量子自由电子论从量子力学的观点讨论金属电子的能量状态。它也假定在金属中点阵所产生的势场各处都是均匀的，即离子和价电子没有相互作用

第二章电阻分析

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量子自由电子论从量子力学的观点讨论金属电子的能量状态。它也假定在金属中点阵所产生的势场各处都是均匀的，即离子和价电子没有相互作用，且价电子为整个 ...

 

 

二、导电性的物理本质

    对导电性物理本质的认识经过了一个过程，即从古典电子论发展为量子电子论。古典电子论认为，金属晶体是由金属离子构成的点阵，点阵所形成的电场是均匀的，价电子完全是自由的，电子之间也没有相互作用，它们的运动遵守古典力学，特别是气体动力学的规律。在未加外电场之前，自由电子做无规律的运动，故不呈现出电流。当对金属施加外电场时，自由电子受电场力的作用向着电场的正端作加速运动，从而便产生了电流。在运动的过程中电子要与点阵离子发生碰撞，由此而失去受电场力作用所产生的附加速度，此后电子再重新开始加速运动。由于电子不断地与离子发生碰撞，从而产生了电阻。

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第二章  电学性能

金属及合金的电阻是一种结构敏感的物理性能。特别是当固溶体合金中的溶质原子发生偏聚，有序—无序转变及沉淀析出的时候，电阻的变化非常明显。现在对电阻的测量已能达到很高的精确程度，所以电阻分析已成为研究合金的时效和回火等问题非常有效的方法之一。

2-1 金属的导电性

一 电阻率和电导率

一个导体通过的电流I与导体两端的电压U和导体本身的电阻R的关系用欧姆定律表示

                     (2-1)

电阻R与导体的长度成正比，与导体的断面成正比，因此

                   (2-2)

式中系数ρ称为电阻串，表示材料导电性质的物理参数。一般在电阻分析中所要测量的电阻值都很小，其单位常用(μΩ·cm)表示。

按照定义，材料的电导率σ和电阻率的关系为

式(2—3)表明，ρ愈小，则σ愈大，材料的导电性能就愈好。电导率的单位为(S／m)。

    根据导电性能的好坏，常把材料分为导体、非导体和半导体。导体的ρ值小于10⁹Ω·m，

所有的金属均用于良导体它是金属的基本特征之一。非导体的P都在10¹²一10²⁰Ω·m之间，ρ值界于10^-4一10⁷Ω·m之间的届属于半导体。

    总之，不同材料的导电能力相差十分悬殊，这种现象当然是由它们的导电本质所决定的。

    二、导电性的物理本质

    对导电性物理本质的认识经过了一个过程，即从古典电子论发展为量子电子论。古典电子论认为，金属晶体是由金属离子构成的点阵，点阵所形成的电场是均匀的，价电子完全是自由的，电子之间也没有相互作用，它们的运动遵守古典力学，特别是气体动力学的规律。在未加外电场之前，自由电子做无规律的运动，故不呈现出电流。当对金属施加外电场时，自由电子受电场力的作用向着电场的正端作加速运动，从而便产生了电流。在运动的过程中电子要与点阵离子发生碰撞，由此而失去受电场力作用所产生的附加速度，此后电子再重新开始加速运动。由于电子不断地与离子发生碰撞，从而产生了电阻。从这种认识出发，设电子两次碰撞之间运动的平均距离(自由程)为；电子平均运动的速度为；单位体积内的自由电子数为n，则电导率为

式中m和e分别为电子的质量和电荷，为两次碰撞之间的平均时间。

    从式(2—4)可以看到，金属的导电性取决于自由电子的数量、平均自由程和平均运动速度。自由电子数量愈多导电性应当愈好。但事实却是二、三价金属的价电子虽然比一价金属多，但导电性反而比一价金属还差。另外，依照气体动力学的关系推导，ρ似应与热力学温度的平方根成正比，但实验结果却是ρ与T成正比。这些矛盾只有用量子理论才能得到解释。

    量子自由电子论从量子力学的观点讨论金属电子的能量状态。它也假定在金属中点阵所产生的势场各处都是均匀的，即离子和价电子没有相互作用，且价电子为整个金属所共有。但它明确提出，金属中每个原子的内层电子基本保持着单个原子时的能量状态，所有价电子都按量子化规律具有不同的能量状态．即具有不同的能级。

电子具有波、粒两象性。运动着的电子作为物质波，它的频率和波长与粒子的速度和动量之间的关系是

 

式中m为电子的质量；υ为电子的速度，λ为波长；P为电子的动量；h为普朗克常数

在一价金属中，自由电子的动能等于，从式(2—5)便可得到

 式中为常数；，称为波效，它是表征金属中自由电子可能具有的能量状态的参数。

图2-1    自由电子的E-K曲线

   式(2—6)表明E—K的关系为抛物线，见图2—1。图中K的“+”或“-”表示自由电子运动的方向。从粒子的观点看，E—K曲线表示自由电子的能量与速度(或动量)之间的关系，而从波动的观点看，E—K曲线表示电子的能量和波数之间的关系。电子的波数愈大，则能量愈高。E—K曲线清楚地表明，金属中的价电子具有不同的能量状态，有的处于低能态，有的处于高能态。按照泡利不相容原理，正反方向运动的自由电子从低能态一直排到高能态，0K时电子所具有的最高能态称费密能E_F，不同的金属费密能不同。

