Sunday, March 15, 2015

物理的实质相同，但是物理在不同表象中的数学形式不同，动量表象和坐标表象之间的变换是一个幺正变换，通过S矩阵，可以将相同物理实质的东西从不同的表象下的不同的矩阵形势或者称为不同表示方式联系起来

量子力学中，表象变换问题，求助

作者: 函数论 (站内联系TA)    发布: 2013-08-06
A表象中，B的本征态跟B表象中，B的本征态一样吗？还有在A表象中，用什么来代表基矢，是用A表象中A的本征态来表示呢还是用A表象中的B的本征态？在求A表象到B表象的变换矩阵S中，我开始糊涂了，本征态都不知用哪个了。
从数学形式上来说，同一算符在不同表象下的矩阵形式不一样，本征态也不一样的；在A表象中，以A的本征函数系来做基矢；两个不同表象之间的变换是幺正变换，即是用S矩阵联系；
说简单一些，即是选定了表象，就选中了希尔伯特空间的一组基底，就是选择了一组表示方式，最简单的就是坐标表象和动量表象，一种是把物理在坐标空间来表示，而另一种是把物理在动量空间中来表示；物理的实质相同，但是物理在不同表象中的数学形式不同，动量表象和坐标表象之间的变换是一个幺正变换，通过S矩阵，可以将相同物理实质的东西从不同的表象下的不同的矩阵形势或者称为不同表示方式联系起来。
举个简单的例子，坐标（A）表象下，动量（B）本征态是exp(ip_0x)，而在动量表象下，动量本征态是δ(p-p_0)。用抽象的狄拉克符号来表示，就是动量本征态|p0>，在坐标表象下为<x|p0>，在动量表象下，为<p|p0>。一般地，A表象的基矢用A的本征态来表示是最方便的，比如|a>，A|a>=a|a>，当然它也有B表象下的形式，即|a>= ∑_{b}|b><b|a>。
2楼: Originally posted by janecool at 2013-08-07 09:45:02
从数学形式上来说，同一算符在不同表象下的矩阵形式不一样，本征态也不一样的；在A表象中，以A的本征函数系来做基矢；两个不同表象之间的变换是幺正变换，即是用S矩阵联系；
说简单一些，即是选定了表象，就选中了 ...
是不是也就是说在求A表象到B表象的变换矩阵S时，我们必须要知道A表象中的A的本征态（即A表象的基矢）和B表象中的B的本征态（即B表象的基矢）？
4楼: Originally posted by 函数论 at 2013-08-07 10:59:02
是不是也就是说在求A表象到B表象的变换矩阵S时，我们必须要知道A表象中的A的本征态（即A表象的基矢）和B表象中的B的本征态（即B表象的基矢）？...
是的
4楼: Originally posted by 函数论 at 2013-08-07 10:59:02
是不是也就是说在求A表象到B表象的变换矩阵S时，我们必须要知道A表象中的A的本征态（即A表象的基矢）和B表象中的B的本征态（即B表象的基矢）？...
楼主的概念太模糊了，问题的问法都不对。
6楼: Originally posted by racoon01 at 2013-08-07 16:43:50
楼主的概念太模糊了，问题的问法都不对。...
:D就是概念模糊，才问啊，对于这个问题你想怎样理解就怎样理解吧，可不可以谈一下你的理解呢
7楼: Originally posted by 函数论 at 2013-08-07 22:55:09
:D就是概念模糊，才问啊，对于这个问题你想怎样理解就怎样理解吧，可不可以谈一下你的理解呢...
作为解析几何中的一个常识，我们知道：二维平面上的一个向量与坐标系的选择无关。表示这个向量时，既可以采取直角坐标系，也可以采取极坐标系。与坐标系选择有关的其实是这些向量在所选坐标系基矢上的投影分量。
同理，希尔伯特空间中的态矢量，包括任一力学量算符的本征态矢量，都与表象的选择无关。与表象选择有关的是所谓“波函数”。 F表象中的波函数它们实际上是态矢量在力学量算符F的各个本征态矢量上的投影分量。
8楼: Originally posted by racoon01 at 2013-08-08 00:10:58
作为解析几何中的一个常识，我们知道：二维平面上的一个向量与坐标系的选择无关。表示这个向量时，既可以采取直角坐标系，也可以采取极坐标系。与坐标系选择有关的其实是这些向量在所选坐标系基矢上的投影分量。
