对于空间中任意给定的一个曲面，可以通过弯曲、拉伸或压缩来连续地
改变它的形状。如果不作任何限制，这种改变可以非常随意。但是，如果加上一条限制，
当你弯曲、拉伸或压缩这个曲面而保持它每一点的角度不变的话，你能将它变成什么形
状？
用数学语言叙述这个问题即是：给定二维黎曼流形http://202.112.143.25:8001/xwlw/document?RecordNo=26598&ColumnName=FREETEXT_URL&MultiNo=0&issource=yes&type=bin&searchword=TUTOR1_NAME%3D%25%25&channelid=65004弯曲、拉伸或压缩这个曲面而保持它每一点的角度不变
第一章 绪论
1.1 引言
我们知道，对于空间中任意给定的一个曲面，可以通过弯曲、拉伸或压缩来连续地
改变它的形状。如果不作任何限制，这种改变可以非常随意。但是，如果加上一条限制，
当你弯曲、拉伸或压缩这个曲面而保持它每一点的角度不变的话，你能将它变成什么形
状？
用数学语言叙述这个问题即是：给定二维黎曼流形(M, g)（参阅[1][2][3]）以及M 上
的函数K ，问是否存在保角度量2
1
g = e u g 使得K是 1 g 的高斯曲率（参阅[4]）？此问题
等价于在(M, g)上求解椭圆方程
Δu - g k + K(x) e2u =0 (1.1)
其中Δ和 k分别是(M, g)的拉普拉斯-贝尔特拉米算子（参阅[5][6][7]）及高斯曲率。
（1.1）式的推导过程可参看[8]。此问题通常称为二维流形的保角变形问题或预先指定
保角高斯曲率问题。
特别地，当 M 为R2 , ij g=(δ )时，此时方程变为：
Δu+K(x)e2u = 0 (1.2)
其中 Δ是标准的拉普拉斯算子。
此篇论文研究预先指定保角高斯曲率问题，重点是方程(1.2)在什么条件下有解。许
多作者对此问题做了研究，对于M 为紧的情况人们已经了解得比较清楚。当M 非紧时，
大量的研究工作是在 K 非正的假设下做的，此时上下解方法是大家普遍采用的。当 K
在某些点为正时上下解的方法不再适用。此论文在适当选取整体可积的保角度量下采用
变分法研究方程当 K 在某些点取正值时的存在性。由于所选取的保角度量整体可积，
可以建立类似于紧流形条件下的索伯列夫积分结果，使得变分法在非紧流形上成为有力
工具。从已经取得的结果及极大值原理判断，该方程应该对于一般的非负K 在非紧二维
流形上有解。这是此篇论文研究的重点。
音乐快递：黎曼01 对于空间中任意给定的一个曲面，可以通过 ...
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黎曼流形
欧式空间中的曲纹坐标系（参阅[4]）往往只定义在欧式空间的一个开子集上，而不
是定义在整个空间上。但是，由于欧式空间具有线性结构，在整个空间上存在着笛卡儿
直角坐标系，这说明用一个坐标系就可以把整个欧式空间盖住了，因此欧式空间是最简
单的空间。
在现实世界中存在更复杂的空间，例如球面。在球面上不能建立单个的坐标系，使
它适用于球面上的每一点。我们在地球上纵然可以建立经纬线网，使得地球上的点可以
用它所对应的经度和纬度来描述，然而南极和北极显然是两个例外点，北极对应于北纬
90 度，但经度不确定；同样，南极对应于南纬90 度，经度也不确定。所以经纬线网不
是在数学上严格意义的适用于地球上每一点的坐标网。事实上，倘若在球面上能建立单
个的坐标系适用于球面上每一点的话，球面便能够与欧式平面内的一个连通开集建立同
胚，故球面应该和欧式平面内的一个连通开集（参阅[9]）有相同的拓扑性质。这自然是
荒谬的结论（我们知道球面的Euler 示性数是2，而平面上连通开集的Euler 示性数≤ 1，
两者是不可能同胚的）。
B．Riemann 大概是第一个使用“流形”一词的人，他在1854 年提交的著名论文“论
