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对谁做变分[误] - 豆瓣
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愛因斯坦-希爾伯特作用量- 維基百科，自由的百科全書
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sr01 gr01 诱导度规是轨迹的函数非线性的问题，它对轨迹有 ...
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求问，有关微分几何_相对论吧_百度贴吧
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度规的意义_百度文库
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科学网—大理石和木头- 王雄的博文 - 科学网—博客
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[DOC]度规的意义 - 教育数学会
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【揭秘】从爱因斯坦场方程说起/ databit / 第6页-[天涯] - 贴库网
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豆瓣小组
广义相对论引起的科学思想革命
自爱因斯坦的论动体的电动力在1905年发表以来，在过去的近110年里，科学思想革命性变化的主线条是：
1. 四维空间（1维时间+三维空间）的偏导数运算【作为联系两点之间的客体变化量（单位长度上的函数变化量），忽略高价小量】，被升级为度规张量变换【作为联系两相邻线段之间的空间客体量】条件下的协变导数运算。而这种升级的客观物理基础就是：时空尺度的变化受到世界线长度客体不变性的制约。
从科学哲学上看，把四维空间的偏导数运算分为两类：一类是满足特定度规张量变换条件的，被看成是反映物理真实性的运算；其它的被划入第二类，不是物理真实的而是纯粹数学上的。这样就压缩了偏导数运算有效性的范畴。
出于这样的一个要点，物理量必须为张量就成为一条科学原理（协变性原理）。质点运动的概念被抛弃，而代之于运动轨迹概念。
2. 度规张量变换既然是客体（或运动），那么不同类别的客体（或运动）就有不同类别的度规张量变换（群变换），由此引出：度规张量变换（群变换）就是物质场（或物质运动），从而，用规范场论重新表达出的物理学就是用普通偏导数表达出的经典物理的升级版本。
引力场理论提供了一个典范，从而也开启了天体科学研究的新时代。由运动轨迹概念升级为流形演化概念。坐标概念被参考流形概念替代。
从科学哲学上看，数学上的流形映射就是物质运动的自然表达方式，从而，对流形映射的属性分类就是对物质运动属性的分类。从此，在科学思想上，摆脱了用直观表象进行物质运动属性分类的束缚，也因此而深入到了物质运动的更深层次。这是革命性的进步，从而也就在原则上能渗入任意学科。
3. 在近半个世纪以来，发现度规张量变换过于狭隘，无法把量子力学包括进来，在经历李代数这个中间环节后，在本世纪初，终于发现，把度规张量变换拓展为群变换后，再限定为超代数下的Clifford几何代数张量，也就可以把量子力学、色动力学也包含进来。而原来用的度规张量变换只是一个特例。
具体的超代数运算法则成为具体的物质抽象运动表述。
由此，又把物质运动的概念拓展为更大的类别，从而为处理复杂运动（复合性的物质运动）提供了理论工具。量子物理的新时代被开启了。
从科学哲学上看，它对流形映射概念加上了更多的限定（同时也扩充了映射的类别），复合属性成为物质运动复杂性的对应描述。原则上，可以完全的实现跨学科的高度抽象性的理论建构。
这就开启了现代物理的大门，也开启了物理学大小统吃的大门。一场科学革命的高潮期似乎是即将到来。
如果一个人无视这一百年来物理学家（作为整体）取得的物理学成就，那么他就只能生活在经典物理的世界里。
如果一个人还在度规张量变换水平上研究物理，发现广义相对论（物理学）的缺陷，他只不过是重复“1.”的线条，而且未必是正确的重复。
如果一个人还在群变换水平上研究物理，发现大量的原理是不足为奇的，他推翻这个原理也好，那个原理也好，总是可能的。但是，那是徒劳无功的。因为，他未必能给自身脱僵的思绪加上必要的束缚，就是加了，也未必加的正确。顶多是在“2.”圈内转来转去而已。
如果不能进入“3.”时代，无论如何叫喊，也是在现代物理的大门之外。
现实就是如此的不以人们的主观愿望而转移。
