[PDF]ψ φ ψ φ φ φ φ
140.117.34.2/faculty/phy/sw_ding/teaching/.../erpc-chap17-stu-qa.pdf
說，準確測完第一個物理量以後，波函數沒有改變，因此還可以用來準確測量第 .... 答：處在疊加態的量子體系之波函數不能寫成兩個部分的乘積時，這種疊加態叫. 糾纏態。例如，原子 ... 個多粒子糾纏態做測量時，體系塴塌到一個狀態（如(1) (2). A. B φ φ.如何理解希尔伯特空间？
事实上，我问的是如何“理解”，这和如何定义，是有区别的，要我一个非物理专业的人去理解维基百科或是曾老师版量子力学里所谈到的，非常抽象非常空洞，满版图的公式与算符。这对于非数学物理专业人来说，我光去从里面的一个个定义追根溯源，都绝对是噩梦。
我想知道的，只是作为量子力学数学意义的希尔伯特空间该如何理解，对于这种抽象的数学问题，你不知道如何解，我更不知道如何问，也许我只需要一个能理解这个定义在物理上应用价值的答案，也许是我问题提的的不够完善，造成了您的困扰，特此补充。
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能不能改成一个物理小白或数学小白如何理解希尔伯特空间？
我想知道的，只是作为量子力学数学意义的希尔伯特空间该如何理解，对于这种抽象的数学问题，你不知道如何解，我更不知道如何问，也许我只需要一个能理解这个定义在物理上应用价值的答案，也许是我问题提的的不够完善，造成了您的困扰，特此补充。
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能不能改成一个物理小白或数学小白如何理解希尔伯特空间？
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20 个回答
章鱼喵，理论物理专业
如果不深入的追究，Hilbert 空间实际上理解起来很简单，从定义来看就已经很清楚来啊。
Hilbert空间是作为完备函数系用来展开其他函数的。这个基本是微积分一开始就教的内容。一开是理解积分的时候，是把一个函数的定义域等间隔分成一些区间，（从图像上看比较清楚）然后算出每个小区间的面积，然后累加起来。这个累加可以写成向量(矩阵)的形式。然后如果我们要算两个这样的向量的内积，就简单的用向量内积的定义就可以了。
可是问题在于，这是两个函数啊，怎么能有内积呢？实际上这个内积就是这两个被积函数乘积的积分的近似(只需要上面积分的定义域分割区间越来越小，也就是分割的区间个数越来越多，对应的就是向量的维度越来越大)。这样我们就根据向量内积定义来函数的内积。(这个大概大家都知道了)
通过这样的类比，有些函数其实可以像向量一样使用，等价于一个无穷维度的向量(当积分的分割的小区间的个数趋于无穷的时候，这个积分才是准确的，也就是说我们定义的函数的内积的准确值等价于两个无穷维度的向量的内积)。(换句话来说，如果我们需要用到无穷维的向量空间，那么向量的内积需要用积分来算。)
不过，Hilbert 空间是一个很广义的概念，我们的欧式空间是属于 Hilbert 空间的。欧式空间
是要求这个空间中的矢量要内积、有长度而且能定义两个矢量夹角的。举起个栗子来说，
是内积，由于是三维的，所以每个矢量有三个分量，比如这个内积可以是 
Hilbert空间是作为完备函数系用来展开其他函数的。这个基本是微积分一开始就教的内容。一开是理解积分的时候，是把一个函数的定义域等间隔分成一些区间，（从图像上看比较清楚）然后算出每个小区间的面积，然后累加起来。这个累加可以写成向量(矩阵)的形式。然后如果我们要算两个这样的向量的内积，就简单的用向量内积的定义就可以了。
可是问题在于，这是两个函数啊，怎么能有内积呢？实际上这个内积就是这两个被积函数乘积的积分的近似(只需要上面积分的定义域分割区间越来越小，也就是分割的区间个数越来越多，对应的就是向量的维度越来越大)。这样我们就根据向量内积定义来函数的内积。(这个大概大家都知道了)
通过这样的类比，有些函数其实可以像向量一样使用，等价于一个无穷维度的向量(当积分的分割的小区间的个数趋于无穷的时候，这个积分才是准确的，也就是说我们定义的函数的内积的准确值等价于两个无穷维度的向量的内积)。(换句话来说，如果我们需要用到无穷维的向量空间，那么向量的内积需要用积分来算。)
不过，Hilbert 空间是一个很广义的概念，我们的欧式空间是属于 Hilbert 空间的。欧式空间
说说我的理解: 做个类比,一般的3D矢量空间(我们最常见的)和Hilbert空间.在3D的矢量空间中, 基底是i,j,k. 维度是3(有限维). 这三个基本的基矢量是完备的(矢量空间中任何一个元素都可以用这3个基底展开,系数唯一), 正交的(不同的基底做点积为0.). 矢量空间中的任意两个元素之间可以定义算符F, 也就是操作. 我们常常对保持元素A长度(自己和自己点积,A*A)不变的操作感兴趣, 这样的操作形象上讲是转动, 抽象些讲是满足F^2=1的操作,或者叫变换.
