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球面上的測地線和一個平面幾何的問題
張海潮
一八五四年, 年僅二十八歲的黎曼, 在
七十七歲的高斯面前就職演講「論幾何學之
基礎假說」。在這篇演講中, 他解釋了在流形
上為什麼要定出測距的微量元素ds2, 並且
要「建立一個自一原點出發的測地線或最短
曲線系統。」(註一) 用現在的術語來說, 就是
利用測量在局部畫出測地線, 並且利用這些
測地線所形成的座標來(至少) 了解局部的幾
何。
更具體的說, 以地球表面為例,從北極出
發, 沿各條經線往南方走, 這些經線就是測地
線, 它們走了多長可以緯度 表, 走的方向
可以經度 表, 因此ds2 可以d 和d 表成
d 2 + sin2 d 2。(註二) 如果我們觀察一個
緯圓, 亦即等緯度的一個圓, 它等於是由 等
於常數所定義的, 因此d 為0, 此時ds2 就
變成sin2 d 2, 這說明了緯圓的周長會因緯
度而變; 當 是九十度的時候, 它代表赤道,
此時sin 等於1, 說明了赤道緯圓的圓周最
長。(同註二)。
許多微分幾何的教本都會花點篇幅說明
測地線這個名詞並不等價於連結兩點之間的
最短曲線, 原因是測地線起源於局部的測量,
如果只管局部, 那測地線確代表兩點之間的
最短距離。一旦走遠了就不一定是最短的。比
方說, 大家都知道經線是球面上的測地線, 在
同一條經線上的兩點, 有兩個方式連結(圖
一)
繁星笔谈之相对论篇
最近几年这方面的确出现了一些有关超光速 (指真空中的光速) 的讨论， 比如 Scharnhorst 效应， 我还保留过几篇文章。 可是后来忙别的事， 一直也没时间看， 等看过后再仔细讨论。 不过这些年并没看到学术界有人声称狭义相对论或因果律因此而受到破坏， 因此关键有可能仍然在于对 “超光速” 这个术语的真实涵义的理解上， 就象在相速度超过光速时发现群速度才是关键， 在群速度超过光速时发现能量传播速度才是关键 ...
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再补充一点： 我们通常说狭义相对论要求光速不变， 其实确切地讲狭义相对论 (Lorentz 群) 所要求的只是存在一个唯一的不变速度 (即与惯性参照系的选择无关的速度)。 在相对论中， 这个速度是真空中的光速， 而且这个速度不仅在同一时空点的不同惯性系里是一样的， 在不同时空点上也是一样的， 因为相对论是一个经典理论， 在其中真空态是唯一的。 但是在量子场论里， 真空态本身就有结构， 因此原则上 “真空中” 的光速是一个与真空态有关的量， 不一定要等于我们所熟悉的普通真空中的光速。 只要这个量具有不变性 (即在同一真空态下与惯性系的选择无关)， 就不会破坏相对论的基本框架。 由于 Scharnhorst 效应我记得是在 Casimir 真空下出现的， 因此以上补充有可能适用。 等我看过那些相关论文后会在主页上写几篇文章， 更系统地讨论这一话题。
“光速” (the speed of light) 一词中有一个 “光” 字 (light)， 有人可能会以为它与光子——或光波——的速度有什么本质性的关联。 其实 “光速” 一词中之所以有一个 “光” 字， 只是因为通常情况下光子恰好是无质量的。 任何其它无质量的粒子也都可以用来定义这一速度。 不仅如此， 即使一个理论的质量谱中没有无质量粒子， 光速的概念依然可以存在 (当然， 这时是否仍沿用 “光速” 这一名称是可以商榷的)， 只要该理论具有 Lorentz 协变性。 光速的物理重要性并不在于它是否是光子的运动速度， 也不在于光子是否无质量， 甚至不在于自然界是否存在任何无质量的粒子， 而只在于它在 (局域) 惯性系变换下具有不变性。 光速不需要象人民币一度盯美元那样紧盯光子。 如果光子由于某种原因获得了质量， 那么光速——作为不变速度——将不再与光子有关， 这并不破坏 Lorentz 协变性 [但会破坏定域 U(1) 对称性]。
二零零四年三月二十二日写于纽约
本文由若干讨论帖合并整理而成 (引文为网友在讨论中提出的观点或问题)。 由于本文的内容由讨论中提出的问题所确定， 因此比较松散。
1. 引力 “磁场” 与 Coriolis 力：
我记得好像有人甚至把科氏力解释为引力 “磁场” 力， 我觉得这个好像就比较有问题。 首先科氏力太大， 再者科氏力从初等物理的角度都能给出直观的解释。
