Friday, February 13, 2015

电荷体系的多极展开 电2^n-1极场n+1次方衰减, 由于静电平衡状态下的孤立导体电荷仅分布在外表面，双曲型双原子分子势函数

袁大侠
　　有一年多没有见到你了,河里去了?好想你啊.今天见到你格外高兴,欢迎你经常来这里.下面就你前面提出的问题答复如下:
　　你前面说的
　　1、有净电荷的场呈距离平方衰减；
　　　　
　　　　2、电偶极场距离立方方衰减；
　　　　
　　　　3、电四极场4次方衰减；
　　　　
　　　　.....
　　　　
　　　　n、电2^n-1极场n+1次方衰减；
　　　　
　　其实这只是点电荷体系的多极展开,它只能算是麦氏静电作用理论的一个应用问题,而不是静电理论的基本问题,

两个严格可解的双原子分子势函数关


、、 1

孙久勋 章立源)

(北京大学物理系，北京 100871)

(1993年6月3 日收到;1993年8月31 日收到修改稿)

提出了一个新的势函数，其Sch工亡三dinger方程严格可解.同时提出一个新的变量变换关
系，严格求解了双曲型P酣chLTelle1f分子势S旦1鱼d鱼鲑上方程的束缚态.得出的能级公式形式

封闭、简单，归一化波函数用超几何级数表达.文献中关于 Hu丨then势和修正 P亡isc111_TeHer势

及无反射势的结果都作为特例包含在本文更一般的结论之中.最后，还讨论了本文势函数对

双原子分子的实际应用.

PACC: 0363; 3115; 3310

量子力学中的很多问题最后都归结为求解相应势函数的 Schr6dinge1一方程.然而，对
于大部分势函数，其相应的Sch寞亡亳dingeT方程都只能数值求解.迄今为止,人们只找到氢原
子、谐振子等极少数几个能够严格求解的势函数….这些势函数不仅本身就描述了一定

的物理体系，并且是很多复杂问题求解的基础，其应用相当广泛.因此，发现和寻找能够严
格求解的势函数，无论在理论上或应用上都具有1艮大的意义〔2ˉ5〕.本文提出了一个这样
的势函数，其一维情形和三维情形S态的SchT6dingef方程严格可解,并求出了三维情形
旦态的严格解，一维情形的解也很容易由此得到.薰

同时我们还提出了一个新的变量变换关系，表明了双曲型Pdschl壳Telle寞(缩写为B工)
分子势…也是严格可解的.得出的能级公式形式封闭、简单,归一化波函数用超几何级数
表达_新势函数的吸引部分相当于所谓的Hu扛h邑n势，双曲型PT分子势的吸引部分相应
于修正PT势和无反射势.因此文献中关于Hulth色n势〔l〕和修正PT势及无反射势〔lˉ8〕的

结果都包含在本文更一般的结论之中_最后还讨论了本文势函数对双原子分子的实际应
用，并与 Morse势阴作了对比.结果表明，这几个势函数对双原子分子Rydberg-Klein-Rees
(缩写为珏迳旦)势函数曲线和实验振动能级的描述精度相近，可作为能互相替换的势函数

使用，这对研究某些问题是很方便的_薰

2 新势函数的提出与求解

我们提出的新势函数为

1高等学校博士学科点基金资助的课题.
1)通讯联系人.
1956 物 理 学 报

45卷

形式都相当复杂，此处我们提出一个新的变量变换关系，直接对包含排斥部分的普遍势函

数(22)式严格求解，得到的归一化波函数用超几何级数表达，求解过程和解的形式都得到

简化，为实际应用提供了方便.

对用于双原子分子的情形，此势函数同样应满足前面的条件.鱼条件(3立式可以定出

系数

A = sinh4 rx， B : cosh4 rx.

与(5)式相应，可以得到决定第三参数 皿的条件，

薰′ 8De Z

U(re) 三 r2q 三 #侧毫，

e

将势函数(22)式代入方程(6)，采用如下变量变换关系;

仪 = Sechz( q挛)，

只考虑束缚态,并引进下列无量纲参量:

可以证明，方程(6)将化为如下的超几何方程;

同前，得到满足边界条件(9)式的解为

侧(y) : AZFl(q， 6， C;y)，

C 苎2泻+ 1.

本征值条件与(16)式相同，由(32)式可得到

由此定出 n的最大取值范围为

其中

(23)

(Z4)

(25)

(ZZ)

(28)

(29)

(31)

(32)

