德是对的，重的先落地，而轻的后落地，那么，倘使我在它们两个之间连一个无质量的刚性细绳，可以想见，总质量大于它们两个的单独质量，于是，按照亚里士多德，这个整体将落的更快，但事实上，轻的东西一定会拖重的那个的后腿。于是这就自相矛盾。可见，亚里士多德是错误的，轻的东西和重的一样，必然需要时刻有相同的速度，它们同时落地。”
这个思想实验，使得人们认识了自由落体运动的思想精髓。自由落体成为相对论初期研究的一个专门武器，爱因斯坦据此思考了等效原理。伽利略逝世的那一年是1642年，同一年牛顿诞生，而其自由落体的思想一直到20世纪初，依然为爱因斯坦所沿用，并且在1907年灵光一现，发现了等效原理。这有一点类似九方皋相马，普通人往往跟伯乐的儿子一样，只知道按图索骥。
——而爱因斯坦，却在一个古老的思想里发现了新的真理。
(2)
抛物线是圆锥曲线的一种，它的非线性性质在混沌动力学中被经常利用到，然后平地起惊雷，说，周期三导致混沌，出现了周期三，其他什么周期都将出现。可见，从抛物线出发，往往能够深入浅出。在教室里斜抛一个粉笔头，它总是画出优雅的舞线。假如没有空气阻碍，其轨迹是一条抛物线。其运动可以被简单分解，在竖直方向上，它是带初速的自由落体运动，在水平方向是匀速直线运动。
一个最简单的计算可以表明，以相同的初条件斜抛出不同质量的物体，其运动轨迹是抛物线，这些抛物线全部是可以重合起来的，因为它们一模一样。不同的质量，相同的轨道，这说明，运动轨道与质量没有关系，这一点与单摆一样，再次证明上帝存在，抛物线和单摆是处在引力场中的，它们这样的现象，说明这好象是一个内禀的几何效应。
简单的抛物线，用一种返璞归真的语言告诉年轻的爱因斯坦，引力，是一种几何效应。 1907年,有人请爱因斯坦写一个介绍狭义相对论的综述文章,写这样的文章,使得爱因斯坦重新全面地审视了一下自己的理论和周围的世界。狭义相对论是在1905年建立的。当时的爱因斯坦依然在伯尔尼专利局,他坐在书桌边，突然遇见了一生中最快乐的思想——等效原理,"我正坐在伯尔尼专利局的桌旁,突然出现了一个想法,'如果一个人自由下落,他将感受不到自己的重量。'"
换一句话说，引力质量等于惯性质量。爱因斯坦把这个称为等效原理。
物理学家曾经发现了一些等效原理一样的方法来处理问题，比如电学理论中，最让人瞠目结石的一个关于电路的定律，不是基尔霍夫的。它叫“戴维南定律”，用来处理一个等效电动势。其背后的数学，不是瞬间能想清楚的。但无疑的是，等效的方法，极大简化了模型的复杂性。在某个程度上，爱因斯坦从等效原理出发，建立了广义相对论。当然，比如synge等人就认为，等效原理虽然让爱因斯坦一生最快乐，在相对论建立过程中就象一个接生婆，但现在，接生过程已经完成，相对论应该体面地埋葬掉这个接生婆。
synge是一位极早期就用几何语言来表述广义相对论的人，内心有一种不被世人理解的苦闷。他的话虽然有点过河拆桥的意思，但动机也是很不错的。因为，凡是懂得等效原理的人，十之八九会以为，一个自由下落的观察者，他所看到的时空总是平坦的。
但几何学家一定不同意。 因为时空是否平坦，就是说微分流形是否平坦，只依赖于它上面的度量，而不依赖于坐标系。
同时代的人群之中，爱因斯坦是第一个想到等效原理。这个原理使得人们发现了一些引力场不同与其他场论的地方，造成巨大的困难。比如一个人朝太阳掉下去，按照等效原理，在他看来，他没有感受到任何引力，相当于他没有测量到引力场的能量。这明显不同于电磁场的情况。比如电荷，是一个局部的电荷密度的，满足连续性方程，电荷受恒。引力能量有没有局部的密度？这个问题看上去似乎谁都要扪心自问，但寻找它的答案，相对论学者们一度衣带渐宽，人来人往，一次一次开会讨论，但好象全是在looking for the right answer to the wrong question。黑暗由此产生，人郁闷了。
引力能量不能在单独一个点上被谈及,因为时空中的一个点不考虑它的邻域无法谈它是否弯曲。准局域（quasilocal）的定义应运而生。德国的Nester是最初的倡导者和专家,这个人现在台湾的国立中央大学。
当然大范围地定义一个时空的能量或者质量是可能的，比如Komar有一个定义，这个定义只要求时空存在一个类时的killing场，就可以定义一个包围在2维球面内的空间的总质量，并且，这个总质量跟包围它的2维球面的选择没有关系，这就很象电动力学里的高斯定律了，说的是，对点电荷的电场强度计算通过包围它的曲面的通量，结果是点电荷的电量，与曲面无关。
（3）
爱因斯坦在1907年还没有写出他著名的爱因斯坦方程。等效原理一直是他思想上最闪光的部分。直观地看，似乎类似于圆是弯曲的，但可以用正多边形来逼近圆的周长。但一个人要真正看清楚背后的东西，需要不止一天的时间，正如很少有人能清楚说明圆周率和自然常数和自然数一之间的关系。(charon:欧拉发现的e^i(pi) + 1 = 0,非常简单明了，真是优美极了)为了数学地理解等效原理，爱因斯坦在1907年之后的这段时间内自觉地转向Riemann几何，他需要跟他的老同学数学家格罗斯曼合作学习微分几何，那里有一些名词，比如联络，克氏符，曲率张量。等他建立起相对论，微分几何学得到了物理学的推动，开始大步发展，广为人知，本来数学家已经认为，微分几何已经是沉迷于玩溺上下指标，是没有大出息了。Gauss时代的几何，总是把曲线曲面嵌入到外部的高维空间进行研究。但宇宙没有外面，于是，相对论天然的要求一个研究内禀几何性质的Riemann几何学，这样的几何对象，不需要外部空间的存在。
可能后来赶上爱因斯坦的相对论潮流的数学家会认为，爱因斯坦的等效原理就是说，在一个弯曲流形上的每一点，总可以存在一个平坦的切空间。（在爱因斯坦当时那个时代，manifold这样的概念已经存在，就是1854年左右的Riemann引进的（Riemann引进的流形概念和现在的概念相差很大，真正的是在1901年Hilbert定义而在1913年由Weyl精确定义）。）数学家用自己特有的方式理解等效原理，让文人墨客失魂落魄。歌德在这方面深有体会，他讲：数学家犹如法国人，无论你跟他们讲什么，他们把它翻译成自己的语言，于是成了全然不同的东西。
在物理上，爱因斯坦的自由下落的电梯是一个理想的惯性系，但它是局部的，在电梯里，引力消失了。几百年前，伽利略的另外一个思想实验，那里有一个从光滑斜面上滚下来的小球，这个小球被伽利略证明能够滚到无穷远处。他的这个思想实验，可以证明牛顿第一运动定律的正确性质，但留给后代的人一个问题，什么叫惯性，什么叫惯性系？这样的问题难有一针见血的答案让所有的人都欣然接受，充分理解。这个问题太难了，蜀道之难，难于上青天。惯性系是什么，也有登天之难。
第四章 闵氏时空
(1)
现在已经知道的是，物理学的几乎全部知识，全是建立在平坦的闵氏时空之上，但广义相对论是一个例外。如果问什么是广义相对论里的度量，答案是它很象是人生，人生如戏,但看戏的无非做戏人，也就是说，度量在时空舞台上，它既是演员又是观众。度量刻画时空流形的弯曲。古希腊哲学家们对于空间缺乏清晰的数学认识,因此他们的讨论没有考虑到这个空间到底是平坦还是弯曲。于是出现了一些过于飘渺的议论，这些议论有的是很诙谐的，比如认为大地是被乌龟托着，浮于大海之上。理想主义派的代表人物是柏拉图，他有时间研究几何学，搞了一个奥林匹亚学院，广收门徒,传道授业解惑,一时天下英才,尽数被得而育之,柏拉图的人生真乃是一派风流，他写了一本书，叫《理想国》。大学问家难免一脉相传，比如柏拉图本身就是苏格拉底的学生，而柏拉图的学生，有一个人，名字如雷贯耳，亚里士多德，亚里士多德影响历史，影响力达到两千年之久，亚里士多德的观点是朴素无华的，他认为重的物体和轻的物体做自由落体，重的物体先到落地。民间具有天真的直觉，也支持这个观点。在柏拉图的那个神秘学院，穿过学院的拱形门楼，首先映入眼帘的是几个字：“不懂几何者禁止入内。”这样的话，让人不寒而栗。
柏拉图希望通过高深的几何学来理解空间。虽然他的用词很可能引起数学农民的反感，但这条道路，是一条正确而光明的道路。平面几何最杰出的定理之一来自毕达哥拉斯。毕达哥拉斯（Pythagelas）（约公元前580—约前500），是古希腊的哲学家、数学家、天文学家，他早年曾游历埃及、巴比伦（一说到过印度）等地，为了摆脱暴政，他移居到意大利半岛南部的克罗托内，在那里组织了一个集政治、宗教、数学合一的秘密团体。这个团体后来在政治斗争中被打散，他逃到塔兰托，后来终于被杀害了。但他的学派全保留了下来，这让人想起爱因斯坦在拒绝当以色列的总统时候说的一句话：“政治只为一时，而方程可以久远。” 毕达哥拉斯本人以发现勾股定理（西方称毕达哥拉斯定理）著称于世。这个定理早已为巴比伦人和中国人所知，不过最早的证明大概要归功于毕达哥拉斯学派。这个学派发现用三个整数表示直角三角形边长的一种公式：2n＋1，2n2＋2n分别是二直角边，则斜边是2n2＋2n＋1。这公式既属于算术，又属于几何。
通过勾股定理，导致不可约分数也就是无理数的发现，这个发现者是学派的一个门徒，实际上这个发现极大地推动了数学的发展。如果要证明根号二是一个无理数，最好的办法可能是Fermat发明的无限递降法。这个学派还有重大的发现，他们还发现正多面体只有五种，就是正四面体、正六面体、正八面体、十二面体和正二十面。这个发现被S T yau赞美，其实就是欧拉后来发现的关于凸多面体的欧拉定理，或者说微分几何里的高斯（Gauss）-Bonnet定理，但这个背后，还有很深沉的东西。毕达哥拉斯死后，这个学派还继续存在两个世纪之久，他的定理如果被推到很小的区域，也是正确的。几何学家往往把这样的微小三角形一个名字，美其名曰“特征三角形”。用相对论的眼光来看，毕氏的定理是描述了一个2维平坦空间。有经验的看客会至少马上想到以下两点：第一，所有的2维曲面都是局部共形平坦，整体上，比如Riemann球和Poincare上半平面都是无法与复平面建立共形等价的，当然也无法共形平坦。）第二，在所有2维曲面上，爱因斯坦的方程天然成立。毕达哥拉斯定理与广义相对论，有着一衣带水的关系。
毕达哥拉斯定理在中国，被称为勾股定理。西周时代，武王克商，周公与大夫商高讨论，商高说，“勾三，股四，弦五”，这个话不能算是一个定理，只算是一个特例。这记载于一本朝代和来历不很明显的书《周髀算经》。但该书又明确指出，周公的后人的一段对话，对话里明显表达了勾股定理。毕达哥拉斯定理说，一个直角三角形，它的两边的长度的平方和等于斜边的长度的平方。这个定理的证明方法很多，华罗庚年轻时候，也考虑过不少的证明方案。最流行的证明方案,恐怕是通过在一个边长为a+b的正方形内内接一个边长为c的正方形来作，利用面积相等，等到a的平方加上b的平方等于c的平方。
这个定理出现后，可能中国古代数学家找到了很多乐趣，生活充满七色阳光，数学家开始沉沦，之后中国的数学就开始落后了，科举考试也没有想到要测试一下数学能力，导致举国出现一种靡靡之音。后来到了17世纪，有一个叫Fermat的法国人，他本身是一个律师，但数学才情很高，其才情之高，足以睥睨天下，比如，在数论中，他就有Fermat大小定理传世。小定理说的是素数的一个性质，这个定理后来被欧拉推广，欧拉对比整数a小的素数的个数引进了关于a的一个函数。判定素数还有一个定理就是威尔逊定理。Fermat在一本书的扉页或者页眉那样的地方写道：我可以证明a的n次方加b的n次方等于c的n次方，如果abc不等于零，那它没有其他的整数解，这个我已经证明出来了，但这地方太小，写不下了。他写完这个后，也就没有多讲，后来就死去。这个命题传了出去，被称为Fermat大猜想,或者Fermat大定理，黑暗由此产生，几乎没有一个数学家能够证明它或者推翻它，所以，这个Fermat大定理独领风骚三百年。
后来，据说这成了一种文化，在纽约地铁站，墙壁上可以看到这样的话：Fermat大猜想我已经证明出来了，但我来不及写下我的证明，因为我的地铁来了。到了1995年左右，Fermat猜想真的被证明出来了，证明它的人叫Andrew
Wiles。证明过程艰辛而且痛苦，类似于越王勾践，Andrew Wiles深闭门而不出，十年磨一剑，终成大器。这是数论在近来的最高成就，数论远离物理学，相对论也很难与它有联系。虽然两者具有同样的品质:看上去很美。
(2)
毕达哥拉斯定理用到计算空间点之间的绝对距离。空间的两个点之间的绝对距离不依赖于坐标系的变化。这一点很重要，正如一个人的思想品德，不依赖于他所穿的衣服。陈省身有一个比喻，大概意思是，微分流形就是裸体的原始人，而黎曼流形是穿衣服的现代人。衣服相当于坐标系，是可以更换的。但在坐标系变换下，绝对距离是一个不变量。
