[转载]周期3意味着混沌_遂昌樵夫_新浪博客
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李天岩- 维基百科，自由的百科全书
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当代物理学中的非线性与混沌概念的再认识_百度文库
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混沌学对辩证法的丰富和发展_老烟枪吧_百度贴吧
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一类位于加周期分岔中的貌似混沌的随机神经放电节律的识别 ...
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經濟物理 - 非線性物理研究中心
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[DOC]混沌与复杂性讲义 - 科学网—博客
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当代物理前沿专题之七：混沌现象
cos.neu.edu.cn/education/.../2006-5/2006514130505.htm
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一 混沌学的研究内容、思想方法及其发展
混沌学把对世界的决定论与概率论对立的两大描述系统统一起来，用有限、整体、过程演化、相似、创生、分维、分形等观点看待世界上那些曲折的形态、参差的边界、湍流、相变等复杂的非线性问题，与奇特的东方哲学有异曲同工之妙，充实、发展了西方辩证哲学的内涵和思想。世界虽然其元素永恒不变，但却永远在进行自我重组、自我进化，所以，永远新鲜、永远不同、永远生动、永远无穷。简单中可产生出复杂，复杂中可表现为简单，有限可以包含无限，无序中存在有序，稳定与不稳定可以共存，等等，科学的辩证法思想在混沌学中异常丰富多彩，混沌学堪称有待开发的辩证法宝库。
混沌学是20世纪20年代以来发展起来的一门新兴学科。自1961年美国气象学家洛伦兹发现“蝴蝶效应”以来，不同国籍、不同领域的科学家从不同角度对混沌系统进行了艰苦的探索和努力，在理论、实验和数学分析上都做出了许多令人称奇的发现和证明，为混沌学成为一门科学奠定了基础。著名的混沌学家有费根鲍姆、曼德勃罗、洛伦兹、约克、斯梅尔、梅、茹厄勒·塔肯斯、兰福德、巴恩斯利、哈勃德、埃侬、斯特森·肖、法默、佛朗西斯·基尼、利布沙伯及其始祖庞加莱、威尔逊、卡丹诺夫、尤利亚、费希尔等。混沌学使人们对客观世界的认识上升到一个全新的高度，是继相对论和量子力学以来20世纪物理学的第三次大革命，其覆盖面广及自然科学与社会科学的几乎各个领域。最近20年来，混沌学迅速走进化学、生物学、医学、智能科学以至社会科学的广阔天地，成为探索非线性疑难复杂问题的有效工具，其理论与方法不仅在科学上有着特殊的意义和价值，在哲学上也引申出许多惊世骇俗的结论。怪不得人们认为，认识了混沌之后，就不再会用老眼光去看世界了。在科学日渐远离日常经验和真实的现实世界的今天，不少科学家都把混沌看作是一条出路。
二 混沌学中的基本范畴
混沌学中的四对基本辩证科学范畴是“确定”与“随机”、“有序”与“无序”、“简单”与“复杂”、“线性”与“非线性”，它们都从相反相成的角度丰富和发展了传统西方辩证法的内涵和意义。
