δ（ 变分符号）
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WRONSKI行列式与PFAFF式技巧在若干孤子方程中的应用_ ...
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17虚位移原理及动力学普遍方程_百度文库
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达朗伯原理（又称动力学虚位移原理，或动力学普遍方程）
外力做功为实功，内力做功为虚功。
实质是外力与内力对同一处的功相同。
依此，才有了之后的位移计算，力法等
倘若质点是自由的，那么对以任何方式联系起来的，受任意影响的质点系来说，它在每一时刻的运动都要完全或只是有可能完全依照这些质点本来就有的方式进行活动，也就是说运动要以尽可能小的拘束进行。如果在无限小的瞬间，对每一质点的质量和该质点现在的位置的偏离量的平方之积取和，这个和则可作为对拘束的量度”。[19]以Z表示这个和，由于所研究的质点是n个，则可写为
若没有内部约束则括号内的量将为 0 ，此时就有
括号内的差值不为零，说明质点与其自由运动出现偏离，也就是显示出来自内部约束的结果，也可以把上述差值看成是丢失的力除以质量
第三章、最小作用量原理
第三章、最小作用量原理
(二）
1819年，高斯在题为《论新的力学普遍原理》一书中，提出了作为更为普遍原理的结论，无摩擦的约束系统在任意力作用下将这样运动： 来自约束的对系统的拘束和施加于约束上的压力均取极小值。高斯用以下方式阐述了他的最小拘束原理。[18]
“倘若质点是自由的，那么对以任何方式联系起来的，受任意影响的质点系来说，它在每一时刻的运动都要完全或只是有可能完全依照这些质点本来就有的方式进行活动，也就是说运动要以尽可能小的拘束进行。如果在无限小的瞬间，对每一质点的质量和该质点现在的位置的偏离量的平方之积取和，这个和则可作为对拘束的量度”。[19]以Z表示这个和，由于所研究的质点是n个，则可写为
若没有内部约束则括号内的量将为 0 ，此时就有
括号内的差值不为零，说明质点与其自由运动出现偏离，也就是显示出来自内部约束的结果，也可以把上述差值看成是丢失的力除以质量。我们还记得达朗贝尔曾把作用于系统中，但不影响质点系所达到的运动的那部分力，叫做“被丢失的力”。 若以 Fk 表示此力，则
在上式中拘束量度曾作为高斯的最小二乘法表示式出现过。读者还记得，在1795年就已为十八岁的高斯所发现，但是到1818年才发表的这种著名的方法。这个方法能够由包含偶然误差的一系列测量中求得与真值偏离最小的量。[20]在最简单的情况下用最小二乘法得到的测量值的估计是测量中所得数值的线性函数。如果此时测量误差是偶然误差而且是独立的，并且服从正态分布，则最小二乘法就使得用最小的方差的平均值来估计这一未知的量成为可能。
用yi(i=1,2,…,n)表示为定义量x进行的n次独立测量所得到值，pi表示测量的权这时就可以取值X作为量x的估计，对这一估计可用平方和的最小值表示:
要是这一表示式和高斯的拘束量度相一致，则质量的倒数相当于统计权而丢失的力相当于误差。
一方面是力学的普遍原理另一方面是误差理论的基本数量关系之一，即最小二乘法，它们二者之间相互对应，这对高斯来说是意味深长的。在最小拘束原理一文中，高斯是用这一句话来结束的。“很明显，当自由运动和系统的本质互不相容时，就要使其改变。正如几何学家所做的那样，在其计算中为使结论和问题的本质所规定的必要条件不发生抵触而对其计算运用最小二乘法从而改变了由直接计算而得到的结论。”[21]
在指出这种对应之后，高斯并未宣布其思想要向何方发展，因为上述对比在任何意义上来看都是 “极其显著”的，这里也许就象其他一系列情况那样，高斯不去发展，至少没有下决心公开宣布其最彻底的概念。不过很难判定对 “城邦分子叫嚣” 的畏惧就不影响到上述那些情况。
