我自己阅读的一点理解
2014-10-18 23:06:18 来自: 七星之城
The Quantum Theory of Fields Volume I:Foundations的评论
5
提示: 有关键情节透露
The Quantum Theory of Fields Volume I:Foundations的评论
5 提示: 有关键情节透露
Weinberg量子场论阅读笔记 ——写在四读Weinberg I之后
常见的误区：量子电动力学里认为正电子就是逆着时间方向运动的普通电子
错！
“逆着时间方向运动的普通电子”的那个（狄拉克方程的）理论解拥有相反的电荷跟负的能量
“负的能量”（准确来说是负的能量谱）是避之不及的东西
所以才有了狄拉克海：这些“逆着时间运动的电子”已经充满整个空间了
最后是狄拉克海的气泡→这才是正电子
错！
“逆着时间方向运动的普通电子”的那个（狄拉克方程的）理论解拥有相反的电荷跟负的能量
“负的能量”（准确来说是负的能量谱）是避之不及的东西
所以才有了狄拉克海：这些“逆着时间运动的电子”已经充满整个空间了
最后是狄拉克海的气泡→这才是正电子
简单来说，就是把原先的“逆着时间运动”电子的产生算符 重新定义成 “正电子”的湮灭算符，反之亦然
而且其实原本狄拉克的模型“更加允许”时间上的逆向运动，因为狄拉克海里面那堆东西全TM是“逆着时间运动”的电子（而且狄拉克海模型也多少认为，这些负能量的电子真的存在）。不过量子场论的话，数学形式上忽略掉狄拉克海……嘛，只是默认了量子场论中的“真空态”其实是狄拉克海填满的状态而已，不过别人不问就先放着不管……
而且其实原本狄拉克的模型“更加允许”时间上的逆向运动，因为狄拉克海里面那堆东西全TM是“逆着时间运动”的电子（而且狄拉克海模型也多少认为，这些负能量的电子真的存在）。不过量子场论的话，数学形式上忽略掉狄拉克海……嘛，只是默认了量子场论中的“真空态”其实是狄拉克海填满的状态而已，不过别人不问就先放着不管……
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一
前些天备考规范场论，顺带着把Weinberg复习了一遍，发现不仅以前熟悉的公式遗忘速度惊人，连前几次读时令我拍案叫绝欲罢不能的思想都已然在脑中模糊不清，于是痛定思痛打算写个笔记。下面的每节是我对Weinberg各章主要内容的理解。
二
对称性的意思是当事物处在一个态时观测其处于另一个态的概率不依赖于观察者的时空位置与运动状态（也即坐标架与惯性系的选择）。由此 Wigner 推出对于不同观察者的态之间通过一个幺正或反幺正算符转换。特别地，不同时刻的观察者观察到的态也由一个幺正算符转换。
狭义相对论基本公理——所有保持平直的时空坐标变换需满足任意两个事件的时空间隔不变性。
我们将洛伦兹对称性导致的幺正算符做小量展开时的一阶项系数标记为H、P、J、K，群所需满足的结合律使得这四个系数算符需要满足一定的关系——实际上是他们之间的对易关系。我们根据这些对易关系而赋予四个算符的物理含义，例如依据 [H,P]=[H,K]=0 我们将 H 命名为能量，依据 [Ji,Jj]=i Jk 而将 J 命名为角动量。
什么是粒子？我们将单粒子态定义为动量算符 P 的本征态。
由于四动量平方（P^2）在适当正时洛伦兹变换下不变，因而具有不同的四动量的粒子态可分为六类。
上述的分类并不完全，因为同种四动量分类下的粒子依然可以有不同的态。继续分类的方法是，对有正静能的粒子，在其保持动量不变的群（即 little group）下变换时，我们将洛伦兹变换后仍是同一组态的线性组合时的这个集合归类为拥有某个自旋的粒子。因为矩阵是群表示的理想工具，因而我们数学上可以将粒子态表示为分量形式，相应的洛伦兹变换算符即具有矩阵的形式。
零质量粒子可能拥有连续本征值的属性，但因目前尚未发现具有此属性的粒子，因此所有已知的零质量粒子只能用运动方向上的角动量（即螺旋度）来分类。如果正负同螺旋度的粒子可以相互转换（例如具有空间反演对称性的电磁相互作用中的光子），从而被归类为一种粒子。由三维旋转群的双连通性质，可以得出自旋必须是整数或半整数。
除开弱相互作用，强相互作用和电磁相互作用都具备空间反演对称性，因而有相应守恒量，此守恒量称为宇称。
三
自由多粒子态由单粒子态直积得到。
粒子实验中的入态和出态由包含相互作用的完整哈密顿量定义。
将哈密顿量拆成自由场和相互作用场后可以写出从自由场出入态（即动量本征态）导出相互作用场出入态的严格的Lippmann-Schwinger方程。
入态和出态的内积称为 S 矩阵，可由此定义 S 算符。代入Lippmann-Schwinger方程可以得到 S 矩阵的波恩近似。
哈密顿量密度对类空间隔对易的条件以及相互作用势的平滑性条件保证了散射过程的 S 矩阵的洛伦兹对称性。
同位旋对称性、全局对称性、空间反演对称性都会反映在 S 矩阵的对称性上，并导致相应守恒量。
从 S 矩阵可以导出实验上观测的出射粒子动量角分布，即微分散射截面。
S 矩阵满足一个微分方程，可以通过微扰展开得到解，所以 S 矩阵可以写成哈密顿量的时序积分形式。
由 S 矩阵的幺正性可以得到光学定理、玻尔兹曼H定理、细致平衡条件。
四
出于数学上构造哈密顿量的目的，我们抽象地定义升降算符（谐振子可以为此抽象框架提供一个具体的实现模型，但并不必要，实际上整套量子场论的叙述可以完全脱离谐振子的语境）。升降算符的对易关系由定义和交换对称性（或反对称性）即可得到。
因果性原理要求类空间隔的事件不相互影响，此即S矩阵需满足的集团分解原理（Cluster decomposition principle）。
由于任何哈密顿量均可由升降算符构成的基组合得到，而且当系数满足恰有一个三维动量守恒 δ 函数时哈密顿量必然满足集团分解原理，因此我们喜爱用升降算符来构造哈密顿量。
因为我们可以直接用粒子数算符乘上单粒子态能量做积分写出自由场（即无相互作用）中的哈密顿量，这就对自由场哈密顿量的形式给出了限制。
我们需要拉格朗日框架的理由是：在拉格朗日框架中能够有效地分析对称性。
作用量泛函的全局对称性导致守恒流算符，其相应荷的全空间积分守恒，此即诺特定理。
五
由于升降算符在洛伦兹变换下有复杂的变换公式，因此一个用升降算符构造标量哈密顿量密度的便捷方法是先将升降算符分别组合成洛伦兹变换公式较为简单的升降场算符（指产生场算符ψ-和湮灭场算符ψ+）。
升降场算符在洛伦兹变换下的性质限制了升降场算符的变换矩阵必须是洛伦兹群的表示，于是我们依照洛伦兹群表示给不同的升降场算符分类。
一组不同的场算符在洛伦兹变换后结果可能是原有算符的线性组合，我们将这样一组场算符归类为同一个场的不同分量。
升降场算符尚且不能直接满足类空间隔对易条件（或反对易条件），一个可行的办法是将升降场算符（ψ-和ψ+）线性组合得到场算符（ψ），场算符则可以满足类空间隔对易条件（或反对易条件）。因此我们通过场算符来方便地构造的哈密顿量密度可以满足类空间隔对易条件。