（一）“确定”与“随机”。混沌学的最大成就之一就是将确定性和随机性统一了起来。一般看来，确定性和随机性是世界上完全对立的两种现象，似乎没有任何交叉的可能。确定性可以使我们准确地算出日、月食出现的时间、卫星发射后的准确运行轨道等；随机性则不能使我们准确确定事物的未来结果，如掷骰子一般，只能肯定其每面朝上的可能性都是1/6。混沌系统中则同时出现了上述两种现象，即：既不是纯粹的确定性，也不是纯粹的随机性，而是兼而有之，“上帝同宇宙掷骰子，但它们是灌了铅的骰子”。确定性和随机性统一在混沌现象中，这是对辩证法中对立的双方互相包含着对方自身而统一的绝好证明，正如太极图中“阴中有阳，阳中有阴，阴阳互根，道在其中”一样。最典型的例子要数气象变化系统中的洛伦兹“吸引子”，它是一种“决定性的非周期流”。气象变化是一种非常不确定的现象，正所谓“五月天，孩儿脸”，说变就变，风云雷雨之事难测。尽管如此，世界上许多国家还是斥巨资进行气象预报，并能在一两天之内作出较好的预报结果，仅仅只是某一点上、某一时刻偶尔出点差错，仅仅只是长期预报不可能。洛伦兹将气象变化的数据绘制到相空间图上，结果，非常混沌的无规则变化的数据点形成一个不完全自我重复、轨迹永不相交但却是永不停止转动的猫头鹰或蝴蝶形象的双螺旋线，从而说明了不确定的数据流中所具有的确定性特征，这个结论是非常深刻的。还有埃侬“吸引子”、木星大红斑、曼德勃罗集等，都说明了这一点。相对论和量子力学尽管给染上牛顿热的人们泼了一盆冷水，但混沌学更让人们清醒地看到世界并不是完全杂乱无章的随机偶然过程。混沌学的产生尽管终止了经典科学、完全割断了牛顿物理学的基本原则、排除了拉普拉斯决定论的可预见性的狂想，但却并未将确定性完全淹没在随机性的不知所措的黑暗中而不见一点把握世界的星光。在混沌系统中，确定性与随机性是共存一体的，互相包容，在一定条件下还可以相互转化。无论是气象还是湍流、相变，每个微观质点的运动在宏观上是随机的，但在长时间序列观察中则表现出一定的确定性。自由落体运动似乎确定，如比重轻的物体像羽毛在理想真空中下落表现出确定性，但在回旋的空气流影响下，其下落的轨迹是无法确定的。所以，混沌是确定与随机的统一。
（二）“有序”与“无序”。有序与无序也是混沌系统中两种可以共存的对立结构现象。在混沌学中，这对范畴是同确定性与随机性相对应的一对范畴。有序与确定性相对应，无序与随机性相对应。如果确定性和随机性是从人类可控角度描述现象的话，那末，有序和无序则是从现象的时空结构客观表征上加以考察研究的。普利高津的耗散结构论对“从混沌到有序”的过程作了富有开拓性的研究，而混沌学则对有序和无序的统一作了详尽的证明。斯特森·肖、拉夫洛克等人从信息论、热力学第二定律的熵角度研究了信息流和熵流的变化，梅研究了生物种群的涨落，斯文尼研究了相变，利布沙伯从液氦实验中观察了震荡的周期分岔频谱，郭勒十观察了旋转圆柱中的湍流，施文克研究了自然界的流和形，等等。他们的研究表明，自然界的有序结构是从无序中创生出来的，与此同时，有序也可以走向无序，有序和无序可以共存于一体。混沌就是有序与无序的混合体，正如中国古人所说：“气似质具，而未相离，谓之混沌。”有序沉在无序中，有序往往拌成随机。如梅在研究生物种群涨落的逻辑斯蒂方程x=rxn(1-xn)中发现，代表非线性参量的增长率r操纵着生物种群的涨落，随着r的增长，种群数xn会出现2、4、8……等的倍周期分岔，在r > 3时，开始出现混沌。即：一个永不落入定态的涨落，以后会突然出现一个像3或7的奇数有序周期，分岔更快进行，然后，再次中断，进入混沌。在湍流和相变中也可同时观察到有序和无序，并可看到无序出现或消失的临界状态的混沌“景观”，也能找到其控制的数学条件点。而且，曼德勃罗、肖尔茨、施文克、汤普森等人更从无序的数学图像或自然形态中看到了有序的流和形以及生长与形态的美丽形象。这些都充分说明，有序和无序两种对立的结构形象可以在混沌中得到统一，而且在一定条件下可以相互转化。在有序与无序的混沌形象中，辩证法在自然的混沌系统中得到了充分鲜明的反映，对立的两极鲜活、自然、现实、完美地统一在一起。
（三）“简单”与“复杂”。混沌学中有一个很重要的结论，即：简单系统可以产生复杂行为，复杂系统可以产生简单行为。混沌学中发现了与“3”有关的许多简单系统，这些简单系统可以产生出混沌的复杂行为。如：日、月、地三体的相对运动，三个独立运动产生湍流，种群涨落的方程x=rxn(1-xn)中r超过3时，xn就出现倍周期分岔混沌。约克与李天岩在《周期3意味着混沌》的奇妙论文中证明：“任何一个系统也必然给出其它任意长的规则周期3，同一个系统也必然给出其它任意长的规则周期，以及完全混沌的循环。”茹厄勒·塔肯斯也证明：“只要系统出现三个互不相关的频率耦合，系统必然形成无穷多个频率的耦合，走向混沌。”