闵可夫斯基（Hermann Minkowski，1864－1909）出生于俄国的 Alexotas (现在是立陶宛的Kaunas)。一看他的名字,一般人都能猜出他是俄国人，他要干的事情，是在时空中引进绝对的距离。这一点是惊人的，1908年当他抛出他的这个绝对的时空距离的时候，连爱因斯坦本人，也有点不太能够理解。他年轻的时候，他父亲是一个成功的犹太商人，但是当时的俄国政府迫害犹太人，所以当闵可夫斯基八岁时，父亲就带全家搬到普鲁士的 Konigsberg (哥尼斯堡)定居，普鲁士就是现在的德国，普法战争就是德国与法国的战争，所以在欧洲大陆上这个两个大国是有些宿仇的。当时的闵可夫斯基他们搬家以后，就与 Hilbert的家仅一河之隔。所以这一次搬家带给他和Hilbert终身的友谊，年轻的时候，Hilbert觉得，闵可夫斯基远比自己聪明十倍，有点沮丧。1909年1月10日，闵可夫斯基在正达创作力高峰时，突患急性阑尾炎，抢救无效，于1月12日去世，年仅45岁。(CHARON:天妒英才啊！！天妒英才啊！闵可夫斯、罗巴切附斯基，后面还有几位！！伟大的maxwell也一样)挚友Hilbert替他整理遗作，1911年出版《闵可夫斯基全集》。1900年闵可夫斯基在苏黎士的综合技术学校EYH教数学，学生的人来人往，多数已经在历史里湮没，但里面有一个人就是爱因斯坦。爱因斯坦对功课漠不关心，闵可夫斯基对此表示失望，说爱因斯坦是一只懒狗。1902年闵可夫斯基离开ETH，来到德国的哥廷根大学担任数学教授，当时是Klein邀请他去的。哥廷根大学领导世界数学潮流，当时有希尔伯特，克莱因，那样的巨人们在那里。1854年，Riemann也就是为了在哥廷根大学得到一个讲师席位，发表了他那划时代的演讲。 闵可夫斯基把时间和空间等同起来，构成一个整体。1907年，Minkowski猜想可以用非欧空间的想法来理解Lorentz和Einstein的工作，他认为过去一直被认定是独立的时间和空间的概念可以被结合在一个四维的时空：ds^2 = -dt^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2。这种结构后来被称为"Minkowski时空"。根据这个度量，相对论的精髓思想被用简单的数学方式表出。这些工作为狭义相对论提供了骨架。诺贝尔物理奖得主M. Born说，他在Minkowski的数学工作找到了“相对论的整个武器库”。用现在的语言讲，闵可夫斯基认为时间和空间作为一个整体存在，这个整体，被称为四维时空。
换一个说法,就是在广义相对论中,没有先验的时间，为了得到时间，先到时空做一个3+1分解。因为4维的东西没有人见到过，所以没有人可以想象出来4维的时空到底是一个什么，象一个面包还是一个杯子，全不是。只好来一个比喻，时空就好象是一根香肠，可以被切片，每一个切面，才是空间。但3+1分解是人为的，它把破坏了本来的对称性。
狭义相对论最重要的思想正是把单独的时间和空间给埋葬掉了。
闵可夫斯基说：“我要摆在你们面前的空间和时间的观点，已经在实验物理学的土壤里萌芽了……从今往后，空间和时间本身都将要注定在黑暗中消失，只有两者的一种结合才能够保持一个独立的实体。”
假定2个事件之间的时空间隔是一个不变量，那么时间必然与空间联系在一起，构成一个整体去描述那个不变量。这是爱因斯坦1905年发现的狭义相对论的全部。虽然当爱因斯坦听到闵可夫斯基的发现时，不是特别在意。爱因斯坦笑话说：闵可夫斯基用那么数学那样复杂的语言来描述狭义相对论，物理学家简直弄不清楚了。
4年后，1912年，爱因斯坦认识到，自己不应该笑话闵可夫斯基。因为要把引力与狭义相对论结合起来，闵可夫斯基的观点是很优雅的。
（3）
狭义相对论考虑的是完全的平直时空，这样的时空是爱因斯坦方程的一个解，被称为闵可夫斯基时空。时空上面的度量是闵可夫斯基度量，保持度量不变的变换是庞加莱群。这个群是10维的李群。但闵可夫斯基时空没有物质，引力场退化，在经典广义相对论看来，这是一个虚空，没有多少意义。
Minkowshi时空是平坦的，看上去平淡无奇。数学家唐纳森等人在1983年发现，4维度的Minkowshi时空流形（是Euclidean空间，它与Minkowshi时空流形无法建立整体的微分同胚，但可以局部微分同胚）具有无穷多个微分结构。这个发现利用的是非经典的量子场论，结论是惊人的，因为其他的R^n(n不等于4)的流形上都只有唯一的微分结构。Minkowshi时空那样特殊，而人类生活其中，这简直成了又一个上帝存在的明证。
但在当时爱因斯坦和闵可夫斯基那个时代，人们的意识还没有到底这样深的程度。Maxwell的电磁场理论已经无比成熟，这是在Minkowshi时空上的电磁场方程。但有些问题很少被人注意到，比如因为电磁场的存在必然引起时空的弯曲，所以不存在真正意义上的平直时空的Maxwell方程。
而其他的问题层出不穷，后来的相对论学家温茹也用量子场论中的波格留波夫变换等技术发现，
在Minkowski时空上的加速观察者，他将观测到自己处在热浴之中，也就是说，这组加速观察者看不到整个Minkowski时空，而是存在一个看不到的区域，就是有一个视界，这个视界象一个黑洞视界一样，在热辐射粒子。Minkowski时空显示出奇怪的另一面，这些事情的发生，引导人们反躬自问起来。对于看上去貌不惊人的Minkowshi时空，人们到底晓得多少.。一直以为Minkowshi时空是真空，但事情显得很复杂，它似乎象一个貌似平静，但诡波谲流的大海。
第五章 经典场
(1)
牛顿的万有引力是不需要媒质而瞬时作用的力，虽然牛顿也说，想象引力能在真空中瞬时地和超距地作用是荒谬的，数学家笛卡儿同时是一个哲学家，他有一些哲学思辩，主要的思想是想说明真空不是一无所有的虚空。19世纪，同样的超距作用问题重新出现在库仑定律里——两个电荷在真空中通过瞬时力相互吸引或排斥。19世纪的法拉第出身贫苦，他父亲是打铁的,象他这样的情况,要想做出好的工作,需要比别人加倍的努力。他13岁就开始在钉书的店里搞装订做学徒。当时是维多利亚时代，流行教育讲座，每次要收钱1先令，但法拉第没有。后来在新落成的皇家研究院有了免费讲座，是院长戴维主讲的。二十一岁的法拉第在他的内心里运筹帷幄，要求拜见戴维,后来他成功地成为戴维的助手，1813年他还参加了环欧的科学旅行。他见到了许多著名的科学家，象安培、伏特和盖•吕萨克等，其中几位学者立即发现了这位年青人的才华。法拉第终于这样出人头地，但有时还不免被老板戴维的老婆叫去干一些贴身男仆才干的事情。法拉第是一个英雄人物。他相信，磁场能产生电流，于是做了许多实验,小学写过作文的人全知道法拉第有一本传说中的日记,那里每一天记着同样的几个字:“今天依然没有成功。”这说明锲而不舍是多么地重要。物理学实验不同于社会学的实验，戊戌变法失败后，政治教材告诉我们，这一失败说明资本主义的改良道路不适合当时的中国，辛亥革命的果实被袁世凯窃取，民主被帝制复辟，说明资本主义的革命道路不适合当时的中国，于是，一个伟大的历史决定论就浮现了，只有社会主义才能挽救当时的中国。但是，在物理学实验上，法拉第需要却是那种不断失败，不断战斗的精神。 日复一日，十年过去了。 直到1831年，他失手把磁铁掉进了线圈之中，电流计在电光火石间动了一下。磁场产生了电流，他终于成功了！！
法拉第是这个黑暗长夜时代的光明，他是召唤电的天使，是后世唯一的神话之一。
牛顿认为存在瞬时超距作用,法拉第提出了场的观念。认为能量存在的方式之一就是场，物体之间没有相互接触也可以通过场发生相互作用。这就是经典的场。如果把这个经典场量子化，得到的就是传递相互作用的媒介子，它们是自旋为整数的玻色子。后来的1930年代日本科学家汤川秀树提出了介子，用来传递中子和质子之间的相互作用。我第一次读这样的科普文章，看见书上画了两个小孩，他们把一个小皮球抛过来抛过去。真是太有趣了，这个小球，就是传递相互作用的介子。
后来28岁的麦克斯维选择了一个风和日丽的日子去拜访法拉第，后者已经是一位68岁的老头，法拉第说：“你是唯一真正理解我的人，但你不应该停留于用数学来解释我的观点,你应该突破它。”Maxwell听从了这个意见。
（2）
Maxwell1831年出生在英国爱丁堡。1831年是一个非凡的年份。因为这一年，法拉第发现了电磁感应。霍金是一个出生时间选得更巧的人，他说他出生的那天，是伽利略逝世300周年忌日！
Maxwell不善言辞，他是在英雄时代唯一一个可以与Newton抗衡的人。他爸爸是有科学技术爱好的律师（有的说他爸爸是工程师）。他16岁的时候上爱丁堡大学，有的同学说他爸爸是土财主，Maxwell是一个土包子。三年后，19岁的他到cambrigde三一学院，为一窥上帝之书。再后来Maxwell就留在Cambrige教书，经常在玫瑰花开满花圃的夜晚对着花刺不住地演讲，从而达到给学生上课时候口吃清楚地程度。他下的苦工仅次于古希腊某位著名的结巴演讲家，后者每天清晨把石子放舌头底下练口才。
电磁理论的经典程度让人吃惊，包含库仑、奥斯特、法拉第、毕奥——萨伐尔、安培这些人发现的定律。丹麦物理学家奥斯特在上一堂电流实验课时，一根磁针碰巧正放在他的装置近旁。他注意到，每当接通电流时，磁针就发生偏转。这个发现之后才几个星期，安德烈•安培（Anure rtillpere）提出了一个理论，解释说可能是变化的电力产生感应磁力。于是，一个神秘的怪兽才开始被人类驯服。磁场显然是一个很奇怪的东西，后来的爱因斯坦回忆道，他小时候一直着迷挖空心思的一个玩具就是指南针。随后的一系列实验工作充分地证实了电和磁现象之间的密切关系。24岁的Maxwell发表了关于磁力线的第一个文章，题目叫做《法拉第的力线》，有一些清楚的数学表达。Maxwell比起法拉第来，数学见长。1862年Maxwel发表了第二篇论文《物理力线》，进一步发展了法拉第的思想，得到了新的结果：电场变化产生磁场，由此预言了电磁波的存在，并证明了这种波的速度等于光速，揭示了光的电磁本质。1864年他的第三篇论文《电磁场的动力学理论》，从几个基本实验事实出发，运用场论的观点，以演绎法建立了系统的电磁理论。1873年他出版了《电学和磁学论》，全面地总结了19世纪中叶以前对电磁现象的研究成果，建立了完整的电磁理论体系。这个理论体系是一幢在经典的土壤上建成的大厦，但这个大厦的建成，召唤着相对论的诞生。
Maxwell把那些定律统一起来，现在的大学物理教材上一般写成四个方程构成的一个方程组。这样的统一具备非凡的美感，可能更加重要的一点是，Maxwell的方程组预言一点：光也是电磁波。牛顿时代以来，对于光是什么，讨论甚嚣尘上，但没有很好的答案，Maxwell基本用他的数学，回答了这个问题。光存在于这个世界，真的是太重要了。对于光，最精辟的说法是：上帝说要有光，于是有了光。在相对论中，光可以被看成是类光矢量，或者说零矢量，这样的零矢量本身不是零，它能够存在，在于，相对论在时空流形上配置了一个洛仑兹号差的度量。
按照现代的微分几何,闵氏时空上的真空Maxwell方程组可以写为:
dF=0 （1）
d*F=0 （2）
这是本书里出现的第一个方程组。作为一本正经的科普读物，这样的数学公式很可能引起阅读量比预期减半，读者纷纷逃逸。但这个方程实在是太美了，美到极致是疯狂，著者我也就不管了。民间科学家读到这里，多数人一笑而过，少数人会觉得莫名其妙，或者痛苦异常，睡觉也愤怒。（这是比较形式化的东西，不过确实可以让民科为难）为什么这里的Maxwell是这样写的。于是准备了一段解释。
方程（1）其实就是U（1）纤维丛上的毕安基恒等式，一个无挠的联络使得它恒成立，在这里，F相当于曲率2形式。这个方程对应于Maxwell方程组里的两个，其中一个说明，磁场的散度为零。
方程（2）里面的星号表示的是Hodge对偶。
如果写成F=dA，其中A是联络，那么，一些更加美妙的结论可以被推出来……引进余微分算子以后，可以与外微分算子一起组成lapalce算子，然后，可以从真空的Maxwell方程组中推出波动方程来。当然，在这个过程中——物理系的本科生全知道——要加上lorentz规范条件。
这就是一整套关于电的理论。1898年汤母逊发现了电子后。这个理论开始一次又一次经受了实验的验证。但是麦克斯韦的方程写成四个一组的方程组，很多人会觉得有点美，但不是很对称，因为，他的方程里有电荷，但没有磁荷。其他的问题是一个静止电荷具有不随时间变化的径向电场。但当电荷运动时，其周围电场会自己调节到新的位置，场的变动以一个有限速度即光速传播，这就是辐射场。静电场和辐射场的区别，也引起了人们的注意。电磁理论的影响像万有引力定律一样巨大。麦克斯韦死后8年即1887年，亨利希•赫兹（Heinrich Herzi）在实验室成功地造出了电磁波。20世纪初，古列莫•马可尼第一次实现了跨越大西洋的无线电联系，电讯时代从此开始。技术的光明比之前的任何一个时代还要光亮。
（3）
Maxwell场方程的建立为后来狭义相对论的建立奠定了理论基础，因为它在伽利略变换下是被破坏的，也就是说，假如只做空间上的变换，而保持时间不变，Maxwell场方程就要被破坏。于是严重的问题就出来了，直接导致了lorentz变换的出现，这迫使人们接受一个四维的时空观。所以，在相对论出现的道路上，Maxwell场方程是一个丰碑。一直到现在，Maxwell场方程是完美无暇的，它在广义相对论中的基本不需要修改。
爱因斯坦的场方程出来以后，出现了很多与麦克斯维场方程的比较。其中一个特点是Maxwell方程是线性的，爱因斯坦的方程是非线性的。另外一个是真空Maxwell方程具有共形不变性，但真空爱因斯坦方程不具备这样的性质。后来，研究经典场的时候，一套旋量分析的方法被引进来，广阔的舞台打开了。科学家开始在这个宇宙的舞台上演奏华丽之弦，跳苍凉之舞。
第六章 狭义相对论
(1)
1900年，世纪发轫，年度的英雄人物之中，希尔伯特在巴黎数学家大会上提出了那著名的23个世纪难题，其中不包括庞加莱猜想，poincare猜想出现于1904年，这个猜想说假如某三流形具有与三维球面一样的同伦群，那么这个三维流形只能是三维球面。1900年，在英国皇家学会的新年庆祝会上,著名物理学家开尔文勋爵作了展望新世纪的发言。回顾过去峥嵘岁月,