场算符作用在真空态上得到的态的物理意义是一个在此时空点的粒子，但注意其波函数是延展的，仅仅在非相对论近似下此波函数才是δ函数。
场算符表示的粒子的自旋只能与场算符需要满足的类空间隔对易条件或反对易条件中的一个数学上相容，此即导致了自旋-统计定理。
这样构建的场算符自动满足Klein-Gordon方程。
螺旋度是零质量粒子在运动方向上的角动量，严格的螺旋度概念只对零质量粒子适用。手性是按照场算符属于洛伦兹群的左手表示还是右手表示来定义。对于零质量粒子，左手（右手）螺旋度的粒子对应左手（右手）手性的场算符。
全局对称性导致的荷守恒要求哈密顿量密度与荷算符（Q）对易，这可以通过要求荷算符与场算符对易而达到，这一要求导致对此载荷粒子存在相应的反粒子。
用场算符构造的具有洛伦兹标量哈密顿量密度的理论自动满足 CPT 定理。
对自旋大于等于1/2的零质量粒子，其场算符数学上不能满足前述的简单的洛伦兹变换公式，而有一个多出项。一个方案是由此场算符（Aμ）构造消去了多出项的反对称张量场算符（Fμν）作为出发点，但这样的理论无法具有长程相互作用。另一个方案是通过设定拉格朗日量密度满足相应的规范对称性来保证 S 矩阵的洛伦兹不变性，详见第八部分。
类似地，引力子需要满足对应的广义协变对称性以包含长程作用力。由于现实中未发现更高阶的守恒张量，因而高自旋粒子不能具有长程相互作用。
六
S 矩阵微扰计算的积分无穷级数公式可以可视化为费曼图。
传播子是公式展开中对应于连接两个顶点的项，计算出来后包含一个非协变的奇异项（起源于时序算符的奇异性），此奇异项会被相互作用哈密顿量中对应的奇异项消除。
S 矩阵傅里叶变换后得到的动量空间S矩阵在数学上更便捷。
七
因为标量场算符和其时间导数满足的等时对易关系令人联想起分析力学中相应的对易关系，因此我们类似地定义正则坐标和正则动量算符，证明其满足哈密顿方程，从而建立起场论的哈密顿框架。
根据已知的自由场哈密顿量用升降算符表示的形式，我们可以写出一个用正则变量表示的哈密顿量密度（会有一个真空能的差别）。
通过勒让德变换，我们可以从哈密顿框架转换到拉格朗日框架。
升降算符对易关系、正则坐标算符对易关系、哈密顿方程、拉格朗日方程，四者相互等价，传统讲法则是以拉格朗日方程作为建立量子场论的出发点。
当我们要从自由场转换到相互作用场时，只需在哈密顿框架或拉格朗日框架中自由场的对应量上加上相互作用标量算符项即可。
我们无法直接解出有相互作用的场方程，因此我们转换到相互作用表象中，在此表象中场算符满足自由场中的场方程，从而可以解出。
一个满足平滑条件和洛伦兹不变性的拉格朗日量密度具有的散射过程的 S 矩阵满足洛伦兹不变性，而构造具有洛伦兹不变性的拉格朗日量密度数学上比较简单，这是我们偏爱朗格朗日框架的原因之一。
拉格朗日量自身的奇异性或者采取特定规范的处理会导致场方程出现奇异性。奇异性可能导致方程不完备或者传统的对易关系与场方程矛盾。相应的解决办法是选定规范条件，采用狄拉克对易子替代原有对易关系。
八
第五章中已提到，对自旋大于等于1/2的零质量粒子，其场算符在洛伦兹变换下有一个多出项，这一项会破坏哈密顿量密度的标量性质，破坏 S 矩阵的洛伦兹不变性。因为此多出项是一个算符的散度，因此一种可行的解决办法是让此多出项恰好是一个守恒流算符的散度，从而自然等于零，这就导致需要引入一个拥有局域对称性的场，称为规范场。载荷粒子场的局域对称变换和零质量粒子的洛伦兹变换多出项合称为规范变换。运用引入规范场的方法我们最终重新获得了拉格朗日量密度在洛伦兹变换以及规范变换下的不变性。
这样的构建方式以自旋大于等于1/2的零质量粒子对应场算符无法直接构建标量哈密顿量密度为出发点，而传统讲法则是以规范变换作为出发点。
规范不变性导致场方程不完备，解决方法是固定规范。固定规范后传统的对易关系不能被满足，我们使用狄拉克括号的方法修改对易关系。随后即可通过勒让德变换得出哈密顿量，再转入相互作用表象后即可算出传播子，写出费曼规则，量子电动力学模型即建成。
九
由正则变量对易关系可以导出路劲积分公式。如果哈密顿量是正则动量的二次函数，则可积出动量部分得到关于作用量泛函的路劲积分。
通过一系列形式运算可以得出费曼规则和传播子。
对于费米子场，相应正则变量满足反对易关系，因此路劲积分需要的正则变量的本征值也应当满足反对易关系。复数不能满足此关系，因此引入Grassmann代数和其上的微积分。
十
对称性让我们能够得出一些非微扰结论。
考虑圈图对出腿、入腿函数（u*和u）的影响会导致它们与我们最初费曼规则的定义有所不同，对称性分析指出考虑所有非微扰效应后的出腿、入腿函数与最初费曼规则的出腿、入腿函数只相差一个因子（此因子实际上发散），因此我们修改场算符的定义——此即场算符的重整化——来使出腿、入腿函数回归到最初费曼规则的定义（因此算散射过程时外腿上的圈不用计算）。此场算符的重整化体现在自由场算符在升降算符上展开时比原先多了重整化系数，也就是说这个原先可以自由选择的系数现在要被确定。
粒子质量可以自然地采用单粒子态四动量的平方来定义，这个质量与自由场拉格朗日量密度中出现的质量是同一个。当有相互作用时，这套质量的定义方案不易实现，因此我们用考虑所有非微扰效应后的传播子的极点位置来定义。
重整化导致我们重新将用裸场算符写成的拉格朗日量密度作为基本公理，其中的质量、耦合常数也应当是裸质量、裸耦合常数。
理论上我们可以直接使用裸拉格朗日量密度（L）计算散射过程，因为实际上如此计算的总散射过程并没有发散。每一项表观的“发散困难”仅仅是由公式中有无穷大系数的裸场算符、裸质量、裸耦合、以及需要考虑的外腿上的圈、需要考虑的无穷多个图造成的，这个表观的“发散”本质上是源于我们不能直接处理这里的数学困难。
为避开前述的数学困难，我们人为地将裸拉格朗日量密度拆开成两部分（L=L0+L1），第一部分（自由场项）通过将无穷大扔给抵消项的方式而使其导出的传播子不发散，第二部分（包括抵消项和相互作用项）全部被视作相互作用，使用微扰方法计算（因此实际上这个微扰项远比第一部分大；尽管如此，数学却是很奇妙的）。运用这样的数学技巧我们就通过分离不同的无穷大再相互抵消而避开了我们前述的数学上直接处理多个无穷大的困难。
耦合常数随能标的跑动源于耦合常数定义的不同。裸耦合常数具有确定值，而重整化的耦合常数中的重整化系数依赖于其定义所在能标，因此不同能标定义的重整化耦合常数可以联系起来，进而求出相应的β函数。
Ward 恒等式是另一个重要的非微扰结论，其来源不过是将n点格林函数与（n-1）点格林函数联系起来。此恒等式的历史价值在于绕开二圈图计算中的重叠发散（overlapping divergence）问题。
电子的“自旋磁矩”这个词有一定误导作用，电子的磁矩确实与自旋有关，因为不同自旋的粒子有其特定的电磁作用顶点。但一般而言，粒子的磁矩和自旋之间没有简单的关系。例如中微子自旋同为二分之一，但磁矩为零。
十一