...
其实你讲的这些我都明白，这些书上讲得很明白，只是我在做题的时候，发觉答案好像跟书上讲的有点出入，其实这答案采用了一种很迂回的方法，于是我便怀疑我是不是对一些知识点理解还很模糊，所以提了这么一问题，只是想确定一下对某一些知识点的理解而已
5楼: Originally posted by janecool at 2013-08-07 11:28:11
是的...
在求A表象到B表象的变换矩阵S时，我们知道B分别在A表象中和B表象中的本征态，是否可以求得A表象到B表象的变换矩阵S呢？还是我们必须要知道A表象中的A的本征态（即A表象的基矢）和B表象中的B的本征态（即B表象的基矢）？
10楼: Originally posted by 函数论 at 2013-08-08 10:50:34
在求A表象到B表象的变换矩阵S时，我们知道B分别在A表象中和B表象中的本征态，是否可以求得A表象到B表象的变换矩阵S呢？还是我们必须要知道A表象中的A的本征态（即A表象的基矢）和B表象中的B的本征态（即B表象的基矢 ...
必须要知道A表象中的A的基矢和B表象中的B基矢
11楼: Originally posted by janecool at 2013-08-08 11:16:16
必须要知道A表象中的A的基矢和B表象中的B基矢...
但我看了《量子力学习题精解》（与张永德老师的书对应）93页那里不是这样的喔，那里求由σz表象向σx表象的变换矩阵时，只知道σx在σz表象和σx表象中的本征态，就求出来了
10楼: Originally posted by 函数论 at 2013-08-08 10:50:34
在求A表象到B表象的变换矩阵S时，我们知道B分别在A表象中和B表象中的本征态，是否可以求得A表象到B表象的变换矩阵S呢？还是我们必须要知道A表象中的A的本征态（即A表象的基矢）和B表象中的B的本征态（即B表象的基矢 ...
此言一出，说明你根本就没有明白我上贴里说过的话。这么说吧，你先回答我两个问题：
1. 量子力学中，什么是态矢量？
2. 波函数与态矢量能划等号吗？
13楼: Originally posted by racoon01 at 2013-08-08 13:09:51
此言一出，说明你根本就没有明白我上贴里说过的话。这么说吧，你先回答我两个问题：
1. 量子力学中，什么是态矢量？
2. 波函数与态矢量能划等号吗？...
量子态在希尔伯特空间中的矢量表示就是态矢量。态矢量就是用波函数来描述的
14楼: Originally posted by 函数论 at 2013-08-08 14:18:58
量子态在希尔伯特空间中的矢量表示就是态矢量。态矢量就是用波函数来描述的...
矢量表示？ 难道除此之外还有什么别的表示？
态矢量是怎么用波函数表示的 ？
不要打马虎眼。我觉得你要首先真正弄清楚这个问题，才能解决楼主提出的问题。
11楼: Originally posted by janecool at 2013-08-08 11:16:16
必须要知道A表象中的A的基矢和B表象中的B基矢...
问的破绽百出，答的也不靠谱。
14楼: Originally posted by 函数论 at 2013-08-08 14:18:58
量子态在希尔伯特空间中的矢量表示就是态矢量。态矢量就是用波函数来描述的...
See the attached.

wavefunction1.png

wavefunction2.png
15楼: Originally posted by racoon01 at 2013-08-08 16:27:27
矢量表示？ 难道除此之外还有什么别的表示？
态矢量是怎么用波函数表示的 ？
不要打马虎眼。我觉得你要首先真正弄清楚这个问题，才能解决楼主提出的问题。...
我这样说都有问题，那我就真的不懂了，请指教
18楼: Originally posted by 函数论 at 2013-08-08 17:45:00
我这样说都有问题，那我就真的不懂了，请指教...
你难道只管发帖、不看别人的回帖吗？ 我怎么觉得是在对牛弹琴呢？
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