Thursday, January 8, 2015

对于电子自旋(量子硬币),虽然输出的测量结果也是非“↑”即“↓”,但是根据叠加原理,其态空间却允许任意的a|↑>+b|↓>存在,其中a与b是复系数

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2010年6月17日 - 8 篇文章 - ‎7 位作者
另外在我们引入动量空间的时候的收敛准则是切萨罗收敛,已经不是普通的叠加表达式” 什么叫普通叠加表达式?感觉你说的就是箱归一化,此时将 ...

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我们喜欢从简单开始,然后逐渐的推广到复杂的系统。因此,如前所述,我们就先开始描述一个点粒子的系统,观察每个粒子的运动。


动量空间——一个不是三维实空间的例子


在三维实空间里,一个点粒子系统的每个粒子的有坐标(x, y, z),或者把这个坐标,看成是向量的三个分量,写成向量r。然而,这对于描述运动的粒子是不够的——除了位置,我们还想要知道粒子的速度,或者说动量 p。对一个N粒子系统,它的坐标为(r1,r2,..rN),表示粒子1处在坐标r1上,粒子2处在r2上,... ,粒子N处在坐标rN上;而动量的**为(p1,p2, .., pN),即第k个粒子的动量为pk。

就这样,我们得到了一个新的空间。在这个新空间里,我们并不关心粒子的坐标是多少,只关心它具有多少动量。这就是动量空间。

为什么需要这个空间呢?考虑如下场景。现在我们有一升的理想气体,盛在封闭容器里,里面大约有10^22个气体原子。我们不写出每个原子的位置,只知道它们在容器里均匀分布,也就是有一恒定密度[在这里我们不考虑热力学涨落的问题]。


真正有趣的事情发生在动量空间。虽然在实空间里粒子密度均匀,但并非所有粒子都具有一样的速率。我们做不到跟踪每个粒子速率,但是我们可以写出它们的速率
的分布。类比在实空间里的密度概念,我们可以把这个分布理解为速率的密度。速率密度大的地方,就表示处于这段速率的粒子数目多。


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  • 3楼
  • 2013-08-02 20:00






    我们甚至可以写出数学式子。头疼数学的话,请少安毋躁,因为这个式子非常重要。对于大量的,质量为m的气体粒子,在温度T时,速率的分布函数可以写成

    (1)

    所谓速率的分布函数,就是在不同速率处的粒子出现的相对可能大小,即概率分布。也就是说,不论粒子总数是多少,具有不同速率的粒子的相对比例是不变的。

    这是一件神奇的事情!在一定温度下,我们有10^22个粒子,它们互相“不认识”彼此,近乎独立的存在于小容器里,仅仅时而互相碰撞。按理说,一个粒子的速
    率,应该与另一个粒子速率没有关系——同样温度下,所有粒子的速率都相等看起来更合理。但事实上,就整体而言,我们可以说出哪些速率的粒子相对较多,哪些
    速率的粒子较少!这个速率的概率分布函数,就是大名鼎鼎的麦克斯韦——玻尔兹曼分布



    应于




    Hilbert Schmidt Hilbert


    von Neumann Hilbert space








    Feynman 了路便不


    典的



    𝑒𝑖𝐼/~得到

    monte carlo simulation





    Lagrange ”。



    Lagrange 方法义一L, 点的






    M 在这


    ”。Lagrange L

    Legendre Lagrange

    𝑇𝑀𝑇*𝑀



    Hamilton






    𝑑𝑓(𝑡, 𝑞(𝑡), 𝑝(𝑡))


    𝑑𝑡



    =



    𝜕𝑓
    𝜕𝑡
    + {𝑓,𝐻}. (31)