但是与这种见解无关的，在最小拘束原理和最小二乘法之间对应关系的物理解释，就像对非欧几何的物理解释一样，在十九世纪廿至卅年代同样是不可能出现的。要是最小二乘法和最小拘束原理间的类似是一种比单纯的相似更为深刻的相似，那么质点的真实运动和可能的运动之间的区别可就具有统计的特征了。由约束引起的作用使大量的质点偏离其自由运动，这好象是在客观表象里许多不同的，被忽略的原因引起大量的误差一样，在约束的作用下质点运动的变化获得统计规律的形式。不过要是质点在确定的路径上之运动认为是大量之作用的统计的平均结果，这只能在对质点自身同一性进行相对论化的基础上才有可能。当然，这将是一百多年以后的事了。但是现在我们还要再回到最小拘束原理。这个原理要求前述表示式中Z取最小值以使变分δZ等于零。变分并不改变第Ｋ个质点的位置xk ，速度 
，作用于系统上的约束条件和质量mk ，改变的只是加速度 
。根据这些条件就可以得到该系统的拉格朗日方程，因此最小拘束原理和达朗贝尔原理一样也可以得到运动方程，从这个意义上同样可以把它认为是力学 的基本原理。和达朗贝尔原理一样，最小拘束原理也是一微分原理，它所研究的既不是过去也不是未来，仅仅是该系统在给定时刻的状态。这一状态决定系统以后的行为。这样，在此情况下，系统状态和系统在某个空间和时间隔中的全部行为的关系就和拉格朗日拉普拉斯机械的决定论不发生矛盾了。此外，上述关系的积分形式的原理就是莫培督原理和哈米顿原理。
，作用于系统上的约束条件和质量mk ，改变的只是加速度 。根据这些条件就可以得到该系统的拉格朗日方程，因此最小拘束原理和达朗贝尔原理一样也可以得到运动方程，从这个意义上同样可以把它认为是力学 的基本原理。和达朗贝尔原理一样，最小拘束原理也是一微分原理，它所研究的既不是过去也不是未来，仅仅是该系统在给定时刻的状态。这一状态决定系统以后的行为。这样，在此情况下，系统状态和系统在某个空间和时间隔中的全部行为的关系就和拉格朗日拉普拉斯机械的决定论不发生矛盾了。此外，上述关系的积分形式的原理就是莫培督原理和哈米顿原理。
高斯观念的发展是1892——1893年赫兹提出的最直路径原理。这个原理同时延续了雅考毕的思路，即对全部变分原理和动力学加以几何化。这一问题在众所周知，赫兹不用力的概念而要建立起力学的尝试中得到阐明。这个尝试是在《力学原理》这本书上讲的（1892）。[22]
赫兹在这本书上打算把力学归结为三个基本概念，即空间、时间和质量。因此骤然看来他的概念似乎是笛卡尔派的回潮，即力图建立动理学体系。然而这只是那些观念在逻辑上历史上实际关系的一个部分。赫兹在《力学原理》一书中仍旧是延续这一理论，力求把复杂的，不可归结为力学的十九世纪的物理概念还原为动理学图景。这个图景中有时也包含着假定的隐蔽的运动和质量。在十九世纪八十年代赫姆霍茨也曾进行过这尝试，他运用了遁环运动，这种遁环运动的特性与坐标量无关只取决于其变化的速度。
就赫兹而论，与其说他力求把物理规律归结为古典力学的概念，不如说他力求把古典力学概念本身归结为动理学模型。就历史而论，这种发展趋势与其说是把物理学归结为力学的这种意愿造成的，还不如说这是由于对力学的物理解释，由于力学基本概念的变化，以及由于具有能量量纲的一些标量进入力学之后所造成的。
赫兹特别强调他的力学和能量转化原理间的紧密联系。旧的力学把现象都归结为原子之间的一定距离上起作用的有心力。被引力联系在一起的各个分立物体的图景就是科学解释世界的最终目的。赫兹这样说道：“然而到十九世纪末，物理学已倾向于另一种观点，在能量守恒定律的发现对物理学发生强烈影响的作用下，在物理学中偏向于对凡是涉及到它的领域之中的现象，都着成是一种形式的能量向另一种形式能量的转化，并且只以发现现象归结为能量转化定律为最终目的。”[23]
然而赫兹并不要求用唯象的表示替代引力质量的力学图景，也就是说不打算让只包括作为基本量而不提出离散物体及其运动模型的公式所限制。所以赫兹就用某些隐蔽质量的实在的运动取代力。
“如果意欲得到一个圆满的、自身完备的、合乎规律的世界图景，那么我们看到的实体背后应当容许有一种不为我们所视见之实体，并且也应当在我们的感觉之外寻求某种隐蔽之物的作用。即使就在最早的两种世界图景里我们已然承认了这种深深埋藏的作用的存在，并且可以把它设想为特殊类型的实质，现在为了在我们的世界图景中把它复制出来，所以建立了力和能量的概念”，[24]反过来看，这些概念也形成了这样一种印象，除了物质及其运动以外，似乎这个世界还存在着另一种实在。因此，赫兹才倾向于用隐蔽的运动和质量取代能量和力。
