广义回归神经网络及其在Matlab中的实现_文穗_新浪博客
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基于广义回归神经网络_GRNN_的函数逼近_百度文库
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基于广义回归神经网络经济预测模型 - 新晨范文网
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[PDF]基于广义回归神经网络的赤潮预警
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GRNN广义回归神经网络_CNKI学问
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【第八章】GRNN的数据预测——基于广义回归神经网络的货运量预测 ...
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2010年11月11日 - 6 篇文章 - 5 位作者
视频内容：一：案例背景二：理论基础2.1 GRNN神经网络概述2.2 GRNN神经网络结构模型2.3 GRNN神经网络的理论基础三：模型建立3.1 GRNN ...http://www.lantianyu.net/pdf22/ts088013_1.htm
自然之数 鼓面在垂直方向上随时间变化的位移。它的物理解 释是，一小片鼓面的加速度与所有邻近部分鼓面作用于其上的平均张力成正 比,
克里斯托費爾符號只和度規對於坐標的一階偏導數有關（即描述了度規如何隨坐標變化）
在非線性方程的研究中，我們計算線性化算子。往往發現它是某種幾何的 Laplace 算子，因此非線性方程與幾何學有密切關係"
"由於每一條曲線可以用測地線組成的多邊形逼近，上述在
W(M) 的積分可以用
Gauss 積分的方法得出它的值，它與
Laplace 算子的行列式有關。在
Rn ，
Laplace 算子的定義是
這個算子可以推廣到一般黎曼流形上。
它是幾何、拓樸和數學物理的一個重要橋樑。
回答: 相对运动 研究相对于非惯性参考系的运动，通常采用两种方法：①通过坐标变换，把相对于惯性坐标系的已知运动规律变换成相对于非惯性坐标 由 marketreflections 于 2010-01-06 17:09:03
在分析力学中，我们引入相空间来重新表述牛顿力学：设想有一6维空间，我们用前三个坐标来表示其位置，用另外三个坐标来表示其速度。这样的空间被称作相空间，以区别于3维位置空间。6N维空间中的一点可以表示在3维空间中运行的一个多粒子系统的位置和速度。在相空间中，两个动力学系统的轨迹不可能相交。任何物理系统的各种不同的宏观状态以及各种可能存在的热力学状态都可能对应着该系统在相空间中的不同区域。热力学第二定律的统计力学描述的核心论断是：相空间的上述划分是极不均衡的，其中的某些块要比其他的块大得多。巨块的平衡态实际上是“所有快的事情都发生了，所有慢的事情都未发生”。玻尔兹曼早先把在长时间τ内观察到系统处于Si 状态的时间τi的时间之比的极限（令τ→∞）： τi/τ定义为系统处于Si 状态的几率，爱因斯坦喜爱这个定义，而对几率的配容数定义不满（A.佩斯：《上帝是微妙的》，p74, 陈崇光 德青 等译，科学技术文献出版社，1988年8月北京第1版）。
在分析力学中，我们引入相空间来重新表述牛顿力学：设想有一6维空间，我们用前三个坐标来表示其位置，用另外三个坐标来表示其速度。这样的空间被称作相空间，以区别于3维位置空间。6N维空间中的一点可以表示在3维空间中运行的一个多粒子系统的位置和速度。在相空间中，两个动力学系统的轨迹不可能相交。任何物理系统的各种不同的宏观状态以及各种可能存在的热力学状态都可能对应着该系统在相空间中的不同区域。热力学第二定律的统计力学描述的核心论断是：相空间的上述划分是极不均衡的，其中的某些块要比其他的块大得多。巨块的平衡态实际上是“所有快的事情都发生了，所有慢的事情都未发生”。玻尔兹曼早先把在长时间τ内观察到系统处于Si 状态的时间τi的时间之比的极限（令τ→∞）： τi/τ定义为系统处于Si 状态的几率，爱因斯坦喜爱这个定义，而对几率的配容数定义不满（A.佩斯：《上帝是微妙的》，p74, 陈崇光 德青 等译，科学技术文献出版社，1988年8月北京第1版）。
http://www.lantianyu.net/pdf22/ts088013_1.htm
1714 年，英国数学家布鲁克·泰勒（Brook Taylor）发表了小提琴弦 的振动基频与弦的长度、张力和密度的关系。1746 年，法国人让·勒朗·达 朗贝尔（Jean Le Rond d'Alemberi）证明，小提琴的许多振动并不是正 弦驻波。事实上，他证明了波的瞬时形状可以是你喜欢的任何形状。1748 年， 针对达朗贝尔的工作，杰出的瑞士数学家列昂纳德·欧拉（Leonhard Euler） 就弦建立了“波动方程”。按照牛顿的精神，这是一个刻划弦形状变化率的 微分方程。事实上，这是一个“偏微分方程”，其意义是它不但包含相对于 时间的变化率，而且包含相对于空间——沿弦的方向——的变化率。它用数 学语言表达了这样的思想：弦的每一小段的加速度与作用于那小段的张力成 正比，所以它是牛顿运动定律的产物。
欧拉不仅建立了波动方程，他还解出了波动方程。他的解可以用文字来
描述。首先，把弦变形成你选择的任何形状——比如抛物线、三角形，或你 自己设计的扭动的不规则曲线。然后想象该形状沿弦向右传播，这被称为右 向行波。接着把所选择的形状倒过来，想象它沿另一条路线传播，产生左向 行波。最后，叠加这两个波形。这一过程导致弦端点保持不动的波动方程的 所有可能的解。
欧拉几乎立即卷入了与丹尼尔·伯努利（DanieI Bernoulli）①的一场
争论。伯努利也解出了这个波动方程，但用的是一种完全不同的方法。按照 伯努利的方法，最一般的解可以表示为无限多个正弦驻波的叠加。这种表面 上的不一致引发了长达一个世纪的争论，最终以欧拉和伯努利都正确而结束 了这场争论。他们都正确的原因在于，每个周期性改变的形状都可表示为无 限多个正弦曲线的叠加。欧拉认为他的方法导致较为多样的形状，因为他未 认识到它们的周期性。然而，这种数学分析适用于无限长的曲线。由于曲线 的唯一部分是两个端点之间的那部分物质，所以它可以不发生任何实质性的 变化沿很长的弦周期性地重复。因此，欧拉的担忧是不成立的。
从而，这一切工作的结论是，正弦波是基本振动成分。可以出现的所有 振动，由形成所有可能振幅的所有可能有限多个或无限多个正弦波之和给 出。正像伯努利一贯坚持的那样，“一切由达朗贝尔和欧拉给出的新曲线只 是泰勒振动的组合”。
随着这一争论的解决，小提琴弦的振动不再是一个谜了，于是数学家们
着手猎取更大的猎物。小提琴弦是一条曲线，是一维对象，但多维对象也可 以振动。二维振动最明显的乐器是鼓，因为鼓面是一个平面，不是一条直线。 因而，1759 年从欧拉开始，数学家们把注意力转向了鼓。欧拉又导出了一个 波动方程，这个方面在垂直方向上随时间变化的位移。它的物理解 释是，一小片鼓面的加速度与所有邻近部分鼓面作用于其程描述鼓上的平均张力成正 比。如用符号来表示，它看上去很像一维波动方程，但现在除了有时间变化 率之外，在两个独立方向上还有空间（二阶）变化率。
"小提琴共鸣箱作为小提琴发声系统最为核心的部分，其振动状态对"
Articles: configurational entropy approach to the kinetics of glasses; entropy theory and glass transition: a test by Monte Carlo simulation; entropy and fragility in ...
廣義相對論中的開普勒問題- 維基百科，自由的百科全書
克里斯托費爾符號只和度規對於坐標的一階偏導數有關（即描述了度規如何隨坐標變化） .... 這個最內半徑是單位質量的角動量的函數，即上面定義的長度參數 a=L/mc
有40个独立的分量. 它是度规对坐标的一阶偏导数的线性齐次函数. 从(3.9)式可见，
度规函数的极函相关的中英文句子. ... 对成员函数是可微的和Lipschitz型的极大极小问题，研究了极大熵方法得到的近似问题和原问题满足最优性一阶必要条件的解 ...
在III区，由于要求度规在无穷远处趋近于平直时空，故其形式为常见的史瓦西解。 ... 由这些一阶偏微分方程只能确定到关于由 ... 要求变换后的解为史瓦西形式，故可以确定任意函数的形式；在II区和I区，要求度规在边界处连续也可确定任意函数的形式。
看上去, 它是一个纯几何的猜想; 它所说的是在容许的范围内对一个度规进行合理的 .... 上的Green函数和Poisson方程似乎也能达到同样的目的)便能够给出一阶导数的 ...
"
PPT]近代幾何的發展 丘成桐香港中文大學數學科學研究所
幾何三十載 丘成桐 香港中文大學 數學科學研究所. 2. 一個質點在空間的移動，可以由映射x : [0,T] R3 來描述。它的速度向量是 ，它的動能是 。 給定空間中兩點 p ...
物理学中的几率与曲率
http://blog.sciencenet.cn/blog-1668877-821814.html 此文来自科学网吴新忠博客
下一篇：量子力学解释的历史
也就是一種函數,想一想多項式"函數"~不就是把所有的實數~透過多項式的運算對應到另一個實數嗎?