    Poisson

    {𝑓, 𝑔} =

    3Σ︁𝑁𝑠

    𝑖=1

    (︂
    𝜕𝑓
    𝜕𝑞𝑖

    𝜕𝑔
    𝜕𝑝𝑖

    𝜕𝑓
    𝜕𝑝𝑖

    𝜕𝑔
    𝜕𝑞𝑖

    )︂
    (32)
    Poisson线Jacobi Leibniz

    到的

    {𝑞𝑖, 𝑝𝑗} = 𝛿𝑖𝑗

    (33)
    Hamilton 𝑇*𝑀



    得到1-𝜃看看
    的动定的𝑑/𝑑𝑞

    辛形

    Hilbert

    得到

    Hilbert

    程称”。



    11


    M 覆盖{𝑈𝛼}使𝛼𝑈𝛼 = 𝑀



    覆盖覆盖叠的

    Poincare


    11 15


    𝑈𝛼辛形𝜃𝛼


    ^ 𝑓𝛼


    𝑖~𝑋𝑓𝜓(𝑥) 𝜃𝛼(𝑋𝑓 )𝜓(𝑥) + 𝑓(𝑥)𝜓(𝑥) (43)


    𝑈𝛼 𝑈𝛽 ̸= 在这^ 𝑓𝛼, ^ 𝑓𝛽


    得到(𝜃𝛽


    𝜃𝛼)(𝑋𝑓 )𝜓(𝑥)1-外微辛形


    1-1-式是当的




    𝜃𝛽 𝜃𝛼 = 𝑑𝜆𝛼𝛽 (44)




    接局子作


    得到


    𝜓𝛼叠的子作


    得到的


    (𝜃𝛽 𝜃𝛼)(𝑋𝑓 )𝜓 = 𝑑𝜆𝛼𝛽(𝑋𝑓 )𝜓 (45)


    分方


    线到导之中


    𝑒𝑖𝜆𝛼𝛽/~𝑈𝛽上取


    𝜓𝛽𝑈𝛼𝜓𝛼 = 𝑒𝑖𝜆𝛼𝛽/~𝜓𝛽^ 𝑓𝛼, ^ 𝑓𝛽


    得到


    ^ 𝑓𝛼𝜓𝛼 = 𝑒𝑖𝜆𝛼𝛽/~ ^ ������𝛽𝜓𝛽 (46)




    一样


    ),各个

    义一


    { ^ 𝑓𝛼}得到的


    ”。(


    ^ 𝑓辛形


    当的Hilbert




    ”。







  • weighted means, strict ergodicity, and uniform. distributions-加权 ...

    lw20.com/2011061144600328.html
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    翻译后摘要: 我们加强Oxtoby著名的定理严格的遍历转换来代替较弱的的Riesz平均或Voronoi图收敛单调递增或递减的权重系数的的标准切萨罗收敛的。这是一般的 ...










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    2014212




    1 2


    2 3


    3 4


    4 5


    5 6


    6 8


    7 10


    8 11


    9 12


    10 13


    11 14


    12 17





    1

    1 2


    13 2 20


    14 22


    15 23


    24


    1


    是数应用


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    ”。思索


    Weyl 广


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    𝑈(1)应于


    Weyl




    。“,




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    von Neumann 应于




    Hilbert Schmidt Hilbert


    von Neumann Hilbert space


    Hilbert space Schmidt


    von Neumann


    ---Stone-vonNeumann


    Heisenberg [𝑄, 𝑃] = 𝑖~




    别表


    (𝑄𝑓)(𝑞) = 𝑞𝑓(𝑞), 𝑃𝑓 = 𝑖~𝐷𝑞𝑓. (1)


    Hilbert


    𝐿2


    2 3


    von Neumann 人认


    ”。


    2


    Feynman 了路便不


    典的


    𝑒𝑖𝐼/~得到


    征值分非


    一样Green

    ∫︁{𝑝𝑎𝑡ℎ 𝜔 𝑓𝑟𝑜𝑚 𝑎 𝑡𝑜 𝑏}


    𝑒𝑖𝐼(𝜔)/~𝒟𝜔 (2)


    a b 1


    𝒪

    ∫︀𝒪(𝜔)𝑒𝑖𝐼(𝜔)/~ ∫︀𝒟𝜔

    𝑒𝑖𝐼(𝜔)/~𝒟𝜔





    (3)



    得到


    在这


    由于


    non-abelian




    氏时


    氏时Brownian motion


    用于实世是实数


    Brownian motion 广


    用于


    个高),




    应用


    个概个概


    说说


    3 4




    3




    Hamiltonian


    𝐻 =


    𝑝2


    2𝑚





    +


    1


    2

    𝑚𝜔2𝑞2. (4)