好了, 再看看Hilbert空间, 基底一般是函数,常见的是含有各种频率的平面波函数,一种频率对应一个基底 维度是无穷.这些基底, 即平面波函数是完备的(Hilbert空间中的任何元素都可以用平面波函数展开, 其实就是指傅里叶变换), 正交(平面波函数做"点积"为delta函数). Hilbert空间中任意两元素也可以定义算符G, 也就是操作. 我们常常对保持元素"长度"(自己和自己"点积")不变的操作感兴趣. 由于Hilbert空间是复数域上的,常见的3D矢量空间是实数域上的, 所以G^2=1 的G 和F 是不同的, 虽然表达式相同.
建立Hilbert空间的目的是为量子力学中的计算提供强有力的数学基础, 也方便了抽象出其中更本质的运算.包括之后进行的关于对称性的讨论, 都是定义在Hilbert空间上的.
注意上面的论述中并没有涉及到矩阵. 因为矩阵其实只是抽象定义的一种表现, 或者说是抽象的定义的一种表示(representation)而已. 这是群论的思想.所有这些后面发展起来的表示理论, 在Hilbert空间中表示后,(尤其是算符的表示)显得非常重要.
好了, 再看看Hilbert空间, 基底一般是函数,常见的是含有各种频率的平面波函数,一种频率对应一个基底 维度是无穷.这些基底, 即平面波函数是完备的(Hilbert空间中的任何元素都可以用平面波函数展开, 其实就是指傅里叶变换), 正交(平面波函数做"点积"为delta函数). Hilbert空间中任意两元素也可以定义算符G, 也就是操作. 我们常常对保持元素"长度"(自己和自己"点积")不变的操作感兴趣. 由于Hilbert空间是复数域上的,常见的3D矢量空间是实数域上的, 所以G^2=1 的G 和F 是不同的, 虽然表达式相同.
建立Hilbert空间的目的是为量子力学中的计算提供强有力的数学基础, 也方便了抽象出其中更本质的运算.包括之后进行的关于对称性的讨论, 都是定义在Hilbert空间上的.
注意上面的论述中并没有涉及到矩阵. 因为矩阵其实只是抽象定义的一种表现, 或者说是抽象的定义的一种表示(representation)而已. 这是群论的思想.所有这些后面发展起来的表示理论, 在Hilbert空间中表示后,(尤其是算符的表示)显得非常重要.
什么是赋范线性空间、内积空间，度量空间，希尔伯特空间 ？ 现代数学的一个特点就是以集合为研究对象，这样的好处就是可以将很多不同问题的本质抽象出来，变成同一个问题，当然这样的坏处就是描述起来比较抽象，很多人就难以理解了。
既然是研究集合，每个人感兴趣的角度不同，研究的方向也就不同。为了能有效地研究集合，必须给集合赋予一些“结构”（从一些具体问题抽象出来的结构）。
从数学的本质来看，最基本的集合有两类：线性空间（有线性结构的集合）、度量空间（有度量结构的集合）。
对线性空间而言，主要研究集合的描述，直观地说就是如何清楚地告诉地别人这个集合是什么样子。为了描述清楚，就引入了基（相当于三维空间中的坐标系）的概念，所以对于一个线性空间来说，只要知道其基即可，集合中的元素只要知道其在给定基下的坐标即可。
但线性空间中的元素没有“长度”（相当于三维空间中线段的长度），为了量化线性空间中的元素，所以又在线性空间引入特殊的“长度”，即范数。赋予了范数的线性空间即称为赋犯线性空间。
但赋范线性空间中两个元素之间没有角度的概念，为了解决该问题，所以在线性空间中又引入了内积的概念。
因为有度量，所以可以在度量空间、赋范线性空间以及内积空间中引入极限，但抽象空间中的极限与实数上的极限有一个很大的不同就是，极限点可能不在原来给定的集合中，所以又引入了完备的概念，完备的内积空间就称为Hilbert空间。
这几个空间之间的关系是：
线性空间与度量空间是两个不同的概念，没有交集。
赋范线性空间就是赋予了范数的线性空间，也是度量空间（具有线性结构的度量空间）
内积空间是赋范线性空间
希尔伯特空间就是完备的内积空间。
既然是研究集合，每个人感兴趣的角度不同，研究的方向也就不同。为了能有效地研究集合，必须给集合赋予一些“结构”（从一些具体问题抽象出来的结构）。
