在 t  0 ，熱方程的核可以用擾動的方法計算出來，它跟空間的曲率有關，因此指標可由曲率表示，而後者一般可由陳氏類來表達。

Morse 指標其實是縮短測地線長度的所有方向的維數

 

近代幾何的發展 丘成桐香港中文大學數學科學研究所

www.cms.zju.edu.cn/UploadFiles/AttachFiles/20054411421524.ppt

您公開 +1 了這個項目。 復原

檔案類型: Microsoft Powerpoint - 快速檢視
在空間每一點都可以變動的內積，即是說給出了黎曼度量，可以寫作一個張量 。 ... 在 t  0 ，熱方程的核可以用擾動的方法計算出來，它跟空間的曲率有關，因此指標可由 .... 在三維空間的時候， Thurston 猜測說任何三維空間都是由有限個擁有簡單的黎曼度量的空間 ... 單連通的定義是說在此空間中任何一個閉曲線可以連續收縮成一點。

 

 

我們考慮算子 exp (-t D*D) – exp (-t DD*) 的迹 (trace)。當時間很大時，它給出算子的指標，但我們發覺在 0 < t < ¥ ，它與時間 t 無關，因此它又可在 t ® 0 時計算。

            

             在 t ® 0 ，熱方程的核可以用擾動的方法計算出來，它跟空間的曲率有關，因此指標可由曲率表示，而後者一般可由陳氏類來表達。

             在這個過程中，我們看到兩個核函數有重要的消去的性質，當參數大和參數小時不變，因此描述量子力學的指標雖然在參數大時計算，但它與參數小的古典幾何的曲率得出來的陳氏類是一樣的

 

我們考慮算子 exp (-t D*D) – exp (-t DD*) 的迹 (trace)。當時間很大時，它給出算子的指標，但我們發覺在 0 < t < ¥ ，它與時間 t 無關，因此它又可在 t ® 0 時計算。

            

             在 t ® 0 ，熱方程的核可以用擾動的方法計算出來，它跟空間的曲率有關，因此指標可由曲率表示，而後者一般可由陳氏類來表達。

             在這個過程中，我們看到兩個核函數有重要的消去的性質，當參數大和參數小時不變，因此描述量子力學的指標雖然在參數大時計算，但它與參數小的古典幾何的曲率得出來的陳氏類是一樣的

在球的情形，任何黎曼度量可以保角變換到單位球。

  在環的情形，任何黎曼度量可以保角變換到曲率為零的環：在平面上取平行四邊形，然後將對邊連接起來。

             在虧格g>1時， Poincare 證明任何在這種曲面的黎曼度量可以保角的變換為曲率等於負一的曲面。

             所有曲率負一的曲面可以由 6g - 6 自由度的空間來刻劃，此空間叫做 Teichmuller 空間

假如我們用調和函數做坐標系統，我們發覺Ricci張量

     為 Rij = - D gij 。

            影響幾何差不多一百年的 Einstein 方程就是

       

            其中 R 是 Rij 的迹 (trace)，而 Tij 則是描寫物質分佈的張量。

            如果沒有物質(vacuum) 的話， 可以證明 Rij = 0 。

            假如 Einstein 方程中加上 cosmology 常數，在沒有物質的情況下會它改變為

Rij = C gij  ，

  其中 C 是常數