Tuesday, January 27, 2015

单摆和复摆在较小角度情况下,作周期性简谐振动,具有等时性

单摆和复摆在不同摆角情形下的特性分析


(鄂东职业技术学院
湖北
黄冈
438000)

要:在物理课教学中,单摆和复摆是一组重要的物理概念。单摆,也称数学摆,摆的质量
集中在物体(视为质关)上、摆长不变;复摆,也称物理摆,摆的大小形状任意,形状大小不可忽略。文章证明单摆和复摆在较小角度情况下,作周期性简谐振动,具有等时性,当摆角较大时,分析周期与摆角之间存在复杂关系,并分析误差情况。
关键词:单摆;复摆;周期性;等时性;简谐振动中图分类号:G712
文献标识码:Adoi:10.3969/j.issn.1665-2272.2013.02.050
收稿日期:2012-12-23
图1
单摆运动的谐振动图
图2复摆运动的谐振动图
教育园地
139

  
 

科技创业
PIONEERINGWITHSCIENCE&TECHNOLOGYMONTHLY
月刊
科技创业月刊2013年第2期
θ
咬+mghJz
θ=0令ω20=mghJz
,则有θ
咬+ω20θ=0复摆的小角度摆动为谐振动,振动的周期和频率分别为:
T=2π
Jzmgh
姨,υ=1
2πmghJz
姨(3)
对给定的单摆或复摆,它们的
l、m、h、g、Jz都是确定的,因此,在
小角度摆动情况下它们的周期、频率都是确定的,与起始条件无关,均具有周期性和等时性。
3单摆、复摆的摆角较大时,运动还是周期性的,但不具有等时性
当单摆、复摆运动时,摆角较大,则根据需要,可在sin展开式中保留θ的高次项,例如保留θ3项,
这时θ
咬单摆运动微分方程为:θ
咬+ω20θ+βθ3=0(4)
式(4)中,β=-ω2
0
/6,这是一个非线性微分方程,非线性微分方程一般无精确解析解,通常只能在一定条件下寻求其近似解。
下面用逐次逼近法得到的式(4)的一次近似解及相关的结论。由于式(4)中的β为一小量,βθ3则为一非线性微扰项,设起始条件
为:
t=0:θ=θm,θ
觶=0按通常的逐次逼近法,可得式(4)的一次近似解为:
θ(t)=θmcosω1t+βθm3
32ω1
2(cos3ω1t-cosω1t)
ω1
2=ω0
2+3θm
24β,
因此,则有:对于单摆:
ω1
2
=ω0
2(1-18θm2)(ω02=gl

对于复摆:
ω12=ω02(1-18
θm2)(ω02=mghJz)
从上两式看出,单摆或复摆摆角较大时,三次非线性项的影响较大,存在:①单摆或复摆的运动不再是只有一个频率ω1(称为基频)的谐振动,出现了频率为3ω1的谐振动项(称为三次谐频),它是一个与小量β一次方成正比的修正项。
这时的运动是由频率为w1的“基频谐波”和频率为3w1的“三次谐波”叠加而成;②受三次非线性项影响,单摆或复摆振动频率不再只是与系统固有特性有关的常量,而是与振幅大小有关,初始θm越大,叠加导致频率衰减越严重,即单摆不再有等时性,在由大摆角向小摆角减小过程中,周期逐渐减少;③以
单摆为例,表1中给出了在不同θm
值时(在考虑和与不考虑非线性项),不同情形下单摆周期的比值。
从表1中看出,振幅θm在不超过20°时,不考虑非线性项误差不超过1%,可见在θm<5°时,取
sinθ≈θ,将单摆问题作为线性问题
处理具有相当高的精度。
参考文献
1吴白诗.大学物理[M].北京:科学出版社,2001
2
胡坤焯.关于单摆的非线性振动[J].安徽师范大学学报(自然科学版),
1983(2)
3钟锡华.力学(第二版)[M].北京:北京大学出版社,2005
4严导淦.大学物理(上册)[M].北京:机械工业出版社,2009
5
康颖.大学物理(上册)[M].北京:科学出版社,2010
(责任编辑高平)
CharacteristicAnalysisofSimplePendulumandCompoundPendulumin
DifferentAngularSituation
Abstract:Inthephysicsteaching,thesimplependulumandcompoundpendulumisasetofimportantphysicalconcepts.Simplependulum,alsocalledsimplependulum,placequalityfocusonobjects(asmassclose),placelongunchanged;Compoundpendulum,alsocalledphysicalpendulum,thesizeofthesetofarbi-traryshape,sizecannotbeignored.Thispaperprovesthesimplependulumandcompoundpendulumdoespe-riodicharmonicvibrationinsmalleranglesituationwithisochronouscharacteristic,andanalyzesthecomplicatedrelationshipanderrorsofcycleandpendulumangleinbiggeranglesituation
KeyWords:simplependulum;compoundpendulum;periodic;isochronous;resonance

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