在数学中，泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数足够光滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。泰勒公式还给出了餘項即这个多项式和实际的函数值之间的偏差。泰勒公式得名于英国数学家布鲁克·泰勒。他在1712年的一封信里首次叙述了这个公式，尽管1671年詹姆斯·格雷高里已经发现了它的特例[1]。拉格朗日在1797年之前，最先提出了帶有餘項的現在形式的泰勒定理。
在數學中，泰勒公式是一個用函數在某點的信息描述其附近取值的公式。如果函數
所谓动力系统，就是一个集合上的单参数变换群，或者一个相流。有离散动力系统和连续动力系统之分。
连续动力系统定义在一个拓扑空间上，称为状态空间或相空间，通常是微微分流形，可以是无限维的，一个动力系统就是一个向量场，对应于
相空间自同构群的李代数，是一个无穷维李代数（有什么性质？）。一个李群的单参数子群和李代数有一一对应。相空间还可以有其它的数学结构，如复结构，
辛结构，黎曼流形，泊松结构，测度空间等等。
给定一个动力系统可以研究它的结构稳定性，所谓结构稳定性就是它的相图结构具有小扰动下的拓扑不变性，可以刻画为具有道路连通邻域。
所有结构稳定的系统构成一个开集（开子空间？，是否稠密？）。两系统称为同构的，如它们在同一个伴随轨道上，同构的系统他们的相图结构只差一个拓扑变换。
轨道是相图结构的基本单位，是最小的不变集。轨道的并集是不变集。系统在不变集上的限制称为子系统，一个变换若和系统相容则称为是系统的对称，一个系统和它的
无穷小对称是可换的。系统可在其一个对称群轨道空间上决定一个动力系统称为系统的商动力系统或约化系统。
除了对称性和结构稳定性，还可以研究系统的轨道的周期性，回归性，渐近行为，系统可积性和是否包含混沌和遍历性。
对于轨道可以有分为不动点，周期轨道，和概周期轨道等，再复杂一点就是混沌。
混沌对立面就是可积性。可积的轨道就是规则的轨道，相邻的轨道动力学行为相似的，可积的轨道就是周围的轨道都有相似的行为，比如都在一个环面或扭曲的柱面内运动。
1714 年，英国数学家布鲁克·泰勒（Brook Taylor）发表了小提琴弦 的振动基频与弦的长度、张力和密度的关系。1746 年，法国人让·勒朗·达 朗贝尔（Jean Le Rond d'Alemberi）证明，小提琴的许多振动并不是正 弦驻波。事实上，他证明了波的瞬时形状可以是你喜欢的任何形状。1748 年， 针对达朗贝尔的工作，杰出的瑞士数学家列昂纳德·欧拉（Leonhard Euler） 就弦建立了“波动方程”。按照牛顿的精神，这是一个刻划弦形状变化率的 微分方程。事实上，这是一个“偏微分方程”，其意义是它不但包含相对于 时间的变化率，而且包含相对于空间——沿弦的方向——的变化率。它用数 学语言表达了这样的思想：弦的每一小段的加速度与作用于那小段的张力成 正比，所以它是牛顿运动定律的产物。
欧拉不仅建立了波动方程，他还解出了波动方程。他的解可以用文字来
描述。首先，把弦变形成你选择的任何形状——比如抛物线、三角形，或你 自己设计的扭动的不规则曲线。然后想象该形状沿弦向右传播，这被称为右 向行波。接着把所选择的形状倒过来，想象它沿另一条路线传播，产生左向 行波。最后，叠加这两个波形。这一过程导致弦端点保持不动的波动方程的 所有可能的解。
欧拉几乎立即卷入了与丹尼尔·伯努利（DanieI Bernoulli）①的一场
争论。伯努利也解出了这个波动方程，但用的是一种完全不同的方法。按照 伯努利的方法，最一般的解可以表示为无限多个正弦驻波的叠加。这种表面 上的不一致引发了长达一个世纪的争论，最终以欧拉和伯努利都正确而结束 了这场争论。他们都正确的原因在于，每个周期性改变的形状都可表示为无 限多个正弦曲线的叠加。欧拉认为他的方法导致较为多样的形状，因为他未 认识到它们的周期性。然而，这种数学分析适用于无限长的曲线。由于曲线 的唯一部分是两个端点之间的那部分物质，所以它可以不发生任何实质性的 变化沿很长的弦周期性地重复。因此，欧拉的担忧是不成立的。
从而，这一切工作的结论是，正弦波是基本振动成分。可以出现的所有 振动，由形成所有可能振幅的所有可能有限多个或无限多个正弦波之和给 出。正像伯努利一贯坚持的那样，“一切由达朗贝尔和欧拉给出的新曲线只 是泰勒振动的组合”。
随着这一争论的解决，小提琴弦的振动不再是一个谜了，于是数学家们
着手猎取更大的猎物。小提琴弦是一条曲线，是一维对象，但多维对象也可 以振动。二维振动最明显的乐器是鼓，因为鼓面是一个平面，不是一条直线。 因而，1759 年从欧拉开始，数学家们把注意力转向了鼓。欧拉又导出了一个 波动方程，这个方面在垂直方向上随时间变化的位移。它的物理解 释是，一小片鼓面的加速度与所有邻近部分鼓面作用于其程描述鼓上的平均张力成正 比。如用符号来表示，它看上去很像一维波动方程，但现在除了有时间变化 率之外，在两个独立方向上还有空间（二阶）变化率。
"小提琴共鸣箱作为小提琴发声系统最为核心的部分，其振动状态对"
40 Years of Entropy and the Glass Transition - Google Books
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廣義相對論中的開普勒問題- 維基百科，自由的百科全書
zh.wikipedia.org/zh-hk/广义相对论中的开普勒问题
引力論: - 第 491 頁 - Google 圖書結果
https://books.google.com.hk/books?isbn=9570911336 - 轉為繁體網頁
除了常數以外,由度規係數和它們的一階微商無法齊次地構成任何標量不變且。 ... 原理中所構思的屯凡 z , t 的獨立可變函數是反變表述中度規張量的十個不同分量 9 "藏象论类似微积分、函数论的真谛-挑战相对论-西陆网 - 西陆论坛
club.xilu.com/hongbin/msgview-950451-327532.html
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2014年5月7日 - 1 篇文章
但我们主要还是从中医看藏象论，说它类似微积分的求导，类似函数论、 ... 象论张量自身由度规求导的一阶和二阶导数，构成对应的微积分或函数论， ...[PDF]第三章等效原理和时空弯曲
astronomy.nju.edu.cn/~tyhuang/jiaoxue/chapter3.pdf
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度规函数的极函 - 句库网
www.74389.com/search/度规函数的极函.html
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[PPT]静态情况 - Indico
indico.ihep.ac.cn/getFile.py/access?resId=35...slides...
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数学中有哪些明明是暴力破解还给人美感的证明？ - 科学- 知乎
www.zhihu.com/question/24239308
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"
Hamilton
引入的熵基本上是用來控制方程的收歛性，它隨時間而増長，這是由推廣 Li-Yau 不等式而得到的。
二維空間的方程由 Hamilton 推廣到高維的黎曼空間，其想法有兩個不同的根據。
首先， Einstein 已經知道引力場是由一個類似於黎曼張量的張量
å gij dxi dxj 所決定的，引力由整個曲率張量給出。其中有一部份曲率是由物質的分佈給出，這部份的張量叫做
Ricci 張量。
"PPT]近代幾何的發展 丘成桐香港中文大學數學科學研究所
www.cms.zju.edu.cn/UploadFiles/AttachFiles/20054411421524.ppt
物理学中的几率与曲率
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（发表于《哲学评论》第8辑，武汉大学出版社，2010年6月第1版，转载于《量子新论》第1辑，中国新闻联合出版社，2011年12月）
物理学中的几率与曲率
吴新忠
上海交通大学科学史与科学哲学系（200240）
E-mail: sju@sina.com
摘要：物理学中的几率概念，主要是通过分子运动论进入统计力学与量子力学中的；而物理学中的曲率概念，作为微分几何在物理学中的应用，老早就进入分析力学中，随着广义相对论中引入时空曲率描述引力现象，曲率的概念变得日益重要，在规范场论中场强被赋予曲率的理解。量子力学中的曲率思想，萌发于薛定谔方程的早期推导过程，突变论创始人勒内·托姆从微分拓扑学的角度主张熵与量子波函数可以作曲率解释。赵国求提出的量子力学曲率解释，进一步协调了相对论与量子论，对波函数作出曲率解释，形成了目前为止最接近薛定谔科学思想与爱因斯坦的物理学理想的一个新解释。
关键词：几率 曲率 量子曲率
一． 物理学中的几率概念
几率理论具有很长的历史，从亚里斯多德关于生物遗传性的著作开始，17世纪以来被许多数学家和逻辑学家所发展。“几率理论”在数学上的发展始于赌博游戏中出现的问题，描述几率的概念是“信念度”，数学工具是组合代数。把几率的概念应用于测量和观察（起先用于天文学，现在涉及到其他所有领域）的系统化时，便形成了“误差理论”。当把几率概念应用于社会、经济和生物问题时，统计理论便是样本理论。对于几率概念，存在多种解释，大致分为两类：1.几率是一种对证据确认程度的量度；2.几率是一类特殊元素中某种属性出现的相对频率的量度（吴大猷：《吴大猷科学哲学文集》，p34-36, 社会科学文献出版社，1996年2月第1版）。
几率，作为一个物理概念，萌发于亚里斯多德采用“潜能”概念来理解物体运动与生物发育等变化过程。牛顿力学通过斯宾诺莎的古典唯理论，导致了对牛顿力学的拉普拉斯决定论解释。古典唯理论认为：知识或科学应当建立在某一精密的命题（或定律）之上，不应当建立在经验之上（通过观察和实验）。这些精密的定律是“必然的”，“自明的真理”和“可由理智直接得到的”。爱因斯坦在晚年相信这些自然规律的可能性和合意性。因此，当我们处于对“自然的伟大定律”缺乏知识的境地时，“先验几率”的概念被保持下来，这个概念不是建立在经验发现的基础上，而是一个“合理信念的程度”，这种“信念”基于“无差别原理”（ 吴大猷：《吴大猷科学哲学文集》，p35, 社会科学文献出版社，1996年2月第1版）。
物理学的中的几率概念，首先是通过分子运动论进入热力学与统计物理学的，伯努利对波义耳定律的解释就涉及到几率。早在1850年，克劳修斯明确引进了统计思想，更严格地推导了理想气体状态方程。1859年，麦克斯韦在《气体动力理论的说明》中，引入了分子运动速度的统计平均概念。1871年，玻尔茨曼只假设一定的能量分布在有限数目的分子之中，能量的各种组合机会均等（即在动量空间内的能量曲面上作均匀分布），能量一份份地分成极小的但却有限的份额，经过组合分析后发现，份额趋于无穷大，每份能量趋向无穷小时，就获得了麦克斯韦分布。
在分析力学中，我们引入相空间来重新表述牛顿力学：设想有一6维空间，我们用前三个坐标来表示其位置，用另外三个坐标来表示其速度。这样的空间被称作相空间，以区别于3维位置空间。6N维空间中的一点可以表示在3维空间中运行的一个多粒子系统的位置和速度。在相空间中，两个动力学系统的轨迹不可能相交。任何物理系统的各种不同的宏观状态以及各种可能存在的热力学状态都可能对应着该系统在相空间中的不同区域。热力学第二定律的统计力学描述的核心论断是：相空间的上述划分是极不均衡的，其中的某些块要比其他的块大得多。巨块的平衡态实际上是“所有快的事情都发生了，所有慢的事情都未发生”。玻尔兹曼早先把在长时间τ内观察到系统处于Si 状态的时间τi的时间之比的极限（令τ→∞）： τi/τ定义为系统处于Si 状态的几率，爱因斯坦喜爱这个定义，而对几率的配容数定义不满（A.佩斯：《上帝是微妙的》，p74, 陈崇光 德青 等译，科学技术文献出版社，1988年8月北京第1版）。