几何学的基本假设”中，有“流形”的提法。无疑地，在他的脑海中流形的概念是清楚的，
他把一组变量看作某个广义的空间中的点的坐标，它们允许作变换，因此坐标本身不再
具有特殊的几何含义。对流形（拓扑流形）的概念第一次作出准确的数学描述的是
D．Hilbert（参看他的《几何基础》（1902）。后来，H.Weyl 在他的名著《黎曼面的概念》
（1913）中对微分流形作了清晰的数学描述。
欧式空间中的曲纹坐标系（参阅[4]）往往只定义在欧式空间的一个开子集上，而不
是定义在整个空间上。但是，由于欧式空间具有线性结构，在整个空间上存在着笛卡儿
直角坐标系，这说明用一个坐标系就可以把整个欧式空间盖住了，因此欧式空间是最简
单的空间。
在现实世界中存在更复杂的空间，例如球面。在球面上不能建立单个的坐标系，使
它适用于球面上的每一点。我们在地球上纵然可以建立经纬线网，使得地球上的点可以
用它所对应的经度和纬度来描述，然而南极和北极显然是两个例外点，北极对应于北纬
90 度，但经度不确定；同样，南极对应于南纬90 度，经度也不确定。所以经纬线网不
是在数学上严格意义的适用于地球上每一点的坐标网。事实上，倘若在球面上能建立单
个的坐标系适用于球面上每一点的话，球面便能够与欧式平面内的一个连通开集建立同
胚，故球面应该和欧式平面内的一个连通开集（参阅[9]）有相同的拓扑性质。这自然是
荒谬的结论（我们知道球面的Euler 示性数是2，而平面上连通开集的Euler 示性数≤ 1，
两者是不可能同胚的）。
B．Riemann 大概是第一个使用“流形”一词的人，他在1854 年提交的著名论文“论
几何学的基本假设”中，有“流形”的提法。无疑地，在他的脑海中流形的概念是清楚的，
他把一组变量看作某个广义的空间中的点的坐标，它们允许作变换，因此坐标本身不再
具有特殊的几何含义。对流形（拓扑流形）的概念第一次作出准确的数学描述的是
D．Hilbert（参看他的《几何基础》（1902）。后来，H.Weyl 在他的名著《黎曼面的概念》
（1913）中对微分流形作了清晰的数学描述。
[PDF]球面上的測地線和一個平面幾何的問題
w3.math.sinica.edu.tw/math_media/d232/23203.pdf
丘成桐院士演講：現代幾何的發展
episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_16_4_09/
晚上出去散步的时候在想这么一个很不着边际的问题：
我们想问题的时候，总是先有几个念头，然后大致想想，开始往其中几个念头上专注，然后会突然冒出别的想法，和这几个念头杂交一下，诞生新的一批想法，再挑几个专注思考。
这其实很想遗传算法等高级算法，挑出适应度高的，和别的杂交一下，不断演化。
所以，以遗传算法为例，想法就是具体的基因，从而在思考的时候，我们的知识水平以及在其下的对当前想法是否有助于解决一个问题的判断构成了这个想法的适应度函数，随后每次都会将一些显然没戏的给抛弃，将一些最后可能的着重考虑，将一些可能有戏的留着，说不定后来给忘了，也说不定以后会想起来继续思考。
而后，几个不同的想法之间往往也会有所碰撞，从而得到一些全新的想法，这个就不同基因之间的杂交，得到新的基因。
反复如上过程，直到只留下最后那个我们认为最可行的念头为止。
这是一个典型的遗传算法的过程。
当然，人脑执行起来还是会有一些不同的，比如某些想法会因为时间太久而被遗忘，这个在遗传算法中是不会出现的。
而且，人脑不可能同时对太多的念头进行处理，所以可以说适应度函数是很陡的，同时每一代基因的数量都很小。
这样的特点决定了，相对于机器的遗传算法，人脑的思维面显然更小，从而会漏掉不少局部极优解，错过全局最优解更是很自然的情况了。