从数学的本质来看，最基本的集合有两类：线性空间（有线性结构的集合）、度量空间（有度量结构的集合）。
对线性空间而言，主要研究集合的描述，直观地说就是如何清楚地告诉地别人这个集合是什么样子。为了描述清楚，就引入了基（相当于三维空间中的坐标系）的概念，所以对于一个线性空间来说，只要知道其基即可，集合中的元素只要知道其在给定基下的坐标即可。
但线性空间中的元素没有“长度”（相当于三维空间中线段的长度），为了量化线性空间中的元素，所以又在线性空间引入特殊的“长度”，即范数。赋予了范数的线性空间即称为赋犯线性空间。
但赋范线性空间中两个元素之间没有角度的概念，为了解决该问题，所以在线性空间中又引入了内积的概念。
因为有度量，所以可以在度量空间、赋范线性空间以及内积空间中引入极限，但抽象空间中的极限与实数上的极限有一个很大的不同就是，极限点可能不在原来给定的集合中，所以又引入了完备的概念，完备的内积空间就称为Hilbert空间。
这几个空间之间的关系是：
线性空间与度量空间是两个不同的概念，没有交集。
赋范线性空间就是赋予了范数的线性空间，也是度量空间（具有线性结构的度量空间）
内积空间是赋范线性空间
希尔伯特空间就是完备的内积空间。
我觉得希尔伯特空间最大的好处是可以定义内积，有了内积，你就可以讨论很多熟知的几何性质，比如定义两个函数的夹角，而能定义夹角你就知道了什么叫做正交性，同样可以定义（随机变量）相关性等概念。
以前还听一个老师说过，平方可积的信号叫做能量受限信号。那么如果你把函数看做是这个物理世界的一个信号的话，希尔伯特空间的信号才能定义能量，这一物理学上极其重要的概念。
以前还听一个老师说过，平方可积的信号叫做能量受限信号。那么如果你把函数看做是这个物理世界的一个信号的话，希尔伯特空间的信号才能定义能量，这一物理学上极其重要的概念。
Woo Jason，数学抽象了一切，最终实现了一切。
Levin Wong、王涛 赞同
如果仅是入门的话，可以从欧式空间入手，一开始学习都可以类比欧式空间。想像一个三维空间，在笛卡儿坐标系三个坐标轴x,y,z上的三个向量可以看作是整个空间的[基底]，即用他们可以线性表成其他任何向量，而且这些基底是正交的。如果是两个向量呢？那就不行了，不[完备]。在不同的表示方法下有不同的基底，你可以用极坐标的[表象]来构造一组基底，那么空间的任何位置都能用角度加距离的形式来描述，但无疑这些方式都是等价的。
举个量子力学的例子，希尔伯特空间中，某个表象下（例如坐标表象，注意这里的概念升华了，坐标可以用极坐标，笛卡儿坐标等表示）我们总可以构造出一组正交完备基，某个态可以用这些基坐标（实际上就是波函数）来描述，那么变换到k表象（波长倒数的量纲）呢？同样可以用k表象下的基底来描述，而联系这两种描述的正是傅里埃变换，对应的就是欧式空间中的矩阵变换（笛卡儿到极坐标，这些在电动力学中很常用滴！），实际上不同表象下的描述都是可以通过矩阵变换来实现滴，但在量子化概念介入之前矩阵密度就是无限的。
恕我功底太差，物理上的概念是精确的，无法用生活中的语言来解释，主要是受了以前大学老师的影响，切莫用毛估估的概念给学生上物理课。虽然现在没做老师，但是结合以前的经验这样做在教学上是合适的，可能在日常交流中的确存在问题！
举个量子力学的例子，希尔伯特空间中，某个表象下（例如坐标表象，注意这里的概念升华了，坐标可以用极坐标，笛卡儿坐标等表示）我们总可以构造出一组正交完备基，某个态可以用这些基坐标（实际上就是波函数）来描述，那么变换到k表象（波长倒数的量纲）呢？同样可以用k表象下的基底来描述，而联系这两种描述的正是傅里埃变换，对应的就是欧式空间中的矩阵变换（笛卡儿到极坐标，这些在电动力学中很常用滴！），实际上不同表象下的描述都是可以通过矩阵变换来实现滴，但在量子化概念介入之前矩阵密度就是无限的。
恕我功底太差，物理上的概念是精确的，无法用生活中的语言来解释，主要是受了以前大学老师的影响，切莫用毛估估的概念给学生上物理课。虽然现在没做老师，但是结合以前的经验这样做在教学上是合适的，可能在日常交流中的确存在问题！
