A. 什么是纽结、链环
为了在数学上更贴切的描述绳圈，我们定义什么是“纽结”。简单地说，纽结就是三维空间中简单的闭曲线，意思是连通的(连成一体的)、封闭的(没有端点的)、不自交的(自己跟自己不相交，即没有黏合处的)曲线。所以，一个平面上的圆圈是一个纽结，它是一个未打结的纽结，我们称它为一个“平凡纽结”。
A. 什么是纽结、链环
为了在数学上更贴切的描述绳圈，我们定义什么是“纽结”。简单地说，纽结就是三维空间中简单的闭曲线，意思是连通的(连成一体的)、封闭的(没有端点的)、不自交的(自己跟自己不相交，即没有黏合处的)曲线。所以，一个平面上的圆圈是一个纽结，它是一个未打结的纽结，我们称它为一个“平凡纽结”。
除了绳圈可以打结外，绳圈与绳圈之间还可以互相钩连、套扣，这也是日常生活中常见的现象，诸如铁链、钥匙圈等等。因此，我们再定义“链环”的概念：由许多条互不相交的简单闭曲线所构成的空间图形称为链环，并称每一条闭曲线为其“分支”。下面是具有两个分支的链环。
如果一个纽结(或链环)可以经过绳圈的移位变形变成另一个，我们就说
这两个纽结(或链环)是等价的，或同痕的，有时干脆把两个等价的纽结(或
链环)视为相同的。
B. 纽结的投影图
在现实生活中，描述空间的图形通常是用照片，而照片就是一种取适当方位投影的图像。对于纽结与链环，我们也选取它的一个投影图来描述它。但是，这种投影图要能很适切地表示纽结与链环，所以选什么样的投影图是有一定标准的，不能随意给出一张图意不清，无法辨别有几个重迭点的投影图来描述一个纽结或链环，因为这无助于进一步的判别与分析。
Posted on 2011/01/06 in 未分類, 波, 物理, 聲波with 1 則迴響 10,618 views
聲音的共振--共鳴（Acoustic Resonance）國立彰化高級中學物理科劉翠鵑老師/國立臺灣師範大學物理系蔡志申教授責任編輯
共鳴是指發聲體受到其固有頻率（或稱共振頻率）的外力驅動時，會比被其他頻率外力驅動時吸收更多能量。共鳴就是振動頻率在人聽覺範圍內（頻率是介於20Hz～20000Hz之間）的共振現象。一般而言，聲音的共振體會有一個以上的共振頻率，尤其頻率是最低頻整數倍（通常把這樣頻率的聲音稱為諧音）共振強度最強。亦即當一個含各種頻率的波動（例如：脈衝波、噪音等）傳至共振體，共振體會過濾掉除了共振頻以外的頻率。大多數的樂器在製造時，皆須考慮到共鳴的效應。透過共鳴箱的設計，可以使振動的空氣量增加，例如：小提琴或吉他的音箱。
弦樂器中，如：如琵琶，豎琴，吉他，鋼琴，小提琴等，弦在張緊的情況下也有所謂的共振頻，而且這些弦樂器的共振頻是由弦的質量、長度與弦張力決定的。產生第一共振頻（即最低頻，也稱基頻或基音）的波長恰為弦長的兩倍，至於其他更高共振頻（也稱泛音）的波長則是基頻波長的整數倍分之一。這些對應的共振頻與弦波波速有關，如（1）式 其中 L 是弦長（兩端固定的弦）， N ＝ 1，2，3…
至於弦波或繩波波速 v 則與張力 T 和單位長度的質量 ρ 有關，如（2）式
則共振頻率 其中 M 是弦的總質量
張力愈大或弦長愈短可使共振頻率愈大。用手彈一下弦或用錘敲打產生一脈衝波在弦上傳播時，弦將會以各種頻率振動（脈衝波是由各種頻率的正弦波疊加而成的），但其中不是弦共振頻率的部分很快就會衰減，最後剩下的頻率才是傳到我們耳朵的聲音。此外，當某一弦發出聲音時可能會引發其他弦以其共振頻（基頻或更高頻）開始振動。例如：基頻440Hz的A弦振動時會引發基頻330Hz的E弦共振，因為兩弦同時有1320Hz的共振頻（A弦的第三諧音或第二泛音，E弦的第四諧音或第三泛音）。
至於空氣管的共鳴，則與管子的長度、形狀以及管子兩端開閉與否有關。將一端開一端閉的空氣管稱為閉管，兩端皆開的空氣管稱為開管。管樂器中空氣管形狀通常是錐狀或圓柱狀，例如：長笛是圓柱狀的開管，單簧管和銅管樂器則是圓柱狀的必管，至於薩克斯風、雙簧管及Bassoon管則是錐狀的閉管。
空氣柱的振動跟琴弦一樣是以諧頻共振。
對於圓柱狀開管的共振頻率 其中 N 為正整數（1，2，3…），如下圖（二）所示
對應不同的駐波模式， L 代表空氣管的長度， v 代表空氣中的聲速（20℃ 的海平面聲速大約是 343m/s ）
若要更準確的關係式，則應考慮管口的修正量（1860年H. von Helmholtz 詳盡地討論了管口修正的問題）
圓柱狀開管的共振頻率修正為 ，其中 d 代表共振管的內徑。
此關係式說明了一個重要結論，空氣管開口端邊緣並非零聲壓，故聲波在開口端的反射位置不會恰好在管子的邊緣，而是由管邊緣向外延伸一小段距離的位置。當聲波傳到共振管的開口端時，其反射率略小於1。亦即開口端的聲阻抗不完全等於零，而是一個有限值（稱為輻射阻抗），且此阻抗與管徑、聲波波長及管口的樣式有關。
其中 
其中 
其中 
，其中 
其中 
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