Pauli-Villars正规化和维数正规化的计算方法都是面向一个目的——定量地处理无穷大计算并让他们相互抵消，因此表征这个无穷大的量具体是什么——截止能量还是维度——并不重要。用能量截止处理无穷大会遇到规范对称性被破坏的麻烦，因此维度正规化更为推荐。
当费曼图中有电子外腿时，即会出现红外发散，这源于外腿电子发射低能光子。
十二
有效场论的概念源于1935年将光子间一圈相互作用近似成电磁场拉格朗日量的高阶项，其数学上等效于在路径积分中将低能下不会产生的重粒子（在光子相互作用中是正负电子）的场算符预先做积分，最后留下不含重粒子的有效拉格朗日量。
即使是对传统上的不可重整化理论，我们也可以通过在拉格朗日量中添加完整所有满足对称性的项、然后同时调整所有的自由参数来可消去发散。在这个意义下，量子引力理论可能也能够写成量子场论的形式，并且在低能近似下成为有效场论。
有效场论为现实中场论的拉格朗日量密度中只出现可重整项的现象提供了一个可能的（仅仅是可能）解释方法：不可重整项中包含的负能量量纲耦合常数中的能量量纲来自于更高能标的未知粒子，在低能下被压低而致其效应可忽略。
更重要的是，在这样的理解下，写出一个理论的拉格朗日量密度不再是依靠纯粹的猜测或类比经典模型，而是一开始就在拉格朗日量密度中写出所有保证哈密顿量具有有限下界、满足洛伦兹对称性和规范对称性（我们确实不知道为何有特定的规范对称性）的所有可能的项，然后在有效场论的意义下丢掉被压低的所有不可重整项。正是这样的构建方式，解释了为何拉格朗日量、或哈密顿量、或场方程采取了我们如今已经默认了的形式。正是这样的一整套思路，超越了以类比的方式写出场方程作为出发点的大多数量子场论书。
十三
在有内线软光子的圈图中，我们也会遇到红外发散，为解决此问题我们引入界定虚软光子（即内线软光子）三维动量大小的上、下限参数。其中上限参数与圈图计算中的光子动量下限衔接，下限参数用于表征无穷大。
对于实软光子引起的红外发散，我们引入探测器阈值、遗漏能量两个参数。探测器阈值是光子探测器能保证记录事例时的光子能量阈值，遗漏能量是所有未被探测到的光子的能量总和。
上述四个参数中，探测器阈值与遗漏能量参数会真正保留在散射截面的最后结果中，其中令探测器阈值参数趋于零将引起散射截面实质的发散，这是可以直观理解的。而上限参数与圈图计算设定的光子能量下限相抵消，下限参数与实软光子积分中取的下限相抵消。
在量子电动力学中，假设电子静质量为零，则出射态同时有动量平行的电子和软光子会导致红外发散。类似地，量子色动力学中动量平行的强子与软胶子也导致红外发散。这种情况甚至要求散射过程的入态也要受到无红外发散条件的限制。这可以通过我们实验上区分动量平行的零质量粒子时遇到的困难、以及制备动量平行的零质量粒子入态总是呈喷流形态来解释。
仅使用对称性即可证明光散射公式的低能极限只与粒子的质量和电荷有关。
本章最后一节演示了使用量子场论的工具可神奇地推导出经典场论的库伦势。
十四（第一章 历史）
根据狄拉克的回忆，薛定谔在他得到薛定谔方程之前，也在Klein和Gordon之前率先发现了Klein-Gordon方程，但因为Klein-Gordon方程给出了错误的氢原子精细结构而放弃了它，直到几个月后他意识到其非相对论近似得出的薛定谔方程还有一定价值。
狄拉克1928年对描述电子的狄拉克方程的发现及其随后取得的巨大成功有很大巧合的成分：狄拉克寻找一个新方程的动机是解决Klein-Gordon方程的负概率困难，但如今我们清楚负概率问题源于错误地为解赋予概率意义，Klein-Gordon方程本身对于描述零自旋粒子也很有意义。狄拉克通过负质量解预言反粒子存在的方式不仅会引起与负能海相关的一系列问题，而且实质上也仅仅是一个富有启发性的比喻，他不能解释载荷玻色子也有相应反粒子的事实。狄拉克方程预言了正确的电子磁矩的零阶项，但在方程中添加一个Pauli term完全可以将电子磁矩调到任意大小，实际上最终是可重整性限制了量子场论中Pauli term的存在。
结语
一不小心就写了几千字，细想来，读此书或许也排得上整个大学中最重要的几件事了。
我是一个寻求感性理解的人。学习场论的前几年，我都为场论中的词汇感到困惑：什么是升降算符（我以前一直以为升、降算符是一个实际的操作）？谐振子的激发态为什么就是粒子？传播子是什么含义？为什么要把好好的场变成算符？为什么你们的拉格朗日量都长得这么奇怪？二分之一自旋是什么（小学看霍金时就百思不得其解）？维数正规化为什么不是扯蛋？
对这些概念的理解和思考严重地阻碍了我的学习，尤其是当思考的终结点时常停在不可言说的量子态的概念和测量的坍缩问题上时。
如今，有幸能有Weinberg的指点，在几年的沉淀后，我现在也终于能感到量子场论实实在在地站立在一个公理般的基础上，我相信它是这个世界的描述，相信它的构建逻辑，正如本书前言所说：相信它是所有融合了量子力学和狭义相对论的理论在低能近似下必将拥有的形式。
回想2011年秋在天文班自习室初读本书的时候，那时只能看得懂第一章。如今结合了这些全新的理解，更是感慨万千。
第一次做这些计算的前辈，不会如今天的我们这样理解得如此深刻，他们一些人的推理错误百出，甚至觉得这些计算不过是个玩笑。这个场面是如此的似曾相识。即使在贝克莱大主教的批判声中无言以对，整个19世纪的数学家依然建立起了宏伟的分析大厦。即使马赫原理的主旨已不能与后来的广义相对论相吻合，也不可否认爱因斯坦早年从中所汲取的营养。
多年的乱象中总会涌现曲折的前进，逻辑的困难阻挡不住精巧的尝试。人类思维正因这从现象的凌乱中发现模式的能力而愈见其无可比拟。
七星之城
关于超前势与推迟势 读图模式
麦克斯韦方程组本来是电磁场关于场源的隐式函数形式，即 f（电磁场，电流密度，电荷密度）=0 的形式，求解这个方程，也就是将隐式函数改写为显示函数，即改写为 电磁场=g（电流密度，电荷密度） 的形式，会得到两个解：
一个是 t时刻的电磁场=g（比t时刻更早些的t'时刻的电流密度和电荷密度）
一个是 t时刻的电磁场=g（比t时刻更晚些的t'时刻的电流密度和电荷密度）
第一个解叫推迟势，第二个解叫超前势，
一般认为超前势违反因果律，没有物理意义，应该被舍弃，但考虑到量子电动力学里认为正电子就是逆着时间方向运动的普通电子，所以超前势可以被认为是描述正电子产生的电磁场的方程，也即是说，超前势里时间t前面的负号应该可以被拿到电量e的前面，使得超前势可以在形式上不再违反因果律
一个是 t时刻的电磁场=g（比t时刻更早些的t'时刻的电流密度和电荷密度）
一个是 t时刻的电磁场=g（比t时刻更晚些的t'时刻的电流密度和电荷密度）
第一个解叫推迟势，第二个解叫超前势，
一般认为超前势违反因果律，没有物理意义，应该被舍弃，但考虑到量子电动力学里认为正电子就是逆着时间方向运动的普通电子，所以超前势可以被认为是描述正电子产生的电磁场的方程，也即是说，超前势里时间t前面的负号应该可以被拿到电量e的前面，使得超前势可以在形式上不再违反因果律
评论 (38) 只看楼主
全部评论