统计力学的一个基本假设是所有微观态都是等几率发生的。如果组成一个系统有Ω种方式，那么经过一段较长时间后，系统处于某个特定宏观态X的概率是Px =Wx /Ω，式中Wx 是对应于宏观态X的微观排列数。玻尔茨曼通过把一个分布的热力学熵作为与之相对应的排列数的应变量，建立了一个表达式：S=klnW。宏观状态的熵是与之相对应的微观状态的相空间体积的度量单位；如果微观状态不是连续的，它也是与之对应的微观状态数量的度量单位。这意味着熵与信息有某种联系。某一宏观态的熵越大，其对应的相空间体积就越大，也更容易出现，但携带的信息量就越少，混乱度越大。
1900年10月19日，普朗克推导出了跟实验吻合的黑体辐射能量-频率分布定律,这就是普朗克定律,它在低温时与瑞利-琼斯定律一致,在高温时与维恩定律一致。在研究过程中，普朗克引入了两条假设：一是量子假设，即谐振子系统总能量是由有限个大小为E=hν的不可分解的能包所组成；二是记数假设，即计算谐振子的熵时，把粒子视为全同粒子。于是，P个能量子在N个振子中进行分配时，配容数不同于玻尔茨曼分布。
根据给定所有粒子的位置和速度的知识能够计算整个宇宙的历史，现在和未来的拉普拉斯精灵，随着量子理论的诞生以及原子物理的发展而陷入困境。第一次暗示出“几率”起到比拉普拉斯和玻尔兹曼所认识到的更为基础的作用的是由卢瑟福和索迪发现的放射性衰变定律-dn/dt=n/τ。1905年，爱因斯坦在他的光子理论中引入统计的概念，1917年，在推导普朗克的辐射公式中又引入跃迁几率的概念。跃迁几率与每单位时间放射性衰变的几率1/τ是相似的，并且意味着，象放射性衰变一样，物质发射和吸收辐射服从几率定律。这与古典物理学形成了一个鲜明的对照，古典物理学认为所有的过程都受决定论的定律所支配（吴大猷：《吴大猷科学哲学文集》，p52,社会科学文献出版社，1996年2月第1版）。
在1925-1926年，量子力学的现有体系首先是形式体系，其次是哥本哈根学派的物理与哲学解释被创立，发展和完善。按照尼尔斯·玻尔，海森伯与玻恩的思想构建的量子力学公理体系包含着“互补原理”与“几率公设”。互补原理起始于接受了由爱因斯坦和德布罗意波粒二象性所表达的我们的基本概念和知识本质的限制。作为爱因斯坦和德布罗意波粒二象性关系E=hν，p=h/λ的推论，量子力学中的线性厄米算符所代表的正则共轭可观察量并不服从乘法的交换定律，比如动量算符与位置算符满足pq-qp=h/2πi ，这就意味着对共轭可观察量的测量是互斥又互补的（吴大猷：《吴大猷科学哲学文集》，p52,社会科学文献出版社，1996年2月第1版）。
1926年，玻恩在《论碰撞过程的量子力学》中，认为波函数服从统计规则，波函数模量的平方|y|2，给出粒子出现的几率。因此，在量子信息转化为经典信息的时候，玻恩的几率解释破坏了复变波函数ψ的全纯性。在1926年玻恩致爱因斯坦的信中指出：“我把薛定谔波场理解为你用字意义上的‘幽灵场’，在当时是有用的，……当然，几率场不是在通常空间中而是在相空间（或组态空间）中传播的。”（A.佩斯：《上帝是微妙的》，p544, 陈崇光 德青 等译，科学技术文献出版社，1988年8月北京第1版）
量子力学几率解释的萌芽思想，也出现在薛定谔的《作为本征值问题的量子化》（第四篇）（《物理学年鉴》1926年第4期，第81卷）中，他首先给出了波函数的电荷密度解释：“我们选择一个粒子，让在一般力学中描述其位置的三个坐标确定；用ψψ*对系统所有剩余的坐标积分，并对结果乘以一个常数，所选电子的‘电荷’；我们对每个粒子（三元坐标组）做相同的事，在每一情形中给所选电子以相同的位置，即我们想知道电荷密度的空间那点的位置。这一密度等于部分结果的代数和。”而后，薛定谔指出：“ψψ* 是系统的位形空间中的一种权重函数。系统的波动力学位形是许多（严格地说所有运动学上可能的点的力学）位型的叠加。这样，每一个点的力学位型对真正的波动力学贡献某种权重，它正是由ψψ* 给出的。”他把ψ函数看作是非常真实的，电荷空间密度的电动力学上有效的涨落：“ψ函数所起的作用，恰恰在于允许这些涨落的总体，能以单个偏微分方程从数学上把握和考察。我们已经反复强调了这一事实：ψ函数本身不可能，也不可以直接以三维空间的语言来解释，无论单电子问题如何趋向于把我们误导向这一点，因为它一般而言是一个位形空间中，而不是真实空间中的函数。”他还利用电荷守恒来理解波函数归一化的必要性：“关于在上述意义上的这么一种权重函数，我们希望它对整个位形空间的积分保持归一化为同一不变的值，最好是单位值。我们很容易证实：如果系统的总电荷在上述条件下保持不变，这就是必然了。即使对非保守系，显然也假设这个条件。”（薛定谔：《薛定谔讲演录》，p106,范岱年 胡新和 译，北京大学出版社，2007年10月第1版）
尽管量子几率可以通过密度矩阵与熵的几率联系起来，但是量子几率与经典几率有着本质的差别：经典力学信奉因果律，观测结果的几率性是有原因的，这种原因既可能来自人们还未认识到的客体自身的秉性，也可能来自外界复杂的影响。量子力学是不问原因，只从观测结果看几率问题。海森伯认为，量子力学的任务只给出可观察量之间的关系，而不回答为什么是这样的问题。量子力学波函数的几率解释是和定态跃迁假设自洽的，而在经典力学中，客体运动状态的变化必定是连续的。玻尔的定态跃迁假设，海森伯的可观测量思想，玻恩的波函数几率解释，是哥本哈根解释的精华。与牛顿-爱因斯坦的“物质，时空，运动”的自然哲学路线不同，哥本哈根学派的研究路线是“定态，跃迁，几率”（金尚年：《量子力学的物理基础和哲学背景》，p60-61, 复旦大学出版社，2007年7月第一版）。
爱因斯坦在1936年写道：“y函数不能以任何方式描述单个系统所具有的条件，而只能与许多系统，即统计力学意义上的整个系统有关。” 爱因斯坦，波普尔等人的统计系综与哥本哈根学派不同的是，把不确定关系理解为互补观察量之间的统计弥散度，而不是每次测量的精确度。在波普尔看来，希尔伯特空间中的矢量提供的是统计学的断言，它得不出关于单个粒子行为的精确预示。量子论中的概率是相对概率（即条件概率），解释量子力学的问题可以全部归结为解释概率运算的问题。在1953年波普尔独立提出的量子力学系综解释中，波普尔将“几率”解释为一种“倾向性”，一种附属于进行重复测量的整个实验装置，可以同对称性或其他广义力相比拟的物理属性。几率不仅象实验装置一样客观，而且是一种与力和场同等意义上的物理实在（M.雅默：《量子力学的哲学》，秦克诚 译，p518-527,商务印书馆）。
爱因斯坦决不指望对现有的量子力学进行反几率的改造，针对戴维·玻姆引入量子势对量子力学进行决定论解释的尝试，他给玻恩写信说：“你看到玻姆（其实还有徳布罗意在二十五年前）是怎样相信能够以另一种方式从决定论的角度来解释量子力学的吗？我认为，这是廉价的推论，但你当然可以更好的判断。”“在力学过程领域中，……量子统计理论迄今还是一个自洽的体系，它正确地描述观察到的量之间的经验关系并能从理论上预言它们的意义”。爱因斯坦在统一场论的探索中，企图把量子力学作为未来统一场论的超决定论的约束条件处理（A.佩斯：《上帝是微妙的》，p570-572, 陈崇光 德青 等译，科学技术文献出版社，1988年8月北京第1版）。
二．物理学中的曲率
天文学与数学的早期发展就已经涉及圆与圆锥曲线等问题，而涉及曲线与曲面问题的球面几何远在古希腊天文学家托勒密（约公元前170-100年）的时代就已经发展起来，并且人们已经注意到平面几何与球面几何的差别。但是，描述曲线、曲面等空间形态的弯曲程度的曲率与挠率等概念直到解析几何与非欧几何创立以后才建立起来。
1673年，Christian Huygens在《钟表的振动》中，采用纯几何方法研究了平面曲线的性质。设在曲线上P点处给了一条固定的法线，当一条相邻的法线移向这固定的法线时，这两条法线的交点在固定法线上达到极限位置，它就叫做曲线在P点的曲率中心。Huygens证明了，曲线上的点沿固定法线到这极限位置的距离（用现代的记号）是[1+(dy/dx)2] 3/2/(d2 y/dx2 ) 。这个长度是曲线在P点的曲率半径。
Newton在他的《解析几何》（Geometria Analytica）中（虽然该书的大部分大约写于1671年，但出版于1736年）也引进了曲率中心，作为P点的法线及其邻点法线的交点的极限点。然后Newton说，圆心在曲率中心、半径等于曲率半径的圆是在P点与曲线最密接的圆。这个最密接的圆叫做密切圆，密切圆的曲率是其半径的倒数而且是曲线在P点的曲率。Newton也给出了曲率的公式，并计算了一些曲线，包括摆线在内的曲率（M.克莱因：《古今数学思想》（第二册），p301-302,北京大学数学系数学史翻译组译，上海科学技术出版社，1979年8月第1版）。
1775年，Euler(1707-1783)用参数方程x=x(s),y=y(s),z=z(s)表示空间曲线，其中s是弧长，他和十八世纪的其他作者一样用球面三角来进行分析。从参数方程他得到dx=pds, dy=qds, dz=rds，其中p,q和r都是逐点变化的方向余弦，当然要p2 +q2 +r2 =1。量ds，即自变量的微分，他是作为一个常量看待的。设ds’是曲线上相距ds的两点的两个相邻切线间的弧或角。Euler关于该曲线的曲率半径的定义便是ds’/ds 。
Clairaut曾经引进了空间曲线有两个曲率的想法。其中的一个曲率由Euler以刚才叙述过的方式加以标准化。另一个曲率，现在叫“挠率”，几何上表示一条曲线从（x,y,z）点处的一个平面离开的速率，是由工程师和数学家Michel-Ange Lancret(1774-1807)用分析方法求出它的显式显示的。他在曲线的任一点处选出了三个主方向。第一个主方向是切线方向。“逐次的”切线位于密切平面内。位于密切平面内的法线是主法线，第二个主方线是主法线方向。垂直于密切平面的法线是次法线，次法线方向是第三个主方向。挠率是次法线方向关于弧长的变化率。Lancret用x=ф(z), y=ψ(z)表示一条曲线，并把dμ叫做逐次法平面之间的夹角，而把dn叫做逐次密切平面之间的夹角。于是用近代的记号来写便有dμ/ds=1/r, dn/ds=1/t，其中r是曲率半径，而t是挠率半径（M.克莱因：《古今数学思想》（第二册），p303-307,北京大学数学系数学史翻译组译，上海科学技术出版社，1979年8月第1版）。
1795年，Playfair(1748-1819)把欧几里德几何学中长期得不到证明的平行公理重新表述为：“过已知直线外一点有且只有一条直线平行于该直线”。1826年2月23日，俄罗斯数学家N.I.Lobachevsky(1792-1856)在喀山大学物理数学系宣读了他的论文《简要叙述平行线定理的一个严格证明》，这标志着非欧几何的诞生。他设想如果过一点不止有一条直线与已知直线平行，那么就可以建立一种与Euclid几何不同的“虚几何学”，在这种几何中：（1）承认空间是弯曲的，任何直线都是曲线，任何平面都是曲面；（2）其所描述的空间曲率处处等于一个非零常数，就是说空间处处一样弯，并且是均匀的；（3）过已知直线外的一点，可以有无数多条直线与已知直线平行，但是它们和已知直线都不能保持同一距离；（4）三角形的内角和不再是180o，而是一个小于180o的变量；（5）圆的周长与半径不成比例，而是比半径增长得快。1832年以后，John Bolyai(1802-1860), Carl Friedrich Gauss（1777-1855）等人也提出了类似的新几何学（江晓原 主编：《科学史十五讲》，p258-259,北京大学出版社，2006年11月第1版）。
Gauss对曲率的定义，是Euler用于空间曲线和Olinde Rodrigues用于曲面的标形对曲面的推广。Euler早就提出了曲面上任一点的坐标（x,y,z）可以用两个参数“拟经度”u和“拟纬度”v表示的思想，即曲面的方程可以这样写出：x=x(u,v), y=y(u,v), z=z(u,v)。Gauss的出发点是运用这个参数表示来作曲面的系统研究。从这些参数方程中我们有dx=adu+a’dv, dy=bdu+b’dv, dz=cdu+c’dv 。
把弧长ds2 =dx2 +dy2 +dz2表示为（u,v）的函数，就是
ds2 =E(u,v)du2 +2F(u,v)dudv+G(u,v)dv2 , 其中
E=a2 +b2 +c2 , F=aa’+bb’+cc’, G=a’2+b’2+c’2 .