他充满自信地说:物理学的大厦已经建成,未来的物理学家只需要做些修修补补的工作就行了。只是明朗的天空中还有两朵乌云，一朵与黑体辐射有关，另一朵与迈克尔逊实验有关。
那时候是世纪之初，看来有一种新时代的浮躁。实际上，当时的物理学大厦压根就是一小庙，更广大的天空和宇宙还在神秘之中。数学和物理学面临一个大雨欲来风满楼的局面，相对论是一个交叉地带，数学家庞加莱和希尔伯特也在相对论上做过工作。庞加莱得到了lorentz变换，希尔伯特在爱因斯坦之前得到了正确的广义相对论场方程。爱因斯坦去哥廷根报告他的工作的时候，一开始得到的场方程是R-ab=T-ab。其中R-ab是里奇张量。
在爱因斯坦之前，物理学家lorentz和数学家poincare都已经在这个方向上作了大量的工作，用现代语言来讲，平坦闵氏时空的保度量变换就是poincare变换群，而lorentz变换群就是poincare变换群的一个子群。但poincare似乎是完全接受不了爱因斯坦的狭义相对论，虽然两个人的结果是几乎一样的。所以poincare虽然一辈子作了不少关于相对论的演讲。但是他从来就不提起过爱因斯坦与相对论这两个词。
某个时候，爱因斯坦的母校ETH(苏黎世理工学院)要聘请爱因斯坦当教授，poincare写了一封信，大大的夸奖了爱因斯坦一番,但最后一段比较微妙：“我不认为他的预言都能被将来验证，他从事的方向那么多，因此我们应该会想到，他的某些研究会走向死胡同。但在同时，我们有希望认为他走的某一个方向会获得成功，而某一个成功，就足够了。”
poincare于1912年去世，他的贡献可以彪炳千古，其在微分几何上有一个poincare引理，说的是一个闭形式能不能整体地写成一个恰当形式。这个引理说，如果微分形式F=dA，称F是恰当的，那么dF=0；如果反过来，dF=0，称F是闭的，但不一定能有整体的F=dA，要想实现整体的F=dA这样的结果，要求流形是可以缩为一点的。poincare引理言简意赅，但很容易引出高斯-斯托克斯积分公式，也可以引出纤维丛的示性类，所以著者可以主观地说：“把一个微分几何学家和广义相对论学家从睡梦中摇醒，问他什么是poincare引理。假如答不出来，那他一定是假的。”poincare去世了，有个数学界的组织者给爱因斯坦去了一封信，说要出个纪念文集来纪念poincare,爱因斯坦拖了四个月才回信说，由于路上的耽搁，信刚刚收到，估计已经晚了，偏偏这位组织者不死心，说晚了也没关系，你写了就行。于是爱因斯坦又过了两个半月回信说，由于事务繁忙，实在没力气写了，然后不了了之。
经典物理学的终结者是麦克斯韦。他同时在天体物理学、气体分子运动论、热力学、统计物理学等方面，都作出了卓越的成绩。普朗克（Max Plank）说：“麦克斯韦的光辉名字将永远镌刻在经典物理学家的门扉上，光芒万丈。从出生地来说，他属于爱丁堡；从个性来说，他属于剑桥大学；从功绩来说，他属于全世界”。从研究方向看,很多人可能与他有一定的相似性，李政道也是。李政道在天体物理学上，把钱道拉塞卡极限从5.6倍太阳质量推到了1.4倍太阳质量，在统计物理方面，李政道证明了二维空间不存在湍流，后来又与杨振宁合作证明了单位圆分解定理。湍流是非常重要的，国内的极早就开始研究相对论的周培源教授，就化了大量力气来研究湍流。瓦特发明蒸汽机的之前，他注意到水的沸腾可以推动茶壶的盖子，但后来研究流体力学的人发现，沸腾是一件很严重的事情，在那个时候，热传导方程就不能再使用了。在那里，人们看到了湍流，纳维叶-斯托克斯偏微分方程，可以描述湍流。没有问题，湍流一直跟生活关系密切。
1900年，爱因斯坦大学毕业，天之骄子，难免意气风发，爱因斯坦试图留校当物理教授韦伯的助教，那样的话，爱因斯坦可以继续在那里读书然后得到博士学位。但是韦伯似乎不喜欢爱因斯坦，他要了两个外系的学生当助教，偏偏不要爱因斯坦，于是，爱因斯坦非常失望，对于前途的打算，被韦伯悉数破坏。在他1905年建立狭义相对论之前,爱因斯坦的人生似乎波澜四起,命运多舛，他还没有结婚,但女朋友米列娃就给他生了一个女儿。据说这个女儿后来被爱因斯坦当作养子来抚养，爱因斯坦的父母反对他与米列娃结婚。他找不到工作，四处碰壁，还做了一阵家庭教师，生活显示出巨大的不稳定性，就象是一个蜘蛛网，罩了爱因斯坦一脸。为了找工作，爱因斯坦发了不少的求职信，但没有一个成功，爱因斯坦认为，很多用人单位要人，但他们往往去大学里打听他，韦伯一定说了不少坏话。1902年，在他的朋友格罗斯曼的帮助下，爱因斯坦终于在伯尔尼的瑞士联邦专利局找到了一份稳定的工作。
早在16岁时，爱因斯坦就了解到光是电磁波，他想，如果一个人以光速运动，他看到的世界会是一个什么样子？爱因斯坦的少年时代的这个问题，一直引导着他前进，后来使得他博得了冷酷历史的嫣然一笑。爱因斯坦之所以那样想，是因为惯性参考系的相对性。爱因斯坦年少时的问题具有他思想上的光芒，但用光子来做参考系是没有意义的。但参考系是重要的，中国古代有庄周梦蝶的故事，很是朴素，大致是在说同样的事情。我上大学一年级的时候，第一次听到这个故事，觉得很惊人，朴素的思想，很大的奥妙。在运动学上，如果一个苍蝇绕着一个静坐在凳子上的人的脑袋打转，牛顿时代的看法是，苍蝇与该人的地位是平等的，因为在苍蝇看来，人是在绕着自己在打转。但事情远非那样简单，在人和苍蝇这个系统的背景下，有一个Minkowski惯性系，这个参考系中，人的世界线是一条测地线，而苍蝇的世界线是螺旋上升的一条曲线，不是测地线。通俗地讲，在四维时空里看来，苍蝇和人，不具有同等的地位。在时空图中，人的世界线是直线，是Minkowski背景时空上的测地线。而苍蝇的世界线是螺旋线。到了这里，一个新奇的世界已经展开。时间这个维度被加了进来，一个四维的参考系，显得比三维的参考系要多了一些新颖的东西。“世界线”这个词语，变成狭义相对论中最时髦的词语之一。
（2）
狭义相对论的最主要的公式是洛伦兹变换，是洛伦兹最先给出的，但相对论的创始人却不是洛伦兹而是爱因斯坦。洛伦兹也认为，相对论是爱因斯坦提出的。
洛伦兹变换考虑惯性参考系之间的线性变换。假如是非线性的变换，就可能把一个没有零温度的惯性参考系变成一个热辐射的参考系，这就是林德勒变换。
从麦克斯韦电磁可以知道电磁波以光速传播，而且光速是一个恒定的常数。伽利略相对性原理说，物理规律在一切惯性系中都是相同的。麦克斯韦方程组在所有惯性系中都应成立，这就是说，光速在任何惯性系中都应该相同，都应是同一个常数c 。但同时按照伽利略相对性，惯性系之间可以差一个相对运动速度v 。依照速度(矢量)迭加的平行四边形法则，电磁波(即光波)的速度如果在惯性系A 中是c，那么，在相对于A 以速度v运动的另一个惯性系B 中，就不应再是c 了，而应是c＋v或c－v。但是，麦克斯韦电磁理论说光速只能是c ，不能是c＋v或c－v。那么，爱因斯坦意识到，一定有什么地方出错了。
下面的三条理论，肯定有某一条是错误的了。
(1). 麦克斯韦电磁理论，它要求光速只能是常数c；
(2). 相对性原理，它要求包括电磁理论在内的所有物理规律在一切惯性系中都相同；
(3). 伽利略变换，作为三维空间矢量迭加原理的平行四边形法则。这一点后来看来不满足四维的相对论，但对于一个四维矢量，这个平行四边形法则是否能继续使用呢？四维速度还能按照这个法则合成吗？粗略地说，数学家哈密顿曾经研究四元数，用了10年的时间，才知道，四元数是不满足交换律的，也就是说，对一个四维矢量，AB不等于BA，这样，平行四边形法则是不成立了。四元数空间实际上和单位矩阵和pauli矩阵空间是同构的，但矩阵不满足交换律。细致地说，单位四元数是一个四维空间的三维球面，而三维球面正好是SU（2）李群。pauli矩阵恰好是SU（2）李群的李代数的基。在这里依稀可以看到，洛伦兹群和su（2）群有了某种莫名的关系。这个关系就是旋量。
爱因斯坦想的没有那么细致，但他认定，第（3）条是错的，在光速不变原理和相对性原理的基础上，他推出了两个惯性系之间的坐标变换关系，这个关系就是洛伦兹等人早已得出的变换公式。
不过，爱因斯坦是在不知道洛伦兹等人的工作的情况下，独立推出这一公式的。更重要的是，爱因斯坦对该变换的解释与洛伦兹完全不同，时代证明，在物理解释上，爱因斯坦是正确的。于是，一个被巩固了地位的狭义相对性原理出场了：“所有的惯性参考系中，物理规律是一样的。”
狭义相对论的背景时空是Minkowski平坦时空。相对性原理导致了朗之万提出Twins悖论。这个提法简洁明了，使得哲学家再次被惊醒了，学术非常之争鸣。哲学家亨利.伯格森后来承认，朗之万1911年4
月的演讲，“第一次唤起了我对爱因斯坦观念的注意”。
双生子悖论使人困惑。劳厄1911年写信告诉爱因斯坦，反对相对论的共同理由“主要是时间相对性和由此产生的悖论”。劳厄在1912年写的世界上第一部相对论教科书中说：这些悖论和其它有关时间相对性问题具有“伟大的哲学意义”。附带地说，第一，当年的Twins悖论具有非凡的影响力，它极大地推动了狭义相对论思想在民间的传播；第二，在早期，写作相对论的文章的人中，有一个研究生，他是W.pauli，他的文章后来出了一本书，这个人后来在量子力学领域相当杰出，其批评意见无比尖锐刻薄，被称为“上帝的鞭子”。
Twins悖论的基本意思是说：在地球上有一对可爱的双胞胎姐妹，有一天，姐姐坐了极快速的火箭吧，去外太空去旅游了一番。等她回来，发现妹妹已经是人老珠黄，昭华已逝……而自己依然是貌美如花。既然相对论说，时间是相对的，那为什么会出现这样天上三日，地上三年的事情呢？现代的几何语言给出了一个解释：因为妹妹和姐姐的世界线不一样，妹妹的世界线是Minkowski时空里的测地线，而姐姐穿越大气层再回来她肯定不是惯性运动所以她的世界线不是测地线。而世界线的长度表示生命的固有时间流动。更因为Pseudo-Riemannian时空的切空间（Minkowski时空是其特殊情况）成立反三角形性质：两边之和小于第三边。
天地者万物之逆旅，光阴者百代之过客。
当李白把时间和空间分离开来理解的时候，他没有想到的是，把时间和空间结合起来理解，具有非凡的快感。往来成古今，26岁的爱因斯坦，用他深邃的眼眸照亮了黑暗的时空。
第七章 微分几何杂谈
（1）
据说几何学起源于丈量大地，微分几何学里有一个词语，"测地线",测地线在黎曼几何中是是2点之间最短的线，但时空具有非正定的号差，是伪黎曼几何，或者说是lorentz几何，所以，测地线是时空2点之间最长的类时线。当一开始，古代的人们发明平面几何的时候，也同时撞见一些问题，比如，能不能把用尺规作图把一块圆的土地等面积地变换成一个正方形的土地，化圆为方一直困绕着古代数学家，后来这个问题被证明是不能实现的。另外一个问题是这样的,给你一根长度一定的绳子，叫你去圈一块土地，怎么样子圈地，才能够得到最大面积，这就是等周问题。如果这条曲线不是平面曲线，这个等周问题更加复杂，所谓Plateau问题或者极小曲面问题，其实就是一个非线性偏微分方程。等周问题和最速降线问题一样,促使变分方法的诞生，在物理学上，这就是人们津津乐道的真理之一，“对作用量变分为零得到Euler-lagrange方程”。因此，几何学的这些问题非常朴素，但背后包含了巨大的玄机，其中lagrange的分析力学的思想，区别与牛顿，lagrange曾经写了一本书，这本书是讲力学的，但全书没有一个图，lagrange非常自豪。 这本书Lagrange写了三十年，名为《分析力学》，把力学变为分析学的分支。
古代的人不知道大地其实是一个2维球面。后来，航海家麦哲伦环球航行，他是一个无比成功的冒险大王，他当然知道，假如大地是一个正方形，那么，可能有一天，他麦哲伦会走到大地的尽头，然后扑通一下掉进无底的深渊。历史总是垂青少数幸运的青年,后来，麦哲伦成功地回到了原来的出发点，大家才知道，原来真相只有一个，是这样的：我们居住在一个球面之上。但如若事后诸葛，仔细看一下，人类的武断似乎让人苦笑，其实，麦哲伦能够环球航行，不足以证明大地是一个球面，因为，还有其他的可能，比如环面，柱面,Mobius带，Klein瓶。其实要发现大地是一个球面，是一件很麻烦的事情。我们可能不得不站在高处，比如卫星之上，向下俯瞰，才能得到一个初步的结论，这是一种把流形嵌入在高维空间的方法。
2维球面具有很多性质，在拓扑的意义上，它的欧拉数为2。在几何上，它可以是最大对称空间，处处具有同样的曲率。在纤维丛上，2球面上的2形式张量场不可能整体是恰当的，也就是不可能存在单一的电磁势A使得处处满足F=dA，这就是poincare引理，于是我们得到chern示性类。
在19世纪末，美丽法国的小城南锡。poincare小的时候，就是高度近视眼。所以他上课全靠听力。由于运动神经的不协调他从小就不能与小伙伴一起玩，童年非常之不幸。在数学上，他后来做出了伟大的贡献。懂数学的全知道，在三维空间，标量场的梯度取旋度为0，矢量场的旋度的散度为0，这其实可以用外微分的语言表达为poincare引理。