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1楼 2012-10-03 15:58 pchu 取消只看Ta
常见的误区：量子电动力学里认为正电子就是逆着时间方向运动的普通电子[0] |
错！
“逆着时间方向运动的普通电子”的那个（狄拉克方程的）理论解拥有相反的电荷跟负的能量
“负的能量”（准确来说是负的能量谱）是避之不及的东西
所以才有了狄拉克海：这些“逆着时间运动的电子”已经充满整个空间了
最后是狄拉克海的气泡→这才是正电子
顺带一提，上面是狄拉克方程（对于费米子）的结论。玻色子是可以直接将“逆着时间运动”理解成反粒子的。 - 2楼 2012-10-03 16:15 pchu 取消只看Ta
另外，所谓“描述正电子产生”，我认为只靠麦克斯韦是绝对不够的[0] |
麦克斯韦方程组本质上只是描述光子（电磁场）如何传播而已
虽然里面有电荷密度、电流密度的项，但它没有完整描述带电粒子跟光子的作用，比如我们不能从中解出带电粒子在电磁场作用下如何运动
如我上面所说，光子倒是可以将“逆着时间运动”理解成反粒子（也还是光子）。所以如果空间中没有跟其他粒子的相互作用的话，单纯的电磁场传播是完全可以无视时间箭头，认为超前势不违反因果律的。
但是加入跟其他粒子的相互作用，超前势就违反因果律了 - 11楼 2012-10-03 20:13 pchu 取消只看Ta
[0] |引用@feng1734 的话：
差点以为自己记错了（汗……
量子场论其实我还不懂，，狄拉克的负能量海到听说过，狄拉克方程有一堆负能解，借助泡利不相容原理可以把负能级全部填满，负能级上的电子获得额外能量进入正的能级后会在负能海里留下一个空位，这个空位被其他负能级电子相继占用，数学上的行为就是一个正电子
我是听说，量子场论里出现了比借助狄拉克海更好的方法和思路理解正电子，就是等同的看待空间和时间，允许时间上的逆向运动，普通电子逆着时间运动在我们看来就是一个正电子，，
所以，我以为，逆着时间运动的普通电子已经不再是狄拉克方程的内容了，不存在负能量问题，他是量子场论里的恰当描述
量子场论里处理负能解的方式虽然不是狄拉克海，不过本质上是完全一样的
http://en.wikipedia.org/wiki/Dirac_equation#Hole_theory
> In quantum field theory, a Bogoliubov transformation on the creation and
> annihilation operators (turning an occupied negative-energy electron state into
> an unoccupied positive energy positron state and an unoccupied negative-
> energy electron state into an occupied positive energy positron state) allows us
> to bypass the Dirac sea formalism even though, formally, it is equivalent to it.
简单来说，就是把原先的“逆着时间运动”电子的产生算符 重新定义成 “正电子”的湮灭算符，反之亦然
而且其实原本狄拉克的模型“更加允许”时间上的逆向运动，因为狄拉克海里面那堆东西全TM是“逆着时间运动”的电子（而且狄拉克海模型也多少认为，这些负能量的电子真的存在）。不过量子场论的话，数学形式上忽略掉狄拉克海……嘛，只是默认了量子场论中的“真空态”其实是狄拉克海填满的状态而已，不过别人不问就先放着不管…… - 16楼 2012-10-05 15:32 pchu 取消只看Ta
[0] |引用@Derr 的话：
我觉得是你记错了吧……匀强磁场里的运动带电粒子，这个例子说明的是单独C对称或P对称的破缺，不过CP联合对称依然成立，所以根据CPT的猜想，T对称在这情况下也成立
这不是时间反演对称性。时间反演是，你将一个系统的时间倒流，这个系统的物理定律依旧不会改变。
然而事实上，如果引入电磁相互作用，就不存在时间反演对称性了。你可以试想一个在匀强磁场里面运动的带电粒子，如果在时间反演下带电粒子的速度反向就会违反洛伦兹力。
“逆向移动的正电子”就是CT联合变换下的电子，即是时间反演，又是反粒子。
引用@feng1734 的话：
从普通电子到正电子，恰恰不是T算符，而是C算符……
我的意思是，电磁场也应该做时间反演，磁场方向会改变，，
还有，逆着时间运动的普通电子在我们看来就是正电子，正电子就是普通电子的时间反演
http://en.wikipedia.org/wiki/Anti-particle#Properties_of_antiparticles
第五行> where nc denotes the charge conjugate state, i.e., the antiparticle. - 18楼 2012-10-05 16:30 pchu 取消只看Ta
[0] |引用@Derr 的话：
哦对……C破缺是指反粒子手性的问题……
不是吧...C对称只有在弱核力作用下才会破缺，引力、电磁力和强核力都不会引发C对称破缺的。
C对称下，磁场会反，粒子变成反粒子，运动速度不变。所以匀强磁场内的运动带电粒子轨迹不变
T对称下，磁场会反，粒子不变，运动速度相反。所以同样轨迹不变。
c.f: http://en.wikipedia.org/wiki/T-symmetry#Effect_of_time_reversal_on_some_variables_of_classical_physics
P对称下，磁场不变，粒子不变，运动速度相反。所以轨迹恰好变成P算符后的轨迹。
……所以电磁作用是遵循C、P、T分别的对称性的……可喜可贺可喜可贺……
（因为你说电磁作用导致T破缺，那不就是变成CP也破缺了吗？！我就觉得奇怪） - 20楼 2012-10-05 19:11 pchu 取消只看Ta
[0] |引用@Derr 的话：
时间箭头应该是当系统越变越复杂的时候出现的，不是基本定律内含的。虽然量子力学里也有熵的概念，不过貌似是用密度矩阵（从而描述多体系统）才有的
不可能啊...绝对打大多数孤立系统都不可能符合T对称的，因为热力学时间剪头的关系，时间反演熵会减少，所以不会保持不变的。
时间反演磁场会反向啊...这我确实不知道，不过电场总不会反向吧，在匀强电场里面运动的带电粒子不符合时间反演对称的。
> Time asymmetries are generally distinguished as between those intrinsic to the
> dynamic laws of nature, and those due to the initial conditions of our universe.