Gauss在微分几何方面的里程碑式的工作表明，E,F,G就可以确定这个曲面的所有Euclid性质。这就提出了两个极其重要的思想。第一个是，曲面本身可以看成是一个空间，因为它的全部性质被ds2确定。人们可以忘掉曲面是位于一个三维空间中的这个事实。Gauss的工作意味着，至少在曲面上有非Euclid几何，如果把曲面本身看成一个空间的话。然而，如果把曲面（比如，球面）看成三维空间中的一张曲面，那么它的几何仍然是Euclid的。第二，可以从曲面出发引进两族参数曲线，然后几乎任意地选取u和v的函数E,F和G。于是曲面有这些E,F和G所确定的几何，这个几何对于曲面是内蕴的，而与周围的空间没有关系。结果是，随着E,F和G的不同的选取，同一张曲面可以有不同的几何（M.克莱因：《古今数学思想》（第三册），p308-309,北京大学数学系数学史翻译组，上海科学技术出版社，1980年11月第1版）。
在曲面上的每一点（x,y,z）有一个带方向的法线。Gauss考虑一个单位球面，并选定一条半径，它具有曲面上的有向法线的方向。选取的半径确定了球面上的一个点（X,Y,Z）。然后，如果我们考虑曲面上围绕（x,y,z）的任一小区域，则在球面上有一个围绕（X,Y,Z）的对应区域。当这两块区域分别收缩到它们的对应点时，把球面上区域的面积与曲面上对应区域的面积之比的极限，定义为曲面在点（x,y,z）的曲率。Gauss进行了惊人数量的微分，并得到了曲面的总曲率K，并证明了K就是Euler早就提出过的在（x,y,z）处的两个主曲率之乘积。作为两个主曲率的平均的平均曲率的概念，是由Sophie German在1831年提出的（M.克莱因：《古今数学思想》（第三册），p301-303,北京大学数学系数学史翻译组，上海科学技术出版社，1980年11月第1版）。
比如，一个蛋有弯曲的表面，它看上去好像其大的一端的表面属于一个球面，曲率为1/R12 ；而小的一端的表面属于另一个球面，曲率为1/R22 ;中间部分蛋壳的曲率为1/R1 R2 。一个马鞍面沿长的方向的铅直断面形成凹向上方的曲线，曲率半径为R 1 , 同时沿跨的方向铅直断面形成凹向下方的曲线具有较短的曲率半径R2 ,一个马鞍面具有负的曲率1/R1 R2 。而一个炸面圈的表面在其外半侧呈现正曲率，同时内半侧为负曲率（Morris Kline主编：《现代世界中的数学》，齐民友 等译，p212-217,上海教育出版社，2004年12月第1版）。
1854年6月10日，德国数学家Georg Bernhard Riemann（1826-1866）在他的就职演说中，谈论了有关n维空间的曲率问题。n维流形中的一个点，可以用n个可变参数x1 ,x2 ,…,xn 的一组指定的特定值来表示，而所有可能的点的总体就构成n维流形本身，这n个可变参数就叫做流形的坐标。当这些xi连续变化时，对应的点就遍历这个流形。
Gauss的曲面内蕴几何修改了3维空间的勾股定理的距离公式，Riemann把它推广到n维流形中，假定两个一般点的距离的平方是ds2 =Σ gμνdxμ dxν ，其中gμν 是坐标dx1 , dx2 ,…,dxn的函数，gμν=gνμ 。由于允许gμν是坐标的函数，所以Riemann提供了空间的性质可以逐点而异的可能性。如果Riemann流形上的一条曲线由n个函数x1=x1(t), x2 =x2(t),…, xn =xn(t)给定。在两个给定点t=α和t=β之间的最短曲线——测地线，随之可以用变分法确定，即适合条件δ∫βα ds=0的曲线。Euclid的几何学暗中假定向量在平行移动下是不变的，Riemann放弃了这个暗中的假定，那么比较流形上不同点的切空间内的向量，需要一个“联络”Г，代表向量在平行移动后方向的偏离程度，而流形的曲率可以从联络Г中构造出来。Riemann关于任意n维流形的曲率的概念，是Gauss关于曲面的总曲率概念的推广。（M.克莱因：《古今数学思想》（第三册），p309-313,北京大学数学系数学史翻译组，上海科学技术出版社，1980年11月第1版）。
Riemann在演说的最后指出，因为物理空间是一种特殊的流形，所以那种空间的几何不能只是从流形的一般概念推出来。把物理空间同其它三维流形区分开来的那些性质，只能从经验得到。因此，为了确定什么是物理空间的真理，需要把物质和空间结合起来。这个思路自然就引导到相对论（M.克莱因：《古今数学思想》（第三册），p314-315,北京大学数学系数学史翻译组，上海科学技术出版社，1980年11月第1版）。
尽管爱因斯坦在广义相对论中引入的时空曲率最引人注目，但是微分几何在物理学中的广泛应用，使得曲率的概念贯穿于牛顿力学，麦克斯韦电磁场论，相对论，热力学与量子力学，量子场论中。
用三维空间中的欧氏坐标给出的任意曲线x=x(t), y=y(t), z=z(t),即r=r(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)k ,有 ds=│dr/dt│dt=│vt│dt 。令t=s，于是相对于参数s的加速度的绝对值就是空间曲线的曲率：K=│d2r/dt2│，其中速度和加速度向量相互正交。因此，甚至在Newton力学的某种微分几何表述中，力与加速度已经与运动轨线的曲率发生关联（杜布洛文 诺维克夫 福明柯：《现代几何学：方法与应用（第一卷）》，p34，许明 译，高等教育出版社，2006年9月第1版）。
在电磁学理论中，我们用向量值函数E和B来分别表示电场和磁场：E=(E1 , E2 , E3 ) , B=(B1 , B2 , B3)。把两个场合起来得到一个很有用的微分2-形式：
F=(E1dx1 +E2 dx2 +E3 dx3 )∧dt + B1 dx2∧dx3 +B2 dx3∧dx1 +B3 dx1 ∧dx2
把Hodge符号*作用于F, 使得其中的电场与磁场互换，就得到F的对偶形式：
﹡F= -(B1dx1 +B2 dx2+B3dx3) ∧dt + E1 dx2∧dx3 +E2 dx3∧dx1 +E3 dx1 ∧dx2
著名的Gauss, Ampere, Faraday, Maxwell方程为
divE=4πσ, curlB=4πj+∂E/∂t, divB=0, curlE=-∂B/∂t
其中σ是电荷密度，j是电流。
为了简单起见，我们假定σ=0，j=0。
用微分方程的术语来说，Maxwell方程组的四个方程可以写成
dF=0, d(*F)=0 （刘克峰 季理真：《丘成桐的数学人生》，p118-119，浙江大学出版社，2006年6月第1版）。
第二个方程其实就是U(1)纤维丛上的Bianchi恒等式，一个无挠的联络使得它恒成立，在这里，F相当于曲率2-形式场ΣFijdxi∧dxj。这个方程对应原始的Maxwell方程组里的两个，其中一个说明，磁场散度为0。包括Cartan和Hodge在内的数学家们注意到，Maxwell方程应该解释为某些被称为向量丛的几何对象的曲率方程。
Maxwell场方程的建立为后来狭义相对论的建立奠定了理论基础，它明确地召唤着Lorentz变换。迈克尔逊-莫雷实验导致了光速不变原理的确立，H.Poincare提出了相对性原理。Einstein对Lorentz变换的重新解释，迫使人们接受同时的相对性，并引向H.Minkowski的四维时空观。
在Lorentz变换下，能量-动量向量（E,cp）如同4向量那样变化。质点的4动量位于质量的曲面上，4动量由关系式p0=E,pα=cpα（α=1，2，3）与能量和三维动量相关联，曲面上具有Lobachevsky几何结构： E2-c2p2=m2c4 （杜布洛文 诺维克夫 福明柯：《现代几何学：方法与应用（第一卷）》，p254，许明 译，高等教育出版社，2006年9月第1版）。
广义相对论就是使相对性原理从惯性系推广到任意运动的参照系。这意味着在任意的时空坐标变换下物理规律保持不变，张量微分成为表达这种广义协变性的最合适工具。在物理学中，用张量方程的形式表达的定律是按定义张量的坐标变换从一个参考系变换到另一个参考系的，这些变换把相同空间中的不同参考系联系起来。
伽利略对教堂里的单摆和比萨斜塔上的自由落体的观察已经表明物体的惯性质量和引力质量是等效的。1907年，爱因斯坦提出了“等效原理”，即对在一个被加速的参考系中的物理现象的描述与对在引力场中的一个惯性系内的物理现象的描述是等价的。从这一点出发，就产生了这样的思想，即按照牛顿理论在一个引力场中的运动可以看作是在适当的加速系中的“自由运动”（即无引力场）。第二步就是用一个四维弯曲空间来描述这个加速系，四维弯曲空间的度规 ds2=Σgijdxidxj 代表任意空-时变换（即洛伦兹变换不再限制在平直空间）（吴大猷：《吴大猷科学哲学文集》，p123-127,社会科学文献出版社，1996年2月第1版）。
爱因斯坦通过对牛顿引力理论的泊松方程进行推广而得到引力场方程。他认为牛顿引力理论的泊松方程▽2φ=4πGρ/c中的ρ，应对应于引力源体系的质量，能量，动量以及全部的有关部分，能将这些量做统一描述的只有能量张量Tμν；而牛顿引力势φ则对应于时空度规张量gμν，再根据张量的对称性，协变散度为零以及缩并的规则，最后终于找到了协变形式的引力场方程： Rμν–gμνR/2=8πGTμν/c4 。
其中G为牛顿引力常量，Rμν为里奇张量，R为曲率标量（经曲率张量Rμν 的各要素的加权后计算得到，gμν的权重理解暗示着时空度规不仅有曲率特征，也有几率特征）。引力场方程的左侧描述了引力场时空的弯曲性质，而右侧描述了引力源物质体系，它们在场方程中的结合，恰恰反映了马赫原理的思想。John Wheeler指出，爱因斯坦的广义相对论意味着“时空告诉物质怎样运动，而物质告诉时空如何弯曲。”
爱因斯坦后来构造了把电磁场也表示为弯曲时空结构的统一场论模型：早期是追随克莱因-卡鲁扎理论，把电磁场处理为卷曲为圆柱管的第5个额外维（圆柱曲率与电荷有关）；最后是用非对称张量代表电磁场，并加入到对称的引力场张量中。但是，微观物理学的巨大进步以及引发的新问题，使得爱因斯坦构造统一场论的梦想变得遥遥无期。