这说明，混沌学关于简单包含复杂的思想与道家三生万物的主张是不谋而合的。另外，不同的复杂系统也可能产生相同的简单行为。费根鲍姆的普遍性提出了任何复杂的函数在反馈迭代中都收敛于一个常数4.6692016090，并进一步指出，任何复杂性的系统都具有普适性的定律，而与构成系统组元的细节无关。曼德勃罗的分形图像，即世间那些参差不齐、缠绕交错的复杂形态，尽管千差万别，但它们都遵从分形的规律。以上都说明简单与复杂是辩证地统一在混沌的系统或行为中的。简单的决定论系统可以滋生复杂性；对传统数学来说，复杂的系统仍然可能遵从简单的规律。即是说，简单与复杂可以互生。另外，三元简单创生复杂的科学结论也是对传统辩证法中二元对立统一规律的补充和发展：世界从根本上说可能是多元差异的协调统一，对立统一仅仅只是极端化的一种特殊情况，它不能概括非对立的处于交叉状态下的双方以上的但能引起事物性质变化的广泛的一般情况，而以此作为辩证法的总规律似在内涵与外延上都有些狭窄，所以有必要在内涵上加以充实、在外延上加以扩展。简单与复杂的关系还说明了世界上事物千差万别的原因。自然界的元素即构成世界万物的根本只有100多种，但却组成了亿万种不同的东西，并发生了近乎无穷的事件。最后，简单与复杂的关系还启示人们，在分析问题时，既不能小看简单的系统，也不要被复杂的系统所吓倒，这给人们用简单问题的办法来求解困难多的问题带来了希望。
（四）“线性”和“非线性”。这也是一对与简单和复杂相对应且关系密切的范畴。一般而言，线性系统是简单的，但简单系统不一定是线性的；非线性系统是复杂的，但复杂系统不一定是非线性的。线性关系在作用时表现为一条直线，想象中是一种比例关系。线性方程可以求解，便于讲述，具有一种重要的叠加特性，可以分解和合并而不影响解的一致性。非线性关系则不然，作用时表现为各种形状的曲线，比如二次函数、三角函数等都是非线性的。复杂的非线性方程不一定有解，不能迭加。非线性还意味着游戏本身包括改变游戏规则的方法。非线性作用具有非独立相干性：“一个微小的因素能导致用它的幅值无法衡量的效果。”非线性由于其内部各种因素的交错变化很难计算，且又能导致线性系统中不可能发生的丰富多彩的行为。在混沌系统中，线性与非线性是共存的，而且更多地表现为非线性。混沌学对非线性问题处理的重大成就是，提出了解决问题的数学方法，通过重整化群、尺度变换、分维、分形等方法的正确计算和绘图，能很好地处理无穷密集的非线性问题，如费根鲍姆反馈迭代函数收敛速率的计算、曼德勃罗的分形、哈伯德牛顿法的复杂边界等，均提供了处理非线性问题的独特方法。通过这些方法的变换，使非线性问题变成线性化的便于理解的问题，线性与非线性在尺度变换中得到统一。尺度变换在初等数学中就有应用，如有幂函数Q=f(S)的非线性方程Q=nS，经两边取对数后可得lgQ=lgn+1/mlgS，则lgQ=f(lgS)就是线性方程，等等。可见，线性方程与非线性并不是绝对对立的，而是可以互相转化的。如果混沌是纯粹的非线性因素作用的结果，而且非线性问题也不能转化成线性问题，那末，人类要在自己的理论范围内对复杂的非线性世界做出清晰的认识就会成为不可想象的事。事实上，在混沌系统内，非线性包含着线性，非线性也能变化为线性。在液、汽相变的热力学混沌系统中，尽管无法理解水在100℃时液、汽的非线性混沌运动，但可以从整体上用熵值来衡量其混乱的程度。熵计算是可以迭加的，所以是线性的，而概率计算是随机的、非线性的，熵是线性与非线性转化的尺度。人的大脑的智能运动是一个混沌系统，意识[5]、意志包含着极其复杂的非线性因素，不可能钻进人的大脑里看到意识的细节，但医学上发展起来的脑电生理学却可从脑电图上观察到人的心理状态，甚至可以在脑电波形上翻译出所想的是什么。神经病人的脑电波的相空间图和气象变化的洛伦兹“吸引子”非常相像，通过脑、电的转换，大脑的非线性就可以变成可理解的线性观察。