> The T-asymmetry of the weak force is of the first kind, while the T-asymmetry of
> the second law of thermodynamics is of the second kind.
T导致磁场反向应该是跟T作用在四维矢量上的效果有关…… - 21楼 2012-10-05 19:14 pchu 取消只看Ta
[0] |引用@Derr 的话：
电场自然不会变，因为E=grad\Phi，B=rotA。反了的是四维电磁势的三维矢量部分，不包括\Phi的部分。就像四维动量里，变的是三维动量部分，不包括能量的部分。
不可能啊...绝对打大多数孤立系统都不可能符合T对称的，因为热力学时间剪头的关系，时间反演熵会减少，所以不会保持不变的。
时间反演磁场会反向啊...这我确实不知道，不过电场总不会反向吧，在匀强电场里面运动的带电粒子不符合时间反演对称的。 - 23楼 2012-10-05 20:35 pchu 取消只看Ta
[0] |引用@Derr 的话：
你仔细想想啊……
恩恩...我貌似知道为什么磁场会反向了，之前还以为和自旋有什么关系...
关于微观时候的熵就是ln Omiga吧，所有可能状态的对数。
但是怎么说电磁相互作用都是不遵循时间反演的啊，那个电场里面运动的带电粒子不就不符合么。
z轴正向的磁场，初速度沿x轴正向的质子，左手定则，于是在y<0半平面上顺时针旋转
时间反演后：
z轴反向的磁场，初速度沿x轴反向的质子，于是在y<0半平面上逆时针旋转
两者都是在画圆，不过后者就像是前者在倒放
那么自原点向外的静电场，质子运动方向是远离原点
时间反演后，依然是自原点向外的静电场，质子运动方向是接近原点
后者就像是前者在倒放，仅此而已，这正是时间反演对称性 - 24楼 2012-10-05 20:38 pchu 取消只看Ta
[0] |引用@Derr 的话：
补充：
恩恩...我貌似知道为什么磁场会反向了，之前还以为和自旋有什么关系...
关于微观时候的熵就是ln Omiga吧，所有可能状态的对数。
但是怎么说电磁相互作用都是不遵循时间反演的啊，那个电场里面运动的带电粒子不就不符合么。
原本质子是逐渐加速远离原点
时间反演后，是逐渐减速靠近原点 - 27楼 2012-10-06 15:26 pchu 取消只看Ta
[0] |引用@feng1734 的话：
不是啦……我说过很多次，正电子只是普通电子的C反演，不是T反演。
我不知道量子电动力学里电子的运动是如何处理的，猜测下，描述电子的运动方程在做了c变换后就成为描述正电子的运动方程，而c变换后电量前出现的负号是可以被移动到时间t的前面的，所以描述正电子的运动方程也可以认为是通过对描述普通电子的运动方程做了一个t变换后得到的运动方程，所以正电子既可以看作普通电子的电荷反演，也可以看作是普通电子的时间反演？
普通电子的T反演出来的东西，就是狄拉克海里面满满的“负能量的电子”，而狄拉克海中的气泡才是正电子。
量子场论里面的数学手段跟这个本质是一样的，“失去一个负能量的电子”等同于“产生一个正电子”这样
从运动方程上去理解C变换，其实就是拿出狄拉克方程，按照
写出新的方程，然后化简、取复共轭，最终回到原本的狄拉克方程，于是说明了C对称性。
狄拉克方程里面是没有电荷出现的。带+e电荷也好-e电荷也好+2e电荷也好-3e电荷也好，全都遵循同一个狄拉克方程。如果那个负号可以简单移到t前面，描述时间反演，那么岂不是带2e电荷的粒子经历的时间比别人快一倍？
要记住的是，电荷是U(1)规范变换对应的守恒量，如同轻子数也是一个U(1)规范变换对应的守恒量。并不是说做一个C反演，将电荷反转，电子就变成正电子了。还有轻子数啊超荷啊还没变呢。实际上通过看旋量的狄拉克表达，可以知道1/2自旋费米子与其反粒子是一脉相承的（因为是同一个旋量的两个分量），C反演正好交换了旋量中正反粒子分量的位置（可能还有些系数）。而电荷数、轻子数加上负号的原因，则是正、反粒子分量在U(1)规范变换下不同的行为导致的。 - 30楼 2012-10-07 15:42 pchu 取消只看Ta
[0] |引用@MErrys 的话：
费曼图中的箭头不代表“顺时间”或“逆时间”运动，不代表电子的流向，充其量是代表电荷的流向而已。（哦对，不正是C反演么。因为U(1)全局规范变换导致的电荷守恒是一定要确保的。）
但是费曼图中。。。。正电子不就是时间逆行的电子吗？ - 33楼 2012-10-07 19:30 pchu 取消只看Ta
[0] |引用@MErrys 的话：
我自己也查到那段……
但是我看过费曼的量子电动力学讲座，不是讲义。他自己都那么说的啊，至于CPT的对称。。。。我就不懂啦
好像的确是这样……难道我一开始就搞错了？
http://en.wikipedia.org/wiki/Antiparticle#Properties_of_antiparticles
可以肯定的是，正电子绝不是电子的T反演
不过的确能说正电子是“逆着时间运动”的电子，只是，我会说正电子是“逆着时间”的负能量解电子，而非“普通电子”。
http://en.wikipedia.org/wiki/Antiparticle#Feynman.E2.80.93Stueckelberg_interpretation
正反电子对湮灭的过程有两种看法：可以认为两个分别带能量E>0的正反电子湮灭，产生两个能量E的光子；或者认为初状态是一个能量E>0的电子，末状态是一个能量-E<0的电子（不过逆着时间），加两个能量E的光子。况且，无论电子还是正电子，平面波状态下的相位项都是exp(-iEt)，E>0。所谓“倒着时间观察”，就是将这一项看成exp{-i(-E)(-t)}，从而观察到负能量的电子。不过这并不是时间反演算符T的效果，因为T不仅仅将t变成-t，而且由于T的反酉性（antiunitary），虚数单位i变成-i，结果T exp{-iEt} T^\dagger 依然是exp{-iEt}，依然是正能量的（电子或者正电子）。
正电子 = 逆着时间的负能量电子
那么 逆着时间的普通电子 = 负能量的正电子
不过注意，这些负能量态本身都是从没有观察到的，不一定具有物理意义的数学解 - 35楼 2012-10-07 23:48 pchu 取消只看Ta
[0] |引用@MErrys 的话：
正反电子对湮灭产生两个光子，这是最简单的费曼图（之一）啊……
你的话有些我不懂啊，但还是提几点疑问吧。
话说两个电子湮灭只能产生两个光子吗？能量能守恒吗
考虑时间反演的话是不是还要考虑熵的概念
你那里的逆着时间运动。。。。是不是速度反向了。时间的反演是一种正则变化，与速度反向是不同的。
能量守恒？光子频率多大都可以，E=h\nu，能量平衡不会有问题啊
熵的概念看我20L
最后那个问题。实际上时间反演T就“类似”与速度反向，就是整个系统“倒带”。比如原本一个电子加速靠近一颗质子，时间反演后，就成了电子减速远离质子。但是电子还是电子，质子还是质子，动量跟自旋都反向了。你可以看我18L跟23L，以及 http://en.wikipedia.org/wiki/Antiparticle#Properties_of_antiparticles
但是！我的观点是费曼说的“逆着时间运动的电子”并不是指时间反演T
http://en.wikipedia.org/wiki/Antiparticle#Feynman.E2.80.93Stueckelberg_interpretation
> By considering the propagation of the negative energy modes of the electron field backward in time
时间反演T无论怎么弄，都不会将能量为正的粒子变成能量为负的假想粒子的…… - 38楼 2012-10-10 00:50 pchu 取消只看Ta
引用@MErrys 的话：
我认为既然有``time reverse operator''存在，那么将时间反演看成具有物理意义的操作也是可以的，不过不仅仅是逆转速度这么简单，还有磁场方向也会反向（电场不变），等等……
贴一段吴大猷经典力学里的话吧：
速度的逆转并不就表示时间的逆转。当所有速度逆转方向时，该系统仅是回溯他原来的步骤，但仍然在时间的正方向上进展。改变时间符号，是一种数学运算，而逆转速度则是一种物理运作。。。。大意如此
其他内容我慢慢消化
關於粒子的簡單介紹（一）
晚上微博又被李淼老师刷屏了......晚上微博又被李淼老師刷屏了......