1918年，德国的韦尔（E.Weyl）提出了规范变换概念。他试图通过物理规律不因时空中每一时空点量度尺度的变化而改变来推导出电磁理论。在时空中每一点上，量度时空尺度的改变称为定域规范变换。 1927年，福克和伦敦发现，只要在韦尔理论的尺度因子前加一个虚数因子(-i)，则韦尔的理论就不再是“规范变换（尺度变换）”理论，而变成了“相因子变换”理论，并正确地描述了电磁场。在量子力学中，波函数整体的相位选择是任意的。当波函数的相因子改变时，力学量的观测值不受任何影响，与这种不变性相关联的守恒量就是电荷。
规范场论以一些对称性原理为基础，其中最重要的一条叫做定域规范不变性原理。韦尔证明：如果在拉格朗日量中用协变导数取代普通常数：∂μ→Dμ=∂μ-ieAμ ，那么相对于波函数的相位定域变换群来说，狄拉克理论是不变的。现代规范场论的基本思想是杨振宁和米尔斯（R.L.Mills）于1954年提出来的，他们将规范变换与规范场的思想又作了进一步的扩展，首次建立了普遍化的规范对称的数学理论。他们把物理学中的对称性分为整体对称（空间各点做相同变换下的对称性）与定域对称（空间各点独立变换下的对称性）。
根据杨-米尔斯理论，如果一组物理规律原来满足整体对称变换下不变，若将它推广到定域变换下不变，就必须引入新的场。规范场量子就是一种新粒子，该粒子的交换就会引起新力。就这样，杨-米尔斯理论就给出了描述各种力的起源。任何一种新的场，新的粒子与所相应的新力的作用，都可以从一个统一的规范场理论中推导出来。
在规范理论中，规范势扮演的角色，类似于广义相对论中的引力势。引力势是与切丛中的线性联络相关，体现的是时空底流形的曲率；规范势是与主纤维丛的联络相关，规范场强相当于纤维丛的曲率。
因此，规范场也具有引力场的曲率特征，比如杨-米尔斯场描述了电荷空间的平行位移，并决定电荷空间的曲率特征。在阿贝尔群U(1)的情况下，电荷空间的曲率张量与电磁场强度张量一致，这就成功地把电磁场几何化了（桂起权 高策 等：《规范场的哲学探究》，p6-8,科学出版社，2008年5月第1版）。
当规范场论间接地显示曲率与量子力学的关系的时候，我们发现量子力学中的曲率概念早在薛定谔的经典文献《作为本征值问题的量子化》中就已经萌芽。在《关于波动力学的第三次演讲》中，薛定谔认为，作为波动力学的经典出发点的哈密顿-莫培督原理，在定义广义坐标q空间的线元的时候，引入了Heinrich Hertz所应用的广义非欧几何，即ds2=2T(qk ,dqk /dt)dt2 (薛定谔：《薛定谔讲演录》，p43,胡新和 范岱年 译，北京大学出版社，2007年10月第1版)。而最后得到的波动方程（或者比较恰当地说，是振幅方程）是▽2ψ +8π2 (E-V)ψ/h2=0, 其中▽2既不能理解为三维空间中的初等拉普拉斯算符，也不能理解为多维欧几里得空间中的初等拉普拉斯算符（就是关于坐标的二阶导数之和），而应该把它理解为拉普拉斯算符在广义非欧几何的q空间的线元下的推广（薛定谔：《薛定谔讲演录》，p21-22，胡新和 范岱年 译，北京大学出版社，2007年10月第1版）。
在此约定之后，诸如两个线元之间的角度，正交性，矢量的散度和旋度，标量的梯度，标量的拉普拉斯运算及其他概念都可以如在三维空间的欧氏空间中一样简单地运用：所有q空间中的几何表述，都取广义非欧几何线元的意义(薛定谔：《薛定谔讲演录》，p43,胡新和 范岱年 译，北京大学出版社，2007年10月第1版)。
几何光学仅仅是光的粗略近似，而要沿着波动理论的路线，在q空间中光学的进一步发展中保持这种类似，我们就必须小心不明显地偏离几何光学的界限，即选择波长足够的小，与所有路径的尺度相比很小。或许我们的经典力学完全类似于几何光学，因而是错误的，与实在不符；一旦曲率半径和路径的尺度比之于某个被赋予q空间的实在意义的波长不再很大时，它就失效了。这样，问题就成为寻求一种波动力学，而最明显的方式，就是从哈密顿相似出发，沿着波动光学的路线去求解(薛定谔：《薛定谔讲演录》，p45-46,北京大学出版社，2007年10月第1版)。
正如薛定谔关于ψψ*代表权重函数的萌芽思想被玻恩发展成为量子力学几率解释一样，法国数学家Rene Thom在《结构稳定性与形态发生学》，《突变论：思想与应用》等论著中发挥了薛定谔关于波函数的曲率解释萌芽，并提出了热力学熵的曲率解释；以中国学者赵国求为代表的等学者更是在《运动与场》，《物理学的新神曲》，《物理学与哲学之间》，《从相互作用实在到量子力学曲率解释》等论著中，全面系统地阐述了量子力学曲率解释，通过与其他解释的对比，我们发现这是目前为止最与相对论相协调的量子力学解释，最接近薛定谔的科学思想与爱因斯坦的物理学理想。如果能够得到进一步的发展，将对物理学的未来发展产生划时代的深远影响。
托姆考虑了二个保守的Hamilton系统量H1与H2，并假定系统是热力学耦合的，使得它们在几乎全部时刻里演进，仿佛系统S1与S2之间没有相互作用，除非在很短的持续时间内随机的突变过程交换能量，由于形成随机作用，系统在能量超曲面D域上正比于D的Liouville测度（遍历假设）。导数a(x)=dm/dx表示能量超曲面的H=x的(2m-1)体积，对于两个保守系统分别为
和。系统的微正则熵是函数，系统的温度是；几何上该温度是在超曲面的平均曲率的整个能量超曲面上的平均之倒数，相当于系统中分子的平均平动动能。对于两个保守系统，温度分别为T1和T2，微正则熵为S1和S2。在托姆的这种描述中，统计系统的温度和熵已经有了与能量超曲面平均曲率有关的几何意义：能量超曲面的曲率实质上表征了统计系综相空间各轨线的弯曲扭转程度，它可视为分子运动轨道由于碰撞发生的偏折程度的间接反映（Rene Thom,《结构稳定性与形态发生学》，P60-61，四川教育出版社，1992年9月第1版）。
和。系统的微正则熵是函数，系统的温度是；几何上该温度是在超曲面的平均曲率的整个能量超曲面上的平均之倒数，相当于系统中分子的平均平动动能。对于两个保守系统，温度分别为T1和T2，微正则熵为S1和S2。在托姆的这种描述中，统计系统的温度和熵已经有了与能量超曲面平均曲率有关的几何意义：能量超曲面的曲率实质上表征了统计系综相空间各轨线的弯曲扭转程度，它可视为分子运动轨道由于碰撞发生的偏折程度的间接反映（Rene Thom,《结构稳定性与形态发生学》，P60-61，四川教育出版社，1992年9月第1版）。
托姆认为,由归一化条件 可定义Hilbert空间的超曲面上有一泛函,它在无外势时简化为映射图形的总曲率;薛定谔方程的定态形式 存在一个递增函数，它取决于量子系统的几何特征。量子系统的本征能量越大,本征函数的拓扑复杂性就越大,即相当于图形的总曲率越大。本征能谱E相应于具有结构稳定性的本征波函数的谱，频率体现图形的拓扑类型或局部曲率的变化率（Rene Thom,《结构稳定性与形态发生学》，P157-158，四川教育出版社，1992年9月第1版）。
可定义Hilbert空间的超曲面上有一泛函,它在无外势时简化为映射图形的总曲率;薛定谔方程的定态形式 存在一个递增函数，它取决于量子系统的几何特征。量子系统的本征能量越大,本征函数的拓扑复杂性就越大,即相当于图形的总曲率越大。本征能谱E相应于具有结构稳定性的本征波函数的谱，频率体现图形的拓扑类型或局部曲率的变化率（Rene Thom,《结构稳定性与形态发生学》，P157-158，四川教育出版社，1992年9月第1版）。
从波函数本质上反映微观粒子自身时空特征的指导思想出发，赵国求从波函数的振幅中分离出代表粒子自身时空特征的曲率因子——基准曲率（或特征曲率）： Rn=∆pn/ћ 。
而基准曲率与不确定原理的关系是： ∆Pn• ∆xn=ћ , ∆xn=1/Rn
氢原子每个能级n由徳布罗意波波长定义了一个与电子对应的曲率Rn ，我们称其为基准曲率。rn =na0 为基准曲率半径，它给出了电子在氢原子中每个能级上的基本波动形象，意味着n能级上正好有n节驻波。量子曲率与电子轨道半径(n2a0)的1/n成反比，代表电子波的曲率，它相当于以电子轨道半径为均轮的一个驻波本轮的曲率，代表着弥漫于空间中的电子云的量子自组织力，体现广义坐标q空间的非欧特征，量子力学的表象变换类似于q空间曲面上的曲线坐标变换。在静电场的近似条件下，原子核的电磁规范场的电场分量的场强与轨道半径的平方成反比，与原子核电荷成正比，电场强度的曲率正比于空间中的电荷密度(核电荷与电子轨道能级曲面的高斯曲率的乘积)，代表着原子核对于电子云的经典约束力。因此，量子曲率与规范场强的曲率尽管有联系，却具有不同的数学物理意义。
我们发现，通过不确定关系得到的氢原子中不同轨道电子的基准曲率正好是径向波函数的振幅中可以分离出所定义的曲率因子，而且波函数|ψ|2与这种曲率成比例，因此对量子力学波函数可作出新解释，这就是量子力学曲率解释（赵国求：《从相互作用实在到量子力学曲率解释》，p16-19,武汉出版社，2008年11月第1版）。
范弗拉森也发现，如果态矢量由两个正交矢量（X，Y）表征，则在态W中作一个X测量产生值x，x在集合（x,y）中的概率即为P，那么P=x2 /（x2 +y2）=x2 /R2 。因此，态矢量的几何概率正比于它的黎曼球的高斯曲率，正比于能量超曲面上的对应轨线的量子曲率（万小龙：《范弗拉森的量子力学哲学研究》，p162,中山大学出版社，2006年1月第1版）。
http://blog.sciencenet.cn/blog-1668877-821814.html 此文来自科学网吴新忠博客
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也就是一種函數,想一想多項式"函數"~不就是把所有的實數~透過多項式的運算對應到另一個實數嗎?