poincare引理认为，假如流形可缩为一点,假如它上面的一个微分形式是恰当的，那么它必定是闭的。这个断言非常之强，可算是当时数学上的颠峰之作。poincare是数学物理的最后一个全才，他研究3体问题，在这个问题上,有一个poincare-birkhoff定律，这个定理是关于不动点问题的，据说在保面积映射中,如果出现在相空间的环面上的两个周期P,Q的比例是有理数,那么上面的流转过有限周以后必定回到原来的点,如果用poincare截面来描述的话就是在poincare截面上出现了点的回复,从而实际的映射点是离散分布在圆周上的有限点。poincare于1912年猜测,这种情形下的映射有2kQ个不动点,一半稳定,一半不稳定,这被称为"poincare最后猜想",在Harvard大学的Birkhoff证明了这个猜想,声名鹊起。这一映射模型是poincare在研究限制性三体运动中抽象出来的数学模型，如果在相空间的环面上的两个周期P,Q的比例是无理数(不是有理数),那么环面上的流就是拟周期运动,永远无法在poincare截面上出现点的回复,从而实际的映射点是连续分布在圆周上的无限多个点,这个情形就要用Moser定理来解决。（这个是poincare-birkhoff不动点定律，不是poincare-birkhoff定理）现时代要培养全才，已经没有可能，因为pioncare是断后的那一个人。
poincare与klein研究3维的空间。这个3维的空间是深山老林，很少有人能进去以后不迷路。这个Felix•klein是德国人，因为研究瓶子而闻名世界。说到klein瓶已经高度抽象，它是2个mobius带子粘起来的结果，但它不能在3维空间中被粘起来。poincare的问题是是不是任何3维的流形都同胚于3维球面？这个问题成为亘古难解的poincare猜想。Yau.s.t认为人类连poincare猜想也搞不清楚，那就是连司空见惯的3维空间也没有真正研究好。可是,历史总是猛烈发展,相对论已经在另外一个来自瑞典的物理学家Oscar•klein启蒙下进入高维度研究。这个启蒙运动叫做“卡鲁扎——klein理论”。
2）
微分几何大致分为三种，黎曼几何，辛几何，复几何。这是根据微分流形上的度量来分类的。在相对论看来，黎曼几何不是最好的，最好的是伪黎曼几何，上面有因果结构；辛几何是有用的，但可是描述哈密顿系统，现在最流行的圈量子引力，就是从哈密顿系统里开始做量子化的；复几何与彭罗斯一直推销的扭量理论相关。陈省身考虑了复示性类，明显区别与庞德里亚金和惠特尼的示性类不同，但取得最大的成就。因为复数比实数要优越，要自然，正如任何多项式方程在复数范围里全有解。
杨振宁写了一首诗歌，来赞美陈示性类。
"天衣岂无缝，匠心剪接成。浑然归一体，广邃妙绝伦。造化爱几何，四力纤维能。千古寸心事，欧高黎嘉陈。”
最后一句，欧高黎嘉陈。这一句话里面，包含五位杰出的几何学家。按照我第一次读到这个诗歌的经历，我有点吃不准，那个欧字，是欧拉还是欧几里得，欧拉在几何学上的贡献我不是很清楚，因此是欧几里得。欧拉是18世纪的数学巨匠,据说在他临死之前,他说了一句话:"我死了"。说完他就死去，很是神奇。数学大家的情操，表露无疑。欧拉生前，是处理无穷级数求和的专家，自然数倒数的平方和是一个难题，当时欧拉的老师John.伯努利也弄不出来，但欧拉算出来了，答案是pi的平方除以6。其证明过程相当于把n次多项式方程里的韦达定理推到n等于无穷。
高斯从小就是是一个神童，他10来岁的时候就会做等差数列求和，1加到100等于5050。这个故事现在家喻户晓，不少家庭用这个来检验自己家的小孩子是不是有数学天分。他青年的时候做17等分圆周的时候,后来就完整地研究了曲面和曲线,还得到很多重要的微分几何里的定理,其中一个叫"高斯绝妙定理",这个定理说明2维曲面的黎曼内禀曲率与外部空间无关。 黎曼1854年的那个著名演讲的题目是《几何学基础之假设》，微分几何学开始研究内禀曲率。 嘉当是法国数学家，是陈省身的导师。 陈省身是中国数学家，2004年12月在南开大学去世，标志一个数学时代的结束。丘成桐先生题写挽联寄托对陈省身老师的哀思。
呜呼，大厦倾矣，二千年勾弦求根，割园三角，终不抵陈氏造类， 孤学西传，置几
何于大观，扬华夏于世界。
哀哉，哲人萎乎，卅五载提携攻错，赏誉四方，犹未忘柏城授业，中土东归，传算学
之薪火，立科学之根基。
弟子 成桐 敬挽
2004年12月4日”
（3）
陈省身年轻的时候，推广了微分几何学上很重要的Guass-bonnet公式。Guass-bonnet公式具有非凡的影响，因为它联系了局部几何性质与整体拓扑性质，把看上去很不显然的两个东西联系在一起了，数学的统一性，变的非常明显。
他在1980年访问中国科学院理论物理研究所，写了一个诗歌，表达了更深的意思，数学和物理，具有统一性。这个诗歌高屋建瓴，人间难得几回闻：
“物理几何是一家，共同携手到天涯。黑洞单极穷奥秘，纤维联络织锦霞。进化方程孤立异，对偶曲率瞬息差。筹算竟有天人用，拈花一笑不言中。”
早期的相对论，因为没有用到整体微分几何，数学看上去有一些麻烦，数学技巧也显得不是很高，Hawking写道，费曼曾经描述过1962年的一次华沙召开的引力会议，对当时的相对论研究者的低能表示了一定的轻视，到了1960年代，彭罗斯(R.Penrose)用整体微分几何证明了相对论里面的第一个奇性定理，结果开创了新的局面。penrose还大刀阔斧地在广义相对论中引进了旋量。就我自己的认识来说，dirac方程的解就是一种旋量。但在4维空间，最小的旋量是2维的,这就是不带质量的中微子，用weyl方程描述。对于最小的旋量，推广地说，如果n为偶数，n维时空之上,p=n/2-1,则,最小的旋量维数是2的p次方。如果n为奇数，n维时空之上,则p=n/2-1/2,最小的旋量维数是2的p次方。在任意n维矢量空间,给定任意号差的黎曼度量,全可以定义旋量。但在流形上整体定义旋量场，却要考虑到流形的整体拓扑性质。而最近很热的扭量，其实就是一对旋量，满足一个约束方程。
第八章 广义相对论
（1）
狭义相对性原理说，“所有的惯性参考系中，物理规律是一样的。”基于狭义相对性原理和光速不变原理，爱因斯坦在1905年得到了狭义相对论。爱因斯坦得到狭义相对论的那一年，发表了著名的三篇文章，其中第二篇里叙述了E=mc^2。E=mc^2后来引起大众的关注，因为这个公式认为，质量和能量是等效的。在这个公式里，m不是静止质量，而是运动质量。
一百年过去了，现在看来，狭义相对论是很自然的想法，因为4维平坦时空的Maxwell方程具有与生俱来的Lorentz协变性。但惯性系不是一个自然的概念。爱因斯坦不是一个普普通通的男人，他1905年左右做了一些光电效应这样的文章，然后继续回到相对论，决定抛弃惯性系。在物理学里，惯性系是一个有特权的王国，爱因斯坦想，这个物理世界应该是民主的，不应该存在具有特权的参考系。他有了这样的思想——姑且称之为“参考系的民主”。做M理论的人可能更加深刻，他们了解胡耳和汤森的思想：膜的民主。
民主是一样好东西，近代中国在1919年开始了五四运动，疯狂追寻民主，这个运动的思想根源是新文化运动，当时人们大声疾呼“德先生”和“赛先生”，知识分子试图挽中国之狂澜于既倒。蔡元培希望请最大的“赛先生”爱因斯坦来中国讲学。那时，正是爱因斯坦和相对论名声大噪的时候。蔡元培通过各种渠道，一再邀请爱因斯坦访问中国，爱因斯坦也表示愿意访问中国。然而好事多磨，由于种种原因，爱因斯坦都未能成行。有的文章称：“直到１９２２年，事情才有了眉目。爱因斯坦将访问日本的消息传来，蔡元培又一次发出邀请。爱因斯坦也回信了，双方就访华的条件，协商了一下。蔡元培提出，如能到北大演讲，愿出酬金每月一千元。下榻处选在最高档的北京饭店。爱因斯坦倒也直率，他在回信中提出，每月一千元的酬金，数目尚可，但是要改成一千美元。住北京饭店，他是满意的，不过要按两人付费，也许他是考虑带夫人同行。一千美元的酬金，在当时是非常高的，因为那时爱因斯坦尚在德国，而德国‘马克’正在经历一场大贬值。对于一位在德国任职的科学家来说，即使是爱因斯坦这样的著名科学家，一千美元也不是一个小数。再说，北京饭店的客房也是以昂贵著称的。然而，蔡元培先生还是答应了爱因斯坦的这些条件。蔡元培认为，爱因斯坦如能光临北大，比什么鼎鼎大名的政治家、军事家都重要百倍！于是，北京饭店做了相关的准备，北京大学师生更是满腔热情、积极筹备，还特意组织了多场报告会，由丁西林等人讲解相对论，（丁西林后来是北大图书馆的）一时间掀起了一个宣传、普及相对论的高潮。可惜的是，由于种种原因，爱因斯坦最终未能访问北京，他只是在往返日本的途中，在上海停留了两天，就匆匆地走了。”这件事情到现在已经是明日黄花，但真相现在还有人在争论之中。可以肯定，爱因斯坦不是一个会轻易放人鸽子的人。
回过头看，万有引力的大小依赖于两个物体之间的空间间隔，但在四维几何里，3维空间间隔不是一个不变量，参考系改变以后，这个空间间隔就变化了，于是万有引力大小就变化；万有引力定律与狭义相对论的矛盾水火不容。这个矛盾大致可以这样看出来，两个物体之间的空间间隔依赖于观察者，所以在不同的惯性观察者看来，2个物体之间的万有引力大小依赖于观察者。这区别于库仑定律，在库仑定律中，除了电力还有磁力，在电荷加速的时候还有辐射。
万有引力定律对吗？狭义相对论对吗？爱因斯坦开始陷入了深深的思考。后来他意识到，应该抛弃惯性系了，他于是抛弃了惯性系。惯性系成了一个完美的弃妇，而新人却更胜旧人。在一定意义上，下面三个原理是一致的：
1。广义相对性原理。
2。广义协变性原理。
3。微分同胚不变性原理。
到时候了，爱因斯坦提出了广义相对性原理，“所有的参考系中，物理规律是一样的。”有了这样一个原理，爱因斯坦要做的事情就是思考一下万有引力了，他要做的时候很简单，就是要让万有引力理论不依赖与参考系，不依赖于观察者。因为，爱因斯坦相信，物理规律是普适的，它是物理王国的法律，有上帝制定，对谁都一样，在任何时间任何地点，全是一样的。就这样爱因斯坦用他的思辩构造了了他的引力理论——广义相对论。在他的理论中，引力不是一种力，也许可以说，引力根本就不存在，所谓引力，其实是空间和时间（统称时空）被物质扭曲。正如一个人躺在席梦丝床上把床睡得陷了下去。引力不再是引力，所以有的人研究引力，写的书名字却叫《时间，空间和物质》。
1915年６，７月，爱因斯坦在阿廷根作了６次关于广义相对论的学术报告。同年１１月提出广义相对论引力方程的完整形式，并且成功地解释了水星近日点运动。
１９１６年，３月他完成总结性论文《广义相对论的基础》，
广义相对论正式地出炉了！值得指出的是，数学家希尔伯特在爱因斯坦之前就推出了引力场方程，他说：“哥廷根大街的每一个小孩都比爱因斯坦更懂四维几何，但发明广义相对论的是爱因斯坦而不是数学家。”
爱因斯坦方程是天人合一的典范，它的出世，表明纯粹理性具有非凡美感，人类心智，极富荣耀。
G-ab=T-ab （3）
在真空情景下，爱因斯坦方程可以写成：
R-ab=0 （4）
在有些情景下，人们处理带有宇宙项的爱因斯坦方程。
爱因斯坦方程（3）的思想精髓众所周知：物质等于时空的弯曲。这一点是最重要的，如果问爱因斯坦理论最震撼人心的思想是什么，一半人会回答是等效原理，另外一半人会回答是物质等于时空的弯曲。真正思考过这个问题的人，多数会选择后者。这个后者，也被很多研究圈量子引力的人最喜欢的，他们把这个叫做“背景无关性”。可以相信，一个正确的量子引力理论，它肯定不需要事先假定理论适用的背景。
有一个问题，是很自然的，假如没有物质，时空是不是会弯曲？很多人马上会讲，schwarzschild时空的外部解，没有物质，但是弯曲的。它是真空爱因斯坦方程的解。但注意，schwarzchild的外部不是闭的空间。真空爱因斯坦（4）引起了很多几何学家的兴趣。在某个时候，我还是一个年轻的大学本科学生，听S.T.Yau在中国科学院的一次公众演讲，他是当代最杰出的几何学家之一，他问：“是否存在一个闭空间，那里没有物质，但时空弯曲？”
第九章 黎曼曲率杂谈
（1）
爱因斯坦方程横空出世了，求解这个方程变的很重要。爱因斯坦的方程是偏微分方程，它是几何和分析之间的桥梁，这个方程里面，最实质的内容就是黎曼曲率。需要求解的是度量函数，但求解一般不是轻易的事情。爱因斯坦曾经在一次纪念Maxwell的演讲时说：“偏微分方程进入理论物理的时候只是一个婢女，但现在已经是主妇。”其说法很容易让人想起中国古典名著《金瓶梅》。偏微分方程的理论，到现在还不是很成熟的。已经成熟的是代数方程，或者说是多项式方程。2的x次方加3的x次方等于1，这样的方程不算是代数方程。高斯证明了代数基本定理，说，n次代数方程f（x）=0，那么，它必然有n个复数根。但是真正求解n次代数方程，不是很简单的一件事情。
历史上一点一滴进步，都凝固了前人的心血。即使历史善于遗忘，也难免记住一些英雄。方程论上最早的英雄塔塔里亚，他解决了三次方程，
塔塔里亚活着的时候被人砍伤，成为哑巴（他小时侯的村庄受战争蹂躏，他被敌军士兵砍了嘴巴，后来口吃了，他这个名字的意思就是“口吃”，他不是哑巴）。据说在意大利语中，塔塔里亚就是“口吃者”的意思。他第一个解答这样子的方程：
x^3-21x^2+78x-55=0
但塔塔里亚掌握了3次方程的解法，没有发表，每天压枕头底下暗爽，后来被人剽窃了。世道浇漓，剽窃的人成为当时该领域的学术带头人。塔塔里亚很是愤懑，1530年他约对方在米兰大教堂各出30道3次方程比赛，观者千人。结果是塔塔里亚大获全胜，对方一题未答，成为剽窃史上空前丑闻，也让后人引以为戒。解决了三次方程，很自然地就是解答更高次的方程。