简单介绍就是简单介绍，不讲方程、不讲群论、不讲场论，要讲我也不懂。簡單介紹就是簡單介紹，不講方程、不講群論、不講場論，要講我也不懂。 简略地从上课时用的书和讲义上整理点简单的相关东西出来。簡略地從上課時用的書和講義上整理點簡單的相關東西出來。 今天先开个头。今天先開個頭。
粒子物理研究的对象主要是在质子、中子以下的粒子，其能量在MeV以上，上GeV也正常，所以也称为高能物理。粒子物理研究的對象主要是在質子、中子以下的粒子，其能量在MeV以上，上GeV也正常，所以也稱為高能物理。 按照参与作用的类型分类为：不参与强作用的轻子；参与强作用的强子，又分自旋为半整数的重子与自旋为整数的介子；只参与电磁相互作用的光子。按照參與作用的類型分類為：不參與強作用的輕子；參與強作用的強子，又分自旋為半整數的重子與自旋為整數的介子；只參與電磁相互作用的光子。
而研究粒子的来源，最原始的就是宇宙射线了，其中有极其高能（10^21eV)的粒子。而研究粒子的來源，最原始的就是宇宙射線了，其中有極其高能（10^21eV)的粒子。 不过数目极小，这时候就是靠天吃饭了，而研究地点一般都是在西藏这样世界屋脊的地方，大气散射、吸收影响小。不過數目極小，這時候就是靠天吃飯了，而研究地點一般都是在西藏這樣世界屋脊的地方，大氣散射、吸收影響小。 宇宙射线虽然一般不作为研究材料，不过对一般研究却有很大影响，负面的，即所谓背景噪音。宇宙射線雖然一般不作為研究材料，不過對一般研究卻有很大影響，負面的，即所謂背景噪音。 研究时要排除这结果到底是加速器给出的还是宇宙射线飘进来搞乱的。研究時要排除這結果到底是加速器給出的還是宇宙射線飄進來搞亂的。
费米发明核反应堆后，反应堆中产生的各种粒子便提供了很好的研究材料。費米發明核反應堆後，反應堆中產生的各種粒子便提供了很好的研究材料。 另外就是现在很热门的对撞机了。另外就是現在很熱門的對撞機了。 由于反应截面与质心系能量相关，将两束粒子在直线或环形加速器中加速，最后碰撞在一起，借此产生新粒子。由於反應截面與質心系能量相關，將兩束粒子在直線或環形加速器中加速，最後碰撞在一起，藉此產生新粒子。 而加速器的最基本原理则是高中的洛伦兹公式了。而加速器的最基本原理則是高中的洛倫茲公式了。
由于粒子都是肉眼无法直接观察的，即使是直保同学也没办法（详见《萌菌物语》），所以检测粒子的有无与性质则需要采用探测器。由於粒子都是肉眼無法直接觀察的，即使是直保同學也沒辦法（詳見《萌菌物語》），所以檢測粒子的有無與性質則需要採用探測器。 一个经典的探测器就是"云室"，带电粒子在其中电离，显现出路径来，然后对其拍照。一個經典的探測器就是"雲室"，帶電粒子在其中電離，顯現出路徑來，然後對其拍照。 奇异粒子就是某人在观察云室照片是发现的。奇異粒子就是某人在觀察雲室照片是發現的。 高端的还有闪烁探测器、晶体探测器等。高端的還有閃爍探測器、晶體探測器等。 一般人工产生的新粒子，其寿命都极短，因此探测的对象一般都是其衰变产物，根据产物的种类、能量分布、角分布等反推。一般人工產生的新粒子，其壽命都極短，因此探測的對像一般都是其衰變產物，根據產物的種類、能量分佈、角分佈等反推。
至于反粒子，比较经典的解释是狄拉克的“空穴理论”。至於反粒子，比較經典的解釋是狄拉克的“空穴理論”。 在狄拉克方程了，允许负能量的存在。在狄拉克方程了，允許負能量的存在。 通常情况在真空态下，所有负能量谱都被电子所填满，由于泡利不相容原理，每个能级有两个电子，构成所谓“狄拉克海”（不是AT Field海）。通常情況在真空態下，所有負能量譜都被電子所填滿，由於泡利不相容原理，每個能級有兩個電子，構成所謂“狄拉克海”（不是AT Field海）。 当某个电子吸收足够能量跃迁到正能量谱时，在原处便留下一个空穴，实验观测下便是一个“正电子”，即电子的反粒子。當某個電子吸收足夠能量躍遷到正能量譜時，在原處便留下一個空穴，實驗觀測下便是一個“正電子”，即電子的反粒子。
今天最后说下四大作用吧，截图：今天最後說下四大作用吧，截圖：
简单介绍就是简单介绍，不讲方程、不讲群论、不讲场论，要讲我也不懂。簡單介紹就是簡單介紹，不講方程、不講群論、不講場論，要講我也不懂。 简略地从上课时用的书和讲义上整理点简单的相关东西出来。簡略地從上課時用的書和講義上整理點簡單的相關東西出來。 今天先开个头。今天先開個頭。
粒子物理研究的对象主要是在质子、中子以下的粒子，其能量在MeV以上，上GeV也正常，所以也称为高能物理。粒子物理研究的對象主要是在質子、中子以下的粒子，其能量在MeV以上，上GeV也正常，所以也稱為高能物理。 按照参与作用的类型分类为：不参与强作用的轻子；参与强作用的强子，又分自旋为半整数的重子与自旋为整数的介子；只参与电磁相互作用的光子。按照參與作用的類型分類為：不參與強作用的輕子；參與強作用的強子，又分自旋為半整數的重子與自旋為整數的介子；只參與電磁相互作用的光子。
而研究粒子的来源，最原始的就是宇宙射线了，其中有极其高能（10^21eV)的粒子。而研究粒子的來源，最原始的就是宇宙射線了，其中有極其高能（10^21eV)的粒子。 不过数目极小，这时候就是靠天吃饭了，而研究地点一般都是在西藏这样世界屋脊的地方，大气散射、吸收影响小。不過數目極小，這時候就是靠天吃飯了，而研究地點一般都是在西藏這樣世界屋脊的地方，大氣散射、吸收影響小。 宇宙射线虽然一般不作为研究材料，不过对一般研究却有很大影响，负面的，即所谓背景噪音。宇宙射線雖然一般不作為研究材料，不過對一般研究卻有很大影響，負面的，即所謂背景噪音。 研究时要排除这结果到底是加速器给出的还是宇宙射线飘进来搞乱的。研究時要排除這結果到底是加速器給出的還是宇宙射線飄進來搞亂的。
费米发明核反应堆后，反应堆中产生的各种粒子便提供了很好的研究材料。費米發明核反應堆後，反應堆中產生的各種粒子便提供了很好的研究材料。 另外就是现在很热门的对撞机了。另外就是現在很熱門的對撞機了。 由于反应截面与质心系能量相关，将两束粒子在直线或环形加速器中加速，最后碰撞在一起，借此产生新粒子。由於反應截面與質心系能量相關，將兩束粒子在直線或環形加速器中加速，最後碰撞在一起，藉此產生新粒子。 而加速器的最基本原理则是高中的洛伦兹公式了。而加速器的最基本原理則是高中的洛倫茲公式了。
由于粒子都是肉眼无法直接观察的，即使是直保同学也没办法（详见《萌菌物语》），所以检测粒子的有无与性质则需要采用探测器。由於粒子都是肉眼無法直接觀察的，即使是直保同學也沒辦法（詳見《萌菌物語》），所以檢測粒子的有無與性質則需要採用探測器。 一个经典的探测器就是"云室"，带电粒子在其中电离，显现出路径来，然后对其拍照。一個經典的探測器就是"雲室"，帶電粒子在其中電離，顯現出路徑來，然後對其拍照。 奇异粒子就是某人在观察云室照片是发现的。奇異粒子就是某人在觀察雲室照片是發現的。 高端的还有闪烁探测器、晶体探测器等。高端的還有閃爍探測器、晶體探測器等。 一般人工产生的新粒子，其寿命都极短，因此探测的对象一般都是其衰变产物，根据产物的种类、能量分布、角分布等反推。一般人工產生的新粒子，其壽命都極短，因此探測的對像一般都是其衰變產物，根據產物的種類、能量分佈、角分佈等反推。