“我们能够承认某种隐蔽之物会有其作用，但是我们也能够否认此物应属于某个特殊的范畴。于是就把采用下述方式的可能性展现在我们面前，这种隐蔽之物不会是别的，仍旧是运动和质量。它和我们视见之物的区别不在于其实质而只在于它和我们通常的知觉方式之间关系和差异，这一观点才是形成我们假定的本质。”[25]
赫兹并不是很快地接近其基本目标，即把世界图景归结为时间，空间和质量。起初他打算用运动质点动能的概念取代力的概念。把势能和一切形式的能量都归结为动能这种事在物理学中我们也遇到过。用普朗克的话来说：“赫兹拒绝接受动能势能间的区别，因而同时也就拒绝研究能量的特定形式时所遇到的一切问题，赫兹的看法不单是物质只具有质点这种唯一的形式，而且能量也只有动能这种唯一的形式。其余一切形式的能量，比如我们表示势能，电磁能，化学能和热能等，实际上表现为运动质点的动能，正是自然界中这些质点的位置，速度之间所存在的那些恒定不变的联系也才使所有形式的作用变得如此不同，这样，按赫兹的说法自然界中所有的运动最终只是建筑在物质惰性的基础之上”。
当赫兹谈到理论力学的新任务，谈到他力图把力学现象看成是一种形式的能量向着另一种形式能量的转化，直至把力学现象都归结为能量转化时，那么这时的情况就同十九世纪科学的实际发展趋势完全相一致了。力学实际经受着来自既不能归结为它但又从它里面解放出来的物理学影响。实质上，十八十九世纪所进行的把力学原因加以综合以及力求根据一个原理推演出力学的一切尝试都显示在这一发展趋势之中。力学发展中的两方向（即用数学工具加以概括和在力学中那种本质上是物理的能量与作用量概念的出现）本身就是联系在一起的，并且在历史上也互相支持。
赫兹力图建立的力学和牛顿不同，其基础不是力，而是物理学的基本概念。为此赫兹在他称之为具有数学特征的两个概念时间和空间后面它补充上两个具有物理本质的概念质量和能量。这些概念表示在孤立系统中仍旧保持不变的物理实质。空间、时间、质量、能量它们自身可以借助于哈米顿原理联系在一起。赫兹这样阐述了未来理论体系的基本精神：“天然质量的每一个系统好象都是完成这样一种任务而运动，既要在给定时刻达到给定位置，又要使在全部所论时间之中，平均说来动能和势能之差要取尽可能小的极值。”照赫兹看来这样一种表象比建立在力而不是建立在能量基础之上的牛顿的图景具有一系列优越性。
以后赫兹认为有可能建立第三个世界图景，在此图景中作为基本概念而引入的只有时间、空间和质量。这里不只是力，就是能量也应归结为空间、时间和质量这三个概念。而这三个概念被统一到好象是惯性定律的规律之中。“独立的物质系统的每一种自然运动是该系统要以恒定的速度按其最直路径之一所发生的运动”。显然，惯性定律和最小拘束原理都被统一到这一形式里面去了。
按照赫兹的理解所谓“直”的和“最直”的路径是什么样的呢？所谓直路径是全体路径元都有相同方向，且以此区别于有不同方向路径元的被弯曲的路径。在点的位置变化时，方向改变的速度对应于曲率。赫兹研究了表征最小弯曲的路径，这就是所谓最直路径。有时最直路径和最短路径相一致。这样赫兹就使几何概念即曲率的理论向力学的基本原理靠拢了。
在把最直路径原理和最小拘束原理加以对照之后，其意义就可以显示出来了。正如我们所看到的那样，高斯认为拘束的量度是
赫兹引入单位质量的概念（ｍｋ＝１）以取代上面表示式中质量单位数ｍｋ。他只研究了自由系统和Ｘ等于零的情况，因此高斯的拘束量度就要取以下形式：
此式和高斯的公式除去mk=1和Xk=0之外还有一个情况不同，即对加速度的平方要从１到Ｎ取和。Ｎ是对于应于赫兹力学中替代力的单位质量和约束的某个数。
接着赫兹又引入对于力学基本原理几何化这一任务至关重要的概念，即系统所经历轨迹之曲率K及长度元ds。轨迹的长度元ds是和引入所论系统的单位质量的轨迹的长度元dxk以二次式联系在一起
加速度 
，被xk对ds的二阶导数所代替，赫兹根据拘束的量度Z的高斯表示式得到下式：
，被xk对ds的二阶导数所代替，赫兹根据拘束的量度Z的高斯表示式得到下式：