无论是批广义相对论也好，保广义相对论也好，作为现代物理学革命的导火线，也作为第一个成功的经典型范例，广义相对论作为最重要的环节的历史地位是任何理论和任何人所无法否定的
多个独立同分布随机变量序列经过适当的线性总和后，其分布仍然保持不变
尺度变换下具有不变性
一提到狄拉克方程的错误，很多搞物理的一定会不服气，狄拉克方程错在哪儿了？狄拉克方程是经过了实验验证的，狄拉克方程正确预言了正电子，预言了电子的自旋等等，更有甚者会追问，你楼主懂狄拉克方程吗？你楼主懂矩阵运算吗？种种质疑会接踵而来。
但是先别急，我后文慢慢解释。
在物理界，薛定谔方程被称为古典量子力学方程，狄拉克方程相对论性量子力学方程。这两者之间的差别在于，薛定谔方程是伽利略变换下的不变式，而狄拉克方程是洛仑兹变换下的不变式。
说到薛定谔方程与狄拉克方程，就不能不提到那个失败的克莱因-高登方程，同样也是满足洛仑兹协变的，在数学推导上无懈可击的克莱因-高登方程为何会在实验结果上谬之千里？原因就在于对量子力学与相对论本质的认识上。
从数学的角度去比较薛定谔方程与克莱因-高登方程，很容易就会看出差别在于动量-能量关系式中的能量的方次上，薛定谔方程中左边的能量是一次方项，而克莱因-高登方程左边的能量是二次方项。
狄拉克联想到，可能正是由于能量方次的差别，薛定谔方程虽然是伽利略协变方程式，但因为其能量项是一次方，所以与实验符合良好，而克莱因-高登方程虽然是洛仑兹协变式，但因为能量项是二次方，所以反而达不到预期的效果。
于是，狄拉克引入了矩阵运算，因为在代数运算中，对能量项（类似于数学中的A平方+B平方）再开平方，由于其不是完全平方式，与完全平方式相差一个2AB，所以无法直接通过开平方的方式将能量项从二次方降低为一次方。
但是，狄拉克知道，所谓的完全平方式，真正的形式应该是（A平方+AB+BA+B平方）也就是说，2AB的真正含义其实是（AB+BA），所以狄拉克就联想到矩阵代数，因为矩阵代数中，AB并不等于BA，如果能够找到一种矩阵，可以让AB+BA=0，那么前面的问题就都会迎刃而解。
这样的矩阵叫做厄米矩阵，于是，狄拉克找到了四个厄米矩阵，用它们作为动量-能量关系式中的系数，于是，经过一些数学推导，金光闪闪的狄拉克方程式出现了
对谁做变分[误]
来自: 编程的章鱼喵(=L=~=M=) 2012-05-01 13:08:30
这种问法是不对的。正确的问法应该是，作用量看作不同函数的泛函的时候，如何如何。只要知道了正确的问法，答案就立刻出来了。
----------------------------------------------
一个作用量 S[phi, u, t, metric, ...]，其中 phi 是个标量场，u 是个矢量场，t 是个张量场，metric 是度规, 省略号表示这些量的高阶导数项。
在变分原理里面，如果想对一个作用量做变分，求极值。那么到底该对哪个量做变分呢？
GR 里面一般是对 metric 变分的，QFT 里面一般是对基本场做变分的，那么如果是这么复杂的作用量，应该对谁做变分呢？
对不同的量做变分不太等价，GR 里面有个 Palatini 形式，是对联络做变分的，大部分情况下跟 GR 的度规变分形式等价，有些情况下就不等价了。
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一个作用量 S[phi, u, t, metric, ...]，其中 phi 是个标量场，u 是个矢量场，t 是个张量场，metric 是度规, 省略号表示这些量的高阶导数项。
在变分原理里面，如果想对一个作用量做变分，求极值。那么到底该对哪个量做变分呢？
GR 里面一般是对 metric 变分的，QFT 里面一般是对基本场做变分的，那么如果是这么复杂的作用量，应该对谁做变分呢？
对不同的量做变分不太等价，GR 里面有个 Palatini 形式，是对联络做变分的，大部分情况下跟 GR 的度规变分形式等价，有些情况下就不等价了。
广义相对论引起的科学思想革命
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自爱因斯坦的论动体的电动力在1905年发表以来，在过去的近110年里，科学思想革命性变化的主线条是：
1. 四维空间（1维时间+三维空间）的偏导数运算【作为联系两点之间的客体变化量（单位长度上的函数变化量），忽略高价小量】，被升级为度规张量变换【作为联系两相邻线段之间的空间客体量】条件下的协变导数运算。而这种升级的客观物理基础就是：时空尺度的变化受到世界线长度客体不变性的制约。
从科学哲学上看，把四维空间的偏导数运算分为两类：一类是满足特定度规张量变换条件的，被看成是反映物理真实性的运算；其它的被划入第二类，不是物理真实的而是纯粹数学上的。这样就压缩了偏导数运算有效性的范畴。