1824年，22岁的Abel自费出版了一个小册子，他证明了，n大于等于5的时候，n次代数方程一般没有根式解。Abel是挪威的数学家，是一个穷牧师的儿子，一生贫病交加，27岁时候死于肺结核。天才生于寒冷，他濒死去的时候，巴黎大学给他一个聘书，聘他去做教授，可是，Abel马上死去。Abel理论对后世有巨大的影响。
天才是互相感应的，Abel死的前一年法国的19岁的伽罗华写了一论文给法兰西科学院。他用一个新的方法回答了能够根式求解的代数方程的条件。其文章太前卫，别人看起来有点南腔北调。投稿2次，人家竟然把原稿给丢失了。
伽罗华是另外一个具有杰出才能的法国数学天才，他引起了群论的诞生。伽罗华比Abel更加富有传奇色彩，当时的法国巴黎各派政治意见不和，习惯卸下门板，在街道上筑起街垒，互扔石头。伽罗华是一个天才，他考巴黎著名的工科学校竟然2次没有考上，上了巴黎师范。后者在当时还不算是名校。伽罗华对政治感兴趣，他是一个镇长的儿子，很有实力。还曾经因为政治上反对波旁王朝“七月革命”而被学校开除，后来又因为政治入了监狱，再上了法庭，在法庭上，他说：“我们是孩子，我们精力充沛，勇往直前。”
21岁的伽罗华在一天晚上，他答应与人决斗，在油灯下匆忙了写下了群论纲领。这个纲领也算是一个遗言，在某个地方他写道：我的时间不多了……
第2天天才在决斗中牺牲。
1832年5月的这天。
一轮血红的残阳挂在某一个枯树的枝头。
整个世界都快哭了。
Abel和伽罗华全在年轻的时候离开人世，他们对数学的影响却无比深远。他们对天才的年轻人有很好的示范作用，特引用词一首，以表哀思：
“原谅话也不讲半句此刻生命在凝聚
过去你曾寻过某段失去了的声音
落日远去人祈望留住青春的一刹
风雨思念置身梦里总会有唏嘘
若果他朝此生不可与你那管生命是无奈
过去也曾尽诉往日心里爱的声音
就像隔世人期望重拾当天的一切
此世短暂转身步进萧刹了的空间
只求望一望让爱火永远的高烧
青春请你归来再伴我一会”
挪威不是一个大国，但它出土了一流的数学家Abel，还有一个大名鼎鼎的是索飞斯•李。李发明的李群是相对论中的基本数学工具之一，很难想象一个不懂得李群的相对论专家会是什么样子。Bianchi对3维的李代数进行分类，发现有九种，这就是九个Bianchi宇宙。
（2）
李群也是微分流形，从微分流形的角度看它，会有一些直观的印象。比如SO（4）群，它是标准的三球面S^3上的等度量群。那么，什么是三球面呢？中学的几何学基本上都是研究2或者3维平直空间里面的几何学。一个点是0维的，一条直线是1维的，一个面是2维的，我们生活的空间是3维的。
2维的面，很简单，有的看上去是弯曲的，比如篮球的表面，或者十三陵地宫里的巨大的圆木柱子的表皮——柱面。
但可以看到，一个柱面是可以用剪刀剪开，然后可以贴在平坦的墙壁上，所以，不太严格地说，柱面的内在的曲率是0，而球面显然不是这样的。球面的内禀曲率不是0，大概就是你不能用剪刀剪开它然后完全地贴到平坦墙壁上。
我刚开始接触黎曼几何时，就是用上面的方法在强行理解“内在的曲率”的。
但还是有一些问题，比方在纸上画一个扇形，然后把扇形卷起来用胶水把对边粘起来。那就是一个圆锥面。
显然圆锥面也是可以用剪刀剪开，然后可以贴在平坦的墙壁上，于是圆锥面的内在的曲率也是0。但它有一个尖点，那里不是光滑的，不能定义内在的曲率，应该排除。
内在的曲率，实际上是指Riemann张量。
那么什么是张量呢？这个东西不是一个容易理解的概念，它可以被放在坐标系下被确定下来。比如一块石头，从东边看它象一只猫，从西边看象一兔子，从南边看它象一个乌龟。那么这个石头的外形，就仿佛是一个张量。
如果一个人试图研究一个正立方体沿着体对角线转动时候的动能，那么，转动惯量就是一个很好的例子。真正考虑这个问题并做过计算，甚至不断变换正立方体的转轴，张量，这个有点神秘的幽灵，会立刻象花朵一样开放在眼前。
自行车的内胎。它的拓扑结构是一个二（维）环面，修车人生活在三维空间里，他看到的是这样一个中间有洞的东西。
拓扑地看，一个自行车内胎与一个篮球皮有什么区别？自行车内胎上剪出一条封闭曲线不一定把它分成2块，但一个篮球面上剪一条封闭曲线一定把球面分成2块。这个暗示了球面与环面在拓扑上是不一样的。一个自行车的内胎实际上是一个柱面弯起来以后把2个头接起来产生的。看的出来，它就是一个圆周s1在另外一个圆周s1上走了一圈后得到的，所以有一个很直观的记号，环面T2=s1
x s1。（环面记做：s1 x s1。因为环面的英语是Torus。所以还可以把2维度的环面简单记为T2。）
那么自行车内胎T2的内禀曲率是不是为0呢？？？很明显它用剪刀剪2次后是不能完全展成平直的，它不可以完全地贴在平坦的墙壁上。因此，在三维欧几里得平坦空间的自行车内胎，它不是处处内禀曲率为0。当这样说的时候，实际上背后的故事很是悠长。
因为gauss-bonnet-chern定理显示曲率与欧拉数有联系。几何与拓扑之间的联系就建立起来了，此岸的人们可以通过这些桥梁摘取彼岸之花，数学家的兴奋之情可以想象。但推广的高维流形怎么样研究，纤维丛出现了。
“美国的whitney在1935年第一个提出纤维丛上的示性类。在瑞典，stiefel在hopf的指导下也开始研究初级的示性类，有一些萌芽思想。whitney是在哈佛大学，他发明了上同调语言，所以他关于示性类是一种上同调类。whitney证明了基本的乘积定理。在1942年，pontrjagin在莫斯科大学开始研究grassmann流形的同调，这个使得他开始建立新的示性类。在1946年陈省身在复矢量空间上做示性类。他引进复数是高人之处，因为复数比实数要简单。”这是
milnor在《characteristic》中写到的，milnor因为证明7维球面上有不同于标准的微分结构，名留青史。他当时和nash同时在princeton大学。纤维丛的概念最初在1935由whitney给出。hopf和stiefel的工作也说明研究微分几何的拓扑学侧面是重要的。steenrod是princeton的教授，他是nash与milnor的师长。他有一书叫《the topology of fibre bundles》,在第2部分用到hurewicz的同伦群方法。hurewicz有一个定理，这样定理可以从同调群得到同伦群。比如H1（m）=0。他可以认定m是单连通的。同伦同调是研究流形的基本方法，早在1900年，Poincare他在研究三维流形时，问：如果一个流形与三维球面有着相同的同调群，那么这个流形是否拓扑同胚于S^3？
四年后他本人给出了否定的回答。这时他已经引进了基本群，也就是第一同伦群，他将问题改为：“如果一个三维闭流形与三维球面有相同的基本群，(基本群平凡，或者说这个流形单连通，)那么这个流形是否同胚于S^3？”。这就是“Poincare猜想”。这个问题一直到现在还没有解决。fermat大定理被克服后，是否说明这个Poincare
Conjecture也将被克服？后来的数学家可能就是美国数学家斯梅尔（smale）推广了 3维度Poincare猜想，广义 Poincare猜想说：如果一个n维单连通流形与 S^n 有相同的同调群，那么它一定拓扑同胚于 S^n。斯梅尔证明了五维及五维以上的同伦球面(具有与球面相同的同伦群)都与同维度球面拓扑同胚．他因此获得了1966年的 Fields 奖。斯梅尔的工作集中在5维以上，这无疑说明，3维与4维度流形的拓扑性质可能是相当奇特的。这个有点象5次以上方程没有代数解法。一出来很让人吃惊。
在1980年之前，人们可以计算单连通四流形的同调和上同调群。
以s^4为例说明：
所谓同调，s^4它在5维欧空间里嵌入的话，直观上就好象一个篮球，内部就有一个5维的洞。所以它的H4（s^4）非平凡，H4（s^4）=Z。这可见于M.A.ARMSTRONG著《基础拓扑学》，由孙以丰等译出。
由poincare对偶可得到H0（s^4）=Z。
由hurewicz定理，H1（s^4）=0意味着单连通。
由poincare对偶可得到H3（s^4）=0。
唯一包含信息的是
H2（s^4）=Z^b2。其中b2是第2betti数。
而上同调群比同调群要多一些信息。但这些给出的信息依然不是足够的。
1982年春，Michael Freedman 完成了单连通四维流形的拓扑分类，从而证明了4维的广义 Poincare猜想，并因此获得了1986年的 Fields 奖。弗里得曼（Freedman，M.）运用了凯森（Cas-son，A.）环柄得到了单连通闭拓扑四维流形的拓扑分类。4维度的研究之所以特殊，是因为它迫使人们放弃惠特尼传统方法。
（3）
在数学物理中，场论和微分几何的关系已经到了情侣般如胶似漆的程度。相对论本来就是微分几何，文献很多，但多数文章不会留下来，有的研究者指导研究生写文章，集中多年精力做的事情就是把低维的情况推广到高维。第一个博士生从3维推到4维，第二个博士生从4维推到5维，年复一年。直到某一年，流年不利，有实力的博士生直接从3维推到n维。于是，这个事情算是彻底干净了。另起炉灶的时光来了。什么叫高维空间？人类生活的时空一般认为是4维的，但在string理论理论认为宇宙是10维的，有6个维度太小。譬如花园里面的一个很长的自来水管，它是柱面，当然是2维的，但远远地看，人们会以为那是一根1维的绳子呢！！人们感觉不到6个额外维度，但他们组成卡拉比-邱成桐空间。额外维是相对论研究的潮流之一，5维度的时空，也就是1920年代初期最早最原始的kluza-klein理论，具有统一引力和电磁力的神奇功能。5维的kaluza-klein时空比人们的感觉到的4维的多出一个维度，多出了那一个维度非常之小。但电子在那里运动的时候就在4维时空表现出电荷来。这多少有点象看一个人在翻滚过山车，他身上有离心力的痕迹。
到了20世纪末，美国的女科学家lisa
Randall等提出了膜宇宙模型，她曾经在哈佛做博士后。我有一天，在北京的地铁里，问loop量子引力的三大领军人物之一，梯曼告诉我说，当他去哈佛做博士后的时候，lisa
Randall还没有来哈佛。估计梯曼不会希望我们的宇宙是高于4维的，因为时空一旦高于4维，那么空间部分就不是3维，loop量子引力之所以成功，是因为它要求空间是3维的，那么它上面的标架有一个so（3）的自由性，这个so（3）的李代数和su（2）李代数同构，于是，loop量子引力可以把引力做一次量子化，做成非常类似与yang-mills的su（2）场论。但lisa
Randall的文章允许额外维，并且是开放的额外维。于是我们现在的宇宙看上去就好象是操场上的一个篮球。这样的是为了解释暗物质暗能量物体构造出来的膜宇宙模型。霍金2002年再次来到中国的时候，在杭州大谈了一次膜宇宙，引起了世人对膜宇宙的莫名崇拜。
第十章 宇宙学之一
（1）
爱因斯坦把他的方程写出来以后，开始考虑的一件事情是如何从他的方程得到我们生活其中的宇宙。爱因斯坦的雄才大略在这一件事情上体现得淋漓尽致。这种气质在科学家中是极其少见的，赫胥利《天演论》第一句也有过类似的气质：“赫胥黎独处一室之中，在英伦之南，背山而面野，槛外诸境，历历如在机下。乃悬想二千年前，当罗马大将恺彻未到时，此间有何景物？计惟有天造草昧……”
爱因斯坦也是这样，他要在斗室之中，通晓天地之变，阴阳之道，但他用的是数学方法做《天演论》。
宇宙是一个四维流形，要研究它的演化，就是要研究3维空间超曲面如何在时间里演化。演化要满足爱因斯坦方程。除了爱因斯坦方程，3维空间超曲面上的初始数据,也就是曲率和外曲率，与四维时空的曲率，相互之间要满足微分几何里的高斯-科达奇方程。对于真空爱因斯坦方程来说，高斯方程表示哈密顿约束，而科达奇方程象征着空间微分同胚约束，是4维广义相对论的对称性的体现。广义相对论的对称性，就是广义协变性，或者称为微分同胚不变性。微分同胚群是无限维的，研究起来非常复杂，圈量子引力要保持这样的群，也就是要保持这样的对称性，所以明显不同于弦论，这是弦论和圈论之争的本质。
广义相对论一直被誉为最美丽的理论，爱因斯坦也被认为是人类历史上最伟大的科学家，他一个人苦心孤诣地研究工作，为我们打开了认识神秘宇宙的大门。当然，与爱因斯坦的广义相对论有竞争的理论，为数也多如牛毛，这些理论之中，最重要的是班斯和迪克的标量张量理论，在他们那里，牛顿万有引力常数不再是一个常数，而是一个函数，这个想法是很自然的。函数也就是标量场，在广义相对论中，标量场神出鬼没，成就了一批又一批的文章。那么广义相对论最重要的品质是什么？这个品质就是上面所说的微分同胚不变性。
但在广义相对论中，最基本的是时空流形M和它上面的度量
g＿ab。Ｍ在没有g＿ab的时候，仅仅是一个微分流形，它上面是没有距离概念的，也没有光锥结构，也就是没有过去和未来这样的因果结构。Ｍ仅仅是一个微分拓扑空间，可能把它想象成一个４维的自行车内胎或者篮球皮，等等等等。Ｍ上面具有光滑的微分结构。至于它上面有多少光滑的微分结构，这个问题就过于艰深了。一般地说，在最简单的4维平坦Minkowski流形上，唐纳森用yang-mills场论的方法证明，上面有无穷多个微分结构。这个工作得到Fields奖，也将会名垂青史。