试图用引力磁场解释 Coriolis 力主要是基于 Mach 原理的考虑， 因此虽然用初等物理就可以 (在惯性系中) 给出运动学解释， 却有人想用广义相对论来推导它的动力学起源。 这种推导最常用的手段是研究旋转质壳内的度规， 最早是由 Thirring 和 Lense 给出的。 不过其结果只是定性地与 Mach 原理相似。 广义相对论的 post-Newtonian 近似中与 “引力磁场” 有关的部分通常被称为 gravitomagnetic 近似， 有许多文献可参阅 (不同文献所采用的符号约定略有差异)。 Gravitomagnetic 近似的基本方程式与 Maxwell 方程组及 Lorentz 力很相似， 但差一些常数因子及符号 (其中符号很关键， 会导致物理效应上的显著差异)。
2. Thirring-Lense 度规是如何得到的？
Thirring-Lense 度规一般是通过把旋转球壳的能量动量分布代入 post-Newtonian 度规而得到的， S. Weinberg 的书中有介绍。 这个解只有在 post-Newtonian 近似下才成立。 求严格解的方法是设法将球壳内部的柱对称度规与外部的 Kerr 解相衔接 (球壳转动的角速度出现在 Kerr 解及 Tμν 中)。 我不知道现在是否已经有这种严格解。 衔接内外解的方法与求 Schwarzschild 内部解的方法类似 (只不过对于理想质壳来说， Tμν 含有 δ 函数， 因而度规的一阶导数不连续)。
3. Gravitomagnetic 方程组与 Maxwell 方程组之异同：
引力场的 gravitomagnetic 近似方程组是这样的：
div E = 4πGρ
curl E = -∂B/∂t
div B = 0
curl B = ∂E/∂t + 4πGJ
其中 E=-gradφ-∂A/∂t， B=curl A， 而 φ~GM/r， A~GJ×r/2r3。 Lorentz 力方程为： F=-mE-2mv×B。 这组方程式虽然看上去和 Maxwell 方程组相似， 但性质很不相同 (主要在于符号差别)， 比如它没有 Meissner 效应。 而且它只是 post-Newtonian 近似的一部分， 不能视为是引力与电磁相互作用在本质上相类似的依据， 与网友提到的那些差异并不矛盾。 那些差异是两者在物理本质上的差异， 而 gravitomagnetic 近似与 Maxwell 方程组的相似只是 post-Newtonian 近似下形式上的相似 (而且即使这种形式上的相似实际上也是 “貌似神离”)。 不过这种形式上的相似给民科们提供了广阔的活动舞台， 他们中水平较高的可以给出一些与广义相对论弱场近似差一些常数因子 (如 2/3， 3/2， -1/6 等) 的结果， 那些因子往往是不知道 gravitomagnetic 近似与 Maxwell 方程组的差异， 用 Maxwell 方程组取代 gravitomagnetic 近似所造成的。
3. Lienard-Wichart 势与偶极辐射：
Lienard-Wichart 势并不意味着一定存在偶极辐射， 后者还有赖于源的性质， 要源带有随时间而变 (二阶导数非零) 的偶极矩才行。 引力源不具有这样的偶极矩 (动量守恒的要求)， 因此没有偶极辐射。
能否定义 mr 为质量偶极矩？ 一个作简谐振动的质点会产生引力偶极辐射吗？
可以用 Σmr 定义质量偶极矩。 但是并不存在作简谐振动的孤立质点， 考虑引力辐射时必须考虑整个体系。 而对于整个体系 Σmr 对时间的一阶导数是体系的总动量， 不随时间而变， 因此不会产生引力偶极辐射。
4. 电磁辐射有偶极辐射而引力辐射没有， 是因为自然界有两种电荷吗？
如果总电荷非零， 则偶极矩可以由坐标变换而消去， 例如将坐标系的原点选在电荷体系的 “荷心” 位置， 则总的偶极矩为零， 从而偶极矩没有实质性的物理意义。
这个说法不太正确。 通过将坐标系的原点选在电荷体系的 “荷心” 位置， 虽然可以将一个总电荷非零的静态电荷分布的偶极矩消去， 但倘若该电荷体系的 “荷心” 本身作变速运动， 则无法通过单一的原点选择将偶极矩持续地消去， 这样的体系仍将有偶极辐射。 而对于引力来说， 体系的质心必定作惯性运动 (由于动量守恒)， 这才是没有引力偶极辐射的原因。
引力荷 (质量) 不能正负抵消、 从而质量体系的质量偶极矩 Σmr 可以通过坐标原点的选择变换到零。 这样， 由于在物理本质上并不存在跟引力质量有关的偶极矩， 从而也就不存在相应的偶极辐射。
如上所述， 关键并不在于是否可以通过坐标变换把一个静态偶极矩消去， 偶极辐射有赖于动态偶极矩的存在。 因此是否存在偶极辐射关键在于是否能够把一切可能的动态偶极矩都消去。 对于质量体系来说这是可能的 (由于动量守恒)， 而对于电荷体系来说则是不可能的 (除了体系的 “荷心” 恰好作惯性运动的特例外)， 这才是差别所在， 与是否存在正负两种电荷无关。 只带一种电荷的体系同样可以有偶极辐射。