此时所用的其它变换就不讲了，这里K（确切地说是k的平方根）就是轨迹的曲率。这个由Z所得到的量，对实际运动应取最小值即：
δK=0
当然“元长”和“曲率”表示式的意义是N维的，它们由相应的N维几何所决定，而且还是N维欧氏几何。因为路径元ds2是作为dxk的平方和而被定义的，即ds2=dx12+dx22+…+dxN2。
从历史观点看赫兹力学的多维几何学的特征指出了一个重要的情况，赫兹并没有成功地把力学归结为三维空间中（那怕是隐蔽的质量）运动的动理学图景，他得到了多维的弯曲的空间，这件事最终指出了力的不可排除性，力代表了质量在其上按测地线运动的多维的曲面的弯曲。
按照赫兹的话来说，在提出质点系及其运动的几何表象时很容易看出，最小作用原理实质上就是几何原理“而这一原理的建立及发展可以完全独立于力学，并且也看出不出该原理同力学中所用的另外一些几何知识有更紧密的联系。”在对这种观念的发展中，赫兹又提出了一个结论，最直路径和测地线相一致。每条测地线也就是质点最直运动的一种形式，在多维空间中则是质点系的一种最捷运动形式。不过赫兹预先申明：测地线并不永远反映最捷路径。只有当运动质点或质点系的位置足够接近时测地线方能和最捷路径相一致。
上述赫兹和十九世纪后半叶某些其他物理学家的观念具有重要的历史意义。数学几何化，对照变分原理的几何化和多维几何的关系可以看出，对古典力学进行综合总结是如何为相对论准备了概念和方法。这件事不仅阐明变分原理的逻辑结构，同时也阐明了它的历史作用。到十九世纪末对力学变分原理几何化的尝试几乎没有停止。在一定程度上，赫兹那种用多维空间的点代表动力学系统的观点开始起着很重要的作用。在这种情况下，力场就要由被弯曲的，破坏其欧几里德性质的多维空间所表示。这样一来就可以把系统看成是自由的，力可以用约束取代，而约束则看成是多维空间的弯曲。系统从一个状态到另一状态的变化认为是某个点在测地线上运动。这样，对系统在力场中的运动来说惯性定律和变分原理间的区别就消失了。或者更确切地说这种区别就变成“平直”的多维空间和弯曲的多维空间之间纯属几何上的区别了。
后来的广义相对论实现这个纲领。广义相对论仅仅把引力场几何化。当然所谓“仅仅”应加上引号，这是因为从时空而言，万有引力是实物和场的普遍联系的集中点，因此在空间中（冲量守恒）和时间中（能量守恒）决定这些集中点的行为的规律是同引力的规律联系在一起的。最小作用原理本身就意味着没有场的作用时，质点将在欧氏空间的测地线上，也就是在直线上运动。在一般情况下，即存在场的作用时将沿着具有某个曲率的曲面上的测地线运动。
迄今为止根据引力场方程推出运动方程（要是就宏观物理而论）既是从最根本上排除了力，同时也是对古典物理学原始抽象的最根本的限制条件。倘若我们研究了引力场的相对论（非线性）方程，并且从它推出运动方程，这就意味着不再把力当成是外加的，给定的，所论问题终极的实质。现在运用恩格斯的术语来说：力可以看作是运动的主动的或是被动的方面。[26]现在所谓运动物体和场的相互作用，这种用抽象的形式也消除不了的相互作用，就像古典物理学所做的那样使方程具有线性的特征。
上述情况并不完全是指赫兹而言。力不是用动理学表象所取代而是改变了它自身的意义，力的概念和承受力的作用的物体的概念获得另外的特征。对力的概念的这种变更是同对原始抽象的限制联系在一起的。这就是并不把质点看成是以绝对的形式区别于包围它并且又在其中运动的介质的某种东西，而把质点看成是位于实在的物理介质（引力场）的时空中的奇点。不过相对论的宏观特征却使自身同一的粒子的观念失去加以修正的可能。
我们现在分析一下由于赫兹试图从力学中排除力而提出的最短距离原理。在此之前让我们先返回到与这种尝试无关的变分原理。当然，这并不是返回它的形式化的发展过程，而是返回到填充新的物理内容的拉格朗日，哈米顿，雅考毕的形式的结构。只是在新的实验事实的影响下才能发生用新的物理内容去充实形式化的原理。