那么，Ｍ上的所有微分同胚变换是不是构成一个李群？答案是肯定的，但是，这个diff（M）李群是无限维的，这有一点不象su（2）那样简单，su（2）李群是3维的。在圈量子引力中，su（2）群上的平方可积函数空间是一个希尔伯特空间，内积通过海尔（Haar，通常翻译为哈尔）测度定义。但对于diff（M）李群，因为它无限维，所以不存在海尔测度，圈量子引力再次遇见困难。
（2）
在相对论里，度量
g＿ab的号差是Lorentz的，也就是说，把度量看成一个4乘4的矩阵，在线性代数里面，有一个惯性定理，这个定理说，在相合变换下，矩阵的正负特征值的个数是不变的。度量是Lorentz的，相当说，特征值有一个是负的，其他三个是正的，写成（-，+，+，+）。其中，负号代表时间。
是否每一个流形都可以配上一个Lorentz号差的度量？或者说存在整体定义的时间？时间作为一个矢量场整体存在，矢量场整体无奇点，指数为０．Hopf-poincare的指数定理说，指数和等于欧拉数。所以一个流形可以配上一个lorentz号差的度量，必然要求流形Ｍ的欧拉数为０。
Ｍ的拓扑结构对g＿ab的限制，这样的问题连爱因斯坦也没有考虑过。宇宙是有时间的，比如热力学时间箭头或电磁辐射时间箭头等等，全是浮现在宇宙大海之上的航标，如何正确地用纯几何来定义时间也是广义相对论中的大问题了。宇宙在演化，它由熵为零的状态变大熵增加的状态。如果宇宙最初是最大对称的，那么它可以是德西特宇宙或者反德西特宇宙，正两种宇宙全是共形平坦的，所以外尔曲率退化为零。当宇宙最后发生大挤压，外尔曲率发散，熵也发散了。penrose认为，外尔曲率的演化可以表示宇宙的时间，这就是极其著名的外尔曲率猜想，也就是用几何的方法来表示宇宙的时间。
（3）哥白尼原理，也叫宇宙学原理，它涉及到宇宙的空间部分，该原理说：我们的宇宙，在空间上是均匀的，各向同性的。这一个原理是有一定实验根据的，那就是微波背景辐射。当然这个背景也不是绝对均匀的。但在数学上，这样的空间就是最大对称性空间。
人类生活在其中的宇宙，浩瀚神秘，每当仰望星空，很多人都会好奇，宇宙，它的空间部分到底是有限还是无限的，宇宙是不是自相似的具有分形结构，是否天圆地方，是否有沉睡在宇宙深处的黑暗能量，外星球有没有象人类同样的孤寂和智慧。在中国古代，就有《天问》的说法，这是一种十分好奇的一种心态。
目前的观测似乎说明，我们的宇宙3维空间部分具有最大对称性。单连通3流形具有最大对称性的，拓扑只有3种，E3，S3，H3。这个分类的结论与Thurston有联系。Thurston把单连通3维的几何体分成8种，前面的3种就是E3，S3，H3，允许6个独立killing场，具有最大对称；后面的5种分别为S2×S1,
H2×S1, Sol, Nil 和 SL(2,R)，允许3个独立killing场，具有均匀性（spatially
homogeneous），但不具有各向同性。所有这一切的前提，全是研究单连通流形。至于不是单连通的，或者其他情景，只能让人归结到poincare猜想。poincare猜想最近声称被perelman证明，其中用到Ricci
flow方法，Ricci flow方程为
d/dt
g-ij=-2R-ij。其实就是物理上的热传导方程。历史地看，毕达哥拉斯最早知道，正多面体只有5种，这相当于冰山的一角，推广到高维空间，问有多少个超正多面体。冰山暴露出来，一定让很多人大吃一惊，这样的冰山，可以化神气的泰坦尼客为腐朽，把繁华变成南柯一梦。
话说回来，我们的宇宙，在空间上是什么样子的呢？真的是E3，S3，H3的其中一种吗？罗伯逊和沃克RW度量描述了这3种情况。RW度量的给出，纯粹是从对称性的考虑和宇宙膨胀的事实中写出来的。这个RW度量不是真空爱因斯坦方程的解。
RW度量可以描述我们的宇宙，但它与爱因斯坦方程没有从属关系，也就是说，即使爱因斯坦方程不对，RW度量也可以是正确的。它们两个的地位独立,类似于男人和女人的关系，男人和女人的结合，出来的结果是一个婴孩，就是富里德曼方程。富里德曼方程描述宇宙到底是怎么样子在膨胀。因为单知道膨胀是不够。现在发现膨胀是加速的，宇宙学就会给现在的科学提出一个大问题。这个问题总得来说是与暗物质和暗能量有关系。李政道曾经提过21世纪的物理学的大问题，暗物质暗能量好象也是其中之一，其他他说的好象有夸克幽禁和渐近自由。渐近自由理论已经得到诺贝尔物理奖。同样，暗物质暗能量问题一旦解决，肯定也能得到诺贝尔物理奖。在相对论领域，能够得诺贝尔物理奖的还有引力波或者引力子的发现。不说诺贝尔物理奖，宇宙学的这个问题可以与生命的起源，DNA的编排，生物为什么必然要死亡等问题类比，是文明的指标。
莎士比亚（他借Hamlet的口说的）有一个很精彩很著名的句子，好象是说：“死掉还是活着，这是一个问题！”对于宇宙来讲，死掉还是活着这同样也是一个问题。
第十一章 宇宙学之二
（1）
宇宙的命运是少数人扣人心弦的谈资。近代宇宙学，大爆炸模型已经被很多人接受，被称为标准宇宙模型，其他还有一些非标准模型，其中以前最有影响的是稳恒态宇宙模型，它由英国天文学家霍伊尔（Hoyle，Sir
Fred 1915～）、美国天文学家邦迪（Bondi，Hermann 1919～）以及在奥地利出生的美国天文学家戈尔德（Gold，Thomas
1920～）提出的。霍伊尔曾经在剑桥大学，霍金从牛津大学毕业，最初是很想成霍伊尔的研究生。邦迪定义了时空的质量，称为邦迪质量，区别于ADM质量。戈尔德时空是均匀的各向异性的时空，具有闭合的类时线，所有一个人可以沿着闭合的类时线回到自己的过去，可以亲眼目睹自己被分娩的现场一幕，确实是震撼人心。大爆炸理论一开始是热大爆炸理论，没有暴涨的过程。在热大爆炸宇宙模型提出的初期，人们曾根据哈勃常数推算宇宙的年龄，然而由于哈勃常数在测定远距离星系的视星等与红移关系时，采用了造夫变星决定距离的偏差太大，以致得到的哈勃常数太大，由此估算出的宇宙年龄只有20亿年，比地球的寿命还短，这给当时的热大爆炸宇宙学说带来困难，稳态宇宙学说应运而生。
稳态宇宙学说认为，既然时间和空间平等，而宇宙物质在空间分布是均匀且各向同性的（此为宇宙学原理），那么宇宙在时间上也应是均匀不变的，这就是所谓的“完全宇宙学原理”。宇宙既然不断地在膨胀，同时又要求保持宇宙物质分布上的均衡不随时间改变，必然要求物质在不断地产生，从而保持宇宙物质的密度随时间不变。在稳态宇宙方程中，物质的产生和宇宙的膨胀不是正好地得到补偿，就可能出现稳恒态附近的起伏解，解中恰好呈现了物质分布的局域不均匀性。其次在应用电动力学或其它场论研究粒子间相互作用时，推迟势与超前势都是方程的解，然而只有推迟势才得到了观测上的验证，通常只用因果律解释其原因，这种解释带有人为性，常不能令人满意。1945年，惠勒和费曼计算一个加速运动的电荷与宇宙中所有其它电荷的作用，在推迟势与超前势中，只有推迟势在起作用。他们的这一讨论是在稳态宇宙的基础上进行的。这似乎是在理论上对稳态宇宙学的一种间接支持。此外，在稳态宇宙学中，不出现高温、高密度的初态，避开了难以摆脱的“奇点”困扰。但稳态宇宙学不能清楚地说明，物质在哪里、以何种方式产生，以什么形态出现。在这个模型里，宇宙不会死亡。
考虑宇宙模型，往往能让人的感觉怅惘的空虚，偶然会让人对人生也充满怀疑的颓废。情绪化而理性不够的人转而只能问一些最基本最天然的问题，比如，宇宙是不是无限大？宇宙是不是平坦的？
粗略地说：
1.可观测的宇宙是有限的。2.RW宇宙是（局部）共形平坦的。
为什么要考虑共形变换，因为共形变换保持光锥结构不变，也就是说，不改变时空的因果结构。这是重要的，也是物理学家孜孜以求的。 现在被广为接受的观点是我们对宇宙的讨论可以分为两部分。第一是各种物理的场它们所满足的局部的定律，这些往往用微分方程被表诉出来。第二是这些方程的边界条件，以及它们的解的整体性质。这在一定程度上要求我们想象宇宙的边缘。这两个部分是相互联系的。实际上我们已经知道局部的定律是由宇宙的大尺度结构决定的，这正是边界条件决定偏微分方程的解。反过来可以说，爱因斯坦方程是一个局部方程，它不能决定宇宙的拓扑。
但人们相信，我们认识的物理规律可以被推到整个宇宙。这纯粹是一种信仰，人们就象是在原始大森林里生活的人们，高山层峦叠嶂，第一个山谷里的人们，有一套法规，这套法规认为，通奸者要被游街，然后沉潭。但在其他的山谷，这套法规还可以通行？谁也不能保证。在宇宙学上，人们使用了这个很大的假设，就是我们在实验室里所得到的物理定律在宇宙的其他地方依然适合。假如看上去好象不是，那么我们说在我们的局部理论中还存在着尚未发现的场。我们还使用一些其他的假设，比如时空用伪Riemann几何描述以及能量密度的正定性，或者说广义相对论中的能量条件。
2）
假设引力也是一种力，那么现在已经知道的基本的作用力可以分为4类：强作用和弱作用，电磁力和引力。其他三种相互作用可以用yang-mills方程描述。
DF=0 （5）
D*F=0 （6）
这两个方程是真空Maxwell方程组
dF=0 （1）
d*F=0 （ 2）
的非线性推广。其中D是协变外微分算子。整个方程显得很紧凑，非常优美。
当然引力是现在为止发现的最微弱的力，但在宇宙大尺度结构的形成上起了主导作用。这个是因为强作用与弱作用的力程非常短，而虽然电磁作用的力程很长，但电荷的排斥与吸引是平衡的。引力，相反，却总是相互吸引的。所以一个物理上总的相互吸引力，总是在其他三个力中占据主导地位。
引力不但是在大尺度上起主导作用的力量，而且，它对质量不大的物体也是以相同的方式进行作用的。Galileo最先发现不同质量的物体做自由落体的速度都一样。这个被Evtvos用非常高精度的实验所检验，还有Dicke以及其后继者也做了进一步的检验。并且人们还观测到光被引力所偏折。既然没有东西可以比光具有更快的速度，这意味着引力决定了宇宙的因果性结构。比如它决定了时空中的事件是否可以有因果联系。（广义相对论实际上是就是黎曼几何学，几何学上没有对光速恒定提出限制，光速恒定是狭义相对论的基础，体现在广义相对论中，使得时间与空间量纲一致。）
在爱因斯坦的广义相对论基石上研究大尺度时空结构。爱因斯坦的理论预言与实验非常之符合。但人们也许有时候会提到与爱因斯坦理论不太一样的理论，比如，Brans——Dicke理论，有的人以为Brans——Dicke理论已经死了，事实上现在网络上还能有这样的文章，说明Brans—Dicke理论还活着。在宇宙学上，模型一旦出现，绝不会轻易死亡，人们要把它当作一个球，至少拍上20年。
时空的模型是一个流形M配上一个lorentz度规g-ab。有两个假设赋予度规g-ab以物理意义：局部的因果性与局部的能动张量守恒。这个在相对论中是被实验证明的。第3个假设是度规g-ab的场方程，这个是几乎没有被实验所证明的。所以，一个好的引力理论在用到场方程的时候往往只用到诸如正质量密度使得引力是相互吸引（而非排斥的）。这种性质在爱因斯坦的相对论的对手brans——dicke理论中也是一样的。
还有一种称为正反物质的宇宙模型，它由瑞典物理学家克莱因（Klein，O.）提出。为了解释现今宇宙完全由正物质组成，克莱因假设，宇宙初期存在有电磁场，由于引力和电磁作用，等离子体中正反物质分开，并分别聚集形成由正、负物质为主组成的物质团，由正负物质湮灭产生巨大的辐射压，使得两种物质团朝两侧被推开，当今宇宙恰好处于以正物质为主的宇宙区域之中。它说的天花乱坠，但最后的胜利者，依然是大爆炸宇宙学。
第十二章 黑洞的惊鸿一瞥
（1）
在几乎所有的物理学的书籍中，可能费曼的三卷物理学讲义最引人注目，这个讲义大致是1960年代他在加洲理工大学给大学一年级与二年级的学生做的演讲。当时大概有180个学生聚集在一个大的演讲厅里，一周两次去听物理学家费曼的讲座。这些学生在听完以后分成15到20个人一组在助教的指导下背诵和理解这些讲座。费曼说在这些讲座的最主要的任务是要使得那些从高中来到加洲理工的非常聪明的学生保持他们对物理学的热情。因为这些学生他们曾经听说过物理学是多么有趣以及激动人心——相对论，量子力学，以及其他现代的观念。但是一般地，在他们真正进入大学的前期2年的入门课程里，他们往往听到的是让人沮丧的缺乏现代新鲜感的课程。这些学生们被迫着去研究斜面，静电学，诸如此类有点罗嗦的东西，其实这些东西有的学生在高中的时候就了解的很清楚了。所以，一般来说，大学物理系的前2年非常徒劳。费曼用他的精彩讲座试图来改变这样的局面。他的讲座里，也讲了一两次广义相对论。
古典的传统的物理学确实有非常令人乏味的地方。在大学里，很多年轻学生对诸如“黑洞”，“虫洞”这样的事物充满激情和美丽幻想。
这就是生活。
2）
黑洞。
最早使用这个名字的人是费曼的导师，后者可以被称为“美国相对论之父”，因为爱因斯坦之后，几乎在美国的所有一流的相对论专家，全是他的徒弟和徒孙。他就是惠勒。附带地说，我上研究生的时候，在学校里听一位印度学者做相对论的报告，这位学者在开场白里戏称刘辽为“Father of Chinese General