这样考察 “不公平”。 凭什么考察电荷体系， 要考虑体系整体的加速运动 (因而体系不是孤立的)， 而考察质量荷体系， 要以孤立体系为考察对象？
在引力辐射中之所以要考虑孤立体系是因为所有质量都是引力源， 因此必须把所有作变速运动的质量都考虑进去， 这就自然地构成了孤立体系。 而电磁辐射中之所以不必限定孤立体系是因为只有带电物质才对电磁辐射有影响， 因此只需考虑体系中带电的部分即可， 这部分不一定构成孤立体系 (这也是 “荷心” 不一定作惯性运动的原因)。
二零零五年一月六日写于纽约
在实验室里直接检验引力波， 据我所知目前还没有确凿的结果。 1968 年， 引力波探测的先驱者之一， Maryland 大学的物理学家 Weber (他曾经是电器工程师) 宣称自己的引力波探测仪检验到了来自银河系中心的引力波的 “很好的证据”。 但是其他物理学家所做的检测没能重复他的结果。 理论计算还表明， 如果 Weber 的结果成立的话， 银河中心需要有远比其它观测手段所证实的剧烈得多的变动， 才能产生那样强烈的引力波。 因此几年之后， 除 Weber 本人以外， 大家普遍认为 Weber 检测到的应该只是他的 “心跳感觉”。 不过， 引力波的存在虽然没有实验室的直接观测证据， 却有很强的间接观测证据。 1974 年， Princeton 大学的 Hulse 与 Taylor 发现了著名的脉冲双星 PSR B1913+16， 这对脉冲双星的轨道周期可以极其精确的予以测定， 同时它们轨道运动产生的引力波 (按照广义相对论的预言) 强烈到由此造成的轨道周期变化可以被清楚地观测到。 观测到的轨道周期变化与广义相对论的计算非常漂亮地彼此吻合， 这给引力波的存在提供了极强的间接证据 (Hulse 与 Taylor 获得了 1993 年的 Nobel 物理学奖)。 类似的间接证据在其它一些脉冲双星系统中也已经被观测到了。
二零零六年八月十三日写于纽约
本文是对我在繁星客栈上回复网友的两个贴子的扩充整理。 那两个贴子探讨的是下面这类问题： 引力场中的自由下落电荷是否会辐射能量？ 引力场中的静止电荷是否会辐射能量？ 一般认为， 这些问题的答案是： 引力场中的自由下落电荷会辐射能量； 而引力场中的静止电荷不会辐射能量。 但这些答案从等效原理的角度看似乎不易理解。 比如引力场中的自由下落电荷似乎应该等效于惯性系中的静止电荷， 从而不应该有辐射； 类似地， 引力场中的静止电荷似乎应该等效于惯性系中的加速电荷， 从而应该有辐射。 这些并不是很简单的问题， 事实上， 自二十世纪六十年代以来一直有人 (虽然人数一直不多) 在讨论， 其渊源甚至还可以回溯到更早的时期。 一个问题能够讨论这么多年， 可见其中不无可争议之处， 因此本文的观点仅供参考。 我比较认同的观点是这样的： 一个带电体系是否辐射能量需要在渐进平直时空的渐进平直区域中进行判断。 在静态引力场中， 一个可以延伸到渐进平直区域的最简单的坐标系就是普通的固定坐标系 (比如 Schwarzschild 度规中的坐标系)， 在这一坐标系中很容易得到前面的几个结论。 而那些看似成导致佯谬的推理均需要引进相对于上述固定坐标系做加速运动的坐标系。 那样的坐标系只能是局域的， 不存在渐进平直区域， 因此无法用来定义辐射。 即便在那些参照系中存在能流分布， 也无法得出电荷辐射能量的结论 (起码无法得出能量辐射到类光无穷远的结论)。
上述问题的另一种思考角度是从观测者是否可以观测到光子来判断是否存在 (电磁) 辐射。 这与上面分析所用的辐射定义明显不同， 因为它不依赖于渐进平直区域 (光子的定义虽然也需要一定的背景时空支持， 但不需要象渐进平直区域那样大尺度的支持)。 这种角度也有人曾经研究过 (比如 A. Kovetz and G. Tauber, Am. J. Phys. 37, 1969)， 得到答案是： 这样定义的辐射存在与否与观测者有关。 他们的逻辑是这样的： 电磁辐射 (比如引力场中自由下落电荷的辐射) 的横偏振部分 (对应于实光子) 在某些观测者 (比如与电荷一起自由下落的观测者) 看来会消失 (定性地讲这不难理解， 因为横偏振部分并不是广义协变的)， 这表明那些观测者的光子探测器将探测不到实光子。 这种有些观测者观测到光子， 有些观测者观测不到光子的结果并不构成佯谬， 因为这样定义的电磁辐射并不是广义协变的， 从而不同的观测者完全可以得到定性上不同的观测结果。
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