至于反粒子，比较经典的解释是狄拉克的“空穴理论”。至於反粒子，比較經典的解釋是狄拉克的“空穴理論”。 在狄拉克方程了，允许负能量的存在。在狄拉克方程了，允許負能量的存在。 通常情况在真空态下，所有负能量谱都被电子所填满，由于泡利不相容原理，每个能级有两个电子，构成所谓“狄拉克海”（不是AT Field海）。通常情況在真空態下，所有負能量譜都被電子所填滿，由於泡利不相容原理，每個能級有兩個電子，構成所謂“狄拉克海”（不是AT Field海）。 当某个电子吸收足够能量跃迁到正能量谱时，在原处便留下一个空穴，实验观测下便是一个“正电子”，即电子的反粒子。當某個電子吸收足夠能量躍遷到正能量譜時，在原處便留下一個空穴，實驗觀測下便是一個“正電子”，即電子的反粒子。
今天最后说下四大作用吧，截图：今天最後說下四大作用吧，截圖：
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负比热出现的原因在于体系的能量将不再是一个广延量
负比热出现的原因在于体系的能
量将不再是一个广延量，子系统之间的相互
作用必须予以考虑，这是天体、原子核以及
纳米团簇等负比热体系的共同特点
Negative specific heat, phase transition and particles spilling from a potential well
Negative specific heat, phase transition and particles spilling
from a potential well
J.Rao, Q.H.Liu and T.G.Liu
通常认为，负比热出现的原因在于体系的能
量将不再是一个广延量，子系统之间的相互
作用必须予以考虑，这是天体、原子核以及
纳米团簇等负比热体系的共同特点。
态历经成分却可能出现负比热。该文中W.Thirring专
门提出了一个简单的模型，本文称为“noninteracting-
particle-in-the-well”模型。这种模型中， 个粒子被限
制在一个大盒子里，盒子中央有一个势阱。体系能量
升高时，粒子有可能从阱内溢出，使得动能降低，实
现负比热。 W.Thirring的模型为实现负比热指出了一
条新的途径。
MODEL AND ITS MICROCANONICAL ENSEMBLE TREATMENT
其中： , 为第 个粒子的能量。
系统的微正则平均动能：
体系的平均能量：
曲线即为体系的caloric曲线，而比热
则可作如下定义：
微正则分布给出动量空间中的热力学状态数正比于：
因此，对于该位形相空间中代表点数目正比于：
SINGLE PARTICLE NSH
只有一个粒子时，其能量达到势阱高度即可从阱内溢出；而当粒子数很多时，由于能均分的作用，粒子平均能量达到势阱高度时，并不能使全部粒子从阱内溢出。势阱的体积比越小和(或)粒子数越多，离子越容易从阱内溢出。
当体积比 时，仅有与 成正比的项对(6)式和(7)式有贡献。这时我们得到规则锯齿形结构的caloric曲线以及呈梯状变化的平均粒子数(阱内)曲线。具体表达如下：
Dense/Dilute Particle state
and Phase Transition
看作是一种气相，而阱内粒子则可看成是一种
凝聚相。因此，当粒子数有限时，两相共存意
味着负比热的一种相变解释。
学极限情况下，仅仅在体积比取无穷小
量时，这种相变才可能重现为通常的一
级相变。由Fig.3可以看出，这时，相变
潜热对应着caloric曲线中的平坦部分，
粒子数 ，体积比 。
讨论：
结构；ⅱ)对给定的粒子数和体积比，凝聚相仅仅在
密度方面不同；
(2)由于粒子间不存在相互作用，这种有限体系和
其他有限体系相比在相变方面有重大不同。包括ⅰ)
体系的负比热完全来自单粒子效应，ⅱ)负比热并
不是发生相变的必要条件。
(3)我们试图通过多种定义来概括相变，发现上述
定义是自洽且物理上合理的。
互作用，体系必然为气相。密度和气相不同的
另一相位于阱内。相变因此可以定义为高密度
态和气态两相共存。尽管粒子的溢出通常伴随
着负比热，但负比热并不是相变的一个先决条
件。
Conclusion
参考文献：
量将不再是一个广延量，子系统之间的相互
作用必须予以考虑，这是天体、原子核以及
纳米团簇等负比热体系的共同特点
這是 http://www.ccast.ac.cn/workshop/cond-2007/wenzhang/raoj.ppt 的 HTML 檔。
G o o g l e 在網路漫遊時會自動將檔案轉換成 HTML 網頁。
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Negative specific heat, phase transition and particles spilling
from a potential well
J.Rao, Q.H.Liu and T.G.Liu
引 言
- 纳米团簇中负比热的成功观测[1]使得有
通常认为，负比热出现的原因在于体系的能
量将不再是一个广延量，子系统之间的相互
作用必须予以考虑，这是天体、原子核以及
纳米团簇等负比热体系的共同特点。
- W.Thirring在一篇论文[2]中指出在某些体系中尽管
态历经成分却可能出现负比热。该文中W.Thirring专
门提出了一个简单的模型，本文称为“noninteracting-
particle-in-the-well”模型。这种模型中， 个粒子被限
制在一个大盒子里，盒子中央有一个势阱。体系能量
升高时，粒子有可能从阱内溢出，使得动能降低，实
现负比热。 W.Thirring的模型为实现负比热指出了一
条新的途径。
- Thirring在其论文里假定，体系中每一个粒子的能量分别守恒，粒子间不交换能量，因此是一个非各态历经的体系。本文在Thirring工作的基础上更进一步，考虑一个各态历经的体系，也就是仅系统的总能量守恒，但粒子间可以交换能量。通过 计算，我们发现该体系严格可解，在有限粒子的情况下该模型有可能出现微正则的负比热。最后，我们进一步讨论了这种负比热与一级相变的联系。
MODEL AND ITS MICROCANONICAL ENSEMBLE TREATMENT
- 在“noninteracting-particle-in-the-well”模型中,我
（1）
其中： （2）- 给定总能量 ，可求得微正则条件下相空间的
其中： , 为第 个粒子的能量。
系统的微正则平均动能：
（4）
阱内粒子数的平均值为：
（5）
以 为能量单位，每个粒子的平均动能为：体系的平均能量：
曲线即为体系的caloric曲线，而比热
则可作如下定义：
- 通过直接计算可求得平均动能的表达式：
（6）
- 代表势阱体积占总体积的比例，函数
- 势阱内的平均粒子数为：
- （7）
- 平均动能的表达式,(6)可作如下理解：
- 对某一特定的位形，比如 个粒子位于阱内，那
微正则分布给出动量空间中的热力学状态数正比于：