    (𝑇*R, = 𝑑𝑞 𝑑𝑝) ,




    [𝑄, 𝑃] = 𝑖~ {𝑞, 𝑝} = 𝑖~ (5)




    都等到的Schrodinger


    标表


    Hamiltonian 线


    Hamiltonian 身是


    征值


    辛形


    Lie | HeisenbergStone-von Neumann


    Heisenberg Hamiltonian


    征值Schrodinger




    是使Fock


    𝑧 =


    √︂𝑚𝜔


    2~





    (︂

    𝑞 +





    𝑖𝑝


    𝑚𝜔

    )︂

    , (6)


    个复[𝑍, 𝑍] = 1.


    𝑍|0= 0 ,


    Σ︁


    𝑛=0


    𝑐𝑛 𝑍𝑛|0(7)


    1


    Schrodinger 象下|0= 𝑒𝑚𝜔𝑞2/2~


    1方法Lie 方法”。是数


    方法方法Elie Cartan Lie




    4 5


    p𝑝( 𝑍)𝑒𝑚𝜔𝑞2/2~ 𝐿2(R)成稠


    从代Fock space Schrodinger







    {︀

    𝑝( 𝑍)|0





    }︀

    =

    {︃

    Σ︁


    𝑛=0


    𝑐𝑛 𝑍𝑛|0





    }︃

    = 𝐿2(R) (8)


    Fock 象相


    使个复个复


    Schrodinger


    个复




    详细












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    自旋——我们到底生活在什么空间里?




    自旋——我们到底生活在什么空间里?----By mingda1986




    我们生活在什么空间里?答案显而易见,当然是三维空间啦!空间解析几何告诉我们,在这个空间里,我们的位置,可以用三维空间的点坐标 (x,y, z)来表示,其中x, y, z都是实数,也就是说,我们生活在一个三维实空间。如果你肯更进一步,引入时间算作为第四个维度,把四维的坐标——时空里的一个点写成 (t,x, y,z),我们就生活在四维的时空里。


    进入现代物理的第一步,就是拓展空间这个概念。

    从点粒子系统开始

    拓展空间的概念,这有些奇怪,因为三维空间描述日常生活,并无不适;看地图的时候,二维坐标 (x,y)已然绰绰有余。难道除了这个三维空间(或者加上时间的四维空间),我们还需要什么别的空间来描述物理吗?


    当然需要。假设我们要描述点粒子系统——系统由点粒子构成。在开始描述这个系统之前,先解释一下为什么要描述点粒子系统。毕竟,实际的事物,大到车水马龙,小到原子分子,都有有限大小,为什么仍用没有大小的“点”来描述物理系统呢?

    其实,物理的精髓在于近似的描述自然。如果点粒子的抽象图像抓住了事物的实质,我们就大可放心用点粒子来描述。

    比如我们要描述一个小汽车的减速过程,见下图1-1。小车的减速,可以被质点的减速等效的模拟——质点的位置在于车的重心,质量恰为车重。在这个情形下,我们就可以用
    F =ma 来描述小车的减速,尽管牛顿定律只是针对抽象的点粒子的质点力学。


    除了减速外,如果小车在减速的过程中打滑,车头偏转,质点的概念就不够了。这是由于对于一个无大小,无体积的理想化质点,偏转不造成质点的变化;只有有限的体积才能看出来的确发生过偏转。


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    • 2楼
    • 2013-08-02 20:00




      图1-1 无大小的质点和有体积的小车的减速过程,用蓝色的箭头表示。箭头长度表示速率,理想化的质点等效的和小车做同样的减速运动。然而,小车的打滑(绿色箭头)
      却不能用质点来描述——旋转前后的质点没有任何不同。实际上,旋转需要用“刚体力学”来描述,作为描述质点的“牛顿力学”的延伸。


      我们喜欢从简单开始,然后逐渐的推广到复杂的系统。因此,如前所述,我们就先开始描述一个点粒子的系统,观察每个粒子的运动。


      动量空间——一个不是三维实空间的例子


      在三维实空间里,一个点粒子系统的每个粒子的有坐标(x, y, z),或者把这个坐标,看成是向量的三个分量,写成向量r。然而,这对于描述运动的粒子是不够的——除了位置,我们还想要知道粒子的速度,或者说动量 p。对一个N粒子系统,它的坐标为(r1,r2,..rN),表示粒子1处在坐标r1上,粒子2处在r2上,... ,粒子N处在坐标rN上;而动量的**为(p1,p2, .., pN),即第k个粒子的动量为pk。