大概的说，hilbert空间是这样一个抽象的空间，其中存在向量可以被用来描述量子力学中体系的状态；这些向量都必须存在正定的内积，也就是这些状态的概率非负；这个空间存在厄米算子，其代表可观测量；这个空间存在UNITARY 操作，对应的是3维空间中的旋转操作，表征保持状态概率不变的那些操作。
说到这里就很清楚了，hilbert空间是为了描述量子力学态而引入的一个抽象空间（也可以是早就存在在数学体系中，被借鉴的一个空间）。因此hilbert空间中存在很多更加抽象的性质，一般的物理学家是不会用的。你只需要知道量子态的矢量，长度，对偶矢量，厄米算子，unitary操作，概率矩阵和 trace，子空间的直和和张量积，态的实空间表征和动量空间表征以及一些微扰论即可。具体的，角动量casmir operator和角动量的合成，还有oscillator的ladder operator的求解，这些基本就是一个general physics 所需要的非相对论性量子力学的全部了，这也是量子力学最有用的部分。很多人学了很高级的东西这些东西也没有搞透。。。
说到这里就很清楚了，hilbert空间是为了描述量子力学态而引入的一个抽象空间（也可以是早就存在在数学体系中，被借鉴的一个空间）。因此hilbert空间中存在很多更加抽象的性质，一般的物理学家是不会用的。你只需要知道量子态的矢量，长度，对偶矢量，厄米算子，unitary操作，概率矩阵和 trace，子空间的直和和张量积，态的实空间表征和动量空间表征以及一些微扰论即可。具体的，角动量casmir operator和角动量的合成，还有oscillator的ladder operator的求解，这些基本就是一个general physics 所需要的非相对论性量子力学的全部了，这也是量子力学最有用的部分。很多人学了很高级的东西这些东西也没有搞透。。。
知乎用户
学数学，最麻烦的就是要应对太多的规定或规范性
以至于后来，绝大多数人就完全偏离了数学的真意，很悲哀
规范性，源于人的认知局限，使人只好通过添加规范性来局限问题
同时，随着认知进步或能处理的问题越来越多，再把规范性越减越少……
这个相反相成的过程，即《道德经》所言：为学日益，为道日损
数学的本质是什么，其实就是空间，但不是任何具象性的规范性的空间
所谓空间，就是具象及结构所形成的整体，这其实有非常广泛的含义
具象，就是能辨识的存在，这种存在在现实中是不断变化的
结构，就是具象间的相互关系或者说可变换性，在现实中，它也是不断变化的
整体，就是具象及其关系，不是独立的存在，而是整体性存在，在现实中也是不断变化的
现代数学的空间定义方式，是以集合论为基础的，即：先定义了对象和关系，然后再形成空间
这种方式，只是对对象及对象间关系进行描述，没有找到真正的空间的规定性，所以缺乏解释性
正是这种缺乏解释能力的描述性，变成了现代数理的一系列的规范性，导致学和应用数学特别困难
所以我说现代数学缺乏认识论基础，重拟合轻原理，重人为规范轻现实
现实存在的事物，则是先定义原理性而非描述性规定，自然生成对象对象间关系成结构性的整体
所以自然存在或系统，能够不断的自我生成与演化。什么叫证明？自我生成和演化才是真正的证明
所以现代数理应付不了复杂系统，因为具体对象与对象关系都在不断变化，缺乏可靠的描述性规定可以稳定存在的条件。导致人为规范的数学体系，预测性极差，最多只能事后拟合
举个例子：很基础性的拓扑空间，它的本质其实就是以邻域性不变为规定
也就是说：这种空间的对象间的相对关系是不能变的（度可以变）
所以这种空间，不允许撕裂粘连等任何破坏相对关系的操作
但在现实的绝大多数情况下，这种相对性关系不变的要求根本无法满足
任何复杂系统中都普遍存在的自组织过程，根本不会理睬这种规范性要求
将拓扑性质空间应用于复杂系统，行不通，牛头不对马嘴
所以我说现代数学，只是看起来很象森林的灌木丛，能够施展的天地极为有限