在十九世纪证实了代入到哈米顿原理公式中的量只能由实验所确定。最小作用原理在其发展过程中不必引入实验事实就能极为具体地指出我们用于研究客观的物理数量关系的数列之特性，但不能指出这种数量关系本身的特性。然而最小作用原理则以不变的形式表征出客观的物理关系。这一情况不仅决定了这一原理在十九世纪物理学中的意义，而且也决定了它在近代物理中的命运。对其内容不必作出什么新的物理假设就可以把最小作用量原理以哈米顿公式的形式运用于相对论物理。相对论使变分原理的一个重要的，反复讨论多次的一个方面的问题得到彻底的阐明。哈米顿公式中引入的作用量（动能与势能之差并对时间积分）和拉格朗日的作用量（动能对时间的积分）不同，在从一个惯性系变到另一惯性系时前者是不变的。换言之，前者对洛仑兹变换是不变的。这就表现出哈米顿作用的四维本质。四维时空的“距离”和三维的纯空间的距离不同，它是洛仑兹变换下的不变量。表征质点或质点系在某一时刻的量是四维客体在三维空间之投影，其变化只取决于四维世界里空间截面的选择。表征系统在某一有限时间间隔内行为的量在一定条件下可能与这种选择无关。如果根据在一段不仅包括过去也可以包括末来的有限的时间间隔内（例如根据系统在11点到下午1点系统的行为决定系统在中午的状态）系统的行为决定系统在某一时刻的状态，那么这就毫无目的论可言了。这个问题原则上同另一问题没有区别，这就是说空间某点的现象由空间中一个在它前面，一个在它后面的两个点的现象所决定。在相对论中，时间空间是平等的，这就取消了曾经在最小作用原理的历史中起过重要作用的，所谓“有目的起作用的自然界”这一问题。为了算出系统的作用量，必须对包容系统且为物体所填充的空间和时间进行积分。这时我们就得到了从一个惯性系变到另一个惯性系时不变的四维量了。根据一些类似的情况普朗克指出，假定对一切四维宇宙坐标是对称的最小作用原理（对时间的积分并不能推出时间坐标，因为哈米顿作用量关于洛仑兹变换是不变的）可以成为核心的原理，这个原理以三个动量的守恒定律投影于空间之中，而投影在时间中则是能量守恒定律。[27]
这样，相对论运用时空事件的四维世界把最小作用量原理解释为能够从可能的世界线中挑选出实际的世界线的原理。在这种情况下相对论并没有给最小作用原理添加进新的物理内容。这种物理内容可以为量子物理所引入。只有作出某种把相对论和微观世界联系在一起的解释的情况下，根据更为一般的设想，相对论或许有“推出”最小作用原理的可能。在建立广义相对论时爱因斯坦用过最小作用原理。此时作用量的概念得到某些新的解释。如所周知，在决定空间和时间的曲率时借助于四个恒等式，并且力求排除表征空间时间特性但不表征曲率的多余的参量。这些恒等式按其物理意义而言表示不同坐标系中空间和时间曲率的同一性，曲率张量取决于能量冲量张量。在研究此问题时，爱因斯坦指出，上述四个恒等式有物理意义，也就是具有守恒定律的意义，并且表示了空间时间的特性。然而，现在当我们谈能量冲量张量时，空间的首要特性，即其均匀性对应于冲量分量守恒；而时间的均匀性对应于能量守恒。这样，守恒定律就对应于曲率张量之间恒等的数量关系，作为与这种或那种坐标表示无关的物理特性的曲率对应于作用量。爱丁顿提出在广义相对论中对作用量这一概念意义的极为精细、深刻的说法。他指出：对时空连续统而言，作用量扮演着类似于能量在空间关系上所扮演的角色。在四维世界里，作用量是曲率的量度，即决定质点运动的四维连续统的基本特性的量度。我们顺便指出：在叙述魏尔的统一场论时爱丁顿曾顺带提到对作用量的一种很有益的解释。爱丁顿说，可能作用量就是概率的函数，然而当把一些概率连乘，则作用量就相加，从而作用量可以认为是概率的对数。由于概率的对数是负数，所以作用量就要看成是概率的对数再加上负号，此时最小作用原理则表示实际实现的运动的最大概率。
在现代量子力学中最小作用量原理起着重要作用。不但如此，对于作用量概念的思考也激起对现存理论进行总结的尝试。表征微观世界之基本量，即作用量子和引入到宏观力学的基本数量关系中的量，即由能量按时间积分，这两个量的量纲一致，促使近代理论家在一系列设想上尽管没有引出什么具体的物理理论，但是却引出一些看来是很有前途的物理理论。
下面讲一下罗素的某些看法。[28]根据质量和能量的相对论的数量关系，罗素推出把质量和时间之积当成作用量的可能性。但是，引力质量还有与其相等的惯性质量可以由距离代表，这时作用量就是长度和时间的乘积了。用这种观点来看待普朗克常量，罗素说：要是把作用量取作物理学的基本概念，我们或许能建立起来全是原子论的，极适于检验的物理学。