(33)
1958 物 理 学 报 45卷

分子态 7. E跳p/cm′ l A EM/cm′l A EPT/cm′ l 丛EN/cm′l

14 570.78 一7.896 一7.986 一9.038

28 1107.62 一 29.267 一 29.267 一 33.28

42 1608.09 一 61.683 一 61.685 一 69.722

56 2068.76 一 101.712 一 101.714 一 114.37

Csz 70 2484.92 一 144.647 一 144.679 一 161.96

x′ 〗莒 84 2850.22 一 184.136 一 184.137 一 205.602

98 3156.28 -211.799 一211.801 -236.381

112 3392.52 一 217.057 一 217.058 一 243.194

125 3539.14 一 191.649 一 191.65 一 217.385

137 3608.12 一 138.12 一 138.121 一 161.55

3 650.62 一7.941 一7.938 一8.062

7 1461.06 一33.884 一33.877 一34.391

10 2022.37 一61.127 一61.115 一62.038

14 2701.95 一 101.022 一 101.001 一 102.552

ICl 17 3154.57 一 128.185 一 128.167 一 130.182

A′ 3nz 21 3672.49 一 151.235 一 151.213 一 153.785

25 4081.08 一 147.707 一 147.68 一 150.64

30 4427 . 83 一 95 . 677 一 95 . 644 一 98 . 704

34 4593 . 69 一 35 .607 一 35 .571 一 38. 284

38 4691.88 9.381 9.421 7.536

具体计算方法在分子光谱学的书中都可找到.一般所说的实验双原子分子势函数就是指

用RKR方法推算出来的关于 U(r)的数值结果.由表中可见，这几个势函数对双原子分
于RKR势函数曲线和实验振动能级的描述精度，新势函数稍差，双曲PT分子势和MOTse
势相近，在一般情况下可作为能互相替换的势函数使用，这对研究某些问题是很方便的.

特别是本文势函数的求解没有作任何近似，即使在只考虑势函数吸引部分的情况下，
本文的所有公式和结果都能成立.文献中关于Hu丨th邑n 势〔l〕和修正PT势及无反射
势〔1ˉ8〕的结果都作为特例包含在本文更一般的结论之中，也就是说,本文的势函数可以

应用于双原子分子以外的其它场合.Hulthen势曾被用于描述碱性卤化物 F色心的电子
性质…〕，修正PT势则在KdV孤子理论问题的研究中起十分重要的作用〔7，8〕，文献[3〕还

指出了将无反射势应用于光波导理论设计计算中的可能性.本文将这两种势函数扩展到

包含排斥部分的普遍情形，并得出用超几何级数表达的形式简洁的严格解，将大大增强其
应用价值.研究和探讨本文势函数对其它问题的应用，将是很有意义的工作.同时有关散
射态的工作也正在进行之中,结果将另文发表.薰
12期 孙久勋等:两个严格可解的双原子分子势函数 1959

感谢北京大学计算中心对本工作的支持.

〔1] s.Fliigge著，周康巍、胡志雄、王慧素译，应用子力学(四川教育出版社，成都，1987).

〔2] G.PoschLE.TeHer， Zs. P孔ys. , 83(1933),143

〔3] 周光辉，物理学报，4z(1993)，173.

〔4] 周光辉、文根旺，物理学报，4z(1993)，345.

〔5] 陈吕远、胡嗣柱，物理学报，44(1995)，9.

〔6] 朗 道著，严 肃译，量子力学(非相对论理论，上册)(人民教育出版社，北京，1980).

〔7] G. L. LaInb，〕T. ， Elements of Solition Theory (John vZHey and Sons， New York， 1986)， p. 33.

〔8] G. S. GTadneT 31 11Z. ， Co饥饥娜n. P鱿re 11nd A熬澳L M(11薰L. ， Z7(1974).93.

[9] P.M.Morse， P雁ys. Reo. ， 34(1929).57.

〔10] 王竹溪、郭敦仁著，特殊函数概论(科学出版社，北京，1979).

〔11] vZl vveickenmeie! e虚 ozl ， Jl C薰Le，仇l P凡ys. ， 83(1985),5354.

[lZ] .T. C. D. Brand， D. Bussicrcs and 人. R. Hoy， J. M01. S酒ec霉rosc. ， 113(1985)， 388.

TvVo ExACTLY SOLvABLE POTENTIALS

宜()R DIATOMIC M()L耳CUL耳S

SUN I IU-xUN ZHANG LI-YUAN

( De润忆门汛em ()Jr P旌汊s让S， P蛐饥g Un五UerS钮汊， Be麻ng 100871)

(Received 5 June 1995晏 revised Inanuscfipt 艾eceived 31 August 1995)

ABSTRACT

We present a new potential function with an exactly solvable Schrodinger equation. At the saIne

tiIne， We propose a new variable transfonnation to show that the hyperbolic PoschLTeHer molecu1a1一

potential is also exactly solvable. The form of the solutions is not orlly dosed， but also very simple.

The nonnalized Wave ftu1ctions are expressed by the hypergeometric series. All the results of the

HLlltllon potential and the modified Poschl-TeHer potential as weH as the reflectioIlless Potential in the

exiSting lite1一atuJ一e a上e contained in tlle more genera1 condusions of t1lis paPer as special cases.

Finany， practical applications of the potentials in this paper to diatoInic Inolecules are discussed.

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解析小球与空心带电导体接触后，它成为导体内表面的一部分.由于静电平衡状态下的孤立导体电荷仅分布在外表面，所以小球不会带电. 由于导体球带正电，电场线从球 ... 解析电荷在电场中运动，仅受电场力作用，动能和电势能之和守恒.因从A到C动能 ...
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