      就这样,我们得到了一个新的空间。在这个新空间里,我们并不关心粒子的坐标是多少,只关心它具有多少动量。这就是动量空间。

      为什么需要这个空间呢?考虑如下场景。现在我们有一升的理想气体,盛在封闭容器里,里面大约有10^22个气体原子。我们不写出每个原子的位置,只知道它们在容器里均匀分布,也就是有一恒定密度[在这里我们不考虑热力学涨落的问题]。


      真正有趣的事情发生在动量空间。虽然在实空间里粒子密度均匀,但并非所有粒子都具有一样的速率。我们做不到跟踪每个粒子速率,但是我们可以写出它们的速率
      的分布。类比在实空间里的密度概念,我们可以把这个分布理解为速率的密度。速率密度大的地方,就表示处于这段速率的粒子数目多。


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      • 3楼
      • 2013-08-02 20:00



        我们甚至可以写出数学式子。头疼数学的话,请少安毋躁,因为这个式子非常重要。对于大量的,质量为m的气体粒子,在温度T时,速率的分布函数可以写成

        (1)

        所谓速率的分布函数,就是在不同速率处的粒子出现的相对可能大小,即概率分布。也就是说,不论粒子总数是多少,具有不同速率的粒子的相对比例是不变的。

        这是一件神奇的事情!在一定温度下,我们有10^22个粒子,它们互相“不认识”彼此,近乎独立的存在于小容器里,仅仅时而互相碰撞。按理说,一个粒子的速
        率,应该与另一个粒子速率没有关系——同样温度下,所有粒子的速率都相等看起来更合理。但事实上,就整体而言,我们可以说出哪些速率的粒子相对较多,哪些
        速率的粒子较少!这个速率的概率分布函数,就是大名鼎鼎的麦克斯韦——玻尔兹曼分布。

        为了对麦玻分布有更多直观理解,我们把He, O2和Ar气体的速率分布函数画在一张图上,如1-2。这里顺带强调一下读图的重要性。在中学时代我们不常看图和看实验,其实,实验是物理学的最高法院。
        再优美的理论也要通过实验的检验。实验的结果可以用图来清晰表达。也许读图一开始不习惯,但也不是没有规律可循。我们先看图的横轴,纵轴分别是什么,知道它要说明的是哪两个物理量的关系。下图即速率和分布的关系:某速率(X轴)对应的分布越高(Y值越大),处在该速率附近的粒子越多(我们不关心绝对数目,但是能清楚的知道相对多少)。一张图上往往有多个曲线,需要注意曲线之间的差异,用图例来表述。这里不同的曲线即不同的粒子质量。


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        • 4楼
        • 2013-08-02 20:00





          图1-2 He,O2和Ar三种气体的速率分布函数。从图上我们看出分布随着速率先增大,后减小;其极大值随着粒子质量减小而增加。注意三个函数都是归一化的,也就是图下方包含的面积为一。

          从图上,我们可以看出几个特征:

          1)He的速率分布整体落在在Ar和O2的右侧,且峰值处的速率更高(~1200m/s)。He具有相对较大的速率,这不难理解:He较轻,所以运动的比较快。

          2)相比之下,由于Ar和O2的质量相近,所以它们的速率分布也相差不多。实际上Ar比O2略重,所以分布的最大值略小。

          3)He在速率较高的1km/s到3km/s都有分布,而Ar和He已经几乎没有速率在这段范围的分布,而是集中在500m/s附近。不论哪种气体,在速率过高和
          过低处,分布都减少。也就是说,我们几乎找不到速率接近于零的气体粒子(分子或原子),也几乎找不到速率很高的粒子。

          这样,我们从图上直观的看到动量空间的意义。实空间并没有抓住气体的全部性质。只有当我们进入动量空间时,才发现,实空间里密度均匀的气体,在动量空间来看,速率非但不相同,还符合了一个优美的函数。