罗素接着指出：相对论中时间空间间隔的不变性和作用量的意义（即在微观世界中的作用量）之间的联系是意味深长的。与上述类似的一些设想并不能引起物理知识的实际的进展，不过却很值得提出来，因为此后推广量子力学时要用作用量来表征近代物理的特征和风格。
从历史的观点应着重指出，发现作用量的不连续性表明哈米顿原理发展到一个新的阶段。哈米顿的最小作用原理公式是同光学力类比紧密地联系在一起的。然而十九世纪这种类比只能引起把连续介质中波动规律和离散物体运动统一在一起的一些不明确的设想。相反，在廿世纪以普朗克的伟大发现为开端的物理学，光学力学类比已然成为物理学中起关键性作用的观念。哈米顿曾经讲过等作用量的曲面，并且在不涉及周期过程的情况下，也研究过在此曲面上的运动。和等相位面类比本身遇到了本质上的困难，光学力学类比要求在所谓波动的公式中角度的余弦是一无量纲的量，为此必须要使作用量除以某个和它有相同量纲的量，这个量由普朗克引入到物理学之中，在此之后德布罗意就能对波写出下式：
此式中余弦就有物理意义了。光学力学类比使德布罗意有可能对于波尔的量子条件做出合理的解释，同时也使最小作用量原理和费马的光学原理之间所进行的多次类比具有物理意义。
在量子力学的发展中，作用量的不连续性不以其最初的假定方式保持下来。这种不连续性使解释量子力学的数量关系成为可能，但却没有去找这种解释。这样，不连续性就以终极概念的身份出现了。作用量不连续在日后推广为相对论的量子论中可以得到因果性的解释。看来这种推广的尝试对作用量概念本身带来某些新的认识，就像时空网格数的概念那样，用普朗克常数去除作用量的表象没有被排除，嬗变过程就在此网格中发生，在宏观的近似中网格可以作为自身同一的基本粒子的世界线而加以研究。此时世界线的概率就同爱丁顿所说的那种数量关系的作用量联系在一起，于是最小作用量原理就成为最大概率原理。
注释：
１．Л．С．Полак． Варационные принципы механики，их развисии и некоторые применения в физике（в печати）．Дальнейшее изложение истории вариционных принципов опирается на эту работу．
２．Ｌｅｉｂｎｉｚ．Ｍａｔｈｅｍａｔｉｓｃｈｅ Ｓｃｈｒｉｆｔｅｎ． Ｈｅｒａｕｓｇ．ｖ．Ｇｅｒｈａｒｄｔ，ｔ．Ⅱ，Bd.Ⅱ１８６０，Ｓ．３４５－３６６．
３．Ｌｅｉｂｎｉｚ．Ａｃｔａ Ｅｒｏｄｉｔｏｒｕｍ．１７５１，ｔ．Ⅱ，Ｓ．１７６
４．Эта книга издана в русском переводе в １９３４ г．（ГТТИ）．
５．马克斯． 《数学手稿》 人民出版社 １４７页 －－译者
６．Л．С．Полак．Вариационные принципы механики，их развитие и некоторое примение в физике．
７．Л．С．Полак． Вариационные принципы，гл．Ⅲ．
８．Ｈａｍｉｌｔｏｎ． Ｏｎ ａ ｇｅｎｅｒａｌ ｍｅｔｈｏｄ ｏｆ Ｅｘｐｒｅｓｓｉｎｇ ｏｆ ｔｈｅ Ｐａｔｈｓ ｏｆ ｌｉｇｈｔ ａｎｄ ｏｆ ｔｈｅ Ｐｌａｎｅｔ ｂｙ ｔｈｅ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓ ｏｆ ａ Ｃａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓ Ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ．Ｍａｔｈ．Ｐａｐ．，ｖ．Ｉ，ｐ．３１４．
９．Ｗｈｉｔｔａｋｅｒ．Ａｎａｌｙｔｉｓｃｈｅ Ｄｙｎａｍｉｋ ｄｅｒ Ｐｕｎｋｔｅ ｕｎｄ ｓｔａｒｒｅｎ Ｋｏｒｐｅｒ． Ｂｅｒｌｉｎ，１９２４，Ｓ．３２３．
１０．Л．С．Полак．Вариационные принципы，гл．Ⅲ
１１. 雅考毕.