除此之外，混沌学中还有许多其它的辩证科学范畴，如“可测”与“不可测”、“有限”与“无限”、“衰退”与“创生”、“整体”与“部分”、“同”与“异”、“存在”与“过程”、“状态”与“演化”、“结构”与“功能”等，都从相反相成的角度丰富和发展了传统西方辩证法。
三 混沌学的哲学意义
混沌学改变了人类对世界的认识，在哲学上丰富和发展了辩证法，下面就其中三个主要方面进行分析。
（一）世界是多元交叉差异的协调统一。从“确定”与“随机”、“有序”与“无序”、“简单”与“复杂”、“线性”与“非线性”等科学范畴的分析中可以看出，混沌中的许多现象和规律是传统的辩证法所不能完全概括的，其对立统一规律的内涵和外延有待进一步充实和扩展。首先，相异共生关系不是对立统一关系，如通常所说的物质与意识、运动与静止等一般物质及其性质[6]之间是一种永远相伴而生的关系。任何事物都表现为物质、能量、结构、空间、时间这五种基本的要素，世界是五元相异共生的。其一，结构是一种序或信息，能量是力的作用性质。其二，质和性是相异的，共生但不对立，异质的也不一定对立，但可以同源。有名的鸡与蛋孰先孰后的关系问题，就不是对立统一的，孰在先、孰在后也无法回答，只能说，二者同源于混沌不分的原始结构。其三，从无到有是三元创生的，混沌是复杂有序之源，有序的产生起码要有三个原初的要素。即使简化成两体问题的牛顿力学，也少不了两体之间的“作用”。由此可见，世界从存在与变化的根本上看是一种多元交叉差异协调的关系。只有这样，才能解释复杂的万千气象和千差万别的事物。对立统一只出现在同质或同性的双向可相互转化的极端线性关系之中。而对于非对称、多元交叉、异质异性的非线性构成的事物之间的关系，若也都冠以对立统一，则在理论上是十分牵强的，在实践中也是难以操作的。事物的根本的辩证规律只能是多元差异交叉协调的，如混沌系统、非线性系统中的事物是一种立体交叉协调的关系，是非线性的交叉统一。
（二）物质的结构决定物质的性质，结构是重要的量。从“有序”和“无序”的范畴分析中可知，序表现为一定的结构，结构不是数量，而是系统中元素的连结、分散关系，是一种整体的量，可用信息度量或负熵计算。整体不等于部分之和，原因就在于结构，即：整体等于部分之和加上结构。事物的度量除了数量之外，更重要的是结构度量。结构反映元素之间相互作用的程度，在一定意义上是一种质的界定。量变引起质变，其主要原因是结构的调整和变化。量变主要是促使结构变化的量变，单纯的数量增加对质变的意义并不是太大。比如，对于企业的发展来说，根本之处应当在于企业内部各种资源结构的有效配置和制度的创新，单纯的人员或设备数量的增加对效益的增长一般不会产生太大的作用。
（三）角度与尺度变换提供了辩证思维的认识方法。辩证法中有一些重要的思维方法，如归纳与演绎、分析与综合、逻辑与历史、抽象与具体等，这些是从共性与个性、整体与部分、认识与实践等范畴的关系中总结出来的。混沌学从分维、分形、重整化群、自相似、整体、有限等观点来看待世界上复杂的问题，其主要方法实际上就是角度变换和尺度变换。复杂的事物往往是将不同角度与不同尺度的事物放在一起的结果，比如绘画、云彩、海岸线、断层山脉等。毕加索是一位善于运用变换的大师，其抽象画就是把不同角度和尺度的东西放在一个平面上，从而创造了绘画史上的奇迹。曼德勃罗和费根鲍姆分别把角度变换和尺度变换用在混沌研究中，从而在科学上做出了杰出的贡献。换角度、换尺度看问题往往会出现前所未见的奇迹，也会把复杂的问题简化为简单的问题来处理。分维实质上就是一种角度变换，分形则是尺度变换。我们在分析问题时，也同样可以把分维与分形的方法扩展到混沌以外的其他科学、艺术或别的问题上去。打破常规线性的思考，多角度、变换新尺度或将不同角度与尺度的东西放在一起，往往既能方便解决问题，同时又能得出接近本质的结论
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