          在上面过程里,我们不关心粒子的数目,只关心相对权重。这好比一个简单的投硬币例子,我们最终只关心正面和反面各占多少,而不管总投掷的次数。事实上,根据
          概率论里的大数定律,当投掷次数足够多的时候,正面和反面的概率才会接近于1/2。类比之,在这里,我们只关心速率的分布;如果粒子数目足够多,速率分布
          就接近于麦玻分布。


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          • 5楼
          • 2013-08-02 20:01


            电子的自旋

            对于电子,我们已经有些了解,知道它带一个单位的负电荷,与带电体发生Coulomb相互作用。除了带电这一属性,电子的另外一个内在属性就是自旋。

            自旋是一个非常重要的概念,是本书的基础。作为一个纯量子力学概念,自旋和生活中的直观经验并不符合。为了理解自旋,我们把它与一些熟悉的事物作类比。

            a)自旋与地球自转

            自旋,顾名思义,“绕着自己旋转”。电子也在绕着自己转动,就好象地球自转一样。但是这有本质的不同。地球自转,是绕着固定的地轴旋转,而电子自旋,作为
            一种内秉的对称性,其轴是不确定的。当我们想知道这个旋转轴的方向,从某个角度看过去的时候,自旋的“旋转轴”,就总是垂直于我们观测的方向[注]。



            我们可以把旋转轴看作一个向量,它有大小,表示旋转的强弱,也有方向,是绕轴旋转的方向。对于一个来说,当我们从不同方向去看它的时候,我们看到的是它在视角上方向上的投影,见下图1-3。


            图1-3 观察地轴投影。我们看到的是向量在这个方向上的投影,长度为Lcos(theta),其中L为向量的长度,theta为向量方向与观察方向的夹角。显然,当我们平行与地轴的方向看过去时,投影为零,但当我们垂直看过去时,投影最大。


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                  如果我们把自旋的轴也当作向量,对电子做同样的“观测”,则会发现,无论我们从何种角度看过去,电子自旋的轴(以下简称自旋)在各个方向上,投影大小都相同——它们都一样长!(见图1-4) 此外,自旋向量的方向,在每个视角看去,都有两个选择,彼此反平行。但是一次观测中,只能看到一种选择,或是朝“上”,或是朝“下”。具体哪个指向被观察
                  到,对于一束非极化的电子(没有故意保留一个指向的电子而剔除掉另外一个指向),是完全随机的。

                  因为向量的投影大小随着视角的方向变化,而自旋的投影却保持不变,所以把电子自旋当作通常意义上的向量是不恰当的。实际上,它是向量算子,代表着一类和向量有相同变换规律的运算。即便如此,在很多情形下,我们就用通常意义上的向量(经典向量),来近似的描述电子自旋的性质。




                  图1-4 与观测地轴投影不同,自旋的“轴”在不同方向的投影大小相同。在任一视角上,其投影方向有两种选择,或“上”或“下”。


                  地球的自转轴的长度,随着自转快慢而变长变短,而电子的自旋的“长度”,是一个固定的值,与外界任何条件都无关,就像它的电荷数是定值一样。从这一点我们也可以看出,自旋是电子的内在属性。

                  b) 自旋与翻硬币

                  搞清楚自旋与地球自转的区别之后,自旋的故事似乎结束了。然而,真正的有趣尚未开始。

                  在上面的例子里,我们看到,每次对于自旋的观测,都能得到或“上”或下的结果。而且,对于一束没有特别安排自旋方向的电子,其结果是随机的。这很像翻硬币过程——同样都是输出两个结果,而且输出哪个是随机的。


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                        但这和翻硬币有本质的不同。为了说明这个不同,先推广空间的概念:

                        对于一个物理过程,所有可能物理状态的**就叫做空间。比如三维实空间,一个“状态”就意味着粒子处在一个三维坐标上。

                        对于翻硬币过程,所有可能结果即正面和反面,非正即反[忽略零测度的],根据以上空间的定义,{正,反}这两个状态,构成了这个空间有且仅有的两个元素。我们管“正”“反”叫做这个空间的“态”,那么结果的状态{正,反}就定义了一个态空间。
                        这有何神奇的呢?只要再外加一个看似不起眼原理,就能完完全全的改变它的性质,得它们成为量子力学的空间。这个原理叫做叠加原理,就是说,如果“正面”和“反面”是空间里的态,那么它们的任意线性叠加也是该空间的态。薛定谔的猫,亦死亦活,就是这个意思。如果“死”是空间里的一个态,“活”是空间里的另一个态,那么“死+活”的又死又活态也是该空间的一个态。也许这看似不可思议,但这正是量子力学的神奇之处;在非量子的经典空间1,如翻硬币的空间或者猫的死活的空间,没有亦正亦反的态,但是如果是量子力学的硬币,或量子力学里的猫,那么允许这种又死又活的猫,或者又正又反的硬币的叠加态的存在。



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                              图1-5 叠加态的概念。

                              这样,如果把电子自旋朝“↑”看作硬币正面,自旋朝“↓”看作硬币反面,“↓”和“↑”,即观察自旋后,看到的态,如同硬币翻之后得到正反面一样。在物理上,我们把态写在尖括号里,即|↑>和|↓>。对于经典的硬币,其态空间里仅有{正,反}两个元素,对于电子自旋(量子硬币),虽然输出的测量结果也是非“↑”即“↓”,但是根据叠加原理,其态空间却允许任意的a|↑>+b|↓>存在,其中a与b是复系数。


                              c) 自旋与二维笛卡尔坐标系(x, y)


                              电子自旋空间里,一个态可以分解为以|↓>与|↑>基向量的线性组合。这不难联想到二维笛卡尔坐标系的向量:一个向量,可以分解为x分量与y分量的组合:

                              V= (V·x)x~ + (V·y) y~
                              |Ψ>=a|↑>+b|↓> = <↑|Ψ>|↑>+<↓|Ψ>|↓>

                              式中,x~与x~分别为x, y方向上的单位向量。





                              这样,我们就建立了态与向量之间的类比。它们都存在基向量,都可以被分量分解。更进一步,我们就管态,叫做态矢量,尽管在与地球自转的类比中,它和向量有本质区别。我们也可以定义内积,就是如同<↓|Ψ>的形式。在向量空间里,内积表示两个向量“靠近”的程度:平行时完全重合,内积最大,垂直时内积为零,又叫做“正交”。这里,|↓>与|↑>两个态,如同x与y一样,互相正交,<↓|↑>=0.这在物理上是可以理解的,两个态互相独立,没有外界机制时,不会互相转换。


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                                    d) 自旋的数学表述
                                    电子自旋的态空间,|↓>与|↑>两个态矢量,作为基向量构成;在某个方向上,做一次测量,就相当于对其做基向量方向的一次投影,得到|↓>或|↑>。这里,我们并没有仔细考虑三维空间里的“某方向”。怎么样可以既考虑到电子在态空间里的|↓>与|↑>自旋态,又考虑自旋本身在三维空间里的方向呢?

                                    既然自旋类比于矢量,先把它写成类似矢量的形式:



                                    这里用“S”,是因为自旋的英语是Spin,取其第一个字母。


                                    由于图1-4里,电子自旋在任何方向的投影都相同,我们有对任意方向的单位矢量n,S ·n=常数。显然,如果S的各个分量Sx, Sy, Sz只是通常意义的数,则不可能满足这个条件:不同方向上的投影一定不同。


                                    但是如果S各个分量为矩阵,则还是可以满足这个条件的。



                                    巨磁电阻效应——自旋电子的一个应用


                                    早期的电脑,存储能力十分有限,一个移动的存储介质,如3.5英寸软盘,只能储存1.44Mb大小的文件。而今天,体积更小的U盘,可以轻易的储存32G的数据量,比十多年前大了两万倍。这是怎么做到的呢?