在数学中，泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数足够光滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。泰勒公式还给出了餘項即这个多项式和实际的函数值之间的偏差。泰勒公式得名于英国数学家布鲁克·泰勒。他在1712年的一封信里首次叙述了这个公式，尽管1671年詹姆斯·格雷高里已经发现了它的特例[1]。拉格朗日在1797年之前，最先提出了帶有餘項的現在形式的泰勒定理。
泰勒公式- 維基百科，自由的百科全書 - Wikipedia
zh.wikipedia.org/zh-hk/泰勒公式
所谓动力系统，就是一个集合上的单参数变换群，或者一个相流。有离散动力系统和连续动力系统之分。
连续动力系统定义在一个拓扑空间上，称为状态空间或相空间，通常是微微分流形，可以是无限维的，一个动力系统就是一个向量场，对应于
相空间自同构群的李代数，是一个无穷维李代数（有什么性质？）。一个李群的单参数子群和李代数有一一对应。相空间还可以有其它的数学结构，如复结构，
辛结构，黎曼流形，泊松结构，测度空间等等。
给定一个动力系统可以研究它的结构稳定性，所谓结构稳定性就是它的相图结构具有小扰动下的拓扑不变性，可以刻画为具有道路连通邻域。
所有结构稳定的系统构成一个开集（开子空间？，是否稠密？）。两系统称为同构的，如它们在同一个伴随轨道上，同构的系统他们的相图结构只差一个拓扑变换。
轨道是相图结构的基本单位，是最小的不变集。轨道的并集是不变集。系统在不变集上的限制称为子系统，一个变换若和系统相容则称为是系统的对称，一个系统和它的
无穷小对称是可换的。系统可在其一个对称群轨道空间上决定一个动力系统称为系统的商动力系统或约化系统。
除了对称性和结构稳定性，还可以研究系统的轨道的周期性，回归性，渐近行为，系统可积性和是否包含混沌和遍历性。
对于轨道可以有分为不动点，周期轨道，和概周期轨道等，再复杂一点就是混沌。
混沌对立面就是可积性。可积的轨道就是规则的轨道，相邻的轨道动力学行为相似的，可积的轨道就是周围的轨道都有相似的行为，比如都在一个环面或扭曲的柱面内运动。
| 量子力學的核心不是採用這個觀念建構起來的 反而是把一個物理系統的所有可能狀態(以前我們比較喜歡用系統所處的時間,擁有的總力學能,總動量代表) 當成一群可以用線性方式互相表達的向量 把觀測物理量的行為~看成是對系統的一種干擾~把它變成另一總狀態(變成誰得看這個物理量的性質和"機會") 惯性_百度百科動量- 維基百科，自由的百科全書 - Wikipedia
zh.wikipedia.org/zh-tw/动量
高中物理教材內容討論:什麼是量子化(問題)
www.phy.ntnu.edu.tw/demolab/phpBB/viewtopic.php?topic=25167
2012年4月1日 - 6 篇文章 - 4 位作者
對應古典的想法能量量子化也就對應動量量子化. ... 物理系統的所有可能狀態(以前我們比較喜歡用系統所處的時間,擁有的總力學能,總動量代表)討論區第一版:徑動(precission)(何彥廷)
www.phy.ntnu.edu.tw › ... › 1997/6月-2001/4月間問題討論區資料
近代物理 標題:什麼是量子化(問題) | ||||
 1:KB＊30 (高中職)張貼:2012-04-01 15:31:36: 能量 量子 粒子 | ||||
| 在問這個問題前 我已經尋找過許多資料但仍然沒有得到解答 我的問題是: 量子化是什麼? 什麼物理量具有量子化? 而量子化的條件又是什麼? 之前有看到論壇上有一個題目 問到下列選項中何者具有量子化的現象 以我現在所學的物理 我只知道量子化是為了解釋能量的不連續 而將能量想成一個個的能量粒子(能量包) 所以希望有人可以替我解答 | ||||
| 2:黃福坤(研究所)張貼:2012-04-02 07:22:06: [回應上一篇] 能量 動量 量子 原子 | ||||
| 物理的模型 都是人想出來 試圖解釋自然現象的 量子化也是人想出來的一種模型 十九世紀初 很多實驗結果 無法用傳統能量 連續的觀念去解釋 提出 能量可能並非連續 而是有特定數值 (如氫原子光譜對應的能量 ) 對應古典的想法 能量量子化 也就對應動量量子化... 一個學說或模型是否被接受 就看其是否 能解釋現有現象 能自圓其說 且能用來預測新的現象 再度被檢驗 例如 能量若是量子化 為何早期卻被視為連續 對應 遠看山上的草似乎是連續一片 可是近看時 卻是分開來 不連續的! | ||||
| 3:Hydrogen Dioxide(研究所)張貼:2012-06-17 19:09:37: [回應上一篇] 電子 | ||||
宋朝文人雅士曾說 : 蓮花濁清漣而不妖, 可遠觀而不可褻玩焉。 遠看物體有時候因為視覺上的積分效應而覺得物體是連續的，但是近看時卻發現有很多很多的孔洞在其中。當使用電子顯微鏡的時候又可以看到更精細的表面起伏的結構。哈哈。 | ||||
4:Richtiger Mann榮譽點數29點(大學理工科系)張貼:2012-06-20 18:26:09: [回應第1篇] 原子 能量 量子 近代物理 動量 向量 能階 ,本留言獲[]給賞金 共 2 點 | ||||
| 我是覺得高中教材所說的量子化比較接近"舊"量子論的說法 也就是認為某些物理量的容許出現的數值不是沒有限制 反而用一些整數去決定的 依據我所了解的近代物理知識 量子力學的核心不是採用這個觀念建構起來的 反而是把一個物理系統的所有可能狀態(以前我們比較喜歡用系統所處的時間,擁有的總力學能,總動量代表) 當成一群可以用線性方式互相表達的向量 把觀測物理量的行為~看成是對系統的一種干擾~把它變成另一總狀態(變成誰得看這個物理量的性質和"機會") 這裡當然沒有辦法完全告訴你~我們這些被全世界大部分科學家公認的假設 如何解釋舊量子論的量子化(EX 氫原子的能階在這總"論說"下如何解釋) 可是可以依稀給你一個開頭的方法(如果很數學化,那也沒辦法~因為對理論最有效率理解,單刀直入的理解常常是數學) 所謂的對物理系統的干擾~也就是將這個表達這個物理狀態的向量(以後簡稱態向量)變成另一個態向量~ v-------> v' 其實也就是一種函數,想一想多項式"函數"~不就是把所有的實數~透過多項式的運算對應到另一個實數嗎? 同樣的道理對物理系統所有可能的狀態也是類似的~不過對應的規則我們單單如下表示(今天取角動量做例子,或乾脆叫他角動量算符) L(v)=v' 很奇妙的是~自然界竟然希望物理算符也是線性的~ L(u+v)=L(u)+L(v) ,L(a*v)=a*L(v) 讓我們看看下面的方程式 L(v)=L'*v L'是一個數(可能實或虛的) 量子力學說~如果對一個L',v滿以上方程式 則物理系統處於v就會讓L的觀測值為L'(我們就這個方程式叫L的本徵方程式,v是屬於"本徵值" L'的本徵態向量) 也就是說~如果我們能將所有的態向量(u)以本徵態向量(vn屬於L'n)代表 u= c1*v1+c2*v2+....... L(u)的形勢就會很簡單~而且我們說~如果這些本徵向量組成的基底是互相垂直而且是單位向量 (cn)^2就表觀測u得出L'n之機率 大概來說~你用一些"古典"角動量的性質去找"量子"角動量算符的本徵值(這裡不拿能量算符(哈密頓算符)做例子~因為仔細思考~他將是最複雜的例子==)你會發現本徵值和整數是有關的~這粒沒辦法推給你看~可是必須提醒你~不是所有的算符都是量子化的(EX位置向量算符就不是~你可以自己用古典的性質思考看看)而且有沒有足夠的本徵象量組成"基底"的問題~對一個"物理量"可不可以觀測很重要~另外兩個物理量是否有共同的基底(技術上來說兩個可觀測量對不對易?)~直接關係到到兩個物理量可不可能同時觀測出固定值的問題(也就是含意較廣的不確定性原理,但至少我們有信心知道兩物理量觀測值標準差的不等式~) 我對近代量子論的解釋比較數學話一點~也可能有錯~希望有人幫我補充~讓量子力學的核心能比較淺顯易懂的傳遞出去^^ [ 這篇文章被編輯過: Richtiger Mann 在 2012-06-20 19:09:32 ] [ 這篇文章被編輯過: Richtiger Mann 在 2012-06-20 19:20:53 ] [ 這篇文章被編輯過: Richtiger Mann 在 2012-06-20 19:29:39 ] | ||||
| 5:Hydrogen Dioxide(研究所)張貼:2012-06-21 00:36:58: [回應上一篇] | ||||
這是一個很有意義且趣味的討論(對我來說啦!因為我物博一了,或許很多時下學生對物理超恐懼...), 很高興能看到你這番回應, 我剛有看了parts, 由於時間的關係只能留到明天或之後討論... 對了其實我要問為甚麼當年費曼會說了這麼一句話: 物理方程幾乎都是線性的,只要能了解線性方程, 基本上我們已經了解這個世界的一大半了? | ||||
| 6:Richtiger Mann榮譽點數29點(大學理工科系)張貼:2012-06-21 13:05:04: [回應上一篇] 動能 能量 相對論 轉動 | ||||
| 你問的問題其實牽涉的範圍很廣耶~ 我覺得這個問題可以從數學技巧,物理學家的世界觀或實驗上的方面來討論 因為我對數學方面比較熟悉~所以這方面我會多講一些 數學技巧上大家當然比較喜歡用簡單,但深刻表達物理意義的方法表達物理現象 就拿電磁學來說~我們所使用的梯度璇度散度不就是線性的嗎? 雖然一般化~非線性的形勢似乎比較誘人 但想想人類最基礎的運算~不就是加法乘法嗎 所一就算是很複雜的函數我們不是也很希望用冪級數(可以說是無窮多項的多項式,為高中生理解方便解釋一下)去逼近嗎 所以線性不但運算方便~而且可以很簡潔的推論出很多現象(向傅立葉的能量定理(也就是任意波的總能量是個別基態波能量的總和),系統總動能為質心和轉動動能之和) 在數學上深刻地告訴我們線性的假設是很符合(接近)大自然的 在物理學家的哲學上,大部分的科學家都接受時空是均勻的事實(也就造就了勞倫茲轉換較簡潔的形式)就算是廣義相對論,愛因斯坦也一在地相信,在某些條件下,小區域的地方俠義相對論是對的(也就是某一總程度上來說,以前教育灌輸給我們的歐基里德幾何在這宇宙是對的,不過這段敘述甚至是一個千真萬確的數學定理,微分幾何上的定理) (補充一下~狹義相對倫除了光速公設,物理量(尤其是時間長度)的操作性定義,其實邏輯上時空觀念和古典是相同的) 物理事實證的學科~雖然在邏輯上我們沒有理由相信哪一些觀念一定是對的 但是如果實用,我們就不如戒急用忍吧 不過線性也只不過是一種語言 他正代表著在人的靈魂裡某種堅定地信仰(有點像幾何學第五公設被質疑前人類的想法) 以上就是我的看法
[PDF]Convex Functions and Spacetime Geometry
arxiv.org/pdf/gr-qc/0011055
arXiv
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by GW Gibbons - 2000 - Cited by 1 - Related articles
Sep 4, 2001 - the possible uses of convex functions in General Relativity, we ... As we shall see, the existence of a convex function, suitably defined, on a ...[PDF]On the proof of the positive mass conjecture in general ...
www.doctoryau.com/papers/PositiveMassConjecture.pdf
by R Schoen - 1979 - Cited by 845 - Related articles
manifold and its relation to general relativity. The problem in general relativity ..... that the function lyl 2 is a convex function for lY] >za. Since #S o = C o which ...[PDF]Mathematical
www.math.jhu.edu/~js/.../schoen-yau.pm1.pdf
Johns Hopkins University
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by R Schoen - 1979 - Cited by 846 - Related articles
manifold and its relation to general relativity. .... operator on functions, so that for a function φ on ΊR?\Bσo(Q) ... that the function \y\2 is a convex function for \y\^τ1.GENERAL RELATIVITY | Mathematical general relativity ...
https://philippelefloch.wordpress.com/category/general-relativity/
Convex Functions and Spacetime Geometry
citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.339.7334
by GW Gibbons - 2000 - Cited by 1 - Related articles
We show how the existence of a convex function on a spacetime places ... To initiate a study of the possible uses of convex functions in General Relativity, we ...Complex Analysis and Dynamical Systems IV: General ...
https://books.google.com/books?isbn=0821851977
Mark Lʹvovich Agranovskiĭ - 2011 - Mathematics
Let (X, d, u) be a a locally compact metric measure space, such that the measure 1/ is locally finite, and let U be a continuous, convex function U : R+ —> R, U G ...Shock Wave Interactions in General Relativity: A Locally ...
https://books.google.com/books?isbn=0387446028
... uniformly on compact sets in (a, t)space, and the limit function A(x, t) satisfies ... a wave is bounded by H(A2), and that H is a convex function, c.f. Proposition ||.General Relativity and the Einstein Equations - Google Books Result
https://books.google.com/books?isbn=0191578851
Yvonne Choquet-Bruhat - 2008 - Mathematics
These authors use a convex functional and auxiliary unknowns. We give here a direct computation in a sliced space-time, taking as unknowns p and the space ...Introduction to General Relativity, Black Holes and Cosmology
https://books.google.com/books?isbn=0199666466
Yvonne Choquet-Bruhat - 2015 - Science
Its construction in General Relativity was sketched by Rendall (1992). but not ... and explained in the book by Anile.26 These authors use a convex functional ...[PDF]On the proof of the positive mass conjecture in general ...