Relativity”，当时座下的刘辽教授当即表示了谦虚地反对，于是，大家一笑而过，实际上中国的相对论研究，起源于周培源等先生的工作，但后来周培源喜欢上了湍流，湍流是自然界里常见的现象，当我们给一杯水加热，那么一开始热传导方程可以很好地被使用，我们甚至可以预见加热多长时间后水将要沸腾，在沸腾之前，水面是那么平静，平静地让你觉得不再希奇。但事情没有那样简单，一旦水开始沸腾了，平静的水面上开始出现渐渐出现诡波谲流，继续加热，水就沸腾了。这是一个普通的场景，但对瓦特来说，这就是蒸汽机，对于1883年的雷诺（Reynolds）来说，这也许是另一个奇异的世界，雷诺指出：当流体的雷诺系数R大于某个临界值Rc时，流体就从层流向湍流转化。不久，他又提出了著名的雷诺方程，试图用确定论的方法来解决这个问题，然而他始终没有得到明确的结果。后来人们发现，描述湍流的动力学性质，最好的方程是Navier-Stokes方程。Navier-Stokes也是2阶非线性方程。后来的中国，相对论研究不是很热闹，在文化大革命时期，掀起了批判相对论和爱因斯坦的高潮，封建社会主义露出畸形的一面。刘辽受到一定的迫害，但坚贞不屈，证明了知识分子真是社会的良心。在美国，惠勒1933年研究生毕业以后就开始大展宏图，在二战期间做过原子弹的研究工作。战争结束以后用计算机模拟过黑洞。因为，黑洞是恒星演化的产物，恒星的核反应，这其实就是原子弹的原理。所以，对于黑洞一开始的研究，是很物理的，而不是象现在，由于霍金和penrose的威望，相对论显得偏于几何和数学化。
“黑洞”这个词，在法语里感觉起来比较淫秽。但钱德拉塞卡曾经说过，广义相对论作为一门理论，其实验依据不是非常充足，但他相信，广义相对论是真理，为什么？因为从他做黑洞微扰的经验，他得到了一些震撼人心的美的体验。
黑洞一出现，人们普遍认为，这几乎就是世界末日的真实体验，以史瓦西黑洞为例，当观察者进入到离黑洞中心距离为R=2M的时候，他就会在人类的世界里消失。道理是很简单的，在R小于2M的时候，每一个等R面全是同时面，也就是说，坐标R在那个时候，已经不是空间，而表示时间了，所以，观察者不可能在同一时间出现在相等的R处，于是，时间流动，这个观察者必然要沿着R单调变化的方向前进，于是，它必然要撞上R=0的那个可怕的地方，这个地方，是这个观察者时间的终点，被称为奇点。
美国康奈尔大学的研究者Rindler，他给R=2M的那个地方取了一个名字，叫做地平线，英文是Horizon，原始的意思是说，这个观察者掉进了R=2M这个曲面之后，黑洞外面的人再也见不到他了，就好象太阳在地平线之下，地球上的人就看不见了。后来，Horizon被翻译为一个更加学术化的名词“视界”。
如果说有什么记号能够表示黑洞，最简单的数学可能是：
奇点+视界=黑洞。
（3）
黑洞，就好象是达芬奇的《梦娜丽莎的微笑》这样的历史名画，或者是贝多芬的《命运》这样的交响乐章，它充满了美，同时充满了对人生命运的无情嘲弄。在1970年代以前，人们开始接受一个这样的观念，黑洞，是恒星演化的终结。黑洞是一个完全黑色的东西，
但是，在1974年2月，在牛津大学有第一次的量子引力会议，这样的会议在6年以后还有一次，会议的组织者是该校的爱沙姆，西阿玛和彭罗斯等。在这个会议上，霍金报告了一个惊人的消息，黑洞不是完全黑的，它会向外发出辐射，并且，这个辐射是热辐射，也就是说，它不会带出什么有意思的信息。当然不排除霍金在这个回忆之前已经吐露了这个研究结论。
霍金的这个发现，给他引得了世界性的声誉。这个时候以后，大众的视线，开始聚焦在这个在轮椅上的严重失声肌肉严重萎缩的英雄人物身上，历史显得疯狂起来。因为，霍金传递了一个讯号：黑洞，不是恒星演化的终结，而只是一个中间过程，我们人类，似乎还有希望。
相对论比较成熟的学问包含了宇宙学和黑洞。相比较来说，宇宙学和天文学的关系密切。宇宙学它的历史悠久漫长，在这个历史过程中，爱因斯坦引入了宇宙学常数，修改了他的引力场方程。他的这个举动，使得整个宇宙学的历史跌宕起伏。黑洞理论和宇宙学一样，给相对论以一个应用的舞台。在某个时候，爱丁顿和钱德拉塞卡有过著名的争论，相对于沉默的钱德拉塞卡，爱丁顿这样尖锐地说：“你是以恒星的角度看问题，而我，是从大自然的角度看问题。”也许，这句话在这里显得荒诞。对于宇宙，要从大自然的角度去看，但对于黑洞，也许要从恒星的角度去看，这是钱德拉塞卡的梦开始的地方。
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发信人: symplectic (身无彩凤双飞翼), 信区: Mathematics
标 题: 谈谈对于微分符号 df 的理解
发信站: 北大未名站 (2003年05月28日07:29:07 星期三) , 站内信件
这两天，不断有人问起这个问题，倒值得认真讨论一下。记得别人回忆
陈省身先生的文章里也提到，五十年代时，研究生们看到他在黑板上随意
写下外微分表达式 dx，还会觉得惊讶和迷惘。我在这里重新整理了一下
自己以往的认识。这里写下来，就正于大家，也许对学习微分流形的朋友
会有帮助。
问题的确切表述，应该是这样：
给定微分流形 M 上的可微函数 f，问表达式 df = f_i * dx^i
的确切含义是什么？
这里 x^i 表示一个局部坐标系的坐标分量，f_i 表示 f对 x^i 的偏导数。
这个表达式，其实在多元微积分里已经出现了。估计最初大家都跟我一样，
把它当作是一个方便的形式记号。在当时的条件下，df 可以理解为 n元函数
f 的 Jacobian 的另一种表达方法。注意这时的 Jacobian 应该是一个 n
元向量，则 f_i 表示的是此向量的各个分量，而 dx^i 意味着此分量表达
是相对于坐标 x^i 而确定的。
从微分流形的观点而言，我们可以有更好、更深入的看法。我们不妨设想自己
处于这个理论创立者的地位上，那么很自然地要考虑：给定微分流形 M，上面
有什么自然的构造？
显然，如果光有 M 本身，可做的事情少得可怜。这时，一个有意义的想法，
就是考虑某些典则/典型(canonical/model)的流形，然后考虑 M 与此流形
的关系，利用这种关系来刻划 M 本身的结构和性质。
要找这样的模板，最自然的选择莫过于欧氏空间(须知流形本来就是局部以欧氏
空间为模板而“搭”起来的)，而对高维欧氏空间的研究，无外乎是多元微积分，
结果最后还要归结到一元函数论。因此，最基本的选择，就是取实数集 R(视为
一维流形)来作模板。
取定 M 和 R，我们该考察它们间的什么关系呢？有一定见识的同学，自然会
认识到，在一个给定范畴中，定义好基本概念和对象后，紧接着该考虑的就是
这些对象间的映射关系。所以，我们现在有两类最基本的研究材料：一类是
R 到 M 的可微映射，一类是 M 到 R 的可微映射；前者就是 M 上的曲线，
后者就是 M 上的函数。
再接下来，我们决定，先研究相关的局部性质，因为这显然最容易着手，也是
最基本的。从微积分的经验，我们可以预想到应当引入对曲线和函数的线性逼
近，这对应于微分运算，而这也正是我们该做的事情。(须知流形本来就是为了
推广微积分理论而发明的最一般的框架。)
现在我们限于 M 上一点 p 附近来做，则上述一阶逼近的考虑，会引导出两类
东西。一类，是过 p 点的曲线在 p 点的微分，它可以描述为一个等价类，其
中等价的对象是在 p 点彼此相切的曲线，它们并且有相同的“瞬时速度”(注
意我们用到的不仅是曲线，而且还包括其参数化，即具体的从 R 出发的映射)。
我必须马上指出，“相切”这个概念是有意义的，因为我们可以利用局部坐标
系转化到欧氏空间里考虑，而“相切”的性质与坐标选取无关。另外还请注意，
这个看法，既是直观的(借助了几何图象)，同时又是抽象的(采用了等价类的
代数描述)。好了，我们再来看第二类对象，它们是任意函数在 p 点处的微分，
它们同样可以描述为一些等价类，其中每一类里包含的是一些在 p 点邻域上
取值的函数，它们沿任意方向的方向导数相同。同样我要在这里提醒大家注意，
这里沿某方向的方向导数是良定的(well-defined)。(如果有人担心这里的
“方向”和“方向导数”概念还没有建立起来，那我可以修改为“沿过 p 点的
任意可微曲线，此函数在 p 点的导数”。)
这两类东西，作为对应映射在一点的线性化，本身就自然带有线性结构。第一
类对象，构成了 p 点的切空间；第二类对象全体，恰好构成前者的对偶空间，
即余切空间。把各点处对应的这些空间联系起来看，就给出了切丛和余切丛。
回头来看开头的表达式，则左边的 df，其实就是由 f 决定的一个“余切元素”
(记住，它代表一个等价类)。右边呢，x^i 作为给定的局部坐标，也就自然
给定了 n 个坐标函数，这些函数分别决定了 n 个余切元素，且构成 p 点处
余切空间的一个基底，它们就是 dx^i，而 df 就可以由它们线性表示。巧得
很，这样表达出来的坐标分量，正好是 f 沿对应方向的偏导数。
话说到这里可以结束了，但我想把有关的东西进一步解释清楚点。接着原式，
如果我们把 f“遮”起来不看，则左边的 d 表示一个全微分记号，而右边
表示的则是一个求和，其中每一项里都包括一个切向量(d/dx^i)和一个余切
元素(dx^i)。这样一个抽象的表达式，恐怕更让人困惑，因为看起来每一项
中对应的切向量和余切元素是彼此对偶的，为什么没有消去，却可以这样分开
来写呢？
反思一下切元素跟余切元素的对偶关系，其实从前头“两类映射的方向相反”
就可以看出苗头。为了说清问题，不妨回归到最原始的情形：R-->R 的映射。
设自变量和因变量分别是 x 和 y，映射为 f，我们有熟知的表达式
dy = f (x)dx。
再简化一点，即
d = (d/dx)*dx。
我们也一直把这种表达方法当作一个形式记号，简单理解为右边的分子分母
可以“相消”。这种说法当然是糊涂的，但一直都很难澄清。而我要指出，
这个表达式可以理解为对前述对偶关系的一个说明。
从代数眼光来看，要在空间 X 和 Y 之间建立对偶关系，等于指定一个双线性
的赋值函数 F：X*Y --> R，X*Y 表示 Descartes 积。现在，我们指定 X 为
R 在一点的切空间，Y 为对应的余切空间，取前者的一个元素为 d/dt(它可以
由一个从 R 到 R 的映射 L 来代表，L(t)=x)，后者的一个元素为 df
(它可以用一个 R 到 R 的映射 f 来代表)，则有一个自然的二元赋值< , >,
定义为
<d/dt, df> = df/dt，
后者理解为函数 f 对参数 t 求导，并且在 p 点取值，得到的就是一个导数。
注意它与代表元的选取无关。
与此同时，我们其实还有另一种赋值的方法。注意我们已经取定 R 的一个坐标
x，并且得到了切空间的基底 d/dx 和 余切空间的基底 dx。利用它们以及前面
定义的< ，>，我们定义二元赋值 { ，} 为
{ _ , _ } = < _ ,dx> * <d/dx, _ >
于是立即有
{d/dt, df} = <d/dt，dx> * <d/dx, df> = (dx/dt)*(df/dx)
= df/dt = <d/dt, df> ！
我这里故意给同一个二元赋值写出两种表达方式，并非无聊，而是这里涉及到了
微分的一个最基本的性质：微分形式的不变性(求导的链式法则)。根据它，我们
看到，{ ，} 的定义式中利用哪个局部坐标 x 并不重要；换句话说，用任何一个
局部坐标都可以。于是，我们可以把 d = (d/dx)*dx 这个式子的左边理解为
< ，>，也就是直接把切元素和余切元素相配合(求导)，而把这个式子的右边理解
为 { ，}。换句话说，d = (d/dx)*dx 可以理解为一个断言，说明同一个二元
赋值的内蕴表达和相对于某个坐标(基底)的参数表达是“同一”的。
这样解释过后，我们可以看到，微分 df，实质上对应于 < _ ,df>，它是切空
间上的一个线性泛函，从而是切空间的对偶空间里的元素。如果进一步与切向量
作配对，就得到导数。这就阐明了“导数”和“微分”不是一回事，“导数”乃
是“微分”与“切向量”之间配合而得到的二元赋值。再看开头的表达式
df = \sum (df/dx^i)*(dx^i)
和
d = \sum (d/dx^i)*(dx^i)，
都可以作类似的解释。
现在再来看看通常对切向量和微分的各种理解。一种观点是直接看一个流形浸入
到欧氏空间后所得到的图形，把切空间与具体的切线、切平面相联系。这种看法
非常有用。但是从理论上来说，它只是说明了抽象的切空间如何借助一个到其它
流形的浸入而得到几何上的“实现”，从而不是对切空间的“内蕴刻划”。而我
前半部分花那么大力气来解释一番，其目的就是强调这个内蕴观点(不过这个讲法
得自于陈省身先生的<微分几何讲义>)----注意，我当然还是利用了某种外在的
东西，也就是 M 与 R 之间的映射。这种想法，类似于研究群在集合上的作用
(特别是线性表示)以得到群的内在性质和信息的思路。这个不多说了。再看有人
把 dx 解释为一种测度，这当然也有道理，因为几何测度论里的确是采用这种观
点的。但我们仔细琢磨一下，尤其是回归到最基本的 R-->R 的映射来看，就可
以认识到，这不过是利用了可微映射，把 R(和一般的欧氏空间)上的测度拉到了
流形上。这样讨论测度，固然间接反映了流形的微分结构，但还是一种“外在”
的观点，对研究几何、拓扑的观点来说失去了许多结构，不值得向大家推荐。
--
我是一条Z，Z有很多的理想，其中{0}称为零理想（没理想），零理想和Z本身称为
平凡
理想（老老事实过日子吧），其他的理想都是非平凡理想（谁不想干一番事业）。
(a)称为一
个主理想（理想很多，得有主有次），其实Z的全部理想都是主理想（我没有次的
理想）。
非平凡主理想里，还包括(p)这样的素理想（我有朴素的理想），我真是一条有理
想的Z呀!