                                    这是利用了巨磁电阻效应。该效应在1988年,由德国尤利西研究中心的彼得·格林贝格和巴黎第十一大学的艾尔伯·费尔分别独立发现的,他们因此共同获得2007年诺贝尔物理学奖。


                                    所谓“磁电阻”,即有外加磁场时,材料的电阻随之改变。“巨磁电阻”,即外加磁场时,材料电阻发生巨大改变的现象,如下图。铁(Fe) 薄层——铬(Cr)薄层——铁(Fe)薄层的交替结构。导线中的自旋电子,穿过交替结构,产生电阻。


                                    当没有外加磁场或弱磁场(下图a) 时,结构中的两个Fe薄层里的电子自旋,反向排列。这里顺带提一下,电子自旋的有序排列,正是磁铁形成的微观机制。在图a)里,左边的Fe层,自旋朝↑,从而磁铁N极朝上,S极朝下,右边的Fe层恰相反。这时,对于导线中的自旋为↑的电子,它感受到的总电阻为(R↑↑+R↑↓),其中,R↑↑为自旋向上的电子遇到自旋也向上(即N极向上)的铁磁层产生的电阻;R↑↓为自旋向上的电阻,遇到自旋向下的铁磁层产生的电阻。


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                                            In general, group theory is used in the studies of the properties of wave functions and operators, angular momenta, nuclear and particle physics, spectroscopy, atomic and molecular structures, solid states, etc.

                                            For your interest, you can read the following references:

                                            朱洪元 "群论和量子力学中的对称性"
                                            马中骐 "物理学中的群论"
                                            M. Tinkham "Group Theory and Quantum Mechanics"
                                            V. Heine "Group Theory in Quantum Mechanics"
                                            H. Weyl "The Theory of Groups and Quantum Mechanics"
                                            W. Greiner "Quantum Mechanics - Symmetry"









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                                            其實我的意思是在物理上如何具體的理解
                                            如: Hamilton 系統如果有 Time translation invariance ,則系統是守恆的. 怎樣理解這句說話?
                                            雖然教 群論應用在量子力學的書都有以上例子,但物理上如何具體的理解?
                                            而lau gai骰 是group theory的具體例子,但對物理上的守恆又如何同一比較?
                                            或具體說: lau gai 骰每一格顏色可否理解為 Operators 或 扭轉時 才代表物理作用? 每一格顏色可理解為物理的甚麼?
                                            扭轉時可理解為物理的甚麼?
                                            最後如何扭轉,最後同一顏色歸一,這是否就是守恆?

                                            [ 本帖最後由 JTRP111 於 2013-8-29 10:59 AM 編輯 ]



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                                            引用:
                                            如: Hamilton 系統如果有 Time translation invariance ,則系統是守恆的. 怎樣理解這句說話?
                                            Note that time invariance of the Lagrangian leads to the conservation of energy. By the same token, the translational and rotational invariance of the Lagrangian gives rise to the conservation of momentum and angular momentum, respectively.

                                            It may not be easy to interpret the statement by simple physical picture, especially when you are to connect time invariance and the conservation of energy. One has to look at the algebraic manipulation using group theory in order to see how the symmetry properties of a system results in certain rules of conservation.
                                            引用:
                                            雖然教 群論應用在量子力學的書都有以上例子,但物理上如何具體的理解?
                                            In my understanding, group theoretical analysis of a physical system, as described by an appropriate Hamiltonian in QM, is a qualitative way of understanding the behavior of the system. Wave functions and operators in QM are described mathematically by Hilbert Space, operation that transforms the state vectors corresponds precisely to a linear transformation in vector space. The collection of such linear transformations forms the group that the system belongs to.

                                            Representations are not operators that correspond uniquely to some particular physical action (Here what I mean is that, for example, a translation operator brings a system from one point to another in a vector space. The operator by itself belongs to a certain representation in a group (e.g. B1 in C2v point group), but the actual process is not something like "B1 the system"; there is not a physical process called B1. Also, the same operation may belong to another representation when the system possesses a different symmetry.) They are mathematical constructs that help us correlate the intrinsic symmetry properties of the system to its behavior without knowing completely all the details.
                                            引用:
                                            其實我的意思是在物理上如何具體的理解
                                            Taking the conservation of energy as an example. We are aware that this rule is true (ignoring relativistic effects for a moment), but this fact (or observation) is not caused by group theory. There are other physical origins that lead to the conservation of energy. Group theory, in this scenario, serves only as a tool that demonstrates/justifies the fact mathematically.