往另一个角度来说，这种类似遗传算法的系宗只要足够大，那最终都可以用复杂系宗的观点来描述。而对于复杂系宗来说，系宗最终弛豫后的状态，并不是最好的状态，而是最可能出现的状态——当然，这取决于你对“好”这个抽象形容词的具体定义。
比如说，量子就是这种东西。虽然哪怕只有一个光子或者电子，但由于它走的是所有可能路径，因此单独一个粒子本身也构成了一个系宗。而这种量子系宗的结果我们都知道：并不是走最近的路径，而是走最可能的路径，所以才会有各种量子现象。
因此，回到思维思考的问题上，演化的最终结果就是说，我们最终思考的结果是一个最可能出现的想法，而不是一个最好的想法。
或者，再具体地说来，当我们考虑一个抽象问题（比如，不是1+1等于几这种很具体很实在的问题，而是诸如晚上吃什么这种很抽象的问题——好吧，这只是一个随口编的例子，不用较真）的时候，我们最终会得到的是按照我们的知识水平最有可能得到的解决这个问题的想法，而不一定是解决这个问题的最好的想法——甚至未必是我们能想到的所有方法中最好的那个。
同样的，将这种情况放宽到人群中以后，我们会发现，一群人讨论问题的最后结果，是以这群人的群体智慧能得到的最可能的结论，而不是这个群体智慧能得到的最好的结论——至于这两者的偏差到底多大，这个取决于群体的构成，以及彼此的默契程度，还有沟通情况。
我们想问题的时候，总是先有几个念头，然后大致想想，开始往其中几个念头上专注，然后会突然冒出别的想法，和这几个念头杂交一下，诞生新的一批想法，再挑几个专注思考。
这其实很想遗传算法等高级算法，挑出适应度高的，和别的杂交一下，不断演化。
所以，以遗传算法为例，想法就是具体的基因，从而在思考的时候，我们的知识水平以及在其下的对当前想法是否有助于解决一个问题的判断构成了这个想法的适应度函数，随后每次都会将一些显然没戏的给抛弃，将一些最后可能的着重考虑，将一些可能有戏的留着，说不定后来给忘了，也说不定以后会想起来继续思考。
而后，几个不同的想法之间往往也会有所碰撞，从而得到一些全新的想法，这个就不同基因之间的杂交，得到新的基因。
反复如上过程，直到只留下最后那个我们认为最可行的念头为止。
这是一个典型的遗传算法的过程。
当然，人脑执行起来还是会有一些不同的，比如某些想法会因为时间太久而被遗忘，这个在遗传算法中是不会出现的。
而且，人脑不可能同时对太多的念头进行处理，所以可以说适应度函数是很陡的，同时每一代基因的数量都很小。
这样的特点决定了，相对于机器的遗传算法，人脑的思维面显然更小，从而会漏掉不少局部极优解，错过全局最优解更是很自然的情况了。
往另一个角度来说，这种类似遗传算法的系宗只要足够大，那最终都可以用复杂系宗的观点来描述。而对于复杂系宗来说，系宗最终弛豫后的状态，并不是最好的状态，而是最可能出现的状态——当然，这取决于你对“好”这个抽象形容词的具体定义。
比如说，量子就是这种东西。虽然哪怕只有一个光子或者电子，但由于它走的是所有可能路径，因此单独一个粒子本身也构成了一个系宗。而这种量子系宗的结果我们都知道：并不是走最近的路径，而是走最可能的路径，所以才会有各种量子现象。
因此，回到思维思考的问题上，演化的最终结果就是说，我们最终思考的结果是一个最可能出现的想法，而不是一个最好的想法。
或者，再具体地说来，当我们考虑一个抽象问题（比如，不是1+1等于几这种很具体很实在的问题，而是诸如晚上吃什么这种很抽象的问题——好吧，这只是一个随口编的例子，不用较真）的时候，我们最终会得到的是按照我们的知识水平最有可能得到的解决这个问题的想法，而不一定是解决这个问题的最好的想法——甚至未必是我们能想到的所有方法中最好的那个。
同样的，将这种情况放宽到人群中以后，我们会发现，一群人讨论问题的最后结果，是以这群人的群体智慧能得到的最可能的结论，而不是这个群体智慧能得到的最好的结论——至于这两者的偏差到底多大，这个取决于群体的构成，以及彼此的默契程度，还有沟通情况。
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