    以上讨论是在未加电场时，金属中自由电子的能量状态。曲线对称分布说明：沿正、负方向运动的电子数量相同，没有电流，但在外加电场的作用下，情况就不同了。电场使向着其正端运动的电子能量降低，反向运动的电子能量升高，见图2—2，由于那些接近费密能的电子转向电场正端运动的能级，从而使金属导电。所以，量子电子论明确指出：不是所有的自由电子，只有处于较高能态的自由电子才参与导电，另外，电子波在传播的过程中被离子点阵散射，然后相互干涉而形成电阻。量子力学证明，对于一个绝对纯的理想完整晶体，0 K时，电子无阻传播，即电阻为零。实际上金属不仅内部存在着缺陷和杂质，而且还具有一定的温度。缺陷和杂质产生的点阵静畸变和热振动引起的点阵动畸变，对电子波造成散射是金属具有电阻的原因。用量子力学导出的电导率为

电阻率为

从形式上看，它与古典电子论所得到的式(2—4)相同，但n和t的含义不同。式(2—7)中为单位体积内有效导电的电子数，不同材料不同。一价金属的比二、三价金属多，故它们的导电性较好。另外，式(2—7)中的t是两次散射之间的平均时间，为单位时间内散射的次数或散射几率P，散射几率愈大，电阻愈高，导电性愈差。

    量子自由电子论较好地解释了金属导电的本质，但它假定金属中离子所产生的势场是均匀的，显然这并不符合实际情况。

    由于晶体中电子能级间的间隔很小，所以能级的分布可以看成是准连续谱，或称为能带。能带理论与自由电子论一样，也承认金属中的价电子是公有化和能级是量子化的概念，所不同的是，它还考虑了金属中由离子所造成的，呈周期变化的势场存在。能带理论就是研究金属中的价电子在周期势场作用下的能量分布问题。

 

图2-2电场对E-K曲线的影响       图2-3周期场中电子运动的E_K曲线及能带

    电子在周期势场中运动时，随着位置的变化，它的势能也呈周期变化，即接近正离子时势能降低，离开时势能增高。这样价电子在金属中运动就不能看成是完全自由的了，而是要受到周期场的作用。正是由于周期场的影响使得价电子在金属中以不同能量状态分布的能带发生分裂，见图2—3a。从能带分裂以后的E—K曲线可以看到：当K＜K1时，E—K曲线按照抛物线规律连续变化；当K＝土Kl时，只要波数稍有增大，能量便从A跳到B，A和B之间存在若一个能；同样，当K＝土K2时，能带也发生分裂，存在能隙。能隙的存在意味着禁止电子具有A和B与C和D之间的能量，能隙所对应的能带称为禁带，而把电子可以具有的能级所组成的能带称为允带。允带和禁带相互交替，见图2—3b。电子可以具有允带中各能级的能量，但允带中每个能级只能允许有两个不同自旋磁量子数的电子存在。在外电场的作用下电子有没有活动的余地，即能否转向电场正端运动的能极上去而产生电流，这要取决于物质的能带结构。而能带结构则与价电子数、禁带的宽窄及允带的空能级等因素有关。所谓空能级是指允带中未被填满电子的能级，具有空能级允带中的电子是自由的，在外电场的作用下参与导电，所以这样的允带称为导带。禁带的宽窄取决于用期势场的变化幅度，变化愈大，则禁带愈宽；若势场没有变化，则能量间隙为零，此时的能量分布情况如图2—1所示的E—K曲线。

    能带理论能够很好地解释物质的导电性。

    如果允带内的能级未被填满，允带之间没有禁带或允带相互重叠，见图2-4 a，b，c。在外电场的作用下电子很容易从一个能级转到另一个能级上去而产生电流。有这样能带结构的就是导体。所有金属都属于导体。

    一个允带所有的能级都被电子填满了，这种能带称为满带。若一个满带上面相邻的是一个较宽的禁带，见图2—4d，由于满带中的电子没有活动的余地，即便是禁带上面的能带完全是空的(空带)，在外电场的作用下电子也很难跳过禁带。也就是说，电子不能趋向于一个择优方向运动，即不能产生电流。有这种能带结构的是绝缘体。

    半导体的能带结构与绝缘体相同，所不同的是它的禁带比较窄，见图2—4e。电子跳过禁带不象绝缘体那么困难。满带中的电子受热振动的影响，能被激发跳过禁带而进入上面的空带，在外电场的作用下，空带中的自由电子便产生电流。

     

图2-4  能带填充情况示意图

a）、b）、c）金属 d）绝缘体  e）半导体

 

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