                                            It is the same when we are to analyze the IR spectra of molecules. Owing to symmetry, we can predict the number of IR bands that would appear in the spectra. One may say: "OK, I see these bands because group theory tells me this.". Does the group theory really determine how many bands will show up and how many not? No, group theory by itself does not do that. It only tells us that for molecules with certain symmetry, how many IR bands will be present; yet it does not tell us why (or the reason(s) from physical perspective).



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                                            空間平移對稱性 -> 動量守恆   轉動對稱性 ->  角動量守恆。 時間平移不變性 -> 能量守恆
                                            以上在群論的對稱性有很多運算.group theory的通俗描述是:  <G,*> 定義為集合 G 和叫做“乘積”及“乘積”可若a, b 和c 是G 的任意元素, 那麼 a,b,c 在量子力學可定義 動量運算,能量運算子..等.  任意元素就是物理量集合體,乘積就是運作的總和. 這樣理解,對否?即我們是否單純用數學語句: 對稱性, 就說明守恆.而 扭計骰  是group theory的具體例子,但對物理上的守恆又如何同一比較?
                                            或具體說:扭計骰每一格顏色可否理解為 Operators 或 扭轉時 才代表物理作用? 每一格顏色可理解為物理的甚麼?
                                            扭轉時可理解為物理的甚麼?
                                            最後如何扭轉,最後同一顏色歸一,這是否就是守恆?
                                            扭計骰  是group theory很具體的數學描述

                                            [ 本帖最後由 JTRP111 於 2013-8-29 02:21 PM 編輯 ]



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                                            首先,可否用扭計骰通俗說明群論在量子力學的具體意義?
                                            因這樣很具體



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                                            無這個必要 而且講就誁群論重要
                                            事實上我地只係用數學佬的一部分知識去解決物理或化學問題
                                            例如wave function之間能否有效重疊






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                                            Concepts of abelian groups are more useful in chemistry when discussing molecular point groups. (Only C1, C2, Ci, Cs, C2v, C2h, D2 and D2h are abelian, all other point groups are indeed non-abelian.) Apart from abelian group, chemists, especially solid state chemists, are more interested in space groups and their manipulations.

                                            For physicists, I think they need more the knowledge of Lie group as it is crucial to their study of the Standard model or beyond (e.g. SO(3) and SU(n) groups).



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                                            Lie group 有聽過 但從未學過





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                                            為何希望用扭計骰的關係做比喻 或 具體例子 通俗說明群論在量子力學的具體意義. 原因舉列如下:

                                            我們可運用Lie群上的指數映射,建立量子間的對應關係,便可求解出了量子可觀察量的對易公式,這點十分重要,因 對易=0,會導致"新出現的" 守恆量.使 Lie對稱性在廣義Hamilton系統中得以應用,而古典力學系统的空間幾何便可量子化(在研究中).
                                            Lie群上的指數映射的觀念不是跟 扭計骰的關係很像嗎?
                                            扭計骰符合 群 的定義,且顏色的流形符合拓撲結構.
                                            Lie群是具有群結構的拓撲結構 , 所以用扭計骰的關係做比喻 或 具體例子 通俗說明群論在量子力學的具體意義.
                                            群及拓撲結構,太抽象, 應用在量子力學,真是抽象中的抽象.

                                            [ 本帖最後由 JTRP111 於 2013-8-30 09:55 AM 編輯 ]











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                                            回覆 12# 的帖子


                                            Applications of Lie group in chemistry are mostly restricted within theoretical chemistry because of the complicated mathematical details. Lie group can be used for the analysis of energy levels of hydrogen atom, conical interaction between potential energy surfaces, Jahn-Teller effect, etc. In practice, this approach is hardly employed if other more straightforward methods are available.


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                                            或再說量子力學真正關心的是什麼了,
                                            就是算來算去都是祗關心是否對稱,守恒否. 波函數根本不重要的.群所表示的元及和代表元的eigenvalue才重要.
                                            而群本身和代表它的特徵值才重要,而這些被量子力學中可觀察或測量度的物理屬性或描述物體運動狀態及其變化過程的量(動量,能量,位置)就是特徵值. Lie 群的重要是直接對稱性的反映.
                                            我剛學 群論,感覺過多學術詞彙.但明白:對稱理論,及 量子力學真正關心的事情. 感覺 發明扭計骰真了不起!

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