※ 来源:·日月光华 bbs.fudan.edu.cn·HTTP [FROM: 162.105.108.152]
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[本篇全文] [回复本文] [本篇作者: hertz ] [本篇人气: 8]
发信人: hertz (我切，我切，我切切切！), 信区: Mathematics
标 题: Re: 谈谈对于微分符号 df 的理解(zz)
发信站: 日月光华 (2003年05月29日15:06:51 星期四)
发信人: symplectic (身无彩凤双飞翼), 信区: Mathematics
标 题: Re: 谈谈对于微分符号 df 的理解
发信站: 北大未名站 (2003年05月28日17:32:20 星期三) , 站内信件
昨天还想补充一点内容的，不过系统忽然连不上，只好补在这里。
hibernating 在前面的 re 文中还说了“函数芽”的理解。不过以我的观点来看，
那种说法未免太代数化了，恐怕是学交换代数的人弄出来的。在同调代数和代数
几何里面，的确可能需要采用这种观点来研究，不然也不会有什么“层论”。但
在初学阶段，我以为重要的在于培养基本的几何直观，这样“函数芽”的有关讲法
就不适当了。(我相信大部分初学者看了那个解释还是会一头雾水，不知所云。)
另外，考虑函数的高阶逼近，同样可以得到一堆等价类，相应也会得到流形上的
一些丛构造，似乎就是称为 jet 的对象，据说是 Darboux 最早提出的。尽管
一般的教材里不谈它，但我发现它是一个有用的观念，在研究流形的某些结构时
必然会用到它，甚至可以建立某些很漂亮的代数和分析结果。(它跟函数芽的概念
有些接近，但我不是很清楚其间的关联。)
另外，直接把 df 理解为全微分，也是省事的办法，但并没有解释清楚这套形式
符号背后的实质内容。还有，要说清这个东西，也没必要谈“外微分”，因为外
微分本身是余切丛及其张量丛上的一个算子，“余切元素”应该理解为它的出发
点；倒过来解释的话，其实什么都解释不了。
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别看他人很瘦 但是样子很酷 心里装着五千年来压抑的愤怒 总是昂着头啊 默默的走路 有时嘴里骂着人他踢着身边大树 独自走在街上 满脸的麻木
别人好像不明白他思考的深度 就算前方黑暗 没有什么出路 他也不会转来转去回到原处
他也有泪呀 但渐渐在干涸 因为他的心里都是黑色的世故 最后几滴泪呀 为了爱情保留 因为好像女人能够让人变的温柔 瘦削的身体能够承受多少压力 瘦削的身体在风中叹息
别再那么孤独 我不再那么痛苦 坚持就是胜利 这就是真理
※ 来源:·牡丹园新站 bbs.jlu.edu.cn·[FROM: 202.198.67.*]
历史的讲，黎曼几何是三维空间中曲线和曲面微分几何的自然演进。给定三维空间中的一张曲面S，我们有一个很自然地方式来给定其上切矢量的长度。只需把任意一点p处的向量内积简单等同于三维空间中的标准内积，从而曲面上的（诱导）度量，长度概念也就有了。接下来，曲线长度的计算归结于速度矢量长度对参数的积分。事实上，有了度量概念，我们不但可以计算曲线长度，与此同时，曲线夹角、局部区域的面积计算等也都是水到渠成的事。总之，通常几何上的一切与测度概念都可以在曲面上展开。进一步，长度的概念还导致了一批特殊的曲线，即所谓的测地线，具有特殊的涵义：任给测地线上的两点p、q（严格的说，两点间不存在共轭点对儿），则p、q间的测地线距离小于等于任意连接这两点的曲线距离。想起初中平面几何课堂上一再重复的“两点间直线段最短”，我们有理由猜想测地线可以扮演“曲面上的直线”的角色。确实，测地线在一定意义上，被看作弯曲空间里的直线，这也是它们受到广泛重视的原因之一。 注意到，解析的讲，曲面上的度量概念，等价于在每一点定义一个正定的二次型（二次型系数都是曲线上的可微函数），亦称为曲面的第一标准形式。自高斯以来，第一标准形式的几何学几乎一直占据着微分几何的中心位置。 微分几何学发展史上极其浓墨重彩的一笔，或者说现代微分几何学的开山之作，是Gauss在1827年所发表的《关于曲面的一般研究》（一个英译版本可见Gauss，K.F., General Investigation of Curved Surfaces, Raven Press, New York, 1965）在这项工作中，Gauss在曲面上定义了一个所谓的曲率概念，来度量任意曲面在一点p附近，偏离切平面的程度。用现代的观点来看（事后诸葛亮地看）Gauss的核心想法是在曲面每一点处定义一个单位法向量，从而给出了从曲面到三维空间中单位球面的一个可微映射（如今这就称为高斯映射）。如果曲面S是可定向的，高斯映射是整体Well-Defined。在高斯时期，定向的概念还没有得到很好的关注。事实上，直到1865年，Mobius才在他提交的论文中给出了第一个不可定向的例子，即著名的Mobius带。现在定向是微分拓扑里的首要问题了，顺便提一下，按菲尔兹奖获得者Thom的观点，人们至今还没有完全挖掘出定向概念的真正内涵。 言归正传。高斯时期并没有整体的定向概念，所以他的“高斯映射”只是局部的定义在曲面片上（同样的原因，如今本科阶段的微分几何也只是讨论曲面片的微分几何）。不过，不管是整体的还是局部的，高斯建立了从任意曲面（片）到单位球面的高斯写像，这是一个可微映射，从而我们可以谈及其微分（众所周知，微积分的一半任务就是对可微映射取微分，直觉地讲，微分就是可微映射的局部一阶线性逼近，这是数学里惯用的把戏，因为线性映射是我们最得心应手的工具），从而诱导出从曲面切平面到单位球切平面的一个线性变换。Gauss把他的曲率定义成这个切映射的行列式，行列式越大弯曲程度越厉害，行列式为零正好对应着曲面上的平坦点域，这和我们的直觉是一样的。同样的论文里，Gauss还指出了，他的曲率正好与早些年间（1760年）Euler在曲面上任意点处所定义的两个主曲率的乘积相吻合，不同的是这个量后来被称为Gauss曲率，而不是Gauss-Euler曲率。 还是提一下Euler的主曲率概念吧（尽管其已黯然失神于高斯伟大贡献的光环之下）。早些年间，Euler用垂直于曲面的平面去截曲面，得到平面切痕曲线，自然可以定义其曲率，称方向曲率，旋转垂直平面的方向，得到一族方向曲率，所谓的欧拉主曲率，就是这一组曲率中最大的和最小的那两个。在欧拉时代，人们并不清楚一个关于主曲率的函数就可以完全地刻画曲面的弯曲程度，高斯的研究表明，两个主曲率的乘积就够了。 人们常说，曲率是现代黎曼几何的核心概念，这是指黎曼曲率张量。但要说明白曲率为何重要却不是件容易的事情，一个原因在于这不是仅凭直观的生活经验或直觉就能领略到的，必须借助一些严谨的数学演绎，总之必要的抽象是需要的，这也是至今“弯曲的时空”“时空扭曲”“内蕴弯曲”等概念一直让人费解的原因。很多科普书声称他用很生活化的语言，画几个图解释清了什么叫高维空间的曲率，其实他所写的东西往往与声称要解释的东西完全两码事。从分析的角度看，曲率张量刻画了矢量二阶协变导数的不可交换性，这确实与欧式空间的情况不同，因为我们明白通常的二阶偏导数可交换。而要从几何角度（真正地）理解曲率，要引入Jacobi场（广义相对论里叫测地偏离方程）概念，这应是另一篇博文的主题。 继续关注伟大的Gauss。高斯于1827年的文章中，有两个重要的创举：第一，高斯曲率仅仅依赖于曲面的度量，或者曲面的第一基本形式（称为高斯绝妙定理）；第二，测地线所围成的三角形(测地三角形)内角和不一定等于180°，但它仅依赖于三角形区域的曲率积分。前者是内蕴几何学的开端，后者则与几何学上的“千年悬案”第五公设问题密切相关。 种种迹象表明，Gauss很清楚自己研究成果的深远意义。事实上，高斯时期的一个世纪难题是：判断欧几里得几何第五公设（初中几何第一课学过：过直线外一点有且只有一条直线与之平行）是否独立于另外几条公设。早些时候，第五公设等价于三角形内角和是180°，这是勒让德的工作（又一个生不逢时，不幸埋没于高斯光环下的伟大数学家。他与高斯的另一件“悲惨遭遇”是勒让德分布，被后人叫成高斯分布）。高斯的第二个发现表明，至少在二维情况下，可以构想一个几何体系，其性质完全依赖于其上的第一标准形式（而完全不依赖于外围空间）。在这种几何里，测地三角形（代替通常的平面三角形）的内角和依赖于曲率。事实上，Gauss确实验证了，它与180°的差量正好等于三角形区域上的曲率积分。这种几何体系不满足第五公设，但满足所有其它公设。然而，高斯当时并不具备足够的数学工具来发展他的几何构想（事实上，他缺少一个完备流形的概念，而这要等到二十世纪才由H.Weyl来给出）。另外，他也不愿意公开讨论这个备受争议的话题(我们知道高斯的谨小慎微是出了名的)。事实上，非欧几何学的诞生最后被正确的归功于俄国的Lobatchevski(1829)和Bolyai(1831)，可想而知，这两位的理论都经历了相当长的争议期，后者甚至为此精神失常。注意到，他们的非欧几何学都不是从时髦的微积分入手的，如今它们只是数学博物馆里的精品。现代非欧几何的教材往往用微分几何的方式展开。 这里有必要说一下，提到Gauss，很难不让人产生一种天才情愫。各种描写高斯的史料里都渲染了一种个人英雄主义传奇色彩。一般来说，一个数学家一生中能产生三五个真正奇妙的想法就很满意了，而高斯一生中的灵感，可以说是雨后春笋般源源不断，真是让人没办法。读Gauss，伤不起啊伤不起… 回到正题。高斯的微分几何思想后来在1854年，被Riemann重新拾起（Riemann，B., On the hypotheses which lies at the foundation geometry一个英文版本可见Spivak的书）。尽管黎曼当年并没有一个恰当的微分流形概念，他不加证明的用直觉性的语言描述了我们今天所说的n维流形概念。循着高斯的心路历程，他在微分流形的每一点赋予一个正定二次型（如今称为Riemann度量），借助Gauss的内蕴曲率给出相应的Riemann截面曲率概念。进一步，黎曼陈述了一系列曲率与度量的关系。在接下来的几十年里，这些都被一一证明了。黎曼当年的就职演讲，使人相信，他的工作受当年几何学中的另一个问题的启发，即我们生存于其中的物理空间与几何学的关系。事实上，当时非欧几何学的诞生，已经使人们怀疑三维空间欧式几何的先验性。例如，当时Lobacheviski就曾设想宇宙空间应由他的双曲几何来描述，后因与天文观测不符而作罢。黎曼在当年的就职演讲里，已经提到这样的想法：物理空间到底应该由哪种几何来描述当由物理观测来判定；物质的存在可能使空间发生内蕴弯曲。注意到当时黎曼并没有四维时空（准确的说，叫Minkovski空间）的概念，因而，毫无疑问，广义相对论的创立要等到20世纪初期。当Einstein为他的引力理论缺少合适的数学而抓狂不已时，一位数学家好友（大学考试前时常借给他作业本）向他介绍了意大利学派Ricci，Levi Civita等他人正在研究的张量分析和黎曼几何。 就是Einstein也表示难以相信，半个世纪以前，即有人在数学上为广义相对论的萌芽奠定了基础。 毫无疑问，仅仅这篇就职演说，就可以让黎曼名垂青史，然而，在他短短的40年生命里，还有那么多令人惊叹的创见。值得一提的是，伟大如黎曼，其一生却未获得过任何奖项，仅有的几次报奖也因过于简短，证据不足而退回。真是冤哉枉也！ 如今，当我们津津乐道以其名字命名的Riemann积分，Riemann假设，Riemann引理等概念时，是否想到过黎曼穷困潦倒，如流星般匆匆闪过历史苍穹的一生！也许，有这么多美妙的理论与之作伴，Riemann在天堂里的生活也不寂寞了。 谨以此篇，献给那些为追求真理，不慕容利默默奋斗的数学英雄们（00：26） |
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