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manifold and its relation to general relativity. .... operator on functions, so that for a function φ on ΊR?\Bσo(Q) ... that the function \y\2 is a convex function for \y\^τ1.
GENERAL RELATIVITY | Mathematical general relativity ...
Convex Functions and Spacetime Geometry
citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.339.7334
We show how the existence of a convex function on a spacetime places ... To initiate a study of the possible uses of convex functions in General Relativity, we ...Complex Analysis and Dynamical Systems IV: General ...
https://books.google.com/books?isbn=0821851977
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https://books.google.com/books?isbn=0199666466
Its construction in General Relativity was sketched by Rendall (1992). but not ... and explained in the book by Anile.26 These authors use a convex functional ...
https://books.google.com/books?isbn=113946759X
Thomas Thiemann - 2007 - Science
Locally convex spaces play an important role in the theory of distributions which typically arise as solutions of ... 694 Key results from functional analysis.王正汉 !美国微软研究院! !"#"年$月" !!古人结绳记事%延续祖先的思维#我们用绳 圈来描述粒子的轨迹$记录它们的运动$进而探 讨绳圈数学的应用%%%拓扑量子计算% 绳圈的数学叫纽结论#是一门趣味盎然的学 科%在此我们仅介绍新的纽结不变量%%%琼斯多 项式! &'()* + ', - ('./0, "及其在量子计算中的应 用%如果读者有兴趣#我们推荐姜伯驹教授的 书&绳圈的数学%纽结论不仅是一门高深的数学 理论#也在物理#生物和量子计算机学科中有许多 的应用%从上世纪八十年代#量子力学的思想深 刻地影响着拓扑学的发展#形成量子拓扑学%留 美数学家林晓松教授! #123 % !""3 "对量子纽结论 的发展作出了很多开创性的贡献%谨以此文纪念 这位重要的拓扑学家%他所钟爱的量子纽结论正 走出数学#成为现代科技的一个有机部分% 上半部 无论是系领带#还是系鞋带#我们都是在用绳 子打结%但日常生活中的结和数学家们研究的结 有所不同%首先数学家用来打结的不是绳子#而 是理想化的绳子%%%曲线$其次数学家的结是一 个绳圈的模型%%%闭路线圈#也就是说绳子要首 尾相连%如果不是首尾相连#那么不管多么复杂 的结都能解开#也就是说变成直线段% 纽结论是研究理想化的结的一门数学学科# 它是拓扑学的一个重要分支%平面上的圆代表数 学家最简单的纽结#叫做平凡结%一个不能变成 圆的纽结叫做非平凡结%是否存在非平凡结呢' 只要我们用绳子做一些实验#就不难相信存在非 平凡结#也就是死结%下面的结是最简单的非平 凡结!左图"#叫三叶结%许多水手爱打这个结 !右图"& !三叶结" !!如果把右边的结头尾连在一起#但不可以从 任何地方剪断绳子#不管我们怎样做#我们都不能 把它变成平面上的圆%尽管很直观#但要证明存 在非平凡结却非易事#因为我们需要排除任何可 能的解法#但可能的解法多得无法想像%我们怎 样才能肯定所有的解法都试过了呢' 下面我们看 看拓扑学家怎样解决这个问题的% ! !纽结论 !"! !纽结 拓扑学家用曲线打结%曲线的严格数学理论 要用到微积分%为了避免这些知识#我们将用直 线段打结%因为光滑曲线可以看成由很短的直线 段构成的#所以这样得到的理论跟用曲线得到的 理论是等价的%但这个理论只用到非常初等的 知识% 现在我们严格定义我们的研究对象%如果有 一些直线段#它们可以长短不一#然后一段接一段 地把它们在空间连在一起形成一个闭线圈%如果 构成闭线圈的任何两条直线段或者不相交或者只 交于一个端点#我们就把这个闭线圈叫做一个几 何纽结%比如下面的几何纽结分别代表平凡结和 三叶结%平面上的任何一个多边形都是一个几何 纽结%显然存在无数多的几何纽结% !平凡结和三叶结" # !"#"年!第$1卷!第2期!! !!!!!!数学通报 拓扑学的一个基本特征是不关心物体的长 短#厚薄#粗细%对拓扑学家来说#所有大大小小 不同形状的三角形都代表同一个的纽结%%%平凡 结%不仅如此#所有平面上的多边形都代表同一 个纽结%如果我们是用绳子打结#这很容易理 解%由绳子做成的三角形是很容易变成四边形# 五边形%反过来也一样#四边形和五边形也可以变 成三角形%尽管我们的理论将会是基于由直线段 打成的结#但我们可以用绳子打成的结来思考% 为了交流方便#我们引进一些名词%一个几 何纽结上的任何一条直线段#我们都叫它是这个 几何纽结的一条边%拓扑学家只关心纽结的所谓 拓扑性质%像一条边有多长是不重要的%为了研 究几何纽结的拓扑性质#我们会引进一个拓扑等 价关系%两个拓扑等价的几何纽结将会被看成是 同一个拓扑纽结#简称纽结%从概念上来讲#纽结 和几何纽结是完全不同的%几何纽结是具体的# 纽结是抽象的% 严格的讲#一个纽结是由所有拓扑等价的几 何纽结所形成的等价类%所以#一个纽结代表一 个由那些拓扑等价的几何纽结形成的集合%和数 类比#一个几何纽结像一个箱子里的苹果#而一个 纽结是箱子里苹果的数目%我们指出一个可能引 起的混淆&拓扑学家经常不分纽结和纽结类#提 到纽结而实际是指纽结类%我们说的纽结严格地 讲对应于拓扑学家的纽结类#而几何纽结对应于 拓扑学家的纽结% 几何纽结间的拓扑等价关系定义很复杂#这 也是我们需要考虑直线段的原因% 给定一个几何纽结#叫它! #和它的两条相 联的边#叫它们" 和#$假设" 的末端连在# 的 首端$用一条新线段连接" 的首端和# 的末端# 我们叫这一条新的线段%$ !见下图"如果%和! 别的边都不相交!但可以和" # # 重和"#我们可 以从! 的边中拿掉边" 和边# #然后加入%得 到一个新的几何纽结#叫它!&$我们把从边" # #到边% 或者反过来从边% 到边" # #的变换叫 做一个三角形变换$注意三角形变换的一种特殊 情况#在一条边的内部加一个点变成两条边#或 者反过来$如果由" # # # %所形成的三角形的内 部和! 的除" # #以外的任何边都不相交#我们 称这样的三角形变换为! '变换$两个几何纽结 ! 和!&是拓扑等价的如果! 能通过有限次的 ! '变换变成!&$我们以后将拓扑等价简称为 等价$ ! ! '变换" 如果! 是由!&通过一个三角形变换得到 的#那么! 和!&有时是等价的#有时是不等价$ 本节开始的平凡结可以从它右边的三叶结通过一 个三角形变换得到#但它们是不等价的$ 最简单的纽结是平凡结#它是包括所有三角 形在内的几何纽结的等价类$实际上#平面上所 有多边形都代表平凡结$给一个纽结#我们叫它 的任何一个几何纽结为它的一个代表$ 思考题# #%证明平面上所有多边形都可以通过有限次! 4 变换变成一个三角形% !%证明所有四边形#不限于平面上#都等价于三 角形% !%# !纽结不变量 我们都相信存在非平凡结#但怎样证明呢' 也就是说#存在一个几何纽结#无论一个人多么聪 明#花多长时间#做多少! 4变换#都不可能把这个 几何纽结变成一个三角形' 拓扑学家的想法很简 单#引进所谓的不变量%我们给每一个几何纽结 一个我们熟悉的量#像一个数#或者一个多项 式%这个量叫做不变量#如果这个量在任何! 4变 换下不变%即两个等价的几何纽结所得到的量是 一样的%但不等价的纽结也有可能得到同样的量% 定义不变量是一件很容易的事%譬如#我们 可以给所有平凡几何结# #给所有别的几何纽结 "%但这个不变量对于研究纽结来说#毫无用处% 考虑所有纽结形成的集合#从这个集合到实数的 任何一个映射都是一个纽结不变量%用这个想法# 我们可以定义一个有用#但很难计算的纽结不变 量&离散长度%给定一个纽结#把这个集合里的所 有几何纽结的边数的最小值取出来#这是一个正 整数%我们把这个正整数叫做这个纽结的离散长 度%它反映出如果真的用绳子打这个结#我们至 少需要一定长度的绳子%不难证明#平凡结的离 散长度是5 #而三叶结的离散长度是6%本节开始 的五边三叶结实际上需要六条边% 纽结论的重要问题是如何分类纽结%即给出 一个几何纽结的集合使得在这个集合里每一个纽 结都有而且只有一个几何纽结代表%拓扑学家希 望能找到一个完备的纽结不变量#即一个不变量 使得不同的纽结会有不同的不变量%如果我们有 这样一个不变量#纽结的分类就简化成这个不变 量的计算%存在不少的完备纽结不变量#但我们 还没有发现完备而容易计算的不变量#或许这样 的不变量是不存在的% 思考题# #%当离散长度足够大时#我们可以得到不同的纽 结%最小的离散长度使我们可以得到不同的 纽结是多少' 我不知道答案% !%在纽结上取个方向#我们就可以定义两条相邻 边的角度%用这些角度定义一个纽结不变量% !%$ !纽结投影 想研究纽结#我们就要有办法把所有纽结都 画出来%拓扑学家的办法是利用纽结在平面上的 投影%前面我们已经看到#在平面上是画不出非 平凡结的%纽结是我们所生存的空间的一个现 象%如果你听说过四维或更高维空间#在那里面 同样画不出非平凡结%为了能在平面上表示出非 平凡结#我们就必须记住纽结的一些空间性质% 给一个几何纽结#想像在它的后面远处有一 个屏幕%如果我们把这个几何纽结投影到这个屏 幕上会是什么样子' 一条线段的投影是一条线段 或是一个点#所以纽结的投影是一个由线段组成 的闭路#但可能有很多交点&双重点#三重点等等% 如果我们稍微移动一下后面的屏幕#我们可以做 到这样&没有任何一条直线段被投影成一个点#而 且只有直交的双重交点$任何其它类型的交点都 叫奇点%没有奇点的纽结投影叫正则投影%这又 是这样一个事实#虽然不难相信#但严格证明并 不显然%有兴趣的同学可以自己试试% " ! !