数学的终极目标，其实就是如何以最少的规定或规范性
来处理具象、具象间关系、具象与结构所成整体的，无穷变化
达到这一步，数学就成了纯粹形式系统。达不到，就只是被局限在特定规范中的具象
而这种层次的数学，也就只能在特定的规范性中去使用，范围很小
所以现代数理学得很好的人，也就只能去高度规范的的工业制造体系中找活干，其他地方干不了
这就是为什么，学数学要始终关注现实问题，要不断的抛弃规范性直至没得抛弃
不要关起门来搞规范，以玩规范为荣，自然界从来不玩太多的规范，上帝不懂数学
不知道大家如何想，反正我个人，对基于集合论出发搞数学的路子根本不抱希望
对现代数学的观念、思维方式和整个体系，没太大的指望（这些东西也就找工作可用用，哈）
只对如何生成集合与集合内禀结构的规定性，或者说只对实在论，有真正的兴趣
以至于后来，绝大多数人就完全偏离了数学的真意，很悲哀
规范性，源于人的认知局限，使人只好通过添加规范性来局限问题
同时，随着认知进步或能处理的问题越来越多，再把规范性越减越少……
这个相反相成的过程，即《道德经》所言：为学日益，为道日损
数学的本质是什么，其实就是空间，但不是任何具象性的规范性的空间
所谓空间，就是具象及结构所形成的整体，这其实有非常广泛的含义
具象，就是能辨识的存在，这种存在在现实中是不断变化的
结构，就是具象间的相互关系或者说可变换性，在现实中，它也是不断变化的
整体，就是具象及其关系，不是独立的存在，而是整体性存在，在现实中也是不断变化的
现代数学的空间定义方式，是以集合论为基础的，即：先定义了对象和关系，然后再形成空间
这种方式，只是对对象及对象间关系进行描述，没有找到真正的空间的规定性，所以缺乏解释性
正是这种缺乏解释能力的描述性，变成了现代数理的一系列的规范性，导致学和应用数学特别困难
所以我说现代数学缺乏认识论基础，重拟合轻原理，重人为规范轻现实
现实存在的事物，则是先定义原理性而非描述性规定，自然生成对象对象间关系成结构性的整体
所以自然存在或系统，能够不断的自我生成与演化。什么叫证明？自我生成和演化才是真正的证明
所以现代数理应付不了复杂系统，因为具体对象与对象关系都在不断变化，缺乏可靠的描述性规定可以稳定存在的条件。导致人为规范的数学体系，预测性极差，最多只能事后拟合
举个例子：很基础性的拓扑空间，它的本质其实就是以邻域性不变为规定
也就是说：这种空间的对象间的相对关系是不能变的（度可以变）
所以这种空间，不允许撕裂粘连等任何破坏相对关系的操作
但在现实的绝大多数情况下，这种相对性关系不变的要求根本无法满足
任何复杂系统中都普遍存在的自组织过程，根本不会理睬这种规范性要求
将拓扑性质空间应用于复杂系统，行不通，牛头不对马嘴
所以我说现代数学，只是看起来很象森林的灌木丛，能够施展的天地极为有限
数学的终极目标，其实就是如何以最少的规定或规范性
来处理具象、具象间关系、具象与结构所成整体的，无穷变化
达到这一步，数学就成了纯粹形式系统。达不到，就只是被局限在特定规范中的具象
而这种层次的数学，也就只能在特定的规范性中去使用，范围很小
所以现代数理学得很好的人，也就只能去高度规范的的工业制造体系中找活干，其他地方干不了
这就是为什么，学数学要始终关注现实问题，要不断的抛弃规范性直至没得抛弃
不要关起门来搞规范，以玩规范为荣，自然界从来不玩太多的规范，上帝不懂数学
不知道大家如何想，反正我个人，对基于集合论出发搞数学的路子根本不抱希望
对现代数学的观念、思维方式和整个体系，没太大的指望（这些东西也就找工作可用用，哈）
只对如何生成集合与集合内禀结构的规定性，或者说只对实在论，有真正的兴趣
知乎用户，计算机硕士
对@qang pan 的内容进行了总结和自己的理解： 线性空间（向量空间， 对数乘和向量加法封闭所组成的空间）--（定义范数）-->赋范线性空间（向量具有的长度）--（定义内积）-->内积空间（向量之间具有了角度）--（完备化）-->希尔伯特空间。 如有错误请指正
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