Thursday, January 29, 2015

T是温度,在热力学中反映粒子所具有的能量,E是势垒高度,可以理解为一堵墙。整个指数项反映的是具有一定能量的粒子跨过高度为E的势垒的概率。玻尔兹曼分布按这个方式就很好理解,固体物理中导带电子分布也可以从这个方向理解,

统计物理里的 Boltzmann 分布是 exp(-E / k T)
量子物理里面波函数的复振幅是 exp(-E i t / \hbar)
而且计算物理量的平均值的公式也是相似的。

所以引入虚时间 t = - i \hbar / k T,就把量子力学转成了统计力学。而欧式空间转为闵氏空间的方法之一,就是引入虚时间。

这个变换叫 Wick rotation en.wikipedia.org/wiki/W ,在此基础上发展出了统计场论,把量子力学和统计力学紧密联系起来。

傅渥成《写在物理边上》t.cn/RZlARNm

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张宁知乎用户、徐某一 等人赞同
从基本的统计物理出发的推导请见右边的链接:Boltzmann factor

下面我就不谈推导,只谈理解,我将先给出很初等且极不严谨的理解:

(一)不严谨版。从熵的微观定义说起,S=klnΩ:
  • Boltzmann常数k可以将一个微观的定义和一个宏观的量联系起来(在这一意义上,它类似于Avogadro常数),例如在能均分定理中,温度是宏观的量,平均的动能是一个微观的定义。
  • 对数则使得熵从微观状态数这样一个总是需要作乘法的量,变成了一个可加的量。
从这两点出发,我们来构造Boltzmann因子:
  • 第一步,现在我们需要把能量(微观)和温度(宏观)联系起来,那么有E/kT;
  • 第二步,我们发现这个量的量纲跟熵除以Boltzmann常数的量纲是一样的,不难发现这仍然是一个可加的量,微观状态的占据数应该是一个可乘的量,那么在熵的定义时我们取了对数,这里逆回去,变成指数,于是有exp(E/kT);
  • 第三步,检查一下,发现似乎搞错了,这样会导致E等于无穷的时候占据数无限大,这显然是不合理的,E等于无穷的时候应该占据数为0,粒子倾向于在低能量处占据,那么加上一个负号,得到正确的Boltzmann因子。
(二)统计推断中的熵极大原理
在非统计物理的领域,例如在信息学的领域,在统计推断的领域,我们同样会谈到熵,同样可以见到这样的指数形式。熵在统计物理里面意味着无序的程度,在统计推断的领域则意味着系统不确定的程度,如果知道的信息对刻画一个具体的系统只能起很小的作用,那么说明这个信息的质量并不太高,熵是很大的。如果你喜欢这一角度,不妨尝试参考一种理解,这一理解不但可以从统计物理的角度帮助理解这一问题,也可以从统计推断的角度来理解这一问题。统计物理中可以证明,不论在哪种系综下,熵总可以表示为:S=-p ln(p) 的形式。这一定义在统计推断中同样适用。我们根据已知的信息,希望得到一个模型,要让这个模型的约束是最少的,那么就要尝试使系统的熵极大化。在给定几个Lagrangian乘子的约束下,利用变分使熵极大,同样可以得到这一形式,只是这里的系数可能不再是Boltzmann系数而已,指数形式的长相依然存在。这一方法可以参考:Maximum entropy probability distribution,在各类统计学的著作中也有说明。

(三)深入理解的角度
在题主的问题中还出现了对Bose分布理解上的困惑,在初学的阶段,你可以把Bose分布看成是对Boltzmann分布的一个等比级数的求和。
随着学习的深入,再要来真正要来推导Bose分布,Fermi分布,还用能级求和的方法似乎总是显得不够优雅。在对易关系的基础上,考虑算子的含时演化,再将时间替换成t = - i \hbar /kT,整理整理,很自然就得到了Fermi分布和Bose分布。从Wick转动的角度才是一个更好的角度,理解全同粒子的分布,那应当是更基本的东西。
这时候再来看代换t = - i \hbar /kT,或许你已经会觉得它是很自然的了,但是看懂其中的数学并不困难,可是讲清楚其中的物理意义其实还挺困难,可以参考:Thermal quantum field theoryMatsubara frequency,等等维基页面。这一代换得到的有限温度的量子统计的结论可以被实验验证。时间与温度的这种联系可能是因为非对易关系所导致的表现在时间箭头与熵的某种联系。 显示全部
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匿名用户

何史提 赞同
不止是物理,如果你看过信号与系统,数字信号处理,你就知道在离散型计算里,这种破公式非常之多,各种变换让你措手不及。为了不暴露专业,匿了。

知乎用户,/commoner 不懂物理,会一点点光学

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1楼答非所问吧。。我真不是和1楼做对,听说1楼来了以后知乎民科少了很多,但一楼的答案 也常有偏激,片面,主观和审题失误之处,我建议他多找几个水平相同的物理系学生互相进步(不是我,我水平太低==)

问题问的是为什么分母上常见kT,和波函数无关(量子力学和场论不会告诉你为什么有kT)。为什么会有kT,这和统计力学的推导有关系。你可以理解为kT是温度所表征的能量,参见能量均分定理。那么E/kT就是粒子能量和温度能量之比;粒子态的能量越比环境温度能量高,其出现的概率就越小,这就是boltzmann分布的意思。环境温度就好比一个大热炉,提供取之不尽的kT能量;粒子分布就好比这个大热炉中的涨落。
大神们都说的很透彻了。补充一点,关于k的。
热力学对两个系统的温度做明确的限定就只有温度的比值(T1/T2,e.g卡诺循环),所以(熵无量纲)能够随意的让温标乘以常数。比如说Kelvin scale和Rankine scale(温标的零点确定)。所以我们愿意的话也可以选一个温标,让k=1。
《thermodynamics and an introduction to thermostatistics》,Herbert B.Callen,Chapter 2.6 temperature units,
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匿名用户

txz 赞同
个人拙见,这个公式暂且不提,先看看其他符合波尔兹曼分布的公式,比如在势垒为ΔG的波尔兹曼分布下,n=n○exp(-ΔG/kT),可以看作由于势垒存在而出现的一种必然的统计学结果。势垒ΔG可以看作外因,温度T可以看作内因,而k则是一个换算单位,体现出势垒、内部普遍能量状态与状态分布的相关联系。
这个式子还可以与标准正态分布联系起来,可以参考材料科学的扩散理论,具体的就不推导了。但是可以看到的是内外因与分布的统计学关系,这一点对于世间万物是普遍适用的。

Mushao Li又穷又抠又怂

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揣测一下,这是不是因为体系的能量囿于下而不囿于上。E有下界,但无上界,故而
exp(-E/kT)的形式是唯一的形式?你能想到别的形式吗?

杨博人生一半的时间用来思考,另一半用来思考…

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这个问题我是从量子隧穿上理解这个式子的,T是温度,在热力学中反映粒子所具有的能量,E是势垒高度,可以理解为一堵墙。整个指数项反映的是具有一定能量的粒子跨过高度为E的势垒的概率。玻尔兹曼分布按这个方式就很好理解,固体物理中导带电子分布也可以从这个方向理解,当然还有电子跃迁概率。手机打的排版不好请见谅!
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匿名用户

纪念麦克斯韦及玻尔兹曼。好像缺少一个负号,不然就是隐藏其中了^_^

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