奇点" 一个正则投影的每一个双重点都是两条边投 影的交点%这两条边一上一下!每一个双重点都 是两个点的投影#我们把离屏幕近的那一点所在 的那条边叫下% "如果我们在一个几何纽结的一个 正则投影的每一个双重点处都记下那两条边的上 下关系#我们就得到了一个纽结图%我们把带有 上下信息的双重点称做交叉点%交叉点分为上交 叉点和下交叉点& !交叉点" 如果可以用曲线#通常我们会把下面那条边 画在平面上#而上面的那条边在双重点附近画在 平面上面%但如果只能用直线段#我们可以把上 面那条直线段变成两条线段稍微高于平面#使得 原来的端点的投影都在平面上%我们把这样由正 则投影图得到的图叫纽结图%一个几何纽结和它 的任何一个纽结图是拓扑等价的#所以在很多情 况下#我们只需要考虑纽结图% !正则投影" 一个纽结会有很多纽结图#但它们全都等价% 给定两个纽结图#怎样决定它们是否代表同一个 纽结呢' 原则上我们已经知道答案&只要考虑所 有! 4变换的正则投影%实际上这个办法却很难应 用#因为! 4变换中的三角形可以很大%纽结论里 的一个著名定理把! 4变换简化到下面三组变换# 叫瑞德迈斯特! 7)/8).)/*9): "移动7; # 7;; # 7;;; #反之亦然% !瑞德迈斯特移动" 我们可以证明& 瑞德迈斯特定理!两个纽结图( 和(&所代 表的纽结是等价的当且仅当( 能通过有限次的 瑞德迈斯特移动变成(&$ 由于这个定理#纽结论也可以只研究纽结图 和它们在瑞德迈斯特移动下的等价类%以下一组 图证明7;;;移动可以用! 4变换实现% ! %&&&与! '变换" 思考题# #%证明只有一个或两个交叉点的纽结图总表示 平凡结% !%证明所有纽结的集合是可数的#即我们可以把 它们和正整数一一对应% # !琼斯多项式 #1<$年#新西兰数学家琼斯! =%&'()* "发现 了一个全新的纽结不变量#叫做琼斯多项式%琼 斯多项式的发现引起了纽结论里的一场革命#进 而推动了一个新的拓扑方向%%%量子拓扑的产 生%琼斯多项式其实不是严格意义下的多项式# 因为它的变量的次方可以是负整数和分数% 我们首先引进一些定义和记号$假设( 是一 个有)个交叉点的纽结图$如果给每个交叉点一 个标号" 或# #我们就叫( 的一个态#记作*$给 定( 上一个交叉点和一个标号" 或# #我们可 以在这个交叉点的附近做一个手术! *>: ? ): - "& !手术" 上图里的手术的规则是这样的&在交叉点的 附近#从上面的边逆时针旋转到下面的边#上面 的边会扫过两个区域!一个交叉点把平面分成四 个区域"叫" 区#另外两个叫# 区$" 手术就是 打通" 区#而#手术就是打通# 区$ 假设+是一个参数变量$给定( 的一个态* # 那么每一个交叉点都有一个" 或#$如果是" #我 们就做" 手术#如果是# #我们就做#手术$每一 个手术都从纽结图中去掉一个交叉点#当所有手 术完后#我们得到平面上的一些闭线路#这些闭 线路的个数记作, ! * " $我们用* ! " "记态*上" 型交叉点的个数#同样用* ! # "记态*上# 型交叉 点的个数$ 让# * $ @+ * ! # " A* ! " " $ (! A+ # ! A+ A # ! " , ! * " $ 定义# ( $ @ % # * $ #这个和一共有! ) 项$我们叫# ( $为( 的考夫曼! B%C0>DD.0( " 括号% 每个纽结图有两个方向&从图上的某点出发# 沿纽结图朝前或后走一圈%取定纽结图( 的一个 定向#每条边都有一个方向%我们给每个交叉点 一个符号&正负#如下& !符号" 改任何一个箭头#符号正负#互换$注意到 如果我们取得是另一个方向#因为每个交叉点的 两条边方向同时改变#所以这个符号是不依赖于 纽结的方向的$ 把( 的所有交叉点的符号的和记作- ! ( " $ 最后定义纽结图( 的琼斯多项式 . ! ( $ + " @ ! A# " - ! ( " ( + 5- ! ( " $ ( # ( $ $ 可以证明. ! ( $ + "在瑞德迈斯特移动下不 变#所以确实是一个纽结不变量$这就是著名的 琼斯多项式$给一个纽结! #它的琼斯多项式 . ! ! $ + "定义为! 的任何纽结图的琼斯多项式$ 平凡结的琼斯不变量是A+ # ! A+ A # ! #因为圆只 有一个态&无交叉点#但有一个闭线路$而三叶结 的琼斯多项式是. ! + " @ ! +E+ 5 A+ $ "! A+ # ! A + A # ! " $所以三叶结一定是非平凡的$ 由多个不相交的纽结组成的多条曲线叫链 环$拓扑学家除研究纽结外#也对链环感兴趣$ 琼斯多项式可以定义在链环上#但链环必须有定 向$如果处理好定向#我们前面的所有讨论都对 链环适用$我们把细节留给读者$给一个定向链 环/ #它的琼斯多项式也记作. ! / $ + " $ 有了链环的琼斯多项式#我们可以有一个计 算琼斯多项式的线团! *F)/( "关系式$假设/ E 是一个链环图!带定向"#而0是/ E 上的一个交 叉点$如果我们把交叉点0的两条边上下换了# 我们就有一个新的链环图#记作/ A $我们也可 以顺方向光滑/ E #得到另一个链环图/ " !见下 图" $我们可以证明#这三个链环的琼斯多项式 满足以下恒等式& + A# ( . ! / E $ + " A+ ( . ! / A $ + " @ ! + # ! A+ A # ! "( . ! / " $ + " !线团关系式" 用线团关系式#我们可以递推得计算琼斯多 项式$因为每一个定向链环的琼斯多项式. ! / $ + "除以A+ # ! A+ A # ! 还是一个链环不变量#我们定 义1 ! / $ + " @ . ! / $ + " A+ # ! A+ A # ! $这样平凡结的不变量 就变成#$1 ! / $ + "也叫琼斯多项式#也满足线团 关系式$ 琼斯多项式是一个非常重要的链环不变量$ 然而从定义或线团关系式进行计算#非常复杂$ 如果一个链环有个)交叉点#那么计算它的琼斯 多项式就需要做! ) 个和$学过幂指数的都知道 指数增长的速度&据估计整个可见宇宙里的基本 粒子数不会超过! !"" $所以计算!""个交叉点的 链环的琼斯多项式#要加的和数已经不可思议$ 但有没有别的聪明办法高效地计算链环的琼斯多 项式呢' 数学家们相信高效的算法是不存在的$ 但是如果我们有量子计算机#我们就可以高效的 逼近琼斯多项式的值$下半部我们看看量子计算 机是怎样做到的$ 思考题# #%把每一个交叉点的上下互换#琼斯多项式怎样 变化' !%改变链环的方向#琼斯多项式怎样变化' 5%是否存在非平凡结而它的琼斯多项式和平凡 结是一样的' 这个问题极难#我们还不知道 答案% 下半部 大卫(希尔伯特! #<6! % #1$5 "是伟大的德国 数学家%#1""年他在巴黎国际数学家大会上提出 了!5个当时未解决的数学问题%这!5个问题对 上个世纪前半叶的数学发展产生了深远的影响 其中的第十个问题是&给定一个多元整系数多项 式2 ! 3 # 4 #)# - "#给出一个算法来决定2 ! 3 # 4 # )# - "是否有整数解%希尔伯特并没有定义什么 是算法#而且他下意识的相信算法是存在的% #13"年数学家证明不存在算法可以解决这个问 题%但早在#156年#英国数学家阿兰(图灵! G% H>:/( ? # #1#! % #12$ "就发表了题为*可计算数及 在决断问题中的应用+的文章%在这篇文章中图 灵严格定义了算法#并证明存在数学问题是没有 算法来求解的%图灵定义的算法被称作图灵机% 是计算机理论奠基性的工作之一%图灵对逻辑 学#密码学和现代计算机理论都有巨大的贡献% 在二次世界大战中#他帮助盟军解密了德国的著 名I(/ ? .0密码机器#加快了盟军的胜利% 学过数学的人都有算法的经验%即使一个问 题有算法可解#也不意味着这个算法是可行的% 理论计算机的一个重要方向就是研究高效! )DD/4 J/)(9 "的算法%比如著名的求两个正整数最大公 因子的欧几里德算法%欧几里德算法不但简单# 而且高效%然而另一个问题&给定一个正整数# 找出它的素因子分解%不但至今没人能找到高效 的算法#数学家相信高效的算法根本就不存在% 所以很多秘密都是基于这个假设%如果某一天有 人发现了一个高效的素因子分解办法#很多国家# 银行和个人的秘密#包括因特网上的很多交易# 就会被泄漏%令人惊奇的是# #11$年美国数学家 肖尔! K%LM': "发现量子计算模型可以高效地进 行素因子分解%量子计算模型是基于量子力学理 论的计算模型%它的实现非常困难%实现量子计 算的一种办法是基于纽结论%%%拓扑量子计算% 怎样用纽结计算呢' $ !计算模型 每一种物理理论#都伴随着一种计算模型% 经典物理的计算模型就是我们现在的计算机%每 一种计算模型都可以高效的解决一类问题%因为 量子物理包含经典物理#所以任何高效的经典算 法都可以看成高效的量子算法%我们希望量子计 算可以解决一些经典计算不能高效解决的问题# 像素因子分解%虽然我们有高效的量子素因子分 解算法#且没有高效的经典素因子分解算法#但 我们并不能证明高效的经典素因子分解算法是不 存在的%所以我们也就不知道量子计算是否真的 比经典计算更高效% $"! !公开的秘密 研究算法效率的理论叫计算复杂性$计算复 杂性考虑我们是否能够高效地利用我们的资源来 解决一类问题$资源可以是很多东西#比如时 间#记忆#也可以是精确度#但我们不考虑财富$ 我们用一个例子来说明它的用处$假设两个离得 很远的网友在网上下一盘重要的围棋#很久他们 还没有下完#所以决定停下来以后再下#但谁都 不想下最后一招棋#给对手时间仔细研究对策$ 假设他们不想任何别人参与#怎么办呢' 利用计 算复杂性#我们可以有这样一个可行的办法&把 围棋盘想像成平面坐标系#那么它的每个位置都 可以记成一对数! |
![\begin{displaymath}u=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}} \quad v=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}\end{displaymath}](http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_17_07_2/img3.gif)
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