单摆和复摆在较小角度情况下，作周期性简谐振动，具有等时性

单摆和复摆在不同摆角情形下的特性分析
刘
华
（鄂东职业技术学院
湖北
黄冈
438000）
摘
要：在物理课教学中，单摆和复摆是一组重要的物理概念。单摆，也称数学摆，摆的质量
集中在物体（视为质关）上、摆长不变；复摆，也称物理摆，摆的大小形状任意，形状大小不可忽略。文章证明单摆和复摆在较小角度情况下，作周期性简谐振动，具有等时性，当摆角较大时，分析周期与摆角之间存在复杂关系，并分析误差情况。
关键词：单摆；复摆；周期性；等时性；简谐振动中图分类号：G712
文献标识码：Adoi：10．3969／j．issn．1665－2272．2013．02．050
收稿日期：2012－12－23
图1
单摆运动的谐振动图
图2复摆运动的谐振动图
教育园地
139

  
 

科技创业
PIONEERINGWITHSCIENCE&TECHNOLOGYMONTHLY
月刊
科技创业月刊2013年第2期
θ
咬＋mghJz
θ=0令ω20=mghJz
，则有θ
咬＋ω20θ=0复摆的小角度摆动为谐振动，振动的周期和频率分别为：
T=2π
Jzmgh
姨，υ=1
2πmghJz
姨（3）
对给定的单摆或复摆，它们的
l、m、h、g、Jz都是确定的，因此，在
小角度摆动情况下它们的周期、频率都是确定的，与起始条件无关，均具有周期性和等时性。
3单摆、复摆的摆角较大时，运动还是周期性的，但不具有等时性
当单摆、复摆运动时，摆角较大，则根据需要，可在sin展开式中保留θ的高次项，例如保留θ3项，
这时θ
咬单摆运动微分方程为：θ
咬＋ω20θ+βθ3=0（4）
式（4）中，β=-ω2
0
/6，这是一个非线性微分方程，非线性微分方程一般无精确解析解，通常只能在一定条件下寻求其近似解。
下面用逐次逼近法得到的式（4）的一次近似解及相关的结论。由于式（4）中的β为一小量，βθ3则为一非线性微扰项，设起始条件
为：
t＝0：θ＝θm，θ
觶＝0按通常的逐次逼近法，可得式（4）的一次近似解为：
θ（t）=θmcosω1t+βθm3
32ω1
2（cos3ω1t-cosω1t）
ω1
2=ω0
2+3θm
24β，
因此，则有：对于单摆：
ω1
2
=ω0
2（1-18θm2）（ω02=gl
）
对于复摆：
ω12=ω02（1-18
θm2）（ω02=mghJz）
从上两式看出，单摆或复摆摆角较大时，三次非线性项的影响较大，存在：①单摆或复摆的运动不再是只有一个频率ω1（称为基频）的谐振动，出现了频率为3ω1的谐振动项（称为三次谐频），它是一个与小量β一次方成正比的修正项。
这时的运动是由频率为w1的“基频谐波”和频率为3w1的“三次谐波”叠加而成；②受三次非线性项影响，单摆或复摆振动频率不再只是与系统固有特性有关的常量，而是与振幅大小有关，初始θm越大，叠加导致频率衰减越严重，即单摆不再有等时性，在由大摆角向小摆角减小过程中，周期逐渐减少；③以
单摆为例，表1中给出了在不同θm
值时（在考虑和与不考虑非线性项），不同情形下单摆周期的比值。
从表1中看出，振幅θm在不超过20°时，不考虑非线性项误差不超过1％，可见在θm＜5°时，取
sinθ≈θ，将单摆问题作为线性问题
处理具有相当高的精度。
参考文献
1吴白诗．大学物理［M］.北京：科学出版社，2001
2
胡坤焯．关于单摆的非线性振动［J］．安徽师范大学学报（自然科学版），
1983（2）
3钟锡华．力学（第二版）［M］．北京：北京大学出版社，2005
4严导淦．大学物理（上册）［M］．北京：机械工业出版社，2009
5
康颖．大学物理（上册）［M］．北京：科学出版社，2010
（责任编辑高平）
CharacteristicAnalysisofSimplePendulumandCompoundPendulumin
DifferentAngularSituation
Abstract：Inthephysicsteaching，thesimplependulumandcompoundpendulumisasetofimportantphysicalconcepts．Simplependulum，alsocalledsimplependulum，placequalityfocusonobjects（asmassclose），placelongunchanged；Compoundpendulum，alsocalledphysicalpendulum，thesizeofthesetofarbi-traryshape，sizecannotbeignored．Thispaperprovesthesimplependulumandcompoundpendulumdoespe-riodicharmonicvibrationinsmalleranglesituationwithisochronouscharacteristic，andanalyzesthecomplicatedrelationshipanderrorsofcycleandpendulumangleinbiggeranglesituation
KeyWords：simplependulum；compoundpendulum；periodic；isochronous；resonance