因此，对于该位形相空间中代表点数目正比于：
SINGLE PARTICLE NSH
只有一个粒子时，其能量达到势阱高度即可从阱内溢出；而当粒子数很多时，由于能均分的作用，粒子平均能量达到势阱高度时，并不能使全部粒子从阱内溢出。势阱的体积比越小和(或)粒子数越多，离子越容易从阱内溢出。
- 当体积比 时,(6)式和(7)式将只剩下 一项，因此：
- 这正是理想气体的情形。
当体积比 时，仅有与 成正比的项对(6)式和(7)式有贡献。这时我们得到规则锯齿形结构的caloric曲线以及呈梯状变化的平均粒子数(阱内)曲线。具体表达如下：
(8)
- Fig.1中最下端的锯齿形曲线为 时的caloric曲线，当 时为一个周期函数，其周期为 。
- 从图上我们可以看出，每一个粒子精确的吸收能量 ，一个接一个地溢出势阱，当粒子全部溢出时，体系释放出全部动能且处于能量 的状态。动能下降同时总能量上升意味着单粒子的负比热。
- 在热力学极限 ，caloric曲线得变化周期趋于零， 。(8)式化为：
- 当 时，(6)式和(7)式不能进一步解析地简化。Fig.1-Fig.3显示了数值计算结果。Fig.1显示了粒子数 时，不同体积比
- 下的caloric曲线, Fig.2和Fig.3则显示了相同体积比下体系粒子数不同时的caloric曲线。
- 由图中的caloric曲线可以看出，粒子数越大，锯齿波的振幅越小。因此，对一定的体积比，大粒子数体系的caloric曲线将呈平滑趋势。
- Fig.1中的六条曲线显示了该模型中caloric曲线在各种条件下的基本特征，容易看出这些曲线限制在 和 两个极端之间。随着体积比的增大，总能量越来越趋向于在每一个粒子间均分，而且在 附近，caloric曲线通常有一个锯齿形结构。
- 能量均分在阱内和阱外粒子之间同时发生。一方面尽管阱内粒子受到扰动，但仍然是一个个(而不是一群群)溢出阱外；另一方面，阱外粒子一旦获得了足够的能量，粒子从阱内溢出后，体系并不出现负比热现象。
- 显然，粒子从阱内的溢出可以分为三种类型：ⅰ体积比很大且趋于1，这时没有负比热发生，caloric曲线呈单调增长；ⅱ体积比很小且趋于0，这时，整个能量增长的过程都伴随着负比热；ⅲ 给定粒子数 ，存在某个体积比 值的区间，在低能区域体系存在负比热现象，随着能量的升高负比热现象趋于消失。
Dense/Dilute Particle state
and Phase Transition
- 当平均能量 为正数且足够大时所有粒子可
- 当平均能量取一个中间值时，阱内外两种不
看作是一种气相，而阱内粒子则可看成是一种
凝聚相。因此，当粒子数有限时，两相共存意
味着负比热的一种相变解释。
- 定义两个密度
- 阱内粒子数密度：
- 阱外粒子数密度：
- 一级相变可以重新定义为两相密度差：
- 在相变过程中，两相可以共存。
- 在这样一种定义下，发生相变的过程
学极限情况下，仅仅在体积比取无穷小
量时，这种相变才可能重现为通常的一
级相变。由Fig.3可以看出，这时，相变
潜热对应着caloric曲线中的平坦部分，
粒子数 ，体积比 。
讨论：
- (1)凝聚相不能进一步区分成固相和液相，这是因
结构；ⅱ)对给定的粒子数和体积比，凝聚相仅仅在
密度方面不同；
(2)由于粒子间不存在相互作用，这种有限体系和
其他有限体系相比在相变方面有重大不同。包括ⅰ)
体系的负比热完全来自单粒子效应，ⅱ)负比热并
不是发生相变的必要条件。
(3)我们试图通过多种定义来概括相变，发现上述
定义是自洽且物理上合理的。
- “noninteracting-particle-in-the-well”模型的
互作用，体系必然为气相。密度和气相不同的
另一相位于阱内。相变因此可以定义为高密度
态和气态两相共存。尽管粒子的溢出通常伴随
着负比热，但负比热并不是相变的一个先决条
件。
Conclusion
参考文献：
- 1 M. Schmidt et al., Phys. Rev. Lett. 86(2001)1191;
- F. Gobet et al., Phys. Rev. Lett. 89(2002)183403;
- G. A. Breaux, R. C.Benirschke, T. Sugai, B. S. Kinnear, and M. F. Jarrold, Phys. Rev. Lett. 91(2003)215508;
- S. Chacko, K. Joshi, and D. G. Kanhere, Phys. Rev. Lett. 92(2004)135506;
- H. A. Posch and W. Thirring, Phys. Rev. Lett. 95(2005)251101;
- D. Schebarchov and S. C. Hendy, Phys. Rev. Lett. 96(2006)256101;
- T. Niiyama, Y. Shimizu, T. R. Kobayashi, T. Okushima, and K. S. Ikeda, Phys. Rev. Lett. 99(2007)014102.
- 2 W. Thirring, H. Narnhofer and H. A. Posch, Phys. Rev. Lett. 91(2003)130601. This Letter examines a fundamental issue whether "the microcanonical specific heat is positive, if the system is ergodic. However if the system is not ergodic, the energy shell in the phase space has some ergodic components with a negative specific heat." So, only the non-ergodic components in the phase space
- as are considered. In this paper, we consider the contributions from the whole phase space, as given by Eq. (3).
- 3 D. H. E. Gross. Microcanonical thermodynamics: Phase transitions in. “Small” systems. Series: Lecture Notes in Physics, Vol. 66. World Scientific Singapore, 2001;
- 4 D. Lyden-Bell, Physica A, 263(1999)293;
- P. Chomaz and F. Gulminelli, Eur. Phys. J. A, 30(2006)317;
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