出于这样的一个要点，物理量必须为张量就成为一条科学原理（协变性原理）。质点运动的概念被抛弃，而代之于运动轨迹概念。
2. 度规张量变换既然是客体（或运动），那么不同类别的客体（或运动）就有不同类别的度规张量变换（群变换），由此引出：度规张量变换（群变换）就是物质场（或物质运动），从而，用规范场论重新表达出的物理学就是用普通偏导数表达出的经典物理的升级版本。
引力场理论提供了一个典范，从而也开启了天体科学研究的新时代。由运动轨迹概念升级为流形演化概念。坐标概念被参考流形概念替代。
从科学哲学上看，数学上的流形映射就是物质运动的自然表达方式，从而，对流形映射的属性分类就是对物质运动属性的分类。从此，在科学思想上，摆脱了用直观表象进行物质运动属性分类的束缚，也因此而深入到了物质运动的更深层次。这是革命性的进步，从而也就在原则上能渗入任意学科。
3. 在近半个世纪以来，发现度规张量变换过于狭隘，无法把量子力学包括进来，在经历李代数这个中间环节后，在本世纪初，终于发现，把度规张量变换拓展为群变换后，再限定为超代数下的Clifford几何代数张量，也就可以把量子力学、色动力学也包含进来。而原来用的度规张量变换只是一个特例。
具体的超代数运算法则成为具体的物质抽象运动表述。
由此，又把物质运动的概念拓展为更大的类别，从而为处理复杂运动（复合性的物质运动）提供了理论工具。量子物理的新时代被开启了。
从科学哲学上看，它对流形映射概念加上了更多的限定（同时也扩充了映射的类别），复合属性成为物质运动复杂性的对应描述。原则上，可以完全的实现跨学科的高度抽象性的理论建构。
这就开启了现代物理的大门，也开启了物理学大小统吃的大门。一场科学革命的高潮期似乎是即将到来。
如果一个人无视这一百年来物理学家（作为整体）取得的物理学成就，那么他就只能生活在经典物理的世界里。
如果一个人还在度规张量变换水平上研究物理，发现广义相对论（物理学）的缺陷，他只不过是重复“1.”的线条，而且未必是正确的重复。
如果一个人还在群变换水平上研究物理，发现大量的原理是不足为奇的，他推翻这个原理也好，那个原理也好，总是可能的。但是，那是徒劳无功的。因为，他未必能给自身脱僵的思绪加上必要的束缚，就是加了，也未必加的正确。顶多是在“2.”圈内转来转去而已。
如果不能进入“3.”时代，无论如何叫喊，也是在现代物理的大门之外。
现实就是如此的不以人们的主观愿望而转移。
无论是批广义相对论也好，保广义相对论也好，作为现代物理学革命的导火线，也作为第一个成功的经典型范例，广义相对论作为最重要的环节的历史地位是任何理论和任何人所无法否定的
多个独立同分布随机变量序列经过适当的线性总和后，其分布仍然保持不变
尺度变换下具有不变性
一提到狄拉克方程的错误，很多搞物理的一定会不服气，狄拉克方程错在哪儿了？狄拉克方程是经过了实验验证的，狄拉克方程正确预言了正电子，预言了电子的自旋等等，更有甚者会追问，你楼主懂狄拉克方程吗？你楼主懂矩阵运算吗？种种质疑会接踵而来。
但是先别急，我后文慢慢解释。
在物理界，薛定谔方程被称为古典量子力学方程，狄拉克方程相对论性量子力学方程。这两者之间的差别在于，薛定谔方程是伽利略变换下的不变式，而狄拉克方程是洛仑兹变换下的不变式。
说到薛定谔方程与狄拉克方程，就不能不提到那个失败的克莱因-高登方程，同样也是满足洛仑兹协变的，在数学推导上无懈可击的克莱因-高登方程为何会在实验结果上谬之千里？原因就在于对量子力学与相对论本质的认识上。
从数学的角度去比较薛定谔方程与克莱因-高登方程，很容易就会看出差别在于动量-能量关系式中的能量的方次上，薛定谔方程中左边的能量是一次方项，而克莱因-高登方程左边的能量是二次方项。
狄拉克联想到，可能正是由于能量方次的差别，薛定谔方程虽然是伽利略协变方程式，但因为其能量项是一次方，所以与实验符合良好，而克莱因-高登方程虽然是洛仑兹协变式，但因为能量项是二次方，所以反而达不到预期的效果。
于是，狄拉克引入了矩阵运算，因为在代数运算中，对能量项（类似于数学中的A平方+B平方）再开平方，由于其不是完全平方式，与完全平方式相差一个2AB，所以无法直接通过开平方的方式将能量项从二次方降低为一次方。
但是，狄拉克知道，所谓的完全平方式，真正的形式应该是（A平方+AB+BA+B平方）也就是说，2AB的真正含义其实是（AB+BA），所以狄拉克就联想到矩阵代数，因为矩阵代数中，AB并不等于BA，如果能够找到一种矩阵，可以让AB+BA=0，那么前面的问题就都会迎刃而解。
这样的矩阵叫做厄米矩阵，于是，狄拉克找到了四个厄米矩阵，用它们作为动量-能量关系式中的系数，于是，经过一些数学推导，金光闪闪的狄拉克方程式出现了
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