１２．Якоби．Лекции по динамике．М．－－Л．，１９３６，стр．４４．
１３．[法]Ｍ．Ｏｓｔｒｏｇｒａｄｓｋｉ．Ｍｅｍｏｉｒｅ ｓｕｒ ｌｅｓ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ，ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉｅｌｌｅｓ ｒｅｌａｔｉｖｅｓ ａａｕ ｐｒｏｂｌｅｍｅｓ ｉｓｏｐｅｒｉｍｅｔｒｅｓ． Ｍｅｍ．ｄ． ｌ＇Ａｃａｄ．ｄ．Ｓｃ．，Ｓｔ．Ｐｅｔｅｒｓｂ．，１８５０，ｐ．３８５－５１７．[e上有撇]
１４．Ｌｉｅ Ｓｏｐｈｕｓ １８４２－１８９９ 挪威数学家
１５．М．Планк．Физические очерки．Ｍ．， １９２５，стр．９５．
１６．К．Маркс и Ф．Энгельс．Соч．，т．ⅩⅣ，стр．６３９．
１７．城邦（Ｂｏｉｏｔｉａ）原指迈锡尼时代之一种政权组织形式——译者
１８．这一原理在许良英译《物理学的基础》（商务印书馆 １９６４ 第一版，１３７页）中译为‘最少约束原理’。本书作者未用约束（связь）这一提法而用拘束（прнуждение）。我认为作者的提法是恰当的，约束是条件，拘束是此条件对系统的作用。——译者
１９．Русск．пер．статьи Гаусс в примечании к 《Аналитической механике》 Лагранжа． Ｔ．Ⅱ．М．－Л．，１９５０，стр．４１２．
２０．Ф．Клейн Лекции о развитии математики в ⅩⅨ столетии М．－Л．，１９３７， ｃтр．６１；А．С．Чеботарев．Способ наименьших квадратов с основами теории вероятностей．М．，１９３６；Н．И．Идельсон． Способ наименьших квадратов и теория математической обработки наблюдений．М．，１９４７．
２１．《Аналитическаямеханика》Лагранж（см．сноку на стр．６２）．
２２．Ｈ．Ｈｅｒｔｚ．Ｄｉｅ Ｐｒｉｎｚｉｐｉｅｎ ｄｅｒ Ｍｅｃｈａｎｉｋ ｉｎ Ｚｕｓａｍｍｅｎｈａｎｇｅ ｄａｒｇｅｓｔｅｌｌｔ．Ｇｅｓａｍ．Ｗｅｒｋｅ，Ｂｄ．３，Ｌｐｚ．，１９１０
２３．Ｄｉｅ Ｐｒｉｎｚｉｐｉｅｎ ｄｅｒ Ｍｅｃｈａｎｉｋ．Ｇｅｓａｍ． Ｗｅｒｋｅ，Ｂｄ．３．Ｓ．１７．
２４．同上书．Ｓ．３０．
２５．同上．
２６．Ф．Энгльс Диалектика природы． М．，１９５５ стр．２２５．
２７．М．Планк Физические очерки．М．，１９２５，стр．９５－９６．
２８．同上书．стр．５０．
２９．Ｂ．Ｒｕｓｓｅｌ．Ｔｈｅ ａｎａｌｙｓｉｓ ｏｆ Ｍａｔｔｅｒ．１９２７，ｐ．３４２．
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